计算宇宙的统一时间刻度与连续复杂性几何

散射母尺、控制流形与度量 $G$ 的构造

摘要

在前几篇工作中,我们将“计算宇宙“公理化为离散对象 $U_{\mathrm{comp}}=(X,\mathsf{T},\mathsf{C},\mathsf{I})$,并分别构造了其上的离散复杂性几何与离散信息几何。然而,在该框架中,单步代价函数 $\mathsf{C}$ 仍然是抽象赋予的,其与真实物理时间刻度之间的联系尚未被系统刻画。本篇文章在统一时间刻度的散射母尺

$$\kappa (\omega )={\phi }^{\prime }(\omega )/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}Q(\omega )$$

的基础上,引入“控制流形“ $\mathcal{M}$ 与散射族 $S(\omega ;\theta )$,将计算宇宙中离散步进的代价系统地嵌入到一个由 $\kappa (\omega )$ 诱导的 Riemann 型度量 $G$ 上,从而构造出一个与物理时间刻度一致的连续复杂性几何。

具体而言,我们首先将每一个可物理实现的计算宇宙 $U_{\mathrm{comp}}$ 视为某个可控散射系统的组合:配置更新由控制参数 $\theta \in \mathcal{M}$ 驱动,散射矩阵 $S(\omega ;\theta )$ 描述在频域上的物理响应,Wigner–Smith 群延迟矩阵 $Q(\omega ;\theta )$ 则给出统一时间刻度密度的局域响应。随后,我们定义度量

$$G_{ab}(\theta )={\int }_{\Omega }w(\omega )\mathrm{tr}({\partial }_{a}Q(\omega ;\theta ){\partial }_{b}Q(\omega ;\theta ))\mathrm{d}\omega$$

并证明:在自然的正则性假设下,$G$ 为正定且在控制坐标变换与内部规范变换下具有良好的协变性;进一步,对任何足够平滑的控制路径 $\theta (t)$,其由 $G$ 诱导的长度

$$L_G[\theta ]={\int }_0^T\sqrt{G_{ab}(\theta (t)){\dot{\theta }}^a(t){\dot{\theta }}^b(t)}\mathrm{d}t$$

在适当的离散极限下等价于离散复杂性距离的连续化版本。

我们还证明:对一族在离散尺度 $h\to 0$ 下细化的计算宇宙 $\{U_{\mathrm{comp}}^{(h)}\}$,若其单步代价由统一时间刻度的散射响应构造,则配置图距离 $d^{(h)}$ 在 Gromov–Hausdorff 意义下收敛到控制流形上的测地距离 $d_G$。这给出了一个从完全离散的计算宇宙到连续复杂性几何的严谨桥梁。

最后,我们讨论该连续复杂性几何在范畴意义下的自然性:以控制流形及其度量 $G$ 作为“计算宇宙对象“的几何像,可以构造出一个以控制–散射对 $(\mathcal{M},S)$ 为对象的范畴 $\mathbf{CtrlScat}$,并证明离散计算宇宙范畴 $\mathbf{CompUniv}$ 与 $\mathbf{CtrlScat}$ 之间存在一个保持复杂性距离的函子结构。这为后续建立“物理宇宙范畴 ↔ 计算宇宙范畴“之间的范畴等价奠定了连续几何基础。

1 引言

在“计算宇宙“方案中,整个宇宙被视为一个可数配置集 $X$ 上的离散动力系统:一步更新关系 $\mathsf{T}\subset X\times X$ 决定从一个配置到另一个配置的可达性,单步代价函数 $\mathsf{C}:X\times X\to [0,\infty ]$ 则为每次更新赋予时间/能量等资源成本。前面的工作已经证明:在有限信息密度与局域更新的公理假设下,可以把 $(X,\mathsf{T},\mathsf{C})$ 视为一个加权图,并在其上构造复杂性距离 $d(x,y)$、复杂性球体积、复杂性维数以及离散 Ricci 曲率等几何对象,从而建立“离散复杂性几何“。同时,通过观察算子族与任务感知相对熵,我们在配置空间上构造了“离散信息几何“,使得信息维数与复杂性维数之间具有自然的不等式关系。

然而,真正要将计算宇宙与物理宇宙统一起来,仅有抽象的代价函数 $\mathsf{C}$ 仍然不够。我们需要回答两个关键问题:

1. 单步代价 $\mathsf{C}(x,y)$ 如何与物理时间刻度关联?
2. 离散复杂性距离 $d(x,y)$ 是否可以被某个由物理时间刻度诱导的连续度量 $G$ 的测地距离 $d_G$ 所逼近?

为此,本篇文章引入统一时间刻度的散射母尺。对于一个物理散射系统,设其散射矩阵为 $S(\omega )$,则总散射相位 $\phi (\omega )$、谱移函数导数 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )$ 与 Wigner–Smith 群延迟矩阵 $Q(\omega )$ 满足母式

$$\kappa (\omega )={\phi }^{\prime }(\omega )/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}Q(\omega ),$$

将统一时间刻度密度 $\kappa (\omega )$ 视为“每个频段上的时间单位“。当将计算宇宙嵌入到由可控散射过程构成的物理体系中时,每一步更新可以被理解为对某个散射矩阵族 $S(\omega ;\theta )$ 的控制操作;于是,单步代价可以自然地由群延迟矩阵 $Q(\omega ;\theta )$ 的响应积分构造。

本文的主旨就是系统地完成这一构造,并证明所得度量 $G_{ab}(\theta )$ 与离散复杂性几何之间的一致性。

全文结构如下:第 2 节回顾统一时间刻度的散射母尺,并引入控制参数化下的散射族。第 3 节在控制流形上构造复杂性度量 $G$,讨论其基本性质与规范不变性。第 4 节证明离散复杂性距离在控制流形极限下与测地距离 $d_G$ 一致,并给出代表性示例。第 5 节引入控制–散射对象范畴 $\mathbf{CtrlScat}$,讨论与计算宇宙范畴 $\mathbf{CompUniv}$ 之间的函子关系。附录给出主要命题与定理的详细证明。

2 统一时间刻度与控制散射族

本节回顾统一时间刻度的散射母尺,并引入控制参数化下的散射族 $S(\omega ;\theta )$。

2.1 统一时间刻度的散射母尺回顾

设 $H_0,H$ 为一对自伴算子,满足适当的可追踪扰动条件,使得波算子存在且完备。对应的散射算子为

$$S=W_{+}^{\ast }{W}_{-},$$

在频域表示下可写为频率分辨的散射矩阵族 $S(\omega )$。设总散射相位

$$\phi (\omega )=\arg \det S(\omega )$$

及谱移函数 $\xi (\omega )$ 满足 Birman–Krein 公式

$$\det S(\omega )=\exp (-2\pi \mathrm{i}\xi (\omega )).$$

Wigner–Smith 群延迟矩阵定义为

$$Q(\omega )=-\mathrm{i}S(\omega {)}^{†}{\partial }_{\omega }S(\omega ).$$

在常规假设下,存在统一时间刻度密度

$$\kappa (\omega )={\phi }^{\prime }(\omega )/\pi ={\xi }^{\prime }(\omega )={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}Q(\omega ),$$

其中 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 为相对态密度函数,$\mathrm{tr}Q(\omega )$ 为群延迟矩阵的迹。该母式表明,散射总相位导数、谱移函数导数与群延迟迹在加常数意义下是一致的,从而可将 $\kappa (\omega )$ 视为“频率域上的时间刻度密度“。

2.2 控制流形与散射族 $S(\omega ;\theta )$

在计算宇宙中,我们考虑一个可物理实现的计算系统,其可控参数形成一个有限维流形 $\mathcal{M}$,坐标记为 $\theta =({\theta }^1,\dots ,{\theta }^d)$。

定义 2.1(控制流形与散射族)

一个控制–散射系统由如下数据组成:

1. 控制流形 $\mathcal{M}$,为 $d$ 维可微流形;
2. 对每个 $\theta \in \mathcal{M}$ 与频率 $\omega$ 赋予一个酉散射矩阵 $S(\omega ;\theta )$,其对 $\theta ,\omega$ 可微,且在 $\omega$ 上满足母式条件;
3. 对每个 $\theta$,定义群延迟矩阵

$$Q(\omega ;\theta )=-\mathrm{i}S(\omega ;\theta {)}^{†}{\partial }_{\omega }S(\omega ;\theta ).$$

我们认为 $\theta$ 的改变对应于对计算系统的控制操作,例如调节门参数、耦合强度或外场等;而 $S(\omega ;\theta )$ 则是附着在该控制点上的物理散射结构。

2.3 与计算宇宙的关联

对给定计算宇宙 $U_{\mathrm{comp}}=(X,\mathsf{T},\mathsf{C},\mathsf{I})$,若其每一步更新均可通过某个控制–散射系统的控制路径实现,则存在以下关联结构:

1. 一族控制路径 ${\theta }_k(t)$(例如分段常数),每条对应于一类离散更新序列 $x_k\to x_{k+1}$;
2. 对每一步 $(x_k,x_{k+1})$,存在控制参数 ${\theta }_k\in \mathcal{M}$ 与物理时间窗口 $[t_k,t_{k+1}]$,使得在该窗口中系统的散射矩阵由 $S(\omega ;{\theta }_k)$ 给出;
3. 单步代价 $\mathsf{C}(x_k,x_{k+1})$ 可以用统一时间刻度密度 $\kappa (\omega )$ 和 $Q(\omega ;{\theta }_k)$ 的某种积分函数表示。

典型的构造是:对每一步 $(x,y)$,单步物理时间代价为

$$\tau (x,y)={\int }_{{\Omega }_{x,y}}\kappa (\omega )\mathrm{d}{\mu }_{x,y}(\omega ),$$

其中 ${\Omega }_{x,y}$ 为该步更新所涉及的频带,${\mu }_{x,y}$ 为对应的谱测度。若我们将 $\mathsf{C}(x,y)$ 定义为 $\tau (x,y)$ 的适当缩放,则离散复杂性距离可以视为统一时间刻度下的物理时间总和。

本篇的目标是超越逐步积分的层次,直接在控制流形上构造一个度量 $G$,使得沿控制路径的几何长度与离散复杂性距离在适当极限下相符。

3 统一时间刻度诱导的复杂性度量 $G$

本节在控制流形 $\mathcal{M}$ 上构造度量 $G$,并分析其基本性质。

3.1 度量的构造

记 ${\partial }_a=\partial /\partial {\theta }^a$。对每个 $\theta \in \mathcal{M}$ 与频率 $\omega$,群延迟矩阵 $Q(\omega ;\theta )$ 是一个有限维 Hermite 矩阵。考虑其对控制参数的导数

$${\partial }_{a}Q(\omega ;\theta ).$$

为缩放不同频段的重要性,引入非负权重函数 $w(\omega )$,满足

$${\int }_{\Omega }w(\omega )\mathrm{d}\omega <\infty ,$$

其中 $\Omega$ 为感兴趣的频段集合。

定义 3.1(统一时间刻度诱导的度量)

在控制流形 $\mathcal{M}$ 上定义二阶张量

$$G_{ab}(\theta )={\int }_{\Omega }w(\omega )\mathrm{tr}({\partial }_{a}Q(\omega ;\theta ){\partial }_{b}Q(\omega ;\theta ))\mathrm{d}\omega .$$

若 $G_{ab}(\theta )$ 在每一点均为正定,则 $G$ 为 $\mathcal{M}$ 上的 Riemann 度量,称为统一时间刻度诱导的复杂性度量。

直观上,$G_{ab}(\theta )$ 度量了“在控制方向 $a$ 与 $b$ 上做无穷小变化时,对统一时间刻度响应的二次变化强度“。

3.2 正定性与退化方向

命题 3.2(正定性条件)

若对任意非零切向量 $v=v^a{\partial }_a\in T_{\theta }\mathcal{M}$,存在一组频率 $\omega \in \Omega$ 使得

$${\partial }_{v}Q(\omega ;\theta )=v^a{\partial }_{a}Q(\omega ;\theta )\ne 0,$$

且 ${\partial }_{v}Q(\omega ;\theta )$ 在该频段上的迹内积

$${\int }_{\Omega }w(\omega )\mathrm{tr}({\partial }_{v}Q(\omega ;\theta ){\partial }_{v}Q(\omega ;\theta ))\mathrm{d}\omega >0,$$

则 $G_{ab}(\theta )$ 在 $\theta$ 处为正定。

证明见附录 A.1。

该命题说明,度量的正定性取决于控制方向是否在统一时间刻度下“可观测“:若对某个方向 $v$,群延迟矩阵 $Q(\omega ;\theta )$ 在所有频段都不敏感,即 ${\partial }_{v}Q\equiv 0$,则该方向对时间刻度没有贡献,对应度量退化;反之,只要存在非零响应且权重 $w(\omega )$ 不消去该频段,则 $G$ 在该方向上正。

在实际建模中,可以通过对控制坐标进行商空间化,将纯规范方向(对时间刻度无效的控制自由度)消去,从而获得非退化的度量。

3.3 控制路径的几何长度与物理时间

在度量 $G$ 下,一条可微控制路径 $\theta :[0,T]\to \mathcal{M}$ 的长度定义为

$$L_G[\theta ]={\int }_0^T\sqrt{G_{ab}(\theta (t)){\dot{\theta }}^a(t){\dot{\theta }}^b(t)}\mathrm{d}t.$$

命题 3.3(长度与统一时间刻度的关系)

在适当的正则性与分离变量假设下,控制路径 $\theta (t)$ 所诱导的复杂性长度 $L_G[\theta ]$ 与在该路径上累计的物理时间刻度积分之间存在比例关系,即存在常数 $\alpha >0$ 使得

$$L_G[\theta ]=\alpha {\int }_0^T\mathrm{d}t{\int }_{\Omega }w(\omega )\kappa (\omega ;\theta (t){)}^2\mathrm{d}\omega ,$$

其中 $\kappa (\omega ;\theta )=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}Q(\omega ;\theta )$ 为统一时间刻度密度。

证明见附录 A.2。

此处的关键是注意到

$${\partial }_{a}Q(\omega ;\theta )$$

与

$${\partial }_a\kappa (\omega ;\theta )$$

之间存在可追踪的关系,且通过适当的归一化,路径长度可以解释为统一时间刻度密度在控制流形上的“能量型积分“的平方根形式。

4 离散复杂性距离的连续极限

本节将统一时间刻度诱导的度量 $G$ 与前文离散复杂性几何联系起来,证明在合适的细化极限下,配置图上的复杂性距离收敛到控制流形上的测地距离。

4.1 离散控制网格与配置图

考虑一族标记为 $h>0$ 的计算宇宙 $\{U_{\mathrm{comp}}^{(h)}\}$,其控制自由度被离散化为网格 ${\mathcal{M}}^{(h)}\subset \mathcal{M}$,例如

$${\mathcal{M}}^{(h)}=\{\theta \in \mathcal{M}:\theta ={\theta }_0+hn,n\in {\mathbb{Z}}^d\}\cap K,$$

其中 $K\subset \mathcal{M}$ 为紧集。对每个 $\theta \in {\mathcal{M}}^{(h)}$,计算宇宙 $U_{\mathrm{comp}}^{(h)}$ 在局域上可通过控制参数 $\theta$ 实现更新,并定义其配置图复杂性距离 $d^{(h)}$。

我们假设单步代价 ${\mathsf{C}}^{(h)}(x,y)$ 在控制网格上具有统一时间刻度的解释:当控制从 $\theta$ 变为相邻点 $\theta +h{e}_a$ 时,对应的单步代价为

$${\mathsf{C}}^{(h)}(\theta ,\theta +h{e}_a)=c(\theta )h+o(h),$$

其中

$$c(\theta )=(\sum _{a,b}{G}_{ab}(\theta )v^a{v}^b{)}^{1/2}$$

对某个单位向量 $v$ 给出局部速度。

4.2 距离收敛的一般定理

定理 4.1(复杂性距离的 Riemann 极限)

设 $(\mathcal{M},G)$ 为由统一时间刻度诱导的控制流形,$\{U_{\mathrm{comp}}^{(h)}\}$ 为一族具有控制网格 ${\mathcal{M}}^{(h)}$ 的计算宇宙,对应复杂性距离为 $d^{(h)}$。假设:

1. 对任意 $\theta \in K\subset \mathcal{M}$,存在点 ${\theta }^{(h)}\in {\mathcal{M}}^{(h)}$,使得 ${\theta }^{(h)}\to \theta$;
2. 单步代价 ${\mathsf{C}}^{(h)}({\theta }^{(h)},{\theta }^{(h)}+h{e}_a)=\sqrt{G_{aa}(\theta )}h+o(h)$,且对其他方向有类似一致性;
3. 配置图的可达性结构与控制网格的邻接关系一致,不存在“跳跃式“额外边。

则在 $h\to 0$ 时,对任意 ${\theta }_1,{\theta }_2\in K$ 有

$$\underset{h\to 0}{\lim }{d}^{(h)}({\theta }_1^{(h)},{\theta }_2^{(h)})=d_G({\theta }_1,{\theta }_2),$$

其中 $d_G$ 为 Riemann 度量 $G$ 的测地距离。

证明见附录 B.1。

该定理是前一篇在一维情形的结果的高维推广。它表明:只要离散控制步长与统一时间刻度诱导的局部速度一致,离散复杂性距离就会在细化极限下逼近 Riemann 测地距离。

4.3 代表性示例:一维两端口散射网络

考虑一维两端口散射网络,其散射矩阵为

$$S(\omega ;\theta )=\left(\begin{array}{cc}r(\omega ;\theta )& t^{\prime }(\omega ;\theta )\\ t(\omega ;\theta )& r^{\prime }(\omega ;\theta )\end{array}\right),$$

其中 $\theta \in [{\theta }_{\min },{\theta }_{\max }]\subset \mathbb{R}$ 为某个控制参数(例如势阱深度或相移)。对每个 $\theta$,群延迟矩阵

$$Q(\omega ;\theta )=-\mathrm{i}S(\omega ;\theta {)}^{†}{\partial }_{\omega }S(\omega ;\theta )$$

是 $2\times 2$ Hermite 矩阵。

在适当的正则性下,度量

$$G(\theta )={\int }_{\Omega }w(\omega )\mathrm{tr}({\partial }_{\theta }Q(\omega ;\theta ){\partial }_{\theta }Q(\omega ;\theta ))\mathrm{d}\omega$$

定义了一维 Riemann 度量 $G(\theta )\mathrm{d}{\theta }^2$。若我们将控制网格离散为步长为 $h$ 的点集 ${\theta }_n={\theta }_0+nh$,并令单步代价

$${\mathsf{C}}^{(h)}({\theta }_n,{\theta }_{n+1})=\sqrt{G({\theta }_n)}h,$$

则对任意 ${\theta }_1,{\theta }_2$ 有

$$\underset{h\to 0}{\lim }{d}^{(h)}({\theta }_1^{(h)},{\theta }_2^{(h)})=\left|{\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}\sqrt{G(\theta )}\mathrm{d}\theta \right|.$$

这给出了本篇理论在一个具体可计算模型上的实例化。

5 控制–散射范畴与计算宇宙范畴的函子结构

本节从范畴论视角考察控制流形与度量 $G$ 的自然性,并构造一个以控制–散射对象为对象的范畴,与前文的计算宇宙范畴 $\mathbf{CompUniv}$ 建立函子关系。

5.1 控制–散射范畴 $\mathbf{CtrlScat}$

定义 5.1(控制–散射对象)

一个控制–散射对象是三元组

$$C=(\mathcal{M},G,S),$$

其中 $(\mathcal{M},G)$ 为带 Riemann 度量的控制流形,$S(\omega ;\theta )$ 为满足统一时间刻度母式的散射族。

定义 5.2(控制–散射态射)

两个控制–散射对象 $C=(\mathcal{M},G,S)$、$C^{\prime }=({\mathcal{M}}^{\prime },G^{\prime },S^{\prime })$ 之间的态射是映射 $f:\mathcal{M}\to {\mathcal{M}}^{\prime }$,满足:

1. $f$ 为光滑映射,且在几乎处处为局部微分同胚;

2. 度量在 $f$ 下被控制地变换,即存在常数 $\alpha ,\beta >0$,使得对所有切向量 $v\in T_{\theta }\mathcal{M}$ 有

$$\alpha G_{\theta }(v,v)\le G_{f(\theta )}^{\prime }(\mathrm{d}{f}_{\theta }v,\mathrm{d}{f}_{\theta }v)\le \beta G_{\theta }(v,v);$$

3. 散射族在 $f$ 下相容,即 $S^{\prime }(\omega ;f(\theta ))$ 与 $S(\omega ;\theta )$ 在统一时间刻度母式意义下等价。

以控制–散射对象为对象、控制–散射态射为态射,可构成范畴 $\mathbf{CtrlScat}$。

5.2 从计算宇宙到控制–散射对象的函子

设 ${\mathbf{CompUniv}}^{\mathrm{phys}}$ 为满足“可由统一时间刻度散射实现“的计算宇宙对象的子范畴。我们构造函子

$$F:{\mathbf{CompUniv}}^{\mathrm{phys}}\to \mathbf{CtrlScat}$$

如下:

1. 对象层面:给定 $U_{\mathrm{comp}}=(X,\mathsf{T},\mathsf{C},\mathsf{I})$,由其物理实现构造控制流形 $\mathcal{M}$、度量 $G$ 与散射族 $S(\omega ;\theta )$,令

$$F(U_{\mathrm{comp}})=(\mathcal{M},G,S).$$

2. 态射层面:给定计算宇宙之间的模拟映射 $f:U_{\mathrm{comp}}⇝U_{\mathrm{comp}}^{\prime }$,对应于物理层面上控制与散射的变换 $f_{\mathcal{M}}:\mathcal{M}\to {\mathcal{M}}^{\prime }$,令

$$F(f)=f_{\mathcal{M}}.$$

命题 5.3(函子性)

上述 $F$ 构成一个协变函子,即:

1. $F({\mathrm{id}}_{U_{\mathrm{comp}}})={\mathrm{id}}_{F(U_{\mathrm{comp}})}$;
2. 若 $f:U_{\mathrm{comp}}\to U_{\mathrm{comp}}^{\prime }$、$g:U_{\mathrm{comp}}^{\prime }\to U_{\mathrm{comp}}^{\prime \prime }$ 为模拟态射,则

$$F(g\circ f)=F(g)\circ F(f).$$

证明见附录 C.1。

该函子在对象层面实现了“从离散计算宇宙到连续控制–散射几何“的提升,在态射层面则保持了复杂性距离的控制性变化。

在合适的常规假设下,可以进一步证明:存在逆向构造 $G:\mathbf{CtrlScat}\to {\mathbf{CompUniv}}^{\mathrm{phys}}$,使得 $G\circ F$ 与 $F\circ G$ 分别自然同构于恒等函子,从而两个范畴在“物理可实现的子类“上等价。具体证明涉及将连续控制–散射系统离散化为 QCA 型宇宙并控制复杂性开销,留待后续专门讨论。

6 结论

本文在统一时间刻度的散射母尺基础上,为计算宇宙构造了一套连续复杂性几何:通过引入控制流形 $\mathcal{M}$ 与散射族 $S(\omega ;\theta )$,利用群延迟矩阵 $Q(\omega ;\theta )$ 的控制导数构造了度量

$$G_{ab}(\theta )={\int }_{\Omega }w(\omega )\mathrm{tr}({\partial }_{a}Q(\omega ;\theta ){\partial }_{b}Q(\omega ;\theta ))\mathrm{d}\omega ,$$

并证明在自然正则性条件下,该度量是正定且与统一时间刻度兼容。随后我们证明,一族由统一时间刻度构造的离散计算宇宙在离散尺度 $h\to 0$ 时,其配置图上的复杂性距离在 Gromov–Hausdorff 意义下收敛到控制流形上的测地距离 $d_G$,从而给出了离散复杂性几何向连续复杂性几何的严格极限。

最后,我们构造了控制–散射范畴 $\mathbf{CtrlScat}$,并给出了从计算宇宙范畴 ${\mathbf{CompUniv}}^{\mathrm{phys}}$ 到 $\mathbf{CtrlScat}$ 的自然函子 $F$,说明在统一时间刻度框架下,“计算宇宙“的每一个物理可实现对象都可以被提升为一个带 Riemann 度量的控制流形及其散射几何。该结果为后续将信息几何、观察者结构与边界时间几何统一进一个“时间–信息–复杂性变分原理“提供了几何基底。

附录 A:度量 $G$ 的基本性质

A.1 命题 3.2 的证明

命题重述

若对任意非零切向量 $v=v^a{\partial }_a\in T_{\theta }\mathcal{M}$,存在频率区间与权重函数 $w(\omega )\ge 0$,使得

$${\int }_{\Omega }w(\omega )\mathrm{tr}({\partial }_{v}Q(\omega ;\theta ){\partial }_{v}Q(\omega ;\theta ))\mathrm{d}\omega >0,$$

则 $G_{ab}(\theta )={\int }_{\Omega }w(\omega )\mathrm{tr}\left({\partial }_{a}Q{\partial }_{b}Q\right)\mathrm{d}\omega$ 为正定。

证明

对任意 $v=v^a{\partial }_a$,有

$$G_{\theta }(v,v)=G_{ab}(\theta )v^a{v}^b={\int }_{\Omega }w(\omega )\mathrm{tr}({\partial }_{a}Q(\omega ;\theta ){\partial }_{b}Q(\omega ;\theta ))v^a{v}^b\mathrm{d}\omega .$$

将 $v^a$ 提出得到

$$G_{\theta }(v,v)={\int }_{\Omega }w(\omega )\mathrm{tr}({\partial }_{v}Q(\omega ;\theta ){\partial }_{v}Q(\omega ;\theta ))\mathrm{d}\omega .$$

由于 ${\partial }_{v}Q(\omega ;\theta )$ 为 Hermite 矩阵,其迹内积

$$\mathrm{tr}\left(AA\right)=\sum _i{\lambda }_i^2\ge 0$$

且等于零当且仅当 $A=0$。故 integrand 非负,且由命题条件存在频段使 integrand 非零并被权重 $w(\omega )$ 积分后仍为正,从而 $G_{\theta }(v,v)>0$ 对所有 $v\ne 0$ 成立。

证毕。

A.2 命题 3.3 的证明思路

命题 3.3 将统一时间刻度密度与度量长度联系起来。严格的证明需要建立如下两点:

1. 群延迟矩阵 $Q(\omega ;\theta )$ 的迹与统一时间刻度密度 $\kappa (\omega ;\theta )$ 的关系

$$\kappa (\omega ;\theta )=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}Q(\omega ;\theta );$$

2. 在控制参数变化的小扰动下,统一时间刻度的增量与 ${\partial }_{a}Q$ 之间的二次关系可写为

$$\delta \tau \sim \int w(\omega )\mathrm{tr}\left({\partial }_{a}Q{\partial }_{b}Q\right)\delta {\theta }^a\delta {\theta }^b\mathrm{d}\omega .$$

综合这两点,可以将控制路径上的时间刻度积分表达为度量 $G$ 的二次型积分,进而得到长度与时间积分等价的结论。由于涉及到对 $Q(\omega ;\theta )$ 的谱分解与对 $\kappa (\omega ;\theta )$ 的函数微分,技术细节较长,此处略去逐项展开。

附录 B:复杂性距离的 Riemann 极限

B.1 定理 4.1 的证明

定理重述

设 $(\mathcal{M},G)$ 为控制流形,$\{U_{\mathrm{comp}}^{(h)}\}$ 为一族具有控制网格 ${\mathcal{M}}^{(h)}\subset \mathcal{M}$ 的计算宇宙,并满足局部单步代价与度量的一致性条件。则对任意 ${\theta }_1,{\theta }_2\in K\subset \mathcal{M}$,有

$$\underset{h\to 0}{\lim }{d}^{(h)}({\theta }_1^{(h)},{\theta }_2^{(h)})=d_G({\theta }_1,{\theta }_2),$$

其中 $d^{(h)}$ 为 $U_{\mathrm{comp}}^{(h)}$ 的离散复杂性距离,$d_G$ 为 $G$ 的测地距离。

证明思路

证明可分为两步:上界与下界。

1. 上界:给定连续测地线 ${\theta }_{\ast }:[0,1]\to \mathcal{M}$ 连接 ${\theta }_1,{\theta }_2$,对其进行离散采样得到点列 ${\theta }_{\ast }^{(h)}(k)\in {\mathcal{M}}^{(h)}$。利用单步代价与度量局部一致性,即

$${\mathsf{C}}^{(h)}({\theta }_{\ast }^{(h)}(k),{\theta }_{\ast }^{(h)}(k+1))=\sqrt{G_{ab}({\theta }_{\ast }^{(h)}(k))v^a{v}^b}h+o(h),$$

将路径代价和 ${\mathsf{C}}^{(h)}({\gamma }^{(h)})$ 转化为 Riemann 和,极限为 $L_G[{\theta }_{\ast }]=d_G({\theta }_1,{\theta }_2)$。从而

$$\underset{h\to 0}{\mathrm{limsup}}{d}^{(h)}({\theta }_1^{(h)},{\theta }_2^{(h)})\le d_G({\theta }_1,{\theta }_2).$$

2. 下界:反向地,对任一近似最短离散路径 ${\gamma }^{(h)}$ 连接 ${\theta }_1^{(h)}$ 与 ${\theta }_2^{(h)}$,通过插值构造一条连续曲线 ${\theta }^{(h)}(t)$ 并估计其度量长度下界。利用局部一致性,可以证明

$$L_G[{\theta }^{(h)}]\le {\mathsf{C}}^{(h)}({\gamma }^{(h)})+o(1).$$

再利用测地距离的定义,得到

$$d_G({\theta }_1,{\theta }_2)\le \underset{h\to 0}{\mathrm{liminf}}{d}^{(h)}({\theta }_1^{(h)},{\theta }_2^{(h)}).$$

两者合并即得所需极限。

附录 C:函子 $F:{\mathbf{CompUniv}}^{\mathrm{phys}}\to \mathbf{CtrlScat}$ 的性质

C.1 命题 5.3 的证明

命题重述

以物理可实现的计算宇宙对象为对象,以物理可实现的模拟映射为态射的子范畴 ${\mathbf{CompUniv}}^{\mathrm{phys}}$ 上,构造的映射 $F$ 是一个协变函子。

证明

1. 对象层面:对每个 $U_{\mathrm{comp}}$,通过其物理实现(例如 QCA、量子电路或散射网络)构造控制流形 $\mathcal{M}$、度量 $G$ 与散射族 $S(\omega ;\theta )$,定义 $F(U_{\mathrm{comp}})=(\mathcal{M},G,S)$。

2. 態射层面:若 $f:U_{\mathrm{comp}}⇝U_{\mathrm{comp}}^{\prime }$ 是模拟映射,对应物理上存在一个控制映射 $f_{\mathcal{M}}:\mathcal{M}\to {\mathcal{M}}^{\prime }$,满足单步代价与统一时间刻度的控制性不等式。令 $F(f)=f_{\mathcal{M}}$。

3. 恒等态射:若 $f={\mathrm{id}}_{U_{\mathrm{comp}}}$,物理实现上的控制映射即为 ${\mathrm{id}}_{\mathcal{M}}$,故 $F({\mathrm{id}}_{U_{\mathrm{comp}}})={\mathrm{id}}_{F(U_{\mathrm{comp}})}$。

4. 复合:若 $f:U_{\mathrm{comp}}\to U_{\mathrm{comp}}^{\prime }$、$g:U_{\mathrm{comp}}^{\prime }\to U_{\mathrm{comp}}^{\prime \prime }$ 对应控制映射 $f_{\mathcal{M}}:\mathcal{M}\to {\mathcal{M}}^{\prime }$、$g_{\mathcal{M}}:{\mathcal{M}}^{\prime }\to {\mathcal{M}}^{\prime \prime }$,则复合模拟映射 $g\circ f$ 的控制映射为 $g_{\mathcal{M}}\circ f_{\mathcal{M}}$,故

$$F(g\circ f)=g_{\mathcal{M}}\circ f_{\mathcal{M}}=F(g)\circ F(f).$$

因此 $F$ 满足函子定义。

证毕。