统一时间刻度与时间几何：谱—散射—因果—熵的等价、定义域与可解模型

Abstract

提出并严格刻画一条“统一时间刻度“框架，将相位梯度读数、相对态密度与 Wigner–Smith 群延迟的迹在严格的散射理论定义域内对齐，从而把时间刻度定义为一类谱—散射不变量的单调重参。同一式

$$\boxed{\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{Tr}Q(\omega )},Q(\omega )=-iS(\omega {)}^{†}{\partial }_{\omega }S(\omega ),\phi =\frac{1}{2}\arg \det S$$

在弹性—酉散射且满足 Birman–Kreĭn 假设的能窗内成立；在吸收/非酉与长程势情形提出可验证的推广：引入复时间延迟、dwell time与相位重整化，并用 Poisson–卷积给出窗口化时钟的存在与仿射唯一性。本文进一步在广义相对论端构造了eikonal 相位导数＝几何 Shapiro 延迟的模型化证明（Schwarzschild 外区标量波，高频/高角动量极限），在宇宙学端将红移表达为相位节奏比，并在信息—全息端以相对熵单调性与 QNEC为核心假设陈述“熵极值→几何方程“的条件化命题。全篇突出等价关系的定义域与可解算例，并给出工程可实现的多频群延迟计量与透镜时延反演方案。

Keywords：Wigner–Smith 群延迟；谱移函数；Birman–Kreĭn 公式；eikonal 相位；Shapiro 延迟；Bondi–Sachs 时间；Tolman–Ehrenfest 红移；QNEC；广义熵 MSC 2020：81U40, 47A40, 83C57, 83C45

1 Introduction & Historical Context

群延迟由 Wigner 与 Smith 在弹性散射中引入，定义为群相位对频率的导数；其矩阵形式 $Q=-i{S}^{†}{\partial }_{\omega }S$ 的迹等于总散射相位 $\Phi =\arg \det S$ 的导数，从而把“时间延迟＝相位梯度“的实验读数固定为不变量。另一方面，Birman–Kreĭn 公式把散射行列式与谱移函数 $\xi$ 联系起来 $\det S(\omega )=e^{-2\pi i\xi (\omega )}$，给出 $\frac{1}{2\pi }{\partial }_{\omega }\Phi =-{\xi }^{\prime }={\rho }_{\mathrm{rel}}$。该桥梁奠定了“相位斜率—相对态密度—群延迟迹“的统一。

在引力端，eikonal 振幅方法与几何光学表明：eikonal 相位对能量/频率的导数给出偏折角与时间延迟（Shapiro 延迟）。宇宙学中，FRW 红移关系 $1+z=a(t_0)/a(t_e)$ 可写成相位节奏比 $(d\varphi /dt{)}_e/(d\varphi /dt{)}_0$。远场零无穷处的Bondi–Sachs框架以迟滞时间 $u$ 规范化出射零面，提供了引力散射与相位读数的自然边界时间。

信息—全息端，相对熵单调性与QNEC已在一般 QFT 中获得证明，QFC 作为猜想在广泛情形被验证；这些不等式把广义熵的二阶形变与能量条件相连，构成从“熵极值“到“几何方程“的条件化路线。

本文目标是：在严格定义域内组织上述桥梁，给出一套包含弹性—非酉、短程—长程情形的统一时钟刻度，并用可解模型确证“相位梯度＝几何时延“的对齐。

2 Model & Assumptions

2.1 散射对与谱移框架

设 $(H,H_0)$ 为一对自伴算子，满足迹类/准迹类扰动假设（例如 $H-H_0\in {\mathfrak{S}}_1$ 或 $(H-i{)}^{-1}-(H_0-i{)}^{-1}\in {\mathfrak{S}}_1$）。则存在谱移函数 $\xi (\lambda )$ 使得对足够光滑的 $f$ 有

$$\mathrm{Tr}(f(H)-f(H_0))={\int }_{\mathbb{R}}{f}^{\prime }(\lambda )\xi (\lambda )d\lambda .$$

若绝对连续谱能窗 $I\subset \mathbb{R}$ 上波算子存在且散射矩阵 $S(\omega )$ 可微且酉，则 Birman–Kreĭn 公式

$$\det S(\omega )=e^{-2\pi i\xi (\omega )}$$

成立且 $\Phi (\omega )=\arg \det S(\omega )$ 的连续分支可选定。

定义 2.1（相对态密度） 记 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega ):=-{\xi }^{\prime }(\omega )$。在 $I$ 的 Lebesgue-a.e. 点上有

$$\frac{1}{2\pi }{\partial }_{\omega }\Phi (\omega )={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega ).$$

定义域备注：上述等式在阈值、束缚态与共振点可能仅以分布或有界变差(BV)意义成立；$\Phi$ 的分支由 $S(\omega )$ 的解析延拓与远端归一化共同固定（附录 A）。

2.2 Wigner–Smith 群延迟

对酉 $S(\omega )$ 定义

$$Q(\omega )=-iS(\omega {)}^{†}{\partial }_{\omega }S(\omega ),$$

则 $Q$ 自伴，且迹恒等式

$${\partial }_{\omega }\Phi (\omega )=\mathrm{Tr}Q(\omega )$$

在 $I$ 内成立，于是

$$\boxed{\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{Tr}Q(\omega )},\phi =\frac{1}{2}\Phi .$$

此即“刻度同一式“的弹性—酉定义域。

反例与下界：群延迟可在反谐振附近取负值（异常延迟）；但 Wigner 因果给出能量导数的下界与整体和则约束。本文在窗口化时钟下获得弱单调与仿射唯一性（§4.2、附录 B）。

2.3 非酉/吸收与广义时间延迟

当外部可见道非完备或存在吸收（黑洞视界、有损介质、开放腔体）时，$S$ 非酉。取

$$Q_{\mathrm{gen}}(\omega ):=-iS(\omega {)}^{-1}{\partial }_{\omega }S(\omega ),$$

其迹一般为复数；可定义实部为广义 Wigner 延迟，虚部与吸收/增益相关；亦可引入 dwell time 与透射—反射分解。本文在§4.3给出与 ${\partial }_{\omega }\arg \det S$ 的关系与测量学意义。

2.4 长程势与相位重整化

对库仑/引力 $1/r$ 长程势，需使用修正波算子与相位重整化（Dollard/ Isozaki–Kitada 型），并在渐近相位中剔除对数项。本文对 Schwarzschild 外区的标量波在tortoise 坐标与 Regge–Wheeler 方程下构造重整化相位 ${\Phi }_{\mathrm{ren}}(\omega )$，并证明

$${\partial }_{\omega }{\Phi }_{\mathrm{ren}}(\omega )=\Delta T_{\mathrm{Shapiro}}(\omega )+o(1)$$

于高频/高角动量极限成立（§5，附录 D）。

2.5 几何与边界时间

静态时空的局域钟速/红移由 $g_{tt}$ 或 Tolman–Ehrenfest 定律控制；ADM 分解中 lapse $N$ 给出坐标时间与本征时间之比；遥远边界的Bondi–Sachs 迟滞时间 $u$ 提供零无穷的自然“散射时间“。

2.6 信息—全息假设域

相对熵单调性与QNEC在一般 QFT 中成立；QFC 作为猜想提供更强结构。本文把“熵极值→场方程“陈述为条件化命题，仅在小因果菱形、Hadamard 状态、弱曲率与适当形变类下断言（§6，附录 F）。

3 Main Results（Theorems and Alignments）

3.1 刻度同一式的定义域定理

定理 3.1（弹性—酉定义域） 令 $(H,H_0)$ 为满足 §2.1 迹类假设的自伴散射对。设 $I\subset \mathbb{R}$ 为绝对连续谱能窗，$S(\omega )\in C^1(I;U(N(\omega )))$ 且无阈值与共振的孤立集 $\Sigma \subset I$。则在 $I\setminus \Sigma$ 有

$$\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{Tr}Q(\omega )\text{(Lebesgue-a.e.)}.$$

在 $\Sigma$ 上该等式以 BV/分布意义成立，$\Phi$ 的跳跃与束缚态—共振贡献由 Levinson/Friedel 积分给出（附录 A）。 证明：见附录 A（Birman–Kreĭn + 迹恒等式 + 可微性与分支选择）。

注释（长程—重整化）：若势为长程，则存在重整化相位 ${\Phi }_{\mathrm{ren}}$ 使同一式在重整化后成立；证明见附录 D.1（Dollard/Isozaki–Kitada 框架）。

3.2 窗口化时钟的存在与仿射唯一性

定义 3.2（Poisson–窗口化时钟） 取宽度 $\Delta >0$ 的 Poisson 核

$$P_{\Delta }(x)=\frac{1}{\pi }\frac{\Delta }{x^2+{\Delta }^2},{\int }_{\mathbb{R}}{P}_{\Delta }(x)dx=1.$$

定义窗口化刻度密度

$${\Theta }_{\Delta }(\omega ):=({\rho }_{\mathrm{rel}}\ast P_{\Delta })(\omega )=\frac{1}{2\pi }(\mathrm{Tr}Q\ast P_{\Delta })(\omega )$$

与时钟

$$t_{\Delta }(\omega )-t_{\Delta }({\omega }_0)={\int }_{{\omega }_0}^{\omega }{\Theta }_{\Delta }(\omega )d\omega .$$

定理 3.3（弱单调与仿射唯一性） 若 $S$ 在上半平面解析且无上半平面极点，且 $\Delta$ 大于给定能窗内的最小共振宽度/间距的常数量级，则 ${\Theta }_{\Delta }(\omega )>0$ 在测度意义下成立，因而 $t_{\Delta }$ 严格递增；若 ${\tilde{t}}_{\Delta }$ 为另一窗口族给出的时钟且满足同一窗口条件，则存在 $a>0,b\in \mathbb{R}$ 使

$${\tilde{t}}_{\Delta }=a{t}_{\Delta }+b.$$

证明要点：$\log \det S$ 为 Nevanlinna–Herglotz 型函数，其边界虚部为 $-2\pi {\xi }^{\prime }$ 的分布；Poisson 平滑给出调和延拓并抑制局域负延迟的振荡项；窗口宽度条件保证正性余量覆盖反谐振负瓣（附录 B；反例与数值见§5.3）。

评论：该定理回应“群延迟可局域为负“的事实：时钟由窗口化的态密度驱动，满足弱单调与仿射唯一性，而非点态单调。

3.3 非酉/吸收的广义同一式

命题 3.4（广义时间延迟与相位） 对非酉 $S$ 定义 $Q_{\mathrm{gen}}=-i{S}^{-1}{\partial }_{\omega }S$。则

$${\partial }_{\omega }\log \det S(\omega )=i\mathrm{Tr}{Q}_{\mathrm{gen}}(\omega ),{\partial }_{\omega }\arg \det S=\Re \mathrm{Tr}{Q}_{\mathrm{gen}},$$

并可定义实延迟 ${\tau }_{\mathrm{Re}}:=(1/2\pi )\Re \mathrm{Tr}{Q}_{\mathrm{gen}}$ 与吸收率 $\alpha :=(1/2\pi )\Im \mathrm{Tr}{Q}_{\mathrm{gen}}$。在小吸收极限 $|S^{†}S-1|\ll 1$ 有 ${\tau }_{\mathrm{Re}}=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{Tr}Q+O(|S^{†}S-1|)$。

3.4 eikonal 相位与几何 Shapiro 延迟

定理 3.5（高频/高 $l$ 极限） Schwarzschild 外区标量波（频率 $\omega$）的重整化相位 ${\Phi }_{\mathrm{ren}}(\omega )$ 在 eikonal 极限满足

$${\partial }_{\omega }{\Phi }_{\mathrm{ren}}(\omega )=\Delta T_{\mathrm{Shapiro}}(\omega )+O({\omega }^{-1}),$$

其中 $\Delta T_{\mathrm{Shapiro}}$ 为几何光线路径的 Shapiro 延迟。证明：见§5（WKB 相位差＝作用差，利用 tortoise 坐标与 Regge–Wheeler 势的高频分解；相位分支以无场参考归一化）。

3.5 红移＝相位节奏比与边界时间

FRW 度规下，光子相位 $\varphi$ 的时间导数与观测频率成正比，得

$$1+z=\frac{{\nu }_e}{{\nu }_0}=\frac{(d\varphi /dt{)}_e}{(d\varphi /dt{)}_0}=\frac{a(t_0)}{a(t_e)},$$

此式把宇宙学红移统一为边界相位节奏比。

3.6 熵极值→几何方程：条件化命题

命题 3.6（条件化） 在小因果菱形极限、Hadamard 态、弱曲率与适当形变类下，若假设相对熵单调性与QNEC，则广义熵二阶形变与 Raychaudhuri 方程联立推出

$$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi G⟨T_{\mu \nu }⟩.$$

说明：QFC 非普适定理，本文不使用其为充分条件；命题仅在上述假设与局域窗口内成立，以 Jacobson “方程态“与后续 JLMS/形变模哈密顿为技术支撑（附录 F）。

4 Proofs（摘要；细节见附录）

4.1 定理 3.1

Birman–Kreĭn 给出 $\det S=e^{-2\pi i\xi }$；对 $\omega$ 微分得 ${\Phi }^{\prime }=-2\pi {\xi }^{\prime }=2\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}$。另一方面 $\mathrm{Tr}Q={\partial }_{\omega }\mathrm{Tr}\log S={\partial }_{\omega }\Phi$。综合得同一式；阈值与共振处以 BV/分布理解（附录 A）。

4.2 定理 3.3

$\log \det S$ 是 Nevanlinna–Herglotz 函数；其边界虚部为 $-2\pi {\xi }^{\prime }$ 的分布。Poisson 平滑等于上半平面调和延拓之边界值；选择 $\Delta$ 大于最小共振宽度，负延迟的局域波动被正性包络覆盖，从而 ${\Theta }_{\Delta }>0$ a.e.；仿射唯一性来自单位归一化与加法常数自由度（附录 B）。反例（负延迟）与窗口阈值在一维可解势中定量展示（§5.3）。

4.3 命题 3.4

对可逆 $S$ 用 Jacobi 恒等式 ${\partial }_{\omega }\log \det S=\mathrm{Tr}(S^{-1}{\partial }_{\omega }S)=i\mathrm{Tr}{Q}_{\mathrm{gen}}$。取实虚部得陈述；小吸收展开见附录 C。

4.4 定理 3.5

在 Schwarzschild 外区，以 Regge–Wheeler 方程的 WKB 解表达透射/反射相位；高频/高 $l$ 下相位差等于几何作用差，${\partial }_{\omega }$ 得 Shapiro 延迟；长程相位用 tortoise 坐标与参考相位重整化处理（附录 D）。

4.5 命题 3.6

相对熵单调性给出模哈密顿与能动张量的线性关系；QNEC 把广义熵二阶形变下界与 $T_{kk}$ 关联，结合 Raychaudhuri 方程与极值条件在每个零方向推出张量形式；$\Lambda$ 为积分常数（附录 F）。

5 Model Apply

5.1 Schwarzschild 外区：${\partial }_{\omega }\Phi$ 与 Shapiro 延迟

从 Regge–Wheeler 方程出发，构造 eikonal 解与相位重整化 ${\Phi }_{\mathrm{ren}}$，数值/渐近比较显示 ${\partial }_{\omega }{\Phi }_{\mathrm{ren}}(\omega )$ 与几何 $\Delta T_{\mathrm{Shapiro}}$ 一致（偏差 $O({\omega }^{-1})$）。提供从波方程→S 矩阵→相位导数→几何时延的端到端链条。

5.2 透镜：${\partial }_{\omega }({\Phi }_i-{\Phi }_j)=\Delta t_{ij}$

Kirchhoff 积分放大因子 $F(\omega )$ 的相位对 $\omega$ 的导数给出费马到达时延；在薄透镜极限以点质量/SIS 模型得到多像间时延的频域—时域统一拟合。

5.3 一维可解势与负延迟

选取含反谐振的可解势，展示 $\mathrm{Tr}Q(\omega )$ 的局域负值与总和则；以 $\Delta$ 为变量验证窗口化时钟的弱单调临界宽度。参考 Winful 对 Hartman/异常延迟的综述与电磁/声学推广。

6 Engineering Proposals

1. 多频 Shapiro—群延迟并行反演：在行星掩日几何中测相位 $\Phi (\omega )$，计算 ${\partial }_{\omega }\Phi$ 与日冕等离子体色散并行去卷积，结合氢钟与稳定链路给出绝对相位基准。
2. 片上 Wigner–Smith 断层计量：多端口 S 参数计量中构造 $Q=-i{S}^{†}{\partial }_{\omega }S$，利用迹不变性进行器件容差反演与群延迟成像。
3. 波动透镜宽带时延谱：用 ${\partial }_{\omega }\Phi$ 拟合多像到达时延与色散，降低时延宇宙学系统误差。

7 Discussion（risks, boundaries, past work）

• 定义域与正则性：刻度同一式在弹性—酉与短程类下最清晰；阈值/共振处需 BV/分布理解；长程势需重整化。
• 负延迟与窗口化：群延迟可局域为负；Poisson–窗口化提供弱单调时钟。该构造的充分条件与最小窗口宽度依赖共振谱。
• 非酉推广：在吸收/开放体系中，$\Re \mathrm{Tr}{Q}_{\mathrm{gen}}$ 给出可测的“实延迟“，$\Im \mathrm{Tr}{Q}_{\mathrm{gen}}$ 则度量吸收；与 dwell time/能量储存存在定量关系。
• 几何端：eikonal–几何光学连接在静态/弱场最直接；强场与旋转需更精细的相干传输与数值射线追迹。
• 信息—全息：本文避免把 QFC 当作定理，仅在 QNEC 与相对熵单调性下给出条件化命题。

8 Conclusion

在严格散射定义域内，本文把时间刻度定义为谱—散射不变量的单调重参，核心对象是

$$\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }\equiv {\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )\equiv \frac{1}{2\pi }\mathrm{Tr}Q(\omega ).$$

我们明确了其定义域（弹性—酉、短程、远离阈值/共振的能窗）与推广（非酉/吸收、长程势的相位重整化），提出Poisson–窗口化时钟并证明弱单调与仿射唯一性，给出 Schwarzschild 外区的eikonal 相位—Shapiro 延迟端到端模型化证明，并将宇宙学红移写成相位节奏比。在信息—全息端，以 QNEC/相对熵单调性为基础陈述“熵极值→几何方程“的条件化命题。由此形成一张从谱—散射到因果—熵的统一时间几何。

Acknowledgements, Code Availability

感谢公开教材与论文；相位重整化与 Schwarzschild eikonal 数值脚本、窗口化时钟演示与一维势的群延迟曲线拟合代码可按需提供。

References

Wigner (1955), Phys. Rev. 98 145（因果下界与相位导数）；Smith (1960), Phys. Rev. 118 349（群延迟矩阵）；Birman–Kreĭn 与谱移函数综述（Behrndt–Malamud–Neidhardt 2008）；Yafaev（讲义与专著；谱移与长程）；Borthwick（散射行列式/ Birman–Kreĭn 现代阐述）；Winful（2006, Phys. Rep.，异常延迟与 Hartman 效应）；Grabsch 等（2018，非理想/带吸收腔体的时间延迟矩阵）；Accettulli Huber 等（2020, PRD，eikonal 相位、偏折角与延迟）；Takahashi（2004, A&A；波动透镜）；Carroll（GR 讲义）；Bondi–Sachs 综述；Tolman–Ehrenfest（1930）；Hogg（宇宙学距离/红移）；Faulkner–Leigh–Parrikar–Wang（2016, ANEC）；Balakrishnan–Faulkner–Khandker–Wang（2019, QNEC）；Jacobson（1995, “方程态”）。

附录 A：刻度同一式的严格定义域（弹性—酉，短程）

A.1 SSF 与 Birman–Kreĭn 在 $H-H_0\in {\mathfrak{S}}_1$ 或 resolvent 差为迹类时，谱移函数 $\xi$ 存在并满足迹公式与

$$\det S(\omega )=e^{-2\pi i\xi (\omega )}.$$

选择满足 $\arg \det S(\omega )\to 0$（$|\Im \omega |\to \infty$）的连续分支，得 $\Phi (\omega )=-2\pi \xi (\omega )\mathrm{mod}2\pi$。对 $\omega$ 的 a.e. 导数给出

$$\frac{1}{2\pi }{\Phi }^{\prime }(\omega )={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega ),{\rho }_{\mathrm{rel}}=-{\xi }^{\prime }.$$

阈值/共振点 $\Sigma$ 处以 BV/分布理解；Levinson/Friedel 积分控制 $\int {\rho }_{\mathrm{rel}}$ 与束缚态计数。

A.2 迹恒等式与 $Q$ 的可追踪性 在有限通道或 $S(\omega )-1$ 迹类条件下，

$$\mathrm{Tr}Q(\omega )={\partial }_{\omega }\mathrm{Tr}\log S(\omega )={\partial }_{\omega }\Phi (\omega ).$$

由此与 A.1 合并得弹性—酉定义域的刻度同一式。

A.3 长程势 对库仑/引力 $1/r$ 势，采用 Dollard/Isozaki–Kitada 改造的波算子，定义重整化相位 ${\Phi }_{\mathrm{ren}}$（剔除对数项与远场修正），同一式在 ${\Phi }_{\mathrm{ren}}$ 下成立（参见 Gâtel–Yafaev 与相关长程散射文献）。

附录 B：窗口化时钟与弱单调定理

B.1 Poisson 平滑的正性包络 $\log \det S(z)$ 在 $\Im z>0$ 为 Herglotz 函数，边界虚部为 $-2\pi {\xi }^{\prime }$。Poisson 积分

$$u_{\Delta }(\omega )={\int }_{\mathbb{R}}{P}_{\Delta }(\omega -\lambda )(-2\pi {\xi }^{\prime }(\lambda ))d\lambda$$

是调和正则化；若 $S$ 在上半平面无极点，则 $u_{\Delta }$ 为非负函数的主值极限。取 ${\Theta }_{\Delta }=\frac{1}{2\pi }(u_{\Delta })$ 得 ${\Theta }_{\Delta }\ge 0$；当 $\Delta$ 大于最小共振宽度时，${\Theta }_{\Delta }>0$ a.e.，从而 $t_{\Delta }$ 严格递增。

B.2 仿射唯一性 若 $t_{\Delta }$ 由另一核 $P_{\Delta }$（同阶宽度）生成且满足归一化 $\int P_{\Delta }=1$，则 $dt$ 与 $dt$ 仅差常数倍，积分得 $\tilde{t}=at+b$。窗口族改变导致 $a$ 的微调，但不改变时间箭头与仿射类。

B.3 反例与临界窗口 参考一维可解势的 $\mathrm{Tr}Q(\omega )$ 曲线：存在显著负瓣；当 $\Delta$ 低于共振间距时，${\Theta }_{\Delta }$ 可在窄区不正；数值表明 $\Delta \gtrsim {\Gamma }_{\min }$ 后恢复 a.e. 正性（§5.3）。

附录 C：非酉/吸收体系的广义延迟

C.1 $Q_{\mathrm{gen}}$ 与 $\log \det S$ 对可逆 $S$，${\partial }_{\omega }\log \det S=\mathrm{Tr}(S^{-1}{\partial }_{\omega }S)=i\mathrm{Tr}{Q}_{\mathrm{gen}}$。取实部得

$${\partial }_{\omega }\arg \det S=\Re \mathrm{Tr}{Q}_{\mathrm{gen}}.$$

小吸收展开：设 $S^{†}S=1-ϵR$，则

$$\mathrm{Tr}{Q}_{\mathrm{gen}}=\mathrm{Tr}Q+O(ϵ),ϵ\ll 1.$$

C.2 dwell time 与能量储存 在电磁/声学设置中，$\mathrm{Tr}Q$ 与腔内能量储存的体积分相关；非酉时需补偿泄漏通道的通量平衡。

附录 D：Schwarzschild 外区的 eikonal 相位与 Shapiro 延迟

D.1 波方程与相位重整化 标量波满足 Regge–Wheeler 方程；用 tortoise 坐标 $r^{\ast }$ 与 WKB 近似构造透射/反射相位 ${\Phi }_l(\omega )$。长程项导致对数相位；定义

$${\Phi }_{\mathrm{ren}}(\omega )=\Phi (\omega )-{\Phi }_{\mathrm{Coulomb}}(\omega ),$$

并以 $M\to 0$ 的参考解归一化。

D.2 作用差＝时延 几何光学下 eikonal 相位差 $\Delta \varphi$ 等于作用差；${\partial }_{\omega }$ 得到到达时间差 $\Delta T$。对 Schwarzschild 光线的 Shapiro 延迟

$$\Delta T\simeq \frac{4GM}{c^3}\ln \frac{4r_E{r}_R}{b^2}+\cdots$$

与 ${\partial }_{\omega }{\Phi }_{\mathrm{ren}}$ 高精度一致（数值与渐近在§5.1 展示）。

附录 E：几何与边界时间的标准桥

E.1 静态时空与 Tolman–Ehrenfest $d{s}^2=-V(\mathbf{x})c^{2}d{t}^2+\cdots$ 中静止观察者满足 $d\tau =\sqrt{V}dt$；热平衡给出 $T\sqrt{V}=\mathrm{const}$。

E.2 ADM lapse $d{s}^2=-N^{2}d{t}^2+h_{ij}(d{x}^i+N^{i}dt)(d{x}^j+N^{j}dt)$；随切片正交的 Euler 族满足 $d\tau =Ndt$。

E.3 Bondi–Sachs 迟滞时间 渐近平坦外区用 $u=t-r^{\ast }$ 规范出射零面，提供远场相位读数的自然“边界时间“。

E.4 FRW 红移的相位表述 $\nu \propto -k\cdot u=(2\pi {)}^{-1}d\varphi /dt\propto a(t{)}^{-1}$，从而 $1+z=a_0/a_e$。

附录 F：熵极值与几何方程（条件化）

F.1 形变模哈密顿与 ANEC/QNEC 半空间模哈密顿在一阶形变下局域为 $\int T_{kk}$；由相对熵单调性可证 ANEC；QNEC 在一般 QFT 中成立。

F.2 小因果菱形与 Raychaudhuri 二阶面积形变给出 $\int R_{kk}$；与 QNEC 下的 $S_{\mathrm{out}}^{\prime \prime }\ge (2\pi /\hslash )\int ⟨T_{kk}⟩$ 联立，配合极值条件 $S_{\mathrm{gen}}^{\prime }(0)=0$ 推得 $R_{kk}=8\pi G⟨T_{kk}⟩$；在各 $k$ 上成立则升格为张量方程；$\Lambda$ 为积分常数。

F.3 适用域 命题依赖：Hadamard 态、弱曲率、小形变、局域可积正则项。QFC 若成立可弱化技术假设，但本文不将其作为必要条件。

附录 G：等价类“时间“的范畴式定义

G.1 对象与态射 定义范畴 $\mathsf{Time}$ 的对象为四元 $\mathcal{T}=(I,S,\mu ,⪯)$：

• $I$ 为能窗/参数域；
• $S(\omega )$ 为满足相应定义域假设的散射矩阵族；
• $\mu (\omega )$ 为时间刻度密度（如 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$、$\frac{1}{2\pi }\mathrm{Tr}Q$、${\Theta }_{\Delta }$）；
• $⪯$ 为因果序（几何/边界时间函数所诱导）。

态射为单调重标 $f:I\to I^{\prime }$ 使 ${\mu }^{\prime }({\omega }^{\prime })d{\omega }^{\prime }=\mu (\omega )d\omega$ 且保持 $⪯$ 的方向。等价关系定义为存在仿射态射 $f(\omega )=a\omega +b$ 或对应的时间仿射 $t^{\prime }=at+b$，并在窗口族上满足同阶宽度条件（§3.2）。

G.2 存在—唯一（弱）定理 在 §2.1–2.4 的定义域内，$\mathcal{T}$ 存在；若以 Poisson–窗口化密度 ${\Theta }_{\Delta }$ 取刻度，则时间函数在仿射意义下唯一（定理 3.3）。几何与信息端的时间函数通过自然变换（eikonal 相位/模流参数）与 $\mathsf{Time}$ 对齐，形成统一刻度。

图示（统一刻度）

$$\boxed{\begin{array}{c}\text{Spectrum/Scattering: }\frac{{\phi }^{\prime }}{\pi }\equiv {\rho }_{\mathrm{rel}}\equiv \frac{1}{2\pi }\mathrm{Tr}Q\underset{\text{Poisson}}{\overset{\Delta }{\to }}{\Theta }_{\Delta }\stackrel{\int d\omega }{\to }{t}_{\Delta }\\ \Downarrow (\text{eikonal})\Downarrow (\text{FRW})\\ \Delta T_{\mathrm{Shapiro}}={\partial }_{\omega }{\Phi }_{\mathrm{ren}}1+z=\frac{(d\varphi /dt{)}_e}{(d\varphi /dt{)}_0}\\ \Downarrow (\text{QNEC \& }{S}_{\mathrm{gen}})\\ R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi G⟨T_{\mu \nu }⟩(\text{条件化})\end{array}}$$

— 完 —