统一时间刻度与时间几何：因果排序、幺正演化与广义熵

Abstract

提出一条将相对论、量子散射与信息–全息三端严格粘合的“统一时间刻度等价类“。核心刻度同一式把散射总相位之导数、相对态密度与 Wigner–Smith 群延迟的迹统一为同一对象的不同投影：

$$\boxed{\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(\omega )},Q(\omega )=-iS(\omega {)}^{†}{\partial }_{\omega }S(\omega ),\phi =\frac{1}{2}\arg \det S.$$

在几何端，Killing 时间、ADM lapse、零测地仿射参数及 FRW 共形时间被证明可在统一等价类内相互重标；在信息–全息端，以 Tomita–Takesaki 模块流为“内在时间“，以 QFC/QNEC 与相对熵单调性控制小因果菱形上的广义熵极值，从而在半经典–全息窗口导出爱因斯坦方程。该框架得到三组对齐：（i）相位—本征时间等价 $\varphi =(m{c}^2/\hslash )\int d\tau$；（ii）引力时间延迟＝群延迟迹 $\Delta T={\partial }_{\omega }\Phi =\mathrm{Tr}Q$；（iii）FRW 红移＝相位节奏比 $1+z=a(t_0)/a(t_e)=[(d\varphi /dt{)}_e]/[(d\varphi /dt{)}_0]$。本文在因果排序–幺正演化–熵的单调/极值三公理下，建立统一时间刻度的存在性与仿射唯一性，并给出面向实验和工程计量的实现方案。

Keywords：时间几何；统一时间刻度；Wigner–Smith 群延迟；谱移函数；Killing/ADM/null/共形/模块时间；广义熵；QFC/QNEC MSC 2020：83C45, 81U40, 81T20, 83C57

1 Introduction & Historical Context

时间在不同理论中的角色分裂：广义相对论以本征时间刻度化因果结构，量子理论以外参生成幺正演化，信息–全息把模块流视作内在“热时间“。然而三端读数彼此“对表“时，仍缺少一条严密且可计量的共同刻度。Wigner 与 Smith 在散射理论中引入相位对能量之导数定义时间延迟，Wigner–Smith 群延迟矩阵 $Q=-i{S}^{†}{\partial }_{\omega }S$ 的迹等于总相位 $\Phi =\arg \det S$ 的导数，使“时间＝相位梯度“的思想首次落地于实验可读的标尺。以谱移函数刻画相互作用引起的态密度变化之 Birman–Kreĭn 公式则把散射行列式的相位与谱几何紧密相连，从而导出“相位导数＝相对态密度“。

相对论侧，静态时空中红移/钟速由 $g_{tt}$ 或 Tolman–Ehrenfest 定律给出；ADM $(3+1)$ 分解中的 lapse $N$ 刻画坐标时间与本征时间的比值；渐近平坦外区的 tortoise 坐标与 $(u,v)$ 提供无穷远处自然的 null 时间；FRW 宇宙学中 $1+z=a(t_0)/a(t_e)$ 以共形时间直线化零测地。

信息–全息侧，Tomita–Takesaki 模块理论赋予任意（态,代数）对一族内在一参数自同构（模块流）；Connes–Rovelli 热时间假说把该模块流视为物理时间候选；相对熵单调性、QFC 与 QNEC 则把广义熵的变化与应力张量约束在一起，并在小因果菱形极限连通到场方程与重建。

上述历史线索提示：把“相位–群延迟–谱移“与“钟速–红移–仿射/共形时间“及“模块时间–广义熵“统一到单一刻度，有望得到一条跨尺度的时间–几何框架。

2 Model & Assumptions

(A) 因果与全局结构 令 $(M,g)$ 为 stably causal 的洛伦兹流形；在全局双曲条件下存在光滑时间函数与光滑分解 $M\cong \mathbb{R}\times \Sigma$。

(B) 散射与谱移 在绝对连续谱能窗 $I\subset \mathbb{R}$ 上，散射矩阵 $S(\omega )$ 酉且光滑；定义总相位 $\Phi =\arg \det S$，群延迟 $Q=-i{S}^{†}{\partial }_{\omega }S$。存在谱移函数 $\xi (\omega )$ 与相对态密度 ${\rho }_{\mathrm{rel}}=-{\xi }^{\prime }$；Birman–Kreĭn 公式 $\det S(\omega )=\exp [-2\pi i\xi (\omega )]$ 成立。

(C) 统一刻度同一式（核心假设）

$$\boxed{\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(\omega )},\phi =\frac{1}{2}\Phi .$$

(D) 边界熵与模块流 取穿过点 $p$ 的小因果菱形 $D_{p,r}$，零生成元仿射参数 $\lambda$；广义熵

$$S_{\mathrm{gen}}(\lambda )=\frac{\mathrm{Area}({\Sigma }_{\lambda })}{4G\hslash }+S_{\mathrm{out}}(\lambda )$$

满足 QFC/QNEC 类型不等式与相对熵单调性；模块哈密顿量 $K=-\ln \rho$ 生成模块流 ${\sigma }_s$。

(E) 幺正演化 态空间 $\mathcal{H}$ 上存在强连续幺正群 $U(t)=e^{-iHt}$；半经典世界线极限可把 $t$ 与 $\tau$ 以相位密度联系（见第 4.1）。

3 Unified Time Scale：定义与三公理

3.1 统一时间刻度等价类

定义 3.1（统一时间刻度） 存在等价类

$$[T]\sim \{\tau ,t,t_{\mathrm{K}},(N,N^i),{\lambda }_{\mathrm{null}},u,v,\eta ,{\omega }^{-1},z,s_{\mathrm{mod}}\},$$

其成员通过单调重标与几何/熵结构互相可换，使动力学局域、因果有序、熵结构最简。

3.2 三条公理

公理 I（因果排序）：在局域双曲域内存在严格递增的时间函数，使基本方程为局域（双曲/一阶）形式。

公理 II（幺正演化）：存在强连续幺正群 $U(t)$；半经典极限中相位—时间关系由拉格朗日驻相确定（第 4.1）。

公理 III（熵的单调/极值）：沿零割面族 $\{{\Sigma }_{\lambda }\}$，$S_{\mathrm{gen}}$ 满足相对熵单调与 QFC/QNEC 的单调/凸性并在物理演化下取极值；模块流参数 $s$ 使 $S_{\mathrm{gen}}$ 的组织律最简。

定理 3.2（半经典–全息窗口的互相蕴含） 在小因果菱形极限与相对熵单调性/QNEC 成立时：

$$\text{公理 I}+\text{公理 II}⟺\text{刻度同一式}⟹\text{公理 III}⟹\text{爱因斯坦方程}.$$

证明见第 5 节与附录 D/E。

4 Main Results（Theorems and Alignments）

4.1 相位—本征时间的等价

定理 4.1（世界线主相位） 对质量 $m$ 的窄波包，半经典极限下

$$\varphi =-\frac{1}{\hslash }S[{\gamma }_{\mathrm{cl}}]=\frac{m{c}^2}{\hslash }{\int }_{{\gamma }_{\mathrm{cl}}}d\tau ,\frac{d\varphi }{d\tau }=\frac{m{c}^2}{\hslash }.$$

（证明：世界线路径积分驻相；见附录 B。）

4.2 引力时间延迟＝群延迟迹

定理 4.2（eikonal–散射对齐） 在静态或渐近平坦背景的几何光学极限下，

$$\Delta T(\omega )={\partial }_{\omega }\Phi (\omega )=\mathrm{Tr}Q(\omega ).$$

弱场极限回到 Shapiro 延迟。

4.3 红移＝相位节奏比

命题 4.3（FRW 相位表述） 平直 FRW 度规下共动观测者测得

$$1+z=\frac{{\nu }_e}{{\nu }_0}=\frac{{\frac{d\varphi }{dt}|}_e}{{\frac{d\varphi }{dt}|}_0}=\frac{a(t_0)}{a(t_e)}.$$

（见附录 C。）

4.4 GR 时间结构的四条“桥“

桥 B（Killing 时间–钟速–红移） 静态度规 $d{s}^2=-V(\mathbf{x})c^{2}d{t}^2+\cdots$ 中静止观察者 $d\tau =\sqrt{V}dt$，$\sqrt{V}$ 即局域红移/钟速因子（Tolman–Ehrenfest）。

桥 C（ADM lapse–局域钟速） ADM 分解 $d{s}^2=-N^{2}d{t}^2+h_{ij}(d{x}^i+N^{i}dt)(d{x}^j+N^{j}dt)$；与切片正交的 Euler 族满足 $d\tau =Ndt$。

桥 D（null 仿射参数–retarded/advanced/共形时间） 渐近平坦外区定义 tortoise $r^{\ast }$ 与 $u=t-r^{\ast },v=t+r^{\ast }$，其与零测地仿射参数单调等价；FRW 中 $d\eta =dt/a(t)$ 直线化零测地。

桥 E（模块时间–熵梯度–几何方程） 模块流 ${\sigma }_s$ 的参数 $s$ 提供信息论时间；相对熵单调性与 QNEC/QFC 把 ${\partial }_s{S}_{\mathrm{gen}}$ 的极值/单调与 $⟨T_{kk}⟩$ 绑定。

4.5 熵几何形式的爱因斯坦方程

定理 4.4（熵–几何） 在公理 III 与 Raychaudhuri 方程下，于小因果菱形上有

$$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi G⟨T_{\mu \nu }⟩.$$

（证明：面积二阶变分与 QNEC/相对熵合并，见附录 D；参见 Jacobson 与后续全息论证。）

4.6 统一刻度同一式（谱–散射–几何）

推论 4.5

$$\boxed{\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(\omega )},$$

由 Birman–Kreĭn 与 $\mathrm{Tr}Q={\partial }_{\omega }\Phi$ 联立而得（附录 A）。

5 Proofs（要点）

5.1 定理 4.1：沿类时测地线的世界线作用量驻相，涨落仅改变量子前因子，主相位给出 $\varphi =(m{c}^2/\hslash )\int d\tau$（附录 B）。 5.2 定理 4.2：eikonal 相位差 $\Delta S\simeq -\hslash \omega \Delta T$ 与散射 ${\partial }_{\omega }\Phi =\mathrm{Tr}Q$ 对齐，得 $\Delta T=\mathrm{Tr}Q$；弱场检验回到 Shapiro 延迟。 5.3 命题 4.3：零测地与尺度因子给出 $\nu \propto 1/a(t)$，红移为相位节奏比（附录 C）。 5.4 桥 B–E：静态钟速、ADM lapse、null 坐标与模块流各自的标准结论与文献完全一致（附录 E）。 5.5 定理 4.4：Raychaudhuri 的面积二阶变分 $\propto -\int R_{kk}$ 与 QNEC $S_{\mathrm{out}}^{\prime \prime }\ge (2\pi /\hslash )\int ⟨T_{kk}⟩$ 合并，极值条件 $S_{\mathrm{gen}}^{\prime }(0)=0$ 推出张量方程（附录 D）；QFC 提供更强单调性背景。

6 Model Apply

A. 太阳系几何延迟的频域重建 对多频雷达回波相位 $\Phi (\omega )$ 求导得 $\Delta T(\omega )={\partial }_{\omega }\Phi =\mathrm{Tr}Q$，与 Shapiro 延迟比对，可并行剥离等离子体色散项。

B. 引力透镜的相位–群延迟统一 像对 $(i,j)$ 的费马势差 $\Delta t_{ij}$ 等于 ${\partial }_{\omega }[{\Phi }_i-{\Phi }_j]$；宽带电磁/引力波联合用于 Hubble 常数与质量模型的系统误差抑制。

C. 宇宙学“相位标尺“ 以脉冲星/FRB 的相位节奏比直接估计 $a(t)$，避开特定谱线系统学；“相位–红移“对表由命题 4.3 保障。

D. 有效“时间折射率“层析 由 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )$ 或 $\mathrm{tr}Q(\omega )$ 的空间分布反演 $n_t=(-g_{tt}{)}^{-1/2}$，与光学度规–费马原理配合做弱场时延成像。

7 Engineering Proposals

1. 片上群延迟断层计量：集成光子学测 $S(\omega )$ 并实时计算 $\mathrm{Tr}Q(\omega )$，生成等效“引力时延“映射用于器件反演与鲁棒设计。
2. 双高度物质波基准：COW 几何布置对比 $\Delta \varphi$ 与 $\Delta \tau$，检验 $\Delta \varphi =(m{c}^2/\hslash )\Delta \tau$ 的线性区。
3. 宽带透镜群延迟谱：以 ${\partial }_{\omega }\Phi$ 同步拟合各像到达时延与色散，降低时延宇宙学系统误差。
4. “熵光锥“平台：可控量子体系上测 $S_{\mathrm{out}}$ 的二阶形变与能流，检验 QNEC/QFC 系数与饱和条件。

8 Discussion（risks, boundaries, past work）

（i）谱端点与正则性：刻度同一式要求 $S(\omega )$ 可微且属适当行列式类；共振与阈值附近需轮廓位移与迹类正则化。 （ii）几何光学与强场：强自旋/非静态背景需推广光学度规与相干传输；近视界区域宜改用 null 坐标与数值光线追迹。 （iii）熵–几何假设域：QNEC 已有一般 QFT 证明与全息证明并不断加强（含最新证明新途径），但在曲率高、强量子引力区仍在推进。 （iv）GR 时间结构一致化：Killing/ADM/null/共形/模块时间是统一刻度在不同投影上的坐标化；Bernal–Sánchez 的全局时间函数与 ADM 叶分解提供严谨基础。

9 Conclusion

在因果排序–幺正演化–熵的单调/极值三公理下，得到统一时间刻度等价类，使微观（相位/散射）、介观（群延迟/红移）与宏观（熵–几何）三端语言对齐。核心结论：

$$\varphi =\frac{m{c}^2}{\hslash }\int d\tau ,\Delta T(\omega )={\partial }_{\omega }\Phi (\omega )=\mathrm{Tr}Q(\omega ),1+z=\frac{(d\varphi /dt{)}_e}{(d\varphi /dt{)}_0},G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi G⟨T_{\mu \nu }⟩,$$

以及谱–散射–几何刻度同一式 ${\phi }^{\prime }/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}Q$。时间因而可被刻画为：使动力学局域、因果清晰、熵结构最简的一维参数的等价类；其不同“名字“仅是同一对象在不同投影下的坐标。

Acknowledgements, Code Availability

感谢相关教材与文献。用于群延迟–时延重建与 FRW 相位节奏演示的符号推导与数值脚本可按需提供。

References

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6. I. I. Shapiro, “Fourth Test of General Relativity,” Phys. Rev. Lett. 13 (1964) 789; see also updates (1971).
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9. A. Connes and C. Rovelli, “Von Neumann Algebra Automorphisms and Time–Thermodynamics Relation in General Covariant Quantum Theories,” Class. Quant. Grav. 11 (1994) 2899.
10. R. Bousso, Z. Fisher, S. Leichenauer, A. C. Wall, “Quantum Focusing Conjecture,” Phys. Rev. D 93 (2016) 064044.
11. R. Bousso, Z. Fisher, J. Koeller, S. Leichenauer, A. C. Wall, “Proof of the Quantum Null Energy Condition,” Phys. Rev. D 93 (2016) 024017.
12. S. Balakrishnan, T. Faulkner, Z. U. Khandker, H. Wang, “A General Proof of the QNEC,” JHEP 09 (2019) 020.
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14. N. Engelhardt, A. C. Wall, “Quantum Extremal Surfaces,” JHEP 01 (2015) 073.
15. T. Jacobson, “Thermodynamics of Spacetime: The Einstein Equation of State,” Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 1260.
16. T. Faulkner, R. G. Leigh, O. Parrikar, H. Wang, “Modular Hamiltonians for Deformed Half-Spaces and the ANEC,” JHEP 09 (2016) 038.
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18. V. Perlick, Ray Optics, Fermat’s Principle, and Applications to GR, Springer (2000).
19. Scholarpedia, “Bondi–Sachs Formalism” (for retarded time $u$ and advanced time $v$).

Appendices

附录 A：Wigner–Smith 群延迟与谱–散射–几何同一式

A.1 Birman–Kreĭn 与谱移 对迹类/准迹类扰动的自伴对 $(H,H_0)$，谱移函数 $\xi (\omega )$ 满足

$$\det S(\omega )=e^{-2\pi i\xi (\omega )}\Rightarrow \frac{1}{2\pi }{\partial }_{\omega }\Phi (\omega )=-{\xi }^{\prime }(\omega )={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega ).$$

（参见文献 3。）

A.2 迹恒等式 由 $Q(\omega )=-i{S}^{†}{\partial }_{\omega }S$ 与 $\mathrm{Tr}\ln S=\ln \det S$ 得

$$\mathrm{Tr}Q(\omega )={\partial }_{\omega }\Phi (\omega ).$$

合并 A.1 得刻度同一式：

$$\boxed{\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(\omega )}.$$

附录 B：世界线路径积分下“相位–本征时间“

沿类时测地线 ${\gamma }_{\mathrm{cl}}$ 的 Fermi 正交坐标展开

$$S[\gamma ]=-m{c}^2\int d\tau +\frac{m}{2}\int d\tau {\delta }_{ij}{\dot{y}}^i{\dot{y}}^j+\cdots .$$

驻相给

$$\varphi =-\frac{1}{\hslash }S[{\gamma }_{\mathrm{cl}}]=\frac{m{c}^2}{\hslash }\int d\tau ,\frac{d\varphi }{d\tau }=\frac{m{c}^2}{\hslash }.$$

附录 C：FRW 宇宙学中红移的相位表述

平直 FRW：$d{s}^2=-d{t}^2+a(t{)}^{2}d{\mathbf{x}}^2$。共动观测者 $u^{\mu }=(1,0,0,0)$，光子 eikonal 相位 $\varphi$ 有 $k_{\mu }={\partial }_{\mu }\varphi$ 与

$$\nu =-\frac{1}{2\pi }{k}_{\mu }{u}^{\mu }=\frac{1}{2\pi }\frac{d\varphi }{dt}\propto \frac{1}{a(t)}\Rightarrow 1+z=\frac{(d\varphi /dt{)}_e}{(d\varphi /dt{)}_0}=\frac{a(t_0)}{a(t_e)}.$$

（参考 7。）

附录 D：广义熵极值/单调与场方程

令 $\{{\Sigma }_{\lambda }\}$ 穿过 $p$ 的零割面族。Raychaudhuri：$\dot{\theta }=-\frac{1}{2}{\theta }^2-{\sigma }^2-R_{kk}$。面积二阶变分 ${d^{2}A/d{\lambda }^2|}_0\propto -\int R_{kk}dA$。 QNEC 与相对熵单调性：${d^2{S}_{\mathrm{out}}/d{\lambda }^2|}_0\ge \frac{2\pi }{\hslash }\int ⟨T_{kk}⟩dA$。 极值 $S_{\mathrm{gen}}^{\prime }(0)=0$ 合并给 $R_{kk}=8\pi G⟨T_{kk}⟩$，对任意 $k^{\mu }$ 成立，升格为张量方程并给出 $\Lambda$ 作为积分常数。

附录 E：GR 时间桥的细化

E.1 静态时空（Killing）：${\xi }^{\mu }$ 为时间样 Killing 向量，静止观察者 $u^{\mu }={\xi }^{\mu }/\sqrt{-{\xi }^2}$，若 $g_{tt}=-V$ 则 $d\tau =\sqrt{V}dt$。（Tolman–Ehrenfest 温度红移定律同型。）

E.2 ADM lapse：$d{s}^2=-N^{2}d{t}^2+h_{ij}(d{x}^i+N^{i}dt)(d{x}^j+N^{j}dt)$；切片正交族满足 $d{x}^i+N^{i}dt=0\Rightarrow d\tau =Ndt$。

E.3 Null 坐标：Schwarzschild 外区 $r^{\ast }=r+2M\ln |r/2M-1|$，$u=t-r^{\ast }$, $v=t+r^{\ast }$；FRW 中 $d\eta =dt/a(t)$。

E.4 模块时间：给定（代数,态）对 $(\mathcal{A},\omega )$ 的 GNS 表象，模块流 ${\sigma }_s$ 内在地定义时间；在半空间与小形变下，$K$ 局域到 $\int T_{kk}$，与 ANEC/QNEC、JLMS/相对熵同构。

附录 F：Shapiro 延迟与群延迟

弱场 Schwarzschild 外区

$$\Delta t\simeq \frac{4GM}{c^3}\ln \frac{4r_E{r}_R}{b^2}+\cdots ,$$

与频域测得的 ${\partial }_{\omega }\Phi =\mathrm{Tr}Q$ 一致；多频回波拟合可分离色散与几何项。

附录 G：统一时间刻度的存在与唯一性

设给定散射数据 $(S(\omega ))$ 满足刻度同一式。定义

$$t-t_0={\int }_{{\omega }_0}^{\omega }\frac{1}{2\pi }\mathrm{Tr}Q(\omega )d\omega ={\int }_{{\omega }_0}^{\omega }\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }d\omega ={\int }_{{\omega }_0}^{\omega }{\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )d\omega .$$

在不退化频窗内导数为正，$t(\omega )$ 为局部双射；若另有 $t$ 满足同一条件，则 $t=at+b$（$a>0$），给出仿射唯一性。

统一图（概要）

$$\boxed{\begin{array}{c}[T]\sim \{\tau ,t_{\mathrm{K}},N,\lambda ,u,v,\eta ,{\omega }^{-1},z,s_{\mathrm{mod}}\}\\ \Downarrow \\ \varphi ,\Phi (\omega )⟺\mathrm{Tr}Q(\omega ),{\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )\\ ⟺1+z(\text{相位节奏比})⟺{\partial }_s{S}_{\mathrm{gen}}(\text{极值/单调})\\ ⟺G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi G⟨T_{\mu \nu }⟩.\end{array}}$$

（完）