自指散射与费米子的诞生：Riccati 平方根、旋量双覆盖与 ${\mathbb{Z}}_2$ 交换相位

Version: 2.29

英文标题建议：Self-referential scattering and the birth of fermions: Riccati square roots, spinor double cover, and a ${\mathbb{Z}}_2$ exchange phase

关键词建议：scattering phase square-root cover; ${\mathbb{Z}}_2$ holonomy; spectral shift; boundary triples; Pfaffian invariant; Aharonov–Bohm scattering; Birman–Kreĭn formula

摘要

在去除鉴别子后的参数空间 $X^{\circ }\subset X$ 上，考虑定能散射的相位指数映射 $\mathfrak{s}:X^{\circ }\to U(1)$。沿平方覆盖 $p:U(1)\to U(1)$, $p(z)=z^2$ 的拉回

$$P_{\sqrt{\mathfrak{s}}}={\mathfrak{s}}^{\ast }(p)=\{(x,\sigma )\in X^{\circ }\times U(1):{\sigma }^2=\mathfrak{s}(x)\}\to X^{\circ }$$

定义平方根覆盖。一般多通道或非迹类情形取

$$\mathfrak{s}(E,\lambda ):=e^{-2\pi i{\xi }_p(E,\lambda )}\in U(1),$$

其中 ${\xi }_p$ 由（修正）Fredholm 行列式定义的谱位移。单通道且散射矩阵 $S(E,\lambda )-1\in {\mathfrak{S}}_1$ 时，$\mathfrak{s}=\det S$，并有

$$\alpha =\frac{1}{2i}{\mathfrak{s}}^{-1}d\mathfrak{s},{\nu }_{\sqrt{S}}(\gamma )=\exp \left(i{\oint }_{\gamma }\alpha \right)=\exp (-i\pi {\oint }_{\gamma }d{\xi }_p).$$

$\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }{\mathfrak{s}}^{-1}d\mathfrak{s}\in \mathbb{Z}$。其奇偶 $(-1{)}^{\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })}$ 为天然的 ${\mathbb{Z}}_2$ 不变量（闭路取向改变仅翻号而不改奇偶）。平方根存在性由映射层的覆盖提升条件 $[\mathfrak{s}]\in 2H^1(X^{\circ };\mathbb{Z})$ 刻画；${\nu }_{\sqrt{S}}$ 为主 ${\mathbb{Z}}_2$‑丛 ${\mathfrak{s}}^{\ast }(p)$ 的 holonomy（’$\sqrt{S}$’指 $\mathfrak{s}$ 的平方根覆盖）。该条件与线丛平方根 $c_1(\mathcal{L})\in 2H^2$ 属不同层级，一般不互推。谱理论方面：在短程与假设 A 下，（迹类） 若 $S-1\in {\mathfrak{S}}_1$，由 Birman–Kreĭn 得

$$\mathrm{Sf}(\gamma )=\frac{1}{2\pi i}\oint {\mathfrak{s}}^{-1}d\mathfrak{s}=-\oint d\xi ;$$

（一般 Schatten） 仅主张其模 2：

$${\nu }_{\sqrt{S}}(\gamma )=\exp (-i\pi \oint d{\xi }_p),$$

而不宣称 $-\oint d{\xi }_p$ 等于整数谱流。

功能分析方面，在边界三元组与 Nevanlinna–Möbius 结构下严格化自指闭环

$$L={\Phi }_{\tau ,E}(L)={\mathcal{B}}_{\tau }(M(E;L)),{\mathcal{B}}_{\tau }\in \mathrm{PSL}(2,\mathbb{R}),$$

其中 $L$ 取值域为闭上半平面边界/扩展实轴，以吻合 Möbius 变换在 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$ 作用下的自然相位边界。

给出存在性与双曲型区域内两不动点交换的定理，并证明其交换奇偶与 ${\nu }_{\sqrt{S}}$ 一致。以一维 $\delta$-势与 Aharonov–Bohm 模型为例，给出显式绕数计算，并用“鉴别子模 2 交数“统一复小环与实折返路径。拓扑超导端点散射方面，区分 Altland–Zirnbauer 对称类：Class D 的 $\mathrm{sgn}\det r(0)$ 与 Class DIII 的 $\mathrm{sgn}\mathrm{Pf}r(0)$ 分别等价于 $\sqrt{\det r(0)}$ 的分支号符。该框架在 $d\ge 3$ 的费米/玻色统计直接适用；在 $d=2$ 给出任意子 $U(1)$ 统计的 ${\mathbb{Z}}_2$ 投影。

实验可读出的模 2 指标：形态学判据（单次 ${\mathbb{Z}}_2$ 读出协议）

声明：以下是可操作的读出协议，并非理论证明的一部分。该协议把本文的 ${\nu }_{\sqrt{S}}(\gamma )\in \{\pm 1\}$ 映射为实验可直接观测的号符。

在门控可调 Josephson 结中，取 Andreev 通道数 $\lesssim 4$ 且能够分辨单一 $\pi$ 跃迁。设超导相位差 $\varphi$ 在一次 $2\pi$ 扫描中以步长 $\Delta \varphi$ 记录零偏置信号 $Y(\varphi )$（电导或干涉幅）。

(i) 归一化：以一周期平均 $⟨Y{⟩}_{\varphi }$ 做幅度归一化，得 $\tilde{Y}(\varphi )=Y(\varphi )/⟨Y{⟩}_{\varphi }$。

(ii) 翻转检出（形态学规则）：用滑动窗口跟踪局部极性；当 $\tilde{Y}(\varphi )$ 在相邻采样点首次变号且其邻域内无第二次变号，记为一次**$\pi$ 跃迁**。累积翻转奇偶：

$$G_{{\mathbb{Z}}_2}\equiv {\nu }_{\sqrt{S}}\in \{+1,-1\}.$$

可设最小驻点幅度门限以抑制噪声误触发。

(iii) 采样条件（充分而非必要）：要求相邻样本不跨两次翻转，取

$$\Delta \varphi <\frac{1}{2}\Delta {\varphi }_{\pi }(\text{等价 }2\Delta \varphi <\Delta {\varphi }_{\pi };\text{时间域 }2\Delta t<{\tau }_{\pi }),$$

其中 ${\tau }_{\pi }/\Delta {\varphi }_{\pi }$ 为单一 $\pi$ 跃迁的最短时间/相位尺度。

（以上规则对幅度漂移与弱非绝热扰动具有鲁棒的模 2 判据。）

关键词：散射相位平方根；${\mathbb{Z}}_2$ holonomy；覆盖提升；第一陈类偶性；Bockstein；谱位移；Birman–Kreĭn；Riccati；边界三元组；Pfaffian 指标；Aharonov–Bohm 散射

0 记号、假设、对象与核心物理图景

0.1 核心思想与物理图景

本文的核心思想是用一个统一的 ${\mathbb{Z}}_2$ holonomy 指标

$${\nu }_{\sqrt{S}}(\gamma )=\exp \left(i{\oint }_{\gamma }\frac{1}{2i}{\mathfrak{s}}^{-1}d\mathfrak{s}\right)$$

把三个看似不同的负号来源统一起来：交换两个费米子获得的负号、把旋量绕 $2\pi$ 的负号、以及散射半相位的分支切换负号。物理图像如下。

1. 散射半相位的分支 对单通道散射，$S=e^{2i\delta }$。若沿某个外参回路 $\gamma$ 绝热演化，$\delta$ 可能回到其初值加上 $\pi$ 的整数倍。把 $e^{i\delta }$ 视为 $S$ 的“平方根“，那么一圈之后平方根的号符可能翻转，这正是 ${\nu }_{\sqrt{S}}$ 的物理含义。

2. 交换与旋量 在 $d\ge 3$，两粒子交换在无序对配置空间中同伦于相对坐标的 $\pi$ 旋转；其在旋转群上的提升对应 ${\pi }_1(\mathrm{SO}(d))\cong {\mathbb{Z}}_2$ 的非平凡类（由 $2\pi$ 旋转代表）。旋量场在 $2\pi$ 旋转下取负，将该非平凡类经散射映射送入 $U(1)$ 上的回路，其绕数奇偶与旋量负号一致，正由 ${\nu }_{\sqrt{S}}$ 给出。

3. 谱流与束缚态 当外参绕行导致一个束缚态穿越本征相位参考点时，整数谱流改变 1，从而 ${\nu }_{\sqrt{S}}$ 翻转。与此等价地，若回路横截了“产生或湮灭上半平面 Jost 零点“的鉴别子一次，${\nu }_{\sqrt{S}}$ 也翻转。

4. 自指闭环的固定点交换 在以输运或散射自洽方程建模的情形，系统边界条件和响应通过 Möbius 自映形成闭环。双曲型参数区存在两条边界不动点支，横越判别式面一次这两支交换一次。该交换奇偶与 ${\nu }_{\sqrt{S}}$ 等价。

因此，不论是从配置空间拓扑、旋量双覆盖、散射解析结构还是自洽动力学观察，出现的都是同一个 ${\mathbb{Z}}_2$ holonomy。该指标具有观测可达性：可由干涉测量提取 $S$ 的相位连续化，或由相位谱流与束缚态计数获得。

黑盒提示：本文记号“$\sqrt{S}$“一律指 $\mathfrak{s}:X^{\circ }\to U(1)$ 的平方根覆盖（即主 ${\mathbb{Z}}_2$-丛的 holonomy），不指矩阵意义上的平方根。详见 §2。

记号总提示 本文两处 $L$ 的用法不同。§3 中 $L={\psi }^{\prime }/\psi$ 为 Riccati 变量。§7 中 $L$ 为边界参数并取值扩展实轴。二者在各自段落内使用且互不混淆。下文若提及“自指闭环 $L={\Phi }_{\tau ,E}(L)$“，一律指 §7 的边界参数。

0.2 参数空间、鉴别子与一般位置

令 $X$ 为分片可微流形，记去鉴别子空间 $X^{\circ }:=X\setminus D$。我们以一般位置/横截作为默认正则性：

假设 D（横截-余维一正则性）

存在有限集合 $\{D_j{\}}_{j=1}^J$ 使

(i) 每个 $D_j\subset X$ 为余维一的分片 $C^1$ 闭子流形；

(ii) $D:={\bigcup }_{j=1}^J{D}_j$ 对应如下事件之一的参数超曲面：**（a）Jost 上半平面零点的生成/湮灭；（b）零能阈值异常；（c）嵌入本征值；（d）**通道开闭；

(iii) 若在具体模型族中某事件集合先验并非余维一，则允许对势或外参作任意小的 $C^1$-扰动使之处于一般位置而满足 (i)。

注：我们在每个连通的能-参域上工作，并默认 $X^{\circ }$ 的每个连通分支内可作相位的连续支选择（见假设 A）。

在 $X^{\circ }$ 上散射数据关于参数连续或解析。基于 Alexander 对偶与 Mayer–Vietoris，可在 $X^{\circ }$ 上定义由 $D$ 诱导的模 2 链接类

$$w_D\in H^1(X^{\circ };{\mathbb{Z}}_2),$$

其在几何上由绕行任意小的法向环（链接 $D$ 一次）取值为 $1$ 给出。该类在 (i)–(iii) 的一般位置假设下是良定的。

0.2a 避障闭路与取向约定

令 $D\subset X$ 为 §0.2 所述的鉴别子并满足一般位置。对任意闭路 $\gamma \subset X$，若 $\gamma \cap D\ne \varnothing$，在每个横截点处取半径 $\epsilon >0$ 的小半圆向法向正向规避，得 ${\gamma }_{\epsilon }\subset X^{\circ }:=X\setminus D$。本文一律以**数学正向（逆时针）**为取向约定，并定义

$$\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma }):=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}{\mathfrak{s}}^{-1}d\mathfrak{s},{\nu }_{\sqrt{S}}(\gamma ):=\exp \left(i{\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}\frac{1}{2i}{\mathfrak{s}}^{-1}d\mathfrak{s}\right).$$

反向取向仅改变整数号符，不改其奇偶。规避方式的不同可能改变整数 $\mathrm{deg}$ 的号符，但不影响${\nu }_{\sqrt{S}}(\gamma )\in \{\pm 1\}$ 的取值；相应的模 $2$ 交数 $I_2(\gamma ,D)$ 对规避方式也不敏感（§5）。

所有模 2 结论（${\nu }_{\sqrt{S}}$、$I_2$ 等）对规避方式与闭路取向不敏感；仅整数绕数的号符受其影响。

0.2b $w_D$ 的存在性与自然性（形式化）

命题 0.2bis（$w_D$ 的存在性与自然性）

设 $X$ 为第二可数的分片 $C^1$ 流形，$D\subset X$ 为余维一分片 $C^1$ 闭子流形并满足一般位置假设。令 $X^{\circ }:=X\setminus D$。则存在唯一的类

$$w_D\in H^1(X^{\circ };{\mathbb{Z}}_2),$$

使得任意充分小的法向正向小环 $\eta$ 链接 $D$ 一次时 $⟨w_D,[\eta ]⟩=1$。以下记号约定：对闭路 $\gamma$，其规避版本记为 ${\gamma }_{\epsilon }\subset X^{\circ }$，并定义

$$I_2(\gamma ,D):=⟨w_D,[{\gamma }_{\epsilon }]⟩\in {\mathbb{Z}}_2.$$

规避独立性的具体陈述与交数计数见 §5。

命题 0.2ter（分层横截与链接类的良定性） 设 $X$ 为第二可数的分片 $C^1$ 定向流形。令 $D\subset X$ 为闭的、可驯化的余维一分层子流形。取 $X^{\circ }:=X\setminus D$。则存在唯一 $w_D\in H^1(X^{\circ };{\mathbb{Z}}_2)$，其与任意足够小的法向正向小环的配对为 $1$。若 $N(D)$ 是 $D$ 的紧致管状邻域，则对任意闭路的规避版本 ${\gamma }_{\epsilon }\subset X^{\circ }$，当 ${\gamma }_{\epsilon }⋔\partial N(D)$ 时有

$$⟨w_D,[{\gamma }_{\epsilon }]⟩=([{\gamma }_{\epsilon }]\cdot [\partial N(D)])\mathrm{mod}2.$$

该类对把 $(\gamma ,D)$ 通过任意小的 $C^1$ 扰动调至分层横截的操作不变。

证明：取 $D$ 的紧致管状邻域 $N(D)\cong D\times (-\epsilon ,\epsilon )$。其边界 $\partial N(D)\cong (D\times \{-\epsilon \})\bigsqcup (D\times \{+\epsilon \})$ 为 $X^{\circ }$ 的闭嵌入子流形。将 $[\partial N(D)]$ 视为 $H_{n-1}(X^{\circ };{\mathbb{Z}}_2)$ 中的同调类（$n=\dim X$），并定义 $w_D:={\mathrm{PD}}_{X^{\circ }}([\partial N(D)])\in H^1(X^{\circ };{\mathbb{Z}}_2)$，其中 $\mathrm{PD}$ 为 Poincaré 对偶。此定义独立于 $N(D)$ 的选取。对任意足够小的法向小环 $\eta$，$\eta$ 与 $\partial N(D)$ 的横截交数模 2 为 1，故配对 $⟨w_D,[\eta ]⟩=1$。唯一性来自对偶性的泛性质。对规避闭路 ${\gamma }_{\epsilon }$ 与 ${\gamma }_{{\epsilon }^{\prime }}$，它们仅在每个横截点附近沿 $\partial N(D)$ 的一条小弧有所不同，这些差异并成若干个边界为法向小环的 2‑链。模 2 对偶配对不变，故 $I_2(\gamma ,D)$ 与规避选择无关。对每个光滑层 $D_{\alpha }$ 可取管状邻域并用有限覆盖和分割统一粘合。可驯化性保证粘合的良定。对任意小的 $C^1$ 扰动 $(\gamma ,D)⇝({\gamma }^{\prime },D^{\prime })$，$X^{\circ }$ 作小同伦，$\partial N(D)$ 的同调类保持不变，故 $w_D$ 与 $I_2$ 保持不变。

0.3 联络、绕数与“$\sqrt{S}$“的含义

设

$$\mathfrak{s}:=e^{-2\pi i{\xi }_p}\in U(1),\alpha =\frac{1}{2i}{\mathfrak{s}}^{-1}d\mathfrak{s}.$$

当 $S-1\in {\mathfrak{S}}_1$（迹类）时 $\mathfrak{s}=\det S$；一般情形取修正 Fredholm 行列式给出的 ${\xi }_p$（见 §0.4/§4）。对任意闭路 $\gamma \subset X$（若 $\gamma \cap D\ne \varnothing$ 按 §0.2a 取规避闭路 ${\gamma }_{\epsilon }\subset X^{\circ }$），定义

$${\nu }_{\sqrt{S}}(\gamma )=\exp \left(i{\oint }_{\gamma }\alpha \right)=(-1{)}^{\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })},\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }{\mathfrak{s}}^{-1}d\mathfrak{s}\in \mathbb{Z}.$$

取向采用数学上正向（逆时针）；反向仅翻号，不改奇偶。

本文在整数层级仅使用 $\mathrm{Sf}(\gamma )=\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })$ 的迹类结论（见 §4）；在模 2 层级比较 $\mathrm{Sf}$、束缚态奇偶与交数（见 §5）。“$\sqrt{S}$“一律指 $\mathfrak{s}$ 的平方根覆盖所对应的主 ${\mathbb{Z}}_2$-丛 holonomy。

全篇唯一约定（重要）：记号“$\sqrt{S}$“一律指 $\mathfrak{s}:X^{\circ }\to U(1)$ 的平方根覆盖（即主 ${\mathbb{Z}}_2$-丛 $P_{\sqrt{\mathfrak{s}}}={\mathfrak{s}}^{\ast }(p)$ 的 holonomy），不指矩阵意义的平方根。文中”$\sqrt{\det r(0)}$ 的分支号符“等短语悉依此约定，均是指映射层平方根覆盖的号符分支，而非对 $\det r(0)$ 求矩阵平方根。参见 §2（覆盖—提升判据）与 §9（D/DIII 指标）。

定义 0.3bis（绕数的辐角版本与积分等价） 设 $\mathfrak{s}:X^{\circ }\to U(1)$ 沿闭路 ${\gamma }_{\epsilon }\subset X^{\circ }$ 连续。取任一连续辐角选择 $\mathrm{Arg}\mathfrak{s}\in \mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}$，定义

$$\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma }):=\frac{1}{2\pi }{\Delta }_{{\gamma }_{\epsilon }}\left(\mathrm{Arg}\mathfrak{s}\right)\in \mathbb{Z}.$$

若进一步 $\mathfrak{s}$ 沿 ${\gamma }_{\epsilon }$ 为分段 $C^1$ 或 $\mathrm{BV}$，则

$$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}{\mathfrak{s}}^{-1}d\mathfrak{s}=\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma }),{\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}d{\xi }_p=-\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })$$

其中 $\oint d{\xi }_p$ 按 Lebesgue–Stieltjes 解释。两种定义等价。

警示（谱回路与参回路的比较范围） 本文任何整数层级等式仅针对外参数闭路 $\gamma$。谱参数回路 $C$ 仅用于 $S(k)$ 的解析结构整数记账。两者只在 ${\mathbb{Z}}_2$ 层级比较。主定理 1.1 中的等价链路一律理解为针对 $\gamma$ 的陈述。

0.4 短程与谱假设

势 $V$ 属短程类：在 $d=1$（以及某些 $d=2$ 的附加条件下）可保证 $S(E,\lambda )-1$ 为迹类；而在更一般的 $d\ge 2$ 情形通常仅能得到 $S(E,\lambda )-1$ 属合适的 Schatten 类，因而需使用修正 Fredholm 行列式 ${\det }_p$ 及其连续化来定义谱位移。下文为简洁起见以“$\det /{\det }_p$“统记。其余假设保持不变：$(E,\lambda )\mapsto S$ 沿闭路 $\gamma$ 分段 $C^1$，且 $\gamma$ 回避阈值与嵌入本征值；若无法完全回避阈值，则用模 2 交数描述。单通道时 $S=e^{2i\delta }$；多通道/分波时以 $\det /{\det }_{p}S$ 作为整体相位指数。

假设 A（Schatten‑连续性与阈值规避的一致化选择）

我们只使用 ${\xi }_p$ 的连续化支来定义整体相位指数；不要求 ${\det }_{p}S\in U(1)$。

令 $\gamma \subset X$ 为闭路。存在 $p\in \mathbb{N},p\ge 2$ 与 ${\epsilon }_0>0$，使得：

(A1) 对每点 $(E,\lambda )\in \gamma$，$S(E,\lambda )-1\in {\mathfrak{S}}_p$，且 $(E,\lambda )\mapsto S(E,\lambda )$ 在 $\gamma$ 上为连续的 ${\mathfrak{S}}_p$‑值映射；

(A2) $\gamma$ 与鉴别子 $D$ 至多作有限个横截交；按 §5 的规避约定取 ${\gamma }_{\epsilon }\subset X^{\circ }$（$0<\epsilon <{\epsilon }_0$）并固定；

(A3″) 在绝对连续谱上 $S(E,\lambda )$ 幺正且 $S(E,\lambda )-1\in {\mathfrak{S}}_p$（$p\ge 2$），存在正则化谱位移 ${\xi }_p(E,\lambda )$ 的一条沿 ${\gamma }_{\epsilon }$ 的连续化支，据此定义

$$\mathfrak{s}(E,\lambda ):=\exp (-2\pi i{\xi }_p(E,\lambda ))\in U(1).$$

我们不要求 ${\det }_{p}S(E,\lambda )$ 本身落在单位圆上。

(A4″) 以（A3″）选定的 ${\xi }_p$ 定义

$$\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })=-{\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}d{\xi }_p,{\nu }_{\sqrt{S}}(\gamma ):=\exp (-i\pi {\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}d{\xi }_p).$$

上述 ${\mathbb{Z}}_2$ 读数对规避方式不敏感。

(A3‴)（正则性与积分解释） 在 ${\gamma }_{\epsilon }$ 上可取谱位移的连续化支 ${\xi }_p$，并满足沿 ${\gamma }_{\epsilon }$ 为分段 $C^1$ 或有界变差。由此

$${\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}d{\xi }_p$$

按 Lebesgue–Stieltjes 定义，且等于 $\mathrm{Arg}\mathfrak{s}$ 的总变差除以 $2\pi$ 的相反数。特别地 $(-1{)}^{\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })}=\exp (-i\pi {\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}d{\xi }_p)$。

引理 0.A（${\xi }_p$ 的连续化与模 $2$ 稳定性）

在 (A1)–(A2) 与 (A3″) 下，沿规避闭路 ${\gamma }_{\epsilon }\subset X^{\circ }$ 存在正则化谱位移 ${\xi }_p$ 的局部连续化选择，且任意两条连续化选择之差为整数常数。因而

$$\exp (-i\pi {\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}d{\xi }_p)$$

与选择无关；反向取向仅使积分变号，但奇偶不变。

证明：在 ${\gamma }_{\epsilon }$ 的每个紧小弧 $I$ 上，由假设 A 的 ${\mathfrak{S}}_p$‑连续性与幺正性，$S-1\in {\mathfrak{S}}_p$ 给出修正 Fredholm 行列式 ${\det }_{p}S$ 的局部连续对数分支，从而得到 ${\xi }_p$ 的局部连续支。两条局部分支在 $I$ 上相差整数常数。用有限覆盖拼接得全局分段 $C^1$ 或 BV 的连续化支。对闭路的积分取 Lebesgue–Stieltjes 意义，常数差消失，故指数不依赖分支。逆向取向将积分取负，指数取共轭，值仍在 $\{\pm 1\}$。

0.5 Birman–Kreĭn 与谱位移

在绝对连续谱能段

$$\det S(E,\lambda )=e^{-2\pi i\xi (E,\lambda )},2\delta (E,\lambda )\equiv -2\pi \xi (E,\lambda )(\mathrm{mod}2\pi ).$$

当 $\gamma$ 同时改变能量与外参时，${\oint }_{\gamma }d\xi$ 取自（修正）Fredholm 行列式的连续化分支；反向取向使 ${\oint }_{\gamma }d\xi \mapsto -{\oint }_{\gamma }d\xi$，不改其奇偶。

0.6 维度—衰减—行列式与正则化（最小对照表）

1 主结果（四条等价链路）

横截局部模型（加强版） 设闭路 $\gamma$ 与鉴别子 $D$ 横截。对每个横截点存在参数 $t$ 的局部坐标与本征相位基，使某一通道相位 ${\theta }_j(t)$ 满足 ${\partial }_t{\theta }_j(t_{\ast })\ne 0$ 且在 $t_{\ast }$ 邻域跨越 $\pi$（模 $2\pi$），其余通道相位连续。在 $t=t_{\ast }$ 邻域除该单一通道外，其余本征相位在参考相位 $0,\pi$ 处保持开隙（不切触）。该“单通道跨 $\pi$“规范与 $D$ 的横截性等价，且用于 §4 的模 $2$ 谱流与 §5 的交数记账。

引理 1.0ter（Kato‑选择 + 单通道化横截）

在 §0.2 的横截‑余维一正则性与 §0.2a 的规避约定下，若参考相位 $0$ 或 $\pi$ 处开隙，且某时刻仅有一条本征相位与参考相位作一阶横截，则存在一组沿参数的连续本征向量与本征相位选择，使该通道在横截点邻域满足 ${\partial }_t\theta (t_{\ast })\ne 0$ 并跨越 $\pi$（模 $2\pi$），其余通道相位在 $t_{\ast }$ 连续。

证明：令 $t\mapsto S(t)$ 为 ${\gamma }_{\epsilon }$ 上的幺正连续族。参考相位 $0$ 或 $\pi$ 处开隙意味着在 $t_{\ast }$ 的邻域，谱在该点除一条支外与参考点保持正距。由 Riesz 投影与 Kato 选择定理，可在邻域内为每条孤立本征值选取连续的谱投影与本征向量。横截性给出唯一支在 $t_{\ast }$ 处满足 ${\partial }_t{\theta }_j(t_{\ast })\ne 0$。其余支与参考相位的距离在 $t_{\ast }$ 保持正，故连续不中断。

引理 1.0bis（横截 ⇒ 单通道跨 $\pi$ 的规范化）

在 §0.2 的横截-余维一正则性与 §0.2a 的规避约定下，设闭路参数化为 $t\mapsto x(t)$，并在横截点 $t=t_{\ast }$ 的邻域作本征相位的可分离规范。则存在某一通道相位 ${\theta }_j(t)$ 使得

$${\theta }_j(t_{\ast }-0)\in (-\pi ,0),{\theta }_j(t_{\ast }+0)\in (0,\pi )\text{或反之，}$$

而其余通道相位在 $t_{\ast }$ 连续。因此相对于任意参考相位 $0$ 或 $\pi$，该横截点对 $\mathrm{Sf}$ 的贡献为 $\pm 1$；其奇偶不依赖参考相位与规避方式。

证明：由引理 1.0ter 得连续相位选择。横截意味着相位函数在参考角的零点是单根，即导数非零。故在 $t_{\ast }$ 左右符号相反，穿越一次。其余支不接触参考角。谱流定义按穿越方向计 $\pm 1$，改变取向只改变号符。故奇偶不变。

主定理 1.1（统一等价；整数=迹类，模 2=一般 Schatten）

在 §0 的短程与正则性设定下，假设以下两条成立：

假设 A（Schatten‑连续性与谱位移连续化）：存在 $p\ge 2$ 与连续化的正则化谱位移 ${\xi }_p$，使 $(E,\lambda )\mapsto S(E,\lambda )-1\in {\mathfrak{S}}_p$ 沿闭路 $\gamma$ 连续（按 §0.2a 规避为 ${\gamma }_{\epsilon }\subset X^{\circ }$），并定义 $\mathfrak{s}:=e^{-2\pi i{\xi }_p}\in U(1)$。文献：Yafaev《Mathematical Scattering Theory》§8–§9；Pushnitski, J. Math. Phys. 47 (2006) 062101 及 Behrndt–Hassi–de Snoo《Boundary Value Problems》§10。

假设 D（横截‑余维一正则性）：鉴别子 $D\subset X$ 为余维一的分片 $C^1$ 闭子流形，对应 Jost 零点生成/湮灭、阈值异常、嵌入本征值或通道开闭事件（§0.2）。

则对任意参数闭路 $\gamma \subset X$（若 $\gamma \cap D\ne \varnothing$，按 §0.2a 取规避闭路 ${\gamma }_{\epsilon }\subset X^{\circ }$），有

$${\nu }_{\sqrt{S}}(\gamma )=\exp \left(i{\oint }_{\gamma }\frac{1}{2i}{\mathfrak{s}}^{-1}d\mathfrak{s}\right)=(-1{)}^{\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })}=(-1{)}^{\mathrm{Sf}(\gamma )}=(-1{)}^{N_b(\gamma )}=(-1{)}^{I_2(\gamma ,D)}.$$

记号“$\sqrt{S}$“指 $\mathfrak{s}:X^{\circ }\to U(1)$ 的映射层平方根覆盖（主 ${\mathbb{Z}}_2$-丛 $P_{\sqrt{\mathfrak{s}}}={\mathfrak{s}}^{\ast }(p)$ 的 holonomy 指数），不指矩阵平方根。

• 整数层级（迹类版）：若 $S-1\in {\mathfrak{S}}_1$ 沿 ${\gamma }_{\epsilon }$ 连续，则 $\mathfrak{s}=\det S$ 且

  $$\mathrm{Sf}(\gamma )=\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })=-{\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}d\xi \in \mathbb{Z}.$$

• 模 2 层级（一般 Schatten 版）：在假设 A（$p\ge 2$）下，仅主张

  $$\exp (-i\pi {\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}d{\xi }_p)=(-1{)}^{\mathrm{Sf}(\gamma )}=(-1{)}^{N_b(\gamma )}=(-1{)}^{I_2(\gamma ,D)}.$$

重要约定：上述所有等价关系仅针对参数空间闭路 $\gamma$。本文在整数层级从不比较谱参数回路 $C\subset k$‑平面（用于 Jost 零点计数）与参数闭路 $\gamma$；两者仅在模 2 层级通过交数判据 $I_2(\gamma ,D)$ 桥接（见 §0.3 警示与 §3 注）。

证明：第一等号 ${\nu }_{\sqrt{S}}(\gamma )=(-1{)}^{\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })}$ 由定义。第二等号 $(-1{)}^{\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })}=(-1{)}^{\mathrm{Sf}(\gamma )}$：在迹类情形 $S-1\in {\mathfrak{S}}_1$ 由 Birman–Kreĭn 公式 $\det S=e^{-2\pi i\xi }$ 得 $\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })=\frac{1}{2\pi i}\oint {\mathfrak{s}}^{-1}d\mathfrak{s}=-\oint d\xi$，而单位圆上的谱流 $\mathrm{Sf}(\gamma )$ 等于 $\frac{1}{2\pi }$ 的角度净变化（Kato–Phillips 谱流公式的幺正版本），故 $\mathrm{Sf}(\gamma )=\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })\in \mathbb{Z}$。在一般 Schatten 情形，由引理 0.A 取 ${\xi }_p$ 的连续化支，定义 $\mathfrak{s}=e^{-2\pi i{\xi }_p}$，则 $\exp (-i\pi \oint d{\xi }_p)=(-1{)}^{\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })}$。由横截局部模型，闭路上的穿越仅为有限个一阶穿越，每次穿越使 $\arg \det S$ 跳变 $\pm \pi$，因而指数每次翻转一次，等于 $(-1{)}^{\mathrm{Sf}(\gamma )}$。第三等号 $(-1{)}^{\mathrm{Sf}(\gamma )}=(-1{)}^{N_b(\gamma )}$：$N_b(\gamma )$ 正是单位圆谱流穿越参考角的计数模 2，与 $(-1{)}^{\mathrm{Sf}(\gamma )}$ 等价。第四等号 $(-1{)}^{N_b(\gamma )}=(-1{)}^{I_2(\gamma ,D)}$：由命题 5.0bis 与定理 5.1，$I_2(\gamma ,D)$ 等于横截点数模 2。每个横截点等价于一条相位跨 $\pi$ 的事件，故与 $N_b(\gamma )$ 的奇偶一致。合并得结论。

注：整数层级不比较谱回路与参回路；仅在模 2 层级以交数作桥接。

定义（束缚态奇偶）

令 $\gamma$ 的规避为 ${\gamma }_{\epsilon }$。沿 ${\gamma }_{\epsilon }$ 连续追踪本征相位：每当存在一支相位 ${\theta }_j$ 在参考相位 $0$ 或 $\pi$ 处横截（见“横截局部模型（加强版）“），计 $+1$ 或 $-1$（方向决定符号）。定义 ${\tilde{N}}_b(\gamma )$ 为总计数，$N_b(\gamma ):={\tilde{N}}_b(\gamma )\mathrm{mod}2$。

术语说明：此处“束缚态奇偶“指的是单位圆上本征相位对参考相位 $0$ 或 $\pi$ 的横截事件的奇偶（亦即相位谱流的穿越计数模 2），并不等价于哈密顿量在能量轴上的束缚能级穿越；选择 $\theta =0$ 或 $\pi$ 在 ${\mathbb{Z}}_2$ 层级等价。该术语仅为沿用散射理论传统，本质是幺正矩阵谱流的 ${\mathbb{Z}}_2$ 指标。

定义（模 2 交/链接数） $I_2(\gamma ,D)=⟨w_D,[{\gamma }_{\epsilon }]⟩\in {\mathbb{Z}}_2$。

取向与规避：闭路取向反转仅改变整数号符，不改奇偶；当 $\gamma$ 与 $D$ 横截时，按 §5 的规避约定取 ${\gamma }_{\epsilon }\subset X^{\circ }$，本文所有模 2 结论对规避方式不敏感。

注（谱回路 vs 参回路） 见 §3 注。

引理 1（BK→谱流；分层版）

在第 0 节短程与正则性假设下，沿闭路 $\gamma$（按 §0.2a 规避为 ${\gamma }_{\epsilon }$）：

(a) 迹类整数版（$S-1\in {\mathfrak{S}}_1$）：

$$\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}{\mathfrak{s}}^{-1}d\mathfrak{s}=-{\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}d\xi ,\mathrm{Sf}(\gamma )=\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })\in \mathbb{Z}.$$

(b) Schatten‑连续性模 2 版（$p\ge 2$）：

$$\exp (-i\pi {\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}d{\xi }_p)=(-1{)}^{\mathrm{Sf}(\gamma )}.$$

反向取向仅改变积分号符，不影响 (b) 的奇偶结论。

证明：(a) 在 $S-1\in {\mathfrak{S}}_1$ 且连续的条件下，Birman–Kreĭn 公式给出 $\det S(E,\lambda )=e^{-2\pi i\xi (E,\lambda )}$。沿规避闭路 ${\gamma }_{\epsilon }$ 取 $\xi$ 的连续化支。有 $\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })=\frac{1}{2\pi i}\oint {\mathfrak{s}}^{-1}d\mathfrak{s}=\frac{1}{2\pi }\oint d(\arg \det S)=-\oint d\xi$。另一方面，单位圆上的谱流 $\mathrm{Sf}(\gamma )$ 等于 $\frac{1}{2\pi }$ 的角度净变化（Kato–Phillips 谱流公式的幺正版本）。于是 $\mathrm{Sf}(\gamma )=\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })$。(b) 由引理 0.A 取 ${\xi }_p$ 的连续化支。定义 $\mathfrak{s}=e^{-2\pi i{\xi }_p}$，则 $\exp (-i\pi \oint d{\xi }_p)=(-1{)}^{\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })}$。由横截局部模型，闭路上的穿越仅为有限个一阶穿越，每次穿越使 $\arg \det S$ 跳变 $\pm \pi$，因而指数每次翻转一次，等于 $(-1{)}^{\mathrm{Sf}(\gamma )}$。

引理 2（交数到束缚态奇偶） 在 §5 的模 2 交数定义下，取 $\partial \Sigma =\gamma$ 的分片 $C^1$ 2‑链 $\Sigma$ 与 $D$ 横截时，每个交点对应相位的一阶分岔与谱流 $\pm 1$，故

$$(-1{)}^{\mathrm{Sf}(\gamma )}=(-1{)}^{I_2(\gamma ,D)}.$$

证明：按横截局部模型，每个 $\gamma$ 与 $D$ 的横截点触发唯一通道的相位跨 $\pi$ 一次，致谱流奇偶翻转一次。由命题 5.0bis，横截点数模 2 即 $I_2(\gamma ,D)$。结合定理 4.2 的指数表示，得结论。

2 覆盖—提升与平直线丛

2.1 覆盖—提升与主 ${\mathbb{Z}}_2$-丛

由于 $U(1)$ 是 $K(\mathbb{Z},1)$，有 $[X^{\circ },U(1)]\cong H^1(X^{\circ };\mathbb{Z})$。平方覆盖 $p:z\mapsto z^2$ 在基本群与一上同调上对应乘二。对任意闭路 $\gamma$

$${\nu }_{\sqrt{S}}(\gamma )=\exp \left(i{\oint }_{\gamma }\frac{1}{2i}{\mathfrak{s}}^{-1}d\mathfrak{s}\right)=(-1{)}^{\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })}.$$

定义 2.1bis（覆盖的单值提升与所谓 holonomy） 主 ${\mathbb{Z}}_2$‑丛 $P_{\sqrt{\mathfrak{s}}}={\mathfrak{s}}^{\ast }(p)$ 的“holonomy“指的是覆盖的单值提升沿闭路的单值性。即取 $\tilde{\gamma }$ 为 ${\gamma }_{\epsilon }$ 在 $P_{\sqrt{\mathfrak{s}}}$ 上的提升，若起点片标记为 $+1$，则终点标记为 $\pm 1$。记此号符为 ${\mathrm{Hol}}_{P_{\sqrt{\mathfrak{s}}}}({\gamma }_{\epsilon })\in \{\pm 1\}$。则

$${\mathrm{Hol}}_{P_{\sqrt{\mathfrak{s}}}}({\gamma }_{\epsilon })=(-1{)}^{\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })}.$$

这里未在 ${\mathbb{Z}}_2$‑丛上引入微分几何的联络形式，等式完全是拓扑的。

术语约定：本文“holonomy“专指 ${\mathbb{Z}}_2$ 主丛的单值提升号符，取值 $\{\pm 1\}$；“holonomy 指数“指写成指数形式的路径函数 ${\nu }_{\sqrt{S}}(\gamma )=\exp (i\oint \alpha )$。两者通过 $\mathrm{Hol}=\exp (i\pi \mathrm{deg})$ 等价。

定理 A（覆盖—提升判据） 存在连续 $s:X^{\circ }\to U(1)$ 使 $s^2=\mathfrak{s}$ 当且仅当 $[\mathfrak{s}]\in 2H^1(X^{\circ };\mathbb{Z})$。对应主 ${\mathbb{Z}}_2$-丛 $P_{\sqrt{\mathfrak{s}}}={\mathfrak{s}}^{\ast }(p)$ 的 holonomy 等于 ${\nu }_{\sqrt{S}}$（此处“$\sqrt{S}$“指 $\mathfrak{s}$ 的平方根覆盖）。

推论：${\nu }_{\sqrt{S}}(\gamma )=(-1{)}^{[\mathfrak{s}]([{\gamma }_{\epsilon }])}$，即为 $[\mathfrak{s}]\in H^1(X^{\circ };\mathbb{Z})$ 对闭路类 $[{\gamma }_{\epsilon }]$ 的奇偶配对。

证明：$U(1)$ 是 $K(\mathbb{Z},1)$。同伦类 $[X^{\circ },U(1)]\cong H^1(X^{\circ };\mathbb{Z})$。平方映射 $p:U(1)\to U(1)$ 在基本群上是乘二，因此在 $H^1$ 上也是乘二。提升存在当且仅当 $[\mathfrak{s}]$ 落在乘二的像。holonomy 等式由 $\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}{\mathfrak{s}}^{-1}d\mathfrak{s}=\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })\in \mathbb{Z}$ 与 $\exp (i\pi \mathrm{deg})=(-1{)}^{\mathrm{deg}}$ 直接得到。

引理 2.A（holonomy 的规避独立性，模 $2$）

若 $\gamma$ 与 $D$ 仅作有限个横截交，按 §0.2a 得到任意两条规避闭路 ${\gamma }_{\epsilon },{\gamma }_{{\epsilon }^{\prime }}\subset X^{\circ }$，则

$${\mathrm{Hol}}_{P_{\sqrt{\mathfrak{s}}}}({\gamma }_{\epsilon })={\mathrm{Hol}}_{P_{\sqrt{\mathfrak{s}}}}({\gamma }_{{\epsilon }^{\prime }})\in \{\pm 1\},$$

因而 ${\nu }_{\sqrt{S}}(\gamma )$ 在 ${\mathbb{Z}}_2$ 层级与规避选择无关。

证明：两条规避仅在每个横截点附近相差一条法向小半圆。它们在 $X^{\circ }$ 中同伦于彼此加上若干个以法向小环为边界的 2‑链。对 ${\mathbb{Z}}_2$‑丛的 holonomy 来说，沿法向小环的提升号符为 $-1$ 一次，取模 2 后叠加抵消。于是 holonomy 在 $\{\pm 1\}$ 中不变。

补充：若 $\gamma \cap D\ne \varnothing$，按 §0.2a 取规避闭路 ${\gamma }_{\epsilon }\subset X^{\circ }$，并以 ${\mathrm{Hol}}_{P_{\sqrt{\mathfrak{s}}}}({\gamma }_{\epsilon })$ 定义 ${\nu }_{\sqrt{S}}(\gamma )$；该值在 ${\mathbb{Z}}_2$ 层级对规避选择不变（见 §0.2a 与 §5 约定）。

2.2 平直线丛、Bockstein 与两类提升问题

两类提升与障碍（映射层 vs 线丛层）

（A）映射层（函数的平方根）：给定 $\mathfrak{s}:X^{\circ }\to U(1)$，平方覆盖 $p:z\mapsto z^2$ 的提升 $s:X^{\circ }\to U(1)$ 使 $s^2=\mathfrak{s}$ 存在，当且仅当 $[\mathfrak{s}]\in 2H^1(X^{\circ };\mathbb{Z})$（因 $U(1)\simeq K(\mathbb{Z},1)$ 且 $p_{\ast }=\times 2$）。由此得到的主 ${\mathbb{Z}}_2$-丛 $P_{\sqrt{\mathfrak{s}}}={\mathfrak{s}}^{\ast }(p)$ 的 holonomy 正是本文的 ${\nu }_{\sqrt{S}}$。

（B）线丛层（丛的平方根）：对任意复线丛 $\mathcal{L}$，存在 $\mathcal{M}$ 使 ${\mathcal{M}}^{\otimes 2}\cong \mathcal{L}$ 的充要条件是 $c_1(\mathcal{L})\in 2H^2(X^{\circ };\mathbb{Z})$，其中 $c_1$ 由指数层序列 $0\to \mathbb{Z}\to {\mathcal{C}}^{\infty }(\mathbb{R})\stackrel{\exp (2\pi i\cdot )}{\to }{\mathcal{C}}^{\infty }(U(1))\to 0$ 的连接同态给出。

警示：两类问题针对不同对象，两者不互推。本文的 ${\nu }_{\sqrt{S}}$ 与 (A) 等价，而非与任意给定复线丛的 $c_1$ 偶性等价。仅当特指由 $P_{\sqrt{\mathfrak{s}}}$ 经包含 $\{\pm 1\}\hookrightarrow U(1)$ 关联得到的特定平直线丛 ${\mathcal{L}}_{\sqrt{\mathfrak{s}}}$ 时，其 $c_1$ 为 $2$-挠，与 ${\nu }_{\sqrt{S}}$ 的 holonomy 数据在挠/模 $2$ 层面相容，但该 $c_1$ 与 $w_1(P_{\sqrt{\mathfrak{s}}})\in H^1(X^{\circ };{\mathbb{Z}}_2)$ 并非同度量的等价物。本文一律以 (A) 的提升障碍与 $P_{\sqrt{\mathfrak{s}}}$ 的 holonomy 作为 ${\nu }_{\sqrt{S}}$ 的定义依据。

读者提示（层级区分）：本文的平方根问题分属两层级：

• 映射层：$\mathfrak{s}:X^{\circ }\to U(1)$ 的提升障碍在 $H^1(X^{\circ };\mathbb{Z})$（判据：$[\mathfrak{s}]\in 2H^1$）。

• 线丛层：复线丛 $\mathcal{L}$ 的平方根障碍在 $H^2(X^{\circ };\mathbb{Z})$（判据：$c_1(\mathcal{L})\in 2H^2$）。

  两者不互推；仅当专指由 $P_{\sqrt{\mathfrak{s}}}$ 关联得到的平直线丛时，其 $c_1$ 的 2‑挠与 ${\nu }_{\sqrt{S}}$ 的 holonomy 在挠/模2层面相容。

提示（层级区分）：本文只讨论映射层平方根问题 $(s^2=\mathfrak{s})$ 与其主 ${\mathbb{Z}}_2$‑丛 holonomy；一般复线丛的平方根 $(c_1(\mathcal{L})\in 2H^2)$ 属不同层级，二者不互相推出。仅当专指由 $P_{\sqrt{\mathfrak{s}}}$ 关联得到的平直线丛 ${\mathcal{L}}_{\sqrt{\mathfrak{s}}}$ 时，其 $c_1$ 为 $2$‑挠并与 ${\nu }_{\sqrt{S}}$ 的挠/模 $2$ 数据相容。

补充（de Rham 视角） 平直线丛的第一陈类为挠元。其 de Rham 代表为零形式。因此本文 ${\nu }_{\sqrt{S}}$ 的信息完全存于挠与 ${\mathbb{Z}}_2$ 层级，而不反映在曲率形式上。

3 Riccati 变量、Weyl–Titchmarsh 与 Jost 结构

注（谱回路 vs 参回路）

本节的回路 $C$ 位于 $k$-平面，用于分析 $S(k)=f(-k)/f(k)$ 的解析结构，给出 $\mathrm{deg}(S{|}_C)$ 的谱参数计数；而主文中的 $\gamma$ 是 $(E,\lambda )$-空间中的外参闭路。我们在整数层级从不比较 $\mathrm{deg}(S{|}_C)$ 与 $\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })$；仅在 §4–§5 的桥接下，把两者作模 $2$ 投影的比较，用于判定 ${\nu }_{\sqrt{S}}(\gamma )$。

说明：本节仅限单通道或球对称分波情形；多通道一般情形下 $S(k)$ 为矩阵，$f(k)$ 为多分量 Jost 解，表达式需修正为 $\det S(k)=\det [f(-k)f(k{)}^{-1}]$。

令 $L={\psi }^{\prime }/\psi$，则

$$L^{\prime }+L^2=V-E.$$

符号提示：本节 $L={\psi }^{\prime }/\psi$ 为 Riccati 变量；“自指闭环“中的 $L$ 为边界参数的实轴取值，二者不相混。

Weyl–Titchmarsh $m$-函数与抽象 Weyl 函数 $M(z)$ 属 Herglotz 或 Nevanlinna 类。在一维可解模型中，选取 Jost 函数 $f$ 使

$$S(k)=\frac{f(-k)}{f(k)}=e^{2i\delta (k)}.$$

若 $C$ 为 $k$-平面仅围住上半平面零点 $k_j$（计重数 $m_j$）的小正向回路，则

$$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C{S}^{-1}dS=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C(-\frac{f^{\prime }(-k)}{f(-k)}-\frac{f^{\prime }(k)}{f(k)})dk=-\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f^{\prime }(k)}{f(k)}dk=-\sum _j{m}_j.$$

于是 ${\nu }_{\sqrt{S}}(C)=(-1{)}^{{\sum }_j{m}_j}$。若同时围住 $\pm k_j$，两项抵消且绕数为零。

注（谱回路 vs 参回路） 见本节开头总注。

4 Birman–Kreĭn、谱位移与模 2 Levinson

（本节主要引用 [9] 的整数值 Birman–Kreĭn 公式与 [10] 的边界三元组理论。）

定义 4.0（本征相位的谱流，单位圆版本）

对闭路 $\gamma \subset X$（若 $\gamma \cap D\ne \varnothing$，按 §0.2a 取规避闭路 ${\gamma }_{\epsilon }\subset X^{\circ }$），定义本征相位的谱流 $\mathrm{Sf}(\gamma )$ 为：沿 ${\gamma }_{\epsilon }$ 连续追踪本征相位 $\theta (E,\lambda )$，每当其横截参考相位（如 $\theta =0$ 或 $\pi$）时计数 $\pm 1$（穿越方向决定符号），总计数为 $\mathrm{Sf}(\gamma )\in \mathbb{Z}$。在迹类假设下，$\mathrm{Sf}(\gamma )$ 与绕数 $\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })$ 一致；在一般 Schatten 情形，仅其奇偶 $(-1{)}^{\mathrm{Sf}(\gamma )}$ 为不变量。

定义 4.0+（单位圆的模 2 谱流）

给定沿规避闭路 ${\gamma }_{\epsilon }\subset X^{\circ }$ 的连续幺正族 $S(E,\lambda )$。若仅在有限多个参数点，有本征相位 ${\theta }_j$ 一阶横截参考相位 $0$ 或 $\pi$（即穿越瞬间 ${\partial }_t{\theta }_j\ne 0$），其余时刻谱在 $(0,\pi )$ 处保持开隙，则定义

$$(-1{)}^{\mathrm{Sf}(\gamma )}:=(-1{)}^{\#\{\text{所有横截穿越 }0\text{ 或 }\pi \}}\in \{\pm 1\},$$

该定义与参考选择 $(0)/(\pi )$ 等价，并与 $\exp (-i\pi {\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}d{\xi }_p)$ 及 $I_2(\gamma ,D)$ 一致。

引理 4.0+（可用域与一致性）

在假设 A 与假设 D（横截‑余维一正则性）下，“横截局部模型（加强版）“保证上述横截穿越仅以有限个、且均为一阶横截方式出现；于是 $(-1{)}^{\mathrm{Sf}(\gamma )}$ 良定，并与

$$\exp (-i\pi {\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}d{\xi }_p),(-1{)}^{I_2(\gamma ,D)}$$

逐一一致（见定理 4.2 与定理 5.1）。

证明：横截性使穿越在有限个点发生且皆为一阶。对参考相位 $0$ 与 $\pi$ 的选择，穿越事件一一对应（旋转单位圆 $180^{\circ }$ 不改变穿越奇偶）。指数等式来自引理 0.A 与引理 1(b)。交数等式由定理 5.1。

引理 4.0bis（BK 连续化与模 $2$ 稳定性）

在假设 A（A1–A4″）下，存在沿 ${\gamma }_{\epsilon }\subset X^{\circ }$ 的连续化谱位移 ${\xi }_p$ 使 $\mathfrak{s}=e^{-2\pi i{\xi }_p}$，并且：

(i) 反向取向使 ${\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}d{\xi }_p\mapsto -{\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}d{\xi }_p$，从而 $(-1{)}^{\mathrm{Sf}(\gamma )}$ 不变；

(ii) 若 $\gamma$ 与 $D$ 有限个横截交，在每个交点按 §0.2a 的规则取小半圆规避得到的任意两条 ${\gamma }_{\epsilon },{\gamma }_{{\epsilon }^{\prime }}$ 满足

$$\exp (-i\pi {\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}d{\xi }_p)=\exp (-i\pi {\oint }_{{\gamma }_{{\epsilon }^{\prime }}}d{\xi }_p),$$

因而 ${\nu }_{\sqrt{S}}(\gamma )$ 与 $I_2(\gamma ,D)$ 对规避选择不敏感。

证明：存在性与取向行为已在引理 0.A 处理。对规避独立性：两条规避的差是若干小半圆的并，其边界为若干法向小环。每个小环上 $\oint d{\xi }_p\in \mathbb{Z}$，指数为 1。故两条规避的指数相同。

定理 4.U（$\mathrm{Sf}$–绕数–谱位移的统一陈述）

在假设 A 的 (A1)–(A4″) 下，存在连续化的谱位移 ${\xi }_p$ 使 $\mathfrak{s}=e^{-2\pi i{\xi }_p}$。沿规避闭路 ${\gamma }_{\epsilon }\subset X^{\circ }$：

• (i) 迹类整数版（若 $S-1\in {\mathfrak{S}}_1$ 且连续）：

  $$\mathrm{Sf}(\gamma )=\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}{\mathfrak{s}}^{-1}d\mathfrak{s}=-{\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}d\xi \in \mathbb{Z}.$$

• (ii) 一般 Schatten 的模 2 版（$p\ge 2$）：

  $$\exp (-i\pi {\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}d{\xi }_p)=(-1{)}^{\mathrm{Sf}(\gamma )}.$$

  反向取向使积分变号，但奇偶不变；当 $\gamma$ 不可完全回避 $D$ 时，整数号符依赖规避方向，而模2结果与 §5 的 $I_2(\gamma ,D)$ 保持一致。

证明：迹类情形直接套用 Birman–Kreĭn 与单位圆谱流公式。一般 Schatten 情形用引理 0.A 与横截局部模型，将角度变化的贡献分解为有限个一阶穿越，每次贡献 $\pm \pi$，从而指数等式成立。

定理 4.1（Birman–Kreĭn，迹类）

在绝对连续谱能段且 $S-1\in {\mathfrak{S}}_1$ 时，$\det S=e^{-2\pi i\xi }$，并沿任意闭路 $\gamma$（若与 $D$ 相交则取 ${\gamma }_{\epsilon }$）有

$$\mathrm{Sf}(\gamma )=\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })=-{\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}d\xi \in \mathbb{Z}.$$

证明：由 BK 公式 $\det S=e^{-2\pi i\xi }$ 和 $\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })=\frac{1}{2\pi }\oint d\arg \det S$，得到 $\mathrm{deg}=-\oint d\xi$。单位圆谱流与角度总变差的整数关系见 Kato 的谱流理论或 Phillips 的幺正版本，故 $\mathrm{Sf}=\mathrm{deg}$。

定理 4.2（模 2 Levinson，一般 Schatten）

在假设 A 与假设 D 下，

$${\nu }_{\sqrt{S}}(\gamma )=\exp (-i\pi {\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}d{\xi }_p)=(-1{)}^{\mathrm{Sf}(\gamma )}=(-1{)}^{N_b(\gamma )}=(-1{)}^{I_2(\gamma ,D)}.$$

当 $\gamma$ 不可完全回避 $D$ 时，整数 $\mathrm{Sf}(\gamma )$ 的符号依赖规避方向，但上式之模 2 等式与交数 $I_2$ 对规避不变。

证明：由引理 4.0bis 与横截局部模型，$\arg \det S$ 的净变化等于若干个 $\pm \pi$ 的和。指数正是穿越次数的奇偶。谱流奇偶与穿越奇偶一致，从而与 $N_b$ 一致。再由 §5 的交数判据得到与 $I_2$ 的一致。

5 鉴别子与模 2 交数

令

$$D=\{\text{Jost 上半平面零点生成或湮灭、阈值异常、嵌入本征值、通道开闭}\}\subset X.$$

一般位置下 $D$ 为余维一的分片光滑子流形。

命题 5.0（规避与取向的 ${\mathbb{Z}}_2$ 不变性，总纲）

在假设 A 与假设 D 下，设闭路 $\gamma \subset X$ 与鉴别子 $D$ 有有限个横截交点。则：

(i) 规避选择只影响整数绕数 $\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })$ 的号符，不影响其奇偶；

(ii) 闭路取向反转只改变 $\mathrm{deg}(\mathfrak{s}{|}_{\gamma })$ 的号符，不改其奇偶；

(iii) 因此，一切 ${\mathbb{Z}}_2$ 结论（${\nu }_{\sqrt{S}}(\gamma )$、$(-1{)}^{\mathrm{Sf}(\gamma )}$、$(-1{)}^{I_2(\gamma ,D)}$）对规避选择与取向反转不敏感。

证明：由引理 0.A、引理 4.0bis 与命题 5.0ter。

约定（避障与规避独立性，模 2）

若闭路 $\gamma \subset X$ 与 $D$ 有有限个横截交点，在每个交点处取半径 $\epsilon >0$ 的小半圆规避，得 ${\gamma }_{\epsilon }\subset X^{\circ }$。则

$${\nu }_{\sqrt{S}}(\gamma ):={\nu }_{\sqrt{S}}({\gamma }_{\epsilon }),I_2(\gamma ,D):=⟨w_D,[{\gamma }_{\epsilon }]⟩\in {\mathbb{Z}}_2$$

在**${\mathbb{Z}}_2$ 层级与规避选择无关**。具体地，任意两条由不同微小规避方式得到的 ${\gamma }_{\epsilon },{\gamma }_{{\epsilon }^{\prime }}\subset X^{\circ }$ 满足

$$⟨w_D,[{\gamma }_{\epsilon }]⟩=⟨w_D,[{\gamma }_{{\epsilon }^{\prime }}]⟩\in {\mathbb{Z}}_2,$$

且

$$\exp (-i\pi {\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}d{\xi }_p)=\exp (-i\pi {\oint }_{{\gamma }_{{\epsilon }^{\prime }}}d{\xi }_p).$$

命题 5.0ter（规避独立性，统一版）

设 $D\subset X$ 满足一般位置假设，$\gamma \subset X$ 为闭路。任取两条按 §0.2a 规则得到的规避闭路 ${\gamma }_{\epsilon },{\gamma }_{{\epsilon }^{\prime }}\subset X^{\circ }$，有

$$⟨w_D,[{\gamma }_{\epsilon }]⟩=⟨w_D,[{\gamma }_{{\epsilon }^{\prime }}]⟩\in {\mathbb{Z}}_2,\exp (-i\pi {\oint }_{{\gamma }_{\epsilon }}d{\xi }_p)=\exp (-i\pi {\oint }_{{\gamma }_{{\epsilon }^{\prime }}}d{\xi }_p).$$

因而 ${\nu }_{\sqrt{S}}(\gamma )$ 与 $I_2(\gamma ,D)$ 在 ${\mathbb{Z}}_2$ 层级对规避选择不敏感；非横截场景下取任意小 $C^1$ 扰动至分层横截，结论依旧成立。

证明：任意两种规避仅在每个横截点附近相差一条小半圆，其并合为若干个以法向小环为边界的 2‑链；配对 $w_D$ 的结果在 ${\mathbb{Z}}_2$ 中相同。由引理 0.A，$\exp (-i\pi \oint d{\xi }_p)$ 对此替换亦不变。若 $D$ 含角点/自交/切触等非正则点，取任意小的 $C^1$ 扰动将 $(\gamma ,D)$ 调至分层横截情形；由模 2 同伦不变性与 $w_D\in H^1(X^{\circ };{\mathbb{Z}}_2)$ 的自然性，$I_2(\gamma ,D)$ 与 $\exp (-i\pi \oint d{\xi }_p)$ 在 ${\mathbb{Z}}_2$ 层级保持不变。

命题 5.0bis（Alexander 对偶与横截代表，统一表述） 令 $w_D\in H^1(X^{\circ };{\mathbb{Z}}_2)$ 为由闭的可驯化余维一分层子流形 $D\subset X$ 诱导的链接类。取 $D$ 的紧致管状邻域 $N(D)$。对任意规避闭路 ${\gamma }_{\epsilon }\subset X^{\circ }$，当 ${\gamma }_{\epsilon }⋔\partial N(D)$ 时，

$$I_2(\gamma ,D)=⟨w_D,[{\gamma }_{\epsilon }]⟩=([{\gamma }_{\epsilon }]\cdot [\partial N(D)])\mathrm{mod}2.$$

二维特例 若 $\dim X=2$ 且 $\gamma ⋔D$，则 $I_2(\gamma ,D)=\#(\gamma \cap D)\mathrm{mod}2$。两种表达式对小的 $C^1$ 变形与分层横截稳定。

证明：由 $w_D=\mathrm{PD}[\partial N(D)]$，有 $⟨w_D,[{\gamma }_{\epsilon }]⟩=⟨\mathrm{PD}[\partial N(D)],[{\gamma }_{\epsilon }]⟩=[{\gamma }_{\epsilon }]\cdot [\partial N(D)]\mathrm{mod}2$。二维时 $\partial N(D)$ 为横跨 $D$ 的双侧曲线，交于 $D$ 的横截点一一对应，导出第二式。

横截局部模型假设（单通道化跨 $\pi$）

对每个横截点 $x_{\ast }\in \gamma \cap D$，存在局部坐标 $t$ 与本征相位基，使某一通道的相位 $\theta (t)$ 满足 ${\partial }_t\theta (t_{\ast })\ne 0$ 且 $\theta$ 在 $t_{\ast }$ 邻域跨越 $\pi$（模 $2\pi$），其余通道相位连续。该非退化性等价于鉴别子在 $x_{\ast }$ 的横截性。

定义（模 2 链接数，闭路通用版）

在假设 D 下，令 $w_D\in H^1(X^{\circ };{\mathbb{Z}}_2)$ 为由 $D$ 诱导的链接类。对任意闭路 $\gamma \subset X$，取其规避版本 ${\gamma }_{\epsilon }\subset X^{\circ }$，定义

$$I_2(\gamma ,D):=⟨w_D,[{\gamma }_{\epsilon }]⟩\in {\mathbb{Z}}_2.$$

若取 $D$ 的紧致管状邻域 $N(D)$ 并使规避闭路 ${\gamma }_{\epsilon }⋔\partial N(D)$，则

$$I_2(\gamma ,D)=([{\gamma }_{\epsilon }]\cdot [\partial N(D)])\mathrm{mod}2=\#({\gamma }_{\epsilon }\cap \partial N(D))\mathrm{mod}2.$$

当 $\dim X=2$ 且 $\gamma ⋔D$ 时，该值亦等于 $\#(\gamma \cap D)\mathrm{mod}2$。

定理 5.1（交数判据，模 2）