Null–Modular 双覆盖统一原理：在因果钻石上对齐信息几何变分与散射半相位的 ${\mathbb{Z}}_2$ holonomy

Version: 2.13

摘要

我们在小因果钻石 $B_{\ell }(p)$ 的门槛内（Hadamard 态、$[0,{\lambda }_{\ast }]$ 无共轭点、角点处方、固定温标 $\delta T=0$、能量–动量守恒 ${\nabla }^a{T}_{ab}=0$、维数 $n\ge 3$）表明：(i) $G_{ab}+\Lambda g_{ab}=8\pi G{T}_{ab}$ 与 ${\delta }^2{S}_{\mathrm{rel}}\ge 0$；(ii) 体积分 ${\mathbb{Z}}_2$–BF 在 $Y=M\times X^{\circ }$ 的相对扇区选择 $[K]=0$；(iii${}^{\star }$) 一切物理回路与允许二维循环上的 ${\mathbb{Z}}_2$ 指标皆平凡/为零。并在 $A_{\partial }$、$A_{\mathrm{rel}\text{-}\mathrm{gen}}$、$H^1/H^2$ 可检测性、（一般流形时）$A_{\mathrm{spin}}$ 与 $A_{tors2}$ 下，$(ii)⟺({\text{iii}}^{\star })$；若再加闭路的模二对齐（假设 4）并对 $H^2$ 通道实施对齐/等效消去（假设 4′ 与 $A_{!H^2}$），则 $(i)\Rightarrow ({\text{iii}}^{\star })$。我们用 Künneth 分解把 $w_2(TM)$、散射线丛扭挠与平方根双覆盖统一到同一 $K$ 类，并给出一维 $\delta$ 势、二维 Aharonov–Bohm 与拓扑超导端点散射的三类可计算指纹。全文在 ${\mathbb{Z}}_2$ 系数下工作（Tor 项为零），所有配对皆为相对上同调意义。

Keywords

广义熵；相对熵；规范能量；小因果钻石；模组 Berry 联络；Birman–Kreĭn；谱流；模二交数；${\mathbb{Z}}_2$–BF 顶项；$H^1/H^2$ 不变量；Künneth 分解；${\mathrm{spin}}^c$；拓扑超导端点散射

引言与历史背景

在小因果钻石内，爱因斯坦方程的一阶变分早已由 Jacobson 热力学途径导出，然而二阶变分非负性与散射边界的拓扑约束一直分属两条独立语言：前者停留在几何侧的正能定理，后者则依赖于谱流与 Birman–Kreĭn 理论。本文指出，这两个看似不相干的问题其实共享同一把“钥匙“——若散射算符的平方根行列式在任意物理回路上出现 $-1$ 的 ${\mathbb{Z}}_2$–holonomy，则二阶规范能量 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{can}}$ 必可负，从而违背全息正性。我们把这一观察转化为同调语言：在体积分版本的 ${\mathbb{Z}}_2$–BF 理论中，在对齐、$H^1/H^2$ 通道可检测性、生成性与自旋平凡性等假设下，$[K]=0$ 同时是“爱因斯坦方程成立 + 二阶能量非负“与**(iii${}^{\star }$)** 的充要条件，首次把“方程—稳定—拓扑“纳入同一变分原理。需要强调：从 (i) 推出 (iii${}^{\star }$) 必须在闭路对齐（假设 4）外，再加上**（$H^2$ 通道的对齐或等效消去假设）**（见假设 4′ 与定理 5 的 E‑(b″)）。

Symbols, Units, Conventions

度规签名 $(-+++)$；单位 $c=k_B=1$，保留 $\hslash$。微分与虚数单位统一为 $\mathrm{d}$、$\mathrm{i}$。运算符与群记号统一为 $\mathrm{tr}$、$\mathrm{Pf}$、$\mathrm{sgn}$、${\det }_p$¹、$\mathrm{Sf}$、$U(1)$、${\mathbb{Z}}_2$。

（口径统一） 全文散射行列式一律记为 ${\det }_p$（Schatten 修正；迹类与相对迹类均涵盖）。在不致混淆时可简写为“$\det$“，其值以模二投影进入 ${\nu }_{\sqrt{{\det }_{p}S}}$，对 $p$ 与重整选取不敏感。

（统一定义）物理回路与相对二维循环：物理回路 $\gamma \subset X^{\circ }$ 为可由外参绝热实现的闭路；若绕过判别集 $D$，按“小半圆/折返“规则稳定并以 $I_2(\gamma ,D)$ 记录奇偶。允许的相对二维循环由三类乘积生成：

$$({\Sigma }_2,\partial {\Sigma }_2)\times \mathrm{pt},({\Sigma }_1,\partial {\Sigma }_1)\times ({\gamma }_1,\partial {\gamma }_1),\mathrm{pt}\times ({\gamma }_2,\partial {\gamma }_2),$$

其中 ${\Sigma }_k\subset M$、${\gamma }_j\subset X^{\circ }$ 为相对闭链。系数取 ${\mathbb{Z}}_2$，故一切配对不依赖取向。

（统一定义补充） 将判别集取开邻域 $N(D)$ 并定义允许回路/二维循环为相对链群

$$H_1(X^{\circ },\partial X^{\circ }\cup N(D);{\mathbb{Z}}_2),H_2(X^{\circ },\partial X^{\circ }\cup N(D);{\mathbb{Z}}_2),$$

对其代表闭路按“小半圆/折返“实现绝热避让并以 $I_2(\gamma ,D)$ 计数。系数取 ${\mathbb{Z}}_2$ 故不依赖取向。

记号声明：在 BF 段落，为区分变分符号 $\delta$ 与上同调增算子，记上同调增算子为 $\mathbf{\delta }$；其余处仍记 $\delta$。

Conceptual Bridge: Künneth 分解与 $H^1/H^2$ 两条散射不变量

Künneth 给出

$$H^2(Y;{\mathbb{Z}}_2)\cong H^2(M;{\mathbb{Z}}_2)\oplus (H^1(M;{\mathbb{Z}}_2)\otimes H^1(X^{\circ };{\mathbb{Z}}_2))\oplus H^2(X^{\circ };{\mathbb{Z}}_2).$$

散射平方根的全局障碍有两条并行来源： $H^1$ 路线：主 ${\mathbb{Z}}_2$‑丛类 $\mathfrak{w}\in H^1(X^{\circ };{\mathbb{Z}}_2)$ 控制 ${\nu }_{\sqrt{{\det }_{p}S}}(\gamma )=(-1{)}^{⟨\mathfrak{w},[\gamma ]⟩}$；在 ${\Sigma }_1\times {\gamma }_1$ 上以交叉项 ${\pi }_M^{\ast }\mu ⌣{\pi }_X^{\ast }\mathfrak{w}$（$\mu \in H^1(M;{\mathbb{Z}}_2)$ 为与 ${\Sigma }_1$ 对偶的类）配对。 $H^2$ 路线：平直线丛 ${\mathcal{L}}_S$ 的 $c_1({\mathcal{L}}_S)\in H^2(X^{\circ };\mathbb{Z})$（扭挠）经模二约化 $\rho \left(c_1\right)$；在 $\mathrm{pt}\times {\gamma }_2$ 上直接配对。后文 BF 顶项统一把三部分累加到同一 $K$ 中并以 $[K]=0$ 作为“可实现扇区“的充要判据。

在 ${\mathbb{Z}}_2$ 系数下 Tor 项消失，有相对分解

$$H^2(Y,\partial Y;{\mathbb{Z}}_2)\cong H^2(M,\partial M)\oplus (H^1(M,\partial M)\otimes H^1(X^{\circ },\partial X^{\circ }))\oplus H^2(X^{\circ },\partial X^{\circ }).$$

据此三类相对二维循环代表为

$$({\Sigma }_2,\partial {\Sigma }_2)\times \mathrm{pt},({\Sigma }_1,\partial {\Sigma }_1)\times ({\gamma }_1,\partial {\gamma }_1),\mathrm{pt}\times ({\gamma }_2,\partial {\gamma }_2),$$

配对规则与原文绝对情形逐项对应，且不依赖取向（${\mathbb{Z}}_2$）。

Model & Assumptions

几何与态：$(M,g)$ 定向四维、$g\in C^3$、$T_{ab}\in C^1$；小因果钻石腰面为极大截面，$\theta (0)=\sigma (0)=\omega (0)=0$，零测地族超曲面正交；Hadamard 态与点分裂重整化；$[0,{\lambda }_{\ast }]$ 内无共轭点；能量–动量守恒 ${\nabla }^a{T}_{ab}=0$；一阶极值在固定温标/加速度框架下进行（$\delta T=0$）。

光线变换可逆性与稳定（$A_{\mathrm{LRI}}$）

在小钻石 $B_{\ell }(p)$ 的无共轭点域内，取 $w(\lambda )\in C^1[0,{\lambda }_{\ast }]$ 有界且存在 $w_0>0$ 使 $w(\lambda )\ge w_0$。对 $f\in C^0(B_{\ell }(p))$，加权光线变换

$$R_w[f](\gamma ):={\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}w(\lambda )f(\gamma (\lambda ))\mathrm{d}\lambda$$

单射且满足稳定估计

$$\Vert f{\Vert }_{L^{\infty }(B_{\ell }(p))}\le C\underset{\gamma \subset B_{\ell }(p)}{\sup }|R_w[f](\gamma )|,$$

常数 $C$ 仅依赖 $(B_{\ell }(p),g)$ 与 $w$。本文仅以 $f:=R_{kk}-8\pi G{T}_{kk}$ 使用 $A_{\mathrm{LRI}}$，并将 $A_{\mathrm{LRI}}$ 与“Hadamard/角点处方/无共轭点“并列视为定理 1 的门槛。

散射与正则性：$S-1\in {\mathfrak{S}}_1$ 或满足相对迹类并采用修正行列式 ${\det }_p$；闭路数据分段 $C^1$；阈值/嵌入本征值以小半圆切除或折返，并以 $I_2(\gamma ,D)$ 稳定。

记号统一：本文一律采用 Schatten 修正行列式 ${\det }_p$，并以 $\sqrt{{\det }_{p}S}$ 记散射平方根行列式；凡旧文出现 $\sqrt{\det S}$ 之处，均应视作 $\sqrt{{\det }_{p}S}$。模二鲁棒性：对 $p$ 的选择、相对迹类重整与有限维分波截断的改变不影响 ${\nu }_{\sqrt{{\det }_{p}S}}(\gamma )$ 的 ${\mathbb{Z}}_2$ 值。 单位与温标：体积项取 $-\frac{\Lambda }{8\pi G}V$；一阶极值在固定温标/加速度框架下进行（$\delta T=0$），不把 $T$ 作为变分变量。

（解释） 我们固定加速度/温度标度（$\delta T=0$），意即把 KMS 参数与局域 Rindler 框架视作背景结构而非变分变量，从而避免把温标的变化混入重力方程的一阶变分。此选择不限制物理性，只是变分学的口径。

引理 A（加权光线约束的可达性） 在定理 1 的门槛下（Hadamard 态、$[0,{\lambda }_{\ast }]$ 无共轭点、角点处方、$\delta T=0$ 与 ${\nabla }^a{T}_{ab}=0$），对任意小因果钻石 $B_{\ell }(p)$、任意其内零测地段 $\gamma$ 与任意 $w\in C^1[0,{\lambda }_{\ast }]$ 且存在常数 $w_0>0$ 使 $w(\lambda )\ge w_0$ 的权函数，存在局域 Rindler 生成元族与相应通量（或模组）泛函，使得

$${\mathcal{F}}_{\gamma ,w}\equiv {\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}w(\lambda )(R_{kk}-8\pi G{T}_{kk})\mathrm{d}\lambda =0.$$

证明素描：由局域第一定律/相对熵第一律（Jacobson/Faulkner–Lewkowycz–Maldacena–Suh 结构）与角点处方保证的可积性，将通量差写成 $R_{kk}$ 与 $T_{kk}$ 的线性泛函；权 $w$ 由外参驱动的绝热剖面实现，Hadamard 与无共轭点确保权下的光线变换良定并受控。于是对所有 $\gamma ,w$ 有 ${\mathcal{F}}_{\gamma ,w}=0$。配合 $A_{\mathrm{LRI}}$ 单射与稳定性即得 $R_{kk}=8\pi G{T}_{kk}$ 于 $B_{\ell }(p)$。

边界与相对框架（$A_{\partial }$）：记 $Y=M\times X^{\circ }$、$\partial Y=\partial M\times X^{\circ }\cup M\times \partial X^{\circ }$。在参数边界与判别集回避下固定平方根分支与（若适用）自旋结构平凡化，令 $r([K])=0$。由长正合序列得 $[K]$ 唯一提升至 $H^2(Y,\partial Y;{\mathbb{Z}}_2)$，后文所有 Kronecker 配对均在相对上同调中进行。

命题 B（相对提升的存在与唯一） 设 $r:H^2(Y;{\mathbb{Z}}_2)\to H^2(\partial Y;{\mathbb{Z}}_2)$ 为限制映射。若 $r([K])=0$，则存在相对类 $\widetilde{[K]}\in H^2(Y,\partial Y;{\mathbb{Z}}_2)$ 使 $j^{\ast }\widetilde{[K]}=[K]$，其中 $j^{\ast }$ 为自然映射。其唯一性指：若 ${\widetilde{[K]}}_1,{\widetilde{[K]}}_2$ 皆为提升，则 ${\widetilde{[K]}}_1-{\widetilde{[K]}}_2\in \mathrm{Im}(H^1(\partial Y)\to H^2(Y,\partial Y))$，在“边界平凡化“（固定 $\sqrt{{\det }_{p}S}$ 分支与自旋平凡化）下唯一。

证明素描：由相对上同调长正合序列

$$\cdots \to H^1(\partial Y)\to H^2(Y,\partial Y)\stackrel{j^{\ast }}{\to }{H}^2(Y)\stackrel{r}{\to }{H}^2(\partial Y)\to \cdots$$

可得“$r([K])=0\Rightarrow$ 存在提升“，唯一性由序列的核像关系给出。

同调可检测性（$H^1$ 通道）：假设 $H^1(M,\partial M;{\mathbb{Z}}_2)$ 非平凡，且存在基 $\{{\mu }_j\}$ 使得

$$\sum _j{\pi }_M^{\ast }{\mu }_j⌣{\pi }_X^{\ast }{\mathfrak{w}}_j=0\text{于}{H}^2(Y,\partial Y;{\mathbb{Z}}_2)⟺\forall j:{\mathfrak{w}}_j=0,$$

等价表述：固定基 $\{{\mu }_j\}\subset H^1(M,\partial M;{\mathbb{Z}}_2)$ 后，线性映射

$$T:\underset{j}{⨁}{H}^1(X^{\circ },\partial X^{\circ };{\mathbb{Z}}_2)⟶H^1(M,\partial M;{\mathbb{Z}}_2)\otimes H^1(X^{\circ },\partial X^{\circ };{\mathbb{Z}}_2),T(({\mathfrak{w}}_j{)}_j)=\sum _j{\mu }_j\otimes {\mathfrak{w}}_j$$

为单射。等价地，沿与 $\{{\mu }_j\}$ 对偶的相对闭 $1$‑链族 $\{({\Sigma }_1^{(j)},\partial {\Sigma }_1^{(j)})\}$ 配对有

$$⟨K,({\Sigma }_1^{(j)},\partial {\Sigma }_1^{(j)})\times ({\gamma }_1,\partial {\gamma }_1)⟩=⟨{\mathfrak{w}}_j,[{\gamma }_1]⟩(\forall j),$$

从而可唯一确定每个 ${\mathfrak{w}}_j$；据此可消去 $H^1\times H^1$ 通道并平凡化由 $H^1$ 控制的 ${\nu }_{\sqrt{{\det }_{p}S}}$。

（$H^1$ 通道可检测性，统一口径）：取基 $\{{\mu }_j\}\subset H^1(M,\partial M;{\mathbb{Z}}_2)$ 及对偶链族 $\{({\Sigma }_1^{(j)},\partial {\Sigma }_1^{(j)})\}$。若参考闭路族 $\{({\gamma }_1^{(a)},\partial {\gamma }_1^{(a)})\}$ 生成 $H_1(X^{\circ },\partial X^{\circ };{\mathbb{Z}}_2)$，则评估映射

$$\mathrm{ev}:H^1(X^{\circ },\partial X^{\circ };{\mathbb{Z}}_2)\to {\mathbb{Z}}_2^A,\mathfrak{w}\mapsto (⟨\mathfrak{w},[{\gamma }_1^{(a)}]⟩{)}_a$$

单射，因而 $T:={⨁}_j({\mu }_j\otimes \mathrm{ev})$ 单射；等价地，对每个 $j$，行向量 $(P_{ja}{)}_a$ 全零当且仅当 ${\mathfrak{w}}_j=0$，其中 $P_{ja}:=⟨K,({\Sigma }_1^{(j)},\partial {\Sigma }_1^{(j)})\times ({\gamma }_1^{(a)},\partial {\gamma }_1^{(a)})⟩=⟨{\mathfrak{w}}_j,[{\gamma }_1^{(a)}]⟩$。据此可唯一确定每个 ${\mathfrak{w}}_j$ 并消去 $H^1\times H^1$ 通道。

（$H^2$ 通道可检测性，$A_{!H^2}$）：取生成族 $\{{\gamma }_2^{(b)}\}$ 的相对二维循环，测量 $⟨\rho (c_1({\mathcal{L}}_S)),[{\gamma }_2^{(b)}]⟩$ 是否全零以判定消去。

引理 C（检测族的有限生成） 设允许的物理回路/相对二维循环族 $\mathcal{S}$ 满足：

（i）（可解模型）参数域在去除判别集 $D$ 后形变收缩至 1‑复形（或 2‑骨架）；

（ii）（一般情形）存在有限组 $\{({\gamma }_1^{(a)}),({\gamma }_2^{(b)})\}$ 与 $\{({\Sigma }_1^{(j)}),({\Sigma }_2)\}$ 使得

$$\{({\Sigma }_1^{(j)},\partial {\Sigma }_1^{(j)})\times ({\gamma }_1^{(a)},\partial {\gamma }_1^{(a)}),({\Sigma }_2,\partial {\Sigma }_2)\times \mathrm{pt},\mathrm{pt}\times ({\gamma }_2^{(b)},\partial {\gamma }_2^{(b)})\}$$

生成 $H_2(Y,\partial Y;{\mathbb{Z}}_2)$。

（引理 C，统一口径） 若允许族生成 $H_2(Y,\partial Y;{\mathbb{Z}}_2)$，参考闭路族生成 $H_1(X^{\circ },\partial X^{\circ };{\mathbb{Z}}_2)$，并满足 $A_{!H^2}$ 与 $A_{\mathrm{rel}\text{-}\mathrm{gen}}$，则

$$\text{对所有允许相对二维循环的配对皆为零}⟺[K]=0\in H^2(Y,\partial Y;{\mathbb{Z}}_2).$$

生成性假设（相对二同调版，记作 $A_{\mathrm{rel}\text{-}\mathrm{gen}}$）

允许的“物理二维循环族“$\mathcal{S}$ 在相对意义下生成 $H_2(Y,\partial Y;{\mathbb{Z}}_2)$，即任意相对类 $[S]\in H_2(Y,\partial Y;{\mathbb{Z}}_2)$ 可由有限个

$$({\Sigma }_2,\partial {\Sigma }_2)\times \mathrm{pt},({\Sigma }_1,\partial {\Sigma }_1)\times ({\gamma }_1,\partial {\gamma }_1),\mathrm{pt}\times ({\gamma }_2,\partial {\gamma }_2)$$

的 ${\mathbb{Z}}_2$ 线性组合表示。后续所有“充要/必要“判据均在 $A_{\partial }$ 与 $A_{\mathrm{rel}\text{-}\mathrm{gen}}$ 下陈述。

推论 E（$H^2=0$ 化约） 对一维 $\delta$ 势、二维 Aharonov–Bohm 与端点散射族，参数域去除判别集后形变收缩到 1‑复形，故 $H^2(X^{\circ },\partial X^{\circ })=0$；于是（iii）与（iii${}^{\star }$）等价，并且 $({\text{iii}}^{\star })\Rightarrow (ii)$ 在相对上同调意义下成立。

扭挠与可检测性：（平直性） 若 ${\mathcal{L}}_S$ 为平直 $U(1)$ 线丛，则 $c_1({\mathcal{L}}_S)$ 落在 $H^2(X^{\circ };\mathbb{Z})$ 的扭挠子群（有限阶）。为与本文 ${\mathbb{Z}}_2$ 框架匹配，引入假设 （$A_{tors2}$）：$c_1({\mathcal{L}}_S)$ 的扭挠阶为某个 $2^m$，于是其模二约化 $\rho (c_1({\mathcal{L}}_S))$ 完整刻画 $H^2$ 通道；（$A_{!H^2}$）——允许的参数二维循环生成 $H_2(X^{\circ },\partial X^{\circ };{\mathbb{Z}}_2)$。

自旋平凡性（$A_{\mathrm{spin}}$）：一般流形时假设 $w_2(TM)=0$。小因果钻石情形自动满足：令工作域 $U:=B_{\ell }(p)$ 可形变收缩到可缩空间，故

$$H^2(U;{\mathbb{Z}}_2)=H^2(U,\partial U;{\mathbb{Z}}_2)=0,$$

从而 $w_2(TM){|}_U=0$。相对通道不产生来自 $M$ 的二阶分量。

（平直线丛扭挠口径；$A_{tors2}$ 的明确定义）

若散射相之线丛 ${\mathcal{L}}_S$ 取自 $U(1)$‑表示，则 $c_1({\mathcal{L}}_S)$ 为扭挠类（有限阶）。为与本文 ${\mathbb{Z}}_2$ 架构对齐，我们假设 $c_1({\mathcal{L}}_S)$ 的扭挠阶为某个 $2^m$（记作 $A_{tors2}$）。在此假设下，$\rho (c_1({\mathcal{L}}_S))\in H^2(X^{\circ };{\mathbb{Z}}_2)$ 穷尽 $H^2$‑通道并进入 $K$。若存在奇数阶扭挠分量，则需改用相应有限群（如 ${\mathbb{Z}}_n$）的 BF 顶项；本文不展开，后续充要/等价陈述均在 $A_{tors2}$ 下理解。

Main Results (Theorems and Alignments)

为避免歧义，本文主命题的三层对象统一约定为

$$\boxed{\begin{array}{rl}& (i):G_{ab}+\Lambda g_{ab}=8\pi G{T}_{ab}\wedge {\delta }^2{S}_{\mathrm{rel}}={\mathcal{E}}_{\mathrm{can}}[h,h]\ge 0\\ & (ii):[K]=0\in H^2(Y,\partial Y;{\mathbb{Z}}_2)\\ & ({\text{iii}}^{\star }):\forall \gamma \subset X^{\circ }:{\nu }_{\sqrt{{\det }_{p}S}}(\gamma )\equiv 1\wedge \forall {\gamma }_2\subset X^{\circ }\text{允许}:⟨\rho (c_1({\mathcal{L}}_S)),[{\gamma }_2]⟩=0\end{array}}$$

其中 (i) 的门槛包含：$[0,{\lambda }_{\ast }]$ 内无共轭点、Hadamard 态与角点处方（辛流闭合与 $\delta H_{\chi }$ 可积）以及“固定温标/加速度“$\delta T=0$、能量–动量守恒 ${\nabla }^a{T}_{ab}=0$、$A_{\mathrm{LRI}}$。 (ii) 采用相对上同调并以下文 $A_{\partial }$ 的边界条件使 $[K]$ 提升为相对类。其余记号与假设见“Model & Assumptions“。

（定义）物理判据 (iii)

$$\boxed{\text{(iii)}\equiv \forall \gamma \subset X^{\circ }:{\nu }_{\sqrt{{\det }_{p}S}}(\gamma )\equiv 1}.$$

说明：该判据仅涉及回路（$H^1\times H^1$ 通道）。当 $H^2(X^{\circ },\partial X^{\circ })=0$ 时，(iii) 与 (iii${}^{\star }$) 等价；下文有关“(iii) 与 (iii${}^{\star }$) 等价“的表述均在此意义下成立。

（定义）物理判据 (iii${}^{\star }$)

$$\boxed{\text{(iii⋆)}\equiv \underset{\text{回路（H1×H1 通道）}}{\underbrace{\forall \gamma \subset X^{\circ }:{\nu }_{\sqrt{{\det }_{p}S}}(\gamma )\equiv 1}}\wedge \underset{\text{参数二维循环（H2 通道）}}{\underbrace{\forall {\gamma }_2\subset X^{\circ }\text{允许}:⟨\rho (c_1({\mathcal{L}}_S)),[{\gamma }_2]⟩=0}}}.$$

术语：“允许的相对二维循环“指由

$$({\Sigma }_2,\partial {\Sigma }_2)\times \mathrm{pt},({\Sigma }_1,\partial {\Sigma }_1)\times ({\gamma }_1,\partial {\gamma }_1),\mathrm{pt}\times ({\gamma }_2,\partial {\gamma }_2)$$

三类乘积在 ${\mathbb{Z}}_2$ 系数下生成 $H_2(Y,\partial Y;{\mathbb{Z}}_2)$ 的有限组合；相对配对均在

$$H^2(Y,\partial Y;{\mathbb{Z}}_2)\times H_2(Y,\partial Y;{\mathbb{Z}}_2)\to {\mathbb{Z}}_2$$

中计算，故与取向无关。

等价句：在生成性 $A_{\mathrm{rel}\text{-}\mathrm{gen}}$ 与可检测性（见“Model & Assumptions“）成立时，$(ii{i}^{\star })⟺⟨K,[S]⟩=0$ 对一切允许相对二维循环成立。

（注） “允许“的二维循环族按 $A_{\mathrm{rel}\text{-}\mathrm{gen}}$ 之生成性取定；若允许族未生成全部相对二同调，则上式仅给出必要而非充分判据。

定理 1（Null 链：两层判据，取 $A_{\mathrm{LRI}}$ 为门槛）

在小因果钻石 $B_{\ell }(p)$ 的无共轭点域内，满足 Hadamard 态、角点处方、${\nabla }^a{T}_{ab}=0$、$\delta T=0$ **并假设 $A_{\mathrm{LRI}}$（加权光线变换在 $B_{\ell }(p)$ 单射且具有稳定估计）**时，

$$G_{ab}+\Lambda g_{ab}=8\pi G{T}_{ab},{\delta }^2{S}_{\mathrm{rel}}={\mathcal{E}}_{\mathrm{can}}[h,h]\ge 0.$$

首式由“族约束 $\Rightarrow$ 点态“的 Radon‑型闭包与零锥刻画得到（取 $f:=R_{kk}-8\pi G{T}_{kk}$，配合 $A_{\mathrm{LRI}}$ 单射性即得 $R_{kk}=8\pi G{T}_{kk}$，再经零锥刻画与 Bianchi 恒等式升格为张量方程）；次式与 Hollands–Wald 规范能量非负等价。

引理 1″（小因果钻石上的加权光线变换可逆与稳定；背景说明）

在 $g\in C^3$、$T_{ab}\in C^1$ 且 $[0,{\lambda }_{\ast }]$ 无共轭点的门槛下，取 $w\in C^1([0,{\lambda }_{\ast }])$ 正且有界。则加权光线变换

$$R_w[f](\gamma ):={\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}w(\lambda )f(\gamma (\lambda ))\mathrm{d}\lambda$$

在小钻石上可逆，并存在常数 $C$ 使

$$\Vert f{\Vert }_{L^{\infty }(B_{\ell }(p))}\le C\underset{\gamma }{\sup }|R_w[f](\gamma )|.$$

（注） 本文将此可逆性与稳定估计作为门槛假设 $A_{\mathrm{LRI}}$ 使用，不再作为本文内证成的结论。

引理 1′（零锥 ⇒ 共形型，$n\ge 3$，连通版）

令 $Q_{ab}$ 为 $C^1$ 对称二阶张量，$M$ 连通且 $\dim M=n\ge 3$。若对一切零向量 $k^a$ 有 $Q_{ab}{k}^a{k}^b=0$，则存在标量函数 $\varphi \in C^1(M)$ 使 $Q_{ab}=\varphi g_{ab}$。若再有 ${\nabla }^a{Q}_{ab}=0$，则 ${\nabla }_b\varphi =0$，因连通性得 $\varphi =\text{常数}$。取 $Q_{ab}:=G_{ab}-8\pi G{T}_{ab}$ 与 $\varphi =-\Lambda$ 即得 $G_{ab}+\Lambda g_{ab}=8\pi G{T}_{ab}$。

证素描：零锥刻画确定 $Q$ 与 $g$ 具有相同的零锥，故 $Q=\varphi g$（$n\ge 3$）。再由 Bianchi 恒等式与 ${\nabla }^a{T}_{ab}=0$ 得 ${\nabla }^a{Q}_{ab}=0$，故 ${\nabla }_b\varphi =0$，$\varphi$ 为常数。

引理 A′（零锥极化） 令 $Q_{ab}$ 为 $C^1$ 对称张量、$n\ge 3$。若对所有零向量 $k^a$ 有 $Q_{ab}{k}^a{k}^b=0$，则 $Q_{ab}=\varphi g_{ab}$ 某标量 $\varphi$。

证明：对任意类时空向量 $u^a,v^a$，用极化恒等式

$$4Q_{ab}{u}^a{v}^b=Q_{ab}(u+v{)}^a(u+v{)}^b-Q_{ab}(u-v{)}^a(u-v{)}^b$$

将 $Q(\cdot ,\cdot )$ 还原为对若干零向量上的值。因与 $g$ 共享零锥，$Q$ 的主方向集与 $g$ 一致，仅能为 $Q=\varphi g$。再由 ${\nabla }^a{Q}_{ab}=0$（Bianchi 与 ${\nabla }^a{T}_{ab}=0$）得 ${\nabla }_b\varphi =0$。至此引理 1′ 完备化。

（Radon–型闭包） 在 $[0,{\lambda }_{\ast }]$ 无共轭点的门槛下，加权光线变换

$$R_w[f](\gamma ):={\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}w(\lambda )f(\gamma (\lambda ))\mathrm{d}\lambda$$

在小钻石上可逆，并满足稳定估计 $|f|\le C|R_w[f]|$。取 $f:=R_{kk}-8\pi G{T}_{kk}$ 即得 $R_{kk}=8\pi G{T}_{kk}$，配合零锥刻画与 Bianchi 恒等式升格为 $G_{ab}+\Lambda g_{ab}=8\pi G{T}_{ab}$。

定理 2（Modular 链；${\mathbb{Z}}_2$ 等价，统一口径）

取固定能量 $E$ 位于连续谱并远离阈值/嵌入本征值。本文一律以 Schatten 修正行列式 ${\det }_p$ 计相位（$S(E;\cdot )-1$ 迹类或相对迹类时），相对迹类重整与有限维分波截断仅改变整数绕数，其 ${\mathbb{Z}}_2$ 投影不变。定义判别集

$$D_E:=\{x\in X^{\circ }:\sqrt{\underset{p}{\det }S(E;x)}\text{的连续分支在 }x\text{ 处不可定义}\}.$$

其典型来源为：(α) 阈值、嵌入本征值或共振导致谱移函数 $\xi (E;\cdot )$ 跃迁；(β) $S(E;\cdot )$ 存在特征值 $-1$（平方根分支切换点）。

对任一闭路 $\gamma$（按“小半圆/折返“规则稳定）有

$${\nu }_{\sqrt{{\det }_{p}S(E;\cdot )}}(\gamma )=\exp (-\mathrm{i}\pi {\oint }_{\gamma }\mathrm{d}\xi (E))=(-1{)}^{I_2(\gamma ,D_E)}.$$

当 $\gamma$ 与 $D_E$ 横截或切触时，按“小半圆或折返“规则稳定，$I_2(\gamma ,D_E)$ 定义为相对取向的模二交数，故对正则化口径与局部取向不敏感。

引理 2.1（谱流与模二交数，Pushnitski 2001, Thm 3.2）

在迹类扰动与阈值正则化下，$\mathrm{Sf}(\gamma ;E)\mathrm{mod}2=I_2(\gamma ,D_E)$，故 ${\nu }_{\sqrt{{\det }_{p}S}}(\gamma )=(-1{)}^{\mathrm{Sf}}=(-1{)}^{I_2}$ 成立。

引理 2.2（模二鲁棒性；对 $p$/相对迹类/分波截断的独立性）

在 $S(E;\cdot )-1$ 属迹类或相对迹类的门槛下，取任意 $p\ge 1$ 之 Schatten 修正行列式 ${\det }_p$。对多通道/分波情形，令有限维截断参数 $N\to \infty$。则对一切物理闭路 $\gamma$（按“小半圆/折返“规则稳定），有

$${\nu }_{\sqrt{{\det }_{p}S}}(\gamma )=(-1{)}^{\mathrm{Sf}(\gamma ;E)}=(-1{)}^{I_2(\gamma ,D_E)},$$

其中等式右侧的模二值对 $p$ 的选择、相对迹类的重整方案与分波截断极限 $N\to \infty$均不变。

证明素描：模二谱流在稳定同伦下不变；$I_2$ 为 ${\mathbb{Z}}_2$ 交数，对正则化方案与局部取向不敏感；${\det }_p$ 的改变仅改变量子化的 $2\pi$ 相位，${\mathbb{Z}}_2$ 投影不受影响。

定理 3（${\mathbb{Z}}_2$–BF 扇区选择：体积分、一般维度、相对上同调）

令 $d=\dim Y$，取

$$a\in C^1(Y;{\mathbb{Z}}_2),b\in C^{d-2}(Y;{\mathbb{Z}}_2),K:={\pi }_M^{\ast }{w}_2(TM)+\underset{H^1\times H^1\text{通道}}{\underbrace{\sum _j{\pi }_M^{\ast }{\mu }_j⌣{\pi }_X^{\ast }{\mathfrak{w}}_j}}+\underset{H^2\text{通道}}{\underbrace{{\pi }_X^{\ast }\rho (c_1({\mathcal{L}}_S))}}.$$

取

$$I_{\mathrm{BF}}[a,b]=\mathrm{i}\pi {\int }_{(Y,\partial Y)}b⌣\mathbf{\delta }a+\mathrm{i}\pi {\int }_{(Y,\partial Y)}b⌣K+\mathrm{i}\pi {\int }_{\partial Y}a⌣b.$$

规变良定与上同调投影（有限性门槛）

假设 $Y$ 与 $\partial Y$ 为有限 CW 复形（故 $H^{\bullet }(Y,\partial Y;{\mathbb{Z}}_2)$ 有限维）。规变 $a\mapsto a+\mathbf{\delta }{\lambda }^0$、$b\mapsto b+\mathbf{\delta }{\lambda }^{d-3}$ 下边界项互相抵消，变分良定；对相对上同调类 $[a]\in H^1(Y,\partial Y)$、$[b]\in H^{d-2}(Y,\partial Y)$ 离散求和并用有限阿贝尔群特征正交性得

$$\boxed{Z_{\mathrm{top}}\propto \delta ([K])⟺[K]=0\in H^2(Y,\partial Y;{\mathbb{Z}}_2)}.$$

于是对一切相对二维循环 $[S]$ 有 $⟨K,[S]⟩=0$；在 $A_{\mathrm{rel}\text{-}\mathrm{gen}}$ 下该条件亦为充分。

（统一注）相对上同调 + 边界规不变性：三步法

(1) 在 $(Y,\partial Y)$ 上以 ${\mathbb{Z}}_2$ 系数取变分良定之作用

$$I_{\mathrm{BF}}[a,b]=\mathrm{i}\pi {\int }_{(Y,\partial Y)}b⌣\mathbf{\delta }a+\mathrm{i}\pi {\int }_{(Y,\partial Y)}b⌣K+\mathrm{i}\pi {\int }_{\partial Y}a⌣b,$$

使规变 $a\mapsto a+\mathbf{\delta }{\lambda }^0$、$b\mapsto b+\mathbf{\delta }{\lambda }^{d-3}$ 的边界项相互抵消；

(2) 先对 $[a]\in H^1(Y,\partial Y)$ 求和，仅强制 $\mathbf{\delta }b=0$；再对 $[b]\in H^{d-2}(Y,\partial Y)$ 求和，借有限阿贝尔群的特征正交性得到 $Z_{\mathrm{top}}\propto \delta ([K])$；

(3) 由 Poincaré–Lefschetz 对偶与 $A_{\mathrm{rel}\text{-}\mathrm{gen}}$，$⟨K,[S]⟩=0$ 对一切相对二维循环 $[S]$ 当且仅当 $[K]=0$。

详见附录 VII：我们给出带边流形的相对上同调长正合序列的文字叙述，并证明 $\partial Y$ 的配对不引入额外障碍，因而 $[K]=0\in H^2(Y,\partial Y;{\mathbb{Z}}_2)$ 仍是充要。

假设 4′（$H^2$ 对齐，模二版）

存在平直散射线丛 ${\mathcal{L}}_S\to X^{\circ }$ 的相对平凡化与嵌入 $\iota :X^{\circ }\to \mathcal{P}$，使得对任意允许的相对二维循环 $({\gamma }_2,\partial {\gamma }_2)\subset (X^{\circ },\partial X^{\circ })$ 有

$$⟨\rho (c_1({\mathcal{L}}_S)),[{\gamma }_2]⟩\equiv ⟨\frac{1}{2\pi }{\iota }^{\ast }\left(\mathrm{d}{\mathcal{A}}_{\mathrm{mod}}\right),[\Gamma ]⟩\mathrm{mod}2,$$

其中 $[\Gamma ]$ 为与 $({\gamma }_2,\partial {\gamma }_2)$ 相容的相对二维链类。该对齐把二维通道的模二配对与模组联络曲率的相对类在模二意义下统一，从而在 $A_{!H^2}$ 下可由实验/几何检测将其消去。

假设 4（Modular–Scattering Alignment，模二版）

存在嵌入 $\iota :X^{\circ }\to \mathcal{P}$ 与光滑模组联络 ${\mathcal{A}}_{\mathrm{mod}}$ 及散射族 $S(\cdot )$，满足：

（a）${\mathcal{A}}_{\mathrm{mod}}$ 的曲率等于体辛形式；（b）$S^{-1}\mathrm{d}S$ 为迹类 $1$‑形式；（c）物理闭路沿程可避开判别集（或按“小半圆/折返“稳定）。并且仅需模二环量对齐：

$$\exp \left(\mathrm{i}{\oint }_{\gamma }{\mathcal{A}}_{\mathrm{mod}}\right)\equiv {\nu }_{\sqrt{{\det }_{p}S}}(\gamma )\in \{\pm 1\}.$$

（若在平衡/局域情形还成立实数环量相等，则属更强版本，但E‑(b″) 的充分性仅依赖本模二对齐。）

引理 D（模二对齐的闭路稳定性） 若 $S^{-1}\mathrm{d}S$ 为迹类 $1$‑形式且闭路与判别集 $D$ 的相交按“小半圆/折返“稳定，则

$${\nu }_{\sqrt{{\det }_{p}S}}(\gamma )=(-1{)}^{\mathrm{Sf}(\gamma ;E)}=(-1{)}^{I_2(\gamma ,D)}$$

对 Schatten 指数 $p$、相对迹类重整与分波截断极限不变。

引理 D′（角点处方下的二次型嵌入） 角点处方保证辛流闭合与 $\delta H_{\chi }$ 可积；因而沿闭路的模组环量 ${\oint }_{\gamma }{\mathcal{A}}_{\mathrm{mod}}$ 给出协变相空间上有界线性泛函，可嵌入 ${\delta }^2{S}_{\mathrm{rel}}$ 的二次型核。若 $\exp (\mathrm{i}{\oint }_{\gamma }{\mathcal{A}}_{\mathrm{mod}})=-1$，则存在 $h$ 使 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{can}}[h,h]<0$。

命题 4.1（${\mathbb{Z}}_2$ 异常与规范能量可负；对齐为充分条件**）**

在**假设 4（模二版）**与 $A_{\partial }$、$A_{\mathrm{rel}\text{-}\mathrm{gen}}$ 及定理 1 门槛下：若存在物理闭路 $\gamma$ 使 ${\nu }_{\sqrt{{\det }_{p}S}}(\gamma )=-1$，则可构造满足 Hollands–Wald 条件的扰动 $h$，令

$${\mathcal{E}}_{\mathrm{can}}[h,h]<0.$$

因此，若对一切 $h$ 都有 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{can}}[h,h]\ge 0$，则一切物理闭路的 ${\nu }_{\sqrt{{\det }_{p}S}}(\gamma )$ 必为 $+1$；其中“模组—散射对齐（模二）“仅为充分而非必要的桥梁条件。

证明要点（补足）：令 ${\Lambda }_{\gamma }:={\oint }_{\gamma }{\mathcal{A}}_{\mathrm{mod}}$。角点处方使 ${\Lambda }_{\gamma }$ 定义出协变相空间上的有界线性泛函 ${\ell }_{\gamma }$，并可将 ${\ell }_{\gamma }$ 写成二次型核上的偏导数作用：${\ell }_{\gamma }(h)=⟨Qh,h⟩$，其中 $Q$ 为有界自伴算子。由 ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\Lambda }_{\gamma }}=-1$ 知 ${\mathrm{ind}}_{-}(Q)\ge 1$。用 $A_{\mathrm{rel}\text{-}\mathrm{gen}}$ 选择与 $Q$ 的负谱对应的有限维子空间并记其正交投影为 $\Pi$，取 $h$ 在 $\mathrm{Ran}\Pi$ 上即可得上式不等式。模二对齐确保符号一致性，而常数 $c$ 由 $Q$ 在 $\mathrm{Ran}\Pi$ 上的最小特征值给出。

定理 5（统一原理）

E‑(a′)（分解；门槛合订本）

在 $A_{\partial }$、$A_{\mathrm{rel}\text{-}\mathrm{gen}}$、$A_{!H^2}$、$H^1$‑通道可检测性（检测回路生成 $H_1$）、$A_{tors2}$** 与（一般流形时）$A_{\mathrm{spin}}$，并假定 $Y$ 与 $\partial Y$ 满足 Poincaré–Lefschetz 对偶的门槛下，

$$\boxed{(ii)⟺(ii{i}^{\star })}.$$

若缺少 $A_{\mathrm{rel}\text{-}\mathrm{gen}}$ 或 $A_{!H^2}$，则仅有 $(ii)\Rightarrow (ii{i}^{\star })$ 的必要性。

E‑(b″)（对齐推出） 在“定理 1“的正则门槛并满足假设 4（模二版）、假设 4′ 以及 $A_{!H^2}$ 下，

$$\boxed{(i)⟹(ii{i}^{\star })(⟺(ii)).}$$

（在三类可解族中，$H^2(X^{\circ },\partial X^{\circ })=0$，故 $(iii)=(ii{i}^{\star })$。）

模型域注释（统一）

在一维 $\delta$ 势、二维 Aharonov–Bohm 与端点散射（Class D/DIII）的可解族中，参数域局域穿孔可形变收缩到 1‑复形，故 $H^2(X^{\circ },\partial X^{\circ })=0$，$(iii)$ 与 $(ii{i}^{\star })$ 合一且仅余“回路（$H^1\times H^1$）“判据。构造与判别集 $D$ 横截的回路族可验证 $(ii{i}^{\star })\Rightarrow (ii)$ 于相对上同调意义成立。长程/分波无穷情形以 ${\det }_2$ 或相对迹类正则化处理，其 ${\mathbb{Z}}_2$ 指纹不变。

Proofs

定理 1

由 Sachs 与变系数 Grönwall 得

$$|\theta (\lambda )+\lambda R_{kk}|\le \frac{1}{2}{C}_{\nabla R}{\lambda }^2+C_{\sigma }^2|\lambda |.$$

以与 $\epsilon$ 无关的支配函数建立“极限—积分可交换“，配合加权光线变换与局域化引理将族约束下推为 $R_{kk}=8\pi G{T}_{kk}$。零锥刻画与 Bianchi 恒等式给出 $G_{ab}+\Lambda g_{ab}=8\pi G{T}_{ab}$。协变相空间的 null 边界与角点处方保证辛流无外泄与 $\delta H_{\chi }$ 可积，故 ${\delta }^2{S}_{\mathrm{rel}}={\mathcal{E}}_{\mathrm{can}}\ge 0$。我们工作在 $[0,{\lambda }_{\ast }]$ 无共轭点、Hadamard 态与角点处方闭合的可逆域内。

假设 4

在半空间编码中边界平移 $U(\lambda )={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}P\lambda }$ 生成 ${\mathcal{A}}_{\mathrm{mod}}=⟨P⟩\mathrm{d}\lambda$；移动镜反射给 $S=e^{2\mathrm{i}k\lambda }$，$\frac{1}{2\mathrm{i}}\mathrm{tr}(S^{-1}\mathrm{d}S)=k\mathrm{d}\lambda$。两侧环量一致；非局域核可使实数环量不同，但模二投影稳定。该对齐为充分条件。

定理 5

E‑(a′) 由定理 3 得 $(ii)\Rightarrow ({\text{iii}}^{\star })$；由检测子回路与参数二维循环生成 $H_2(Y,\partial Y;{\mathbb{Z}}_2)$（在 $A_{\mathrm{rel}\text{-}\mathrm{gen}}$ 下）得 $({\text{iii}}^{\star })\Rightarrow (ii)$，故 $(ii)\iff ({\text{iii}}^{\star })$。E‑(b″) 在假设 4 与假设 4′ 以及 $A_{!H^2}$ 下，由定理 1 与命题 4.1 得 $(i)\Rightarrow ({\text{iii}}^{\star })$，于是 $(i)\Rightarrow (ii)\iff ({\text{iii}}^{\star })$。

模型域注释（修订） 在一维 $\delta$ 势、二维 Aharonov–Bohm 与端点散射（Class D/DIII）的可解族中，参数域的局域穿孔形变收缩到 1‑复形，故 $H^2(X^{\circ },\partial X^{\circ })=0$，于是 (iii${}^{\star }$) 简化为仅含“回路（$H^1\times H^1$）“的判据；在该情形下，构造与 $D$ 横截的回路族可验证 $({\text{iii}}^{\star })\Rightarrow (ii)$ 于相对上同调意义成立。

Model Apply

一维 $\delta$ 势（$\hslash =2m=1$）

下述指纹仅为可视化途径；物理判据一律以 ${\nu }_{\sqrt{{\det }_{p}S}}$ 计。采用 ${\det }_p$ 或分波截断的差异在模二下不影响结论。

偶宇称通道

$$S(k)=\frac{2k-\mathrm{i}\lambda }{2k+\mathrm{i}\lambda }=e^{2\mathrm{i}\delta (k)},\text{取 Jost 函数 }f(k):=$$

复参数小环（真奇点）：取 $E(t)=E_0$、$\lambda (t)=-2\mathrm{i}\sqrt{E_0}+\rho {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}$，则

$${\oint }_{\gamma }\frac{1}{2\mathrm{i}}{S}^{-1}\mathrm{d}S=\pi ,{\nu }_{\sqrt{{\det }_{p}S}}=-1.$$

实参数折返：在 $(E,\lambda )$ 平面折返横截 $D$ 并以小半圆切除，$I_2(\gamma ,D)=1\Rightarrow {\nu }_{\sqrt{{\det }_{p}S}}=-1$。

同调基说明：去除判别集 $D$（极点与共振）后，参数域形变收缩到穿孔平面的一维骨架，其 $H_1$ 由绕极点的基本回路生成，$H^2(X^{\circ },\partial X^{\circ })=0$。因此（iii${}^{\star }$）仅含回路判据。

二维 Aharonov–Bohm

通量 $\alpha \mapsto \alpha +1$ 穿越 $\alpha =\frac{1}{2}$ 时 $\mathrm{deg}({\det }_{p}S{|}_{\gamma })=1\Rightarrow {\nu }_{\sqrt{{\det }_{p}S}}=-1$。分波无穷以分波截断或 ${\det }_2$ 正则化，模二结果不变。

同调基说明：去除判别集 $D=\{\alpha =\frac{1}{2}+\mathbb{Z}\}$ 后，参数域形变收缩到一维环，其 $H_1$ 由绕 $\alpha =\frac{1}{2}$ 的基本回路生成，$H^2(X^{\circ },\partial X^{\circ })=0$。因此（iii${}^{\star }$）仅含回路判据。

拓扑超导端点散射

Class D：$Q=\mathrm{sgn}{\det }_{p}r(0)$；Class DIII：$Q=\mathrm{sgn}\mathrm{Pf}r(0)$。两者等价于 $\sqrt{{\det }_{p}r(0)}$ 的分支号符；隙闭合（属 $D$）横跨一次触发 $Q$ 翻转并与 ${\nu }_{\sqrt{{\det }_{p}r}}$ 同步。

同调基说明：隙闭合超曲面为判别集 $D$，其横截给出基本回路；参数域去除 $D$ 后形变收缩到一维骨架，$H^2(X^{\circ },\partial X^{\circ })=0$。因此（iii${}^{\star }$）仅含回路判据。

Engineering Proposals（参数窗与误差估计）

AB 干涉环：有效面积 $A\sim 1\mu {\mathrm{m}}^2$，半通量 $B_{1/2}\simeq {\Phi }_0/(2A)\sim \mathrm{mT}$。需 $L_{\varphi }\gtrsim$ 周长且 $|\delta B|\ll {\Phi }_0/(4A)$ 以解析 $\pi$ 跃迁。 冷原子 $\delta$ 势环路：以 Feshbach 调谐 $\lambda$ 绕极点闭路，绝热标度 ${\tau }_{\mathrm{drive}}\gg \hslash /\Delta$ 抑制非绝热误差；Ramsey/MZ 干涉读出 $\arg S$。 拓扑纳米线（D/DIII）：$k_{B}T\ll \Delta$、接触展宽 $\Gamma /\Delta \ll 1$；$\mathrm{sgn}{\det }_{p}r(0)$/$\mathrm{sgn}\mathrm{Pf}r(0)$ 的翻转与量化导通峰协变。

图 4（可插入）

(a) 2D AB 环：当磁通 $\Phi$ 穿过 ${\Phi }_0/2$ 时，干涉相位跨越 $\pi$，电导干涉项变号（峰↔谷），对应 ${\nu }_{\sqrt{{\det }_{p}S}}=-1$。

(b) Topo SC 端点：Majorana 电导在隙闭合处从 $0$ 翻转到 $2e^2/h$（Class D，单模理想耦合；DIII 理想 helical 双通道为 $4e^2/h$），与 ${\mathbb{Z}}_2$ 翻转同步。

注：表中数值为可比对的参照窗而非普适下界；具体平台需结合相干长、温度噪声与耦合效率重估可解析的 $\pi$‑跃迁/电导翻转阈值。${\Phi }_0=h/e$；面积 $A$ 以 $\mu {\mathrm{m}}^2$ 计，$B_{1/2}={\Phi }_0/(2A)$；温度与能隙的比值均以无量纲 $k_{B}T/\Delta$ 表示。