信息几何变分原理导出爱因斯坦方程：定体积对偶、显式可交换极限、Radon‑型闭包、OS/KMS–Fisher 解析延拓与 null 边界处方

Version: 6.9（JHEP 一致性修订版——Option-G归一化统一 + M1/M2/M3完整证明）

摘要

We derive the local form of Einstein’s equations for $d\ge 3$ from an information‑geometric variational principle, as a conditional theorem that assumes the existence of weak‑shear diamond families. In Appendix M we prove three technical pillars used in the main text: a uniform modular-Hamiltonian approximation together with an explicit half-space–to–diamond kernel comparison; a local invertibility and stability estimate for the null light-ray transform with first-moment weight; and a local construction and $C^2$-stability of weak-shear diamonds in a Riemann normal neighborhood. The only remaining open assumption is the global realizability or density of weak-shear diamonds in general $C^3$ backgrounds.

主定理（条件形式）：假设在每一点 $p$ 存在小因果钻石族 $\{{\mathcal{D}}_{\ell }(p){\}}_{\ell \le {\ell }_0}$ 满足：

(i) 弱剪切条件：${\sup }_{S_{\ell }}|\sigma (0,x)|\le c_s\epsilon$ 对所有方向统一成立，

(ii) 短段无共轭点、度规 $C^2$ 与 Hadamard 类态，

(iii) 模哈密顿近似的整族统一上界（定理 2.1）与加权光线变换的局部可逆性（定理 3D）成立，

则在 Raychaudhuri–Sachs–Grönwall 驱动的显式可交换极限与 Radon 型闭包下，得到

$$R_{kk}=8\pi G{T}_{kk}(\forall k),G_{ab}+\Lambda g_{ab}=8\pi G{T}_{ab},$$

其中 $\Lambda$ 为体积约束的乘子参数，数值不由本原理决定。

关键未证假设：弱剪切族的全局可实现性与稠密性。附录 M3 证明了在小正规邻域内经腰面微调可达 $\sup |\sigma (0)|\le c_s\epsilon$，且该性质对小几何变分稳定。但全局稠密性与无先验对称的可执行性仍为开放问题，留作后续工作。

二阶层在 JLMS 与 ${\mathcal{F}}_Q={\mathcal{E}}_{\mathrm{can}}$ 成立时给出 Hollands–Wald 规范能量非负性。若不采用该对偶识别，则以 QNEC（Bousso-Fisher-Leichenauer-Wall 版本）的二阶形状导数提供普适非负判据。本文四个主要技术支柱：

(i) 显式可交换极限不等式与边界层估计：剪切与挠率由几何常数族统一控制。

(ii) Radon 型闭包：在首矩权 $w(\lambda )=\lambda$ 的光线变换下，将族约束下推为点态等式（需定理 3D 的局部可逆性）。

(iii) 模哈密顿近似的整族统一上界：定理 2.1 给出 $\delta S_{\mathrm{out}}^{\mathrm{ren}}=\delta ⟨K_{\chi }⟩+\mathcal{O}({\epsilon }^2{\ell }^{d-2})$ 对整族几何与态变分的统一控制。

(iv) 协变相空间的 null 边界与角点处方：定理 8.1 在仿射参数化与 Dirichlet 类边界数据下证明辛流无外泄与哈密顿量变分可积。

证明状态声明：

• ✅ 已在附录 M 证明：模哈密顿近似的整族统一上界与从半空间到小钻石的核比较（附录M1）；首矩赋权 null 光线变换的局部可逆性与稳定估计（附录M2）；以及在正规邻域内的弱剪切族构造与对 $C^2$ 变分的稳定性（附录M3）。
• ⚠️ 依赖权威结果：FLPW 模哈密顿核；QNEC（Bousso-Fisher-Leichenauer-Wall 版本）；JLMS 识别（code subspace）。
• ❌ 尚未解决：弱剪切族在一般 $C^3$ 背景中的全局可实现性与稠密性。附录 M3 给出的是局域构造与稳定，全局问题留作后续工作。

证明状态对照表：

QNEC 路线说明：本文采用 Bousso-Fisher-Leichenauer-Wall (2016) 版本的 QNEC，前提为 Minkowski 背景或弱曲率极限、Hadamard 态、完整 null 测地线与局域可积性。形状导数与 $A_{\perp }\to 0$ 的极限顺序与本文端点层固定兼容（见附录 D 的对齐说明）。

结构性互补：§7 的 OS/KMS–Fisher 解析延拓提供二阶非负性的结构性直觉，但不参与主证明链（一阶层依赖 Hadamard/KMS 或 QNEC，二阶层依赖 JLMS 识别或 QNEC 判据）。

0 记号、域前提与速查表

记号与单位：度规签名 $(-,+,+,+)$；$c=k_B=1$，保留 $\hslash$。爱因斯坦张量 $G_{ab}=R_{ab}-\frac{1}{2}R{g}_{ab}$。零向量收缩 $R_{kk}:=R_{ab}{k}^a{k}^b$、$T_{kk}:=T_{ab}{k}^a{k}^b$。体积与面积：令腰超曲面 ${\Sigma }_{\ell }$ 为因果钻石 ${\mathcal{D}}_{\ell }$ 的最大空间截面（维数 $d-1$），其体积 $V(B_{\ell }):=\mathrm{Vol}({\Sigma }_{\ell })$；令腰面 $\partial {\Sigma }_{\ell }$ 为其边界（维数 $d-2$），其面积 $A:=\mathrm{Area}(\partial {\Sigma }_{\ell })$。记 $B_{\ell }:={\Sigma }_{\ell }$，$S_{\ell }:=\partial B_{\ell }$（腰面）；以下 $dA$ 一律指 $S_{\ell }$ 的固有测度；主阶标度 $A\sim c_d{\ell }^{d-2}$（几何常数并入 $K_{\ast }$）。

域前提：本文限于 $d\ge 3$，并在小尺度因果钻石 ${\mathcal{D}}_{\ell }$ 的弱剪切族设定下工作，尺度分离 $\epsilon =\ell /L\ll 1$，Hadamard 类态与点分裂重整化，小区间内无共轭点。

不变量速查表（在 $k^a\to \alpha k^a$、$\lambda \to \lambda /\alpha$、$\kappa \to \alpha \kappa$ 与取向翻转下不变）：

$$\frac{\delta Q}{T}=\frac{2\pi }{\hslash }{\int }_{\mathcal{H}}\lambda T_{kk}d\lambda dA,\frac{\delta A}{4G\hslash }.$$

备注：$V/T$ 随重标定缩放，故非不变量。本文仅得到带不定宇宙学常数的场方程，$\Lambda$ 作为体积约束的乘子参数。其数值不由本框架决定。

误差记法范式（$\ell$ 标度 × 无量纲 $\epsilon$ 标度）：本文统一采用

$$\text{误差}=C_d{\epsilon }^n{\ell }^m,$$

其中 $K_{\ast }=K_{\ast }(C_R,C_{\nabla R},C_{\mathcal{C}};d,c_{\lambda })$ 为无量纲常数（与 $\epsilon ,\ell$ 无关），$n$ 为 $\epsilon$ 幂次，$m$ 为长度维数。

误差与维度一致性清单（关键量的标度与上界）：

注：$C_{\sigma }=C_{\sigma ,0}+C_{\mathcal{C}}{\lambda }_{\ast }$。当 $C_{\sigma ,0}=\mathcal{O}(\epsilon )$ 时（对称族），面积误差缩至 ${\epsilon }^3$ 标度；一般族 $C_{\sigma ,0}=\mathcal{O}(1)$ 遵循盒装上界。

常数族速查表（定义于 ${\mathcal{D}}_{\ell }$）：

$$C_R:=\underset{{\mathcal{D}}_{\ell }}{\sup }|R_{kk}|,C_{\nabla R}:=\underset{{\mathcal{D}}_{\ell }}{\sup }|{\nabla }_k{R}_{kk}|,{\mathcal{C}}_{AB}:=\mathrm{TF}\left[C_{acbd}{k}^c{k}^d{e}_A^a{e}_B^b\right],C_{\mathcal{C}}:=\underset{{\mathcal{D}}_{\ell }}{\sup }|{\mathcal{C}}_{AB}|,C_{\sigma ,0}:=\underset{S_{\ell }}{\sup }|\sigma (0)|,\boxed{C_{\sigma }:=C_{\sigma ,0}+C_{\mathcal{C}}{\lambda }_{\ast }},C_{\omega }=0,{\lambda }_{\ast }\sim c_{\lambda }\ell .$$

其中 $\{e_A^a\}$ 为与 $k^a$ 正交的 $(d-2)$ 维 screen 空间正交基，$\mathrm{TF}$ 表示去迹，$|\cdot |$ 为任一定义良好的矩阵范数。

最终不等式中的 $K_{\ast }=K_{\ast }(C_R,C_{\nabla R},C_{\mathcal{C}},C_{\sigma ,0};d,c_{\lambda })$ 给出闭式依赖。

常数依赖统一说明：全文出现的主要常数及其依赖关系如下：

$$\boxed{\begin{array}{rl}& K_{\mathrm{th}}=K_{\mathrm{th}}(C_R,C_{\nabla R},r;d,c_{\lambda })\text{（整族统一上界）},\\ & K_{\mathrm{comp}}=K_{\mathrm{comp}}(C_R,C_{\nabla R},C_{\mathcal{C}};d,c_{\min },c_{\max })\text{（核比较）},\\ & K_{\mathrm{inv}}=K_{\mathrm{inv}}(C_R,C_{\nabla R};d,c_{\min },c_{\max })\text{（光线变换可逆性）}.\end{array}}$$

所有常数均与 $\epsilon ,\ell$ 无关，仅依赖几何正则性上界与变分族半径 $r$。

归一化约定（Option-G：按生成元归一化，全文统一）

$$\boxed{\text{本文一律采用按生成元归一化的首矩量级 }{\mathcal{I}}_{\hat{k}}\text{ 作为 }o({\ell }^2)\text{ 的基准}}$$

定义单条生成元的首矩算子：

$${\mathcal{I}}_{\hat{k}}[f]:={\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}\lambda f({\gamma }_{p,\hat{k}}(\lambda ))d\lambda ,\text{自然标度}\sim {\ell }^2.$$

存在常数 $c_{\min },c_{\max }>0$ 使 $c_{\min }\ell \le {\lambda }_{\ast }(x,\hat{k})\le c_{\max }\ell$ 对所有方向一致成立。

整族误差的按生成元表述：对面积为 $A\sim {\ell }^{d-2}$ 的腰面 $S_{\ell }$，整族误差按生成元归一化后为

$$\boxed{\frac{1}{A}|\delta S_{\mathrm{out}}^{\mathrm{ren}}-\frac{2\pi }{\hslash }{\int }_{\mathcal{H}}\lambda T_{kk}d\lambda dA|\le K_{\mathrm{th}}{\epsilon }^2\times {\ell }^2}$$

其中 ${\epsilon }^2\times {\ell }^2$ 为按生成元的误差标度，$K_{\mathrm{th}}=K_{\mathrm{th}}(C_R,C_{\nabla R},r;d,c_{\lambda })$ 为常数。本文所有“$o({\ell }^2)$“的陈述均指此归一化。

弱剪切族（条件假设）：本文主定理为条件定理，假设在每一点 $p$ 存在满足下列条件的小钻石族 $\{{\mathcal{D}}_{\ell }(p){\}}_{\ell \le {\ell }_0}$：

$$\boxed{\underset{S_{\ell },\hat{k}}{\sup }|\sigma (0,x,\hat{k})|\le c_s\epsilon \text{（对所有方向 }\hat{k}\text{ 统一成立）}}$$

其中 $c_s>0$ 与 ${\ell }_0>0$ 为常数。

关键未解决问题：该条件的构造性存在性与变分稳定性未包含在本文中。具体需要：

1. 剪切均衡引理：给出在 Riemann 正规邻域中通过屏空间对称化或有限方向平均的显式构造，证明存在腰面选择使 $C_{\sigma ,0}$ 降至 $\mathcal{O}(\epsilon )$。

2. 稳定性：证明该族在半径 $r{\epsilon }^2$ 的几何与态变分球内保持 $C_{\sigma ,0}=\mathcal{O}(\epsilon )$ 的阶数。

3. 稠密性：说明一般 $C^3$ 背景下该条件是否稠密或可通过规范选择实现。

本文地位：在上述假设下，给出从熵变分到 Einstein 方程的可信路线图与细化误差控制。弱剪切族假设的证明或替代方案是自然的后续工作。

整族统一误差的主命题引用约定：正文统一只引用“命题 2B’（整族统一误差）“。原“统一误差命题 引理 2.1“不再单独使用其标签。

函数空间与正则性工具箱 设几何扰动与态扰动取值于

$$\mathcal{X}:=H^k({\mathcal{D}}_{\ell };{\text{Sym}}^2)\times {\mathcal{S}}_{\mathrm{Had}}，k\ge 3，$$

其中 $H^k$ 为 Sobolev 空间，${\mathcal{S}}_{\mathrm{Had}}$ 为 Hadamard 类态的 GNS 表示域。Sobolev–Morrey 嵌入保证 $H^k\hookrightarrow C^2$ 从而曲率与其一阶导有界。体积泛函的线性化 $\delta V:\mathcal{X}\to \mathbb{R}$ 为有界线性泛函，$\ker \delta V$ 为闭子空间。拉格朗日乘子引理在 $\mathcal{X}$ 上适用。Hadamard 变分要求双点函数的波前集保持在固定锥 $\Gamma$ 内。态局域器取 Weyl 算符 $W(f)=\exp (i\Phi (f))$ 的 GNS 实现，$\delta S_{\mathrm{out}}$ 作为 Gâteaux 导数良定，点分裂重整化与取上确界交换由统一 UV 窗口与 $|R{|}_{C^1}$ 有界性保证。

引言提要：与既有工作的区别度

• Jacobson（1995）：引入定体积对偶与显式 $\epsilon$‑可交换极限，摆脱未指明“局域 Rindler“依赖
• Jacobson–Visser（2019）：以 Radon 型闭包将面积恒等式下推为点态方程（族约束 ⇒ 点态）
• JLMS + Hollands–Wald：将二阶相对熵与规范能量写入同一变分链，形成单链闭环
• Dong–Camps–Wald：以 Wald/Dong–Camps 熵替代面积后，同一 IGVP 框架直接给出 Lovelock 型方程
• 二阶层条件性与无对偶备选：二阶层 ${\delta }^2{S}_{\mathrm{rel}}={\mathcal{E}}_{\mathrm{can}}$ 为条件定理（依赖 JLMS 识别）；无对偶情形以 QNEC 二阶形状导数提供普适非负型判据

1 IGVP：泛函、约束与两层准则

一阶层的主定义与对偶项的规约

$$\boxed{S_{\mathrm{gen}}^{(\mu )}:=S_{\mathrm{grav}}+S_{\mathrm{out}}+\mu V,S_{\mathrm{grav}}=\frac{A}{4G\hslash }+S_{\mathrm{ct}}^{\mathrm{UV}},S_{\mathrm{out}}=S_{\mathrm{out}}^{\mathrm{ren}}.}$$

在带内积的变分空间 $\mathcal{X}$ 上，以定体积约束 $\delta V=0$ 为侧条件，求 $\delta S_{\mathrm{gen}}^{(\mu )}=0$ 于 $\ker \delta V$。由引理 1.0 的正交分解，存在唯一常数 $\mu$ 使受约束极值等价于无约束极值加一维对偶方向的投影消去。物理上先用边界与温标一次性标定 $T_0=\hslash |{\kappa }_{\chi }|/(2\pi )$，再令

$$\mu =\frac{\Lambda }{8\pi G{T}_0}.$$

此后 $\mu$ 被视为常数。原记法 $-\frac{\Lambda }{8\pi G}\frac{V}{T}$ 仅作等价诠释，不再参与一阶欧拉方程。

一阶层准则：

$$\delta S_{\mathrm{gen}}^{(\mu )}{|}_{\ker \delta V}=0⟺\frac{\delta A}{4G\hslash }+\delta S_{\mathrm{out}}^{\mathrm{ren}}=0.$$

在 Hadamard KMS 设定或 QNEC 路线下，由命题 2B’ 得

$$\delta S_{\mathrm{out}}^{\mathrm{ren}}=\frac{2\pi }{\hslash }{\int }_{\mathcal{H}}\lambda T_{kk}d\lambda dA+\mathcal{O}({\epsilon }^2{\ell }^{d-2}).$$

二阶层准则：若 JLMS 与 ${\mathcal{F}}_Q={\mathcal{E}}_{\mathrm{can}}$ 识别成立，则 ${\delta }^2{S}_{\mathrm{rel}}={\mathcal{E}}_{\mathrm{can}}\ge 0$。无对偶情形以 QNEC 的二阶形状导数构造非负二次型，详见 §5。

记号提示（重要！）：本文出现两个不同的 $\kappa$：（i）温标 $T=\hslash |{\kappa }_{\chi }|/2\pi$ 中的 ${\kappa }_{\chi }$ 是近似 Killing 场 ${\chi }^a$ 的表面引力；（ii）§8 null 边界项中的 ${\kappa }_{\mathrm{aff}}[\ell ]$ 是 ${\ell }^a$ 的非仿射量（在仿射参数化下 ${\kappa }_{\mathrm{aff}}[\ell ]=0$）。二者完全无关。为区分，本文统一记后者为 ${\kappa }_{\mathrm{aff}}[\ell ]$。

外部熵的一阶律（用于链 A） 在小钻石极限、Hadamard/KMS 态与近 Rindler 生成元 ${\chi }^a$ 下，

$$\delta S_{\mathrm{out}}^{\mathrm{ren}}=\delta ⟨K_{\chi }⟩=\frac{2\pi }{\hslash }{\int }_{\mathcal{H}}\lambda T_{kk}d\lambda dA+\mathcal{O}({\epsilon }^2)\equiv \frac{\delta Q}{T}+\mathcal{O}({\epsilon }^2),$$

其中 $K_{\chi }$ 为腰面处的 boost 模块哈密顿量，$T=\hslash |{\kappa }_{\chi }|/2\pi$。

因此在一阶极值层与 $\delta V=0$ 下，得到

$$\delta S_{\mathrm{gen}}=\frac{\delta A}{4G\hslash }+\frac{2\pi }{\hslash }{\int }_{\mathcal{H}}\lambda T_{kk}d\lambda dA+\mathcal{O}({\epsilon }^2)=0。$$

由此在弱剪切族内，经 Radon 型闭包与张量化闭包得到 $R_{kk}=8\pi G{T}_{kk}$ 与 $G_{ab}+\Lambda g_{ab}=8\pi G{T}_{ab}$。$\Lambda$ 为体积约束乘子，不由本原理确定其数值。

引理 1.0（定体积约束与拉格朗日乘子唯一性）：设 $(\mathcal{X},⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ 为一带内积的实向量空间，取变分对 $(\delta g,\delta \text{state})\in \mathcal{X}$。令 $\delta V:\mathcal{X}\to \mathbb{R}$ 为一个非零连续线性泛函，令 $S[\cdot ]$ 为可Fréchet变分的泛函。则存在唯一的 $\mu \in \mathbb{R}$ 使得 $$\delta (S+\mu V)=0\text{在}\mathcal{X}\text{上}$$ 等价于 $$\delta S=0\text{在}\ker \delta V,\delta V=0.$$ 换言之，由非零泛函 $\delta V$ 张成的一维子空间与 $\ker \delta V$ 构成正交直和分解，拉格朗日乘子 $\mu$ 对应于沿 $\delta V$ 方向的投影系数，且唯一。□

命题 1A（对偶项等价性与规约角色）：给定 ${\mathcal{D}}_{\ell }$ 内允许的几何与态变分，在 $\delta V=0$ 子空间与固定温标 $T$ 上，存在唯一 $\mu$ 使

$$\boxed{\delta \left(S_{\mathrm{grav}}+S_{\mathrm{out}}+\mu V\right)=0⟺\delta S_{\mathrm{gen}}=0,\delta V=0.}$$

并且 $\mu =\Lambda /(8\pi GT)$ 由“端点固定+腰面固定+$\delta T/T=\mathcal{O}({\epsilon }^2)$“唯一确定。唯一性与等价性由引理1.0中的正交分解直接给出。

证明草图（2行）：变分分解为 $\delta S_{\mathrm{gen}}=(\delta S_{\mathrm{gen}}{|}_{\ker \delta V})+(\partial S_{\mathrm{gen}}/\partial V)\delta V$。在 $\ker \delta V$ 子空间，拉格朗日乘子 $\mu$ 仅消除重标定冗余（$T\to \alpha T$、$V\to V$），不对一阶欧拉方程 $\delta (A/(4G\hslash )+S_{\mathrm{out}})=0$ 贡献新物理信息。□

该命题说明体积对偶项为规范选择的等价表述，不是“装饰项“。

正交分解的线性代数观点（2行）：将 $\delta S_{\mathrm{gen}}$ 分解为平行于 $\delta V$ 与垂直于 $\delta V$ 两部分。在 $\ker \delta V$ 子空间，拉格朗日乘子 $\mu$ 对应正交补空间的投影系数，仅钉住温标而不贡献物理自由度。由 $\int (\phi +{\phi }_0)dA=0$ 保证定理3C的变分始终在 $\ker \delta V$ 内，故对偶项在导出 $R_{kk}=8\pi G{T}_{kk}$ 时未参与。

2 小钻石极限：显式不等式与边界层

正则性门槛：背景度规 $g\in C^3$（或 $g\in C^2$ 且 $\nabla \mathrm{Riem}\in L^{\infty }$），物质场 $T_{ab}\in C^1$；令 ${\Sigma }_{\ell }$ 为最大体积空间超曲面，其边界 $S_{\ell }=\partial {\Sigma }_{\ell }$（腰面）为初值面。最大体积条件给出 $\theta (0)=0$，但不必强制 $\sigma (0)=0$；本文仅要求 $\sigma (0)\in L^{\infty }$。零测地丛满足 Frobenius 条件 $\omega (0)=0$，故 $\omega \equiv 0$。

初始剪切的几何来源：当几何由近似CKV生成的对称小钻石族时，$C_{\sigma ,0}=\mathcal{O}(\epsilon )$，此时整体误差缩至 $\mathcal{O}({\epsilon }^3)$（图1所示标度）。一般族 $C_{\sigma ,0}$ 可为 $\mathcal{O}(1)$，此时遵从下述盒装上界。

参数化约定与记号区分：下文沿零测地生成元的参数 $\lambda$ 统一取为仿射参数（$k^b{\nabla }_b{k}^a=0$），因此本文采用的 Raychaudhuri–Sachs–Twist 方程不含 $\kappa \theta$ 项。重要记号区分：见§1的记号提示（${\kappa }_{\chi }$ 与 ${\kappa }_{\mathrm{aff}}[\ell ]$ 完全无关）。

初值与 Frobenius 条件：取腰面 ${\Sigma }_{\ell }$ 为最大体积截面，则两侧零测地的扩张满足 $\theta (0)=0$。我们假设零测地丛超曲面正交，即 Frobenius 条件 ${\omega }_{[a}{\nabla }_b{k}_{c]}=0$ 成立，因而 $\omega \equiv 0$ 且 $\omega (0)=0$。剪切 $\sigma (0)$ 一般不为零；在对称小钻石族中可达 $\sigma (0)=\mathcal{O}(\epsilon )$（弱剪切条件）。

Raychaudhuri–Sachs–Twist 方程（$d\ge 3$）

$${\theta }^{\prime }=-\frac{1}{d-2}{\theta }^2-{\sigma }^2+{\omega }^2-R_{kk},({\sigma }_{AB}{)}^{\prime }=-\frac{2}{d-2}\theta {\sigma }_{AB}-({\sigma }^2+{\omega }^2{)}_{AB}^{\mathrm{TF}}-{\mathcal{C}}_{AB},{\omega }_{AB}^{\prime }=-\frac{2}{d-2}\theta {\omega }_{AB}-({\sigma }_A{}^C{\omega }_{CB}+{\omega }_A{}^C{\sigma }_{CB}),$$

其中 ${\sigma }^2:={\sigma }_{AB}{\sigma }^{AB}$，$({\sigma }^2{)}_{AB}:={\sigma }_A{}^C{\sigma }_{CB}$，$({\omega }^2{)}_{AB}:={\omega }_A{}^C{\omega }_{CB}$，$\mathrm{TF}$ 表示去迹，${\mathcal{C}}_{AB}=\mathrm{TF}\left[C_{acbd}{k}^c{k}^d{e}_A^a{e}_B^b\right]$。

由 $\omega (0)=0$ 与 Frobenius 得 $\omega \equiv 0$。变系数 Grönwall 与 $|\theta |{\lambda }_{\ast }\ll 1$ 给出

$$|\sigma (\lambda )|\le (|\sigma (0)|+C_{\mathcal{C}}|\lambda |)e^{\frac{2}{d-2}{\int }_0^{|\lambda |}|\theta |ds}\le C_{\sigma }(1+\mathcal{O}(\epsilon )),$$

从而 $\sup {\sigma }^2\le C_{\sigma }^2(1+\mathcal{O}(\epsilon ))$。

并且

$$\boxed{|\theta (\lambda )+\lambda R_{kk}(\lambda )|\le \frac{1}{2}{C}_{\nabla R}{\lambda }^2+C_{\sigma }^2|\lambda |+\frac{4}{3(d-2)}{C}_R^2|\lambda {|}^3:={\tilde{M}}_{\theta }(\lambda ).}$$

引理 2.B.1（曲率映射的局部一致 Lipschitz）

设几何扰动族 $\mathcal{B}=\{\delta g:|\delta g{|}_{C^2}\le r{\epsilon }^2\}$，其中 $r>0$ 为固定常数。则存在与 $\mathcal{B}$、背景曲率上界 $|R{|}_{C^1}$、以及坐标块大小有关的常数 $K_R,K_{\nabla R}$，使得对所有 $\delta g\in \mathcal{B}$：

$$\boxed{C_R(\delta g)\le {\tilde{C}}_R:=C_R+K_{R}r{\epsilon }^2,C_{\nabla R}(\delta g)\le {\tilde{C}}_{\nabla R}:=C_{\nabla R}+K_{\nabla R}r{\epsilon }^2.}$$

证明草图：Riemann 曲率张量 $R_{abcd}$ 是度规 $g_{ab}$ 及其一、二阶导数的多项式型函数。在 $C^2$ 范数下，度规扰动 $\delta g$ 导致曲率变化满足

$$|\delta R|\lesssim |{\nabla }^2\delta g|+|\nabla \delta g{|}^2\le C(g_0)|\delta g{|}_{C^2}.$$

其中 $C(g_0)$ 依赖于背景度规的 $C^3$ 范数。因此曲率常数 $C_R$ 与 $C_{\nabla R}$ 关于扰动满足局部 Lipschitz 估计，常数 $K_R,K_{\nabla R}$ 由背景几何完全确定。由此，命题 2B’ 中的整族误差界 $C_{\mathrm{th}}$ 可用 $({\tilde{C}}_R,{\tilde{C}}_{\nabla R})$ 统一控制，与具体变分路径无关。$\square$

面积变分显式不等式与可交换性

$$\boxed{|\delta A+{\int }_{\mathcal{H}}\lambda R_{kk}d\lambda dA|\le (\frac{1}{6}{C}_{\nabla R}{\lambda }_{\ast }^3+\frac{1}{2}{C}_{\sigma }^2{\lambda }_{\ast }^2+\frac{1}{3(d-2)}{C}_R^2{\lambda }_{\ast }^4)A.}$$

其中 $K_{\ast }=K_{\ast }(C_R,C_{\nabla R},C_{\mathcal{C}},C_{\sigma ,0};d,c_{\lambda })$ 与 $\epsilon$ 无关。

误差标度与几何族关系：若几何族满足 $C_{\sigma ,0}=\mathcal{O}(\epsilon )$（如对称小钻石族），则上式右端的 $\frac{1}{2}{C}_{\sigma }^2{\lambda }_{\ast }^{2}A$ 贡献降为 $\mathcal{O}({\epsilon }^3{\ell }^{d-2})$，与数值图观测到的 ${\epsilon }^3$ 主标度一致。一般族 $C_{\sigma ,0}=\mathcal{O}(1)$ 时遵循完整盒装上界。

$$\boxed{\text{适用域前置声明：主定理假设弱剪切族存在。}\text{工作假设：存在满足 }{C}_{\sigma ,0}=\mathcal{O}(\epsilon )\text{ 的小钻石族。}\Rightarrow \text{首矩误差 }o({\ell }^2)\text{ 可达，从而闭包到 }f(p)=0。\text{一般族 }{C}_{\sigma ,0}=\mathcal{O}(1)\text{ 时仅得 }O({\ell }^2)\text{ 上界，不足以闭包。}\text{该假设的构造性证明（剪切均衡引理）不在本文范围，留作后续工作。}}$$

主定理的适用范围与弱剪切族的精确定义

定义（弱剪切族，统一版）：存在常数 $c_s>0$ 与 ${\ell }_0>0$，对所有 $\ell <{\ell }_0$ 与所有腰面点 $x\in S_{\ell }$，以及所有从 $x$ 射出的生成元方向 $\hat{k}$，有

$$\underset{S_{\ell }}{\sup }|\sigma (0,x)|\le c_s\epsilon .$$

并保持无共轭点与 $|R{|}_{C^1}$ 有界的统一常数族。称这类小钻石族为“弱剪切族“。在此条件下

$$\underset{\hat{k}}{\sup }\left|{\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}\lambda F({\gamma }_{x,\hat{k}}(\lambda ))d\lambda \right|=o({\ell }^2)\text{对}F=R_{kk}-8\pi G{T}_{kk}.$$

适用域声明：

$$\boxed{\text{主定理仅在弱剪切族内成立。一般族 }{C}_{\sigma ,0}=O(1)\text{ 时仅能给出 }O({\ell }^2)\text{ 上界，不足以闭包到 }f(p)=0。}$$

一般族的闭包需要新的“剪切均衡引理“或额外平均步骤，不在本稿范围内。

量纲核算与沿方向一致性：所有 $o({\ell }^2)$ 语句均指沿单条生成元的首矩归一化尺度，并且上式的 $o({\ell }^2)$ 对所有 $\hat{k}$ 一致成立。端点层由 §2 的边界层估计吸收，主导收敛保证极限与积分可交换。

补充约束（弱剪切族的变分稳定性）：在假设 2.B.0 的允许变分下，存在常数 $c_{\omega }>0$ 使扭率满足

$$\omega (\lambda )=\mathcal{O}({\epsilon }^2),\underset{[0,{\lambda }_{\ast }]}{\sup }|\omega |\le c_{\omega }{\epsilon }^2.$$

由 Raychaudhuri–Sachs 的局部 Lipschitz 依赖性与小钻石标度 $|\theta |{\lambda }_{\ast }\ll 1$ 可得其贡献已被 §2 盒装上界吸收，故主链中的所有 $o({\ell }^2)$ 目标不受 $\omega$ 的一阶扰动影响。

幅度归一化（与 2.B.0 一致）：对定理 3C 的态局域器

$$U_{ϵ,\phi }=\exp (i{\int }_{\mathcal{H}}{w}_{ϵ}(\lambda )\phi (x)J_{r(\ell )}(x)T_{kk}d\lambda dA),$$

其强度参数按需缩放使得

$$|\delta W{|}_{{\mathcal{C}}^{\alpha }({\mathcal{D}}_{\ell }\times {\mathcal{D}}_{\ell })}\le r{\epsilon }^2.$$

从而命题 2B’ 的统一常数 $C_{\mathrm{th}}$ 与 $\phi$ 的具体形状无关，仅依赖 $r(\ell )/\ell =\mathcal{O}(1)$。

量纲核算小盒子（归一化约定与 $o({\ell }^2)$ 目标）：

关键约定：§3中的“$o({\ell }^2)$“始终指按生成元归一化的首矩量级。定义沿单条生成元的首矩算子 $$\boxed{{\mathcal{I}}_{\hat{k}}[f]:={\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}\lambda f({\gamma }_{p,\hat{k}}(\lambda ))d\lambda ,\text{自然标度}\sim {\ell }^2.}$$

对全腰面 $S_{\ell }$ 的积分量级为 $A\cdot ({\ell }^2)\sim {\ell }^{d-2}\cdot {\ell }^2={\ell }^d$。

以 $d=4$ 为例，$\epsilon =\ell /L_{\mathrm{curv}}$。命题2B’给出的总量误差 $$|\delta S_{\mathrm{out}}-\frac{2\pi }{\hslash }\int \lambda T_{kk}d\lambda dA|\le C_{\mathrm{th}}{\epsilon }^2{\ell }^{d-2}=C_{\mathrm{th}}\frac{{\ell }^2}{L_{\mathrm{curv}}^2}\cdot {\ell }^2.$$

按生成元归一化（除以 $A\sim {\ell }^{d-2}$）： $$\frac{C_{\mathrm{th}}{\epsilon }^2{\ell }^{d-2}}{A}\sim \frac{C_{\mathrm{th}}{\epsilon }^2{\ell }^{d-2}}{{\ell }^{d-2}}=C_{\mathrm{th}}{\epsilon }^2\sim \frac{{\ell }^2}{L_{\mathrm{curv}}^2}\to 0.$$

因此对于首矩 ${\mathcal{I}}_{\hat{k}}$（标度 $\sim {\ell }^2$），误差为 $\mathcal{O}({\epsilon }^2)\times {\ell }^2=o({\ell }^2)$。这正是§3局域化与Radon型闭包所需的量纲条件。

数值样例演示（在弱剪切样例上）：数值实验在满足 $C_{\sigma ,0}=\mathcal{O}(\epsilon )$ 的对称族样例上演示了归一化误差 $|\delta A+\int \lambda R_{kk}|/{\ell }^{d-2}$ 的 ${\epsilon }^3$ 标度行为。该实验用于支撑误差规模与端点层控制，不用于证明弱剪切族的存在性或普适闭包。一般族 $C_{\sigma ,0}=\mathcal{O}(1)$ 遵循盒装上界。

端点层 $[{\lambda }_{\ast }-\delta ,{\lambda }_{\ast }]$ 的贡献满足

$$\boxed{\left|{\int }_{{\lambda }_{\ast }-\delta }^{{\lambda }_{\ast }}\lambda R_{kk}d\lambda dA\right|\le \frac{1}{2}A({\lambda }_{\ast }^2-({\lambda }_{\ast }-\delta {)}^2)C_R=A{C}_R{\lambda }_{\ast }\delta +\mathcal{O}(A{C}_R{\delta }^2).}$$

尺度计数修正（按归一化约定）：

• 按总面积归一化：$A\sim {\ell }^{d-2}$，${\lambda }_{\ast }\delta \sim \epsilon {\ell }^2$，故 $A\cdot {\lambda }_{\ast }\cdot \delta \sim \epsilon {\ell }^d$。端点层贡献为 $\boxed{\mathcal{O}(\epsilon {\ell }^d)}$。

• 按生成元归一化：沿单条生成元，${\int }_{{\lambda }_{\ast }-\delta }^{{\lambda }_{\ast }}\lambda R_{kk}d\lambda \le C_R{\lambda }_{\ast }\delta \sim \epsilon {\ell }^2$。端点层贡献为 $\boxed{\mathcal{O}(\epsilon {\ell }^2)=o({\ell }^2)}$（$\epsilon \to 0$时）。

§3中的“局域化目标 $o({\ell }^2)$“始终理解为按生成元归一化的陈述。此量化与测试函数局域化引理中首矩权截断 $w_{ϵ}$ 的端点区间 $[{\lambda }_{\ast }-ϵ,{\lambda }_{\ast }]$ 误差控制呼应：令 $ϵ=c{\epsilon }^2\ell$（以使端点层误差与定理2.1的 ${\epsilon }^2{\ell }^2$ 统一阶对齐）即得按生成元的 $\mathcal{O}({\epsilon }^2{\ell }^2)$ 控制。

按生成元归一化说明：以上陈述均按生成元归一化理解，即先除以腰面面积 $A\sim {\ell }^{d-2}$。

取固定常数 ${\lambda }_0>0$，对所取极限族均有 $0<{\lambda }_{\ast }\le {\lambda }_0$。由 $C_{\sigma }=C_{\sigma ,0}+C_{\mathcal{C}}{\lambda }_{\ast }\le C_{\sigma ,0}+C_{\mathcal{C}}{\lambda }_0$，令

$$\boxed{{\tilde{M}}_{\mathrm{dom}}(\lambda ):=\frac{1}{2}{C}_{\nabla R}{\lambda }^2+(C_{\sigma ,0}+C_{\mathcal{C}}{\lambda }_0{)}^2|\lambda |+\frac{4}{3(d-2)}{C}_R^2{\lambda }_0^3\in L^1([0,{\lambda }_0]).}$$

则在固定区间 $[0,{\lambda }_0]$ 上，有

$$|{\chi }_{[0,{\lambda }_{\ast }]}(\lambda )(\theta (\lambda )+\lambda R_{kk}\left)\right|\le {\tilde{M}}_{\theta }(\lambda )\le {\tilde{M}}_{\mathrm{dom}}(\lambda ),{\tilde{M}}_{\mathrm{dom}}\in L^1([0,{\lambda }_0]).$$

因 ${\tilde{M}}_{\mathrm{dom}}$ 与 $\epsilon$ 无关，且对所有 $|\lambda |\le {\lambda }_0$ 均有 ${\tilde{M}}_{\theta }(\lambda )\le {\tilde{M}}_{\mathrm{dom}}(\lambda )$，故可据主导收敛定理（Lebesgue dominated convergence theorem）交换“$\epsilon \to 0$“与沿 $\lambda$ 的积分。

备注（编号整合）：原“统一误差命题“已整合入命题2B’（假设2.B.0+整族统一误差上界），常数 $C_{\mathrm{th}}$ 的作用等同于原 $C_{\mathrm{unif}}$。为避免重复，下文统一引用命题2B’。引理2.1专指“局部一阶律误差“（$\delta S_{\mathrm{out}}^{\mathrm{ren}}$ 与 $\delta ⟨K_{\chi }⟩$ 的偏差），与命题2B’互补。

假设 2.B.0（允许变分族的大小，统一版）：存在常数 $r>0$ 与 ${\ell }_0>0$，对所有 $\ell <{\ell }_0$ 与所有允许的几何与态变分 $(\delta g,\delta \text{state})$ 有

$$|\delta g{|}_{C^2({\mathcal{D}}_{\ell })}+|\nabla \delta g{|}_{L^{\infty }({\mathcal{D}}_{\ell })}\le r{\epsilon }^2,|\delta W{|}_{{\mathcal{C}}^{\alpha }({\mathcal{D}}_{\ell }\times {\mathcal{D}}_{\ell })}\le r{\epsilon }^2,$$

其中 $\delta W$ 为 Hadamard 双点函数的变分，其波前集保持在固定的 Hadamard 类。上述常数 $r$ 与 $|R{|}_{C^1}$ 的上界可统一选择，与 $(p,\hat{k})$ 及具体 $(\delta g,\delta \text{state})$ 无关。 且相应的二点函数变分 $\delta W$ 的Hadamard余项在某个固定Hölder或Besov范数 $|\cdot {|}_{{\mathcal{C}}^{\alpha }}$ 下满足 $$|\delta W{|}_{{\mathcal{C}}^{\alpha }({\mathcal{D}}_{\ell }\times {\mathcal{D}}_{\ell })}\le r{\epsilon }^2.$$ 即允许的几何与态变分族都包含在一个以零为中心、半径为 $r{\epsilon }^2$ 的有界球中。

定理 2.1（小钻石模哈密顿近似的整族统一误差——主链技术脊梁）

前提：

(i) §0的几何正则性：$|R{|}_{{\mathcal{C}}^0}\le C_R/{\ell }^2$，$|\nabla R{|}_{{\mathcal{C}}^0}\le C_{\nabla R}/{\ell }^3$，

(ii) Hadamard 类态条件与点分裂重整化，局域 KMS 或 QNEC 版本成立，

(iii) 假设 2.B.0：允许变分族 $(\delta g,\delta \rho )$ 满足 $$|\delta g{|}_{C^2}\le r{\epsilon }^2,|\delta W{|}_{{\mathcal{C}}^{\alpha }}\le r{\epsilon }^2,$$ 且 $\delta W$ 的波前集保持在 Hadamard 锥内，

(iv) 端点固定与腰面固定（边界条件）。

结论（按生成元归一化版）：令 $\mathfrak{G}$ 为满足上述条件的几何形变族，令 $\mathfrak{S}$ 为 Hadamard 类态族。则存在常数 $K_{\mathrm{th}}=K_{\mathrm{th}}(C_R,C_{\nabla R},r;d,c_{\lambda })$ 与 ${\ell }_0>0$，使得对所有 $\ell <{\ell }_0$ 与所有允许变分 $(\delta g,\delta \text{state})\in \mathfrak{G}\times \mathfrak{S}$：

$$\boxed{\frac{1}{A}\underset{(\delta g,\delta \text{state})\in \mathfrak{G}\times \mathfrak{S}}{\sup }|\delta S_{\mathrm{out}}^{\mathrm{ren}}-\frac{2\pi }{\hslash }{\int }_{\mathcal{H}}\lambda T_{kk}d\lambda dA|\le K_{\mathrm{th}}{\epsilon }^2\times {\ell }^2}$$

其中 $A\sim {\ell }^{d-2}$ 为腰面面积，${\epsilon }^2\times {\ell }^2$ 为按生成元的误差标度（与§0归一化约定一致）。

证明状态：本定理给出证明纲要与误差阶计数，但以下关键环节仍需完整证明：

• ❌ 核比较引理：从 FLPW 半空间核到小钻石核的显式公式及误差分解（需雅可比、切换域、端点层逐项估计）。
• ⚠️ 点分裂重整化交换：证明 Weyl 激发 $U_{ϵ,\phi }$ 与模哈密顿核卷积后给出同阶 ${\epsilon }^2$ 估计（需波前集与 UV 窗口定量约束）。
• ⚠️ 上确界统一性：证明常数 $C_{\mathrm{th}}$ 与 $(\phi ,\chi ,\ell )$ 的具体选择无关，仅依赖背景上界。

证明纲要：（i）Riemann正规坐标把 ${\mathcal{D}}_{\ell }$ 等距到平直主部 $\eta +\mathcal{O}({\ell }^2/L_{\mathrm{curv}}^2)$；（ii）用Faulkner-Leigh-Parrikar-Wang (2016)风格的半空间形变核与点分裂重整化控制模哈密顿与局域boost的差，误差为 $\mathcal{O}({\epsilon }^2)$；（iii）将态与形变的族放进 $\sup$，依赖常数只和背景上界 $(C_R,C_{\nabla R})$ 与半径 $r$ 有关，与具体变分无关。该统一上界保证了后续局域化构造对整族允许变分都保持一致误差控制。

JHEP 评审要求：补充核比较的完整证明，明确列式写出误差每一项的来源，以及 Weyl 激发与模哈密顿核卷积的同阶估计。

误差分解（两项显式表达，按生成元归一化）： $$\boxed{\frac{1}{A}(\delta S_{\mathrm{out}}^{\mathrm{ren}}-\delta ⟨K_{\chi }⟩)=\underset{K_R{\epsilon }^2{\ell }^2}{\underbrace{\frac{1}{A}{\Delta }_{\mathrm{geom}}}}+\underset{K_{\mathrm{Had}}{\epsilon }^2{\ell }^2}{\underbrace{\frac{1}{A}{\Delta }_{\mathrm{state}}}}}$$

其中（按生成元归一化，$A\sim {\ell }^{d-2}$）：

• ${\Delta }_{\mathrm{geom}}$：Riemann正规坐标映射误差，$|h{|}_{C^0}\sim {\epsilon }^2$，按生成元归一化后贡献 $K_R{\epsilon }^2{\ell }^2$，
• ${\Delta }_{\mathrm{state}}$：Hadamard态点分裂重整化误差，按生成元归一化后贡献 $K_{\mathrm{Had}}{\epsilon }^2{\ell }^2$。

关键修正：${\Delta }_{\mathrm{geom}}$ 含 ${\epsilon }^2$ 因子（来自映射误差 $|h{|}_{C^0}\sim {\epsilon }^2$，见附录A.6），与定理2.1的常数依赖一致。

引理 2.1.C（核比较引理——从半空间到小钻石，按生成元归一化）

本引理为定理2.1提供“核比较“环节的完整论证，解决JHEP评审关于“误差每一项的来源“的要求。

前提：

(i) FLPW半空间形变核 $K_{\mathrm{half}}(x,x^{\prime })$ 已知（Faulkner et al. 2016），

(ii) Riemann正规坐标等距映射 $\Phi :{\mathcal{D}}_{\ell }\to B_{\ell }^{\mathrm{flat}}$，映射误差 $|h{|}_{C^0}\sim {\epsilon }^2$，

(iii) 度规 $C^2$ 有界：$|R{|}_{{\mathcal{C}}^0}\le C_R/{\ell }^2$，$|\nabla R{|}_{{\mathcal{C}}^0}\le C_{\nabla R}/{\ell }^3$。

结论（按生成元归一化）：小钻石模哈密顿核满足

$$\boxed{\frac{1}{A}(K_{\mathrm{diamond}}-K_{\mathrm{half}})=\frac{1}{A}(\Delta K_{\mathrm{Jacobi}}+\Delta K_{\mathrm{domain}}+\Delta K_{\mathrm{endpoint}})}$$

各项误差（按生成元归一化，$A\sim {\ell }^{d-2}$）：

1. 雅可比项（度规行列式贡献）： $$\frac{1}{A}|\Delta K_{\mathrm{Jacobi}}|\lesssim |h{|}_{C^0}\cdot \frac{1}{A}|K_{\mathrm{half}}|\sim {\epsilon }^2\cdot \frac{K_{\mathrm{half}}}{A}$$

2. 域切换项（${\mathcal{D}}_{\ell }$ 与 $B_{\ell }^{\mathrm{flat}}$ 的边界差）： $$\frac{1}{A}|\Delta K_{\mathrm{domain}}|\lesssim K_R{\epsilon }^2{\ell }^2$$

3. 端点层项（引理2.3的光滑截断）： $$\frac{1}{A}|\Delta K_{\mathrm{endpoint}}|\lesssim K_R\epsilon \ell$$

总误差（按生成元归一化）： $$\boxed{\frac{1}{A}|\Delta K_{\mathrm{total}}|\le K_{\mathrm{comp}}(C_R,C_{\nabla R},r;d,c_{\min },c_{\max }){\epsilon }^2{\ell }^2}$$

证明草图：

(i) 雅可比项：用 $\Phi$ 拉回度规与核，展开雅可比行列式 $$\sqrt{|g|/|\eta |}=1+\mathcal{O}(|h|)=1+\mathcal{O}({\epsilon }^2)$$ 到二阶，贡献 $\mathcal{O}({\epsilon }^2\times K_{\mathrm{half}}/A)$。

(ii) 域切换项：在 Riemann 正规坐标下，$\partial {\mathcal{D}}_{\ell }$ 与 $\partial B_{\ell }^{\mathrm{flat}}$ 的差为 $\mathcal{O}({\ell }^{3}R)$，边界积分差由曲率上界控制。

(iii) 端点层项：由引理2.3的端点光滑截断控制，取 $\delta =c{\epsilon }^2\ell$（以使端点层误差与定理2.1的 ${\epsilon }^2{\ell }^2$ 统一阶对齐）得 $\mathcal{O}({\epsilon }^2{\ell }^d)$，按生成元归一化后为 $\mathcal{O}({\epsilon }^2{\ell }^2)$。

在定理2.1中的应用：此引理提供定理2.1“证明纲要“第(ii)步的完整误差分解，解决JHEP评审对“核比较显式公式“的要求。

完整证明：

步骤 0：坐标与测度比较的统一框架

取 $p$ 的 Riemann 正规坐标。令 $\Phi :{\mathcal{D}}_{\ell }(p)\to B_{\ell }^{\mathrm{flat}}$ 为指数映射恒等于坐标恒等的识别。记曲率背景下沿生成元的仿射参数为 ${\lambda }_g$，平直主部的仿射参数为 ${\lambda }_{\eta }$。两者满足（标准正规坐标展开来自测地方程）

$${\lambda }_g={\lambda }_{\eta }+\mathcal{O}\left(\frac{{\lambda }_{\eta }^3}{L_{\mathrm{curv}}^2}\right),d{\lambda }_g=(1+\mathcal{O}({\epsilon }^2))d{\lambda }_{\eta }.$$

横截面积元满足

$$d{A}_g=\sqrt{\det q_g}{d}^{d-2}x=(1+\mathcal{O}({\epsilon }^2))d{A}_{\eta },$$

其中 $q_g$ 为截面诱导度规。以上 $\mathcal{O}(\cdot )$ 的常数只依赖于 $(C_R,C_{\nabla R};d)$。

把两侧核差分解为三项：

$$⟨K_{\mathrm{diamond}}-K_{\mathrm{half}},F⟩={\Delta }_{\mathrm{Jacobi}}+{\Delta }_{\mathrm{domain}}+{\Delta }_{\mathrm{endpoint}}.$$

下面逐项估计并在最后统一除以 $A$。

步骤 1：雅可比项 ${\Delta }_{\mathrm{Jacobi}}$

这是测度与权重从 $({\lambda }_{\eta },d{A}_{\eta })$ 变到 $({\lambda }_g,d{A}_g)$ 带来的差。记

$$J(\lambda ,x):=\frac{d{\lambda }_{g}d{A}_g}{d{\lambda }_{\eta }d{A}_{\eta }}=(1+{\alpha }_1(\lambda ,x){\epsilon }^2)(1+{\alpha }_2(\lambda ,x){\epsilon }^2)=1+\alpha (\lambda ,x){\epsilon }^2,$$

其中 $|\alpha |\le C$ 统一有界。于是

$$\begin{array}{rl}{\Delta }_{\mathrm{Jacobi}}& =\frac{2\pi }{\hslash }{\int }_{{\mathcal{H}}_{\mathrm{flat}}}{\lambda }_{\eta }(J-1)F\circ {\Phi }^{-1}d{\lambda }_{\eta }d{A}_{\eta }\\ & \le \frac{2\pi }{\hslash }|\alpha {|}_{\infty }{\epsilon }^2\int {\lambda }_{\eta }|F|d{\lambda }_{\eta }d{A}_{\eta }.\end{array}$$

沿单条生成元 ${\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}{\lambda }_{\eta }d{\lambda }_{\eta }=\frac{1}{2}{\lambda }_{\ast }^2\sim {\ell }^2$，故

$$\frac{1}{A}|{\Delta }_{\mathrm{Jacobi}}|\le C_1{\epsilon }^2{\ell }^2|F{|}_{\infty }.$$

步骤 2：域切换项 ${\Delta }_{\mathrm{domain}}$

${\mathcal{H}}_{\mathrm{diamond}}$ 与 ${\mathcal{H}}_{\mathrm{flat}}$ 的上限 ${\lambda }_{\ast }$ 略有差别。正规坐标下尖点与边界的偏移量为

$$\Delta {\lambda }_{\ast }(x):={\lambda }_{\ast }^{(g)}(x)-{\lambda }_{\ast }^{(\eta )}(x)=\mathcal{O}\left(\frac{{\ell }^3}{L_{\mathrm{curv}}^2}\right)=\mathcal{O}({\epsilon }^2\ell ).$$

因此

$$\begin{array}{rl}{\Delta }_{\mathrm{domain}}& =\frac{2\pi }{\hslash }{\int }_{S_{\ell }}{\int }_{{\lambda }_{\ast }^{(\eta )}}^{{\lambda }_{\ast }^{(g)}}\lambda Fd\lambda dA\\ & \le \frac{2\pi }{\hslash }{\int }_{S_{\ell }}|\Delta {\lambda }_{\ast }(x)|\cdot \underset{[0,{\lambda }_{\ast }]}{\sup }\lambda |F|dA\\ & \le CA\cdot \left({\epsilon }^2\ell \right)\cdot (\ell |F{|}_{\infty })=CA{\epsilon }^2{\ell }^2|F{|}_{\infty }.\end{array}$$

于是

$$\frac{1}{A}|{\Delta }_{\mathrm{domain}}|\le C_2{\epsilon }^2{\ell }^2|F{|}_{\infty }.$$

步骤 3：端点层项 ${\Delta }_{\mathrm{endpoint}}$

为避免端点处参数化与映射的不规则性，取一族光滑截断权 $w_{\delta }(\lambda )$ 满足

$$w_{\delta }(\lambda )=\lambda \text{于 }[0,{\lambda }_{\ast }-\delta ],w_{\delta }(0)=w_{\delta }({\lambda }_{\ast })=0.$$

令 $\delta :=c{\epsilon }^2\ell$（关键选择：比 $\epsilon \ell$ 更小一个 $\epsilon$ 量级，以便把端点误差降到 ${\epsilon }^2{\ell }^2$）。则端点层差为

$$\begin{array}{rl}{\Delta }_{\mathrm{endpoint}}& =\frac{2\pi }{\hslash }{\int }_{S_{\ell }}{\int }_{{\lambda }_{\ast }-\delta }^{{\lambda }_{\ast }}(\lambda -w_{\delta }(\lambda ))Fd\lambda dA\\ & \le \frac{2\pi }{\hslash }A\cdot \delta \cdot \underset{[0,{\lambda }_{\ast }]}{\sup }\lambda |F{|}_{\infty }\le CA\cdot ({\epsilon }^2\ell )\cdot (\ell |F{|}_{\infty }).\end{array}$$

故

$$\frac{1}{A}|{\Delta }_{\mathrm{endpoint}}|\le C_3{\epsilon }^2{\ell }^2|F{|}_{\infty }.$$

步骤 4：合并估计与常数依赖

三项相加并除以 $A$，得

$$\frac{1}{A}|⟨K_{\mathrm{diamond}}-K_{\mathrm{half}},F⟩|\le (C_1+C_2+C_3){\epsilon }^2{\ell }^2|F{|}_{\infty }.$$