宇宙的统一数学定义

核心定义

宇宙是一个在多层范畴中同时为极大、一致、完备的单一数学结构,记为 $$\mathfrak{U}=(U_{\mathrm{evt}},U_{\mathrm{geo}},U_{\mathrm{meas}},U_{\mathrm{QFT}},U_{\mathrm{scat}},U_{\mathrm{mod}},U_{\mathrm{ent}},U_{\mathrm{obs}},U_{\mathrm{cat}},U_{\mathrm{comp}})$$ 其中各分量以及它们之间的兼容性如下所述;在同构意义下唯一。

1. 事件与因果层

1.1 事件集与因果偏序

$$U_{\mathrm{evt}}=(X,⪯,\mathcal{C})$$ 其中

• $X$ 为类集(可取真类),元素称为“事件“;
• $⪯\subseteq X\times X$ 为偏序,满足反身、反对称、传递;
• $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{P}(X)$ 为“因果片段“族,对每个 $C\in \mathcal{C}$,$(C,⪯{|}_C)$ 为局部有限偏序,并形成覆盖 ${\bigcup }_{C\in \mathcal{C}}C=X$。

1.2 全局因果一致性

$(X,⪯)$ 为稳定因果:不存在闭因果链,且存在严格递增时间函数 $$T_{\mathrm{cau}}:X\to \mathbb{R},x\prec y\Rightarrow T_{\mathrm{cau}}(x)<T_{\mathrm{cau}}(y).$$

1.3 因果网与因果菱形族

定义所有有界因果区域的集合 $$\mathcal{D}=\{D\subseteq X:D=J^{+}(p)\cap J^{-}(q),p⪯q\},$$ 其中 $J^{\pm }(\cdot )$ 由 $⪯$ 决定;每个 $D\in \mathcal{D}$ 称为“小因果菱形“。

2. 几何层(时空与度规)

2.1 洛伦兹流形结构

$$U_{\mathrm{geo}}=(M,g,{\Phi }_{\mathrm{evt}},{\Phi }_{\mathrm{cau}})$$ 其中

• $M$ 为四维可定向、时间定向的 $C^{\infty }$ 流形;
• $g$ 为签名 $(-+++)$ 的洛伦兹度规;
• ${\Phi }_{\mathrm{evt}}:X\to M$ 为事件嵌入;
• ${\Phi }_{\mathrm{cau}}$ 将因果偏序拉回到光锥因果结构: $$x⪯y⟺{\Phi }_{\mathrm{evt}}(y)\in J_g^{+}({\Phi }_{\mathrm{evt}}(x)).$$

2.2 全局双曲性

$(M,g)$ 为全局双曲:存在 Cauchy 超曲面 $\Sigma \subset M$,使 $$M\simeq \mathbb{R}\times \Sigma ,\text{每条类时/零测地曲线与 }\Sigma \text{ 恰交一次}.$$

2.3 几何时间函数

$$T_{\mathrm{geo}}:M\to \mathbb{R}$$ 为平滑时间函数,梯度处处类时,将因果结构编码为 $$p\in J_g^{+}(q)\Rightarrow T_{\mathrm{geo}}(p)\ge T_{\mathrm{geo}}(q).$$

3. 测度、概率与统计层

3.1 测度结构

$$U_{\mathrm{meas}}=(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P},\Psi )$$ 其中

• $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 为完备概率空间;
• $\Psi :\Omega \to X$ 为随机事件映射,使得观测统计来自 $\Psi$ 的推前测度。

3.2 统计时间序列

定义世界线上的样本路径 $${\Psi }_{\gamma }:\Omega \to X^{\mathbb{Z}},{\Psi }_{\gamma }(\omega )=(x_n{)}_{n\in \mathbb{Z}},$$ 满足 $x_n\prec x_{n+1}$;诱导时间序列过程。

4. 量子场与算子代数层

4.1 局域可观测代数网

$$U_{\mathrm{QFT}}=(\mathcal{O}(M),\mathcal{A},\omega )$$ 其中

• $\mathcal{O}(M)$ 为 $M$ 上有界因果凸开集族;
• $\mathcal{A}:\mathcal{O}(M)\to C^{\ast }\text{Alg},O\mapsto \mathcal{A}(O)$ 为 Haag–Kastler 型网,满足同调性、各向、微因果性: $$O_1\subseteq O_2\Rightarrow \mathcal{A}(O_1)\subseteq \mathcal{A}(O_2),O_1\perp O_2\Rightarrow [\mathcal{A}(O_1),\mathcal{A}(O_2)]=0.$$
• $\omega$ 为所有 $\mathcal{A}(O)$ 上一致的正、归一态。

4.2 GNS 构造

$$({\pi }_{\omega },\mathcal{H},{\Omega }_{\omega })$$ 其中

• ${\pi }_{\omega }:\mathcal{A}\to B(\mathcal{H})$ 为 $\ast$-表示;
• ${\Omega }_{\omega }$ 为循环且分离向量;
• $\omega (A)=⟨{\Omega }_{\omega },{\pi }_{\omega }(A){\Omega }_{\omega }⟩$。

5. 散射、谱与时间刻度层

5.1 散射对与谱移

$$(H,H_0),V:=H-H_0$$ 为自伴算子对,满足适当迹类/相对迹类假设,存在谱移函数 $\xi (\omega )$。

5.2 散射矩阵与 Wigner–Smith 延迟

$$S(\omega )\in U({\mathcal{H}}_{\omega }),Q(\omega )=-\mathrm{i}S(\omega {)}^{†}{\partial }_{\omega }S(\omega ).$$

5.3 总散射相位与相对态密度

$$\Phi (\omega )=\arg \det S(\omega ),\phi (\omega )=\frac{1}{2}\Phi (\omega ),{\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=-{\xi }^{\prime }(\omega ).$$

5.4 统一时间刻度(母尺)

定义刻度密度 $$\kappa (\omega ):=\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(\omega ).$$ 对参考频率 ${\omega }_0$,定义散射时间 $${\tau }_{\mathrm{scatt}}(\omega )-{\tau }_{\mathrm{scatt}}({\omega }_0):={\int }_{{\omega }_0}^{\omega }\kappa (\omega )\mathrm{d}\omega .$$

5.5 几何时间对齐

要求存在单调双射 $f$ 使 $$T_{\mathrm{geo}}({\Phi }_{\mathrm{evt}}(x))=f({\tau }_{\mathrm{scatt}}({\omega }_x))$$ 对适当定义的频率标记 ${\omega }_x$ 成立;即几何时间与散射时间落在同一刻度等价类中。

6. 模块流与热时间层

6.1 模算子与模流

$$S_0{\pi }_{\omega }(A){\Omega }_{\omega }={\pi }_{\omega }(A{)}^{\ast }{\Omega }_{\omega },$$ 闭包 $S$ 极分解 $S=J{\Delta }^{1/2}$,定义模流 $${\sigma }_t^{\omega }(A)={\Delta }^{\mathrm{i}t}A{\Delta }^{-\mathrm{i}t}.$$

6.2 模时间刻度

定义模哈密顿算子 $$K_{\omega }:=-\log \Delta ,{\sigma }_t^{\omega }(A)={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t{K}_{\omega }}A{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}t{K}_{\omega }}.$$ 模参数 $t_{\mathrm{mod}}\in \mathbb{R}$ 为时间参数;对不同忠实态 $\omega ,{\omega }^{\prime }$,其模流在外自同构群中共轭,时间相关仅差仿射重标。

6.3 与散射刻度对齐

要求存在常数 $a>0,b\in \mathbb{R}$ 使对某统一边界代数 ${\mathcal{A}}_{\partial }\subseteq \mathcal{A}$,有 $$t_{\mathrm{mod}}=a{\tau }_{\mathrm{scatt}}+b$$ 在共同定义域上成立。

7. 广义熵、能量与引力层

7.1 小因果菱形上的广义熵

对每个 $D\in \mathcal{D}$ 及其边界割面 $\Sigma \subset \partial D$,定义 $$S_{\mathrm{gen}}(\Sigma )=\frac{A(\Sigma )}{4G\hslash }+S_{\mathrm{out}}(\Sigma ),$$ 其中 $A(\Sigma )$ 为面积,$S_{\mathrm{out}}$ 为外侧冯·诺依曼熵。

7.2 广义熵极值与时间箭头

沿零生成元仿射参数 $\lambda$ 的形变满足 $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda }{S}_{\mathrm{gen}}(\lambda ){|}_{\lambda =0}=0,\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{\lambda }^2}{S}_{\mathrm{gen}}(\lambda )\ge 0,$$ 对所有小因果菱形成族一致成立;配合量子零能条件 $T_{kk}\ge \frac{\hslash }{2\pi }{S}_{\mathrm{out}}^{\prime \prime }$ 给出局域引力场方程。

7.3 爱因斯坦场方程作为几何闭包

$$G_{ab}+\Lambda g_{ab}=8\pi G⟨T_{ab}⟩$$ 在 $M$ 上处处成立;其中 $T_{ab}$ 由 $\omega$ 与场算子期望给出。

8. 边界时间几何与 GHY 项

8.1 边界数据

取带边界流形 $(M,g)$,其边界 $\partial M$ 及诱导度规、外挠曲率 $$h_{ab},K_{ab},K=h^{ab}{K}_{ab}.$$

8.2 EH+GHY 作用

$$S_{\mathrm{EH}}[g]=\frac{1}{16\pi G}{\int }_{M}R\sqrt{-g}{\mathrm{d}}^{4}x,S_{\mathrm{GHY}}[g]=\frac{\epsilon }{8\pi G}{\int }_{\partial M}K\sqrt{|h|}{\mathrm{d}}^{3}x.$$

8.3 Brown–York 准局域应力张量

$$T_{\mathrm{BY}}^{ab}=\frac{2}{\sqrt{|h|}}\frac{\delta S}{\delta h_{ab}}=\frac{\epsilon }{8\pi G}(K^{ab}-K{h}^{ab})+\cdots .$$

8.4 几何时间生成元

对边界上的时间样 Killing 向量场 $t^a$ 与空间截面 $\Sigma$,定义 $$H_{\partial }={\int }_{\Sigma }{T}_{\mathrm{BY}}^{ab}{t}_a{n}_b{\mathrm{d}}^{d-1}x,$$ 其中 $n^b$ 为 $\Sigma$ 在 $\partial M$ 中的单位法向;$H_{\partial }$ 生成边界时间平移 ${\tau }_{\mathrm{geom}}$。

8.5 与模流的对齐

要求存在常数 $c>0$ 使在边界代数 ${\mathcal{A}}_{\partial }$ 上 $$\mathrm{Ad}\left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\tau }_{\mathrm{geom}}{H}_{\partial }}\right)={\sigma }_{t_{\mathrm{mod}}}^{\omega },t_{\mathrm{mod}}=c{\tau }_{\mathrm{geom}},$$ 从而几何时间、模时间、散射时间同属刻度等价类 $[\tau ]$。

9. 观察者与共识层

9.1 观察者对象

$$U_{\mathrm{obs}}=(\mathcal{O},\mathrm{worldline},\mathrm{res},\mathrm{model},\mathrm{update})$$ 其中每个观察者 $$O_i=({\gamma }_i,{\Lambda }_i,{\mathcal{A}}_i,{\omega }_i,{\mathcal{M}}_i,U_i)$$ 包含:世界线 ${\gamma }_i\subset M$,分辨率刻度 ${\Lambda }_i$,可观测代数 ${\mathcal{A}}_i\subseteq \mathcal{A}$,局域状态 ${\omega }_i$,候选模型族 ${\mathcal{M}}_i$,更新规则 $U_i$。

9.2 时间体验刻度

对每条世界线 ${\gamma }_i$ 定义本征时间 $${\tau }_i={\int }_{{\gamma }_i}\sqrt{-g_{\mu \nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\mathrm{d}{x}^{\nu }},$$ 并要求存在仿射变换 $${\tau }_i=a_i{\tau }_{\mathrm{scatt}}+b_i=a_i^{\prime }{T}_{\mathrm{geo}}+b_i^{\prime }=a_i^{\prime \prime }{t}_{\mathrm{mod}}+b_i^{\prime \prime },$$ 即观察者主观时间与统一刻度同属等价类。

9.3 因果共识

所有观察者的局域偏序 $(C_i,{\prec }_i)$ 在交叠区域满足 Čech 式一致性,则存在唯一全局偏序 $(X,⪯)$(即上文 $U_{\mathrm{evt}}$),从而“同一宇宙因果网“是所有观察者局域数据的粘合极限。

10. 范畴、拓扑与逻辑层

10.1 宇宙范畴模型

$$U_{\mathrm{cat}}=(\mathbf{Univ},\mathfrak{U},\Pi )$$ 其中

• $\mathbf{Univ}$ 为以“宇宙候选结构“为对象、以保持所有上述结构的同构为态射的 2-范畴;
• $\mathfrak{U}$ 是 $\mathbf{Univ}$ 中的终对象:对任何对象 $V$ 存在唯一态射 $V\to \mathfrak{U}$;
• $\Pi$ 表示各层投影(几何、算子、散射、模流、熵、观察者等)构成的极限锥,使 $$\mathfrak{U}\simeq \underleftarrow{\lim }(U_{\mathrm{geo}},U_{\mathrm{QFT}},U_{\mathrm{scat}},U_{\mathrm{mod}},U_{\mathrm{ent}},U_{\mathrm{obs}},\dots ).$$

10.2 拓扑与逻辑

$$\mathcal{E}=\mathrm{Sh}(M)$$ 为 $M$ 上层范畴(或一个 Grothendieck topos),携带内部高阶逻辑;物理命题对应 $\mathcal{E}$ 中子对象格;因果与可观测性对应子层与态之间的关系。

11. 计算与可实现性层

11.1 可计算结构

$$U_{\mathrm{comp}}=({\mathcal{M}}_{\mathrm{TM}},\mathrm{Enc},\mathrm{Sim})$$ 其中

• ${\mathcal{M}}_{\mathrm{TM}}$ 为图灵机空间;
• $\mathrm{Enc}:\mathbf{Univ}\to {\mathcal{M}}_{\mathrm{TM}}$ 为对宇宙结构的编码函子(上界意义上);
• $\mathrm{Sim}:{\mathcal{M}}_{\mathrm{TM}}\rightrightarrows \mathbf{Univ}$ 给出可模拟子宇宙族;真实宇宙 $\mathfrak{U}$ 为在所有可计算模型上的上界,满足一致性但不假定“可计算完备“。

12. 宇宙的最终压缩定义

综合以上,宇宙就是:

在给定集合论基础上,$X$ 上所有可达事件、几何因果结构、量子场与算子代数、散射与谱移、模块流与广义熵、边界时间几何与观察者网络等全部数据的极大一致结构 $$>\mathfrak{U}=>(U_{\mathrm{evt}},U_{\mathrm{geo}},U_{\mathrm{meas}},U_{\mathrm{QFT}},U_{\mathrm{scat}},U_{\mathrm{mod}},U_{\mathrm{ent}},U_{\mathrm{obs}},U_{\mathrm{cat}},U_{\mathrm{comp}})>$$ 其内统一时间刻度由 $$>\kappa (\omega )>=\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }>={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )>=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(\omega )>$$ 给出,并与几何时间 $T_{\mathrm{geo}}$、模时间 $t_{\mathrm{mod}}$、观察者本征时间 ${\tau }_i$ 均在同一刻度等价类 $[\tau ]$ 中; 所有物理定律是该结构分量之间的兼容性条件,宇宙即其在同构意义下的唯一解。

结构图示

宇宙的十层结构及其相互关系可图示如下:

                    𝔘 (终对象)
                      |
        ┌─────────────┴─────────────┐
        |                           |
    U_cat ←──────────────────→ U_comp
        |                           |
   ┌────┴────┐                 ┌────┴────┐
   |         |                 |         |
U_obs ←→ U_ent            U_QFT ←→ U_scat
   |         |                 |         |
   └────┬────┘                 └────┬────┘
        |                           |
    U_geo ←──────────────────→ U_mod
        |                           |
        └─────────────┬─────────────┘
                      |
                   U_evt
                      |
                   U_meas

时间刻度统一关系: $$[\tau ]=\{T_{\mathrm{cau}},T_{\mathrm{geo}},{\tau }_{\mathrm{scatt}},t_{\mathrm{mod}},{\tau }_{\mathrm{geom}},{\tau }_i{\}}_{\text{仿射等价}}$$

所有箭头表示结构兼容性约束,宇宙 $\mathfrak{U}$ 是使所有约束同时满足的唯一极大解。

数学地位

在范畴 $\mathbf{Univ}$ 中,宇宙 $\mathfrak{U}$ 具有以下性质:

1. 终对象性: 对任何候选宇宙结构 $V$,存在唯一态射 $V\to \mathfrak{U}$。
2. 极限性: $\mathfrak{U}$ 是所有分量结构的逆极限。
3. 完备性: 所有物理定律作为兼容性条件在 $\mathfrak{U}$ 中同时满足。
4. 极大性: 不存在严格包含 $\mathfrak{U}$ 的一致结构。
5. 唯一性: 在同构意义下,$\mathfrak{U}$ 由上述公理唯一确定。

因此,宇宙不是“被构造“的,而是在一致性约束下唯一存在的数学对象。