Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

——窗化群延迟、红移与光速的公理化理论、接口纲要与非渐近误差闭合(完整版)

Version: 3.14 (Critical Revision: ℏ Factor Correction & Reviewer-Requested Enhancements)

摘要

在“宇宙 = 广义光结构(Generalized Light Structure, GLS)““观察者 = 滤镜链(windowed compression → CP 通道 → POVM → 阈值计数)”“因果 = 类光锥偏序“的双层并行框架中,建立以 $$\boxed{\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{2\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),\mathsf{Q}(E)=-iS(E{)}^{†}\frac{dS}{dE}(E)}$$ 为母刻度(相位导数—相对态密度—Wigner–Smith 群延迟迹)的公理化理论。核心结果:(i)以窗化群延迟读数 $T_{\gamma }[w_R,h]$ 提供时间的操作化刻度（注意：$T_{\gamma }$ 是 $(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 的带内线性读数，并非前沿时间 $t_{\ast }$；窄带/共振下可取负值；二者仅在§3.4的高频平台极限下一致），并证明其串并联可加、规范协变/相对不变(当 $U,V$ 与能量无关或 $\det U\cdot \det V\equiv 1$ 时保持不变);在单通道($N=1$)真空纯延迟 $S(\omega )=e^{-i\omega L/c}$ 且归一化 $\int (w_R\ast \check{h})=2\pi$ 的情形,窗化群延迟读数给出 $T_{\gamma }=L/c$(可用以标定 $c$);Nyquist 条件仅保证该读数的离散实现无别名误差,两者层级不同;(ii)以谱缩放刻画红移并证明与时间的互易标度律;(iii)以真空前沿规范光速 $c$,给出任意物理通道的前沿下界与无超锥传播;(iv)在 §4 的前提 (i)、(ii′)、(iii)、(iv) 内(LTI+Hardy 因果、局域与被动性、加强版高频真空极限)给出高频标定桥接(§3.4):任意固定形状归一窗的蓝移极限 ${\lim }_{E_0\to \infty }{T}_{\gamma }=t_{\ast }$,从而把因果前沿 $t_{\ast }$ 作为 $T_{\gamma }$ 的可操作极限刻度;并提出因果前沿层($t_{\ast }$)与操作化群延迟层($T_{\gamma }$)的双层并行框架,给出从 GLS 到因果流形的接口骨架;(v)在同一账本中统一波/粒二象性与双缝的窗化互补不等式 $D^2+V^2\le 1$;(vi)阐明“分辨率提升 = 宇宙膨胀(红移放大)“的严格对偶,并给出 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin(NPE)有限阶误差闭合与工程化处方。理论全程采用算子—测度—函数语言(Toeplitz/Berezin 压缩 $K_{w,h}$,读数 = 对谱测度的线性泛函),在全局幺正公设下将一切时间/密度读数统一由 $\mathsf{Q}=-i{S}^{†}{S}^{\prime }$ 定义,实验性非幺正均通过幺正扩张 $\hat{S}$ 回推母刻度。

Notation & Axioms / Conventions

单位与常数规范

默认采用 $\hslash =1$(必要时亦可取 $c=1$)。若 $c$ 未取为 1,则需按 $L/c$ 恢复光程量纲。

主变量约定与量纲互换：全文以 $\omega$（角频率）为主自变量。在 $\hslash =1$ 下，$E$ 与 $\omega$ 数值相等。恢复 SI 单位时：

• $\omega$ 变量：${\mathsf{Q}}_{\omega }(\omega )=-i{S}^{†}(\omega )\frac{dS}{d\omega }(\omega )$，量纲为时间；
• $E$ 变量：${\mathsf{Q}}_E(E)=-i{S}^{†}(E)\frac{dS}{dE}(E)$，且 $$\boxed{{\mathsf{Q}}_E(E)=\frac{1}{\hslash }{\mathsf{Q}}_{\omega }(\omega ),E=\hslash \omega }.$$

量纲与读数：

• 以 $\omega$ 为自变量时，$(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{\omega }$ 的量纲为时间，读数 $T$ 直接为秒；
• 以 $E$ 为自变量时，$(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_E$ 的量纲为 $1/\text{能量}$，相应物理时间为 $$\boxed{T_{\mathrm{phys}}=\hslash T_E}.$$ 且有测度不变式 $$\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{\omega }d\omega =\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{E}dE.$$

本文算例与主证明默认采用 $\omega$ 变量，并按“傅里叶规范“统一常数因子（$\int (w_R\ast \check{h})=2\pi$）。

术语对齐:本文中“时间“如无特别说明,指因果时间 $t_{\ast }$;$T_{\gamma }[w_R,h]$ 称为窗化群延迟读数或操作化时间刻度。

Standing Assumption A (母刻度语境):本文采用有限维幺正散射矩阵的代数语境。假设在工作带内 $S(E)\in C^1\cap \mathsf{U}(N)$（$N$ 为有限通道数）。母刻度关系 $$\boxed{{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)}$$ 在此语境下作为等价定义成立：定义 $\xi (E):=-\frac{1}{2\pi i}\log \det S(E)$（取主值分支），则 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=-{\xi }^{\prime }(E)$；反之，由 $\mathsf{Q}(E)=-i{S}^{†}(E)S^{\prime }(E)$ 的迹与行列式导数的关系 $\mathrm{tr}(A^{-1}{A}^{\prime })=(\log \det A{)}^{\prime }$ 即得上述等式。此定义无需诉诸无限维谱移函数理论的相对可追踪等抽象假设，直接在 $\mathsf{U}(N)$ 的李群微分几何中成立。

注：若需处理无限维算子或连续谱，可采用Birman–Kreĭn谱移函数定理的完整版本（需相对可追踪等标准假设），届时上述关系升格为定理。本文聚焦可实现器件网络，故统一采用有限维语境。

卡片 I（刻度同一｜全局幺正公设）

公设（全局幺正）：宇宙视作封闭系统;存在以能量 $E$ 为坐标的绝对连续谱区间,在本工作带内散射矩阵 $S(E)\in C^1\cap \mathsf{U}(N)$ 幺正。根据Standing Assumption A，母刻度关系 $${\rho }_{\mathrm{rel}}(E):=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),\mathsf{Q}(E)=-i{S}^{†}(E)S^{\prime }(E)$$ 等价于相位导数定义 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=-{\xi }^{\prime }(E)$，其中 $\xi (E):=-\frac{1}{2\pi i}\log \det S(E)$（主值分支）。 我们据此定义相位测度 ${\mu }_{\phi }$:令 $$d{\mu }_{\phi }^{\mathrm{ac}}(E):={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE,$$ 等价写作 $$\boxed{\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{2\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-{\xi }^{\prime }(E)}.$$ 此处 $\phi$ 为实现该密度的相位函数,其符号仅随 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 而定。需要强调：除特殊情形外,${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 可取正可取负,故 ${\mu }_{\phi }$ 一般为符号测度（signed measure），并不对应任何物理态的能谱测度。

处方（开放子系统的幺正扩张规约）：任何实验性损耗/增益均视作对环境自由度的迹出;理论分析统一通过幺正扩张 $\hat{S}(E)$ 处理,并以 $\mathsf{Q}(\hat{S})=-i{\hat{S}}^{†}{\hat{S}}^{\prime }$ 评估全部时间/密度读数。实际读数对可访问通道 $\mathcal{C}$ 采用块迹/压缩,可验证等价式为 $$T_{\mathcal{C}}[w_R,h]=-\int (w_R\ast \check{h})(E)\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}(P_{\mathcal{C}}(-i{\hat{S}}^{†}{\hat{S}}^{\prime })P_{\mathcal{C}})dE,$$ 或用 Toeplitz/Berezin 压缩 $\mathrm{Tr}(K_{w,h}\cdot )$ 实现,仅计算可观测子空间。

扩张依赖性与规约（关键）：$\hat{S}$ 的幺正扩张不唯一，环境子空间的能量依赖基变换会改变可见块的读数。为保证读数的可比性与可复现性，必须采用以下两条规约之一：

(A) 高频规约扩张：规定采用满足以下条件的幺正扩张类 $\{\hat{S}\}$：

• 前沿因子化后的剩余部分 ${\hat{S}}_0(\omega )=e^{i\omega t_{\ast }}\hat{S}(\omega )$ 在高频极限下一致趋于单位矩阵：${\lim }_{|\omega |\to \infty }{\hat{S}}_0(\omega )=I$；
• 可见–环境交叉块在高频上一致趋零：${\lim }_{|\omega |\to \infty }\Vert P_{\mathcal{C}}{\hat{S}}_0(\omega )P_{\mathcal{C}}^{\perp }\Vert =0$。

在此规约下，高频平台法（§3.4）的极限 ${\lim }_{E_0\to \infty }{T}_{\mathcal{C}}[w_R(\cdot -E_0),h]=t_{\ast }$ 对所有满足规约的扩张一致成立，从而 $t_{\ast }$ 具有不变量意义。

(B) 相对量为主报（工程强烈推荐）：对无法保证扩张类一致性的实验，或无法验证级联兼容性（Assumption B）或规范协变拓扑项的场景，规定主报相对量 $$\boxed{T_{\mathrm{rel}}:=T_{\mathcal{C}}[w_R,h;S]-T_{\mathcal{C}}[w_R,h;S_{\mathrm{ref}}]},$$ 其中 $S_{\mathrm{ref}}$ 为标准参考通道（如校准用纯延迟或真空链路）。相对量自动消除：

• 环境规约依赖（扩张路径的非唯一性）；
• 规范协变中的拓扑项（净绕数偏置，§3.2）；
• 级联可加性的环境旁路耦合误差（§3.2 Assumption B；若两链对同一参考均可测）。

特别适用于跨器件/跨实验对比，无需验证交叉块范数或绕数分支。 报告时需声明 $S_{\mathrm{ref}}$ 的选取及其前沿时间 $t_{\ast }(\mathrm{ref})$。

明确约定：下文涉及开放子系统的 $T_{\mathcal{C}}[w_R,h]$ 绝对量时，默认已采用规约(A)或在同一扩张类内对比；跨扩张类的绝对量对比无物理意义。实验报告中建议优先使用 $T_{\mathrm{rel}}$。

$\mathsf{Q}$ vs $\tilde{\mathsf{Q}}$:本文不引入 $\tilde{\mathsf{Q}}:=-i{S}^{-1}{S}^{\prime }$。两者在幺正 $S$ 时有 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}=\mathrm{tr}\tilde{\mathsf{Q}}$,但在“子系统可见“的非幺正有效描述下,$\mathsf{Q}$ 的幺正扩张路径更自然地对接块迹/压缩。

警示：对开放子系统的有效散射矩阵 $S_{\mathcal{C}}$ 通常非幺正,直接代入 $-i{S}_{\mathcal{C}}^{-1}{S}_{\mathcal{C}}^{\prime }$ 不可取；本文一律通过幺正扩张 $\hat{S}$ 与块迹/Toeplitz 压缩计算可访问时标。

卡片 II(有限阶 EM 与带限正则性)

一切离散—连续换算与窗化读数遵循 NPE 三分解 $${\epsilon }_{\mathrm{total}}={\epsilon }_{\mathrm{alias}}+{\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}},$$

正则性前提（严格带限保证）：本文的严格带限场景要求 $\hat{w},\hat{h}\in C_c^{M+1}(\mathbb{R})$（紧支撑、$M+1$ 阶连续可微，$M$ 为 Euler–Maclaurin 所用阶数），使得：

• $\hat{h}$ 为紧支撑有界乘子，$\mathrm{supp}\hat{h}\subset [-{\Omega }_h,{\Omega }_h]$；
• $\hat{w}$ 同理，$\mathrm{supp}\hat{w}\subset [-{\Omega }_w,{\Omega }_w]$。

在此前提下，卷积 $\hat{g}=\hat{h}\cdot \widehat{{\rho }_{\mathrm{rel}}}$ 的支撑被 $\hat{h}$ 截断，从而 $f(E)=w_R(E)[h\star {\rho }_{\mathrm{rel}}](E)$ 属于 Paley–Wiener 类 ${\mathsf{PW}}_B\cap L^1$（$B={\Omega }_h+{\Omega }_w/R$）。

零心母窗 $w_R(E)=w(E/R)$ 的频域支撑为 $\mathrm{supp}\widehat{w_R}\subset [-{\Omega }_w/R,{\Omega }_w/R]$（其中 ${\Omega }_w$ 为母窗 $w$ 的带宽）。平移窗 $w_R(E-E_c)$ 仅改变相位，支撑宽度不变。因此若采样间隔 $$\Delta \le \frac{\pi }{{\Omega }_h+{\Omega }_w/R},$$ 则 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$（Nyquist–Shannon，精确等式）。

近带限回退：若仅为近带限（如高斯窗、指数衰减窗），${\epsilon }_{\mathrm{alias}}$ 保留为可估上界的残差项，必须回退到附录B的NPE三分解估计；${\epsilon }_{\mathrm{EM}}$ 由有限阶 Euler–Maclaurin(端点伯努利层与显式余项)控制;${\epsilon }_{\mathrm{tail}}$ 由窗外衰减控制。

工程常用窗的适用性警示：工程常用的 Kaiser、Blackman–Harris 等窗在本文变量规范下（能量域/时间域有紧支撑）其傅里叶像通常不满足频域严格带限（存在旁瓣衰减），属于近带限场景。此类窗应按附录B的NPE三分解估计误差（${\epsilon }_{\mathrm{alias}},{\epsilon }_{\mathrm{EM}},{\epsilon }_{\mathrm{tail}}$），而非套用严格带限的精确等式 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$。

误差尺度提示：在近带限常用窗核下，误差主尺度通常受最靠近实轴的奇性控制（参见附录B的上界模板）。此提示为经验性指导，非无条件定理。(维基百科)

记号约定

约定 $(h\star f)(E):=(h\ast f)(E)$,其中 $\check{h}(E):=h(-E)$,星号表示对能量变量的卷积。

零心母窗约定：窗族采用零心母窗 $w_R(E)=w(E/R)$（$w$ 以原点为中心），其中 $w$ 为偶函数且 $w\in L^1\cap C^M$（$M$ 为 Euler–Maclaurin 所用阶数）。需要平移时显式标注：如 $w_R(E-E_c)$ 表示窗心位于 $E_c$ 的窗函数。核 $h$ 亦取 $h\in L^1\cap C^M$,具体归一方式在上下文另行说明。

记号澄清：采用零心母窗避免“二次平移“歧义。例如，§3.4的平移窗族定义为 $F_{E_c}(\omega ):=(w_R\ast \check{h})(\omega -E_c)$，其中 $w_R(E)=w(E/R)$ 不含预设平移，$E_c$ 为扫描中心频率。

傅里叶规范: $\hat{f}(\omega ):={\int }_{\mathbb{R}}f(E)e^{-i\omega E}dE$, $f(E)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}(\omega )e^{i\omega E}d\omega$。在此规范下,Nyquist 条件 $\Delta \le \pi /({\Omega }_h+{\Omega }_w/R)$ 与附录 B 的 Poisson 公式中 $2\pi$ 因子与相位约定一致。

$S(E)\in \mathsf{U}(N)$:多通道散射矩阵,$\mathsf{Q}=-i{S}^{†}{S}^{\prime }$。 ${\rho }_{\mathrm{rel}}=-{\xi }^{\prime }(E)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$。 窗—核:零心母窗 $w_R(E)=w(E/R)$,前端核 $h$。 压缩 $K_{w,h}$:Toeplitz/Berezin 型。引理 0.1(刻度同一的迹—谱移关系) 由 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$ 与 $\mathsf{Q}=-i{S}^{†}{S}^{\prime }$ 可得 $\frac{d}{dE}\log \det S(E)=-2\pi i{\xi }^{\prime }(E)$ 和 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-i\frac{d}{dE}\log \det S(E)$,从而 $(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-{\xi }^{\prime }(E)$。(arXiv)

1. GLS 与滤镜链

1.1 对象层

定义 1.1(GLS) 设 $$\mathfrak{U}=(\mathcal{H},S(E),{\mu }_{\phi },\mathcal{W}),$$ 其中 $d{\mu }_{\phi }^{\mathrm{ac}}=({\phi }^{\prime }/(2\pi ))dE$,$\mathcal{W}$ 为可实施窗—核字典。任意态 $\rho$ 的窗化读数为 $$\mathrm{Obs}(w_R,h;\rho )=\mathrm{Tr}(K_{w,h}\rho )={\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)[h\star {\rho }_{\rho }](E)dE+{\epsilon }_{\mathrm{alias}}+{\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}},$$ 其中 ${\rho }_{\rho }(E):=\frac{d{\mu }_{\rho }^{\mathrm{ac}}}{dE}$ 为态 $\rho$ 相对于 Lebesgue 测度 $dE$ 的能谱密度;而 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E):=-{\xi }^{\prime }(E)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$ 属于通道/散射数据。

层级警示（态层 vs 通道层）： 本节 $\mathrm{Obs}(w_R,h;\rho )$ 是对态测度 ${\mu }_{\rho }$ 的窗化读数,依赖输入态 $\rho$。第 §3.1 定义的 $T_{\gamma }[w_R,h]$ 则是对母测度 ${\mu }_{\phi }$(密度 ${\rho }_{\mathrm{rel}}=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$)的窗化读数,仅依赖通道 $S$。二者处于不同层：除非另行声明,$\mathrm{Obs}(w_R,h;\rho )\ne T_{\gamma }[w_R,h]$。特别地,${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 一般为符号密度,并非任何物理态的能谱密度,因而通常不存在“参考态“使 $d{\mu }_{\rho }^{\mathrm{ac}}={\rho }_{\mathrm{rel}}dE$。

1.2 操作语法:滤镜链

定义 1.2(滤镜链) 一次观测流程 $$\boxed{\mathcal{O}={\mathcal{M}}_{\mathrm{th}}\circ \{M_i\}\circ \Phi \circ K_{w,h}}$$ 以 $K_{w,h}$ 定位带宽与几何,$\Phi$ 表示耦合/退相干(CP),$\{M_i\}$ 为 POVM 读出基,${\mathcal{M}}_{\mathrm{th}}$ 将通量阈值化为 clicks。Born 概率与最小 KL 投影一致化见 §10。(Google 图书)

2. 因果流形的内生

2.1 上半平面解析性(Hardy) ⇒ 单向支撑与偏序

取上半平面 Cauchy 变换 $$m(z)={\int }_{\mathbb{R}}\frac{d{\mu }_{\phi }(E)}{E-z},$$ 其中 ${\mu }_{\phi }$ 由卡片 I 定义。为应用 Paley–Wiener/Titchmarsh 与 Kramers–Kronig,本稿在 §2–§4 假设 ${\mu }_{\phi }$ 绝对连续,且 ${\rho }_{\mathrm{rel}}\in L^2(\mathbb{R})$,于是 $$m(z)={\int }_{\mathbb{R}}\frac{d{\mu }_{\phi }(E)}{E-z}\in H^2({\mathbb{C}}^{+}).$$ 若实验性非幺正引入的奇异贡献不可忽略,统一并入幺正扩张 $\hat{S}$ 的环境自由度而不计入 ${\mu }_{\phi }$ 的奇异部分。在 LTI 与因果假设下,Paley–Wiener/Titchmarsh 与 Kramers–Kronig–Hilbert 关系推出时域冲激响应 $g(t)$ 的单向支撑(规范后 $t\ge 0$)及实/虚部的 Hilbert 共轭。本文关于“解析性 $\Rightarrow$ 单向支撑“的结论仅针对各链的频域传递算子 $T_{\gamma }(\omega )$（或 $S(\omega )$ 的矩阵元）在 ${\mathbb{C}}^{+}$ 的 Hardy 解析性；$m(z)$ 是相位测度的 Cauchy 变换，仅用于描述 $\log \det S$ 的相位—测度关系，不可误作系统传函再用 Hardy 理论推因果性。

定义 2.1(可达预序) 设链集合 $\Gamma (x,y):=\{\gamma :x\to y\}$。定义前沿时间与几何量 $$t_{\ast }(\gamma ):=\inf \{t:g_{\gamma }(t;L)\ne 0\},\tau (x,y):=\underset{\gamma \in \Gamma (x,y)}{\inf }{t}_{\ast }(\gamma ),L_{\ast }(x,y):=\underset{\gamma \in \Gamma (x,y)}{\inf }L(\gamma ).$$ 约定:当 $\Gamma (x,y)=\varnothing$ 时,$\tau (x,y)$ 与 $L_{\ast }(x,y)$ 记为 $+\infty$,且关系 $x⪯y$ 不成立。据此定义可达预序 $$\boxed{x⪯y⟺\Gamma (x,y)\ne \varnothing }.$$

约定(恒等链) 对每个 $x$,$\Gamma (x,x)$ 包含恒等链 $e_x$,规定 $L(e_x)=0$,$g_{e_x}(t;0)=\delta (t)$,故 $t_{\ast }(e_x)=0$。于是 $\tau (x,x)=0=L_{\ast }(x,x)/c$,自反性由定义立即得到。

假设(无闭因果回路):不存在 $x\ne y$ 使得 $x⪯y$ 且 $y⪯x$。

命题 2.2(偏序性) 在“无闭因果回路“条件下,$⪯$ 为偏序。

证明:自反性来自恒等链 $e_x$,即 $\Gamma (x,x)\ni e_x$ 非空;传递性由链拼接给出:若 $\Gamma (x,y)\ne \varnothing$ 且 $\Gamma (y,z)\ne \varnothing$,则存在拼接链 $\gamma ={\gamma }_{z\leftarrow y}\circ {\gamma }_{y\leftarrow x}\in \Gamma (x,z)$,故 $\Gamma (x,z)\ne \varnothing$;反对称性由“无闭因果回路“给出。□

窗化群延迟读数 $T_{\gamma }[w_R,h]$ 是相位导数的频域加权读数,没有与前沿时间 $t_{\ast }(\gamma )$ 的一般大小比较关系。

2.2 相位奇性 ⇒ 最短到达与因果边界

de Branges 相位的跳变/极点(Hermite–Biehler 零点、散射相移突变)对应到达奇性(驻相/等时集),为光锥边缘提供可检峰值标记。(普渡大学数学系)

3. 操作化时间刻度:窗化群延迟读数

3.1 定义

下述 $T_{\gamma }[w_R,h]$ 为相位导数的带内读数,用作时间刻度的操作化读数,并非前沿时间 $t_{\ast }$。

通道层定义（channel-only）： $T_{\gamma }[w_R,h]$ 定义为对母测度 ${\mu }_{\phi }$ 的线性配对,因此是 $S$ 的泛函,与输入态无关；实验上通过测量 $S$(或其相位导数)或 §3.4 的高频平台法加以标定。

定义 3.1(窗化群延迟读数) 对因果可达的传播—读出链 $\gamma$ 与窗—核 $(w_R,h)$,定义 $$\boxed{T_{\gamma }[w_R,h]:=-{\int }_{\mathbb{R}}(w_R\ast \check{h})(E)\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{\gamma }(E)dE},\check{h}(E):=h(-E),$$ 并约定 $(h\star f)(E)=(h\ast f)(E)$（$\star$即卷积）。等价地, $$T_{\gamma }[w_R,h]=-{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)[h\star {\rho }_{\mathrm{rel}}](E)dE.$$ （等价性来自 $\int (f\ast g)h=\int f(g^{\vee }\ast h)$ 与 $(h^{\vee }{)}^{\vee }=h$ 的卷积对偶恒等式。）

符号约定：定义中的负号采用工程/因果号记 $S(\omega )=e^{-i\omega \tau }$（正延迟 $\tau >0$），使得 $\mathsf{Q}=-i{S}^{†}{S}^{\prime }=-\tau <0$，从而 $T_{\gamma }=+\tau >0$ 直接对应物理飞行时间。这与母刻度 $(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 的符号测度性质相容。

此量在母刻度上实现“带内时间“的可实现读数。本文默认采用 ${\int }_{\mathbb{R}}(w_R\ast \check{h})=2\pi$ 的归一化,以便在单通道**($N=1$)真空纯延迟链路 $S(\omega )=e^{-i\omega L/c}$ 上直接读出 $T_{\gamma }=L/c$**；多通道时可取每模平均 $T_{\gamma }/N$。

关于符号测度与负读数（关键警示）：$(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 为相位导数的带内密度，非态密度，因而一般为符号测度（signed measure）。由此得到的窗化读数 $T_{\gamma }[w_R,h]$ 在窄带/共振下可取负值，反映带内相位斜率与色散特性，并不定义因果时间。本文不主张 $T_{\gamma }\ge t_{\ast }$ 的一般不等式；二者无普适大小关系。因果与无信号由前沿 $t_{\ast }$ 与类光锥偏序决定（§4）。在§3.4的前提下，蓝移极限给出 $T_{\gamma }\to t_{\ast }$，故 $t_{\ast }$ 是 $T_{\gamma }$ 的可操作极限刻度而非其逐频带下界。

归一化处方($2\pi$)： $${\int }_{\mathbb{R}}(w_R\ast \check{h})=\left({\int }_{\mathbb{R}}{w}_R\right)\left({\int }_{\mathbb{R}}h\right)=2\pi .$$ 鉴于 $\int w_R=R\int w$,可取 $\int h=2\pi /(R\int w)$(或对 $w_R,h$ 同时作幅度重标),从而对任意 $R$ 与窗形均保持 $\int (w_R\ast \check{h})=2\pi$。该 $2\pi$ 与本文“傅里叶规范“（见“记号约定“一节）保持一致，在不同傅里叶约定下需相应调整常数因子。

为何采用 $2\pi$？ 这一归一化使得在单通道真空纯延迟 $S(\omega )=e^{-i\omega L/c}$ 时 $$-\frac{1}{2\pi }\int (w_R\ast \check{h})(E)\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)dE=-\frac{1}{2\pi }\int (w_R\ast \check{h})(E)\cdot (-\frac{L}{c})dE=\frac{L}{c},$$ 从而把 $T_{\gamma }$ 标定到几何量 $L/c$（或 $\hslash L/(\hslash c)$）。任何其它归一化只差一个已知常数因子,但 $2\pi$ 最便于跨实验对比。

统一记号（同一窗算子,对不同测度配对）： 记 ${\mathcal{T}}_{w_R,h}[\mu ]:={\int }_{\mathbb{R}}(w_R\ast \check{h})(E)d\mu (E)$。则 $T_{\gamma }[w_R,h]={\mathcal{T}}_{w_R,h}[{\mu }_{\phi }]$(通道层),$\mathrm{Obs}(w_R,h;\rho )={\mathcal{T}}_{w_R,h}[{\mu }_{\rho }]$(态层)。本文关于可加性、规范协变、HF 桥接、红移标度律等主命题均指 ${\mathcal{T}}_{w_R,h}[{\mu }_{\phi }]$。

警示（多通道平台值）：在多通道系统（$N>1$）中，$T_{\gamma }$ 的高频平台值为 $N{t}_{\ast }$（总时延），而每模平均 ${\overline{T}}_{\gamma }$ 的平台值为 $t_{\ast }$（几何前沿）。跨实验对比或标定几何前沿时，推荐使用 ${\overline{T}}_{\gamma }$。详见§3.4。

多通道 N 不变定义：为便于多通道器件网络直接套用,可采用每模平均的并行刻度 $$\boxed{{\overline{T}}_{\gamma }[w_R,h]:=-{\int }_{\mathbb{R}}(w_R\ast \check{h})(E)\frac{1}{2\pi }\frac{1}{N}\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{\gamma }(E)dE},{\int }_{\mathbb{R}}(w_R\ast \check{h})=2\pi .$$ 其中 $N$ 指可访问子空间的维度 $N_{\mathrm{eff}}:=\mathrm{rank}{P}_{\mathcal{C}}$；若读全通道则 $N=N_{\mathrm{phys}}$。在单通道($N=1$)下 ${\overline{T}}_{\gamma }=T_{\gamma }$；对应的前沿分解与平台极限为 $${\overline{T}}_{\gamma }=t_{\ast }-\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}(w_R\ast \check{h})(E)\frac{1}{N}\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0(E)dE,\underset{E_0\to \infty }{\lim }{\overline{T}}_{\gamma }=t_{\ast }.$$

一致口径提示：若关注几何前沿而非总时延,推荐直接使用 ${\overline{T}}_{\gamma }$；无论通道数 $N$ 为何值,平台极限统一为 $t_{\ast }$（而非 $N{t}_{\ast }$）。

窗化群延迟读数与前沿时间 $t_{\ast }$ 的桥接见 §3.4。后续关于采样与 NPE 的一切公式均作用于被积函数 $$f(E):=w_R(E)[h\star {\rho }_{\mathrm{rel}}](E),$$ 并以该 $f$ 为误差估计的唯一对象。(chaosbook.org)

3.2 串并联可加、规范协变

定理 3.2(可加性,幺正散射) 设在 $w_R$ 的带内 $S_j^{†}(E)S_j(E)=I(j=1,2)$。若 $\gamma ={\gamma }_2\circ {\gamma }_1$,则 $$\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{{\gamma }_2\circ {\gamma }_1}=\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{{\gamma }_2}+\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{{\gamma }_1},T_{{\gamma }_2\circ {\gamma }_1}[w_R,h]=T_{{\gamma }_2}[w_R,h]+T_{{\gamma }_1}[w_R,h].$$ 证明:由 $(S_2{S}_1{)}^{\prime }=S_2^{\prime }{S}_1+S_2{S}_1^{\prime }$ 得 $\mathsf{Q}(S_2{S}_1)=S_1^{†}\mathsf{Q}(S_2)S_1+\mathsf{Q}(S_1)$;取迹用循环不变性即得第一式;代入定义得第二式。

备注(幺正版):由**卡片 I(刻度同一｜全局幺正公设)**可知任意串/并联网络可视为单一幺正扩张 $\hat{S}$ 的块构造,故 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 与 $T_{\gamma }[w_R,h]$ 的可加性在幺正框架内直接成立,无需其他替代处方。

Assumption B (级联兼容性，开放子系统的可加性前提)：对开放子系统的块压缩情形，“先串接再压缩“是否等于“先压缩再相加“取决于环境自由度的耦合结构。具体要求：

设两链的幺正扩张为 ${\hat{S}}_1,{\hat{S}}_2$，可见投影为 $P_{\mathcal{C}}$。若级联 $\gamma ={\gamma }_2\circ {\gamma }_1$ 对应 $\hat{S}={\hat{S}}_2{\hat{S}}_1$，则块压缩的可加性 $$T_{\mathcal{C}}[{\gamma }_2\circ {\gamma }_1]=T_{\mathcal{C}}[{\gamma }_2]+T_{\mathcal{C}}[{\gamma }_1]$$ 成立的充分条件是：可见投影与环境块满足无寄生旁路的可交换性，即 $$P_{\mathcal{C}}{\hat{S}}_2(I-P_{\mathcal{C}})\approx 0,(I-P_{\mathcal{C}}){\hat{S}}_1{P}_{\mathcal{C}}\approx 0,$$ （在窗支撑频带内近似为零）。此条件保证环境自由度不在两链间建立“旁路耦合“，从而块迹满足乘法性。

证明提纲：在级联兼容性下， $$\mathrm{tr}\left(P_{\mathcal{C}}\hat{\mathsf{Q}}{P}_{\mathcal{C}}\right)\approx \mathrm{tr}\left(P_{\mathcal{C}}{\hat{\mathsf{Q}}}_2{P}_{\mathcal{C}}\right)+\mathrm{tr}\left(P_{\mathcal{C}}{\hat{\mathsf{Q}}}_1{P}_{\mathcal{C}}\right),$$ 其中近似误差由交叉块的范数上界控制。

可操作误差界（实验可验证）： $$|T_{\mathcal{C}}[{\gamma }_2\circ {\gamma }_1]-T_{\mathcal{C}}[{\gamma }_2]-T_{\mathcal{C}}[{\gamma }_1]|\le C\underset{\omega \in \mathrm{supp}(w_R\ast \check{h})}{\sup }(|P_{\mathcal{C}}{\hat{S}}_2{P}_{\mathcal{C}}^{\perp }|+|P_{\mathcal{C}}^{\perp }{\hat{S}}_1{P}_{\mathcal{C}}|),$$ 其中 $C$ 仅依赖窗-核面积与带宽常数（$C\sim \int |w_R\ast \check{h}|\cdot \mathrm{diam}(\mathrm{supp})$）。

若不满足该条件或无法验证交叉块范数，强烈建议统一使用相对读数 $T_{\mathrm{rel}}$（卡片I方案B），自动消除环境依赖项与规范项。(chaosbook.org)

命题 3.3(规范协变与相对不变) 设能量依赖基变换 $S\mapsto U(E)SV(E)$,则 $$\mathrm{tr}\mathsf{Q}(USV)=\mathrm{tr}\mathsf{Q}(S)-i\mathrm{tr}(U^{†}{U}^{\prime })-i\mathrm{tr}(V^{\prime }{V}^{†}).$$ 推导要点(算子级): $$\mathsf{Q}(USV)=V^{†}\mathsf{Q}(S)V-i{V}^{†}{S}^{†}\left(U^{†}{U}^{\prime }\right)SV-i{V}^{†}{V}^{\prime }.$$ 取迹并利用循环不变性即可得到上述恒等式。规范项对时间读数的影响为 $$\Delta T=-\int (w_R\ast \check{h})(E)\frac{1}{2\pi }({\partial }_E\arg \det U+{\partial }_E\arg \det V)dE.$$

相对不变的充要条件：$\Delta T=0$（即 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 在窗化读数层面保持不变）当且仅当 $$\boxed{{\partial }_E(\arg \det U(E)+\arg \det V(E))\equiv 0\text{在}\mathrm{supp}(w_R\ast \check{h})\text{上}}.$$ 特别地，当 $U,V$ 与能量无关，或 $\det U(E)\det V(E)\equiv 1$（恒定模幺正），上述条件自动满足。

拓扑项：净绕数校正：若 $\arg \det U$ 或 $\arg \det V$ 存在分支切换（如 $2\pi$ 相位跳变），定义窗内净绕数 $$w_{\mathrm{net}}:=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathrm{supp}(w_R\ast \check{h})}{\partial }_E\arg \det UdE\in \mathbb{Z},$$ （$\arg \det V$ 的绕数类似定义）。此时 $\Delta T$ 包含拓扑整数偏置，不应解释为物理延迟。

数值实现与报告规约（强制要求）：

• 选择连续分支计算 $\arg \det U$；若遇跳变，必须报告净绕数 $w_{\mathrm{net}}$ 并在主报的绝对时标中剔除拓扑偏置 $w_{\mathrm{net}}\cdot \frac{1}{N}\int (w_R\ast \check{h})$；
• 跨实验/跨器件对比一律采用相对读数： $$T_{\mathrm{rel}}(\gamma ):=T_{\gamma }[w_R,h;S]-T_{\gamma }[w_R,h;S_{\mathrm{ref}}],$$ 其中 $S_{\mathrm{ref}}$ 为标准参考（如校准用纯延迟）。相对量自动消除规范项与拓扑偏置，无需手动扣除 $w_{\mathrm{net}}$。 消除规范项。若只能辨识到等价类 $S\sim USV$,则以相对读数 $T_{\mathrm{rel}}$ 为物理量;对应地,${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 与 ${\mu }_{\phi }$ 也只在此等价类下定义到加性常数。(普渡大学数学系)

命题 3.4(能量重参数化协变性) 令 $E=E(\epsilon )$ 为单调 $C^1$ 同胚,记 $S_{\epsilon }(\epsilon ):=S(E(\epsilon ))$。则 $${\mathsf{Q}}_{\epsilon }(\epsilon )=-i{S}_{\epsilon }^{†}\frac{d{S}_{\epsilon }}{d\epsilon }=E^{\prime }(\epsilon ){\mathsf{Q}}_E(E(\epsilon )),\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{\epsilon }(\epsilon )d\epsilon =\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_E(E)dE.$$ 于是母刻度与由其诱导的窗化读数在能量坐标重参数化下不变；相应地,$(w_R,h)$ 需作雅可比一致的幅度重标以保持 $\int (w_R\ast \check{h})=2\pi$。

Nyquist条件在重参数化下的缩放：若原 $E$ 变量下的带宽为 $B$（满足 ${\Delta }_E\le \pi /B$），在新变量 $\epsilon$ 下等间隔采样时，Nyquist条件变为 $$\boxed{{\Delta }_{\epsilon }\le \frac{\pi }{B\cdot {\sup }_{\mathrm{supp}}{E}^{\prime }(\epsilon )}},$$ 其中 $\sup$ 取于窗支撑的 $\epsilon$ 区间。保守选择：若 $E^{\prime }(\epsilon )$ 变化剧烈，取 ${\inf }_{\mathrm{supp}}{E}^{\prime }(\epsilon )$ 作为缩放因子以确保整个支撑内无别名： $${\Delta }_{\epsilon }\le \frac{\pi }{B\cdot {\inf }_{\mathrm{supp}}{E}^{\prime }(\epsilon )}.$$ 这确保重参数化后的离散实现仍满足卡片II的无别名条件。

3.3 非渐近误差闭合(NPE)

命题 3.5(离散实现；精确与近似的分立表述) 设 $f(E):=w_R(E)[h\star {\rho }_{\mathrm{rel}}](E)$,采样点 $E_n=E_0+n\Delta$。

(A) 严格带限 + Nyquist 条件(精确等式):若 $\hat{w},\hat{h}$ 严格带限且 $f\in {\mathsf{PW}}_B\cap L^1$，其中 $B:={\Omega }_h+{\Omega }_w/R$,并满足 $$\Delta \le \frac{\pi }{B},$$ 则当 $\hat{f}$ 紧支撑于 $[-B,B]$ 且 $f\in L^1\cap L^2$ 时,Poisson 求和与积分可交换,由此得 $$\boxed{T_{\gamma }[w_R,h]={\int }_{\mathbb{R}}f(E)dE=\Delta \sum _{n\in \mathbb{Z}}f(E_n)}.$$ 此时 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}={\epsilon }_{\mathrm{EM}}={\epsilon }_{\mathrm{tail}}=0$。关键提醒：严格带限+Nyquist条件下(A)式是精确等式，无需引入任何误差项；只有在近带限或数值截断时才需要(B)的三分解。

(B) 近带限/数值截断(NPE 三分解):若 $f$ 仅近似带限或实现上将无穷和截断为 $|n|\le N$,则 $$T_{\gamma }[w_R,h]=\Delta \sum _{|n|\le N}f(E_n)+{\epsilon }_{\mathrm{tail}}+{\epsilon }_{\mathrm{alias}}+{\epsilon }_{\mathrm{EM}},$$ 其中 $${\epsilon }_{\mathrm{tail}}:=\Delta \sum _{|n|>N}f(E_n),|{\epsilon }_{\mathrm{alias}}|\le \sum _{k\ne 0}\left|\hat{f}\right(\cdot +2\pi k/\Delta ){|}_{L^1},$$ 而 ${\epsilon }_{\mathrm{EM}}$ 仅在以有限阶 Euler–Maclaurin 近似无穷和(或对近带限 $f$ 的修正积分)时出现,其上界参见附录 B。说明: 本命题将理论上的等式 (A) 与工程实践的 NPE 分解 (B) 严格区分,避免在无 alias 的情形下引入不存在的 EM/尾项。再次强调:严格带限 + Nyquist 时 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}={\epsilon }_{\mathrm{EM}}={\epsilon }_{\mathrm{tail}}=0$;只有在近带限或数值截断时才引入三分解,避免在无 alias 情况下误加 EM 校正。(chaosbook.org)

3.4 前沿–群延迟桥梁(HF 平台一致性/标定法)

本节在 §4 的前提 (i)、(ii′)、(iii)、(iv) 内(LTI+Hardy 因果、局域与被动性、加强版高频真空极限),在不改变本文双层框架的前提下,给出一个可操作、非渐近可控/渐近一致的桥接:

在 §4 假设下前沿 $t_{\ast }$ 存在且唯一，下述极限提供 $T_{\gamma }$ 与 $t_{\ast }$ 的一致性检验，并据此实现平台法标定：在高频真空极限下,任意固定形状的归一窗族沿频率平移,窗化群延迟读数收敛到前沿时间 $t_{\ast }$。

并给出有限频带下的简单“夹逼“上界,从而把 $t_{\ast }$ 的测度回推为 $T_{\gamma }$ 的可实现标定极限。

3.4.1 前沿因子化(Front factorization)

在 §4 的前提 (i)–(iv) 下(LTI + Hardy 因果、被动、局域有限传播、高频真空极限),对任一链 $\gamma$ 存在常数 $t_{\ast }(\gamma )\ge 0$ 与剩余散射子 $$S_0(\omega ):=e^{i\omega t_{\ast }(\gamma )}S(\omega ),$$ 使得 $S_0$ 的时域冲激响应 $g_0(t)$ 满足零前沿支撑 $g_0(t)=0$(对 $t<0$)。于是 $$\mathsf{Q}(\omega )=-i{S}^{†}{S}^{\prime }=-t_{\ast }(\gamma )\mathsf{I}+{\mathsf{Q}}_0(\omega ),{\mathsf{Q}}_0:=-i{S}_0^{†}{S}_0^{\prime }.$$ 取迹并代入本文母刻度（含定义3.1的负号）,在归一化 $\int (w_R\ast \check{h})=2\pi$ 下得到分解恒等式 $$\boxed{T_{\gamma }[w_R,h]=t_{\ast }(\gamma )\mathrm{tr}\mathsf{I}-\underset{:=:{\epsilon }_{\mathrm{rem}}(w_R,h)}{\underbrace{{\int }_{\mathbb{R}}(w_R\ast \check{h})(\omega )\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0(\omega )d\omega }}}$$ 其中“余项“ ${\epsilon }_{\mathrm{rem}}$ 完全由零前沿剩余散射 $S_0$ 决定。在单通道($N=1$)下,$\mathrm{tr}\mathsf{I}=1$,故 $T_{\gamma }=t_{\ast }-{\epsilon }_{\mathrm{rem}}$。

直观:把“几何最短自由飞行“($t_{\ast }$)作为全局相位斜率抽取出来,$T_{\gamma }$ 就是“前沿 $t_{\ast }$ − 零前沿散射的带内相位平均“。

3.4.2 高频标定极限(桥接主命题)

设一族平移窗 $F_{E_0}(\omega ):=(w_R\ast \check{h})(\omega -E_0)$(形状固定、仅平移),并保持本文 Nyquist 无别名与 $\int F_{E_0}=2\pi$。令 $F_{E_0}$ 的支撑宽度 $\mathrm{diam}(\mathrm{supp}{F}_{E_0})\le W<\infty$ 与 $E_0$ 无关。

实现建议（非负窗推荐）：推荐选用非负窗—核族使 $F_{E_0}\ge 0$（如Kaiser窗、Blackman–Harris窗等），从而 $T_{\gamma }-t_{\ast }$ 可严格解释为对 $\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0$ 的带内平均，夹逼界直接给出物理意义明确的误差上界。**若窗不是严格带限，请同步给出附录B的alias与EM余项上界。**若 $F_{E_0}$ 允许取负（如卷积后出现振荡或采用正弦窗），需同时报告 $\frac{1}{2\pi }\int |F_{E_0}|$ 作为保守上界的归一因子；此时夹逼界仍成立但解释需谨慎。

可检前提（实验应用）：只要在所扫频段的上沿，实测 $|\mathrm{tr}\mathsf{Q}(\omega )+t_{\ast }N|$ 随 $\omega$ 单调衰减并可被统一上界，则平台误差可由 §3.4.3 的夹逼式直接上界。形式上，这对应于 §4 的前提 (i)、(ii′)、(iii)、(iv)，其中前提 (ii′) 假设 $S_0^{\prime }(\omega )$ 在大频率上一致有界且趋零（等价地 $\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0(\omega )=-i\mathrm{tr}(S_0^{†}{S}_0^{\prime })\to 0$），由此得 $$\underset{\omega \in \mathrm{supp}{F}_{E_0}}{\sup }|\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0(\omega )|\to 0.$$ 该条件在被动、Hardy、局域、高频真空极限之下成立。于是:

定理 3.6(HF 桥接) 对任意固定形状的归一窗族 $F_{E_0}$,在单通道($N=1$)下有 $$\boxed{\underset{E_0\to +\infty }{\lim }{T}_{\gamma }[w_R(\cdot -E_0),h]=t_{\ast }(\gamma )}$$ 且有限频带夹逼: $$|T_{\gamma }[w_R(\cdot -E_0),h]-t_{\ast }(\gamma )|\le \underset{\omega \in \mathrm{supp}{F}_{E_0}}{\sup }|\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0(\omega )|\underset{E_0\to \infty }{\to }0.$$

证明要点:由 3.4.1 的分解,$T_{\gamma }=t_{\ast }\mathrm{tr}\mathsf{I}-\int F_{E_0}\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0$；在单通道下 $\mathrm{tr}\mathsf{I}=1$。对 $E_0$ 足够大,$\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0$ 在 $\mathrm{supp}{F}_{E_0}$ 上一致趋零,余项被该一致上界控制,极限即得。□

命题 3.6’(多通道几何前沿极限) 对多通道($N\ge 1$)系统，采用每模平均刻度 ${\overline{T}}_{\gamma }[w_R,h]:=-\int (w_R\ast \check{h})(E)\frac{1}{2\pi }\frac{1}{N}\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{\gamma }(E)dE$（定义见 §3.1），有 $$\boxed{\underset{E_0\to +\infty }{\lim }{\overline{T}}_{\gamma }[w_R(\cdot -E_0),h]=t_{\ast }(\gamma )}$$ 且有限频带夹逼: $$|{\overline{T}}_{\gamma }[w_R(\cdot -E_0),h]-t_{\ast }(\gamma )|\le \underset{\omega \in \mathrm{supp}{F}_{E_0}}{\sup }|\frac{1}{N}\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0(\omega )|\underset{E_0\to \infty }{\to }0.$$

证明要点:由3.4.1分解，$\mathsf{Q}=-t_{\ast }\mathsf{I}+{\mathsf{Q}}_0$，故 $${\overline{T}}_{\gamma }=-\int F_{E_0}\frac{1}{2\pi }\frac{1}{N}\mathrm{tr}\mathsf{Q}dE=t_{\ast }-\int F_{E_0}\frac{1}{2\pi }\frac{1}{N}\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{0}dE.$$ 高频极限下 $\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0/N$ 在窗支撑内一致趋零，余项被夹逼界控制。□

操作含义:把同一窗形沿频率“蓝移“扫描(保持带限与归一),所测 $T_{\gamma }$ 曲线（单通道）或 ${\overline{T}}_{\gamma }$ 曲线（多通道几何前沿）在高频端平台值统一为 $t_{\ast }$。该程序只用到本文已设定的带限/Nyquist与高频真空极限,无需新增假设。

刻度选择提示：对几何前沿时间的实验标定，多通道系统推荐直接使用 ${\overline{T}}_{\gamma }$ 作为测量量，其平台极限自然给出 $t_{\ast }$；若使用 $T_{\gamma }$（总通道时延），则平台值为 $N{t}_{\ast }$，需除以通道数 $N$ 才能恢复几何前沿。

3.4.3 有限带宽下的直接界(工程可用)

对任意有限中心频率 $E_0$,由 3.4.2 的夹逼可直接报出系统误差上界: $$t_{\ast }(\gamma )-{\Delta }_{-}(E_0)\le T_{\gamma }[w_R(\cdot -E_0),h]\le t_{\ast }(\gamma )+{\Delta }_{+}(E_0),$$ $${\Delta }_{\pm }(E_0):=\underset{\omega \in \mathrm{supp}{F}_{E_0}}{\sup }|\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0(\omega )|.$$

派生界（Lipschitz 估计）：若 $F_{E_0}\ge 0,\int F_{E_0}=2\pi$，且 $|{\partial }_{\omega }\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0(\omega )|\le L$ 于窗支撑，则对任意 ${\omega }_0\in \mathrm{supp}{F}_{E_0}$ 有 $$|T_{\gamma }-t_{\ast }|=|\int \frac{F_{E_0}(\omega )}{2\pi }\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0(\omega )d\omega |\le |\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0({\omega }_0)|+\frac{L}{2}\mathrm{diam}\left(\mathrm{supp}{F}_{E_0}\right).$$ 从而 $$|T_{\gamma }-t_{\ast }|\le \underset{{\omega }_0\in \mathrm{supp}{F}_{E_0}}{\min }|\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0({\omega }_0)|+\frac{L}{2}\mathrm{diam}\left(\mathrm{supp}{F}_{E_0}\right).$$ 特别地，若已知窗支撑内存在 ${\omega }_{\ast }$ 使 $\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0({\omega }_{\ast })=0$（例如将窗中心选在高频零交叉附近），则可简化为 $$|T_{\gamma }-t_{\ast }|\le \frac{L}{2}\mathrm{diam}\left(\mathrm{supp}{F}_{E_0}\right).$$ 这将平台到达速率与窗宽直接挂钩,便于实验选带宽。

当仅有“近带限“实现时,把 ${\Delta }_{\pm }$ 与 §3.3 的 NPE 误差三分解(${\epsilon }_{\mathrm{alias}},{\epsilon }_{\mathrm{EM}},{\epsilon }_{\mathrm{tail}}$)相加即可形成可审计的总误差预算。

注意:本界不声称 $T_{\gamma }\ge t_{\ast }$;在强共振、窄带情况下,$\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 在带内可出现负值,从而 $T_{\gamma }<t_{\ast }$ 甚至为负,但高频平台极限仍等于 $t_{\ast }$。

3.5 实验实现要点（极简）

本节给出窗化群延迟读数与HF平台标定的实验实施路径。

微波/射频波段：使用矢量网络分析仪（VNA）直接测量散射矩阵 $S(\omega )$。对获得的相位谱 $\arg S(\omega )$ 进行展宽与解缠，数值微分时建议采用正则化方法（如Savitzky–Golay滤波微分、样条拟合后求导、或Tikhonov正则化）以抑制噪声放大；直接差分会显著放大高频噪声。结合 $\mathsf{Q}=-i{S}^{†}{S}^{\prime }$ 计算 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}(\omega )$，窗化读数按定义3.1积分即可。

光学频段：

• 频域方法：频率梳或白光干涉获取相位-频率响应，转换为群延迟谱；
• 时域方法：泵浦-探测测量瞬态响应，时变镜（ITO/ENZ，§12.5）与频域响应的映射由定理6.2的谱缩放律给出。

HF平台标定：固定窗形 $(w_R,h)$ 沿频率 $E_0$ 扫描，绘制 $T_{\gamma }(E_0)$ 曲线，高频段平台值即为 $t_{\ast }$ 的标定量；依§3.4.3的夹逼界 ${\Delta }_{\pm }(E_0)$ 评估系统误差。

误差预算示例：设观测带宽 $B={\Omega }_h+{\Omega }_w/R=10$ GHz，采样间隔 $\Delta =0.05$ GHz（满足Nyquist $\Delta \le \pi /B\approx 0.16$ GHz），窗—核取 $M=4$ 阶可微。依§3.3命题3.5，此时 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$（严格带限），${\epsilon }_{\mathrm{EM}}$ 由附录B的4阶EM余项给出（$\sim B^{-4}$量级），${\epsilon }_{\mathrm{tail}}$ 由支撑外衰减控制。总误差 ${\epsilon }_{\mathrm{total}}={\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}}+{\Delta }_{\pm }(E_0)$ 可审计且非渐近有界。

前提:以下关于前沿与无超锥传播的命题建立在:

(i) LTI + 因果 + 上半平面解析性(Hardy):频域响应的上半平面解析性与 Hardy 边值保证 Kramers–Kronig–Hilbert 关系;若进一步假设被动性,则可归入 Herglotz 类;

(ii′) 高频真空极限(加强版，一致收敛条件):存在前沿 $t_{\ast }$ 使 $S_0(\omega ):=e^{i\omega t_{\ast }}S(\omega )\to I$ 且 $S_0^{\prime }(\omega )\to 0$(在$|\omega |\to \infty$时)。精确要求：

• 全局有界性：存在 $M<\infty$ 使 $|\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0(\omega )|\le M$ 对所有 $\omega \in \mathbb{R}$ 成立；
• 一致趋零：对任意固定有限窗宽 $W<\infty$，有 $$\underset{E_0\to \infty }{\lim }\underset{|\omega -E_0|\le W}{\sup }\left|\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0(\omega )\right|=0.$$

这保证了高频平台法（定理3.6）的余项可被一致控制。物理实现：被动、Hardy、局域、且在高频 远离共振的系统自然满足此条件（$S_0^{\prime }\sim O({\omega }^{-2})$ 即足够）。

(iii) 局域性/有限传播速度:链由满足双曲型局域动力学的元件组成,其格林函数(或冲激响应)存在有限波前;

(iv) 被动性:无主动增益导致的超前响应。

可核查清单（实验验证前沿下界的充分条件）：对任意器件链 $\gamma$，若满足以下条件，则定理4.2的前沿下界 $t_{\ast }(\gamma )\ge L/c$ 成立：

1. LTI：系统线性时不变，频域描述为 $S(\omega )$；
2. 因果支撑：冲激响应 $g(t)$ 在 $t<0$ 时恒为零，且 $g\in L^1({\mathbb{R}}^{+})$（可积）；
3. 高频衰减速率：前沿因子化后的 $S_0(\omega )=e^{i\omega t_{\ast }}S(\omega )$ 满足 $\Vert S_0(\omega )-I\Vert =O(|\omega {|}^{-1})$ 或更快（$|\omega |\to \infty$）；
4. 元件波前速度：链中各元件的局部波前速度不超过§4.1规范的光速 $c$（在真空度规下）；
5. 无超前增益：无主动放大导致的非因果响应或超前峰。

操作判据：实验上可通过以下方式验证：

• 测量 $|S(\omega )|$ 与 $\arg S(\omega )$，用Kramers–Kronig关系交叉验证因果性；
• 检查高频段 $|S(\omega )|$ 的衰减速率（谱分析仪扫频）；
• 对时域脉冲响应测量，确认 $t<L/c$ 时无信号到达。