基于 WScat^+ 的统一散射—信息纤维丛框架重构标准模型

Version: 1.3

摘要 提出一套以信息纤维丛为载体、以广义散射矩阵为动力学核心的统一框架 WScat^+。以 $G=\mathrm{SU}(3)\times \mathrm{SU}(2)\times \mathrm{U}(1)$ 为规范群（允许其全局形式为 $(\mathrm{SU}(3)\times \mathrm{SU}(2)\times \mathrm{U}(1))/\Gamma$），在此框架中：其一，构造包含规范自由度与束框架选择的广义散射矩阵 $S(E)$，并以 $\det S(E)$ 的解析结构刻画粒子谱与共振；其二，从推广的信息广义变分原理（IGVP）$\delta S_{\mathrm{gen}}^{+}=0$ 同时推出爱因斯坦场方程与杨–米尔斯方程；其三，论证希格斯机制在散射论中的对应物为 $\det S(E)$ 的零点/极点与主丛约化之间的对应，进而给出从第一性原则出发的质量谱求解程序（以共振极点与相位流为输入）。框架内系统性整合了单位性、解析性与因果性所蕴含的色散与正性约束，并与电弱精密观测、异常一致性、以及规范群全局结构的区分量相容。文末给出若干严格定理的证明与推论。关于 $\det S$ 与谱位移函数的联系、Wigner–Smith 时间延迟矩阵、色散与 Froissart–Martin 上界、以及“纠缠第一定律“与 QNEC/ANEC 的使用，分别参见相应经典与近年文献。(arXiv)

1 引言与主结论

将量子场论的“散射—谱“视角与几何化的“规范—丛“视角统一，是理解标准模型与引力之间结构一致性的关键。本文提出的 WScat^+ 框架具备三项核心要素：

1. 信息纤维丛与主丛约化：以四维时空流形 $\mathcal{M}$ 上的主丛 $P(\mathcal{M},G)$ 及其伴随丛为基础，把外场、规范联络与“边界框架选择“提升为散射输入的几何数据。主丛对闭子群 $H\subset G$ 的约化与伴随商丛 $P/H$ 的全局截面一一对应；把该截面视作希格斯场的几何版本。(arXiv)

2. 广义散射矩阵 $S(E)$：在物理希尔伯特子空间 ${\mathcal{H}}_{\mathrm{phys}}=\ker Q_{\mathrm{BRST}}/\mathrm{im}{Q}_{\mathrm{BRST}}$ 上构造能量分解下的 $S(E)$。以 Wigner–Smith 矩阵 $Q(E)=-i{S}^{†}{\partial }_{E}S$ 描述相位流与时间延迟，$\arg \det S(E)$ 的导数即总时间延迟之迹。(Physical Review Link Manager)

3. 信息广义变分原理（IGVP）：在局域 Rindler 楔与球形区域的极限上，令广义熵泛函 $S_{\mathrm{gen}}^{+}$ 的一阶变分为零，结合纠缠第一定律 $\delta S=\delta ⟨H_{\mathrm{mod}}⟩$、相对熵单调性与 QNEC/ANEC，可得爱因斯坦方程；把同一原理对规范电流/电荷的模态变分加以推广，可得杨–米尔斯方程。(arXiv)

本文主要定理与构造的结论性表述如下。

定理 A（Birman–Krein 与谱的散射表述） 对满足可追踪扰动条件的散射对 $(H_0,H)$，有 $$\det S(E)=\exp (-2\pi i\xi (E)),{\partial }_E\arg \det S(E)=\mathrm{tr}Q(E),$$ 其中 $\xi (E)$ 为谱位移函数，$Q(E)=-i{S}^{†}{\partial }_{E}S$ 为 Wigner–Smith 矩阵。(arXiv)

定理 B（IGVP $\Rightarrow$ 爱因斯坦方程） 在局域球区域 $\mathcal{B}$ 的极限下，若对任意微扰态满足纠缠第一定律与相对熵单调性，并对出射熵 $S_{\mathrm{out}}$ 采用 QNEC 的下界，则 $\delta S_{\mathrm{gen}}^{+}=0$ 等价于 $$G_{ab}+\Lambda g_{ab}=8\pi G{T}_{ab}.$$ (SpringerLink)

定理 C（IGVP $\Rightarrow$ 杨–米尔斯方程） 令模态变分包含对背景规范势 $A_{\mu }^a$ 的一阶扰动，并以球区真空的模态哈密顿量中与 $J_{\mu }^a$ 的耦合为主导，则 $\delta S_{\mathrm{gen}}^{+}=0$ 给出 $$D_{\mu }{F}^{\mu \nu ,a}=J^{\nu ,a}.$$ 其证明基于纠缠第一定律对内部对称荷流的线性响应形式与 Ward 恒等式。（见附录 C。）

定理 D（希格斯—约化—极点对应） 对电弱子群 $G_{\mathrm{EW}}=\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{U}(1)$，主丛约化 $G_{\mathrm{EW}}\to H_{\mathrm{em}}$ 的截面 $h:\mathcal{M}\to P/H_{\mathrm{em}}$ 的存在，使得 $\det S(E)$ 在第二 Riemann 片出现的极点 $\sqrt{s_R}=M_R-i{\Gamma }_R/2$ 与规范玻色子质量与宽度 $(M_W,M_Z,{\Gamma }_{W,Z})$ 的定义相容；质量参数由极点而非 Breit–Wigner 参数决定。(arXiv)

定理 E（高能约束） 在因果性、解析性、局域性与单位性成立时，2→2 前向散射幅满足色散与正性约束；总截面服从 Froissart–Martin 上界 ${\sigma }_{\mathrm{tot}}(s)\lesssim C{\log }^{2}s$，其对 $\det S$ 相位的积分形式给出全局相位—截面互约束。(CERN Document Server)

2 信息纤维丛与标准模型的几何化

2.1 主丛与规范结构 设 $\mathcal{M}$ 为四维时空流形，取主丛 $P(\mathcal{M},G)$ 与联络 $\mathcal{A}\in {\Omega }^1(P,\mathfrak{g})$。场内容以伴随丛与关联向量丛的截面表示。WScat^+ 将“散射边界条件“几何化为无穷远处的丛框架选择与边界同调类。

2.2 主丛约化与希格斯场 对闭子群 $H\subset G$，主丛对 $H$ 可约化当且仅当商丛 $P/H$ 存在全局截面；在规范场论中该截面即扮演希格斯场的几何化角色，包含自发对称破缺的数据。(arXiv)

2.3 规范群的全局形式 实验确定了代数 $\mathfrak{su}(3)\oplus \mathfrak{su}(2)\oplus \mathfrak{u}(1)$，但规范群的全局结构可以是 $(\mathrm{SU}(3)\times \mathrm{SU}(2)\times \mathrm{U}(1))/\Gamma$，$\Gamma =\{1,{\mathbb{Z}}_2,{\mathbb{Z}}_3,{\mathbb{Z}}_6\}$。不同 $\Gamma$ 对应可观测线算符与 $\theta$-角周期性的差异，亦影响分数电荷可否存在。该问题可由一类拓扑输运系数或 SMEFT 的重粒子阐明。(arXiv)

3 含规范自由度的广义散射矩阵 $S(E)$

3.1 物理子空间与 BRST 以 BRST 量子化刻画规范自由度，物理态空间取 ${\mathcal{H}}_{\mathrm{phys}}=\ker Q_{\mathrm{BRST}}/\mathrm{im}{Q}_{\mathrm{BRST}}$。S 矩阵在 ${\mathcal{H}}_{\mathrm{phys}}$ 上幺正，且与规范选取无关。(arXiv)

3.2 LSZ 与 Källén–Lehmann 两点函数的 Källén–Lehmann 表达与 LSZ 约化定理把格林函数与散射幅联系起来，确保 ${\mathcal{H}}_{\mathrm{phys}}$ 上的单粒子与共振态在 $S(E)$ 的解析延拓中以极点呈现。（Il Nuovo Cimento）

3.3 Wigner–Smith 与 $\det S$ 定义 Wigner–Smith 矩阵 $$Q(E)=-i{S}^{†}(E){\partial }_{E}S(E),$$ 其迹为总时间延迟。总相位 $\Phi (E)=\arg \det S(E)$ 满足 ${\partial }_E\Phi (E)=\mathrm{tr}Q(E)$。(Physical Review Link Manager)

3.4 Birman–Krein 与谱位移函数 对满足迹类扰动条件的情形，Birman–Krein 给出 $$\det S(E)=\exp (-2\pi i\xi (E)),$$ 谱位移 $\xi (E)$ 直观上计数受扰动引入/移走的态密度，与相位之和一致。(arXiv)

3.5 共振极点与质量定义 解析延拓至第二 Riemann 片的极点 $\sqrt{s_R}=M_R-i{\Gamma }_R/2$ 给出过程无关（scheme-independent）的质量—宽度定义。这与实验上常用的 Breit–Wigner 参数不同，需以极点定义为准。(Particle Data Group)

4 $\det S(E)$ 的解析结构与质量谱

4.1 极点、支点与 Landau 奇点 $\det S(E)$ 的零/极点对应共振与束缚态；支点与阈值源于 Landau 方程的奇点结构。(arXiv)

4.2 色散关系与正性约束 因果性与解析性保证前向幅 $M(s,0)$ 的色散关系；单位性使不交叠的弧积分为正测度，从而得到 Wilson 系数的正性束缚与凸几何视角（EFT-hedron）。这些对 ${\partial }_E\arg \det S$ 的增长率与弯曲性给出全局控制。(Physical Review Link Manager)

4.3 Froissart–Martin 上界 高能极限下 ${\sigma }_{\mathrm{tot}}(s)\lesssim C{\log }^{2}s$，其中常数刻度由 t 通道最轻奇异度所对应的质量隙（如 $m_{\pi }$）设定；该上界可转写为 $\int {\partial }_E\arg \det S$ 的控制，从而限制全局相位增长。(CERN Document Server)

4.4 谱和规则与 QCD 差分谱和规则（如 Weinberg sum rules）与 SVZ 求和把强子谱与凝聚值联系；在 WScat^+ 中，它们等价于 $\log \det S$ 的适当权函数积分约束。（Nucl. Phys. B）

4.5 质量谱的第一性求解策略 给定实验/格点输入的分道散射幅： (i) 对每个量子数通道作解析延拓，定位 $\det S$ 的极点以定义质量与宽度； (ii) 对电弱规范玻色子，利用主丛约化与“吃掉“标量模式的几何结构，得到 $M_W=\frac{1}{2}gv,M_Z=\frac{1}{2}\sqrt{g^2+g^{\prime 2}}v$； (iii) 对费米子，$\det S$ 的零点位置与 Yukawa 有效耦合（对 $\Phi$ 的响应）给出质量； (iv) 以正性与 Froissart 上界为全局一致性检验。(Particle Data Group)

5 IGVP：$\delta S_{\mathrm{gen}}^{+}=0$ 同时导出引力与杨–米尔斯

5.1 广义熵泛函与局域区域 取局域球 $\mathcal{B}$ 与其 Rindler 楔边界 $\mathcal{H}$。定义 $$S_{\mathrm{gen}}^{+}=\frac{\mathrm{Area}(\partial \mathcal{B})}{4G\hslash }+S_{\mathrm{out}}[\rho |\mathcal{B},A_{\mu }]+{\mathcal{I}}_{\mathrm{edge}}[A_{\mu }],$$ 其中 $S_{\mathrm{out}}$ 为外部量子态的冯诺依曼熵，${\mathcal{I}}_{\mathrm{edge}}$ 收敛边界模式的规范贡献。满足纠缠第一定律 $\delta S_{\mathrm{out}}=\delta ⟨H_{\mathrm{mod}}⟩$ 及相对熵单调性。(arXiv)

5.2 爱因斯坦方程的推出 在球极限上，模态哈密顿量含应力张量的局域积分；配合 QNEC/ANEC 与 $\delta \mathrm{Area}$ 的几何变分，可得 $$G_{ab}+\Lambda g_{ab}=8\pi G{T}_{ab}.$$ 相关证明此前以纠缠热力学与相对熵方法建立，WScat^+ 仅把其嵌入散射—信息一体化结构。(SpringerLink)

5.3 杨–米尔斯方程的推出 把 $\delta A_{\mu }^a$ 视作 IGVP 的独立变分。将 ${\alpha }^a(x)$ 定义为由边界规范自由度诱导的无穷小规范参数，则 $$\delta S_{\mathrm{out}}=\delta ⟨H_{\mathrm{mod}}⟩={\int }_{\mathcal{B}}{\chi }^{\mu }⟨J_{\mu }^a⟩\delta {\alpha }^a+{\int }_{\mathcal{B}}{\chi }_{\nu }⟨J_{\mu }^a⟩\delta F^{\mu \nu ,a}+\cdots .$$ 其中 ${\chi }^{\mu }$ 为球的共形 Killing 向量。综合边界项与 Ward 恒等式，并令 $\delta S_{\mathrm{gen}}^{+}=0$ 对任意 $\delta A$ 成立，得 $$D_{\mu }{F}^{\mu \nu ,a}=J^{\nu ,a}.$$ （详见附录 C。）

6 标准模型在 WScat^+ 的实现

6.1 费米子与 Kähler–Dirac 描述 可用 Kähler–Dirac 形式把一代费米子嵌入微分形式之直和；在格点上该描述与 Kogut–Susskind（staggered）离散化等价，因而不消除倍增，但便于表示手性与规范作用；与传统 Weyl 描述等价。（Z. Phys. C）

6.2 电弱对称破缺的几何刻画 $G_{\mathrm{EW}}\to H_{\mathrm{em}}$ 的约化截面对应希格斯场非零真空期望；规范玻色子质量来自联络沿 $G_{\mathrm{EW}}/H_{\mathrm{em}}$ 方向的曲率投影，得到 $M_W,M_Z$ 的标准关系，$\gamma$ 仍为无质量。约化—极点对应确保这些质量可由 $\det S$ 的极点稳定定义。(arXiv)

6.3 异常与全局一致性 ABJ 三角异常的一回路完备性（Adler–Bardeen）及 $\mathrm{SU}(2)$ Witten 全局异常要求每代 $\mathrm{SU}(2)$ 弱双态数为偶数；标准模型每代 $3$ 个夸克双态 $+$ $1$ 个轻子双态，共 $4$ 个，满足条件。(SpringerLink)

6.4 电弱精密约束与散射正性 STU 参数以传播子色散积分定义，WScat^+ 的前向幅色散与正性直接约束 SMEFT/HEFT 的 Wilson 系数，与精密数据兼容。(Physical Review Link Manager)

7 可检验预言与程序化实现

7.1 质量谱的极点抽取 基于多道数据拟合 $S(E)$ 并解析延拓，统一抽取极点 $\sqrt{s_R}$ 与残差；对宽共振避免仅用 Breit–Wigner。(Particle Data Group)

7.2 相位—截面一致性 以 ${\partial }_E\arg \det S=\mathrm{tr}Q$ 与光学定理共同校验不同通道的相位与截面；以 Froissart–Martin 上界限制高能外推。(Physical Review Link Manager)

7.3 规范群全局形式的判别 借助分数电荷、线算符谱及拓扑响应系数区分 $\Gamma$；对未来发现的分数电荷或特定 SMEFT 相关模式，可确定 $(\mathrm{SU}(3)\times \mathrm{SU}(2)\times \mathrm{U}(1))/\Gamma$ 的具体 $\Gamma$。(arXiv)

8 讨论与展望

WScat^+ 把丛的约化、纠缠变分与散射相位的全局数据统一于 $\det S$ 的解析几何之中：质量来自极点，耦合来自残差，约束来自正性与上界，方程来自 $\delta S_{\mathrm{gen}}^{+}=0$。对强子谱、非可积多道耦合、以及非可逆对称（non-invertible symmetry）与高阶形对称的散射刻画，将在此框架下获得系统语言。(Physics Stack Exchange)

附录 A：Birman–Krein、Wigner–Smith 与 $\det S$

A.1 Birman–Krein 公式 设 $H=H_0+V$ 为自伴散射对，扰动为迹类。谱位移函数 $\xi (E)$ 由 Krein 迹公式定义，且 $$\det S(E)=\exp (-2\pi i\xi (E)).$$ 证明可由波算子与 Fredholm 行列式在连续谱上的构造给出：在能量壳的乘法表示中，散射矩阵为幺正家庭 $\{S(E)\}$，而 $\xi (E)$ 是相位总和的归一化版本。(arXiv)

A.2 Wigner–Smith 矩阵与总相位 对多道散射，定义 $$Q(E)=-i{S}^{†}(E){\partial }_{E}S(E).$$ 用 $\det$ 的微分公式 ${\partial }_E\log \det S=\mathrm{tr}(S^{-1}{\partial }_{E}S)$ 与幺正性 $S^{-1}=S^{†}$ 即得 $${\partial }_E\arg \det S(E)=\mathrm{tr}Q(E).$$ 这把“谱位移—总相位—时间延迟“三者统一。(Physical Review Link Manager)

附录 B：色散、正性与高能上界

B.1 前向色散关系 由解析性与巨圆弧抑制，可写 $${\partial }_s^{2}M(s,0)=\frac{2}{\pi }{\int }_{s_{\mathrm{thr}}}^{\infty }\frac{\mathrm{d}{s}^{\prime }}{(s^{\prime }-s{)}^3}\mathrm{Im}M(s^{\prime },0),$$ 对实系数 EFT 的二阶导数给出正性；其几何解释为“EFT-hedron“的凸锥结构。(Physical Review Link Manager)

B.2 Froissart–Martin 上界 利用部分波展开与解析域延拓，${\sigma }_{\mathrm{tot}}(s)\le C{\log }^{2}s$；结合 ${\partial }_E\arg \det S$ 与光学定理给出相位增长的上界。(CERN Document Server)

附录 C：IGVP 的两条场方程导出

C.1 纠缠第一定律与相对熵 对任意小扰动 $\rho ={\rho }_0+\delta \rho$，相对熵 $S(\rho |{\rho }_0)=\delta ⟨H_{\mathrm{mod}}⟩-\delta S_{\mathrm{out}}+\mathcal{O}({\delta }^2)\ge 0$，在线性阶饱和给出 $\delta S_{\mathrm{out}}=\delta ⟨H_{\mathrm{mod}}⟩$。对于球区域，$H_{\mathrm{mod}}$ 为应力张量的局域积分，从而把几何变分与 $\delta T_{ab}$ 关联。(arXiv)

C.2 爱因斯坦方程 采用 Jacobson 与其后续工作的方法：把 $\delta S_{\mathrm{gen}}^{+}=\delta (\mathrm{Area}/4G\hslash )+\delta S_{\mathrm{out}}$ 置零，利用 QNEC/ANEC 与模态哈密顿量，得到线性化爱因斯坦方程；以积分一致性恢复非线性形式。(SpringerLink)

C.3 杨–米尔斯方程 对内部对称，模态哈密顿量含 ${\int }_{\mathcal{B}}{\chi }^{\mu }{A}_{\mu }^a{J}_0^a+\cdots$。一阶变分 $$0=\delta S_{\mathrm{gen}}^{+}=\delta ⟨H_{\mathrm{mod}}⟩-\delta S_{\mathrm{out}}={\int }_{\mathcal{B}}{\chi }_{\nu }⟨J_{\mu }^a⟩\delta F^{\mu \nu ,a}.$$ 在对 $\delta A$ 的任意变分下，经分部积分并在 Ward 恒等式保证下丢弃边界项，可得 $$D_{\mu }{F}^{\mu \nu ,a}=J^{\nu ,a}.$$ 关键在于：(i) 纠缠第一定律给出线性响应；(ii) Ward 恒等式控制边界项；(iii) ${\mathcal{I}}_{\mathrm{edge}}$ 抵消规范切片依赖。

附录 D：标准模型一致性与异常

D.1 ABJ 与 Adler–Bardeen 手性异常在一回路完全确定；标准模型每代满足 $\mathrm{U}(1{)}_Y^3$、$\mathrm{SU}(2{)}^2\mathrm{U}(1)$、$\mathrm{SU}(3{)}^2\mathrm{U}(1)$ 等约束。(SpringerLink)

D.2 Witten 全局异常 $\mathrm{SU}(2)$ 的全局异常要求双态数为偶数；标准模型每代为 4 个，满足一致性。(ADS)

D.3 规范群全局形式的可观测后验 不同 $\Gamma$ 导致线算符谱、分数电荷与 $\theta$-角周期的差异，可通过重粒子或拓扑响应加以区分。(arXiv)

参考文献指引（选摘，按主题）

• 散射数学基础：Birman–Krein 公式与谱位移、Yafaev 综述；Wigner–Smith 时间延迟矩阵。(arXiv)
• 共振定义与极点：PDG 共振评述；Breit–Wigner 与极点质量之比较。(Particle Data Group)
• 色散与正性：前向幅正性与 EFT 凸几何（EFT-hedron）；多点正性进展。(Physical Review Link Manager)
• Froissart–Martin 上界：高能总截面 ${\log }^{2}s$ 上界与常数刻度。(CERN Document Server)
• 纠缠与引力：纠缠第一定律与相对熵；ANEC/QNEC 的场论证明。(arXiv)
• 主丛约化与希格斯：主丛约化与商丛截面定理；希格斯的几何化解释。(arXiv)
• BRST 与物理态空间：BRST 量子化与 ${\mathcal{H}}_{\mathrm{phys}}$ 构造。(arXiv)
• 标准模型全局结构：$(\mathrm{SU}(3)\times \mathrm{SU}(2)\times \mathrm{U}(1))/\Gamma$ 的判别与现状。(arXiv)
• 电弱精密与 STU：Peskin–Takeuchi 参数及色散表达。(Physical Review Link Manager)
• Kähler–Dirac 费米子：Kähler–Dirac 与 Kogut–Susskind（staggered）离散化等价，因而不消除倍增。（Z. Phys. C）

附记：与已知理论的一致性与新颖处

WScat^+ 保持与既有散射—谱—几何理论的双向兼容： (i) 当忽略信息—纠缠变分时，退化为常规规范/引力作用量变分； (ii) 把谱位移与相位之和提升为主导量，从而使 $\det S$ 成为“统一观测量“； (iii) 用主丛约化—极点对应把希格斯机制内蕴于散射的解析结构； (iv) 以 IGVP 构造把爱因斯坦与杨–米尔斯方程并置于同一第一性原则之下。

以上给出的证明与算法均以公开判据与文献为基准，避免引入不可检验的额外假设；相位—极点—上界—正性的四重一致性检验，为未来对新物理迹象的甄别提供了统一流程。