自指散射理论与费米子的起源

——从反馈网络到平方根算子、旋量与手征性的统一构造

Version: 1.2

摘要

定义“自指散射网络“（self-referential scattering network, SSN）：以能量参数 $E$ 与输出依赖的散射拼接 $S(E)$ 描述的端口化幺正系统，其外部等效散射 $T(E)$ 通过端口同构 $J$ 闭环回写为内部反馈，从而满足非线性固定点方程 $T={\Phi }_J(T)$ 的自洽条件。借助 Redheffer 星乘与量子反馈网络的线性分式变换，对闭环的存在性、幺正性与谱结构给出判据。证明在一般位置下，闭环自洽方程等价于图象子空间 Riccati 方程；经 Cayley 变换得到自伴生成元 $H_{\mathrm{eff}}$，并在临界能量（满足 Kato 一般位置条件）呈现 Puiseux 型平方根分支，由此诱导整体相位双值性与 ${\mathbb{Z}}_2$ 单值化结构；若进一步将参数回路与 $\mathrm{SO}(3)$ 旋转群建立同伦对应，则可获得 $\mathrm{SU}(2)\to \mathrm{SO}(3)$ 的双覆盖解释。进一步以回路取向—分级构造手征算子 $\Gamma$，证明 $\{\Gamma ,H_{\mathrm{eff}}\}=0$ 的手征对称与整数绕行数拓扑指标；以 Atiyah–Bott–Shapiro（ABS）判据将该结构等价为 Clifford 模块。最后以量子 comb／因果盒刻画“自指测量“的物理模型：在紧凸状态空间与完全正迹保持映射下，自洽固定点存在（Schauder）；在带 ${\mathbb{Z}}_2$ 分级的超对称单体范畴且满足 Koszul 号记的条件下，临界二值分支对应 ${\mathbb{Z}}_2$ 奇偶分级与 CAR 代数，从而把费米子统计与手征性作为自指散射闭环的涌现结构。

1 记号与约定

取有限维复 Hilbert 空间分解 $\mathcal{H}={\mathcal{H}}_{\mathrm{ext}}\oplus {\mathcal{H}}_{\mathrm{int}}$。对每个能量 $E$，散射拼接写作块幺正矩阵 $$S(E)=\left(\begin{array}{cc}A(E)& B(E)\\ C(E)& D(E)\end{array}\right)\in \mathbb{U}(2N),A:{\mathcal{H}}_{\mathrm{ext}}\to {\mathcal{H}}_{\mathrm{ext}},B:{\mathcal{H}}_{\mathrm{int}}\to {\mathcal{H}}_{\mathrm{ext}},C:{\mathcal{H}}_{\mathrm{ext}}\to {\mathcal{H}}_{\mathrm{int}},D:{\mathcal{H}}_{\mathrm{int}}\to {\mathcal{H}}_{\mathrm{int}}.$$ Redheffer 星乘与线性分式变换给出对任意反馈算子 $K$ 的等效外散射 $$\Phi (K):=A+BK(I-DK{)}^{-1}C,$$ 其可定义性要求 $I-DK$ 可逆；当 $S$ 保守（幺正）且可逆条件成立时，$\Phi$ 保持 Schur 类与内函数性质。(维基百科)

2 自指散射网络与非线性闭环

定义 2.1（SSN，端口同构版） 取单位同构 $J:{\mathcal{H}}_{\mathrm{ext}}\to {\mathcal{H}}_{\mathrm{int}}$。定义 $${\Phi }_J(T):=A+B(JT{J}^{†})(I-DJT{J}^{†}{)}^{-1}C,$$ 其可定义性要求 $I-DJT{J}^{†}$ 可逆。闭环自洽式为 $$\boxed{T(E)={\Phi }_J(T(E))}.$$ （“输出回写为输入“即以 $J$ 将外端口配线到内端口。）

注 星乘的系统互联解释与量子反馈网络的级联／反馈律与此同构；Gough–James 的 series/concatenation product 给出量子网络的代数闭包。(arXiv)

3 存在性、幺正性与 Riccati 结构

定理 3.1（闭环存在，有限维） 若 $|D(E)|<1$ 且 $S(E)$ 连续解析，则 ${\Phi }_J$ 将单位闭球 $\overline{\mathbb{B}}=\{T:|T|\le 1\}$ 自映。有限维下 $\overline{\mathbb{B}}$ 紧致凸，故由 Brouwer（或 Schauder）定理，存在至少一个闭环解 $T(E)$。一般不保证唯一性。

命题 3.2（幺正性传递） 对幺正拼接 $S$ 有 $$I-\Phi (K)\Phi (K{)}^{†}=B(I-KD{)}^{-1}\left(I-K{K}^{†}\right)(I-D^{†}{K}^{†}{)}^{-1}{B}^{†}.$$ 因而 $K$ 幺正 $\Rightarrow \Phi (K)$ 幺正。闭环取 $K=JT{J}^{†}$，则 $T$ 幺正 $\iff K$ 幺正；一般无法由 $|D|<1$ 直接推出 $T$ 幺正。

命题 3.3（Riccati 等价与图象子空间） 令 $M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$。子空间 $\mathsf{Graph}(X)=\{(v,Xv):v\in {\mathcal{H}}_{\mathrm{ext}}\}$ 不变当且仅当 $$XA+XBX-C-DX=0.$$ 此时压缩在 $\mathsf{Graph}(X)$ 上的外散射为 $T=A+BX$。

（闭环—图象子空间对齐） 在自指闭环中取 $K:=JT{J}^{†}$，则 $$X=(I-KD{)}^{-1}KC(\text{等价地 }X=K(I-DK{)}^{-1}C),T=A+BX,$$ 与 $T={\Phi }_J(T)$ 及 $XA+XBX-C-DX=0$ 等价对齐。

4 Cayley 变换、平方根分支与旋量

定义 4.1（Cayley 生成元） 若 $T$ 幺正且 $1\notin \sigma (T)$，令 $$H_{\mathrm{eff}}:=i(I+T)(I-T{)}^{-1},$$ 则 $H_{\mathrm{eff}}$ 自伴，且 $T=(H_{\mathrm{eff}}-iI)(H_{\mathrm{eff}}+iI{)}^{-1}$。该双射把保守散射的传递函数等价为被动系统的自伴生成元。(Åbo Akademi)

定理 4.2（一般位置的平方根分支，谱层面） 设 $E\mapsto S(E)$ 与闭环解 $T(E)$ 解析，且 $T(E)$ 幺正、$1\notin \sigma (T(E))$。令 $H_{\mathrm{eff}}(E)=i(I+T(E))(I-T(E){)}^{-1}$。若在 $E_c$ 处 $H_{\mathrm{eff}}(E)$ 出现二重代数简并并满足 Kato 一般位置条件，则 $H_{\mathrm{eff}}$ 的本征值/本征投影在 $E_c$ 邻域呈 Puiseux 型 $\pm \sqrt{E-E_c}$ 分支并发生换片。

说明 4.3（双值相位与双覆盖） 上述换片提供参数回路的 ${\mathbb{Z}}_2$ 单值化结构（全局相位双值）。若进一步把该回路与 $\mathrm{SO}(3)$ 旋转群建立同伦对应，则可获得 $\mathrm{SU}(2)\to \mathrm{SO}(3)$ 的双覆盖解释；否则只能断言 ${\mathbb{Z}}_2$ 单值性，不能直接推出 $2\pi$ 旋转荷为 $-1$。

5 回路取向—手征对称—拓扑指数

定义 5.1（取向分级与手征算子） 把内部回路按传播取向分解为 ${\mathcal{H}}_{+}\oplus {\mathcal{H}}_{-}$，令 $\Gamma :={\Pi }_{+}-{\Pi }_{-}$ 且 ${\Gamma }^2=I$。称系统具手征对称，当 $$\Gamma T\Gamma =T^{†}.$$ 若 $T$ 幺正且 $1\notin \sigma (T)$，其 Cayley 生成元 $H_{\mathrm{eff}}=i(I+T)(I-T{)}^{-1}$ 满足 $$\{\Gamma ,H_{\mathrm{eff}}\}=0.$$

命题 5.2（ABS—Clifford 模块） 偶维下的反对易对 $(\Gamma ,H_{\mathrm{eff}})$ 等价于在 $\mathcal{H}$ 上赋予 Clifford 模块结构；其同伦类由 $K$ 理论分类，确立“旋量并非假设而是结构必然“。(School of Mathematics)

定理 5.3（手征绕行数与边模） 以能量或 Floquet 周期参数化的 $S^1$ 上，定义 $$\nu =\frac{1}{2\pi i}{\int }_{S^1}\mathrm{tr}\left(T^{-1}\mathrm{d}T\right)\in \mathbb{Z}.$$ 当 $\{\Gamma ,T\}=0$ 时，可化为块 $Q$ 的绕行数；$\nu$ 等于零能（或 $\pi$-准能）边界模的谱流。该不变量与网络／Floquet 拓扑中“手征 Floquet 绕行数“一致。(物理评论链接管理器)

6 费米子统计的涌现

定理 6.1（${\mathbb{Z}}_2$ 分级与 CAR 的条件） 在带 ${\mathbb{Z}}_2$ 分级的超对称单体范畴中，若张量交换满足 Koszul 号记且多体态空间取为外代数 ${\wedge }^{\bullet }\mathcal{H}$，则二量子化生成 CAR 代数并诱导费米奇偶超选择；仅凭“具迹/反馈“不足以推出上述号记。

命题 6.2（Slater 结构与二量子化） 令单体等效散射为 $T\in \mathbb{U}(N)$。在费米 Fock 空间上定义二量子化 $\Gamma (T){|}_{{\wedge }^n\mathcal{H}}=T^{\wedge n}$。则 $n\to n$ 多体散射振幅等于单体振幅矩阵的行列式，交换两粒子相位为 $-1$，即费米统计。(弗乌大学)

推论 6.3（平方根—双覆盖—奇偶） §4 的二值分支确立全局 ${\mathbb{Z}}_2$ 结构；在 Fock 层面即奇偶分级，与费米交换相位一致。

说明（与相对论自旋—统计一致性） 本构造未假设微因果，但与代数量子场论中的自旋—统计定理兼容；后者以模群几何给出充分条件。(arXiv)

7 物理自指的可操作化模型

以“量子 comb／因果盒“刻画带记忆的测量—控制过程：策略寄存器 ${\rho }_{\mathsf{M}}$ 存放上一轮输出并决定下一轮设置。定义闭环超映射 $\mathcal{W}$ 的自洽点 $${\rho }_{\mathsf{M}}^{\star }=\mathcal{W}\left({\rho }_{\mathsf{M}}^{\star }\right).$$ 命题 7.1（自洽点的存在与唯一性条件） 量子 comb/因果盒的闭环超映射 $\mathcal{W}$ 在紧致凸态空间上存在自洽点（Schauder）。唯一性需要严格收缩或“原始性“等附加条件，单靠 CPTP 的非扩张性不足以保证。

comb 的“链路（link）积“与因果盒的组合闭包允许显式闭环回灌到端口散射，得到上文 $T$。由此把“意识—自指测量“的数学内核还原为 SSN 的闭环自洽。(物理评论链接管理器)

8 可检验预言与实现

1. 网络临界的半角几何相位：在可调相位—延迟的闭环网络中扫描绕行 $E_c$ 并测量 $\det T(E)$ 的绕行，验证 $\pm$ 分支与 $-1$ 全局相位。其观测与网络／Floquet 手征绕行数测量同类。(物理评论链接管理器)
2. 量子图实现：在量子图顶点以边界条件闭环，任意 $\mathbb{U}(N)$ 可作为定能散射矩阵实现，从而工程化 ${\mathbb{Z}}_2$ 分支与手征边模。(arXiv)
3. 量子反馈平台：腔—量子电路中用 Gough–James 反馈规约实现 $T(E)$，在浅—临界—浅三相扫描测谱流与二值分支。(arXiv)

9 与现有理论的对应

• 与网络／Floquet 拓扑：手征对称下的单位绕行数与边态一一对应，与 IQH 网络模型之 Floquet 拓扑等价，给出能量依赖参数恢复 Chern 性质的精确关系。(arXiv)
• 与拼接—特征函数理论：SSN 的闭环是单位拼接的线性分式自映射之不动点；其“内函数—幺正“性质与 Livšic–Arov–Dym 的特征函数框架一致。(encyclopediaofmath.org)

附录 A：幺正拼接、星乘与闭环的代数细节

A.1 星乘与推穿恒等式 由定义 $$\Phi (K)=A+BK(I-DK{)}^{-1}C,$$ 结合块幺正关系 $A^{†}A+C^{†}C=I$、$B^{†}B+D^{†}D=I$ 与推穿恒等式，可化简 $T^{†}T$ 与 $T{T}^{†}$ 并得到 §3 的能量守恒恒等式。(维基百科)

A.2 量子反馈网络 series／concatenation／feedback 产品的系统—代数一致性给出闭环降阶与幺正性保持。(arXiv)

附录 B：平方根分支的 Kato–Puiseux 展开

对解析参数 $E$ 的自伴算子族 $H_{\mathrm{eff}}(E)$，若在 $E_c$ 处出现二重代数简并并满足 Kato 一般位置条件，则本征值与本征投影在 $E_c$ 的邻域可作 Puiseux 展开，主导奇性为平方根 $\pm \sqrt{E-E_c}$；沿小圈的解析延拓导致分支换片（单值—多值间的单根单支情形）。(School of Mathematics)

附录 C：外代数与多体散射振幅

费米 Fock 空间 ${\mathcal{F}}_{-}(\mathcal{H})={⨁}_{n\ge 0}{\wedge }^n\mathcal{H}$ 上的二量子化 $\Gamma (T)$ 满足 $\Gamma (T){|}_{{\wedge }^n}=T^{\wedge n}$。于是 $n$ 粒子振幅为单体振幅矩阵的 Slater 行列式，交换两粒子即对行或列的奇置换，得到 $-1$ 相位与 Pauli 原理。(弗乌大学)

附录 D：手征类的拓扑不变量

在 $\{\Gamma ,T\}=0$ 的特例下，$T$ 在 $\Gamma$ 基下呈块反对角 $T=\begin{array}{cc}0& Q\\ R& 0\end{array}$。绕行数 $$\nu =\frac{1}{2\pi i}{\int }_{S^1}\mathrm{tr}\left(T^{-1}\mathrm{d}T\right)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{S^1}\mathrm{tr}\left(Q^{-1}\mathrm{d}Q\right)=-\frac{1}{2\pi i}{\int }_{S^1}\mathrm{tr}\left(R^{-1}\mathrm{d}R\right),$$ 与边界谱流一致；在 Floquet 网络与量子行走中等价为 0／$\pi$-隙的整数指标。(物理评论链接管理器)

参考文献（选）

Redheffer 星乘与拼接、推穿恒等式；Gough–James 量子反馈的 series／concatenation／feedback 产品；Arov–Dym／Livšic 特征函数与单位拼接的内函数性质；Kato 解析微扰与 Puiseux 展开；Lawson–Michelsohn 与旋量几何；ABS 的 Clifford 模块判据；网络—Floquet 拓扑与手征绕行数；comb 与因果盒的可组合高阶量子变换；CAR 与二量子化外代数。

（本文关键处已在相应段落给出来源标注。）

数据可得性声明：本文为纯理论工作，不涉及实验与数据。