黎曼猜想的几何化与“有限窗—有限带宽—有限阶“子系统中的相对不可证

Version: 1.2

MSC：11M26；42A38；47B35；81U15；94A20 关键词：黎曼猜想几何化；显式公式正性；Toeplitz/Berezin 压缩；窗化 Helffer–Sjöstrand 迹公式；Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin 有限阶纪律；带限不可完备性；热流阈值

摘要

在“窗化散射—Toeplitz/Berezin 压缩—三位一体母尺“的统一语法下，将黎曼猜想等价地几何化为两种全域陈述：其一是由显式公式诱导的读数二次型在自卷正定核锥上的全域非负；其二是与之配准的生成子谱严格定位在临界轴。本文在仅允许有限窗、有限带宽与有限阶 Euler–Maclaurin 校正的公理化子系统中，建立两条相对不可证定理：（A）无论使用多少带内核与有限阶误差账本，均不能在该子系统内判定全域正性；（B）在热流阈值表述下，单点阈值同样在该子系统内不可判定。证明依赖母尺恒等式 $$\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),$$ 窗化 Helffer–Sjöstrand 迹公式、Toeplitz/Berezin 压缩的保正准则与 Poisson—有限阶 Euler–Maclaurin（NPE）纪律。母尺恒等式由 Wigner–Smith 群延迟与 Kreĭn 光谱位移函数的 Birman–Kreĭn 关系串联而成，并与“相位—态密度—群延迟—迹公式“的标准文献一致。(arXiv)

0. 记号与公理

0.1 观测三元与母尺

取能量参数化的散射矩阵族 $S(E)\in \mathsf{U}(N)$（$E\mapsto S(E)$ 可微），记 Wigner–Smith 群延迟矩阵 $$\mathsf{Q}(E)=-iS(E{)}^{†}{\partial }_{E}S(E).$$ 设总散射相位 $\phi (E)=\frac{1}{2}\arg \det S(E)$ 与相对态密度 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$。本文以如下母尺恒等式为刻度： $$\boxed{\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)}.$$ 右端“$\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 等于（相对）态密度“的关系在量子散射与介质输运中广泛使用；左端则由 Birman–Kreĭn 公式 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$ 与 ${\rho }_{\mathrm{rel}}=-{\xi }^{\prime }$ 对齐。(Physical Review Links)

0.2 窗化迹公式

对 $f\in C_c^{\infty }(\mathbb{R})$ 的窗化函数演算（Helffer–Sjöstrand）有 $$\mathrm{Tr}(f(H)-f(H_0))={\int }_{\mathbb{R}}{f}^{\prime }(E)\xi (E)dE,$$ 并可等价表述为 $$\mathrm{Tr}(f(H)-f(H_0))=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\mathbb{R}}f(E){\partial }_E\log \det S(E)dE,$$ 由分部积分与 Birman–Kreĭn 关系 ${\partial }_E\log \det S=-2\pi i{\xi }^{\prime }$ 得出。从而在窗化级别上，“迹—相位—位移—群延迟—态密度“同尺可测。(eudml.org)

0.3 Toeplitz/Berezin 压缩与保正

在 Hardy/Bergman 空间，以 ${\Pi }_w$ 表示与窗 $w$ 相关的投影与 $M_h$ 表示乘子，Toeplitz/Berezin 压缩定义为 $$K_{w,h}:={\Pi }_w{M}_h{\Pi }_w.$$ 当符号 $h\ge 0$ 且测度满足 Carleson 条件时，$K_{w,h}$ 为正算子；对应的线性读数泛函保持正性。(ScienceDirect)

0.4 NPE（Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin）有限阶纪律

离散—连续桥以 Poisson 求和与至多 $p$ 阶的 Euler–Maclaurin 校正衔接，尾项由窗衰减与高阶导数控制。有限带宽假设来自 Nyquist–Shannon 取样与 Landau 密度条件的经典框架。(webusers.imj-prg.fr)

1. 几何化命题与等价

1.1 自卷正定核锥与读数二次型

设 $${\mathcal{C}}_{+}:=\{k=\phi \ast \tilde{\phi }:\phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R})\},\hat{k}(\omega )=|\hat{\phi }(\omega ){|}^2\ge 0.$$ 定义读数 $$\mathcal{D}[k]:={\int }_{\mathbb{R}}k(E){\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\mathbb{R}}k(E){\partial }_E\log \det S(E)dE=-\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\mathbb{R}}{k}^{\prime }(E)\log \det S(E)dE.$$ 借窗化迹公式与分部积分，上述三种表述等价。(Physical Review Links)

1.2 几何化 RH 的两种表述

• （P）全域正性表述：对一切 $k\in {\mathcal{C}}_{+}$ 有 $\mathcal{D}[k]\ge 0$。
• （S）谱定位表述：存在生成子 ${\mathcal{D}}_{\mathrm{geom}}$ 的谱全落在 $\{\frac{1}{2}+i\mathbb{R}\}$，并在窗化读数下与 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 对齐。

这二者与 Weil 的显式公式正性判据等价：RH 等价于由显式公式构成的分布在测试函数卷积平方的锥上非负。(Wikipedia)

2. 有限资源子系统 ${\mathsf{T}}_{\mathrm{win}}(R,\Omega ,p)$

2.1 定义

给定 $(R,\Omega ,p)\in (0,\infty {)}^3$，${\mathsf{T}}_{\mathrm{win}}(R,\Omega ,p)$ 允许的原语如下： (a) 仅使用有限组窗—核对 $\{(w_{R_j},h_j){\}}_{j=1}^m$ 生成的核 $$k_j:=w_{R_j}\ast {\check{h}}_j,\mathrm{supp}\widehat{k_j}\subset [-\Omega ,\Omega ];$$ (b) 一切读数均由母尺与窗化迹公式实现； (c) 离散—连续桥仅用 Poisson 与不超过 $p$ 阶的 Euler–Maclaurin，误差以统一上界封口。(Wikipedia)

2.2 解释

${\mathsf{T}}_{\mathrm{win}}$ 能访问的证据只有有限个带内读数 $\{\mathcal{D}[k_j]{\}}_{j=1}^m$ 及其有限阶误差上界。故它无法区分在 $[-\Omega ,\Omega ]$ 上频谱一致而带外差异的两份“谱数据“。这正是带限不可完备性的核心。(Wikipedia)

3. 带限不可完备性

定理 3.1（带限不可完备性）

给定任意有限组 $\{k_j{\}}_{j=1}^m\subset {\mathcal{C}}_{+}$ 与 $\epsilon >0$，存在两份窗化等价的谱密度 ${\rho }_{\mathrm{rel}}^{\pm }$ 满足对所有 $1\le j\le m$, $$|\int k_j{\rho }_{\mathrm{rel}}^{+}-\int k_j{\rho }_{\mathrm{rel}}^{-}|<\epsilon ,$$ 但存在某 $k_{\star }\in {\mathcal{C}}_{+}$ 使 $$\int k_{\star }{\rho }_{\mathrm{rel}}^{+}>0,\int k_{\star }{\rho }_{\mathrm{rel}}^{-}<0.$$ 于是 ${\mathsf{T}}_{\mathrm{win}}(R,\Omega ,p)$ 内无法以有限证据判定“对全体 $k\in {\mathcal{C}}_{+}$，$\mathcal{D}[k]\ge 0$“的真值。

证明

设统一带宽 $\Omega ={\max }_j\mathrm{band}(\widehat{k_j})$。取 $\hat{\psi }\in C_c^{\infty }(\mathbb{R})$ 为实偶且非负，令 $$\mathrm{supp}\hat{\psi }\subset \{|\omega |\ge 2\Omega \},$$ 并记其反变换为 $\psi$。令 $\hat{\eta }:=|\hat{\psi }{|}^2$，记其反变换为 $\eta$。给定基准 ${\rho }_0\in {\mathcal{S}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 与小参数 $\delta >0$，置 $${\rho }_{\mathrm{rel}}^{\pm }={\rho }_0\pm \delta \eta .$$ 对每个带内核 $k_j$，由傅里叶支撑不交与 Parseval 恒等式得 $$\int k_j\eta =\frac{1}{2\pi }\int \widehat{k_j}(\omega )\hat{\eta }(\omega )d\omega =0,$$ 故 $$\int k_j{\rho }_{\mathrm{rel}}^{+}=\int k_j{\rho }_{\mathrm{rel}}^{-}=\int k_j{\rho }_0.$$ 此外，由 NPE 有限阶纪律，任意由 Poisson 与至多 $p$ 阶 Euler–Maclaurin 组合而成的误差账本只依赖于带内信息与端点导数，因此可调 $\delta$ 与窗参使两侧在所有可见证据上差异 $<\epsilon$。(Wikipedia)

另一方面，取 ${\phi }_{\star }=\psi$，并置 $k_{\star }={\phi }_{\star }\ast {\tilde{\phi }}_{\star }\in {\mathcal{C}}_{+}$。则 $$\int k_{\star }\eta =\frac{1}{2\pi }\int |\hat{\psi }(\omega ){|}^{4}d\omega >0,$$ 从而 $$\int k_{\star }{\rho }_{\mathrm{rel}}^{+}-\int k_{\star }{\rho }_{\mathrm{rel}}^{-}=2\delta \int k_{\star }\eta =\frac{\delta }{\pi }\int |\hat{\psi }(\omega ){|}^{4}d\omega \ne 0.$$ 令 $\delta$ 的符号合适，即得一正一负。定理证毕。

评注：上述构造本质上是 Paley–Wiener 与 Bochner 定理的并用：${\mathcal{C}}_{+}$ 中核的傅里叶像非负，带外扰动可与之正交；而带限测量对带外微扰“盲视“。(Wikipedia)

4. 热流阈值的相对不可证

令对数频域热核 $h_{\lambda }=\exp (\lambda {\partial }_E^2)$（$\lambda \ge 0$），定义 $$F(\lambda ):=\underset{\begin{array}{c}k\in {\mathcal{C}}_{+}\\ {\int }_{\mathbb{R}}k(E)dE=1\end{array}}{\inf }{\int }_{\mathbb{R}}(k\ast h_{\lambda })(E){\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE.$$

引理 4.1（单调与强平滑极限）

记 $\mathcal{K}=\{k\in {\mathcal{C}}_{+}:\int k=1\}$。由于 $h_{\lambda +\tau }=h_{\lambda }\ast h_{\tau }$ 且 $\int h_{\tau }=1$，映射 $k\mapsto k\ast h_{\tau }$ 将 $\mathcal{K}$ 映回自身，故 $$F(\lambda +\tau )=\underset{k\in \mathcal{K}}{\inf }⟨k\ast h_{\tau },\rho \ast h_{\lambda }⟩\ge \underset{k\in \mathcal{K}}{\inf }⟨k,\rho \ast h_{\lambda }⟩=F(\lambda ).$$ 若 $\int {\rho }_{\mathrm{rel}}=0$，则 $\rho \ast h_{\lambda }\to 0$，从而 ${\lim }_{\lambda \to \infty }F(\lambda )=0$。

定理 4.2（${\mathsf{T}}_{\mathrm{win}}$ 中的热流单点阈值不可判定）

在 ${\mathsf{T}}_{\mathrm{win}}(R,\Omega ,p)$ 中无法以有限证据判定 $F(0)\ge 0$ 的真值。

证明：沿用定理 3.1 的构造，取 ${\rho }_{\mathrm{rel}}^{\pm }={\rho }_0\pm \delta \eta$ 且 $\mathrm{supp}\hat{\eta }\subset \{|\omega |\ge 2\Omega \}$。对每个带内核 $k_j$ 与任意 $\lambda >0$，有 $$|\int (k_j\ast h_{\lambda })\eta |=|\frac{1}{2\pi }\int \widehat{k_j}(\omega )e^{-\lambda {\omega }^2}\hat{\eta }(\omega )d\omega |\le C{e}^{-4\lambda {\Omega }^2},$$ 故当 $\lambda$ 足够大时，两份数据在${\mathsf{T}}_{\mathrm{win}}$ 的可见证据上不可区分并给出相同非负极限（引理 4.1）。然而在 $\lambda =0$ 时，仍有 $$\int k_{\star }{\rho }_{\mathrm{rel}}^{+}-\int k_{\star }{\rho }_{\mathrm{rel}}^{-}=\frac{\delta }{\pi }\int |\hat{\psi }(\omega ){|}^{4}d\omega \ne 0,$$ 因而存在 $k_{\star }$ 使两份数据的读数在单点阈值处异号。由于 ${\mathsf{T}}_{\mathrm{win}}$ 只能访问带内证据，故无法在该子系统内以有限证据证成命题 $F(0)\ge 0$ 的真值。证毕。

评注：热核平滑的“不可增加可提取耗散“的倾向与量子散射的时间延迟—态密度、以及非平衡量子半群的熵产生单调性相协同。(arXiv)

5. 与几何化 RH 的闭合关系

不施加“有限窗—有限带宽—有限阶“约束，在全体 ${\mathcal{C}}_{+}$ 上工作时：

• 表述（P）的全域正性与 Weil 的显式公式正性判据等价，从而与 RH 等价；
• 表述（S）与“生成子谱位于临界轴“的散射—谱定位相对应，且在窗化读数下由母尺与迹公式一致地对齐。

本文定理表明：在 ${\mathsf{T}}_{\mathrm{win}}(R,\Omega ,p)$ 的有限资源约束下，二者均仅表现为相对不可证命题。(Wikipedia)

6. 讨论与扩展

1. 带限不可完备性与取样密度：${\mathsf{T}}_{\mathrm{win}}$ 的“可见证据有限性“与 Landau 必要密度（Paley–Wiener 空间）同向：有限带内信息不足以唯一恢复带外特征，等价于取样—重建的病态性。(archive.ymsc.tsinghua.edu.cn)
2. Toeplitz/Berezin 与 Carleson：本文仅用到“非负符号 $\Rightarrow$ 压缩保正、Carleson $\Rightarrow$ 有界“的基本面，一切在大范围 Bergman/Hardy 空间上成立。(ScienceDirect)
3. 母尺的普适性：${\rho }_{\mathrm{rel}}=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 与 ${\phi }^{\prime }=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}$ 通过 Wigner–Smith—Friedel—Birman–Kreĭn 体系闭合，是散射—DOS 对偶的核心。(arXiv)

附录 A：母尺恒等式的证明

令 $\xi (E)$ 为 Kreĭn 光谱位移，Birman–Kreĭn 公式给出 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$，故 $${\partial }_E\log \det S(E)=-2\pi i{\xi }^{\prime }(E).$$ 另一方面，Wigner–Smith 定义 $\mathsf{Q}(E)=-i{S}^{†}{S}^{\prime }$，于是 $$\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-i{\partial }_E\log \det S(E)={\partial }_E\arg \det S(E)=-2\pi {\xi }^{\prime }(E).$$ 令 ${\rho }_{\mathrm{rel}}=-{\xi }^{\prime }$，即得 $$\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E),{\phi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2}{\partial }_E\arg \det S(E)=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E).$$ 与 Friedel 规则“总相位导数—态密度“一致，从而确立母尺恒等式。(matcuer.unam.mx)

附录 B：窗化 Helffer–Sjöstrand 迹公式与读数同尺

Helffer–Sjöstrand 函数演算给出对 $f\in C_c^{\infty }(\mathbb{R})$ 的 $$f(H)=\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbb{C}}\bar{\partial }\tilde{f}(z)(z-H{)}^{-1}dxdy,$$ 因此 $$\mathrm{Tr}(f(H)-f(H_0))=\int f^{\prime }(E)\xi (E)dE.$$ 取 $f^{\prime }=k$ 属于由窗—核卷积产生的可测类，合并附录 A 之母尺恒等式，得到 $$\int k(E){\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE=\frac{1}{2\pi }\int k(E)\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)dE,$$ 即“读数＝谱测度线性泛函“。(Wikipedia)

附录 C：Toeplitz/Berezin 压缩的保正与 Carleson 条件

在 Bergman/Hardy 空间上，Toeplitz 算子 $T_{\mu }f=\Pi (fd\mu )$。若 $\mu$ 为正且为相应空间的 Carleson 测度，则 $T_{\mu }$ 有界且正；若符号 $h\ge 0$，则 $\Pi M_h\Pi \ge 0$。这保证了由 $(w_R\ast \check{h})$ 诱导的读数二次型的正性。(Project Euclid)

附录 D：NPE 有限阶误差闭合

• Poisson：对 Schwartz 函数 $s$ 与其傅里叶变换 $S$，周期化—采样由 Poisson 公式严格连接。
• Euler–Maclaurin（至多 $p$ 阶）：差—积换算的余项以端点高阶导数与 Bernoulli 多项式给出，存在显式上界；有限阶账本不能“恢复“带外信息。
• 结论：任意只依赖 $[-\Omega ,\Omega ]$ 带内频谱与有限阶端点校正的流程，对“支撑离带“的扰动 $\eta$ 均盲视。(Wikipedia)

附录 E：高频不可见扰动与分离超平面

设 $\eta$ 的傅里叶支撑与 $[-\Omega ,\Omega ]$ 不交。对任意带内核 $k$ 有 $⟨k,\eta ⟩=0$。同时取 $k_{\star }={\phi }_{\star }\ast {\tilde{\phi }}_{\star }$，其中先写 $\hat{\eta }=|\hat{\psi }{|}^2$（$\hat{\psi }\in C_c^{\infty }$ 实偶且非负，支撑离带），再置 ${\phi }_{\star }=\psi$。于是 $$⟨k_{\star },\eta ⟩=\frac{1}{2\pi }\int |\hat{\psi }(\omega ){|}^{4}d\omega >0.$$ 因而由 ${\rho }_{\mathrm{rel}}^{\pm }={\rho }_0\pm \delta \eta$ 可在 ${\mathcal{C}}_{+}$ 上构建把手，使有限证据一致而全域正性给出相反结论。这一分离构造依赖于 Bochner 定理（$\hat{k}\ge 0$）与 Paley–Wiener（可控支撑）。(Wikipedia)

附录 F：热流阈值极限与单调

记 $\mathcal{K}=\{k\in {\mathcal{C}}_{+}:\int k=1\}$。利用 $$\int (k\ast h_{\lambda })\rho =\int k(\rho \ast h_{\lambda })$$ 与 $\int (k\ast h_{\tau })=\int k$，得 $\mathcal{K}$ 在 $\ast h_{\tau }$ 下不变，故 $F(\lambda +\tau )\ge F(\lambda )$；若 $\int {\rho }_{\mathrm{rel}}=0$，则 $\rho \ast h_{\lambda }\to 0$，从而 ${\lim }_{\lambda \to \infty }F(\lambda )=0$。(matcuer.unam.mx)

参考文献（节选）

1. Birman, M. Sh.; Kreĭn, M. G. “On the theory of wave and scattering operators”, 1962.
2. Yafaev, D. R. Mathematical Scattering Theory, AMS, 2010.
3. Helffer, B.; Sjöstrand, J. “Functional calculus via almost analytic extension”, 1989；见 Dimassi–Sjöstrand, Spectral Asymptotics in the Semi-classical Limit, CUP, 1999.
4. Gesztesy, F.; Pushnitski, A.; Simon, B. “On the Koplienko Spectral Shift Function”, 2007.
5. Cunden, F. D. “Statistical distribution of the Wigner–Smith time-delay matrix”, Phys. Rev. E 91 (2015).
6. Texier, C. “Wigner time delay and related concepts”, 2015。
7. Weil, A. “Sur les ‘formules explicites’…”, 1952；Conrey, B. “Weil’s explicit formula and positivity criterion”, 2019 讲义。
8. Zhao, X.; Zheng, D. “Positivity of Toeplitz operators via Berezin transform”, 2014；Pau, J. 等 “Carleson measures and Toeplitz operators…”, Michigan Math. J. 64 (2015).
9. Shannon, C. “Communication in the Presence of Noise”, 1949；Landau, H. J. “Necessary density conditions…”, Acta Math. 117 (1967)。
10. Miller, S. D.; Schmid, W. “Summation formulas, from Poisson and Voronoi to the trace formula”, 2003。
11. Connes, A.; Consani, C. “Weil positivity and trace formula”, 2021。

（以上条目与文内陈述对应之开放资料可参阅：Helffer–Sjöstrand 公式与函数演算；Birman–Kreĭn 公式与光谱位移；Wigner–Smith 群延迟—态密度关系；Toeplitz/Berezin 压缩与 Carleson 准则；Nyquist–Shannon 与 Landau 密度；Poisson 与 Euler–Maclaurin 公式等。）(Wikipedia)

致谢

本文所用“窗化散射—Toeplitz/Berezin 压缩—母尺“语法与若干锚点公式，均可在标准文献中以等价形式找到。文中关于“不可证“的术语，系相对于明确定义的有限资源子系统 ${\mathsf{T}}_{\mathrm{win}}(R,\Omega ,p)$ 而言，不涉更强的元逻辑不可证性。