价值—意义统一：伦理价值的最优化几何、存在意义的信息流形与自由意志的物理基础

MSC：62B10；90C46；93B05；80A17；68T01；03B48

关键词：多目标最优化；一致性风险；I-投影；自然梯度；有向信息；empowerment；反馈热力学；马尔可夫毯；窗化读数；三位一体母尺

摘要

建立以“生存能力—伦理约束—介入能力“三元组为核心的统一体制：以开放系统几何热力学与信息几何为骨架，将价值刻画为风险敏感的多目标最优化，将意义刻画为到“生存能力可行子流形“的 I-投影距离，将自由意志刻画为在物理约束下可检验的因果介入能力，其下界由动作—传感通道容量与有向信息给出，并受信息热力学的广义第二定律与反馈 Jarzynski 等式约束。测量—刻度采用“三位一体母尺—窗化读数—Toeplitz/Berezin 压缩“的统一方案，几何化表达以 Fisher/Shahshahani 与 Wasserstein 度量闭合；给出伦理优化的存在—对偶定理、语义信息的流形几何与曲率不变量、自由意志的物理基础定理及其证明。理论与“GLS—因果流形—EBOC—RCA—Hilbert—Zeckendorf“统一框架在读数、因果与变分层面严格对接。

0 记号、对象与对齐公理

0.1 窗化读数与母尺

采用统一刻度 $$\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),$$ 其中 $\mathsf{Q}(E)$ 为群延迟矩阵。任一可观测 $f$ 的窗化读数为 $$⟨f{⟩}_{w,h}=\int W(E)f(E)d\mu (E),$$ $W$ 由能窗 $w$ 与时窗 $h$ 卷合诱导。算子级读数以 Toeplitz/Berezin 压缩 ${\mathsf{K}}_{w,h}={\Pi }_w{M}_W{\Pi }_w$ 实现。

0.2 开放系统与接触几何

开放热力学系统以接触流形 $(\mathcal{C},\alpha )$ 表示，$\alpha =dz-y_{i}d{x}^i$。接触哈密顿量 $H$ 给出向量场 $X_H$ 满足 $${\iota }_{X_H}\alpha =-H,{\iota }_{X_H}d\alpha =dH-(\mathcal{R}H)\alpha .$$ 系统熵分解为 ${\dot{S}}_{\mathrm{sys}}={\dot{S}}_{\mathrm{e}}+{\dot{S}}_{\mathrm{i}}$，${\dot{S}}_{\mathrm{i}}\ge 0$。

0.3 信息几何与 I/m-投影

统计流形 $\mathcal{P}=\{p_{\theta }\}$ 装配 Fisher–Rao 度量 $$g_{ij}(\theta )={\mathbb{E}}_{\theta }[{\partial }_i\log p_{\theta }{\partial }_j\log p_{\theta }],$$ 自然梯度 $\tilde{\nabla }f=g^{-1}\nabla f$（Amari 自然梯度）。I-投影 $\mathcal{I}(p\mid \mathcal{M})=\arg {\min }_{q\in \mathcal{M}}{D}_{\mathrm{KL}}(q\Vert p)$。

0.4 Wasserstein 几何与自由能梯度流

在 $({\mathcal{P}}_2({\mathbb{R}}^d),W_2)$ 空间，自由能 $\mathcal{F}[p]=\int p\log p+\int Vp$ 的最速下降流对应 Fokker–Planck 方程；JKO 迭代 $$p_{k+1}=\arg \underset{p}{\min }\{\mathcal{F}[p]+\frac{1}{2h}{W}_2^2(p,p_k)\}$$ 给出时间离散的变分构造（Jordan–Kinderlehrer–Otto）。

0.5 马尔可夫毯与自指测量

变量分解为内部 $(s_{\mathrm{int}})$、外部 $(s_{\mathrm{ext}})$、观测 $(o)$、动作 $(a)$，满足遮蔽与条件独立；变分自由能 $$\mathcal{F}(\varphi ,\theta )={\mathbb{E}}_{q_{\varphi }}[\log q_{\varphi }(s\mid o)-\log p_{\theta }(s,o)]$$ 刻画感知—行动闭环并与马尔可夫毯形式化相容（自由能原理）。

1 伦理价值：风险一致的多目标最优化

1.1 问题设定

环境—系统联合 $p(x,s)$、策略 $\pi (a\mid s)$、演化核 $P_{\theta }(x^{\prime },s^{\prime }\mid x,s,a)$。定义生存能力泛函 $$V[p]:={\mathbb{E}}_p[\upsilon (x,s)],$$ $\upsilon$ 为可测生存/可行性打分。伦理目标 $$\mathcal{J}(\pi )={\mathbb{E}}_{\pi }[\sum _{t=0}^{T}u(x_t,s_t,a_t)]-\lambda \mathsf{Reg}(\pi ),$$ 约束为一致性风险与资源 $$\rho (L(\pi ))\le \eta ,{\mathbb{E}}_{\pi }[c_j]\le b_j(1\le j\le m),$$ 其中 $\rho$ 次可加、单调、平移不变、正齐次。

1.2 存在—对偶与 KKT

定理 1（存在与对偶） 设动作/状态空间可分，$\mathsf{Reg}$ 使策略集 $\Pi$ 弱*紧，$\mathcal{J}$ 上半连续，则存在最优 ${\pi }^{\star }\in \Pi$。若满足 Slater 条件，则对偶间隙为零，存在乘子 $(\mu ,{\lambda }_j\ge 0)$ 使 $$\delta (\mathcal{J}(\pi )-\mu [\rho (L(\pi ))-\eta ]-\sum _j{\lambda }_j({\mathbb{E}}_{\pi }{c}_j-b_j)){|}_{{\pi }^{\star }}=0.$$

证明：Weierstrass 定理给存在性；一致性风险度量的支持函数表示与 Fenchel–Moreau 对偶给强对偶；KKT 由 Slater 条件推出。□

1.3 社会聚合与帕累托几何

设多目标 $F(\pi )\in {\mathbb{R}}^k$。帕累托前沿上任一点 ${\pi }^{\star }$ 存在 $\lambda \in {\Delta }^{k-1}$ 使 $$0\in \sum _{i=1}^k{\lambda }_i\nabla F_i({\pi }^{\star })+{\mathcal{N}}_{\mathcal{C}}({\pi }^{\star }),$$ ${\mathcal{N}}_{\mathcal{C}}$ 为可行域的法锥。前沿的曲率与法向张量给出二阶伦理权衡灵敏度。社会层聚合在“不可行的全序“与“期望效用可加权“两极之间，以帕累托前沿 + 风险一致与权利约束定义可行边界。

1.4 自然梯度与伦理策略流形优化

参数化策略 ${\pi }_{\theta }$ 的自然梯度 $${\tilde{\nabla }}_{\theta }\mathcal{J}=G(\theta {)}^{-1}{\nabla }_{\theta }\mathcal{J},G(\theta )={\mathbb{E}}_{{\pi }_{\theta }}[{\nabla }_{\theta }\log {\pi }_{\theta }{\nabla }_{\theta }\log {\pi }_{\theta }^{\top }],$$ 在 Fisher 度量上给最速上升；配合 KL 正则的控制-即-推断范式形成可解族。

2 存在意义：语义信息的几何化

2.1 语义保持与语义信息量

给定阈值 $v_0$，称随机压缩 $\mathcal{C}:X\to X$ 语义保持，若对允许的控制/耦合均有 $V[T_{\mathcal{C}}p]\ge v_0$。定义语义信息 $$I_{\mathrm{sem}}(S;X)=I(S;X)-\underset{\mathcal{C}:V[T_{\mathcal{C}}p]\ge v_0}{\inf }I(S;X),$$ 即“维持存在所必需的那部分信息“。

2.2 语义子流形与 I-投影

在 $(\mathcal{P},g)$ 上定义语义子流形 $${\mathcal{M}}_{\ge v_0}=\{q\in \mathcal{P}:V[q]\ge v_0\}.$$ 对任意 $p$，语义投影 $${\Pi }_{\mathrm{sem}}(p)=\arg \underset{q\in {\mathcal{M}}_{\ge v_0}}{\min }{D}_{\mathrm{KL}}(q\Vert p)$$ 存在唯一（${\mathcal{M}}_{\ge v_0}$ 闭凸）。于是 $$I_{\mathrm{sem}}(S;X)=D_{\mathrm{KL}}({\Pi }_{\mathrm{sem}}(p)\Vert p),$$ 并满足 Pythagoras 分解 $$D_{\mathrm{KL}}(q\Vert p)=D_{\mathrm{KL}}(q\Vert {\Pi }_{\mathrm{sem}}(p))+D_{\mathrm{KL}}({\Pi }_{\mathrm{sem}}(p)\Vert p).$$

2.3 语义曲率与协同

在对偶平坦结构下，${\mathcal{M}}_{\ge v_0}$ 的第二基本形式 $\mathsf{II}$ 与曲率张量 $\mathcal{R}$ 刻画“多线索协同“（曲率沿法向为正）与“语义歧义/路径依赖“（非零挠与截面曲率）。自然梯度流 $${\dot{p}}_t=-{\mathrm{grad}}_g{D}_{\mathrm{KL}}(\cdot \Vert p_t)\text{受}V[\cdot ]\ge v_0\text{约束},$$ 以最速方式趋向 ${\Pi }_{\mathrm{sem}}(p)$。

2.4 窗化测度与母尺对齐

采用 $⟨\cdot {⟩}_{w,h}$ 估计 $V[q]$ 与核化的 $D_{\mathrm{KL}}$；刻度以 ${\rho }_{\mathrm{rel}}=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 对齐能量—信息—延迟，使不同层级（代谢、神经、行为）的语义量同位可比。

3 自由意志：可操作介入的物理基础

3.1 有向信息、传递熵与 empowerment

对内部记忆 $(M)$、动作 $(A)$、环境结果 $(Y)$，定义（Massey） $$I(M^n\to Y^n)=\sum _{t=1}^{n}I(M^t;Y_t\mid Y^{t-1}),$$ 传递熵 ${\mathsf{TE}}_{M\to Y}=I(M^{t-1};Y_t\mid Y^{t-1})$ 为其特例；$k$ 步 empowerment $${\mathcal{E}}_k=\underset{\pi }{\sup }I(A_{t:t+k-1};Y_{t+k}\mid Y_{t:t+k-1}),$$ 即动作—传感通道容量的上确界（Klyubin–Polani–Nehaniv）。

3.2 反馈热力学下的能量—信息一致性

带测量—反馈的开系统满足广义等式 $$⟨e^{-\beta W+\beta \Delta F-I}⟩=1,⟨W⟩\ge \Delta F-k_{\mathrm{B}}T⟨I⟩,$$ 将可用互信息（或因果约束下的有向信息分量）与可提取功紧密联结（Sagawa–Ueda 反馈 Jarzynski）。

3.3 可操作自由的定义与基础定理

定义 2（可操作自由） 在时域 $[0,n]$ 上，若存在策略 $\pi$ 使 $I(M^n\to Y^n)>0$ 且 ${\mathcal{E}}_k>0$（某 $k\ge 1$），并且满足 $⟨W⟩\ge \Delta F-k_{\mathrm{B}}T⟨I⟩$，则称系统在该域具有可操作自由。

定理 2（自由的物理基础） 若成立：

(i) 可控性：存在非退化干预通道 $P(Y\mid A,\cdot )$；

(ii) 非平衡供给：存在稳态或缓变的自由能/熵流；

(iii) 屏障分离：存在马尔可夫毯使内部态对结果的影响可分辨；

则存在策略使 $I(M^n\to Y^n)>0$、${\mathcal{E}}_k>0$ 同时成立，并受上述热力学不等式约束。——可控性与屏障分离保证 $P(Y\mid do(A))\ne P(Y)$，故有向信息严格为正（Massey 框架）；通道非退化使容量正，从而 ${\mathcal{E}}_k>0$；非平衡供给保证热力学一致性与功界可满足（Sagawa–Ueda）。□

3.4 宏—微因果与尺度依赖

宏观变量可在因果有效性上胜出微观变量（有效信息增大），给出“上层次自由“的可测涌现基础；伦理与法律在宏层制定因此自然。

4 与统一框架的三重对接

1. 读数—刻度：语义量、伦理目标与介入能力均以窗化读数实现，刻度与 ${\rho }_{\mathrm{rel}}=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 同位。

2. 因果—测量：I-投影—Lüders 更新—Belavkin 过滤闭合连续/离散观测，因果由 Hardy/Titchmarsh—Kramers–Kronig 支撑；马尔可夫毯在观测—行动闭环中实现自指测量（自由能原理）。

3. 变分—稳定性：以广义熵变分给出响应/场方程，二阶变分与 QNEC 类不等式给稳定性；在动力学侧，以 Wasserstein 梯度流—JKO 与 Benamou–Brenier 连续化桥接控制路径与最小耗散。

4. 可逆记账：Zeckendorf 可逆日志将窗化载荷整数化，配合 RCA 实现伦理审计与跨窗一致。

5 实验—计算协议（一阶可检）

P1 功—信息鞅检验：连续监测下构造 $${\Gamma }_t=\exp [-\beta W_t+\beta \Delta F_t-I_t],$$ 检验 $\mathbb{E}[{\Gamma }_t]=1$ 及 Jensen 下界（反馈 Jarzynski）。

P2 读数协变性：比较行为/神经读数与 $⟨(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{\mathrm{eff}}{⟩}_{w,h}$ 的协变关系，标定能量—信息—时延的一致刻度。

P3 最小耗散协议：在已知摩擦张量 $\zeta$ 的系统上实施测地驱动，检验热力学长度下界 $⟨W_{\mathrm{ex}}⟩\ge {\mathcal{L}}^2/\tau$ 与最优路径（Sivak–Crooks 热力学度量）。

P4 伦理多目标求解：以自然梯度 + KKT 投影步在帕累托前沿求解带风险与权利约束的问题；窗—核 $W$ 由 KKT 条件优化以抑制别名与尾项误差。

6 主要定理与证明

定理 3（语义投影存在唯一与 Pythagoras）

陈述：若 $V$ 准凹且上半连续，则 ${\mathcal{M}}_{\ge v_0}$ 闭凸；对任意 $p$，I-投影 ${\Pi }_{\mathrm{sem}}(p)$ 存在唯一，并满足 $$D_{\mathrm{KL}}(q\Vert p)=D_{\mathrm{KL}}(q\Vert {\Pi }_{\mathrm{sem}}(p))+D_{\mathrm{KL}}({\Pi }_{\mathrm{sem}}(p)\Vert p),\forall q\in {\mathcal{M}}_{\ge v_0}.$$

证明：闭凸性由超水平集性质；KL 在第一自变量严格凸，最小化子唯一；以 Bregman 几何最优性条件得 Pythagoras 分解。□

定理 4（伦理最小耗散与速度极限）

陈述：令控制参数 $\lambda (t)$ 在 $\tau$ 内演化，线性响应下额外耗散功 $$⟨W_{\mathrm{ex}}⟩={\int }_0^{\tau }{\dot{\lambda }}^{\top }\zeta (\lambda )\dot{\lambda }dt$$ 满足 $⟨W_{\mathrm{ex}}⟩\ge {\mathcal{L}}^2/\tau$，$\mathcal{L}={\int }_0^{\tau }\sqrt{{\dot{\lambda }}^{\top }\zeta \dot{\lambda }}dt$。等号当且仅当 $\lambda$ 为测地恒速；马尔可夫过程的跃迁速度受熵产生—活度给出的速度极限约束（热力学长度理论）。

证明：Cauchy–Schwarz 与度量定义给出下界；测地最优由等号条件给出；速度极限由路径大偏差与熵产生—活度权衡得到。□

定理 5（复制子—自然梯度等价）

陈述：在单纯形 ${\Delta }^{n-1}$ 上，Shahshahani 度量 $g_{ij}={\delta }_{ij}/x_i$ 诱导的梯度流 $${\dot{x}}_i=\sum _j{g}^{ij}{\partial }_{x_j}V(\mathbf{x})=x_i(f_i-\bar{f})$$ 等价于复制子动力学（Shahshahani；Harper，信息几何表述）。

证明：代入 $g^{ij}=x_i({\delta }_{ij}-x_j)$ 并化简即可。□

定理 6（自由的可操作下界）

陈述：若通道非退化且存在屏障分离与非平衡供给，则 $$I(M^n\to Y^n)\ge c_1>0,{\mathcal{E}}_k\ge c_2>0$$ （某 $c_1,c_2$），并受 $⟨W⟩\ge \Delta F-k_{\mathrm{B}}T⟨I⟩$ 约束。

证明：非退化与分离保证最小可分辨效应 $c_1$（Massey 有向信息）；通道容量下界给 $c_2$（empowerment 容量解释）；热力学不等式由反馈 Jarzynski 与 Jensen 推出（Sagawa–Ueda）。□

7 讨论：价值—意义—自由的同位刻度与范畴互构

价值的多目标最优、意义的 I-投影距离、自由的介入能力三者皆以窗化读数实现，依母尺在能量—信息—时延上同位；在范畴层面，以对象 $(\mathcal{H},S,{\mu }_{\phi },{\mathsf{K}}_{w,h})$ 和态射保持窗化读数组成 $\mathbf{WSIG}$；与因果流形范畴 $\mathbf{Cau}$ 的互构保证从读数—因果—变分到伦理—意义—自由的可转译性与可重构性。Benamou–Brenier 视角下的最优传输将 Wasserstein 路径解释为“压强为零的势流“极小作用路径，从而使伦理路径规划与最小耗散控制在同一几何内闭合。Zeckendorf 可逆日志保证跨窗记账与伦理审计的可追溯性。

8 结论

本文在统一的测量—刻度与几何—热力学语法下给出：

(1) 伦理最优在一致性风险与权利约束下的存在—对偶与帕累托几何；

(2) 存在意义作为到生存能力子流形的 KL 距离，并以曲率与第二基本形式刻画语义协同/歧义；

(3) 自由意志的可操作物理基础，以有向信息与 empowerment 为下界并受反馈热力学约束；

(4) 全部构件与“GLS—因果流形—EBOC—RCA—Hilbert—Zeckendorf“在读数、因果与变分链路上无缝拼接，并给出一阶可检协议与最小耗散设计准则。

参考文献（节选）

1. Amari S. Natural gradient methods; Information Geometry foundations.

2. Benamou J-D., Brenier Y. A computational fluid mechanics solution to the Monge–Kantorovich mass transfer problem.

3. Harper M. Escort evolutionary game theory；Shahshahani 度量与复制子动力学。

4. Jordan R., Kinderlehrer D., Otto F. The variational formulation of the Fokker–Planck equation（JKO 迭代）。

5. Klyubin A. S., Polani D., Nehaniv C. L. Empowerment: A universal agent-centric measure of control.

6. Massey J. L. Causality, feedback and directed information.

7. Sagawa T., Ueda M. Generalized Jarzynski equality under nonequilibrium feedback control.

8. Sivak D. A., Crooks G. E. Thermodynamic metrics, optimal paths, and minimum-dissipation control。

9. Friston K. 等，自由能原理与马尔可夫毯。

附录 A 伦理最优的存在—对偶与帕累托几何

A.1 存在性 设策略集 $\Pi$ 在熵正则化与可测性下弱*紧；$\mathcal{J}$ 上半连续；$\rho (L(\pi ))\le \eta$ 与 ${\mathbb{E}}_{\pi }{c}_j\le b_j$ 定义的可行域闭。于是 ${\sup }_{\pi \in \Pi }\mathcal{J}(\pi )$ 取到。

A.2 对偶与 KKT 一致性风险度量存在支持函数表示：$\rho (Z)={\sup }_{q\in \mathcal{Q}}{\mathbb{E}}_q[-Z]$。拉格朗日 $$\mathcal{L}(\pi ,\mu ,\lambda )=\mathcal{J}(\pi )-\mu (\rho (L(\pi ))-\eta )-\sum _j{\lambda }_j({\mathbb{E}}_{\pi }{c}_j-b_j)$$ 的对偶问题在 Slater 条件下与原问题无间隙，KKT 条件必要充分。

A.3 帕累托法锥条件 令 $\mathcal{C}$ 为约束集，$\mathcal{K}({\pi }^{\star })$ 为切锥，${\mathcal{N}}_{\mathcal{C}}({\pi }^{\star })$ 为法锥。则 ${\pi }^{\star }$ 帕累托最优当且仅当存在 $\lambda \in {\Delta }^{k-1}$ 使 ${\sum }_i{\lambda }_i\nabla F_i({\pi }^{\star })\in -{\mathcal{N}}_{\mathcal{C}}({\pi }^{\star })$。

附录 B I-投影的存在唯一与 Pythagoras

${\mathcal{M}}_{\ge v_0}$ 为 $V$ 的超水平集，若 $V$ 准凹上半连续则闭凸。对任意 $p$，函数 $q\mapsto D_{\mathrm{KL}}(q\Vert p)$ 在第一自变量严格凸并下半连续，故最小元唯一存在；以最优性条件与 Bregman 几何得 Pythagoras 分解。

附录 C 自然梯度与复制子

在 ${\Delta }^{n-1}$ 上取 Shahshahani 度量 $g_{ij}={\delta }_{ij}/x_i$。若 $f_i={\partial }_{x_i}V$，则 $$({\mathrm{grad}}_{g}V{)}_i=\sum _j{g}^{ij}{\partial }_{x_j}V=x_i(f_i-\bar{f}),$$ 与复制子方程一致（Shahshahani；Harper）。

附录 D 热力学长度、测地最优与速度极限

线性响应下额外耗散功 $$⟨W_{\mathrm{ex}}⟩={\int }_0^{\tau }{\dot{\lambda }}^{\top }\zeta (\lambda )\dot{\lambda }dt.$$ 定义长度 $\mathcal{L}={\int }_0^{\tau }\sqrt{{\dot{\lambda }}^{\top }\zeta \dot{\lambda }}dt$。由 Cauchy–Schwarz 得 $$⟨W_{\mathrm{ex}}⟩\ge \frac{{\mathcal{L}}^2}{\tau },$$ 等号当且仅当 $\sqrt{\zeta }\dot{\lambda }$ 常模，即沿测地恒速；最优路径与最小耗散由热力学度量刻画（Sivak–Crooks）。

附录 E 可操作自由下界与热力学一致性

E.1 有向信息下界 非退化 $P(Y\mid A,\cdot )$ 与屏障分离给出 $I(M^n\to Y^n)>0$（Massey 有向信息）。

E.2 通道容量下界 非退化性蕴含 ${\mathcal{E}}_k>0$（empowerment＝动作—传感容量）。

E.3 反馈第二定律 $$⟨e^{-\beta W+\beta \Delta F-I}⟩=1\Rightarrow ⟨W⟩\ge \Delta F-k_{\mathrm{B}}T⟨I⟩$$ （Sagawa–Ueda）。因此任意可操作自由必支付能量成本。

附录 F Wasserstein 变分与连续化桥接

JKO 迭代给出 Fokker–Planck 的离散-时间最陡下降；Benamou–Brenier 连续化将 $W_2$ 距离表为压强为零的势流极小作用： $$W_2^2({\mu }_0,{\mu }_1)=\underset{\rho ,v}{\inf }\{{\int }_0^1\int \rho |v{|}^{2}dxdt:{\partial }_t\rho +\nabla \cdot (\rho v)=0\},$$ 最优性条件 $v=\nabla \varphi ,{\partial }_t\varphi +\frac{1}{2}|\nabla \varphi {|}^2=0$（Hamilton–Jacobi）将伦理路径与最小耗散控制的几何化统一于一式之中。