生命—意识几何化：开放系统几何热力学与信息几何的统一

Version: 1.6

MSC：80A17；82C05；53D10；62B10；92C42；68Q85 关键词：开放系统；接触几何；信息几何；Wasserstein 流；自然梯度；热力学长度；热力学不确定性关系；速度极限；马尔可夫毯；Jarzynski–Sagawa–Ueda；Landauer 界；自指测量；复制子动力学

摘要

建立以开放系统几何热力学与信息几何为核心的统一框架：将生命刻画为由持续负熵通量支撑的几何结构，将意识刻画为具有马尔可夫毯分解的自指测量—控制过程，将进化刻画为在 Fisher/Shahshahani 与 Wasserstein 度量上受能量—信息预算制约的最小耗散路径。框架以接触几何刻画非平衡开放系统的势—流与熵产生，以信息几何的 I/m-投影与自然梯度统一推断与学习，以 JKO 变分方案将 Fokker–Planck 动力学表述为自由能的最速下降流；在随机热力学层面，以 Jarzynski 等式及其含互信息的广义形式、热力学不确定性关系与速度极限给出功—精度—时间的普适下界。引入窗化读数与母刻度，将能量—信息—延迟的计量同位化，并提出开放系统有效群延迟与 Toeplitz/Berezin 压缩的操作化读数。给出生命、意识、进化的可检判据与若干主定理，并在附录中给出证明链条。

0 记号、对象与公理

0.1 窗化读数与母刻度

• 逆温记号：$\beta :=(k_{\mathrm{B}}T{)}^{-1}$。文中功—信息等式与连续监测鞅 ${\Gamma }_t=\exp [-\beta W_t+\beta \Delta F_t-I_t]$（§5）、$⟨e^{-\beta W+\beta \Delta F-I}⟩=1$（附录 E）皆以此为统一热参量约定。

• 能谱窗核与时间窗分别记为 $w(E)$、$h(t)$；窗化读数记为线性泛函 $⟨f{⟩}_{w,h}=\int W(E)f(E)d\mu (E)$，其中 $W$ 由 $w,h$ 卷合诱导的权。

• 以散射—谱移母刻度同一式作为全局刻度（母尺）：令散射矩阵 $\mathsf{S}(E)$ 的总散射相位 $\phi (E):=\arg \det \mathsf{S}(E)$（等价于谱移函数 $\xi (E)=\phi (E)/(2\pi )$），并定义 Wigner–Smith 群延迟矩阵 $\mathsf{Q}(E):=-i{\mathsf{S}}^{†}(E){\partial }_E\mathsf{S}(E)$。则

  $$\boxed{\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{2\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)}.$$

  上式在本文中用作能量—信息—延迟的共同刻度（在开放系统推广处用 ${\mathsf{Q}}_{\mathrm{eff}}$ 代替）。

0.2 接触几何—开放系统

• 接触流形 $(\mathcal{C},\alpha )$ 取 Darboux 坐标 $(x^i,y_i,z)$ 满足 $\alpha =dz-y_{i}d{x}^i$。接触哈密顿量 $H$ 确定向量场 $X_H$ 由 ${\iota }_{X_H}\alpha =-H$、${\iota }_{X_H}d\alpha =dH-(\mathcal{R}H)\alpha$ 给出，其中 $\mathcal{R}$ 为 Reeb 向量场，满足 $\alpha (\mathcal{R})=1$、${\iota }_{\mathcal{R}}d\alpha =0$；以此统一势—力—流与熵产生的几何描述，用于非平衡开放系统的端口耦合。

0.3 信息几何—自然梯度

• 概率流形 $\mathcal{P}=\{p_{\theta }\}$ 装备 Fisher–Rao 度量 $g_{ij}(\theta )={\mathbb{E}}_{\theta }[{\partial }_i\log p_{\theta }{\partial }_j\log p_{\theta }]$。自然梯度记为 $\tilde{\nabla }f=g^{-1}\nabla f$。I（information）/e（exponential）-投影最小化 $D_{\mathrm{KL}}(p\Vert q)$，m（mixture/M）-投影最小化 $D_{\mathrm{KL}}(q\Vert p)$。

0.4 Wasserstein–JKO 与梯度流

• $W_2$–Wasserstein 空间上，自由能泛函 $\mathcal{F}[p]=\int p\log p+\int Vp$ 的最速下降流对应 Fokker–Planck 方程；离散化由 JKO 方案 $p_{k+1}=\arg {\min }_p\{\mathcal{F}[p]+\frac{1}{2h}{W}_2^2(p,p_k)\}$ 给出。

0.5 观测—计算与误差纪律

• 读数算子采用 Toeplitz/Berezin 压缩 ${\mathsf{K}}_{w,h}={\Pi }_w{M}_W{\Pi }_w$，保证正定与半经典一致。
• 误差预算遵循“Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（NPE）“有限阶纪律：${\epsilon }_{\mathrm{tot}}={\epsilon }_{\mathrm{alias}}+{\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}}$，并以尾项熵通量 ${\mathcal{T}}_R$ 设停机判据（见附录 F）。

0.6 马尔可夫毯与自指测量

• 将系统变量划分为内部 $s_{\mathrm{int}}$、外部 $s_{\mathrm{ext}}$、感受野 $o$、动作 $a$，满足条件独立与遮蔽性质；自指测量—控制以变分自由能 $\mathcal{F}={\mathbb{E}}_{q_{\varphi }}[\log q_{\varphi }(s\mid o)-\log p_{\theta }(s,o)]$ 为势函数。

1 开放系统的几何热力学结构

接触几何为热力学状态空间提供天然的 $(2n+1)$ 维结构，热力学第一/第二定律对应接触变换下的不变量与散度项；开放系统可通过端口（供—耗）与环境耦合，形成稳态通量网络并在非平衡下维持有序结构。该几何化方案与“端口-Hamilton/Dirac 结构“一致，并已系统用于非平衡热力学与工程系统建模。上述观点与形式在现有文献中得到系统阐述与统一综述。(MDPI)

随机热力学将功、热与熵产生提升到单轨道层级，给出普适的涨落定理与等式（Jarzynski 等式）；在含测量—反馈的开放系统中，互信息修正项刻画“信息即资源“的可提取功，对应的广义等式给出功—信息预算闭合。(Terpconnect)

2 信息几何与自由能梯度流

在统计流形上，Fisher–Rao 度量诱导的自然梯度为推断与学习提供最速下降方向；其与变分贝叶斯的 ELBO 最小化一致。另一方面，Fokker–Planck 动力学可视作 $W_2$ 空间上自由能的最速下降流（JKO 方案），从而把“扩散—势景“与“最优传输—下降“合一。两者共同给出“从数据到动力学“的几何桥。(Vielbein)

在有限时间驱动下，线性响应近似中可定义摩擦张量与热力学度量，耗散功的下界由热力学长度刻画，最小耗散协议为该度量上的测地。该结果在分子尺度驱动与信息加工中具有直接可检性。(物理评论链接管理器)

3 概念刻画

定义 1（生命 = 负熵几何结构）：设开放系统由接触系统 $(\mathcal{C},\alpha ,H)$ 与概率流形 $\mathcal{P}$ 耦合。系统熵满足 ${\dot{S}}_{\mathrm{sys}}={\dot{S}}_{\mathrm{e}}+{\dot{S}}_{\mathrm{i}}$、${\dot{S}}_{\mathrm{i}}\ge 0$。若存在持久的负熵通量 $J_N:=-{\dot{S}}_{\mathrm{e}}>0$ 使 ${\sup }_t{S}_{\mathrm{sys}}(t)<\infty$，并且接触流在给定端口约束下是输入—状态稳定与可达，则称处于生命态。该生命态由负熵通量支撑的几何结构维持。

定义 2（意识 = 自指测量过程）：设生成模型 $p_{\theta }(s,o)$、识别密度 $q_{\varphi }(s\mid o)$ 在马尔可夫毯 $(s_{\mathrm{int}},s_{\mathrm{ext}};o,a)$ 的遮蔽条件下演化，其更新由 m-投影（最小化 $D_{\mathrm{KL}}(q_{\varphi }\Vert p_{\theta })$）/自然梯度 实现对 $\mathcal{F}(\varphi ,\theta )$ 的下降；测量—反馈引入互信息 $I$，功—自由能差满足 $⟨W⟩\ge \Delta F-k_{\mathrm{B}}T⟨I⟩$。称该最小化—控制闭环为意识的抽象。(Nature)

定义 3（进化 = 几何优化路径）：在策略单纯形 ${\Delta }^{n-1}$ 上，若存在势函数 $V(\mathbf{x})$ 使 $f_i={\partial }_{x_i}V$（潜在博弈/可积），则复制子动力学 ${\dot{x}}_i=x_i(f_i-\bar{f})$ 是 Shahshahani/Fisher 度量的梯度流；进化轨道是给定预算与环境约束下，Fisher 或 Wasserstein 度量上最小化热力学长度与熵产生的曲线。(arXiv)

4 主定理与可检判据

定理 A（生命的负熵—稳态判据）

陈述：开放接触—随机耦合系统存在生命态当且仅当满足： (i) ${\dot{S}}_{\mathrm{i}}\ge 0$；(ii) 存在 $J_N>0$ 使 ${\mathrm{limsup}}_{t\to \infty }{S}_{\mathrm{sys}}(t)<\infty$；(iii) 端口约束下接触流对小扰动输入—状态稳定（ISS）且可达。

证明概述：从控制体熵平衡式与 ${\dot{S}}_{\mathrm{i}}\ge 0$ 出发，${\int }_0^T({\dot{S}}_{\mathrm{i}}-J_N)dt$ 有界推出 $S_{\mathrm{sys}}$ 有界；接触系统的守恒—产生分解与端口能量守恒给出稳态通量网络；ISS 与可达确保稳态在小扰动下维持。详见附录 A。

定理 B（意识的功—信息下界与自然梯度闭合）

陈述：在马尔可夫毯成立的自指测量—反馈过程中，平均功满足 $⟨W⟩\ge \Delta F-k_{\mathrm{B}}T⟨I⟩$。当识别/参数的更新取 Fisher 自然梯度（步长受几何约束）时，$\mathcal{F}$ 的下降率在局部最优，并与能量代价通过 Landauer 界、热力学度量共同约束。

证明概述：由含互信息的广义 Jarzynski 等式经 Jensen 不等式得功—信息下界；自然梯度是 Fisher 度量下最速下降方向，结合 Landauer 最小散热与有限时间擦除代价得闭合预算。详见附录 B、E。(物理评论链接管理器)

定理 C（进化的最小耗散与速度极限）

陈述：控制参数 $\lambda (t)$ 驱动非平衡过程于时长 $\tau$ 内转移时，线性响应下额外耗散功下界为 $⟨W_{\mathrm{ex}}⟩\ge {\mathcal{L}}^2/\tau$，其中热力学长度 $\mathcal{L}={\int }_0^{\tau }\sqrt{{\dot{\lambda }}^{\top }\zeta (\lambda )\dot{\lambda }}dt$，最小耗散协议为测地；马尔可夫过程的转移速度受熵产生与动力活度的速度极限约束。在潜在博弈/可积条件下，复制子动力学为 Shahshahani 度量的梯度流，并与上述“测地—最优协议“一致。

证明概述：由热力学度量构造与 Cauchy–Schwarz 给出 $⟨W_{\mathrm{ex}}⟩$ 下界；速度极限由动力活度—熵产生权衡不等式给出；复制子—自然梯度同构见附录 C。(物理评论链接管理器)

定理 D（热力学不确定性关系的生命—计量界）

陈述：稳态生化/信号网络中，任意可数流的相对方差—均值精度受下界 $\mathrm{Var}(J_t)/⟨J_t{⟩}^2\ge 2/(t\Sigma )$（或等价形式）约束，其中 $\Sigma$ 为熵产生速率；故给定精度 $ϵ$ 至少需要代价 $\gtrsim 2k_{\mathrm{B}}T/{ϵ}^2$。

证明概述：由大型偏差与涨落定理导出 TUR，下界与稳态马尔可夫网络普适，形成“能量—精度“的生命—感知计量极限。详见附录 G。(物理评论链接管理器)

5 窗化读数、有效群延迟与实验协议

开放系统有效群延迟：约定 $A^{♯}:=A^{†}$。当响应/散射函数 $\mathsf{G}(\omega )$ 非酉时，取其极分解 $\mathsf{G}(\omega )=\mathsf{U}(\omega )\mathsf{H}(\omega )$（$\mathsf{U}$ 酉、$\mathsf{H}$ 正定），并以酉因子定义

$$\boxed{{\mathsf{Q}}_{\mathrm{eff}}(\omega ):=-i{\mathsf{U}}^{†}(\omega ){\partial }_{\omega }\mathsf{U}(\omega )}.$$

因而 $(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{\mathrm{eff}}\in \mathbb{R}$，并与 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 同位；配合窗化取迹 $⟨(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{\mathrm{eff}}{⟩}_{w,h}$ 可进行跨尺度标定。 读数算子与误差纪律：以 ${\mathsf{K}}_{w,h}$ 实现窗化算子读数，误差预算由 NPE 有限阶纪律控制；尾项熵通量 ${\mathcal{T}}_R$ 的收敛性给出停机准则（附录 F）。 协议与可检性：（i）连续监测构造鞅 ${\Gamma }_t=\exp [-\beta W_t+\beta \Delta F_t-I_t]$ 检验功—信息等式；（ii）比较行为/神经读数与 $⟨(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{\mathrm{eff}}{⟩}_{w,h}$ 的协变性；（iii）在微系统上以最小耗散测地协议验证热力学长度界。广义等式与度量—测地的实验可行性已在统计物理与生物物理语境中反复论证。(物理评论链接管理器)

6 意识的几何：马尔可夫毯、m-投影与连续测量

意识视为自指测量—控制：内部生成模型与识别密度在马尔可夫毯遮蔽下以 m-投影（逆向 KL）/自然梯度 最小化 $\mathcal{F}$，行动作为策略控制以最小化预期自由能。该过程的物理可达界由 Landauer 最小散热、Jarzynski–Sagawa–Ueda 功—信息不等式与热力学度量共同决定；若观测为连续型，可在 Belavkin 过滤下得到后验态的随机主方程，实现意识—观测的连续时间闭合。(Nature)

7 进化的几何：自然选择与自然梯度的一致性

在潜在博弈（存在 $V$ 使 $f_i={\partial }_{x_i}V$）条件下，复制子动力学是 Shahshahani（亦即 Fisher 在单纯形上的限制）度量的梯度流；因而“适应度上升“与在 Fisher 度量下的最速上升/下降（视势函数定义而定）等价。将变异—选择—迁移写为 Wasserstein 空间上的自由能下降流，可与 JKO 方案统一，并在热力学长度与速度极限的框架下给出“代价—时间—精度“的三重权衡。(arXiv)

8 生命—意识的母刻度同位化

将母刻度 ${\phi }^{\prime }/(2\pi )={\rho }_{\mathrm{rel}}=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 推广到开放系统，以 ${\mathsf{Q}}_{\mathrm{eff}}$ 替换 $\mathsf{Q}$，在代谢—信号—神经—行为多层上以窗化读数实现能量—信息—延迟的同位量纲；与 Toeplitz/Berezin 压缩的算子读数兼容，为跨尺度数据同化与反演提供统一刻度。配合 Zeckendorf 可逆日志对窗化载荷做整数化记账，保证跨窗可复算与一致对接。

附录 A：开放系统熵收支与定理 A 的证明

对控制体 $\Omega$ 与边界 $\partial \Omega$，熵平衡为 $$\frac{d{S}_{\mathrm{sys}}}{dt}={\int }_{\Omega }\sigma (\mathbf{x})d\mathbf{x}-{\int }_{\partial \Omega }\frac{{\mathbf{J}}_q\cdot \mathbf{n}}{T}dA+\sum _k{\int }_{\partial \Omega }\frac{{\mu }_k}{T}{\mathbf{J}}_k\cdot \mathbf{n}dA,$$ 其中 $\sigma \ge 0$。令 ${\dot{S}}_{\mathrm{e}}=-{\int }_{\partial \Omega }({\mathbf{J}}_q/T-{\sum }_k{\mu }_k{\mathbf{J}}_k/T)\cdot \mathbf{n}dA$，则 ${\dot{S}}_{\mathrm{sys}}={\dot{S}}_{\mathrm{e}}+{\dot{S}}_{\mathrm{i}}$、${\dot{S}}_{\mathrm{i}}={\int }_{\Omega }\sigma \ge 0$。若存在 $J_N=-{\dot{S}}_{\mathrm{e}}>0$ 使 ${\int }_0^{\infty }({\dot{S}}_{\mathrm{i}}-J_N)dt$ 有界，则 ${\sup }_t{S}_{\mathrm{sys}}(t)<\infty$。接触系统写作 $X_H=X_{\mathrm{cons}}+X_{\mathrm{prod}}$，其中 $X_{\mathrm{prod}}$ 的散度等于 $\sigma$；端口功率平衡与 ISS 给出稳态可达性，故生命态与三条件互为充要。参考接触热力学与耗散结构之稳定性的一般论证。(MDPI)

附录 B：m-投影、自然梯度与 ELBO 单调性

在指数族近似与光滑约束下，ELBO 的欧氏梯度经 Fisher 预条件化得到自然梯度步 $\Delta \theta =-\eta g^{-1}{\nabla }_{\theta }\mathcal{F}$。由于 $g$ 正定，取足够小的 $\eta$ 可保证 $\mathcal{F}$ 在每步下降且下降率在局部意义下最优；这等价于统计流形上的最速下降。信息几何的标准结果保证 I/m-投影的正交分解与唯一性（在适当凸性假设下）。(Vielbein)

附录 C：复制子动力学的 Shahshahani 几何证明

在单纯形 ${\Delta }^{n-1}$ 上取 Shahshahani 度量 $g_{ij}={\delta }_{ij}/x_i$。令势函数 $V(\mathbf{x})$ 的欧氏梯度为 $f_i={\partial }_{x_i}V$。在单纯形约束 ${\sum }_i{x}_i=1$ 下，自然梯度需先投影到切空间：

$${\mathrm{grad}}_{g}V={\Pi }_x{g}^{-1}\nabla V,{\Pi }_x:T_x{\mathbb{R}}^n\to T_x{\Delta }^{n-1}.$$

因 $g^{-1}\nabla V=(x_i{f}_i{)}_i$，故

$$({\mathrm{grad}}_{g}V{)}_i=x_i{f}_i-x_i\sum _j{x}_j{f}_j=x_i(f_i-\bar{f}),\bar{f}=\sum _j{x}_j{f}_j,$$

从而得到复制子方程 ${\dot{x}}_i=x_i(f_i-\bar{f})$。该结果等价于“复制子 = Fisher 自然梯度“，已在信息几何—演化博弈文献中系统阐述。(arXiv)

附录 D：热力学长度与最小耗散协议

线性响应下，额外耗散功 $⟨W_{\mathrm{ex}}⟩={\int }_0^{\tau }{\dot{\lambda }}^{\top }\zeta (\lambda )\dot{\lambda }dt$。设 $\mathcal{L}={\int }_0^{\tau }\sqrt{{\dot{\lambda }}^{\top }\zeta (\lambda )\dot{\lambda }}dt$，由 Cauchy–Schwarz 不等式得 $⟨W_{\mathrm{ex}}⟩\ge {\mathcal{L}}^2/\tau$。等号当且仅当 $\sqrt{\zeta }\dot{\lambda }$ 为常模，即 $\lambda$ 沿测地恒速推进。该定理与“热力学度量—最优协议“完全一致。(物理评论链接管理器)

附录 E：功—信息不等式与 Landauer 界

带反馈的广义 Jarzynski 等式为 $⟨e^{-\beta W+\beta \Delta F-I}⟩=1$。由 Jensen 不等式得 $⟨W⟩\ge \Delta F-k_{\mathrm{B}}T⟨I⟩$。对逻辑不可逆过程，最小散热满足 Landauer 界 $\Delta Q\ge k_{\mathrm{B}}T\ln 2$；有限时间擦除的最小功—散热由具体实现与协议决定，但存在严格的速率—代价权衡。(物理评论链接管理器)

附录 F：NPE 有限阶误差与停机判据

令窗化尾项熵通量 ${\mathcal{T}}_R={\int }_{\mathbb{R}\setminus [-R,R]}W(E)|{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)|dE$。若 ${\int }_{R_0}^{\infty }{\mathcal{T}}_{R}dR/R<\infty$ 且 ${\lim }_{R\to \infty }{\mathcal{T}}_R=0$，则在给定容差 $ϵ$ 下存在 $R_{ϵ}$ 使 ${\mathcal{T}}_{R_{ϵ}}<ϵ$。别名与 EM 余项分别由 Nyquist 条件与有限阶公式给出上界；综合得停机门槛与实验/仿真采样率选择准则。

附录 G：热力学不确定性关系与速度极限

稳态马尔可夫网络的 TUR 给出 $\mathrm{Var}(J_t)/⟨J_t{⟩}^2\ge 2/(t\Sigma )$ 的级数下界，或等价的 ${ϵ}^{-2}$-型能量—精度成本；速度极限则给出任意给定熵产生下的最短转移时间下界，动力活度为关键尺度。二者共同构成生命—感知—行动的“精度—代价—时间“几何界。(物理评论链接管理器)

参考文献（选）

Seifert, U. Stochastic thermodynamics, fluctuation theorems and molecular machines. Rep. Prog. Phys. 75, 126001 (2012). (Terpconnect) Sagawa, T.; Ueda, M. Generalized Jarzynski Equality under Nonequilibrium Feedback Control. Phys. Rev. Lett. 104, 090602 (2010). (物理评论链接管理器) Sivak, D.A.; Crooks, G.E. Thermodynamic Metrics and Optimal Paths. Phys. Rev. Lett. 108, 190602 (2012). (物理评论链接管理器) Jordan, R.; Kinderlehrer, D.; Otto, F. The variational formulation of the Fokker–Planck equation. SIAM J. Math. Anal. 29, 1–17 (1998). (SIAM E-Books) Barato, A.C.; Seifert, U. Thermodynamic Uncertainty Relation for Biomolecular Processes. Phys. Rev. Lett. 114, 158101 (2015). (物理评论链接管理器) Shiraishi, N.; Funo, K.; Saito, K. Speed Limit for Classical Stochastic Processes. Phys. Rev. Lett. 121, 070601 (2018). (物理评论链接管理器) Bravetti, A. Contact Hamiltonian Dynamics: The Concept and Its Use. Entropy 19, 535 (2017)；Contact geometry and thermodynamics. IJGMMP 16 (2019). (MDPI) van der Schaft, A.; Maschke, B. Geometry of Thermodynamic Processes. Entropy 20, 925 (2018). (PMC) Amari, S.; Nagaoka, H. Methods of Information Geometry. AMS (2000)；Amari, S. Natural gradient works efficiently in learning. Neural Computation 10, 251–276 (1998). (Vielbein) Friston, K. The free-energy principle: a unified brain theory? Nat. Rev. Neurosci. 11, 127–138 (2010)；Parr, T.; Pezzulo, G.; Friston, K. Active Inference. MIT Press (2022). (Nature) Landauer, R. Irreversibility and Heat Generation in the Computing Process. IBM J. Res. Dev. 5, 183–191 (1961)；Giorgini, L.T. Thermodynamic cost of erasing information in finite time. Phys. Rev. Research 5, 023084 (2023). (worrydream.com) Harper, M. Information Geometry and Evolutionary Game Theory. arXiv:0911.1383 (2009). (arXiv)