GLS—因果流形—滤镜链统一框架

——窗化群延迟、红移与光速的公理化理论、互构纲要与非渐近误差闭合(完整版)

Version: 3.31 (Unified, errata-fixed)

摘要

在“宇宙 = 广义光结构(Generalized Light Structure, GLS)““观察者 = 滤镜链(windowed compression → CP 通道 → POVM → 阈值计数)”“因果 = 类光锥偏序“的统一语境中,建立以 $$\boxed{\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),\mathsf{Q}(E)=-iS(E{)}^{†}\frac{dS}{dE}(E)}$$ 为母刻度(相位导数—相对态密度—Wigner–Smith 群延迟迹)的公理化理论。核心结果:(i)以窗化群延迟读数提供时间的操作化刻度,并证明其串并联可加、规范协变/相对不变(当 $U,V$ 与能量无关，或更一般地 ${\partial }_E(\arg \det U+\arg \det V)=0$ 时保持不变);在真空链路并满足 Nyquist 纪律时,其高频/无别名极限可用于与前沿速度标定 $c$ 一致对齐;(ii)以谱缩放刻画红移并证明与时间的互易标度律;(iii)以真空前沿规范光速 $c$,给出任意物理通道的前沿下界与无超锥传播;(iv)提出“GLS ↔ 因果流形“的互构纲要,给出构造骨架与一致性条件,严格证明及自然性验证另文呈现;(v)在同一账本中统一波/粒二象性与双缝的窗化互补不等式 $D^2+V^2\le 1$;(vi)阐明谱分辨率提升（带宽收窄）与红移放大互为对偶；相对地,时间/像面分辨率提升（${\sigma }_T$ 下降）与蓝移（带宽增大）互为对偶,并与 §3.4 的 ${\sigma }_T\gtrsim C_{w,h}/B$ 一致,给出 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin(NPE)有限阶误差闭合与工程化处方;(vii)给出高频平台桥接,在§4前提下证明任意固定形状归一窗族的蓝移极限：单通道 ${\lim }_{E_0\to \infty }{T}_{\gamma }=t_{\ast }$，多通道 ${\lim }_{E_0\to \infty }{T}_{\mathcal{C}}=N_{\mathrm{eff}}{t}_{\ast }$ 与每模平均 ${\lim }_{E_0\to \infty }{\overline{T}}_{\mathcal{C}}=t_{\ast }$，把因果前沿 $t_{\ast }$ 作为 $T_{\gamma }$ 与 ${\overline{T}}_{\mathcal{C}}$ 的可操作极限刻度。理论全程采用算子—测度—函数语言(Toeplitz/Berezin 压缩 $K_{w,h}$,读数 = 对谱测度的线性泛函),在全局幺正公设下将一切时间/密度读数统一由 $\mathsf{Q}=-i{S}^{†}{S}^{\prime }$ 定义,实验性非幺正均通过幺正扩张 $\hat{S}$ 回推母刻度。

Notation & Axioms / Conventions

单位与常数规范

默认采用 $\hslash =1$(必要时亦可取 $c=1$)。若恢复 SI 单位,所有由 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 导出的时间读数需乘以 $\hslash$,即 $T_{\mathrm{phys}}=\hslash T$;相应地,若 $c$ 未取为 1,则需按 $L/c$ 恢复光程量纲。

记号：取 $\hslash =1$，识别 $E\equiv \omega$（能量与角频率）；全稿二者混用仅为排版需要。

术语对齐:本文中“时间“如无特别说明,指因果时间 $t_{\ast }$;$T_{\gamma }[w_R,h]$ 称为窗化群延迟读数或操作化时间刻度。

时间三分原则

原理(双时间分离) 偏序与光速规范仅由因果前沿 $t_{\ast }$ 决定,且 $t_{\ast }(\gamma )\ge L_g/c$;窗化群延迟读数 $T_{\gamma }[w_R,h]$(定义见定义 3.1)仅为操作化刻度,与 $t_{\ast }$ 无普适大小比较(允许 $T_{\gamma }<0$)。据此,本节三分 $\{t_{\ast },T_{\gamma },T_{\gamma \mid a}\}$ 确立“因果—读数“的位阶。

为杜绝“读数即本体“的偷换,统一规定:

(1) 因果时间 $t_{\ast }$:由链 $\gamma$ 的输出冲激响应最早非零到达定义 $t_{\ast }(\gamma )=\inf \{t:g_{\gamma }(t;L_{\gamma })\ne 0\}$,仅用于建立可达预序与类光锥;参见 §2 与 §4 的前沿下界。

(2) 窗化时间 $T_{\gamma }[w_R,h]$:相位导数的带内线性读数,用作时间刻度的操作化量,不参与偏序定义;在窄带/共振下可取负,与 $t_{\ast }$ 无普适大小比较。

(3) 条件化时间族 $\{T_{\gamma \mid a}\}$:对闲置/中继端施加完备仪式 $\{{\mathcal{I}}_a\}$ 后得到的条件读数族,其无条件母刻度满足凸平均恒等式 $$\sum _a{p}_a{T}_{\gamma \mid a}[w_R,h]=T_{\gamma }[w_R,h],p_a:=\mathrm{Tr}[(\mathrm{Id}\otimes {\mathcal{I}}_a)(\rho )],$$ 体现“条件样本重排 ≠ 时间本体叠加“。(命题与证明见 §5)

GR 协变声明(事件—世界线—固有时)

在曲时空 $(\mathcal{M},g)$ 上,事件指 $p\in \mathcal{M}$;观测者为单位类时向量场 $u^{\mu }$ 的积分曲线(世界线) $\gamma$。采用签名 $(-+++)$。类时曲线的固有时满足 $c^{2}d{\tau }^2=-g_{\mu \nu }(x)d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }$;类光前沿由 $d{s}^2=0$ 给出。本文 §4–§7 中的几何前沿基准 $L$ 在曲时空上统一解释为由 $g$ 的类光锥诱导的光锥距离 $L_g$;由此前沿判据一律表述为 $$t_{\ast }(\gamma )\ge \frac{L_g}{c}.$$ 红线重申:$t_{\ast }$ 与由其诱导的偏序决定因果;窗化群延迟读数 $T_{\gamma }[w_R,h]$ 仅是可测刻度,不参与偏序定义。

公理 I（刻度同一｜全局幺正公设）

公设（全局幺正）：宇宙视作封闭系统;存在以能量 $E$ 为坐标的绝对连续谱区间,在本工作带内散射矩阵 $S(E)\in C^1\cap \mathsf{U}(N)$ 幺正。由 Birman–Kreĭn 公式 $$\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)},\mathsf{Q}(E)=-i{S}^{†}(E)S^{\prime }(E),$$ 推出 $${\rho }_{\mathrm{rel}}(E):=-{\xi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E).$$ 我们据此定义相位测度 ${\mu }_{\phi }$:令 $$d{\mu }_{\phi }^{\mathrm{ac}}(E):={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE,$$ 等价写作 $$\boxed{\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-{\xi }^{\prime }(E)}.$$

关于相位 $\phi$ 的规范化：

令 $\mathrm{Log}\det S(E)$ 为沿带内选定的连续分支（可在参考频点 $E_{\star }$ 规定 $\arg \det S(E_{\star })\in (-\pi ,\pi ]$）。定义 $$\phi (E):=\frac{1}{2i}\mathrm{Log}\det S(E)\Rightarrow \frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-{\xi }^{\prime }(E).$$ 本文仅使用 ${\phi }^{\prime }(E)$，与常数相位无关。在单通道 $S(E)=e^{2i\delta (E)}$ 下退化为 $\phi =\delta$，从而 $$\boxed{\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }=\frac{{\delta }^{\prime }(E)}{\pi }=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)}.$$

处方：任何实验性损耗/增益均视作对环境自由度的迹出;理论分析统一通过幺正扩张 $\hat{S}(E)$ 处理,并以 $\mathsf{Q}(\hat{S})=-i{\hat{S}}^{†}{\hat{S}}^{\prime }$ 评估全部时间/密度读数。本文不引入 $\tilde{\mathsf{Q}}:=-i{S}^{-1}{S}^{\prime }$。

公理 II(有限阶 EM 与极点 = 主尺度)

一切离散—连续换算与窗化读数遵循 NPE 三分解 $${\epsilon }_{\mathrm{total}}={\epsilon }_{\mathrm{alias}}+{\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}},$$ 若 $h,w$ 严格带限,其频域支撑满足 $\mathrm{supp}\hat{h}\subset [-{\Omega }_h,{\Omega }_h]$、$\mathrm{supp}\hat{w}\subset [-{\Omega }_w,{\Omega }_w]$。当采用窗族 $w_R(E)=w((E-E_0)/R)$ 时,$\mathrm{supp}\widehat{w_R}\subset [-{\Omega }_w/R,{\Omega }_w/R]$。因此若采样间隔 $$\Delta \le \frac{\pi }{{\Omega }_h+{\Omega }_w/R},$$ 则 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$(Nyquist–Shannon);近似带限/有效带宽场景下,${\epsilon }_{\mathrm{alias}}$ 保留为可估上界的残差项。${\epsilon }_{\mathrm{EM}}$ 由有限阶 Euler–Maclaurin(端点伯努利层与显式余项)控制;${\epsilon }_{\mathrm{tail}}$ 由窗外衰减控制。奇性不增,极点决定主尺度。(维基百科)

记号约定

约定 $(h\star f)(E):=(h\ast f)(E)$,其中 $\check{h}(E):=h(-E)$,星号表示对能量变量的卷积。窗族取 $w_R(E)=w((E-E_0)/R)$,默认 $w$ 为偶函数且属于 $L^1\cap C^M$ 以支撑所用 Euler–Maclaurin 阶数;核 $h$ 亦取 $h\in L^1\cap C^M$,具体归一方式在上下文另行说明。

EM可用域（补充）：为使有限阶EM误差上界严格成立，我们在使用 $2M$ 阶公式时附加假设 $f=w_R\cdot (h\star {\rho }_{\mathrm{rel}})\in W^{2M,1}(\mathbb{R})$。一个充分条件是 $w,h\in W^{2M,1}$ 且 ${\rho }_{\mathrm{rel}}\in L_{\mathrm{loc}}^{\infty }$。由此附录B的各项界均可直接应用。

傅里叶规范: $\hat{f}(\omega ):={\int }_{\mathbb{R}}f(E)e^{-i\omega E}dE$, $f(E)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}(\omega )e^{i\omega E}d\omega$。在此规范下,Nyquist 条件 $\Delta \le \pi /({\Omega }_h+{\Omega }_w/R)$ 与附录 B 的 Poisson 公式中 $2\pi$ 因子与相位约定一致。

面积规范：本文选择窗—核归一化使 $$\boxed{{\int }_{\mathbb{R}}(w_R\ast \check{h})(E)dE=2\pi }.$$ 该规范确保当 $(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 在带内近常数时，$T_{\gamma }$ 的数值等同于该常数。特别地,对单通道纯延迟 $S(E)=e^{iE\tau }$ 或 $S(E)=e^{2i\delta (E)}$,在此归一化下直接给出 $T_{\gamma }=\tau$ 或 $T_{\gamma }=L/c$,无需依赖窗—核的具体细节。

BK可微版本的适用域（补充）

在工作带内，假设散射体系满足使谱移函数 $\xi (E)$ 绝对连续的充分条件（例如：波算子完备，或 $(H-H_0)$ 属于trace-class型扰动的经典情形），从而 ${\xi }^{\prime }\in L_{\mathrm{loc}}^1$，且 $$\frac{d}{dE}\arg \det S(E)=-2\pi {\xi }^{\prime }(E)\text{a.e.}$$ 据此与 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}=-i\frac{d}{dE}\log \det S$ 可几乎处处对齐，得到 $(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}=-{\xi }^{\prime }$。

$S(E)\in \mathsf{U}(N)$:多通道散射矩阵,$\mathsf{Q}=-i{S}^{†}{S}^{\prime }$。 ${\rho }_{\mathrm{rel}}=-{\xi }^{\prime }(E)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$。 窗—核:偶窗 $w_R(E)=w((E-E_0)/R)$,前端核 $h$。 压缩 $K_{w,h}$:Toeplitz/Berezin 型。引理 0.1(刻度同一的迹—谱移关系) 由 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$ 与 $\mathsf{Q}=-i{S}^{†}{S}^{\prime }$ 可得 $\frac{d}{dE}\log \det S(E)=-2\pi i{\xi }^{\prime }(E)$ 和 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-i\frac{d}{dE}\log \det S(E)$,从而 $(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-{\xi }^{\prime }(E)$。(SpringerLink)

号约定： $\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}=-{\xi }^{\prime }(E)=\frac{{\delta }^{\prime }(E)}{\pi }$ $\Rightarrow$ $\boxed{\delta (E)=-\pi \xi (E)+\mathrm{const}}$.

引理 0.2(幺正扩张的存在性/最小维) 若有效散射 $S_{\mathrm{eff}}(E)$ 为收缩算子族（被动，$\Vert S_{\mathrm{eff}}\Vert \le 1$）且随 $E$ 可测/适度光滑，则存在最小维的幺正扩张 $\hat{S}(E)\in \mathsf{U}(N+M)$ 使 $S_{\mathrm{eff}}=P_{\mathcal{C}}\hat{S}{P}_{\mathcal{C}}$；该扩张在幺正等价意义下唯一。此结论基于 Stinespring/Naimark/Sz.-Nagy 扩张理论，本文不展开证明。

正则性补充（可微性前提） 为使 $\hat{\mathsf{Q}}(E)=-i{\hat{S}}^{†}{\hat{S}}^{\prime }(E)$ 良定义并可积，假设存在最小维幺正扩张族 $E\mapsto \hat{S}(E)\in \mathsf{U}(N+M)$ 满足 $\hat{S}\in C^1(\mathbb{R})$（或绝对连续 $W_{\mathrm{loc}}^{1,1}$），且 $\mathrm{tr}\hat{\mathsf{Q}}\in L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R})$。该假设仅将实验上平滑的非幺正效应嵌入保守扩展，不改变物理内容。工程上这由通道频响的带限性与正则性保证。

1. GLS 与滤镜链

1.1 对象层

定义 1.1(GLS) 设 $$\mathfrak{U}=(\mathcal{H},S(E),{\mu }_{\phi },\mathcal{W}),$$ 其中 $d{\mu }_{\phi }^{\mathrm{ac}}=({\phi }^{\prime }/\pi )dE$,$\mathcal{W}$ 为可实施窗—核字典。任意态 $\rho$ 的窗化读数定义为 $$\boxed{\mathrm{Obs}(w_R,h;\rho ):=\mathrm{Tr}(K_{w,h}\rho )={\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)[h\star {\rho }_{\mathrm{state}}](E)dE}.$$ 数值实现(NPE):当采用采样/截断/有限阶 Euler–Maclaurin 进行数值实现时,记被积函数 $$f(E):=w_R(E)[h\star {\rho }_{\mathrm{state}}](E),$$ 在采样点 $E_n=E_0+n\Delta$、截断 $|n|\le N$、EM 阶数 $2M$ 下的实现读数定义为 $${\mathrm{Obs}}_{\mathrm{NPE}}(w_R,h;\rho ):=\Delta \sum _{|n|\le N}f(E_n),$$ 则精确值与实现值之关系为 $$\mathrm{Obs}(w_R,h;\rho )={\mathrm{Obs}}_{\mathrm{NPE}}(w_R,h;\rho )+{\epsilon }_{\mathrm{tail}}+{\epsilon }_{\mathrm{alias}}+{\epsilon }_{\mathrm{EM}},$$ 其中三类误差项的条件与上界见 §3.3 与附录 B;该分解不改变精确积分的定义,仅描述数值近似的偏差账本。

其中 ${\rho }_{\mathrm{state}}(E):=\frac{d{\mu }_{\rho }^{\mathrm{ac}}}{dE}$ 为态 $\rho$ 相对于 Lebesgue 测度 $dE$ 的能谱密度;而 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E):=-{\xi }^{\prime }(E)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$ 属于通道/散射数据。仅当选取参考态 ${\rho }_{\mathrm{ref}}$ 满足 $d{\mu }_{{\rho }_{\mathrm{ref}}}^{\mathrm{ac}}={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE$ 时,才可以在公式中以 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 替换 ${\rho }_{\mathrm{state}}$;其余情形必须显式区分二者。

一般谱分解（度量版） 设 $${\mu }_{\rho }={\mu }_{\rho }^{\mathrm{ac}}+\sum _k{p}_k{\delta }_{E_k}+{\mu }_{\rho }^{\mathrm{sc}}.$$ 对任意可积核 $h$，定义测度卷积 $$(h\ast {\mu }_{\rho })(E):=\int h(E-\xi )d{\mu }_{\rho }(\xi ).$$ 则 $$\boxed{\mathrm{Obs}(w_R,h;\rho )={\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)(h\ast {\mu }_{\rho })(E)dE}$$ 并显式分解为 $$\mathrm{Obs}=\int w_R(E)[h\ast {\mu }_{\rho }^{\mathrm{ac}}](E)dE+\sum _k{p}_k(w_R\ast \check{h})(E_k)+\int w_R(E)[h\ast {\mu }_{\rho }^{\mathrm{sc}}](E)dE.$$ 纯AC情形退化为正文公式；因此“${\rho }_{\mathrm{rel}}\ne {\rho }_{\mathrm{state}}$“的域区分仍是强制的。

注：对任意有限测度 $\mu$ 与 $h\in L^1$，$(h\ast \mu )\in L^{\infty }(\mathbb{R})\cap UC(\mathbb{R})$（有界且一致连续），故第三项按函数积分计算。

两类读数对照表（域与角色强制分栏）

警示：任何情形下 ${\rho }_{\mathrm{rel}}\ne {\rho }_{\mathrm{state}}$（除非显式构造参考态 ${\rho }_{\mathrm{ref}}$ 使 $d{\mu }_{{\rho }_{\mathrm{ref}}}^{\mathrm{ac}}={\rho }_{\mathrm{rel}}dE$）；二者属于不同定义域，不可随意互换。

1.2 操作语法:滤镜链

定义 1.2(滤镜链) 一次观测流程 $$\boxed{\mathcal{O}={\mathcal{M}}_{\mathrm{th}}\circ \{M_i\}\circ \Phi \circ K_{w,h}}$$ 以 $K_{w,h}$ 定位带宽与几何,$\Phi$ 表示耦合/退相干(CP),$\{M_i\}$ 为 POVM 读出基,${\mathcal{M}}_{\mathrm{th}}$ 将通量阈值化为 clicks。Born 概率与最小 KL 投影一致化见 §10。(Google 图书)

2. 因果流形的内生

前提依赖声明：本节预序/偏序的结论均在 §4 的前提 (i)–(iv)（LTI+因果+Hardy、高频真空极限、局域性、被动性）之下理解；§4.2 将给出前沿下界的证明。

2.0 事件与同时(Einstein 同步)

给定观测者世界线 $\gamma$ 与其局域惯性片 $(t,\mathbf{x})$。对任一事件 $q$,令 $\gamma$ 在时刻 $t_{\mathrm{send}}$ 发出光信号并在 $t_{\mathrm{recv}}$ 收到回波,定义 $$t_{\mathrm{sim}}(q):=\frac{1}{2}(t_{\mathrm{send}}+t_{\mathrm{recv}}).$$ 称 $q$ 与 $\gamma$ 上 $t_{\mathrm{sim}}(q)$ 的事件“同时“。该“同时“依赖于观测者的 4-速度 $u^{\mu }$,等价于取过 $u^{\mu }$ 正交的空间样条;它仅服务于切片与坐标选取,不改变 §2.1 的可达预序。在闵氏时空的两惯性系 $S,S^{\prime }$ 间,洛伦兹变换给出相对同时公式 $$\Delta t^{\prime }=\gamma \left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right),\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$ 因而“是否同时“并非时空本体命题,而是观测者依赖的切片选择;因果依旧仅由 $t_{\ast }$ 与类光锥决定。

2.1 上半平面解析性(Hardy) ⇒ 单向支撑与偏序

取上半平面 Cauchy 变换 $$m(z)={\int }_{\mathbb{R}}\frac{d{\mu }_{\phi }(E)}{E-z},$$ 其中 ${\mu }_{\phi }$ 由公理 I 定义。为应用 Paley–Wiener/Titchmarsh 与 Kramers–Kronig,本稿在 §2–§4 假设 ${\mu }_{\phi }$ 绝对连续,且 ${\rho }_{\mathrm{rel}}\in L^2(\mathbb{R})$,于是 $$m(z)={\int }_{\mathbb{R}}\frac{d{\mu }_{\phi }(E)}{E-z}\in H^2({\mathbb{C}}^{+}).$$ 若实验性非幺正引入的奇异贡献不可忽略,统一并入幺正扩张 $\hat{S}$ 的环境自由度而不计入 ${\mu }_{\phi }$ 的奇异部分。

对象配对澄清：本文 §2–§4 假设系统的频域传递子/散射子在上半平面解析并具 Hardy 边值，故由 Paley–Wiener/Titchmarsh 与 Kramers–Kronig 可推出对应的时域冲激响应 $g(t)$ 单向支撑（规范后 $t\ge 0$）及实/虚部的 Hilbert 共轭。$m(z)$ 仅作为由 ${\mu }_{\phi }$ 诱导的 Cauchy 变换，用于相位—密度的 Hilbert 关系记账；单向支撑来自传递子/散射子的 Hardy 性而非 $m(z)$。

约定(曲时空记号统一):自本节起,链的几何长度记为 $L_{\gamma }:=L_g(\gamma )$,其下确界为 $L_{\ast }(x,y)$。偏序判据与 §4.1 的前沿规范一致。

定义 2.1(前沿时间与几何量) 设链集合 $\Gamma (x,y):=\{\gamma :x\to y\}$。若 $\Gamma (x,y)\ne \varnothing$,定义 $$t_{\ast }(\gamma ):=\inf \{t:g_{\gamma }(t;L_{\gamma })\ne 0\},\tau (x,y):=\underset{\gamma \in \Gamma (x,y)}{\inf }{t}_{\ast }(\gamma ),L_{\ast }(x,y):=\underset{\gamma \in \Gamma (x,y)}{\inf }{L}_{\gamma },$$ 其中 $L_{\gamma }:=L_g(\gamma )$ 由背景度规 $g$ 的类光锥诱导。 约定:当 $\Gamma (x,y)=\varnothing$ 时,$\tau (x,y)$ 与 $L_{\ast }(x,y)$ 记为 $+\infty$。

定义 2.1a(可达预序) 定义预序关系 $$\boxed{x⪯y⟺\Gamma (x,y)\ne \varnothing }.$$

定理 4.2 的推论（几何前沿判据等价性） 在 §4 的前提 (i)–(iv)（LTI+Hardy因果、高频真空极限、局域性、被动性）下，定理 4.2 给出对任意链均有 $t_{\ast }(\gamma )\ge L_{\gamma }/c$。因此 $$\Gamma (x,y)\ne \varnothing ⟹\tau (x,y)\ge \frac{L_{\ast }(x,y)}{c}.$$ 从而在该前提下，上述可达预序 $x⪯y$ 与几何前沿判据 “$\Gamma (x,y)\ne \varnothing$ 且 $\tau (x,y)\ge L_{\ast }(x,y)/c$”等价。保留不等式形式以凸显几何前沿基准 $c$；窗化读数 $T_{\gamma }[w_R,h]$ 不参与偏序定义。

约定(恒等链) 对每个 $x$,$\Gamma (x,x)$ 包含恒等链 $e_x$,规定 $L_{e_x}=0$,$g_{e_x}(t;0)=\delta (t)$,故 $t_{\ast }(e_x)=0$。于是 $\tau (x,x)=0=L_{\ast }(x,x)/c$,自反性由定义立即得到。

假设(无闭因果回路):不存在 $x\ne y$ 使得 $x⪯y$ 且 $y⪯x$。定义类光锥边界 $$\partial J^{+}(x):=\{y\in J^{+}(x):\tau (x,y)=L_{\ast }(x,y)/c\},J^{+}(x):=\{y:\Gamma (x,y)\ne \varnothing ,x⪯y\}.$$ 命题 2.2(偏序性,依赖前沿下界) 在前沿下界假设(即对任意链 $\gamma$ 均有 $t_{\ast }(\gamma )\ge L_{\gamma }/c$;该假设由 §4 的前提 (i)–(iv) 可推出,见定理 4.2)与“无闭因果回路“条件下,$⪯$ 为偏序。

证明:自反性来自恒等链 $e_x$;设 $x⪯y$ 与 $y⪯z$,取任意拼接链 $\gamma ={\gamma }_{z\leftarrow y}\circ {\gamma }_{y\leftarrow x}$。由卷积支撑的 Minkowski 和性质,有 $$t_{\ast }(\gamma )\ge t_{\ast }({\gamma }_{z\leftarrow y})+t_{\ast }({\gamma }_{y\leftarrow x})(\text{边界不抵消时取等}),$$ 再由前沿下界得到 $$t_{\ast }(\gamma )\ge \frac{L_{{\gamma }_{z\leftarrow y}}+L_{{\gamma }_{y\leftarrow x}}}{c}\ge \frac{L_{\ast }(x,z)}{c}.$$ 因此对全体链取下确界得 $\tau (x,z)\ge L_{\ast }(x,z)/c$,从而 $x⪯z$;反对称性由“无闭因果回路“给出。□

窗化群延迟读数 $T_{\gamma }[w_R,h]$ 是相位导数的频域加权读数,没有与前沿时间 $t_{\ast }(\gamma )$ 的一般大小比较关系。

2.2 相位奇性 ⇒ 最短到达与因果边界

de Branges 相位的跳变/极点(Hermite–Biehler 零点、散射相移突变)对应到达奇性(驻相/等时集),为光锥边缘提供可检峰值标记。(普渡大学数学系)

3. 操作化时间刻度:窗化群延迟读数

3.1 定义

下述 $T_{\gamma }[w_R,h]$ 为相位导数的带内读数,用作时间刻度的操作化读数,并非前沿时间 $t_{\ast }$。

收敛性前提：本节假设 $(w_R\ast \check{h})\in L^1(\mathbb{R})$、$\mathrm{tr}\mathsf{Q}\in L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R})$，并且 $(w_R\ast \check{h})\cdot \mathrm{tr}\mathsf{Q}\in L^1(\mathbb{R})$，从而 $T_{\gamma }[w_R,h]$ 积分良定义。工程上这由公理II的带限与 $\mathsf{Q}$ 的多项式增长上界保证。

定义 3.1(窗化群延迟读数) 对因果可达的传播—读出链 $\gamma$ 与窗—核 $(w_R,h)$,定义 $$\boxed{T_{\gamma }[w_R,h]:={\int }_{\mathbb{R}}(w_R\ast \check{h})(E)\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{\gamma }(E)dE},\check{h}(E):=h(-E),$$ 并约定 $(h\star f)(E)=(h\ast f)(E)$。等价地, $$T_{\gamma }[w_R,h]={\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)[h\star {\rho }_{\mathrm{rel}}](E)dE.$$ 此量在母刻度上实现“带内时间“的可实现读数。后续关于采样与 NPE 的一切公式均作用于被积函数 $$f(E):=w_R(E)[h\star {\rho }_{\mathrm{rel}}](E),$$ 并以该 $f$ 为误差估计的唯一对象。(chaosbook.org)

前置声明（多通道总时延 vs 几何前沿）：多通道时 $T_{\gamma }$ 计量的是通道求和的总时延（按 $\mathrm{tr}I$ 计量）；如需几何前沿刻度，使用每模平均 ${\overline{T}}_{\mathcal{C}}$（见定义3.2b与命题3.6）。高频平台极限下，$\lim T_{\mathcal{C}}=N_{\mathrm{eff}}{t}_{\ast }$（总时延）而 $\lim {\overline{T}}_{\mathcal{C}}=t_{\ast }$（几何前沿）。

边注A(符号密度与可为负)：$(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 为符号密度（signed measure的密度），窄带/共振可致 $T_{\gamma }<0$；与前沿时间 $t_{\ast }$ 无普适大小比较。防误解强调：“负 $T_{\gamma }$“仅反映带内相位导数加权为负；不与 $t_{\ast }$ 作大小比较，也不用于因果判定（因果仅由 $t_{\ast }$ 与偏序决定）。

边注B(纯延迟校准)：对单通道纯延迟 $S(E)=e^{iE\tau }$ 或 $S(E)=e^{2i\delta (E)}$，在上述面积规范 $\int (w_R\ast \check{h})=2\pi$ 下有 $T_{\gamma }=\tau$ 或 $T_{\gamma }=L/c$。这保证了窗化读数在标准情形下与几何量直接对齐。数值实现建议：以纯延迟基准源做一次一阶校准（把 $\int (w_R\ast \check{h})$ 的估计误差吸收到常数因子中），避免因微小归一化误差导致的绝对时标漂移；建议报告一次“纯延迟基准“的校准因子，并将其不确定度合并进 $T_{\gamma }$ 的系统误差。

公设(不可比较性) 对任意链 $\gamma$ 与任意窗—核 $(w_R,h)$,不存在普适常数 $C_1,C_2$ 使 $C_1{t}_{\ast }(\gamma )\le T_{\gamma }[w_R,h]\le C_2{t}_{\ast }(\gamma )$ 恒成立;反向比较亦不成立。仅在真空链路、Nyquist 纪律满足且冲激沿测地达到的极限情形,二者可在标定层面相合,用于校准母刻度,而非定义偏序。

3.2 串并联可加、规范协变

定理 3.2(可加性,幺正散射) 设在 $w_R$ 的带内 $S_j^{†}(E)S_j(E)=I(j=1,2)$。若 $\gamma ={\gamma }_2\circ {\gamma }_1$,则 $$\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{{\gamma }_2\circ {\gamma }_1}=\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{{\gamma }_2}+\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{{\gamma }_1},T_{{\gamma }_2\circ {\gamma }_1}[w_R,h]=T_{{\gamma }_2}[w_R,h]+T_{{\gamma }_1}[w_R,h].$$ 证明:由 $(S_2{S}_1{)}^{\prime }=S_2^{\prime }{S}_1+S_2{S}_1^{\prime }$ 得 $\mathsf{Q}(S_2{S}_1)=S_1^{†}\mathsf{Q}(S_2)S_1+\mathsf{Q}(S_1)$;取迹用循环不变性即得第一式;代入定义得第二式。备注(幺正版):由**公理 I(刻度同一｜全局幺正公设)**可知任意串/并联网络可视为单一幺正扩张 $\hat{S}$ 的块构造,故 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 与 $T_{\gamma }[w_R,h]$ 的可加性在幺正框架内直接成立,无需其他替代处方。(chaosbook.org)

工程充分条件（开放子系统级联可加）：对开放子系统的幺正扩张 ${\hat{S}}_1,{\hat{S}}_2$，若带内交叉块范数 $\Vert P_{\mathcal{C}}{\hat{S}}_2{P}_{\mathcal{C}}^{\perp }\Vert ,\Vert P_{\mathcal{C}}^{\perp }{\hat{S}}_1{P}_{\mathcal{C}}\Vert$ 可忽略（“无寄生旁路耦合”），则 $$T_{\mathcal{C}}[{\gamma }_2\circ {\gamma }_1]\approx T_{\mathcal{C}}[{\gamma }_2]+T_{\mathcal{C}}[{\gamma }_1],$$

面积规范提醒： ${\int }_{\mathbb{R}}(w_R\ast \check{h})dE=2\pi$ $\Rightarrow$ $C=1$.

且误差上界为 $$|T_{\mathcal{C}}[{\gamma }_2\circ {\gamma }_1]-T_{\mathcal{C}}[{\gamma }_2]-T_{\mathcal{C}}[{\gamma }_1]|\lesssim C\underset{E\in \mathrm{supp}(w_R\ast \check{h})}{\sup }(\Vert P_{\mathcal{C}}{\hat{S}}_2{P}_{\mathcal{C}}^{\perp }\Vert +\Vert P_{\mathcal{C}}^{\perp }{\hat{S}}_1{P}_{\mathcal{C}}\Vert ),$$ 其中 $P_{\mathcal{C}}$ 为可访问子空间的正交投影（决定 $N_{\mathrm{eff}}$）；常数 $C=C(w,h)$ 仅依赖窗—核的面积规范与有效带宽 $B={\Omega }_h+{\Omega }_w/R$，可取显式形式 $C=\Vert w_R\ast \check{h}{\Vert }_{L^1}/(2\pi )$。当 $(w_R\ast \check{h})\ge 0$ 且 $\int (w_R\ast \check{h})=2\pi$ 时，$C=1$。报告建议：实验中应给出该误差上界或在附录B标注估计方式。

定义 3.2b(可访问子空间读数) 对开放子系统，记 $P_{\mathcal{C}}$ 为可访问子空间的正交投影，定义可访问通道的窗化群延迟读数 $$\boxed{T_{\mathcal{C}}[w_R,h]:=\int (w_R\ast \check{h})(E)\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}(P_{\mathcal{C}}\mathsf{Q}(E)P_{\mathcal{C}})dE},N_{\mathrm{eff}}:=\mathrm{rank}{P}_{\mathcal{C}}.$$

前提约定：以下默认 $P_{\mathcal{C}}$ 与 $E$ 无关。若 $P_{\mathcal{C}}$ 随 $E$ 缓慢变化，一律改用相对读数 $T_{\mathrm{rel}}$，并记录同一基系 $(U,V)$ 与协变运输的 $P_{\mathcal{C}}(E)$ 以抵消规范项（参见命题3.3及后文“操作化处方“）。

命题 3.3(规范协变与相对不变；补充正则性与拓扑项) 设 $U,V\in C^1(\mathbb{R},\mathsf{U}(N))$ 且 $$-i\mathrm{tr}(U^{†}{U}^{\prime })={\partial }_E\arg \det U,-i\mathrm{tr}(V^{\prime }{V}^{†})={\partial }_E\arg \det V.$$ 则 $$\mathrm{tr}\mathsf{Q}(USV)=\mathrm{tr}\mathsf{Q}(S)+{\partial }_E\arg (\det U\cdot \det V).$$ 推导要点(算子级): $$\mathsf{Q}(USV)=V^{†}\mathsf{Q}(S)V-i{V}^{†}{S}^{†}\left(U^{†}{U}^{\prime }\right)SV-i{V}^{†}{V}^{\prime }.$$ 取迹并利用循环不变性即可得到上述恒等式。

恒等式： $-i\mathrm{tr}(U^{†}{U}^{\prime })={\partial }_E\arg \det U$，$-i\mathrm{tr}(V^{\prime }{V}^{†})={\partial }_E\arg \det V$。因而 ${\partial }_E\left(\arg \det U+\arg \det V\right)=0$ 为 $T_{\gamma }$ 不变的充要条件；否则一律使用相对读数 $T_{\mathrm{rel}}$。

不变条件与相对读数抵消：若 ${\partial }_E\arg (\det U\cdot \det V)\equiv 0$ 或窗内净绕数 $w_{\mathrm{net}}=0$，则 $T_{\gamma }$ 不变；一般情形用 $$T_{\mathrm{rel}}:=T_{\gamma }[w_R,h;S]-T_{\gamma }[w_R,h;S_{\mathrm{ref}}]$$ 并对 $(U,V)$ 做同一选择/存档，即可完全抵消规范与拓扑项（与文中“操作化处方“一致）。

绕数项警示：若 $\arg \det U\det V$ 在窗内的净绕数 $w_{\mathrm{net}}\ne 0$，即使 ${\partial }_E(\arg \det U+\arg \det V)=0$ 几乎处处成立，也会产生不可忽略的拓扑偏置。此时应一律改用相对读数并存档同一 $(U,V)$ 选择。

当 $U,V$ 与能量无关，或更一般地 ${\partial }_E(\arg \det U+\arg \det V)=0$（等价于 $\det U\cdot \det V$ 的相位与能量无关）时,附加项消失,故 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 保持不变。一般情形采用相对读数 $$T_{\mathrm{rel}}(\gamma ):=T_{\gamma }[w_R,h;S]-T_{\gamma }[w_R,h;S_{\mathrm{ref}}],$$ 其中 $S_{\mathrm{ref}}$ 与 $S$ 采用同一能量依赖基系选择(相同 $U,V$),以保证规范项完全相消。 若窗内存在 $\arg \det U\det V$ 的净绕数 $w_{\mathrm{net}}\in \mathbb{Z}$,需在主报绝对时标中剔除拓扑偏置；跨实验/跨器件对比一律采用相对读数 $T_{\mathrm{rel}}$,自动消除规范项与拓扑偏置。(普渡大学数学系)

操作化处方（相对读数的唯一化）：为确保相对读数 $T_{\mathrm{rel}}$ 的“规范项完全相消“，跨实验/跨器件比较时必须存档并重放相同的 $(U(E),V(E))$ 选择（或参数哈希）。建议在实验报告附录中给出基变换函数的具体形式或数值文件，以保证独立团队可精确复现相对读数的抵消机制。

警示（可访问子空间读数的规范协变边界）：对定义3.2b的可访问读数 $T_{\mathcal{C}}$，当存在能量依赖的跨子空间混合（可达 $\leftrightarrow$ 不可达）时，若 $P_{\mathcal{C}}$ 不随 $E$ 协变运输，则 $T_{\mathcal{C}}$ 可能受规范项影响。本文默认 $P_{\mathcal{C}}$ 与 $E$ 无关；若不可避免能量依赖，则应将 $P_{\mathcal{C}}(E)$ 作为协变场一并变换，或一律改用相对读数 $T_{\mathrm{rel}}$ 与共同基选择来消除规范偏置。

处方（能量依赖情形）：若 $P_{\mathcal{C}}$ 不可避免随 $E$ 缓慢变化，则统一采用相同的能量依赖基系与协变运输的 $P_{\mathcal{C}}(E)$ 计算相对读数 $T_{\mathrm{rel}}$，并在方法学附录存档基选择与净绕数 $w_{\mathrm{net}}$。该处方确保跨实验对比时规范项可精确抵消。

3.3 非渐近误差闭合(NPE)

提示(对象唯一性) 本节一切采样/别名/EM/尾项误差,仅作用于被积函数 $f(E)=w_R(E)[h\star {\rho }_{\mathrm{rel}}](E)$ 的数值近似,不涉及因果时间 $t_{\ast }$ 或可达偏序的任何修正。

强调（严格带限+Nyquist ⇒ 精确等式，三误差皆为零）：在严格带限且满足Nyquist条件的情形下，定理给出的是精确等式，此时 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}={\epsilon }_{\mathrm{EM}}={\epsilon }_{\mathrm{tail}}=0$。不要在此情形下引入近似项或EM校正，避免把精确等式误作近似和。

域内/域外切换红线：一旦任一条件破坏（近带限或采样不满足Nyquist），才启用 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}},{\epsilon }_{\mathrm{EM}},{\epsilon }_{\mathrm{tail}}$ 账本；严禁在域内（严格带限+Nyquist）引入EM修正或将精确公式误当近似和使用。

Nyquist纪律的精确定义：“满足Nyquist纪律” = 严格带限（$\hat{w},\hat{h}$ 严格带限）且 $\Delta \le \pi /({\Omega }_h+{\Omega }_w/R)$。此时别名、EM 与尾项误差均为零，Poisson求和给出精确等式。

命题 3.4(离散实现；精确与近似的分立表述) 设 $f(E):=w_R(E)[h\star {\rho }_{\mathrm{rel}}](E)$,采样点 $E_n=E_0+n\Delta$。

(A) 精确采样公式（严格带限+Nyquist）:若 $\hat{w},\hat{h}$ 严格带限且 $f\in {\mathsf{PW}}_B\cap L^1(\mathbb{R})$（严格带限且可积），其中 $B:={\Omega }_h+{\Omega }_w/R$,并满足 $$\Delta \le \frac{\pi }{B},$$ 则由 Poisson 求和得 $$\boxed{T_{\gamma }[w_R,h]={\int }_{\mathbb{R}}f(E)dE=\Delta \sum _{n\in \mathbb{Z}}f(E_n)}.$$ 此时 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}={\epsilon }_{\mathrm{EM}}={\epsilon }_{\mathrm{tail}}=0$。在严格带限下，上式对任意 $E_0$ 成立（别名项恒为零）。

(B) 近似实现的误差分解（近带限或数值截断）:若 $f$ 仅近似带限或实现上将无穷和截断为 $|n|\le N$,则 $$T_{\gamma }[w_R,h]=\Delta \sum _{|n|\le N}f(E_n)+{\epsilon }_{\mathrm{tail}}+{\epsilon }_{\mathrm{alias}}+{\epsilon }_{\mathrm{EM}},$$ 其中 $${\epsilon }_{\mathrm{tail}}:=\Delta \sum _{|n|>N}f(E_n),|{\epsilon }_{\mathrm{alias}}|\le \sum _{k\ne 0}\left|\hat{f}\right(\frac{2\pi k}{\Delta }\left)\right|.$$ 工程上界(由支撑与卷积结构给出):若 $\mathrm{supp}\widehat{w_R}\subset [-{\Omega }_w/R,{\Omega }_w/R]$ 且 $\mathrm{supp}\hat{h}\subset [-{\Omega }_h,{\Omega }_h]$,则 $$\left|\hat{f}\right(\frac{2\pi k}{\Delta }\left)\right|=\left|\right(\widehat{w_R}\ast (\hat{h}\widehat{{\rho }_{\mathrm{rel}}})\left)\right(\frac{2\pi k}{\Delta }\left)\right|\le {\int }_{-{\Omega }_w/R}^{{\Omega }_w/R}|\widehat{w_R}(\xi )|\left|\hat{h}\widehat{{\rho }_{\mathrm{rel}}}\right(\frac{2\pi k}{\Delta }-\xi \left)\right|d\xi .$$ 因此当 $\Delta \le \pi /({\Omega }_h+{\Omega }_w/R)$ 时,对所有 $k\ne 0$ 上式为 0(无别名);近带限时,上式提供可计算的数值上界。 而 ${\epsilon }_{\mathrm{EM}}$ 仅在以有限阶 Euler–Maclaurin 近似无穷和(或对近带限 $f$ 的修正积分)时出现,其上界参见附录 B。说明: 本命题将理论上的等式 (A) 与工程实践的 NPE 分解 (B) 严格区分,避免在无 alias 的情形下引入不存在的 EM/尾项。(chaosbook.org)

3.4 操作化时间—能量分辨率纪律(UR)

取窗—核的有效带宽 $B:={\Omega }_h+{\Omega }_w/R$(见公理 II 与 §3.3 记号)。记由 $K_{w,h}$ 诱导的读数分布之稳健尺度为 ${\sigma }_T$,与能域尺度 ${\sigma }_E$ 同一规范。

前提：本节以下结论在 $F(E)=(w_R\ast \check{h})(E)\ge 0$ 几乎处处的前提下严格成立。工程上可通过选择窗与核的正权重实现；若 $F$ 可能变号，应使用后述L²版本定义。

工作定义（RMS版本；与窗形相关）

令有效仪器函数 $F(E):=(w_R\ast \check{h})(E)$ 并取面积规范 $\int FdE=2\pi$。定义 $${\mu }_E:=\frac{1}{2\pi }\int EF(E)dE,{\sigma }_E^2:=\frac{1}{2\pi }\int (E-{\mu }_E{)}^{2}F(E)dE.$$ 令 $g(t):=\frac{1}{2\pi }\int F(E)e^{iEt}dE$（$F$ 的时间域核）， $${\sigma }_T^2:=\frac{\int t^2|g(t){|}^{2}dt}{\int |g(t){|}^{2}dt}.$$ Heisenberg形式给出 ${\sigma }_T{\sigma }_E\ge \frac{1}{2}$。若 $F\ge 0$ 且 $\int FdE=2\pi$，再满足严格带限 $\mathrm{supp}F\subset [-B,B]$（此处 $B={\Omega }_h+{\Omega }_w/R$），则 ${\sigma }_E\le B$，因而 $$\boxed{{\sigma }_T\ge \frac{1}{2B}}.$$ 当 $F$ 可能变号时，上述Heisenberg形式应使用下述L²定义，且不等式严格成立。 故在“带限+Nyquist“下，保守常数可取 $C_{w,h}=\frac{1}{2}$；若对给定窗/核数值求得更小的 ${\sigma }_E$，则自动改进为 ${\sigma }_T\ge (C_{w,h}/B)$ 且 $C_{w,h}:=\frac{B}{2{\sigma }_E}\ge \frac{1}{2}$。

注：该定义与 §3.3 的 NPE 账本完全兼容；若采用“面积保持重标“，${\sigma }_T,{\sigma }_E$ 的缩放与 §6.2 的红移互易保持一致。

注（符号密度情形）： 若 $F(E)$ 在带内可能变号，为获得完全基于 $L^2$ 的Heisenberg形式，可改用 $${\sigma }_E^2:=\frac{\int (E-{\mu }_E{)}^2|F(E){|}^{2}dE}{\int |F(E){|}^{2}dE},{\sigma }_T^2:=\frac{\int t^2|g(t){|}^{2}dt}{\int |g(t){|}^{2}dt}.$$ 在本文傅里叶规范下仍有 ${\sigma }_T{\sigma }_E\ge \frac{1}{2}$。主体文本为与刻度归一化对账，继续使用线性权 $F$；两种定义在“严格带限+Nyquist“下给出的 $1/B$ 级下界一致。

命题(UR 的操作化下界) 在带限与 Nyquist 条件下,对任意链 $\gamma$ 与带限窗—核 $(w_R,h)$,有 $${\sigma }_T\gtrsim \frac{C_{w,h}}{B},{\sigma }_T{\sigma }_E\gtrsim \frac{1}{2}{C}_{w,h},$$ 其中常数 $C_{w,h}\in (0,1]$ 仅与窗—核的光滑度与归一化有关。该下界与 §3.3 的 NPE 上界模板(${\epsilon }_{\mathrm{alias}},{\epsilon }_{\mathrm{EM}},{\epsilon }_{\mathrm{tail}}$)配对,形成“可测时间刻度“的非渐近上下界闭合:上界由 NPE 控误差,下界由带宽 $B$ 定分辨率。

备注(GR 协变) 在曲时空 $(\mathcal{M},g)$ 上,${\sigma }_E$ 取局域正交标架能量,UR 结论在局域洛伦兹框架下保持不变;红移仅重标度 ${\sigma }_E$,从而按同一账本重标度 ${\sigma }_T$。

出典提示： 带限场景下的时频集中不等式与“时间–带宽乘积“可参见Slepian–Pollak与Landau–Pollak的经典系列工作（见本文参考文献[14]）。

3.5 高频平台桥接与夹逼上界

本节在 §4 的前提 (i)、(ii)、(iii)、(iv) 内（LTI+Hardy因果、高频真空极限、局域性、被动性），给出 $T_{\gamma }$ 与前沿时间 $t_{\ast }$ 的可操作桥接。

前沿因子化：对任一链 $\gamma$ 存在常数 $t_{\ast }(\gamma )\ge 0$，定义剩余散射子 $$\boxed{S_0(E):=e^{-iE{t}_{\ast }(\gamma )}S(E)}\text{（等价于 }S(E)=e^{+iE{t}_{\ast }(\gamma )}{S}_0(E)\text{）},$$ 其中 ${\mathsf{Q}}_0(E):=-i{S}_0^{†}(E)S_0^{\prime }(E)$。则 $$\boxed{\mathsf{Q}(E)=t_{\ast }(\gamma )I+{\mathsf{Q}}_0(E)},$$ 在面积规范 $\int (w_R\ast \check{h})=2\pi$ 下得到分解恒等式 $$\boxed{T_{\gamma }[w_R,h]=t_{\ast }(\gamma )\mathrm{tr}I+{\int }_{\mathbb{R}}(w_R\ast \check{h})(E)\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0(E)dE}.$$

在前提(i)–(iv)并加上平台一致性 ${\sup }_{E\in [E_0-B,E_0+B]}|\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0(E)|\to 0$ 当 $E_0\to \infty$ 时，上述分解与定理3.5的平台极限及唯一性成立。

唯一性（若且唯若）：

令 $S(E)=e^{iE{t}_{\ast }}{S}_0(E)$，若存在 $t_{\ast }^{\prime }$ 与 $S_0^{\prime }$ 使 $S(E)=e^{iE{t}_{\ast }^{\prime }}{S}_0^{\prime }(E)$，则 $S_0^{\prime }(E)=e^{iE(t_{\ast }-t_{\ast }^{\prime })}{S}_0(E)$。在“真空平台一致性“条件 $$\underset{E_0\to \infty }{\lim }\underset{E\in [E_0-B,E_0+B]}{\sup }|\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0(E)|=0$$ 下，若且唯若 $t_{\ast }^{\prime }=t_{\ast }$。否则，额外的线性相位 $e^{iE(t_{\ast }-t_{\ast }^{\prime })}$ 会在平台上留下不可消除的常数偏置。

定理 3.5(HF平台极限，单通道)

前提（平台一致性）：$S(E)=e^{iE{t}_{\ast }}{S}_0(E)$ 且存在 $B>0$ 使得对任意增长的中心频率 $E_0$，有 ${\sup }_{E\in [E_0-B,E_0+B]}|\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0(E)|\underset{E_0\to \infty }{\to }0$（窗内一致趋零）。该条件由 $\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0\in C_0(\mathbb{R})$ 保证。

下述结论独立于§4的前沿下界。对任意固定形状的归一窗族 $F_{E_0}(E):=(w_R\ast \check{h})(E-E_0)$（$\int F_{E_0}=2\pi$），在单通道($N=1$)下有 $$\boxed{\underset{E_0\to +\infty }{\lim }{T}_{\gamma }[w_R(\cdot -E_0),h]=t_{\ast }(\gamma )}$$ 且有限频带夹逼: $$\boxed{|T_{\gamma }[w_R(\cdot -E_0),h]-t_{\ast }(\gamma )|\le \frac{\Vert w_R\ast \check{h}{\Vert }_{L^1}}{2\pi }\underset{E\in \mathrm{supp}{F}_{E_0}}{\sup }|\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0(E)|\underset{E_0\to \infty }{\to }0}.$$ 若进一步假设$(w_R\ast \check{h})\ge 0$且$\int =2\pi$，则右侧常数为1。

可验证性建议：报告平台段（$E_0$ 扫描区间）上的 ${\sup }_{E\in [E_0-B,E_0+B]}|\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0(E)|$ 曲线，并与目标误差阈值对比；建议绘制该上界随 $E_0$ 的单调下降曲线以验证一致趋零假设。

命题 3.6(多通道几何前沿极限) 对多通道($N\ge 1$)系统，采用每模平均刻度 $$\boxed{{\overline{T}}_{\mathcal{C}}[w_R,h]:=\frac{1}{N_{\mathrm{eff}}}\int (w_R\ast \check{h})(E)\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}(P_{\mathcal{C}}{\mathsf{Q}}_{\gamma }(E)P_{\mathcal{C}})dE},$$ 其中 $N_{\mathrm{eff}}:=\mathrm{rank}{P}_{\mathcal{C}}$ 为可访问子空间维度。有 $$\boxed{\underset{E_0\to +\infty }{\lim }{\overline{T}}_{\mathcal{C}}[w_R(\cdot -E_0),h]=t_{\ast }(\gamma )}$$ 且夹逼界为 $$|{\overline{T}}_{\mathcal{C}}[w_R(\cdot -E_0),h]-t_{\ast }(\gamma )|\le \frac{\Vert w_R\ast \check{h}{\Vert }_{L^1}}{2\pi N_{\mathrm{eff}}}\underset{E\in \mathrm{supp}{F}_{E_0}}{\sup }|\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_0(E)|\underset{E_0\to \infty }{\to }0.$$