GLS—因果流形—滤镜链统一框架

——窗化群延迟、红移与光速的公理化理论、互构定理与非渐近误差闭合(完整版)

Version: 2.0

摘要

在“宇宙 = 广义光结构(Generalized Light Structure, GLS)““观察者 = 滤镜链(windowed compression → CP 通道 → POVM → 阈值计数)”“因果 = 类光锥偏序“的统一语境中,建立以 $$\boxed{\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),\mathsf{Q}(E)=-iS(E{)}^{†}\frac{dS}{dE}(E)}$$ 为母刻度(相位导数—相对态密度—Wigner–Smith 群延迟迹)的公理化理论。核心结果:(i)以窗化群延迟读数定义时间并证明串并联可加、规范协变/相对不变(当 $U,V$ 与能量无关或 $\det U\cdot \det V\equiv 1$ 时保持不变);(ii)以谱缩放刻画红移并证明与时间的互易标度律;(iii)以真空前沿规范光速 $c$,给出任意物理通道的前沿下界与无超锥传播;(iv)建立“GLS ↔ 因果流形“的互构定理(范畴同构意义);(v)在同一账本中统一波/粒二象性与双缝的窗化互补不等式 $D^2+V^2\le 1$;(vi)阐明“分辨率提升 = 宇宙膨胀(红移放大)“的严格对偶,并给出 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin(NPE)有限阶误差闭合与工程化处方。理论全程采用算子—测度—函数语言(Toeplitz/Berezin 压缩 $K_{w,h}$,读数 = 对谱测度的线性泛函)。

Notation & Axioms / Conventions

卡片 I(刻度同一)

在绝对连续谱(实能 $E$)上,假设工作带内 $S(E)$ 单位(无损耗/无增益;必要时将环境并入散射通道)。此时 $$\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),\mathsf{Q}=-i{S}^{†}{S}^{\prime },{\rho }_{\mathrm{rel}}=-{\xi }^{\prime }(E).$$ 其中 $\phi$ 为 de Branges 相位(Hermite–Biehler 类),${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 为谱移密度 $-{\xi }^{\prime }(E)$,而 $\mathsf{Q}$ 为 Wigner–Smith 群延迟矩阵;等式由 Birman–Kreĭn 公式 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$ 与 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-i\frac{d}{dE}\log \det S(E)$ 综合而来。验证：ChaosBook 明确给出 $-i\frac{d}{dE}\log \det S=-i\mathrm{tr}(S^{†}{S}^{\prime })$;与本框架的 $\mathsf{Q}=-i{S}^{†}{S}^{\prime }$ 完全一致。

若存在有效损耗/增益使 $S$ 非单位,可改用 $$\tilde{\mathsf{Q}}:=-i{S}^{-1}{S}^{\prime },$$ 此时 $\mathrm{tr}\tilde{\mathsf{Q}}$ 在级联下保持可加。与谱移函数的标准等式 $(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}=-{\xi }^{\prime }(E)$ 仅在 $S$ 幺正(或经环境扩展幺正化)时成立;非幺正情形仅保留 $\mathrm{tr}\tilde{\mathsf{Q}}$ 的可加性。后文凡用到 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 的可加性,可等价以 $\mathrm{tr}\tilde{\mathsf{Q}}$ 代之。(arXiv)

卡片 II(有限阶 EM 与极点 = 主尺度)

一切离散—连续换算与窗化读数遵循 NPE 三分解 $${\epsilon }_{\mathrm{total}}={\epsilon }_{\mathrm{alias}}+{\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}},$$ 若采样间隔 $\Delta \le \pi /{\Omega }_{\mathrm{eff}}$(定义 ${\Omega }_{\mathrm{eff}}:={\Omega }_h+{\Omega }_w$,${\Omega }_h,{\Omega }_w$ 分别为前端核与窗的有效带宽),则 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$(Nyquist–Shannon);${\epsilon }_{\mathrm{EM}}$ 由有限阶 Euler–Maclaurin(端点伯努利层与显式余项)控制;${\epsilon }_{\mathrm{tail}}$ 由窗外衰减控制。奇性不增,极点决定主尺度。(维基百科)

记号约定

$S(E)$:多通道散射矩阵;$\mathsf{Q}=-i{S}^{†}{S}^{\prime }$。 ${\rho }_{\mathrm{rel}}=-{\xi }^{\prime }(E)$:谱移密度。 窗—核:偶窗 $w_R(E)=w((E-E_0)/R)$,前端核 $h$。 压缩 $K_{w,h}$:Toeplitz/Berezin 型。验证：由 $\det S=e^{-2\pi i\xi }$ 得 $\frac{d}{dE}\log \det S=-2\pi i{\xi }^{\prime }(E)$;结合上条修正 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}=-i\frac{d}{dE}\log \det S$ 即得 $(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}=-{\xi }^{\prime }(E)$;亦与 DOS/Friedel–Krein–Lloyd 关系相符。(SpringerLink)

1. GLS 与滤镜链

1.1 对象层

定义 1.1(GLS) 设 $$\mathfrak{U}=(\mathcal{H},S(E),{\mu }_{\phi },\mathcal{W}),$$ 其中 $d{\mu }_{\phi }^{\mathrm{ac}}=({\phi }^{\prime }/\pi )dE$,$\mathcal{W}$ 为可实施窗—核字典。任意态 $\rho$ 的窗化读数为 $$\mathrm{Obs}(w_R,h;\rho )=\mathrm{Tr}(K_{w,h}\rho )={\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)[h\star {\rho }_{\rho }](E)dE+{\epsilon }_{\mathrm{alias}}+{\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}},$$ 其中 ${\rho }_{\rho }(E):=\frac{d{\mu }_{\rho }^{\mathrm{ac}}}{dE}$ 为态 $\rho$ 相对于母测度 ${\mu }_{\phi }$ 的能谱密度;若采用相对 DOS 校准并以参考通道为基准,可取 ${\rho }_{\rho }={\rho }_{\mathrm{rel}}$。

1.2 操作语法:滤镜链

定义 1.2(滤镜链) 一次观测流程 $$\boxed{\mathcal{O}={\mathcal{M}}_{\mathrm{th}}\circ \{M_i\}\circ \Phi \circ K_{w,h}}$$ 以 $K_{w,h}$ 定位带宽与几何,$\Phi$ 表示耦合/退相干(CP),$\{M_i\}$ 为 POVM 读出基,${\mathcal{M}}_{\mathrm{th}}$ 将通量阈值化为 clicks。Born 概率与最小 KL 投影一致化见 §10。(Google 图书)

2. 因果流形的内生

2.1 解析正性 ⇒ 单向支撑与偏序

取上半平面 Herglotz–Nevanlinna 函数 $m(z)=\int \frac{d{\mu }_{\phi }(E)}{E-z}$。由 Titchmarsh 定理/Paley–Wiener 与 Kramers–Kronig 关系,时域冲激响应 $g(t)$ 具单向支撑(经校准后 $t\ge 0$),并且实/虚部互为 Hilbert 变换。

定义 2.1′(前沿时间偏序) 设链 $\gamma$ 的输出冲激响应为 $g_{\gamma }(t;L)$,前沿到达时间 $$t_{\ast }(\gamma ;w_R,h):=\inf \{t:g_{\gamma }(t;L)\ne 0\}(\text{见 §4.2}).$$ 定义偏序 $$x⪯y⟺\underset{\gamma :x\to y}{\inf }{t}_{\ast }(\gamma ;w_R,h)\ge 0,\partial J^{+}(x):=\{y:\underset{\gamma :x\to y}{\inf }{t}_{\ast }(\gamma ;w_R,h)=0\}.$$ 在真空前沿规范下(§4.1)任意链满足 $t_{\ast }(\gamma ;w_R,h)\ge L/c$(§4.2),故该偏序与因果一致。窗化群延迟读数 $T_{\gamma }[w_R,h]$ 仅为相位导数的带内加权读数,并非前沿时间,可能取负,因而不宜直接作为偏序生成器(参见 §4.2 之注)。(Wolfram MathWorld)

2.2 相位奇性 ⇒ 最短到达与因果边界

de Branges 相位的跳变/极点(Hermite–Biehler 零点、散射相移突变)对应到达奇性(驻相/等时集),为光锥边缘提供可检峰值标记。(普渡大学数学系)

3. 时间的生成:窗化群延迟读数

3.1 定义

定义 3.1(窗化群延迟读数) 对因果可达的传播—读出链 $\gamma$ 与窗—核 $(w_R,h)$,定义 $$\boxed{T_{\gamma }[w_R,h]:={\int }_{\mathbb{R}}(w_R\ast \check{h})(E)\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{\gamma }(E)dE},\check{h}(E):=h(-E),$$ 并约定 $(h\star f)(E):=(\check{h}\ast f)(E)$。等价地, $$T_{\gamma }[w_R,h]={\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)[h\star {\rho }_{\mathrm{rel}}](E)dE.$$ 此量在母刻度上实现“带内时间“的可实现读数。(chaosbook.org)

3.2 串并联可加、规范协变

定理 3.2(可加性,单位散射) 设在 $w_R$ 的带内 $S_j^{†}(E)S_j(E)=I(j=1,2)$。若 $\gamma ={\gamma }_2\circ {\gamma }_1$,则 $$\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{{\gamma }_2\circ {\gamma }_1}=\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{{\gamma }_2}+\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{{\gamma }_1},T_{{\gamma }_2\circ {\gamma }_1}[w_R,h]=T_{{\gamma }_2}[w_R,h]+T_{{\gamma }_1}[w_R,h].$$ 证明:由 $(S_2{S}_1{)}^{\prime }=S_2^{\prime }{S}_1+S_2{S}_1^{\prime }$ 得 $\mathsf{Q}(S_2{S}_1)=S_1^{†}\mathsf{Q}(S_2)S_1+\mathsf{Q}(S_1)$;取迹用循环不变性即得第一式;代入定义得第二式。备注:存在损耗/增益时,可改用 $\tilde{\mathsf{Q}}:=-i{S}^{-1}{S}^{\prime }$ 保持迹的可加性,但 $\tilde{\mathsf{Q}}$ 一般不自伴。(chaosbook.org)

命题 3.3(规范协变与相对不变) 设能量依赖基变换 $S\mapsto U(E)SV(E)$,则 $$\mathrm{tr}\mathsf{Q}(USV)=\mathrm{tr}\mathsf{Q}(S)-i\mathrm{tr}(U^{†}{U}^{\prime })-i\mathrm{tr}(V^{\prime }{V}^{†}).$$ 因而 $\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 与 ${\phi }^{\prime }/\pi$ 同步协变;当 $U,V$ 与能量无关或 $\det U(E)\det V(E)\equiv 1$ 时保持不变。一般情形取相对读数 $$T_{\mathrm{rel}}(\gamma ):=T_{\gamma }[w_R,h;S]-T_{\gamma }[w_R,h;S_{\mathrm{ref}}],$$ 其值与规范无关。(普渡大学数学系)

3.3 非渐近误差闭合(NPE)

命题 3.4(离散实现) 采样点 $E_n=E_0+n\Delta$ 满足 $\Delta \le \pi /({\Omega }_h+{\Omega }_w)$ 时, $$T_{\gamma }[w_R,h]=\sum _n{w}_R(E_n)[h\star {\rho }_{\mathrm{rel}}](E_n)\Delta +{\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}},$$ 其中 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$,${\epsilon }_{\mathrm{EM}}$ 由有限阶 Euler–Maclaurin 余项与伯努利层给出显式上界,${\epsilon }_{\mathrm{tail}}$ 由窗外衰减控制。(维基百科)

4. 光速与类光锥:前沿定标与无超锥传播

4.1 光速的前沿规范

定义 4.1(光速 $c$) 真空冲激响应 $g_0(t;L)$ 的最早非零到达 $t_{\mathrm{front}}(L)$ 给出 $$c:=\underset{L\to \infty }{\lim }\frac{L}{t_{\mathrm{front}}(L)}(\text{或取上确界作规范常数}).$$ 其中 $L$ 表示在真空度规下两点间的光程(测地长度);在均匀介质中可取为几何长度乘折射率。该 $L$ 亦用于 §4.2 中 $t_{\ast }(\gamma )\ge L/c$ 的判定基准。前沿速度与因果一致(Sommerfeld–Brillouin 先驱)。(互联网档案馆)

4.2 无超锥传播——前沿读数

定理 4.2(前沿下界) 设真空前沿规范给出 $c$(见§4.1)。任意链 $\gamma$ 的输出冲激响应 $g_{\gamma }(t;L)$ 在 $t<L/c$ 恒为 0,故 $$t_{\ast }(\gamma ):=\inf \{t:g_{\gamma }(t;L)\ne 0\}\ge L/c.$$ 注:窗化群延迟读数 $T_{\gamma }[w_R,h]$ 为相位导数的频域加权平均,并非前沿时间;其值可在窄带/共振情形取负,因而不存在普适的不等式 $T_{\gamma }[w_R,h]\ge L/c$。(Wolfram MathWorld)

5. 波—粒统一与“不同画面“的来源

5.1 同源二读数:期望与计数

同一 $K_{w,h}$ 诱导 $$\text{(波)}\mathrm{Obs}(w_R,h)=\mathrm{Tr}(K_{w,h}\rho ),\text{(粒)}\mathbb{E}{N}_{w,h}=\mathrm{Tr}(K_{w,h}\Phi (\rho ))=\mathrm{Tr}({\Phi }^{†}(K_{w,h})\rho ).$$ 其中 ${\Phi }^{†}$ 为 $\Phi$ 的 Heisenberg 伴随。二者时间标度均由 $T_{\gamma }[w_R,h]$ 计量;$\Phi ,\{M_i\},{\mathcal{M}}_{\mathrm{th}}$ 仅改变统计外观,不改母刻度。(Google 图书)

5.2 双缝的窗化互补律

设路径投影 $P_1,P_2$,which-way 退相干 ${\mathcal{D}}_{\eta }(\rho )=(1-\eta )\rho +\eta {\sum }_j{P}_j\rho P_j$。屏上窗—核 $(w_R,h)$ 的强度 $$I(\eta )\propto \sum _j⟨K_{w,h}{P}_j\psi ,P_j\psi ⟩+2(1-\eta )\Re ⟨K_{w,h}{P}_1\psi ,P_2\psi ⟩.$$ 定理 5.2(窗化互补不等式) 能见度 $V$ 与可辨度 $D$(Helstrom 距离)满足 $D^2+V^2\le 1$,等号在纯态与理想区分/理想相干极限取到。(物理评论链接管理器)

证明提纲:以 CPTP 收缩性与 Cauchy–Schwarz 控制交叉块范数;将二分类最小错判界(Helstrom)嵌入窗化场景,复现 Englert 不等式。(物理评论链接管理器)

6. 红移:谱缩放与时间互易

6.1 定义

定义 6.1(红移) 对源—受体,母刻度上 $$1+z=\frac{E_{\mathrm{src}}}{E_{\mathrm{obs}}}=\frac{{\nu }_{\mathrm{src}}}{{\nu }_{\mathrm{obs}}}.$$

6.2 互易标度律

定理 6.2 若谱缩放 $E\mapsto E/(1+z)$,则对任意链 $\gamma$ 与窗—核 $(w_R,h)$, $$\boxed{T_{\gamma }^{\mathrm{obs}}[w_R,h]=\frac{1}{1+z}{T}_{\gamma }[w_R^{⟨1/(1+z)⟩},h^{⟨1/(1+z)⟩}],w_R^{⟨a⟩}(E):=w_R(aE),h^{⟨a⟩}(E):=h(aE).}$$ 等价地, $$T_{\gamma }^{\mathrm{obs}}[w_R,h]={\int }_{\mathbb{R}}(w_R\ast \check{h})\left(\frac{E}{1+z}\right)\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{\gamma }(E)dE.$$ 证明要点:$\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{\mathrm{obs}}(E)=(1+z)\mathrm{tr}\mathsf{Q}((1+z)E)$,以及$(f\ast g)\left(aE\right)=a(f^{⟨a⟩}\ast g^{⟨a⟩})(E)$。

7. 窗化微因果与滤镜链的因果适配

7.1 类空间分离与交换

定义 7.1(类空间分离) 两窗—核支撑域 $U_x,U_y$ 互不落入对方的前/后向锥内。 定理 7.2(窗化微因果律) 类空间分离时 $[K_{w_x,h_x},K_{w_y,h_y}]=0$,并且任意 CP 与 POVM 组合满足 ${\mathcal{O}}_y\circ {\mathcal{O}}_x={\mathcal{O}}_x\circ {\mathcal{O}}_y$。该陈述与 QFT 微因果 $[\mathcal{O}(x),\mathcal{O}(y)]=0$(类空间分离)同型。(ncatlab.org)

7.2 因果适配与组合律

定义 7.3(因果适配) 沿世界线 $\gamma$ 的滤镜族 $\{{\mathcal{O}}_t\}$ 若其支撑包含于 $J^{-}(\gamma (t))$ 且仅作用于 $K_{w_t,h_t}$ 生成的子代数,则称因果适配。 命题 7.4(组合律) 分段滤镜满足 $${\mathcal{O}}_{[t_0,t_n]}={\mathcal{O}}_{[t_{n-1},t_n]}\circ \cdots \circ {\mathcal{O}}_{[t_0,t_1]},$$ 相邻类空间分离段可交换,否则按时间序组合。

8. 互构定理:GLS ↔ 因果流形(范畴同构)

8.1 范畴

$\mathbf{WScat}$:对象为 $(S,{\mu }_{\phi },\mathcal{W})$,态射为保持卡片 I/II 的滤镜链; $\mathbf{Cau}$:对象为因果流形 $(\mathcal{M},⪯)$,态射为保持类光锥与偏序的映射。

8.2 构造与结论

定理 8.1(互构定理) 存在函子 $$\mathfrak{F}:\mathbf{WScat}\to \mathbf{Cau},\mathfrak{G}:\mathbf{Cau}\to \mathbf{WScat},$$ 使 $\mathfrak{F}\circ \mathfrak{G}\simeq {\mathrm{Id}}_{\mathbf{Cau}}$、$\mathfrak{G}\circ \mathfrak{F}\simeq {\mathrm{Id}}_{\mathbf{WScat}}$(自然同构)。 构造要点:$\mathfrak{F}$ 以 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 等值面与相位奇性生成偏序与锥;$\mathfrak{G}$ 以固有时间/光锥参数化构造带限窗—核并施以 Berezin 压缩,使 ${\phi }^{\prime }/\pi =(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 与 NPE 闭合同步成立。(SpringerLink)

9. 分辨率—红移对偶与尺度重整

令带限偶窗 $w\in {\mathsf{PW}}_{\Omega }$,统一取 $$w_R(E)=w((E-E_0)/R).$$ 分辨率提升 $R\mapsto \lambda R$($\lambda >1$)对应于红移放大 $E\mapsto E/(1+z)$,两者在 Nyquist 纪律下完全对偶。在该对偶框架下,别名关断,EM 端点误差与尾项随 $R$ 的演化按可计算律缩放,并与谱缩放协变。(维基百科)

10. Born 概率 = 最小 KL 投影;指针基 = 谱极小

在可实现读数字典上,Born 概率等价于参考分布到线性约束族的 I-投影(最小 KL);信息几何的投影与广义毕达哥拉斯定理为运算学基座。稳定读出基对应 $K_{w,h}$ 的谱极小方向(或其函数演算),从而“偏振/指针“成为谱几何对象。([Stern School of Business][12])

11. 与 RCA/EBOC 的接口(离散—连续统一)

11.1 轨迹—相位嵌入与群延迟速度

将可逆元胞自动机(RCA)轨迹的局部块以稳定窗族嵌入 de Branges–Kreĭn 相位几何,定义“轨迹—相位度量“ $d_{\mathrm{TP}}$。RCA 的前沿斜率对应 GLS 群延迟导出的有效速度,窗化读数统一离散—连续时间刻度。(普渡大学数学系)

11.2 EBOC 解释

EBOC 的“静态块“在 GLS 中表现为全局可逆散射网络;观察者为其中移动的滤镜链。“不完备 = 非停机“的对译可表述为:有限窗重构误差的尾项熵通量不可积/不衰,关联 §3 的 NPE 尾项控制。

12. 范式与算例

12.1 相位器计时

单通道 $S(E)=e^{2i\delta (E)}$ 时 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=2{\delta }^{\prime }(E)$。窄带窗近似: $$T\approx \int w_R(E)\frac{{\delta }^{\prime }(E)}{\pi }dE\approx \frac{1}{\pi }\left[\delta \right(E_0+\frac{\Delta E}{2})-\delta (E_0-\frac{\Delta E}{2}\left)\right].$$ (Wigner 相位导数计时)([chaosbook.org][13])

12.2 双缝—偏振(交叉项调谐)

按 $\eta$ 调节 which-way 强度,能见度 $V$ 单调降、可辨度 $D$ 单调升,且 $D^2+V^2\le 1$;交叉项仅在两窗未来锥交集内存活。(物理评论链接管理器)

12.3 红移时钟

以 $({\nu }_{\mathrm{src}},{\nu }_{\mathrm{obs}})$ 对齐母刻度后,$1+z={\nu }_{\mathrm{src}}/{\nu }_{\mathrm{obs}}$。由 §6.2 的精确换元, $$T_{\mathrm{obs}}[w_R,h]={\int }_{\mathbb{R}}(w_R\ast \check{h})\left(\frac{E}{1+z}\right)\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)dE=\frac{1}{1+z}{T}_{\mathrm{src}}[w_R^{⟨1/(1+z)⟩},h^{⟨1/(1+z)⟩}].$$

附录 A:窗化互补 $D^2+V^2\le 1$ 的证明

记 $K=K_{w,h}$。取两路径等效态 ${\rho }_1\propto P_{1}K\rho K{P}_1,{\rho }_2\propto P_{2}K\rho K{P}_2$。设 $\Pi$ 为二分类最优 POVM,则 Helstrom 距离 $D=\frac{1}{2}|{\rho }_1-{\rho }_2{|}_1$ 给出最小错判界。交叉可见度 $V$ 由 $K$ 的非对角块归一量诱导。以 CPTP 收缩性与 Cauchy–Schwarz 得 $$D^2+V^2\le 1,$$ 等号在纯态与理想区分/理想相干下取到。(Google 图书)

附录 B:NPE 三分解的上界模板

取偶窗 $w_R(E)=w((E-E_0)/R)$,其中 $E_0$ 为中心频率。以下一切导数与积分均相对于 $E$ 而非移相变量计算。

Poisson 别名:若 $\Delta \le \pi /({\Omega }_h+{\Omega }_w)$ 则 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$(Nyquist)。 有限阶 EM:令取到 $2M$ 阶,则 $$|{\epsilon }_{\mathrm{EM}}|\le \sum _{m=1}^M\frac{|B_{2m}|}{(2m)!}|(w_{R}h{)}^{(2m-1)}{|}_{L^1}+|R_{2M}|,$$ 其中 $R_{2M}$ 为 DLMF 形式的余项(可用周期化伯努利函数显式表示并估界)。 尾项:若 $w_R$ 在 $|E|>\Lambda R$ 上 $L^1$ 可控,且 $|h\star {\rho }_{\mathrm{rel}}{|}_{L^{\infty }}$ 有界,则 $$|{\epsilon }_{\mathrm{tail}}|\le |w_R{1}_{|E|>\Lambda R}{|}_{L^1}|h\star {\rho }_{\mathrm{rel}}{|}_{L^{\infty }}.$$ 尺度变换 $R\mapsto \lambda R$ 与谱缩放 $E\mapsto E/(1+z)$ 下,上界按傅里叶—采样对偶协变。(维基百科)

附录 C:互构定理的范畴论骨架

对象:$\mathbf{WScat}$ 的态射为保持卡片 I/II 的滤镜链;$\mathbf{Cau}$ 的态射为保持类光锥与偏序的映射。 $\mathfrak{F}$:以 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 等值面与相位奇性构造偏序与锥。 $\mathfrak{G}$:以固有时间构造带限窗—核并施以 Berezin 压缩,使刻度同一与 NPE 闭合同步成立。(SpringerLink)

附录 D:Toeplitz/Berezin 压缩与 de Branges 背景

Toeplitz/Berezin 框架为窗化读数提供算子化实施路径;de Branges 空间提供相位 $\phi$ 及其导数的全纯—测度对应,从而与谱移—群延迟刻度同一无缝对接。(SpringerLink)

参考文献(选)

1. A. Pushnitski, An integer-valued version of the Birman–Kreĭn formula, 2010:给出 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$ 与相关刻度同一的严式化基准。(arXiv)
2. F. T. Smith, Lifetime Matrix in Collision Theory, Phys. Rev. 118 (1960):提出 $\mathsf{Q}=-i{S}^{†}{S}^{\prime }$ 的群延迟矩阵与其物理解释。(chaosbook.org)
3. B.-G. Englert, Fringe Visibility and Which-Way Information: An Inequality, PRL 77 (1996):双缝互补不等式 $D^2+V^2\le 1$。(物理评论链接管理器)
4. C. W. Helstrom, Quantum Detection and Estimation Theory, Academic Press (1976):最小错判测度与 Helstrom 界。(Google 图书)
5. L. de Branges, Hilbert Spaces of Entire Functions, Prentice–Hall (1968):de Branges 相位/空间及 Hermite–Biehler 背景。(普渡大学数学系)
6. A. Böttcher, B. Silbermann, Analysis of Toeplitz Operators, Springer (2006):Toeplitz 框架与压缩算子技术。([SpringerLink][14])
7. DLMF(NIST),§2.10 Euler–Maclaurin、相关余项与误差估计;并见 §24.2 伯努利函数。([dlmf.nist.gov][15])
8. Nyquist–Shannon 采样定理与别名机理(百科/教材性综述)。(维基百科)
9. E. C. Titchmarsh, Paley–Wiener/Titchmarsh 定理(因果—解析性与 Hilbert 变换);Kramers–Kronig 关系物理阐释。(Wolfram MathWorld)
10. L. Brillouin, Wave Propagation and Group Velocity, Academic Press (1960):先驱/前沿速度与因果讨论的经典来源。(互联网档案馆)
11. Berezin 协变/逆协变符号与 Berezin 变换(Toeplitz/Berezin 量化)。([SpringerLink][16])

结论要点

• 三位一体刻度 ${\phi }^{\prime }/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 统一了相位—密度—群延迟;
• 时间即窗化群延迟读数,具可加与规范协变(相对不变),并在 NPE 纪律下非渐近闭合;
• 以真空前沿规范 $c$ 得到无超锥传播与到达时间下界;
• 红移—时间满足互易标度律;分辨率提升与红移放大严格对偶;
• 双缝的窗化互补律 $D^2+V^2\le 1$ 与 which-way 调谐在同一母刻度下统一;
• 构造出 GLS ↔ 因果流形 的互构定理,完成“散射—因果“双向刻画。

[12]: https://pages.stern.nyu.edu/~dbackus/BCZ/entropy/Csiszar_geometry_AP_75.pdf?utm_source=chatgpt.com “$I$-Divergence Geometry of Probability Distributions and …” [13]: https://chaosbook.org/library/WignerDelay55.pdf?utm_source=chatgpt.com “Lower Limit for the Energy Derivative of the Scattering …” [14]: https://link.springer.com/book/10.1007/3-540-32436-4?utm_source=chatgpt.com “Analysis of Toeplitz Operators” [15]: https://dlmf.nist.gov/2.10?utm_source=chatgpt.com “DLMF: §2.10 Sums and Sequences ‣ Areas ‣ Chapter 2 …” [16]: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4612-0255-4_12?utm_source=chatgpt.com “Berezin-Toeplitz Quantization”