GLS ↔ 因果流形：互构定理与范畴等价

Version: 1.11

摘要

构造“窗化散射—读数“范畴 $\mathbf{WScat}$ 与“因果流形“范畴 $\mathbf{Cau}$，给出函子 $$\mathfrak{F}:\mathbf{WScat}\to \mathbf{Cau},\mathfrak{G}:\mathbf{Cau}\to \mathbf{WScat},$$ 并严格证明二者（在 $\mathbf{WScat}$ 的能量依赖幺正规范等价类上）通过自然变换互为等价： $$\mathfrak{F}\circ \mathfrak{G}\simeq {\mathrm{Res}}_{\mathcal{D}(\mathbf{V})},\mathfrak{G}\circ \mathfrak{F}\simeq {\mathrm{Id}}_{\mathbf{WScat}/{\sim }_{\mathrm{gauge}}}.$$ 或者等价地表述为 $$\eta :{\mathrm{Res}}_{\mathcal{D}(\mathbf{V})}\Rightarrow \mathfrak{F}\circ \mathfrak{G},\epsilon :\mathfrak{G}\circ \mathfrak{F}\Rightarrow {\mathrm{Id}}_{\mathbf{WScat}/{\sim }_{\mathrm{gauge}}}.$$ 核心思路为：（i）以前沿时间 $t_{\ast }$ 的单向支撑与有限传播速度建立可达偏序与菱形基拓扑；（ii）调用 Hawking–King–McCarthy（HKM）与 Malament 的因果重构判据，从因果关系（或光观测集族）重建流形拓扑与度量的保角类；（iii）在全局双曲的可处理背景上，以辐射场—Lax–Phillips 理论构造能量可微的幺正散射矩阵 $S(E)$，并由 Birman–Kreĭn 公式与 Wigner–Smith 时间延迟矩阵统一母刻度；（iv）在能量依赖幺正规范 $S\mapsto U(E)S(E)V(E)$ 的相对不变类上确立自然同构。窗化数值读数遵循 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin 的有限阶误差闭合纪律，与因果偏序严格分离。(AIP Publishing)

0. 记号、约定与公理

0.1 记号与对象

能量变量记为 $E$，上半平面 ${\mathbb{C}}^{+}$ 解析性以 Hardy 空间表述。GLS 对象取六元 $$\mathfrak{U}=(\mathcal{H},S(E),{\mu }_{\phi },\mathcal{W},\mathbf{V},\mathbf{\Gamma }),$$ 其中 $\mathbf{V}$ 为观测域，$\mathbf{\Gamma }$ 为 $\mathbf{V}$ 内的类时观测轨道族。 其中 $S(E)$ 为能量可微的幺正纤维算子（允许有限或可分无限维），Wigner–Smith 矩阵与相对态密度定义为 $$\mathsf{Q}(E)=-iS(E{)}^{†}\frac{dS}{dE}(E),{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E).$$ 并满足 §3.1 的相对迹类条件，使 Birman–Kreĭn 公式与 $\mathsf{Q}(E)$ 良定。 谱移函数 $\xi (E)$ 满足 Birman–Kreĭn 公式 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$。窗—核字典 $\mathcal{W}$ 给出窗化读数 $$T[w_R,h]={\int }_{\mathbb{R}}(w_R\ast \check{h})(E){\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE,$$ 其中 $\check{h}(E):=h(-E)$ 为 $h$ 的反射，故 $w_R\ast \check{h}$ 与频域卷积记号一致，窗化读数定义良定；${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$。

母刻度测度 定义为 $$d{\mu }_{\phi }(E):={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)dE.$$ 因此窗化读数统一记为 $$T[w_R,h]={\int }_{\mathbb{R}}(w_R\ast \check{h})(E)d{\mu }_{\phi }(E).$$ 若需链路/端口分辨，可固定通道投影 $P_{\gamma }$ 并令 $${\rho }_{\mathrm{rel},\gamma }(E):=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}(P_{\gamma }\mathsf{Q}(E)P_{\gamma }),$$ 但本文范畴等价仅依赖总迹 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$。

对象自带的光观测集生成：给定类时观测轨道族 $\mathbf{\Gamma }$，对每条 $\gamma \in \mathbf{\Gamma }$ 及源点 $q$ 定义最早非零到达参数 $$t_{\ast }(\gamma ;q):=\inf \{t\in \mathbb{R}:g_{\gamma ,q}(t)\ne 0\},$$ 并令 $$P_{\mathbf{V}}(q):=\{(\gamma ,t_{\ast }(\gamma ;q)):\gamma \in \mathbf{\Gamma },t_{\ast }(\gamma ;q)<+\infty \},L_{\mathbf{V}}(q):=\left\{\gamma \right(t_{\ast }(\gamma ;q)):(\gamma ,t_{\ast }(\gamma ;q))\in P_{\mathbf{V}}(q)\}\subset \mathbf{V}.$$ 重构时使用事件集合 $L_{\mathbf{V}}(q)$（与 KLU 的 light observation set 同构）。 (arXiv)

0.2 公理

公理 I（刻度同一） $$\boxed{\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-{\xi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2\pi }\frac{d}{dE}\arg \det S(E)}$$ 即“相位导数—谱移密度—群延迟迹“统一为母刻度。(arXiv)

公理 II（双时间分离） 因果时间（前沿）定义为最早非零到达 $t_{\ast }(\gamma )=\inf \{t:g_{\gamma }(t)\ne 0\}$。由 Hardy 解析的单向支撑与 Titchmarsh 卷积支撑定理，对任一传播链 $\gamma$ 有 $t_{\ast }(\gamma )\ge 0$，且若 $\gamma ={\gamma }_2\circ {\gamma }_1$ 则 $t_{\ast }(\gamma )=t_{\ast }({\gamma }_2)+t_{\ast }({\gamma }_1)$。当链路具有正几何长度或在 $(\mathcal{M},g)$ 背景满足有限传播速度时，进一步有 $t_{\ast }(\gamma )\ge L_{\gamma }/c>0$。读数层面的窗化时间 $T[w_R,h]$ 仅为操作化刻度，与前沿判据分离。单向支撑由 Hardy 解析—Kramers–Kronig 与 Titchmarsh 卷积支撑定理保证。(维基百科)

公理 III（有限阶 NPE 误差闭合） 窗化积分的数值实现由 Poisson 求和与有限阶 Euler–Maclaurin（EM）公式给出显式误差三分 $${\epsilon }_{\mathrm{total}}={\epsilon }_{\mathrm{alias}}+{\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}},$$ 在带限或有效带限条件下具可计算上界；该误差学仅约束 $T[w_R,h]$ 的数值近似，与因果偏序无涉。(维基百科)

0.3 因果流形与因果重构

$\mathbf{Cau}$ 对象取四维、时间定向、可区分的洛伦兹流形 $(\mathcal{M},g)$。HKM 证明路径拓扑编码因果、微分与保角结构；Malament 证明：在可区分背景下，因果同构（$p\ll q⟺f(p)\ll f(q)$）的双射为光滑保角同构；强因果当且仅当 Alexandrov 拓扑等于流形拓扑。(AIP Publishing)

1. 范畴的定义

1.1 窗化散射范畴 $\mathbf{WScat}$

对象 $\mathfrak{U}=(\mathcal{H},S,{\mu }_{\phi },\mathcal{W},\mathbf{V},\mathbf{\Gamma })$，满足：频域传递函数在 ${\mathbb{C}}^{+}$ 解析，系统被动，无预响应；高频极限与有限传播速度成立。

（无闭回路/无反馈） 传播链图谱无非平凡闭合串联：允许恒等段 $e_U$（$t_{\ast }(e_U)=0$），但不存在由非恒等段组成的闭环。由此 §2.1 的可达关系为偏序。

态射 为保持被动与因果（不产生预响应）的滤镜链 $\mathcal{O}={\mathcal{M}}_{\mathrm{th}}\circ M_i\circ \Phi \circ K_{w,h}$，其 Heisenberg 伴随保持母刻度的线性读数。 规范等价：若存在**能量依赖且可微（至少 $C^1$）**的幺正 $U(E),V(E)$ 使 $S\mapsto U(E)S(E)V(E)$，并且 $$\mathrm{tr}\tilde{\mathsf{Q}}(E)=\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)\text{（等价地：当迹存在时 }\mathrm{tr}(U^{†}{U}^{\prime })+\mathrm{tr}(V^{†}{V}^{\prime })\equiv 0\text{）},$$ 则称两对象规范等价；在该等价类上母刻度 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 及其诱导的窗化读数 $T[w_R,h]$ 不变（§5.4）。在有限维或可定义行列式的情形，上述条件等价于 $$\frac{d}{dE}\arg \det U+\frac{d}{dE}\arg \det V\equiv 0(\text{特别地 }\det U\cdot \det V\equiv \mathrm{const}).$$

1.2 因果流范畴 $\mathbf{Cau}$

对象 为四维、时间定向、可区分且适合辐射场—散射构造的洛伦兹流形 $(\mathcal{M},g)$（例如全局双曲并在无穷远渐近欧氏/双曲或渐近 Minkowski），并在 §3.1 的（Spec）假设下存在辐射场与能量分解 $S(E)$。 态射 为因果嵌入/同构 $f:(\mathcal{M},g)\to (\mathcal{N},h)$，要求对任意 $p,q\in \mathcal{M}$， $$p\ll q⟺f(p)\ll f(q)\text{（在像上保持并反射时间序）}.$$ 在可区分背景下，若 $f$ 为双射，则 $f$ 为光滑保角同构（Malament；HKM）。(AIP Publishing)

2. 从 GLS 到因果流形：函子 $\mathfrak{F}$

2.1 以前沿 $t_{\ast }$ 定义可达偏序

定义（可达关系） 设端口/读出域 $U,V\in \mathbf{V}$，令传播链 $\gamma ={\gamma }_n\circ \cdots \circ {\gamma }_1:U\to V$。定义 $$U⪯V⟺\exists \gamma \text{使}{t}_{\ast }(\gamma )=\sum _{j=1}^n{t}_{\ast }({\gamma }_j)\text{且每个非恒等段 }{t}_{\ast }({\gamma }_j)>0.$$ 规定恒等链 $e_U$ 作为空复合，$t_{\ast }(e_U)=0$，故自反性成立。即 $⪯$ 为链路图的自反传递闭包；传递性由复合链的卷积支撑与 $t_{\ast }$ 可加给出。

由 Hardy 解析—Kramers–Kronig 的单向支撑与 Titchmarsh 卷积支撑，若 $\gamma ={\gamma }_2\circ {\gamma }_1$ 则 $t_{\ast }(\gamma )=t_{\ast }({\gamma }_2)+t_{\ast }({\gamma }_1)$；配合“无闭回路/无反馈“，得偏序。在 $(\mathcal{M},g)\in \mathbf{Cau}$ 的背景下，再由有限传播速度可得附加下界 $t_{\ast }(\gamma )\ge L_{\gamma }/c$（见 §5.3）。单向支撑来自 Kramers–Kronig/Hardy 与 Titchmarsh。(维基百科)

证明（概要且自含）：频域响应 $H\in H^2({\mathbb{C}}^{+})$ 蕴含时域冲激响应在 $t<0$ 为零；串联系统之响应为卷积 $h=h_n\ast \cdots \ast h_1$，由 Titchmarsh 定理得 $\inf \mathrm{supp}(h)={\sum }_j\inf \mathrm{supp}(h_j)$，故若 $\gamma ={\gamma }_2\circ {\gamma }_1$ 则 $t_{\ast }(\gamma )=t_{\ast }({\gamma }_2)+t_{\ast }({\gamma }_1)$。配合各段 $t_{\ast }({\gamma }_j)>0$ 的链路前提与“无闭回路/无反馈“，可达关系之自反传递闭包为偏序。(维基百科)

2.2 光观测集与几何重构

令 $\mathfrak{U}=(\mathcal{H},S,{\mu }_{\phi },\mathcal{W},\mathbf{V},\mathbf{\Gamma })$。在对象自带的观测域 $\mathbf{V}$ 内，取其类时观测轨道族 $\mathbf{\Gamma }$，并按 §0.1 的规则由前沿 $t_{\ast }$ 生成光观测集族 $\{L_{\mathbf{V}}(q):q\in \mathcal{D}(\mathbf{V})\}$（由 $P_{\mathbf{V}}(q)$ 导出）；据此重构 $({\mathcal{M}}_{\mathrm{rec}},[g{]}_{\mathrm{rec}},{⪯}_{\mathrm{rec}})$。

KLU 证明：已知 $\mathbf{V}$ 与光观测集族 $\{L_{\mathbf{V}}(q):q\in \mathcal{D}(\mathbf{V})\}$ 的全体，可重建最大传播域内的拓扑、微分与保角结构（被动/主动两型数据）。

定义（最大传播域） 给定观测域 $\mathbf{V}\subset \mathcal{M}$，令 $$\mathcal{D}(\mathbf{V}):=D^{+}(\mathbf{V})\cap D^{-}(\mathbf{V}),$$ 其中 $D^{\pm }(\mathbf{V})$ 为两侧依赖域（所有经过该点的过去/未来无端因果曲线均与 $\mathbf{V}$ 相交）。在全局双曲且满足本文可处理性假设的背景下，$\mathcal{D}(\mathbf{V})$ 与由光观测集 $P_{\mathbf{V}}(q)$ 界定的“最大可重构区域“一致；通常仅有 $\mathcal{D}(\mathbf{V})\subseteq J^{+}(\mathbf{V})\cap J^{-}(\mathbf{V})$。随后 §4.1 与 §7 中的限制函子均按此 $\mathcal{D}(\mathbf{V})$ 取值。

据此重构 $({\mathcal{M}}_{\mathrm{rec}},[g{]}_{\mathrm{rec}},{⪯}_{\mathrm{rec}})$。进一步，用公理 I 的母刻度 $d{\mu }_{\phi }$ 将 $[g{]}_{\mathrm{rec}}$ 的保角因子唯一定标，得到代表 $g_{\mathrm{rec}}$；故定义 $$\mathfrak{F}(\mathfrak{U}):=({\mathcal{M}}_{\mathrm{rec}},g_{\mathrm{rec}},{⪯}_{\mathrm{rec}}),$$ 从而 $\mathfrak{F}(\mathfrak{U})$ 为 $\mathbf{Cau}$ 对象。(arXiv)

2.3 与因果理论一致性与函子性

HKM 与 Malament 给出：在可区分背景下，因果同构（$p\ll q⟺f(p)\ll f(q)$）的双射为光滑保角同构；强因果当且仅当 Alexandrov 拓扑等于流形拓扑。滤镜链态射保持被动与因果，不产生“提前到达“，故诱导偏序的单调映射；规范等价不改变 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 与前沿结构，故 $\mathfrak{F}$ 良定且具函子性。(AIP Publishing)

3. 从因果流形到 GLS：函子 $\mathfrak{G}$

3.1 辐射场与幺正散射

附加假设（Spec）：存在一参数幺正群 $U(t)=e^{-itH}$（$H$ 自伴），散射算子 $S$ 与 $U(t)$ 交换，使得在 $H$ 的谱分解下 $S$ 纤维化为 $S(E)$；并且 $E\mapsto S(E)$ 可微且满足 Birman–Kreĭn 公式适用的相对迹类条件（由此 $\det S(E)$、$\xi (E)$ 与 $\mathsf{Q}(E)$ 良定）。

在全局双曲且渐近可处理（如渐近欧氏/双曲或渐近 Minkowski）的 $(\mathcal{M},g)$ 上，波动算子（或 Klein–Gordon）之解在 ${\mathcal{I}}^{\pm }$ 的辐射场限制诱导“入–出“空间的幺正同构，构造散射算子 $S:{\mathcal{H}}_{\mathrm{in}}\to {\mathcal{H}}_{\mathrm{out}}$，并获得能量分解 $S(E)$。Lax–Phillips 与辐射场文献系统构建了该表示及相应逆问题。(Project Euclid)

3.2 母刻度与窗化读数

由公理 I 定义 $\mathsf{Q}=-i{S}^{†}{S}^{\prime }$ 与 ${\rho }_{\mathrm{rel}}=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}=-{\xi }^{\prime }(E)$，以 Toeplitz/Berezin 窗—核族 $\mathcal{W}$ 给出窗化读数 $T[w_R,h]$。该母刻度等式在电磁/微分形式散射中同样成立。(arXiv)

3.3 前沿一致与函子性

全局双曲性与有限传播速度给出 $t_{\ast }\ge L_{\gamma }/c$（$L_{\gamma }$ 为相对于 $g$ 的链路几何长度）；高频测地极限取等号，故由 $(\mathcal{M},g)$ 构造之 GLS 的前沿与其因果锥一致。保角同构诱导辐射场的幺正等价与 $S$ 的等价表示，给出 $\mathbf{WScat}$ 的态射。

观测方案（Obs）：对每个 $(\mathcal{M},g)$ 选定类时开集 $\mathbf{V}$ 及其类时观测轨道族 $\mathbf{\Gamma }$；对因果嵌入 $f$ 取像 $(f(\mathbf{V}),f_{\ast }\mathbf{\Gamma })$ 以保持函子性。于是 $$\mathfrak{G}(\mathcal{M},g):=(\mathcal{H},S,{\mu }_{\phi },\mathcal{W},\mathbf{V},\mathbf{\Gamma }).$$ (arXiv)

4. 自然等价的构造与证明

4.1 $\mathfrak{F}\circ \mathfrak{G}\simeq {\mathrm{Res}}_{\mathcal{D}(\mathbf{V})}$

将 $(\mathcal{M},g)$ 送入 $\mathfrak{G}$ 得 $S(E)$ 与前沿簿记，再由 $\mathfrak{F}$ 以 $t_{\ast }$ 与 $P_{\mathbf{V}}(q)$ 重建。KLU 断言：在四维背景下，给定 $\mathbf{V}$ 与 $P_{\mathbf{V}}(q)$ 的全体，可重建最大传播域内的拓扑、微分与保角结构；配合 Malament，因果同构的双射即为光滑保角同构。构造自然同构 $${\eta }_{(\mathcal{M},g)}:(\mathcal{M},g){|}_{\mathcal{D}(\mathbf{V})}\stackrel{\sim }{⟶}\mathfrak{F}(\mathfrak{G}(\mathcal{M},g)),$$ 其中 $\mathbf{V}$ 为 $\mathfrak{G}(\mathcal{M},g)$ 输出对象的观测域分量；若 $\mathbf{V}$ 覆盖有效外边界，则 ${\eta }_{(\mathcal{M},g)}$ 退化为 ${\mathrm{Id}}_{(\mathcal{M},g)}$。自然性来自态射层的因果保持与辐射场的协变性。(arXiv)

4.2 $\mathfrak{G}\circ \mathfrak{F}\simeq {\mathrm{Id}}_{\mathbf{WScat}/{\sim }_{\mathrm{gauge}}}$

$\mathfrak{F}$ 仅以前沿与光观测集重建保角几何，未固定能量/通道基与参考相位。对能量依赖幺正 $U,V$ 有 $\tilde{S}=USV$，迹变换为 $$\mathrm{tr}\tilde{\mathsf{Q}}=\mathrm{tr}\mathsf{Q}-i\mathrm{tr}(U^{†}{U}^{\prime })-i\mathrm{tr}(V^{†}{V}^{\prime }).$$ 在有限维或可定义（Fredholm）行列式的情形，上式等价于 $$\mathrm{tr}\tilde{\mathsf{Q}}=\mathrm{tr}\mathsf{Q}+\frac{d}{dE}(\arg \det U+\arg \det V).$$ 因而当 $\det U\cdot \det V\equiv 1$（或相位导数和为零）时，$\mathrm{tr}\tilde{\mathsf{Q}}=\mathrm{tr}\mathsf{Q}$，从而所有由 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 诱导的窗化读数 $T[w_R,h]$ 保持不变，存在自然同构 ${\epsilon }_{\mathfrak{U}}:\mathfrak{G}(\mathfrak{F}(\mathfrak{U}))\stackrel{\sim }{\to }\mathfrak{U}$ 于规范等价类上。自然性来自态射与规范同余的兼容性（§5.4 详细证明）。

4.3 范畴等价

由 4.1–4.2，$(\mathfrak{F},\mathfrak{G};\eta ,\epsilon )$ 给出 ${\mathrm{Res}}_{\mathcal{D}(\mathbf{V})}(\mathbf{Cau})$ 与 $\mathbf{WScat}/{\sim }_{\mathrm{gauge}}$ 的等价；当 $\mathbf{V}$ 覆盖有效外边界时退化为 $\mathbf{Cau}\simeq \mathbf{WScat}/{\sim }_{\mathrm{gauge}}$。其一端依赖 HKM–Malament 的因果—保角重构，另一端依赖辐射场散射与 Birman–Kreĭn—Wigner–Smith 母刻度。(AIP Publishing)

5. 关键引理与详细证明

5.1 Hardy 解析 $\Rightarrow$ 单向支撑（含卷积支撑）

引理 5.1（Kramers–Kronig/Hardy） 若频域响应 $H\in H^2({\mathbb{C}}^{+})$ 且高频衰减，则其时域冲激响应 $h(t)=0$ 于 $t<0$。 证明：$H$ 为上半平面解析且边值在 $L^2$，由 Sokhotski–Plemelj 与 Hilbert 变换得实/虚部互为 Hilbert 共轭；逆傅里叶后 $h$ 为因果核，故 $t<0$ 为零。(维基百科)

引理 5.2（Titchmarsh 卷积定理） 紧支撑（或适当衰减）函数/分布 $f,g$ 满足 $\inf \mathrm{supp}(f\ast g)=\inf \mathrm{supp}f+\inf \mathrm{supp}g$， $\sup \mathrm{supp}(f\ast g)=\sup \mathrm{supp}f+\sup \mathrm{supp}g$。 证明：见 Titchmarsh 原理；对 $h=f\ast g$ 的拉普拉斯域零点与支撑端点对应性建立上述等式。由此串联系统的最早到达时间为各段之和。(维基百科)

命题 5.3（有限传播速度） 全局双曲背景上的线性波动方程满足有限传播速度：设初值 $(u(0,\cdot ),{\partial }_{t}u(0,\cdot ))$ 的支撑包含于 $B_r$。则对任意 $t\ge 0$，有 $$\mathrm{supp}u(t,\cdot )\subseteq \{x\in \mathcal{M}:d_g(x,B_r)\le ct\}.$$ 等价地：若初值在开集 $O$ 上为零，则解在 $D(O)$ 的补集上为零（域依赖性）。 证明（略）：由能量估计与域依赖性定理得到该支撑传播上界。详见几何波动方程综述与讲义。(ljll.fr)

结论：由引理 5.1–5.2（单向支撑与卷积支撑），对任一传播链 $\gamma$ 有 $t_{\ast }(\gamma )\ge 0$，且若 $\gamma ={\gamma }_2\circ {\gamma }_1$ 则 $t_{\ast }(\gamma )=t_{\ast }({\gamma }_2)+t_{\ast }({\gamma }_1)$；在 $(\mathcal{M},g)$ 的背景下，由有限传播速度可进一步得 $t_{\ast }(\gamma )\ge L_{\gamma }/c$。配合“恒等链 $e$：$t_{\ast }(e)=0$“与“无闭回路/无反馈”，§2.1 的可达关系为偏序。该几何下界不进入 $\mathbf{WScat}$ 的偏序定义。

5.2 光观测集重构（KLU）

定理 5.4（被动/主动逆问题） 已知类时测地邻域 $\mathbf{V}$ 与其上的保角类，以及所有源点 $q\in \mathcal{D}(\mathbf{V})$ 的光观测集族 $P_{\mathbf{V}}(q)$，可唯一重建 $\mathcal{D}(\mathbf{V})$ 的拓扑、微分与保角结构（四维时由源—解映射进一步强化）。 证明：KLU 通过非线性相互作用的讯号合成与波前集几何，建立由 $P_{\mathbf{V}}(q)$ 到保角结构的可逆映射；被动型以光观测集的集合论数据重构边界光学测度与共形类，主动型以源—解算子拓展至非线性传播。(arXiv)

5.3 辐射场—散射与母刻度（幺正性与能量分解）

定理 5.5（辐射场与 Lax–Phillips） 在渐近欧氏/双曲或渐近 Minkowski 背景，辐射场给出波群的平移表示与幺正的入—出散射算子 $S$，并随能量分解为 $S(E)$。 证明：Friedlander–Melrose–Sá Barreto 等发展了 ${\mathcal{I}}^{\pm }$ 上的辐射场与散射矩阵；Lax–Phillips 框架提供幺正平移表示。(math.purdue.edu)

定理 5.6（Birman–Kreĭn—Wigner–Smith） 对能量可微的幺正散射 $S(E)$，有 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$、$\mathsf{Q}=-i{S}^{†}{S}^{\prime }$，于是 $$\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-{\xi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2\pi }\frac{d}{dE}\arg \det S(E).$$ 证明：由 $\frac{d}{dE}\ln \det S=\mathrm{tr}(S^{-1}{S}^{\prime })=\mathrm{tr}(S^{†}{S}^{\prime })$ 与单值支配的相位选择；Wigner（1955）与 Smith（1960）分别给出群延迟与寿命矩阵之物理—数学基础。(arXiv)

5.4 规范协变与 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 的相对不变性

令 $\tilde{S}=USV$（$U,V$ 幺正且可微）。计算得 $$\begin{array}{rl}\tilde{\mathsf{Q}}& =-i{\tilde{S}}^{†}{\tilde{S}}^{\prime }=-i{V}^{†}{S}^{†}{U}^{†}(U^{\prime }SV+U{S}^{\prime }V+US{V}^{\prime })\\ & =-i{V}^{†}{S}^{†}(U^{†}{U}^{\prime })SV-i{V}^{†}{S}^{†}{S}^{\prime }V-i{V}^{†}{V}^{\prime },\end{array}$$ 故 $$\mathrm{tr}\tilde{\mathsf{Q}}=\mathrm{tr}\mathsf{Q}-i\mathrm{tr}(U^{†}{U}^{\prime })-i\mathrm{tr}(V^{†}{V}^{\prime }).$$ 在有限维或可定义（Fredholm）行列式且上述迹存在的情形，上式等价于 $$\mathrm{tr}\tilde{\mathsf{Q}}=\mathrm{tr}\mathsf{Q}+\frac{d}{dE}(\arg \det U+\arg \det V).$$ 因而当 $\det U\cdot \det V\equiv 1$（或相位导数和为零）时，$\mathrm{tr}\tilde{\mathsf{Q}}=\mathrm{tr}\mathsf{Q}$。一般情形取参考 $S_{\mathrm{ref}}$ 以构造相对读数 $\mathrm{tr}(\mathsf{Q}-{\mathsf{Q}}_{\mathrm{ref}})$，窗化积分保持不变。由此 §4.2 的自然同构成立。

5.5 双时间分离与无信号红线

由 5.1–5.3，因果与“无信号“仅由前沿 $t_{\ast }$ 与类光锥决定；在 $(\mathcal{M},g)\in \mathbf{Cau}$ 的背景下，可进一步以链路几何长度给出物理下界 $t_{\ast }(\gamma )\ge L_{\gamma }/c$，而该几何下界不进入 $\mathbf{WScat}$ 的偏序定义。读数层面的负群延迟、Hartman 饱和等现象不触及前沿红线，因而与因果不冲突。(物理评论链接管理器)

5.6 NPE 数值账本（实现无关性）

对被积函数 $f(E)=w_R(E)[\check{h}\ast {\rho }_{\mathrm{rel}}](E)$，若严格带限则有 Poisson 求和等式 $\int f=\Delta {\sum }_{n\in \mathbb{Z}}f(E_0+n\Delta )$；一般情形误差分解为 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}+{\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}}$，其中 ${\epsilon }_{\mathrm{EM}}$ 由有限阶 Euler–Maclaurin 给出显式端点校正，${\epsilon }_{\mathrm{tail}}$ 由窗/核的外带衰减控制。该误差学仅影响 $T[w_R,h]$ 的数值稳定性，与 §2 的因果偏序无涉。(维基百科)

6. 非幺正观测的幺正扩张（附录）

实际测量的非幺正（POVM/通道）可由 Stinespring/Naimark 扩张嵌入更大 Hilbert 空间，在扩张空间中由幺正演化与 PVM 实现；故在“全宇宙幺正—子系统有效非幺正“的立场下，公理 I 与 §5.4 的规范协变保持成立。(维基百科)

7. 主定理（范畴等价）与推论

主定理 令 $\mathbf{WScat}$ 为满足公理 I–III、Hardy 解析、被动、有限传播速度与高频极限的窗化散射系统类；$\mathbf{Cau}$ 为四维、可区分并适合辐射场—散射构造的洛伦兹流形类。设 ${\mathrm{Res}}_{\mathcal{D}(\mathbf{V})}:\mathbf{Cau}\to \mathbf{Cau}$ 为限制到最大传播域的函子，${\mathrm{Res}}_{\mathcal{D}(\mathbf{V})}(\mathcal{M},g)=(\mathcal{M},g){|}_{\mathcal{D}(\mathbf{V})}$，其中 $\mathbf{V}$ 来自 $\mathfrak{G}(\mathcal{M},g)$ 的对象分量。则存在自然变换 $$\eta :{\mathrm{Res}}_{\mathcal{D}(\mathbf{V})}\Rightarrow \mathfrak{F}\circ \mathfrak{G},\epsilon :\mathfrak{G}\circ \mathfrak{F}\Rightarrow {\mathrm{Id}}_{\mathbf{WScat}/{\sim }_{\mathrm{gauge}}}.$$ 若观测域 $\mathbf{V}$ 覆盖有效外边界，则 $\mathcal{D}(\mathbf{V})=\mathcal{M}$，从而 $\eta$ 退化为 ${\mathrm{Id}}_{\mathbf{Cau}}$。证明见 §2–§5。(AIP Publishing)

推论（order+number 佐证） “因果 + 计数“可定保角类与体积因子；在离散化语境，因果集方案以偏序与局部有限性重建几何，呼应本文的“前沿—保角—母刻度“链路。(物理评论链接管理器)

参考文献（选）

Hawking, King, McCarthy, A new topology for curved space-time which incorporates the causal, differential, and conformal structures, J. Math. Phys. 17 (1976). (AIP Publishing) Malament, The class of continuous timelike curves determines the topology of spacetime, J. Math. Phys. 18 (1977). (AIP Publishing) Kurylev–Lassas–Uhlmann, Inverse problems for Lorentzian manifolds and non-linear hyperbolic equations, arXiv:1405.3386. (arXiv) Lax–Phillips, Scattering Theory（及相关综述/讲义）。(Project Euclid) Sá Barreto 等，Radiation fields, scattering and inverse problems。(math.purdue.edu) Pushnitski 等，Birman–Kreĭn/spectral shift（综述与变体）。(arXiv) Wigner, Lower Limit for the Energy Derivative of the Scattering Phase Shift, Phys. Rev. 98 (1955)；Smith, Lifetime Matrix in Collision Theory, Phys. Rev. 118 (1960)。(物理评论链接管理器) Kramers–Kronig、Paley–Wiener、Titchmarsh 卷积定理等经典运算—支撑判据。(维基百科) Bombelli–Lee–Meyer–Sorkin, Space-time as a causal set, Phys. Rev. Lett. 59 (1987)。(物理评论链接管理器) Stinespring、Naimark 扩张定理（通道与测度的幺正实现）。(维基百科)

附注（可检核要点） （a）全篇因果—读数位阶分离：偏序只由 $t_{\ast }$ 与类光锥决定；窗化读数只承担操作刻度；（b）范畴等价在 $\mathbf{WScat}/{\sim }_{\mathrm{gauge}}$ 上成立，规范项以行列式相消；（c）数值误差账本（NPE）不进入因果与等价的证明链。