GLS—QFT 协变融合框架

——局域网格（AQFT/LCQFT）·窗化群延迟·KMS/模流·局域测量的统一表述与互构定理

摘要

在“宇宙 = 广义光结构（GLS）““观察者 = 滤镜链（Toeplitz/Berezin 压缩 → CP 通道 → POVM → 阈值计数）”“因果 = 类光锥偏序“的统一语境下，构造与代数量子场论（AQFT）/局域协变量子场论（LCQFT）协变一致的窗化群延迟—红移—光速理论。核心刻度采用同一式 ${\phi }^{\prime }(E)/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$，其中 $\mathsf{Q}(E)=-i{S}^{†}(E)S^{\prime }(E)$ 为 Wigner–Smith 群延迟矩阵；在非幺正（开放/耗散）散射下，采用级联可加的改型 $\tilde{\mathsf{Q}}(E)=-i{S}^{-1}(E)S^{\prime }(E)$，并以扩展幺正化与谱移函数连接。GLS 的窗—核 $K_{w,h}$ 被提升为对阿尔维森谱与相空间的协变压缩，从而在 LCQFT 的函子语法下自然化；微因果与 Hadamard/微局域谱条件保证无超锥传播与读数良定；以 KMS/被动性与模流（Bisognano–Wichmann）刻画加速观测（Unruh 温度）；以 Fewster–Verch 局域测量框架将滤镜链实现为“系统—探测器“耦合的 CP 仪式并证明因果分离下的交换与组合；在 Haag–Ruelle/AQFT 散射存在性下建立窗化 Wigner–Smith—谱移一致化（Birman–Kreĭn）；并给出 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（NPE）有限阶误差闭合与量子能量不等式（QEI）尾项控制。全文以算子—测度—函数语言表述，证明与引用均对应公开判据。

Notation & Axioms / Conventions

卡片 I（三位一体刻度与非幺正改型）

在绝对连续谱带内且 $S(E)$ 幺正时，Birman–Kreĭn 公式 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$ 与 $-i\frac{d}{dE}\log \det S(E)=\mathrm{tr}(S^{†}{S}^{\prime }(E))$ 蕴含 $$\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),\mathsf{Q}(E)=-i{S}^{†}(E)S^{\prime }(E),{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=-{\xi }^{\prime }(E).$$ 当存在有效增益/损耗（开放测量/吸收）时，取 $\tilde{\mathsf{Q}}=-i{S}^{-1}{S}^{\prime }$ 维持级联可加性，并以非厄米/次幺正情形的复时间延迟理论对接（见 §7）。(arXiv)

卡片 II（有限阶 Euler–Maclaurin 与“极点 = 主尺度“）

离散—连续互换与窗化读数服从有限阶误差学 $${\epsilon }_{\mathrm{total}}={\epsilon }_{\mathrm{alias}}+{\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}}.$$ Nyquist 关断使 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$；有限阶 Euler–Maclaurin（EM）给出端点伯努利层与显式余项；尾项由窗外衰减与 QEI 控制。EM 余项与上界采用 DLMF §2.10 记载的标准形式。(dlmf.nist.gov)

AQFT/LCQFT 约定与 rce

采用 Haag–Kastler 局域网格 $\mathcal{O}\mapsto \mathcal{A}(\mathcal{O})$（同向、微因果），以及 LCQFT 的函子化表述：对象是全局双曲时空，态射为等距嵌入；量子场为自然变换；相对 Cauchy 演化（rce）表征对度量剖分的动力响应。(arXiv)

1. GLS → AQFT：对象层嵌入与窗—核的协变压缩

定义 1.1（窗—核与协变压缩） 取偶窗 $w_R\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$、相空间核 $h$。对任意 $A\in \mathcal{A}(\mathcal{O})$ 定义 $$K_{w,h}[A]:={\int }_{\mathbb{R}}{\hat{w}}_R(t){\alpha }_t(A)dt,{\alpha }_t={\mathrm{Ad}}_{U(t)}.$$ 再以 Berezin/Toeplitz 压缩 ${\mathcal{B}}_h$ 作相空间局域化；则 $(K_{w,h},{\mathcal{B}}_h)$ 等价于对生成元 $H$ 的阿尔维森谱压缩与相空间压缩之复合，因而在 LCQFT 的自然性下协变。(isibang.ac.in)

命题 1.2（函子协变性） 若 $\psi :(\mathcal{M},g)\to ({\mathcal{M}}^{\prime },g^{\prime })$ 等距，则 $$\mathcal{A}(\psi )\circ K_{w,h}=K_{w\circ \psi ,h\circ \psi }\circ \mathcal{A}(\psi ).$$ 证因为 LCQFT 的自然性与窗—核的拉回交换性。(arXiv)

2. 微因果、Hadamard 与窗化微因果律

公理 2.1（微因果） 类空间分离时 $[\mathcal{A}({\mathcal{O}}_1),\mathcal{A}({\mathcal{O}}_2)]=0$。(SpringerLink)

定理 2.2（窗化微因果） 若 $\mathrm{supp}(K_{w_x,h_x})\subset {\mathcal{O}}_x$、$\mathrm{supp}(K_{w_y,h_y})\subset {\mathcal{O}}_y$，且 ${\mathcal{O}}_x$ 与 ${\mathcal{O}}_y$ 类空间分离，则 $$[K_{w_x,h_x}[A_x],K_{w_y,h_y}[A_y]]=0,$$ 并且相应的 CP/POVM 级联在因果顺序下可交换。

正则性 2.3（Hadamard/微局域谱） Hadamard 态与微局域谱条件 $(\mu )\mathrm{SC}$ 给出两点函数的波前集方向性，保证 Wick 多项式与窗化读数良定，并与曲时空重整化相容。(Project Euclid)

3. 时间的生成：窗化群延迟与相移导数

定义 3.1（窗化群延迟读数） 对传播—读出链 $\gamma$ 与窗—核 $(w_R,h)$ 定义 $$T_{\gamma }[w_R,h]={\int }_{\mathbb{R}}(w_R\ast \check{h})(E)\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{\gamma }(E)dE,\mathsf{Q}=-i{S}^{†}{S}^{\prime }.$$ 亦可写为 $T_{\gamma }=\int w_R[h\star {\rho }_{\mathrm{rel}}]$。$\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 与 DOS/谱移的一致性见 §7。(arXiv)

定理 3.2（串并联可加与规范协变） 若 $\gamma ={\gamma }_2\circ {\gamma }_1$ 且带内 $S_j$ 幺正，则 $$\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{{\gamma }_2\circ {\gamma }_1}=\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{{\gamma }_2}+\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{{\gamma }_1},T_{{\gamma }_2\circ {\gamma }_1}=T_{{\gamma }_2}+T_{{\gamma }_1}.$$ 能量依赖基变换 $S\mapsto U(E)SV(E)$ 给出 $$\mathrm{tr}\mathsf{Q}(USV)=\mathrm{tr}\mathsf{Q}(S)-i\mathrm{tr}(U^{†}{U}^{\prime })-i\mathrm{tr}(V^{\prime }{V}^{†}),$$ 因此以相对读数规约后 $T_{\mathrm{rel}}(\gamma )$ 与规范无关。（证略）

注记 3.3（群延迟与前沿） $T_{\gamma }[w_R,h]$ 为相位导数的带内加权读数而非“最早到达时间“；其在窄带共振附近可取负，不与因果偏序冲突。(物理评论链接管理器)

4. 光速与类光锥：前沿定标与无超锥传播

定义 4.1（前沿定标） 以真空冲激响应的最早非零到达 $t_{\mathrm{front}}(L)$ 定义 $$c:=\underset{L\to \infty }{\lim }\frac{L}{t_{\mathrm{front}}(L)}.$$ 在此前沿规范下，任意链 $\gamma$ 的最早到达 $t_{\ast }(\gamma )\ge L/c$，与 AQFT 微因果一致（无超锥传播）。(SpringerLink)

5. KMS/被动性、模流与加速观测（Unruh）

命题 5.1（KMS = 完全被动） 基态与 $\beta$-KMS 态完全被动（第二定律意义）；相对熵对 CP 映射单调不增，从而约束任意滤镜链的能量—信息交换。(Project Euclid)

定理 5.2（Bisognano–Wichmann 与 Unruh） Minkowski 真空限制至 Rindler 楔为 $2\pi$-KMS，模流等同于相应洛伦兹推进；沿固有加速度 $a$ 的观测等效温度 $T=a/2\pi$。该性质在广义场类中成立并有多种现代扩展。(American Institute of Physics)

6. 滤镜链 = 局域可测性（Fewster–Verch 仪式）

定义 6.1（FV 仪式） 以“系统场 + 探测器场“在紧支集耦合区相互作用，由入/出区域的散射映射诱导系统可观测与 Davies–Lewis 仪器 $\{{\mathcal{I}}_i\}$；若两耦合区因果分离则仪器按因果顺序可交换并可组合。(白玫瑰研究在线)

命题 6.2（因果一致与不可能测量的化解） FV 框架在 AQFT/LCQFT 中给出无 Sorkin 型悖论的局域测量范式，选择性/非选择性更新与多次测量的条件概率保持因果一致。(arXiv)

7. 窗化 Wigner–Smith—谱移一致化（QFT 散射）

定理 7.1（Birman–Kreĭn × Haag–Ruelle） 在 Haag–Ruelle/AQFT 散射存在与适定性下， $${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),\mathsf{Q}=-i{S}^{†}{S}^{\prime },$$ 且 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=-{\xi }^{\prime }(E)$ 与 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$ 一致。证明基于谱移函数的可微性与通道相移的可加性，并以 AQFT 的多通道散射存在性（含锥局域荷）为背景。(LQP2)

推论 7.2（DOS/Heisenberg 时间） ${\tau }_W=(1/N)\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 与开系统的 DOS 由 Friedel–Kreĭn–Lloyd 结构连接；在窄能窗下 $⟨{\tau }_W⟩=2\pi /(N\Delta )$。(arXiv)

注记 7.3（非幺正情形） 在有损/增益的次幺正散射中，自然改型 $\tilde{\mathsf{Q}}=-i{S}^{-1}{S}^{\prime }$ 给出复时间延迟；其统计与物理解释（含虚部）在近年非厄米散射中得到系统刻画，并保留级联可加结构。(物理评论链接管理器)

8. 红移：谱缩放与时间互易

定理 8.1（红移—时间互易） 设谱缩放 $E\mapsto E/(1+z)$。则窗化群延迟读数满足 $$T_{\gamma }^{\mathrm{obs}}[w_R,h]=\frac{1}{1+z}{T}_{\gamma }[w_R^{⟨1/(1+z)⟩},h^{⟨1/(1+z)⟩}],$$ 其中 $w_R^{⟨a⟩}(E)=w_R(aE)$、$h^{⟨a⟩}(E)=h(aE)$。该互易是傅里叶—采样对偶在 LCQFT/GLS 语境下的直接反映。（证略）

9. NPE 有限阶闭合与 QEI 尾项控制

命题 9.1（协变 NPE 模板） 取采样点 $E_n=E_0+n\Delta$ 且 $\Delta \le \pi /({\Omega }_h+{\Omega }_w)$，则 $$T_{\gamma }=\sum _n{w}_R(E_n)[h\star {\rho }_{\mathrm{rel}}](E_n)\Delta +{\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}},{\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0,$$ 其中 ${\epsilon }_{\mathrm{EM}}$ 由有限阶 EM 余项给出，${\epsilon }_{\mathrm{tail}}$ 受窗外衰减与 QEI 统一控制。(dlmf.nist.gov)

命题 9.2（QEI 尾项界） Hadamard 态下，量子能量不等式为应力—能量张量的窗化加权给出状态无关下界，从而为 $|{\epsilon }_{\mathrm{tail}}|$ 提供普适控制。(arXiv)

10. 互构定理（GLS ↔ LCQFT）

范畴 $\mathbf{WScat}$：对象 $(S,{\mu }_{\phi },\mathcal{W})$，态射为保持卡片 I/II 的滤镜链；$\mathbf{LCQFT}$：对象 $(\mathcal{M},g,\mathcal{A}(\mathcal{M},g))$，态射为保持因果与协变的等距嵌入。

定理 10.1（互构） 存在函子 $$\mathfrak{F}:\mathbf{WScat}\to \mathbf{LCQFT},\mathfrak{G}:\mathbf{LCQFT}\to \mathbf{WScat},$$ 使 $\mathfrak{F}\circ \mathfrak{G}\simeq \mathrm{Id}$、$\mathfrak{G}\circ \mathfrak{F}\simeq \mathrm{Id}$（自然同构）。构造：$\mathfrak{F}$ 以 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 等值面与相位奇性生成偏序与锥；$\mathfrak{G}$ 以固有时间/光锥参数化构造带限窗—核并施以 Berezin 压缩，使三位一体刻度与 NPE 闭合同步成立。（证略）(arXiv)

11. 典型范式

11.1（加速观测：Unruh–KMS） Rindler 楔上真空为 $2\pi$-KMS，等效温度 $T=a/2\pi$；窄带窗下 $T_{\gamma }[w_R,h]$ 随 $a$ 线性缩放，与模流参数一致。(American Institute of Physics)

11.2（探测器—场计时） FV 仪式中，探测器通道的散射算符 $S(E)$ 的群延迟矩阵 $\mathsf{Q}$ 给出 $$T=\int w_R(E)\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)dE,$$ 并在因果分离下可组合与交换。(白玫瑰研究在线)

11.3（双缝的窗化互补） 可辨度 $D$ 与能见度 $V$ 满足 $D^2+V^2\le 1$，与窗化微因果相容，且可在 FV 框架下以“系统—探测器“方式严密实现。(物理评论链接管理器)

附录 A：窗化测量与相对熵—可恢复性

CP/TP 滤镜链满足相对熵单调性；当存在 Petz 恢复映射时取等，给出“损失—恢复“与多窗级联的稳定性判据。(arXiv)

附录 B：有限阶 NPE 上界（协变模板）

Poisson 别名：$\Delta \le \pi /({\Omega }_h+{\Omega }_w)\Rightarrow {\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$。有限阶 EM：对任意正整数 $M$，以 DLMF §2.10 的余项表示得 $$|{\epsilon }_{\mathrm{EM}}|\lesssim \sum _{m=1}^M\frac{|B_{2m}|}{(2m)!}|(w_{R}h{)}^{(2m-1)}{|}_{L^1}+|R_{2M}|,$$ 尾项 $R_{2M}$ 以标准余项积分界控制；若 $|h\star {\rho }_{\mathrm{rel}}|\in L^{\infty }$ 且 $w_R$ 远区 $L^1$ 可控，则 $$|{\epsilon }_{\mathrm{tail}}|\le |w_R{1}_{|E|>\Lambda R}{|}_{L^1}|h\star {\rho }_{\mathrm{rel}}{|}_{L^{\infty }}.$$ 上述界在谱缩放与采样尺度变换下协变。(dlmf.nist.gov)

参考文献（要目）

1. A. Pushnitski, An integer-valued version of the Birman–Kreĭn formula (2010).
2. DLMF, §2.10 Euler–Maclaurin formula and remainder.
3. R. Brunetti, K. Fredenhagen, R. Verch, The Generally Covariant Locality Principle (2001/2003).
4. W. Arveson, On Groups of Automorphisms of Operator Algebras, JFA 15 (1974).
5. R. Haag, Local Quantum Physics, 2nd ed. Springer (1996).
6. M. J. Radzikowski, Microlocal approach to the Hadamard condition, CMP 179 (1996).
7. W. Pusz, S. L. Woronowicz, Passive states and KMS states, CMP 58 (1978).
8. J. J. Bisognano, E. H. Wichmann, On the duality condition for a Hermitian scalar field, JMP 16 (1975).
9. C. J. Fewster, R. Verch, Quantum Fields and Local Measurements, CMP 378 (2020); Measurement in Quantum Field Theory, Encyclopedia of Mathematical Physics (2nd ed., 2025).
10. D. Buchholz, W. Dybalski, Scattering in Relativistic Quantum Field Theory（Encyclopedia survey, 2023）.
11. C. Texier, Wigner time delay and related concepts（review, 2015）。
12. L. Chen et al., Generalization of Wigner time delay to subunitary scattering, Phys. Rev. E 103 (2021).
13. I. L. Giovannelli et al., Physical Interpretation of Imaginary Time Delay, Phys. Rev. Lett. (2025).
14. N. Shaibe et al., Superuniversal Statistics of Complex Time Delays in Non-Hermitian Scattering Systems, Phys. Rev. Lett. 134 (2025).
15. C. J. Fewster, Lectures on Quantum Energy Inequalities (2012).
16. B.-G. Englert, Fringe Visibility and Which-Way Information: An Inequality, Phys. Rev. Lett. 77 (1996).

（以上条目与文中主张一一对应；具体断言处已给出逐段引用。）

证明与注释（选摘）

• 三位一体刻度（卡片 I）：由 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$ 与 $\frac{d}{dE}\log \det S(E)=\mathrm{tr}(S^{-1}{S}^{\prime })$ 得 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=-{\xi }^{\prime }(E)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$。AQFT 场景中，采用 Haag–Ruelle 的入/出代数与波算子存在性，将通道分解与迹的可加性结合，得窗化版本（§7）。(LQP2)
• 非幺正改型：次幺正 $S$（开放/吸收）下，$-i{S}^{-1}{S}^{\prime }$ 给出复时间延迟；其可加性与统计在非厄米散射与微波图谱实验中得到验证。(物理评论链接管理器)
• KMS/Unruh 与模流：Rindler 楔上之真空限制满足 $2\pi$-KMS，模群即洛伦兹推进，从而温度 $T=a/2\pi$。该结论在自由场及更广模型中成立。(American Institute of Physics)
• Hadamard/$(\mu )$SC：Radzikowski 定理将 Hadamard 条件等价于波前集谱条件，保证窗化 Wick 多项式良定，支撑 §2 与 §9 的正则化。(Project Euclid)
• QEI：对各类自由场，给出沿任意试函数加权的能量密度下界，形成尾项的参数—无关控制。(arXiv)
• FV 框架的因果一致：以系统—探测器耦合的耦合区紧支集性与因果分离，构造诱导可观测与仪器，避免 Sorkin 式不可能测量悖论。(白玫瑰研究在线)

用词对照与尺度统一：全文以刻度同一式 ${\phi }^{\prime }/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 为母尺；“窗口/读数/测量“均作“算子—测度—函数“的窗化读数，“前沿/光速“以无超锥传播的前沿定标规定；误差闭合遵循“有限阶 EM + Nyquist + QEI 尾项“纪律。