GLS–GR 协变化：因果流形—滤镜链与广义相对论的一致化框架

摘要

在“广义光结构（GLS）—因果流形—滤镜链“的统一语境中，将广义相对论（GR）的度量—联络与因果结构嵌入几何散射—谱移体系，建立在曲时空上协变化的相位—密度—群延迟三位一体刻度与窗化读数理论。以曲时空散射矩阵 $S_g(E)$ 与 Wigner–Smith 群延迟矩阵 ${\mathsf{Q}}_g(E)=-i{S}_g(E{)}^{†}\frac{d{S}_g}{dE}(E)$ 为基本对象，证明在几何散射与谱移（Birman–Kreĭn）框架下恒有 $$\frac{{\phi }_g^{\prime }(E)}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}^g(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_g(E),\det S_g(E)=e^{-2\pi i{\xi }_g(E)},{\rho }_{\mathrm{rel}}^g(E)=-{\xi }_g^{\prime }(E),$$ 并给出在窄带—几何光学极限中“时间 = 窗化群延迟读数“的到达时/本征时等价，以及弱场或渐近平直区的 Shapiro/透镜时延重现。Hadamard—微局域光谱条件与能量条件导出无超锥传播与时延正性；红移—时间满足协变的互易标度律；在范畴层面，证明“因果结构决定共形类 + 体积型定标度量“的互构定理，从而实现 $(\mathrm{GLS})\leftrightarrow (\mathcal{M},[g],dV)$ 的等价。本文并以有限阶 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（NPE）误差学给出非渐近闭合。进一步，提出四个物理学解释层： （i）质能等价与能量—动量关系由三位一体刻度的“母能标“与色散几何导出；（ii）引力场对应相位—延迟刻度的聚焦—会聚及其能量条件控制；（iii）狭义相对论极限由前沿速度定标与红移互易刻度得到；（iv）经典力学极限在 Toeplitz/Berezin 压缩—Egorov 传播与 WKB/eikonal 中得到严格恢复。

Notation & Axioms / Conventions

卡片 I（刻度同一与号符约定）

在工作带内散射幺正或经环境扩展幺正化时，采用 $$\det S_g(E)=e^{-2\pi i{\xi }_g(E)},{\rho }_{\mathrm{rel}}^g(E)=-{\xi }_g^{\prime }(E),{\mathsf{Q}}_g=-i{S}_g^{†}\frac{d{S}_g}{dE},\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_g={\rho }_{\mathrm{rel}}^g=\frac{{\phi }_g^{\prime }}{\pi }.$$ 该对接在欧氏近无穷与几何散射的曲度背景（含微分形式/Maxwell 场、低正则边界）已被严格建立。(RUG Research)

非幺正通道与可加性：存在有效损耗/增益时取 $\tilde{\mathsf{Q}}:=-i{S}^{-1}{S}^{\prime }$，其迹在串并联系统中保持可加；该“复时间延迟“在亚幺正散射中得到普适化。(物理评论链接管理器)

卡片 II（有限阶 NPE 与“极点 = 主尺度“）

任一窗化读数的离散—连续换算满足 $${\epsilon }_{\mathrm{total}}={\epsilon }_{\mathrm{alias}}+{\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}}.$$ Nyquist 关断使 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$；端点层由有限阶 Euler–Maclaurin 估界，尾项由窗外衰减与带限控制；在谱缩放与尺度变换下协变。相关误差估计可由 DLMF 的 Euler–Maclaurin 章给出。(dlmf.nist.gov)

1. 几何散射对象与三位一体刻度的曲时空协变

定义 1.1（GR–GLS 对象层） 在全局双曲或适当的渐近类别（渐近平直/欧氏近无穷/锥型）上，记辐射数据空间 ${\mathcal{H}}_g$、on–shell 散射矩阵 $S_g(E)$、相位测度 ${\mu }_{\phi }^g$ 与窗—核字典 ${\mathcal{W}}_g$。则 $${\mathfrak{U}}_g=({\mathcal{H}}_g,S_g(E),{\mu }_{\phi }^g,{\mathcal{W}}_g),$$ 并在 Melrose 几何散射与辐射场理论中完备。(klein.mit.edu)

定理 1.2（Birman–Kreĭn 的几何延拓） 在欧氏近无穷的黎曼/洛伦兹散射背景，谱移 ${\xi }_g$ 与 $S_g(E)$ 满足 $$\det S_g(E)=e^{-2\pi i{\xi }_g(E)},{\xi }_g^{\prime }(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_g(E).$$ 从而三位一体刻度在曲时空散射框架中成立。(RUG Research)

注记（Maxwell/微分形式的 BK 公式）微分形式与电磁散射中的 Birman–Kreĭn 公式确保上述刻度同一的普适性。(RUG Research)

2. 因果结构与共形类；光学几何与广义费马原理

定理 2.1（因果重建） 在适当的因果正则性（如 distinguishing/strong causality）下，因果结构决定流形拓扑与度量的共形类；配以体积型 $dV$ 即定标度量。这可由 Malament 与后续综述系统阐明。(天文数据系统)

命题 2.2（广义费马原理与光学度量） 静态/定常及更一般背景上，光线为光学度量测地，eikonal 相位 $S$ 即到达时泛函的变分极值；透镜像位、畸变、亮度均由此推演。(SpringerLink)

3. 时间 = 窗化群延迟读数：窄带—几何光学极限

定义 3.1（窗化群延迟） 对因果可达链 $\gamma$ 与窗—核 $(w_R,h)$，定义 $$T_{\gamma ,g}[w_R,h]:={\int }_{\mathbb{R}}(w_R\ast \check{h})(E)\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{g,\gamma }(E)dE,\check{h}(E):=h(-E).$$

定理 3.2（eikonal/窄带极限） 在静态/定常贴片与窄带极限，有 $$T_{\gamma ,g}[w_R,h]={\int }_{\gamma }\frac{-k_{\mu }{u}^{\mu }}{{\omega }_0}d\lambda +{\mathcal{E}}_{\mathrm{NPE}},$$ 右端与类时世界线的本征时或类光到达时等价，${\mathcal{E}}_{\mathrm{NPE}}$ 受卡片 II 控制；弱场/渐近平直情形可分解出 Shapiro/透镜时延。论证依赖 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}={\partial }_E\arg \det S$ 与因果—解析（Kramers–Kronig–Titchmarsh）结构。(混沌书籍)

4. 前沿速度定标、无超锥传播与时延正性

定义 4.1（前沿速度 $c$） 以真空冲激响应最早非零到达 $t_{\mathrm{front}}(L)$ 的极限定义 $c={\lim }_{L\to \infty }L/t_{\mathrm{front}}(L)$，作为因果前沿的规范常数。

定理 4.2（无超锥传播） 在 Hadamard—微局域光谱条件下，类空间分离处对易子为零，窗化冲激响应对 $t<L/c$ 必为零；任何窗化群延迟读数不早于因果前沿。(SpringerLink)

定理 4.3（引力时延正性） 在满足 Null Energy 与 Null Generic 条件的全局双曲时空，最快类光曲线相对参考曲线的净时延非负；AdS 边界情形亦满足相应边界时延定理。(arXiv)

旁证 宇宙学与太阳系的 Shapiro/透镜时延观测史构成经验锚点。(物理评论链接管理器)

5. 红移—时间的协变互易律与 Etherington 距离互易

发射/观测四速度 $u_{\mathrm{src}},u_{\mathrm{obs}}$ 与光子波矢 $k$ 给出频率比 $$1+z=\frac{(u^{\mu }{k}_{\mu }{)}_{\mathrm{src}}}{(u^{\mu }{k}_{\mu }{)}_{\mathrm{obs}}},$$ 诱导窗—核的协变重标度 $$T_{\gamma ,g}^{\mathrm{obs}}[w_R,h]=\frac{1}{1+z}{T}_{\gamma ,g}[w_R^{⟨1/(1+z)⟩},h^{⟨1/(1+z)⟩}],$$ 等价于母刻度的谱缩放 $E\mapsto E/(1+z)$。该互易与无吸收/测地传播下的 Etherington 距离互易 $D_L=(1+z{)}^2{D}_A$ 一致，并获现代观测的检验与约束。(维基百科)

6. 分辨率—红移对偶与尺度重整

令偶窗 $w_R(E)=w((E-E_0)/R)$。分辨率提升 $R\mapsto \lambda R$ 与谱缩放 $E\mapsto E/(1+z)$ 对偶：Nyquist 纪律下别名项闭杀，有限阶 Euler–Maclaurin 端点层与尾项上界随尺度协变，从而给出带宽—分辨率—红移的工程化协同律。(dlmf.nist.gov)

7. 曲时空 QFT 的窗化微因果一致性

Hadamard—微局域光谱条件刻画物理可接受态的奇性结构，保证类空间分离对易子消失与光锥支撑；因此窗化微因果与代数量子场论微因果同构，GLS 的“前沿下界“与 QFT 的传播支撑相容。(SpringerLink)

8. 渐近平直边界、BMS 结构与记忆/红外刻度

在 ${\mathcal{I}}^{\pm }$ 的 BMS 对称下，散射数据（相位、群延迟、记忆）获得边界刻度；软定理—记忆—渐近对称的统一视角为远区的相位—延迟—红移校准提供规范锚点，并与近年“天球全息“综述相呼应。(arXiv)

9. 互构定理（GR 版）：$(\mathrm{GLS})\leftrightarrow (\mathcal{M},[g],dV)$

定理 9.1（协变互构） 设 $(\mathcal{M},[g])$ 原因果正则，给定体积型 $dV$。构造函子 $${\mathfrak{F}}_g:{\mathbf{WScat}}_g\to \mathbf{Cau},{\mathfrak{G}}_g:\mathbf{Cau}\to {\mathbf{WScat}}_g,$$ 令 ${\mathfrak{F}}_g$ 以 $\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_g$ 等值面与相位奇性生成偏序与光锥，${\mathfrak{G}}_g$ 以固有时间/光学结构构造带限窗—核与 Berezin 压缩，并以卡片 I/II 校准，则存在自然同构 $${\mathfrak{F}}_g\circ {\mathfrak{G}}_g\simeq {\mathrm{Id}}_{\mathbf{Cau}},{\mathfrak{G}}_g\circ {\mathfrak{F}}_g\simeq {\mathrm{Id}}_{{\mathbf{WScat}}_g}.$$ 几何支点为因果重建与几何散射的谱移—群延迟协变。(天文数据系统)

10. 静态球对称算例：Shapiro/透镜时延的窗化重现

Schwarzschild 区域内类光传播的窗化群延迟在窄带—几何光学极限下分解为 $$\Delta T_{\mathrm{lens}}=\Delta T_{\mathrm{geom}}+\Delta T_{\mathrm{pot}},$$ 其中势项产生 $\log r$ 标度的 Shapiro 时延；其正性由聚焦与能量条件支配；太阳系与强透镜观测提供经验校准。(物理评论链接管理器)

11. 规范协变与相对不变：链式读数的一致化

对能量依赖基变换 $S\mapsto U(E)SV(E)$，有 $$\mathrm{tr}\mathsf{Q}(USV)=\mathrm{tr}\mathsf{Q}(S)-i\mathrm{tr}(U^{†}{U}^{\prime })-i\mathrm{tr}(V^{\prime }{V}^{†}).$$ 当 $U,V$ 与能量无关或 $\det U(E)\det V(E)\equiv 1$ 时，任意窗化读数 $T_{\gamma ,g}[w_R,h]$ 不变；一般情形取相对读数 $T_{\mathrm{rel}}=T[S]-T[S_{\mathrm{ref}}]$ 消除规范漂移。非幺正—损耗系统可采用 $\tilde{\mathsf{Q}}=-i{S}^{-1}{S}^{\prime }$ 以保持串并联可加性。(物理评论链接管理器)

12. 误差学与工程化处方（GR 贴片）

1. 局域 Nyquist：在局域惯性系/静态贴片选择采样步长，关断别名；
2. 有限阶 EM：按所需阶数估界端点层与余项（DLMF 24.8）；
3. 尾项控制：以窗支撑与带宽衰减约束；
4. 几何校准：以真空前沿到达 $t_{\mathrm{front}}(L)$ 定标 $c$，曲率修正由 Shapiro/透镜项与 BMS 远区配准给出。(dlmf.nist.gov)

13. 质能等价与能量—动量关系的窗化推导

GLS 将能标 $E$ 视为三位一体刻度的“母轴“。在局域惯性贴片，平面波相位 $S(x)=-Et+p_i{x}^i$ 之能量—动量色散为 $E^2-p^2{c}^2=m^2{c}^4$。该关系可由 Minkowski 四动量不变性与 Hamilton–Jacobi/eikonal 对偶得到；能量读数由相位对时间位移的共轭性给出，群延迟读数 ${\partial }_{E}S$ 即飞行时。质能等价 $E=m{c}^2$ 在 $p=0$ 的静止窗中即为基准刻度。(维基百科)

解释： （i）在窗化散射中，$\mathrm{tr}\mathsf{Q}={\partial }_E\arg \det S$ 将“能—相位“导数与“时间—延迟“对应； （ii）质量 $m$ 可理解为色散关系的“相位曲率“不变量，其在几何极限下由时空度量的时间样尺度定标； （iii）能量守恒对应散射相位的加法律与谱移的可加性（BK 公式）。(RUG Research)

14. 引力场的相位—延迟刻度与能量条件

Raychaudhuri 方程与会聚定理把引力会聚刻画为测地束的膨胀 $\theta$ 的演化；在窗化读数中，相位—延迟的“聚焦“表现为 ${\partial }_E{\partial }_{E^{\prime }}\arg \det S$ 的半正定性，受 Null Energy/Generic 条件控制，给出净时延正性与“无宏观超前“。这与 Gao–Wald 的时延定理一致，并在边界耦合（如 AdS）时保持。(arXiv)

物理图景： 曲率把自由传播的等相位面“压缩“为更密的延迟等值面，$\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 的上升即“到达时“延展。该几何图像在弱场近似下分离为几何项（光程变长）与势项（Shapiro $\log r$），与观测相符。(arXiv)

15. 狭义相对论极限：前沿速度、Doppler/红移与分辨率互易

在局域惯性系，前沿速度 $c$ 由最早非零响应定标；群速度与群延迟满足 Kramers–Kronig–Titchmarsh 因果—解析关系，避免超前。相对论 Doppler/引力红移体现在母能标的 $(1+z{)}^{-1}$ 缩放，并与窗—核的分辨率互易精确耦合。(光学出版集团)

16. 经典力学极限：Toeplitz/Berezin—Egorov—WKB/eikonal

在 $\hslash$ 有效趋零或相位高度振荡的极限下，Toeplitz/Berezin 压缩与 Egorov 定理给出可观测沿 Hamilton 流的传播，WKB/eikonal 则把波传播化为测地/费马原理；群延迟 ${\partial }_{E}S$ 等于经典飞行时，${\nabla }_{x}S=p$ 与 Hamilton–Jacobi 方程恢复。(imo.universite-paris-saclay.fr)

Newtonian 极限 在弱场静态度量 $d{s}^2=-(1+2\Phi /c^2)c^{2}d{t}^2+(1-2\Phi /c^2)d{\mathbf{x}}^2$ 下，测地方程退化为牛顿方程 $\ddot{\mathbf{x}}=-\nabla \Phi$，Shapiro 时延的势项来自 $g_{tt}$ 校正。(damtp.cam.ac.uk)

17. 多物理域的 Wigner–Smith 统一与非幺正扩展

Wigner–Smith 时间延迟矩阵在量子/电磁/声学等多域均成立，并可推广至材料色散与损耗体系；在工程上可由散射参量及其频导数稳定计算，迹与相位导数的一致性为窗化读数提供可实现的数值路径。(arXiv)

18. 结论（要点）

1. 三位一体刻度 ${\phi }^{\prime }/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 在曲时空几何散射中协变成立（BK 公式），从而为“时间 = 窗化群延迟读数“提供母刻度。(RUG Research)
2. Hadamard—微局域与能量条件保证“无超锥传播“与“时延正性“。(SpringerLink)
3. 红移—分辨率对偶与 Etherington 互易在窗化读数上精确落地。(维基百科)
4. 狭义相对论与经典力学分别作为前沿定标与 Egorov—WKB 极限在本框架中恢复；质能等价与能量—动量关系可由母能标与色散几何统一解释。(维基百科)

参考文献（选）

1. Strohmaier, A.; Waters, A. “The Birman–Kreĭn Formula for Differential Forms and Electromagnetic Scattering.” Stud. Appl. Math. (2022). (RUG Research)
2. Melrose, R. B. “Spectral and Scattering Theory for the Laplacian on Asymptotically Euclidian Spaces.” Lecture notes/monograph. (klein.mit.edu)
3. Minguzzi, E. “Lorentzian Causality Theory.” Living Reviews in Relativity 22 (2019). (SpringerLink)
4. Malament, D. B. “The Class of Continuous Timelike Curves Determines the Topology of Spacetime.” J. Math. Phys. 18 (1977). (天文数据系统)
5. Perlick, V. “Gravitational Lensing from a Spacetime Perspective.” Living Reviews in Relativity 7 (2004). (SpringerLink)
6. Radzikowski, M. J. “Microlocal Approach to the Hadamard Condition in QFT on Curved Spacetime.” Commun. Math. Phys. 179 (1996). (SpringerLink)
7. Gao, S.; Wald, R. M. “Theorems on Gravitational Time Delay and Related Issues.” (2000). (arXiv)
8. Shapiro, I. I. “Fourth Test of General Relativity.” Phys. Rev. Lett. 13 (1964). (物理评论链接管理器)
9. Wigner, E. P. “Lower Limit for the Energy Derivative of the Scattering Phase Shift.” Phys. Rev. 98 (1955). (混沌书籍)
10. Smith, F. T. “Lifetime Matrix in Collision Theory.” Phys. Rev. 118 (1960). (混沌书籍)
11. Haakestad, M. W.; Skaar, J. “Causality and Kramers–Kronig Relations for Waveguides.” Optics Express 13 (2005). (光学出版集团)
12. Etherington 距离互易与现代检验综述（例：Liu 等, 2023）。(ScienceDirect)
13. Strominger, A. “Lectures on the Infrared Structure of Gravity and Gauge Theory.” (2017). 与近期天球全息综述（Donnay, 2024）。(arXiv)
14. Zworski, M. 等教材与讲义（Egorov 与半经典分析）。(imo.universite-paris-saclay.fr)
15. Patel, U. R.; Michielssen, E. “Wigner–Smith Time-Delay Matrix for Electromagnetics” 系列工作（含损耗/色散扩展）。(arXiv)
16. NIST DLMF：Euler–Maclaurin 公式与误差。(dlmf.nist.gov)