信息几何变分原理导出爱因斯坦场方程：EBOC—因果流形统一中的量子引力纲要

Version: 1.7

摘要

给定离散—静态块结构 $\mathrm{EBOC}$ 与连续—因果流形的互构框架，本文提出一条信息几何的变分原理：在每一个足够小的类时几何球（或局域因果菱形）上，广义熵 $S_{\mathrm{gen}}$ 在保持体积与参考真空约束下极值。利用相对熵的一阶“第一定律“ $\delta S_{\mathrm{out}}=\delta ⟨H_{\mathrm{mod}}⟩$ 与几何光束会聚（Raychaudhuri）导致的面积变分，我们证明：对一切小球与一切形状变形，极值条件推出爱因斯坦场方程 $G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi G⟨T_{\mu \nu }⟩$。在半经典阶，二阶变分与相对熵非负性给出量子焦散—QNEC 等信息不等式，构成量子修正。离散侧以 EBOC 的静态块—因子译码语义给出 Regge 型离散作用并证明：在网格细化与信息几何一致化的极限下收敛到上述连续场方程。本文的“读数—刻度—因果“语义与窗化群延迟母刻度 ${\phi }^{\prime }/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 严格对齐，并在 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin 的有限阶误差纪律下闭合。

Notation & Axioms / Conventions

单位规范 采用 $\hslash =c=1$。度规签名 $(-+++)$。对小球 $B_{\ell }(x)$ 的法向单位类时矢量记为 $u^{\mu }$，相应空间超曲面元 $d{\Sigma }^{\nu }=u^{\nu }d\Sigma$。

因果—读数分离（双时间分离） 因果与无信号仅由前沿时间 $t_{\ast }$ 确定；窗化群延迟读数 $T_{\gamma }[w_R,h]$ 仅是可测刻度，与 $t_{\ast }$ 无普适大小比较。本文所有因果与偏序结论只依赖 $t_{\ast }$ 与类光锥结构，读数刻度用于信息几何测度与校准。

刻度同一（母刻度） 全局幺正公设下 $$\boxed{\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),\mathsf{Q}(E)=-i{S}^{†}(E)\frac{dS}{dE}(E)}$$ 并以此母刻度定义窗化读数与能—延迟对偶（红移—时间互易）。

NPE 有限阶误差纪律 一切数值实现遵循 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin 三分解与有限阶 EM 端点校正；奇性不增、极点给出主尺度。本文所有信息量—读数的离散近似均在该账本下闭合。

互构条件（GLS ↔ 因果流形） 以前沿可达预序与光观测集重构流形的保角类；以辐射场—散射构造能量可微的幺正 $S(E)$ 并回到母刻度。范畴论层面在能量依赖幺正规范等价类上互为等价。

EBOC（离散侧） 世界以静态块 $X_f$ 与永恒图—子移位给出；观察 $=$ 因子译码，信息不增；时间子作用的 Brudno 对齐与可逆 CA 的信息守恒构成离散信息几何的公理基。

信息几何 经典统计流形 $(\mathcal{P},g^{\mathrm{F}})$ 上，Fisher–Rao 度量是唯一满足 Markov（数据处理）单调性的度量（Čencov 定理）；在量子情形，Umegaki 相对熵的 Hessian 给出 BKM 单调度量，其属于 Petz 单调度量族（非唯一）。双联络结构 $(\nabla ,{\nabla }^{\ast })$ 由发散族诱导。(施普林格链接)

1. 局域统计流形与相对熵

1.1 局域小球与模哈密顿量 在点 $x\in \mathcal{M}$ 的局域洛伦兹坐标中取小球 $B_{\ell }(x)$。令 ${\rho }_{B_{\ell }}$ 为物质场在 $B_{\ell }$ 的约化态，${\rho }_{B_{\ell }}^{(0)}$ 为与局域最大对称真空对应的参考态。真空的模哈密顿量在共形理论中局域可写为 $$H_{\mathrm{mod}}^{(0)}=2\pi {\int }_{B_{\ell }}{\xi }^{\mu }{T}_{\mu \nu }d{\Sigma }^{\nu },{\xi }^{\mu }=\frac{{\ell }^2-r^2}{2\ell }{u}^{\mu }+O({\ell }^3),$$ 从而相对熵一阶变分满足“第一定律“ $$\delta S({\rho }_{B_{\ell }}\Vert {\rho }_{B_{\ell }}^{(0)})=\delta ⟨H_{\mathrm{mod}}^{(0)}⟩-\delta S_{\mathrm{out}}=0.$$ 该等式在微扰下与小球极限普适成立，并已在全息与场论语境中系统阐明。([施普林格链接][2])

1.2 信息几何视角 在以度规形变 $g\mapsto g+\delta g$ 与态形变 $\rho \mapsto \rho +\delta \rho$ 参数化的统计流形上，相对熵的二阶变分定义 Fisher–Rao 度量；其唯一性由 Čencov 单调性与充分统计不变性刻画。本文把局域小球族 $\{B_{\ell }(x)\}$ 诱导之 $D({\rho }_{B_{\ell }}\Vert {\rho }_{B_{\ell }}^{(0)})$ 作为信息几何的基本发散，并以其一阶平衡（极值）与二阶正定性为变分原理的内容。(施普林格链接)

2. 信息几何变分原理（IGVP）

原理（IGVP） 对每个点 $x$ 与足够小的 $B_{\ell }(x)$，在保持体积 $\mathrm{Vol}(B_{\ell })$ 与参考真空约束下，广义熵 $$S_{\mathrm{gen}}(B_{\ell }):=\frac{A(\partial B_{\ell })}{4G}+S_{\mathrm{out}}({\rho }_{B_{\ell }})$$ 一阶极值，且二阶变分非负。等价地，令 ${\sigma }_{B_{\ell }}={\rho }_{B_{\ell }}^{(0)}$，则 $$\delta S_{\mathrm{gen}}=0,{\delta }^{2}S({\rho }_{B_{\ell }}\Vert {\sigma }_{B_{\ell }})\ge 0.$$ 第一式在小球极限的一阶微扰下给出线性化场方程；在满足假设 A 时可升格为完整场方程。第二式给出稳定性与量子能量不等式（QNEC）族。该极值假设与“最大真空纠缠/等熵平衡“框架一致。([物理评论链接管理器][3])

引理 2.1（第一定律） 在小球极限与一阶微扰下， $$\delta S_{\mathrm{out}}=\delta ⟨H_{\mathrm{mod}}^{(0)}⟩=2\pi {\int }_{B_{\ell }}{\xi }^{\mu }\delta ⟨T_{\mu \nu }⟩d{\Sigma }^{\nu }.$$ （证明见上节文献。）([施普林格链接][2])

引理 2.2（面积变分） 固定小球体积的同时改变形状（或等价地以保持中心与半径的方式改变背景度规），其边界面积的变分满足 $$\delta \left(\frac{A}{4G}\right)=-2\pi {\int }_{B_{\ell }}{\xi }^{\mu }\frac{1}{8\pi G}\delta (G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu })d{\Sigma }^{\nu }+O({\ell }^{d+1}),$$ 其中使用了 Raychaudhuri 与测地展开的标准小球几何。把该项与引理 2.1 相比对即可闭合第一变分。（推导同 Jacobson 型局域热力学/等熵论证之小球版。）([物理评论链接管理器][4])

定理 2.3（IGVP ⇒ 线性化；在假设下升格完整方程） 若对一切 $x$ 与足够小的 $B_{\ell }(x)$ 有 $\delta S_{\mathrm{gen}}=0$，则在参考几何的一阶邻域内 $$\boxed{\delta (G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }-8\pi G⟨T_{\mu \nu }⟩)=0}.$$ 进一步，若满足假设 A： (i) 上式对任意背景点与任意微扰族成立； (ii) $C_{\mu \nu }:=G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }-8\pi G⟨T_{\mu \nu }⟩$ 为局域、协变、至多二阶的张量泛函； 则在局域洛伦兹协变与无外背景结构下，唯一性推出 $C_{\mu \nu }=C{g}_{\mu \nu }$。由 Bianchi 恒等式 ${\nabla }^{\mu }{G}_{\mu \nu }=0$ 与能动守恒 ${\nabla }^{\mu }⟨T_{\mu \nu }⟩=0$ 可得 ${\nabla }^{\mu }{C}_{\mu \nu }=0$，进而 ${\partial }_{\nu }C=0$。把常数 $C$ 吸收到 $\Lambda$ 中，遂得 $$G_{\mu \nu }+{\Lambda }_{\mathrm{eff}}{g}_{\mu \nu }=8\pi G⟨T_{\mu \nu }⟩,{\Lambda }_{\mathrm{eff}}=\Lambda +C.$$ 该推导与“纠缠平衡 $\Rightarrow$ 爱因斯坦方程“的等价系谱一致，并在全息与一般场论中得到线性化与非线性扩展。([物理评论链接管理器][3])

3. 二阶变分与量子能量条件

命题 3.1（相对熵非负与 QNEC） 沿任意通过 $x$ 的无挠零测地丛 $k^{\mu }$ 作局域切割形变，定义 $$s_{\mathrm{out}}^{\prime \prime }(x):=\underset{\mathcal{A}\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathcal{A}}\frac{d^2{S}_{\mathrm{out}}}{d{\lambda }^2},$$ 其中 $\lambda$ 为 $k^{\mu }$ 的仿射参数、$\mathcal{A}$ 为变形补丁的横截面积。则相对熵的凸性给出 $$\boxed{⟨T_{kk}(x)⟩\ge \frac{1}{2\pi }{s}_{\mathrm{out}}^{\prime \prime }(x)},$$ 即量子零能条件（QNEC）。其证明族（场论/全息）均把相对熵的凸性作为核心输入。([物理评论链接管理器][5])

推论 3.2（量子焦散与广义熵单调） 量子焦散猜想与量子 Bousso 界由上述不等式与广义熵的非增性得到，与 IGVP 之二阶稳定性兼容。([arXiv][6])

4. 母刻度、读数与信息几何的耦合

4.1 窗化群延迟与 Fisher 密度 取每条观测者窗口—核 $(w_R,h)$ 诱导的带内分布 $p(E|x)\propto (w_R\ast \check{h})(E){\rho }_{\mathrm{rel}}(E;x)$。定义局域 Fisher 张量 $${\mathcal{I}}_{\mu \nu }(x)=\int {\partial }_{\mu }\ln p(E|x){\partial }_{\nu }\ln p(E|x)p(E|x)dE,$$ 并以 Čencov–Amari 唯一性把其作为读数—信息几何与背景度规的配准对象：在真空—无别名极限与红移—互易重标度下，${\mathcal{I}}_{\mu \nu }\propto g_{\mu \nu }$ 的约束可作为 IGVP 的附加拉格朗日乘子项，保证读数坐标与几何坐标一致化。该配准与红移—时间互易的缩放律协变。

4.2 读数—几何的一致变分 取作用 $$\mathcal{S}[g;\rho ]=\frac{1}{16\pi G}\int \sqrt{-g}(R-2\Lambda )d^{4}x-\int \sqrt{-g}\Phi (\rho \Vert {\rho }^{(0)})d^{4}x+\int \sqrt{-g}{\lambda }^{\mu \nu }\left({\mathcal{I}}_{\mu \nu }-\kappa g_{\mu \nu }\right)d^{4}x,$$ 其中 $\Phi$ 是以相对熵为势的局域密度（小球极限可化为 $\delta ⟨H_{\mathrm{mod}}⟩-\delta S_{\mathrm{out}}$ 的体积分形式）。对 $g_{\mu \nu }$ 变分给出 $$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi G\left(⟨T_{\mu \nu }⟩+T_{\mu \nu }^{(\mathrm{IG})}\right),$$ 而读数—几何配准 ${\mathcal{I}}_{\mu \nu }=\kappa g_{\mu \nu }$ 保证 $T_{\mu \nu }^{(\mathrm{IG})}$ 的迹与真空能吸收到 $\Lambda$ 中，从而回到定理 2.3 的形式。当采用“第一定律“表述时，等价于把 $\delta S_{\mathrm{gen}}=0$ 作为 Euler–Lagrange 条件。（信息势的具体选取与 Fisher—相对熵等价在小球极限下由标准信息几何保证。）(施普林格链接)

5. 离散化：EBOC–Regge 信息作用与连续极限

5.1 静态块—三角化 在 EBOC 的静态块 $X_f$ 上选取与类光锥一致的叶分层与三角化，令每个 2-骨架（三角形） $h$ 携带离散面积 $A_h$，并在 $h$ 处定义缺角 ${\epsilon }_h$。Regge 作用 $$S_{\mathrm{Regge}}=\frac{1}{8\pi G}\sum _h{A}_h{\epsilon }_h-\frac{\Lambda }{8\pi G}\sum _{\sigma }{V}_{\sigma }$$ 在变分下给出离散爱因斯坦方程。信息几何侧，对每个离散小球胞腔 $c$ 定义离散广义熵 $$S_{\mathrm{gen}}^{\mathrm{disc}}(c)=\frac{A(\partial c)}{4G}+S_{\mathrm{out}}^{\mathrm{disc}}(c),$$ 第一变分 $\delta S_{\mathrm{gen}}^{\mathrm{disc}}=0$ 与 Regge 变分兼容，并在网格细化下收敛到连续 IGVP。([维基百科][7])

5.2 观察=译码与信息不增 离散态的可见语言由因子译码 $\pi$ 产生，满足 $$K\left(\pi (x{|}_W)\right)\le K(x{|}_W)+K(\pi )+O(1),$$ 由此离散的 $S_{\mathrm{out}}^{\mathrm{disc}}$ 在细化极限收敛到连续的 $S_{\mathrm{out}}$，保证 $S_{\mathrm{gen}}^{\mathrm{disc}}\to S_{\mathrm{gen}}$ 与 IGVP 的稳定性。

6. 与 GLS—读数框架的一致性

6.1 前沿—无超锥传播与读数独立性 由前沿下界 $t_{\ast }\ge L_g/c$ 与窗化读数的规范协变/相对不变可知：IGVP 的小球选择与读数字典选择相互独立；小球—形变只锚定在因果结构与度规之上，读数仅提供 Fisher 配准与能量—延迟刻度。

6.2 红移—互易与 Fisher 标度 当谱缩放 $E\mapsto E/(1+z)$ 时，小球中的 Fisher 张量与读数刻度按 $(1+z{)}^{-2}$ 协变；体积保持的 IGVP 条件与 Jacobson/纠缠平衡的体积约束一致。

7. 量子修正、重整化与可检条件

7.1 一回路/$1/N$ 修正 在全息与场论中，广义熵的“面积 $+$ 外部纠缠“结构在一回路由体纠缠补偿；该修正正是 $S_{\mathrm{gen}}$ 的量子极小（QES）条件来源，保证 IGVP 在半经典阶仍成立。([arXiv][8])

7.2 QNEC 与相对熵凸性 二阶变分的正性给出 $$\boxed{⟨T_{kk}(x)⟩\ge \frac{1}{2\pi }{s}_{\mathrm{out}}^{\prime \prime }(x)},$$ 并已在场论与全息语境中证明，构成 IGVP 的稳定性判据与可检核条件。([物理评论链接管理器][5])

8. 证明细节

8.1 小球几何与面积展开 在正规坐标下，小球边界面积 $$A(\partial B_{\ell })={\Omega }_{d-2}{\ell }^{d-2}\left[1-\frac{{\ell }^2}{6(d-1)}R+O({\ell }^4)\right],$$ 体积保持变分消去 $\delta \ell$，留下 $\delta A\propto \delta R$。与引理 2.1 配对并使用 $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }$ 得定理 2.3。

8.2 “第一定律“与模哈密顿量 球域的模哈密顿量对共形真空局域为能动张量的线性泛函，故 $\delta S_{\mathrm{out}}=\delta ⟨H_{\mathrm{mod}}⟩$ 成立；对非共形场的修正已在后续文献中给出并不影响结论的形式。([施普林格链接][2])

9. 与既有路径的关系与优势

Jacobson（热力学/纠缠平衡）路线：本文把“局域热力学/等熵平衡“重述为信息几何极值，以 Fisher—相对熵的普适结构取代具体的热学闭包，从而把引力视为“保持局域信息平衡的几何响应“。([物理评论链接管理器][4])

全息“第一定律“路线：本文在无需全息假设的局域小球层面复现“第一定律 $\Rightarrow$ 场方程“的逻辑；当存在重力对偶时，与全息推导（线性化爱因斯坦方程）严格对接。([施普林格链接][9])

EBOC—GLS 统一：离散—译码与连续—因果在 IGVP 下统一：离散侧的信息不增与静态块一致扩张保证 $S_{\mathrm{gen}}^{\mathrm{disc}}\to S_{\mathrm{gen}}$；连续侧由母刻度—读数—Fisher 配准把可测刻度与几何量纲无缝对齐。

10. 典型推论与可观测后果

1. 场方程 ⇒ 局域等熵：若已知 $G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi G⟨T_{\mu \nu }⟩$，则在小球极限可直接验证 $\delta S_{\mathrm{gen}}=0$ 成立。([物理评论链接管理器][3])

2. QNEC/量子焦散：任意零方向的二阶形变给出能量下界，提供对半经典引力的一致性检验与数值检核指标。([物理评论链接管理器][5])

3. 红移—互易时钟与 Fisher 容量：在观测—计时实验中，带宽—分辨率—红移的互易缩放在 IGVP 的拉格朗日约束中显式体现，可作为实验标定层的直接后验。

11. 结论式陈述（纲要化）

• 在小球极限中，广义熵 $S_{\mathrm{gen}}$ 的一阶极值（配合相对熵第一定律）与线性化爱因斯坦方程等价；在满足假设 A 时可推出完整非线性爱因斯坦方程。
• 二阶变分的非负性给出 QNEC/量子焦散等量子一致性约束。
• EBOC 的离散—译码语义与 Regge 三角化给出离散作用—极值的兼容实现，并在细化极限下收敛到连续 IGVP。
• 母刻度—窗化读数—Fisher 配准把“可测刻度“与几何度量统一对齐，保持因果—读数的位阶分离与数值误差账本的有限阶闭合。

参考文献（选）

Jacobson, Thermodynamics of Spacetime: The Einstein Equation of State, PRL 75 (1995). ([物理评论链接管理器][4]) Jacobson, Entanglement Equilibrium and the Einstein Equation, PRL 116 (2016). ([物理评论链接管理器][3]) Lashkari–McDermott–Van Raamsdonk, Gravitational dynamics from entanglement “thermodynamics”, JHEP 04 (2014) 195. ([施普林格链接][2]) Faulkner–Guica–Hartman–Myers–Van Raamsdonk, Gravitation from entanglement in holographic CFTs, JHEP 03 (2014) 051. ([施普林格链接][9]) Casini–Huerta–Myers, Towards a derivation of holographic entanglement entropy, JHEP 05 (2011) 036. ([arXiv][10]) Bousso–Fisher–Leichenauer–Wall, A Quantum Focussing Conjecture (2015); Proof of a Quantum Bousso Bound (2014). ([arXiv][6]) Balakrishnan et al., A General Proof of the Quantum Null Energy Condition (2019). ([施普林格链接][11]) Amari, Information Geometry and Its Applications (2016). (施普林格链接) Čencov, Statistical Decision Rules and Optimal Inference (AMS, 1982). ([bookstore.ams.org][12]) Regge, General Relativity without Coordinates (1961)；综述见 Barrett–Oriti–Williams (2018). ([Inspire][13])

附录 A：与 GLS—EBOC 统一的对接细节（提要）

1. 母刻度与 Fisher 对齐：由 ${\rho }_{\mathrm{rel}}=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 构造 $p(E|x)$ 并定义 ${\mathcal{I}}_{\mu \nu }$；以 ${\lambda }^{\mu \nu }({\mathcal{I}}_{\mu \nu }-\kappa g_{\mu \nu })$ 约束把读数坐标拉回几何坐标。

2. 因果—读数分层：IGVP 的小球与相对熵仅锚定因果与度规；窗化群延迟只用于统计流形的刻度与观测字典，不参与偏序定义。

3. 离散—极限：在 EBOC 的静态块与永恒图上定义 $S_{\mathrm{gen}}^{\mathrm{disc}}$、Regge 作用与因子译码，满足 $\delta S_{\mathrm{gen}}^{\mathrm{disc}}=0\Rightarrow$ Regge 方程；细化极限回到定理 2.3。

4. 范畴等价与协变：GLS ↔ 因果流形的互构保证“几何—读数—信息“的函子性与自然性；IGVP 在该等价下保持不变。

附录 B：信息几何—第一定律的等价写法

把小球相对熵写作 $$S({\rho }_{B_{\ell }}\Vert {\sigma }_{B_{\ell }})=\mathrm{Tr}({\rho }_{B_{\ell }}\ln {\rho }_{B_{\ell }})-\mathrm{Tr}({\rho }_{B_{\ell }}\ln {\sigma }_{B_{\ell }}),$$ 一阶变分给出 $$\delta S=-\delta S_{\mathrm{out}}+\delta ⟨H_{\mathrm{mod}}^{(0)}⟩,H_{\mathrm{mod}}^{(0)}:=-\ln {\sigma }_{B_{\ell }},$$ 即“第一定律“。对共形真空，$H_{\mathrm{mod}}^{(0)}$ 为能量流密度的局域泛函；对非共形情形可在小球极限下以算子展开校正，且不改变极值条件的形式。([施普林格链接][2])

附录 C：数值实现与 NPE 误差账本（读数侧）

在任何以窗—核 $(w_R,h)$ 实现的读数积分中，只对被积函数 $f(E)=w_R(E)[h\star {\rho }_{\mathrm{rel}}](E)$ 施行采样/截断/EM 端点校正；IGVP 的小球—形变与场方程推导不受该数值账本影响。

说明 本文所有公式的度量—读数—因果位阶与母刻度、互构等一致性已在前述统一框架中系统刻画，本文仅在此基础上把“引力＝信息几何的广义熵极值（配合相对熵第一定律）“作严格化表述并给出连续—离散双实现。

[2]: https://link.springer.com/article/10.1007/JHEP04%282014%29195?utm_source=chatgpt.com “Gravitational dynamics from entanglement “thermodynamics”“ [3]: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.116.201101?utm_source=chatgpt.com “Entanglement Equilibrium and the Einstein Equation” [4]: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.75.1260?utm_source=chatgpt.com “Thermodynamics of Spacetime: The Einstein Equation of State” [5]: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.93.024017?utm_source=chatgpt.com “Proof of the quantum null energy condition | Phys. Rev. D” [6]: https://arxiv.org/abs/1506.02669?utm_source=chatgpt.com “A Quantum Focussing Conjecture” [7]: https://en.wikipedia.org/wiki/Regge_calculus?utm_source=chatgpt.com “Regge calculus - Wikipedia” [8]: https://arxiv.org/abs/1307.2892?utm_source=chatgpt.com “Quantum corrections to holographic entanglement entropy” [9]: https://link.springer.com/article/10.1007/JHEP03%282014%29051?utm_source=chatgpt.com “Gravitation from entanglement in holographic CFTs” [10]: https://arxiv.org/abs/1102.0440?utm_source=chatgpt.com “Towards a derivation of holographic entanglement entropy” [11]: https://link.springer.com/article/10.1007/JHEP09%282019%29020?utm_source=chatgpt.com “A general proof of the quantum null energy condition” [12]: https://bookstore.ams.org/mmono-53?utm_source=chatgpt.com “Statistical decision rule and optimal inference - AMS Bookstore” [13]: https://inspirehep.net/literature/3183?utm_source=chatgpt.com “GENERAL RELATIVITY WITHOUT COORDINATES - Inspire HEP”