信息几何变分原理导出爱因斯坦场方程与量子测量统一：基于 WSIG–EBOC 的算子—测度—函数框架

Author: Auric (S-series / EBOC) Version: v1.3.3 MSC: 53Bxx, 83C05, 81Uxx, 47B35, 42A99

摘要

构造以“算子—测度—函数“三联体为核心的窗化散射—信息几何统一体系：观测以 Toeplitz/Berezin 压缩 ${\mathsf{K}}_{w,h}={\Pi }_w{\mathsf{M}}_h{\Pi }_w$ 操作化，使一切读数还原为谱测度上的线性泛函；以三位一体刻度同一式 ${\phi }^{\prime }(E)/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-{\xi }^{\prime }(E)$ 为母尺统一相位、相对态密度与 Wigner–Smith 群延迟。对观察者滤镜链 $\{{\mathsf{K}}_{\theta }{\}}_{\theta \in \Theta }$ 定义信息作用 $\mathcal{S}$，以 Hessian $g_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\mathcal{S}$ 诱导信息度量，从而把联络与曲率解释为读数对观测参数的二阶非交换响应。在“双时间分离“公设下（因果偏序由前沿时间 $t_{\ast }$ 唯一定义，窗化群延迟 $T_{\gamma }[w,h]$ 仅为操作化刻度），对作用 $\mathcal{A}=(2\kappa {)}^{-1}\int (\mathcal{R}-2\Lambda )\sqrt{|g|}{d}^n\theta +\int ({\mathcal{L}}_{\mathrm{info}}+{\lambda }^{\mu \nu }[g_{\mu \nu }-{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{\mathcal{S}}_{\mathrm{loc}}])\sqrt{|g|}{d}^n\theta$ 的变分得到爱因斯坦型方程 ${\mathcal{G}}_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa {\mathcal{T}}_{\mu \nu }$。右端应力—能量张量 ${\mathcal{T}}_{\mu \nu }$ 源自 ${\mathsf{K}}_{\theta }$ 的谱响应；在带限与 Nyquist—Poisson—有限阶 Euler–Maclaurin（EM）纪律下实现误差闭合与“奇性不增、极点=主尺度“。同一几何内统一量子测量：叠加=静态块中相容分量的凸叠加；坍缩=锚定切换与 $\pi$-语义塌缩；纠缠=因果网中不可分离的信息关联；连续监测满足 GKSL 动力学与 Spohn 熵产生单调性，Belavkin 过滤给出条件态更新。核心判据与所需外部定理均给出，并附一维势散射例证与完整证明链条。(详见 arXiv:1006.0639)

Notation & Axioms / Conventions

1. 观测三联体与压缩：给定窗 $w$ 与核 $h$，定义 Toeplitz/Berezin 压缩 ${\mathsf{K}}_{w,h}={\Pi }_w{\mathsf{M}}_h{\Pi }_w$。其中 ${\Pi }_w$ 为由 $w$ 诱导的（近似）正交投影，${\mathsf{M}}_h$ 为卷积/乘法型有界算子；一切读数均视作对相关谱测度的线性泛函。关于 Berezin–Toeplitz 体系与符号—算子对应的综述参见 Schlichenmaier 与相关工作。采样步长记为 $\Delta$，在对数能量坐标中由窗—核带宽约束。（参见 arXiv:1003.2523） 假设 A（可积性）：对每个 $\theta$，${\mathsf{K}}_{\theta }$ 使得 $\log (\mathbb{I}+{\alpha }_{\mathrm{M}}{\mathsf{K}}_{\theta })$ 可迹（例如 ${\mathsf{K}}_{\theta }\in {\mathcal{S}}_1$，或 ${\mathsf{K}}_{\theta }\in {\mathcal{S}}_2$ 并相应改用修正行列式与修正迹），从而 ${\mathcal{S}}_{\mathrm{loc}}(\theta )$、$g_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{\mathcal{S}}_{\mathrm{loc}}(\theta )$ 良定。 假设 B（仿射参数化）：对任意参数 $\theta$，${\mathsf{K}}_{\theta }$ 关于 $\theta$ 的依赖为仿射：${\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{\mathsf{K}}_{\theta }\equiv 0$（等价地，${\mathsf{K}}_{\theta }={\mathsf{K}}_0+{\theta }^{\mu }{\mathsf{K}}_{\mu }$）；在第 6 节的二阶展开中据此消去 $\mathrm{Tr}\left[(\mathbb{I}+{\alpha }_{\mathrm{M}}{\mathsf{K}}_{\theta }{)}^{-1}{\alpha }_{\mathrm{M}}{\partial }_{\mu \nu }^2{\mathsf{K}}_{\theta }\right]$ 项，从而得到仅含一阶导的正型二次式。 假设 ND（非退化域）：存在开集 $U\subset \Theta$，对任意 $\theta \in U$ 有 $g(\theta )\succ 0$（即 $\det g(\theta )>0$ 且 $v^{\mu }{g}_{\mu \nu }(\theta )v^{\nu }>0$ 对一切 $0\ne v\in T_{\theta }\Theta$），从而 $g^{\mu \nu }$、$\sqrt{|g|}$、${\Gamma }_{\mu \nu }^{\alpha }(g)$ 与 $\mathcal{R}(g)$ 等几何量良定。
2. 三位一体刻度同一（母尺）：设全散射相位半数 $\phi (E)=\frac{1}{2}\arg \det S(E)$、相对态密度 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$、Wigner–Smith 群延迟矩阵 $\mathsf{Q}(E)=-iS(E{)}^{†}\frac{dS}{dE}(E)$。由 Birman–Kreĭn 公式 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$ 与时间延迟理论得 ${\phi }^{\prime }(E)/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-{\xi }^{\prime }(E)$（a.e.）。（参见 白玫瑰研究在线）
3. 双时间分离公设：偏序由前沿时间 $t_{\ast }(\gamma )$ 唯一定义；窗化群延迟 $T_{\gamma }[w,h]=\int (w\ast \check{h})(E)(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{\gamma }(E)dE$ 仅系操作化刻度，允许出现负值或与 $t_{\ast }$ 无普适大小比较的情形。关于 EWS 延迟的可测与“负延迟/超前“之实验—理论讨论，参见近年光/声/电子体系文献。（参见 Kheifets 等）
4. 幺正与闭合性：宇宙视作封闭幺正散射 $S$；任何非幺正有效描写均可视为更大幺正系统之压缩像（Naimark 外延思路亦适用至 POVM→PVM）。（参见 arXiv:1404.1477）
5. Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（NPE）纪律：带限与 Nyquist（Shannon）采样条件下，以 Poisson 公式桥接离散—连续，再以有限阶 EM 展开控制端点/截断误差，确保“奇性不增、极点=主尺度“；当窗—核卷积 $(w_{\theta }\ast {\check{h}}_{\theta })$ 在对数能量坐标的频域支撑带宽不超过 $B$ 时，采样步长取 $\Delta \le \pi /B$（Nyquist），EM 余项满足 $R_p=O({\Delta }^p)$，换回能量坐标时以 $d\theta =dE/E$ 调整刻度。（参见 Shannon 1949）
6. 刻度同一卡：默认采用 ${\phi }^{\prime }/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}=-{\xi }^{\prime }$（a.e.）作能—延迟—密度之同一刻度。

1. 窗化散射与谱读数的等值化

定义 1.1（窗—核读数）：对能量 $E$、S 矩阵 $S(E)$ 与群延迟 $\mathsf{Q}(E)$，置读数

$$\mathcal{R}[w,h]={\int }_{\mathbb{R}}(w\ast \check{h})(E){\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE={\int }_{\mathbb{R}}(w\ast \check{h})(E)(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)dE.$$

引理 1.2（Toeplitz/Berezin 等值性，带可迹条件）：若其一 ${\Pi }_w$ 为有限秩投影，或其二 ${\mathsf{K}}_{w,h}\in {\mathcal{S}}_1$ 且解析函数 $F$ 使 $F({\mathsf{K}}_{w,h})\in {\mathcal{S}}_1$，则存在由 $(w,h)$ 决定的正则谱测度 ${\nu }_{w,h}$，使对适当函数 $F$ 有 $\mathrm{Tr}F({\mathsf{K}}_{w,h})=\int F(\lambda )d{\nu }_{w,h}(\lambda )$，且 $\int \lambda d{\nu }_{w,h}(\lambda )=\mathcal{R}[w,h]$。

证明：以 Berezin 变换将 $\mathrm{Tr}F({\mathsf{K}}_{w,h})$ 化为相空间平均；在带限—Nyquist 条件下用 Poisson 公式消除混叠，并以有限阶 EM 展开估计端点修正，余项 $O({\Delta }^p)$；${\mathsf{K}}_{w,h}$ 有界性与符号正则性确保不引入新奇点，从而得到结论。证毕。（参见 arXiv:1003.2523）

2. 三位一体刻度同一的严格化

定理 2.1（相位—密度—群延迟同一）：设 $H=H_0+V$ 为自伴流散射对，$S(E)$ 为其散射矩阵。则几乎处处

$${\phi }^{\prime }(E)/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-{\xi }^{\prime }(E).$$

证明：由 Birman–Kreĭn 公式得 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$ 且 $\arg \det S(E)=-2\pi \xi (E)$，因而 $\phi (E)=\frac{1}{2}\arg \det S(E)=-\pi \xi (E)\Rightarrow {\phi }^{\prime }(E)/\pi =-{\xi }^{\prime }(E)$。谱移函数导数与相对态密度的等价系经典结论；另一方面，Wigner–Smith 定义 $\mathsf{Q}(E)=-i{S}^{†}(E)S^{\prime }(E)$，其迹之分布值即 Eisenbud–Wigner–Smith 延迟，总体满足 $(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$（Jensen 等发展了几何与抽象散射版本）。合并即得。证毕。（参见 白玫瑰研究在线）

推论 2.2（窗化群延迟读数）：对任意 $(w,h)$，有 $\mathcal{R}[w,h]=\int (w\ast \check{h})(E)(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)dE$。证毕。（参见 arXiv:1103.3901）

3. 观察者滤镜链、信息作用与信息度量

定义 3.1（滤镜链与信息作用）：令参数流形 $\Theta$ 上给出 ${\mathsf{K}}_{\theta }={\mathsf{K}}_{w_{\theta },h_{\theta }}$，取谱势 $\Phi (X)=-\log \det (\mathbb{I}+{\alpha }_{\mathrm{M}}X)=-\mathrm{Tr}\log (\mathbb{I}+{\alpha }_{\mathrm{M}}X)$（或相对熵势），定义 ${\mathcal{S}}_{\mathrm{loc}}(\theta )=\Phi ({\mathsf{K}}_{\theta })=-\log \det (\mathbb{I}+{\alpha }_{\mathrm{M}}{\mathsf{K}}_{\theta })$（在假设 A 下良定）。

定义 3.2（信息度量）：置 $g_{\mu \nu }(\theta )={\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{\mathcal{S}}_{\mathrm{loc}}(\theta )$。在可交换极限其退化为 Fisher–Rao 度量，非交换情形出现由 $[{\mathsf{K}}_{\theta },{\mathsf{K}}_{{\theta }^{\prime }}]$ 产生的响应项，属信息几何之自然扩展。（参见 Amari–Nagaoka）

命题 3.3（半正定性与非退化条件，假设 B）：若 $\Phi$ 为谱正锥上的算子凸函数且 ${\mathsf{K}}_{\theta }$ 谱半径受控，并满足假设 B，则 $g_{\mu \nu }(\theta )={\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{\mathcal{S}}_{\mathrm{loc}}(\theta )$ 为半正定；若进一步对任意非零 $v\in T_{\theta }\Theta$ 有 $v^{\mu }{\partial }_{\mu }{\mathsf{K}}_{\theta }\ne 0$（无零方向），则 $g$ 为正定 Riemann 度量。 证明：设 $H=v^{\mu }{\partial }_{\mu }{\mathsf{K}}_{\theta }$。在假设 B 下，${\partial }_v^2{\mathcal{S}}_{\mathrm{loc}}=\mathrm{Tr}{D}^2{\Phi }_{{\mathsf{K}}_{\theta }}[H,H]\ge 0$；若 $H\ne 0$ 对所有 $v\ne 0$ 成立，则 $g(v,v)>0$。证毕。

$$g(v,v)=\mathrm{Tr}{D}^2{\Phi }_{{\mathsf{K}}_{\theta }}[H,H]\ge 0,$$ 故半正定。若 $H\ne 0$ 对所有 $v\ne 0$ 成立，则 $g(v,v)>0$，从而正定。证毕。

4. 双时间分离与因果不变性

公设 4.1（双时间分离）：因果偏序由最早可达时间 $t_{\ast }(\gamma )$ 定义；窗化群延迟 $T_{\gamma }[w,h]$ 为操作化刻度，与 $t_{\ast }$ 无普适大小比较并可为负。参见关于 EWS 延迟与“负群延迟/超前“实验与理论回顾。（参见 Kheifets 等）

定理 4.2（微因果不变性）：对任意滤镜链变形 $\theta \mapsto {\theta }^{\prime }$，由 $t_{\ast }$ 定义之偏序不变。 证明：$t_{\ast }$ 由类光锥可达性与测地下界决定，独立于读数刻度；$T_{\gamma }$ 的变化仅改变操作刻度而不改变可达关系。证毕。

5. 变分原理与爱因斯坦型场方程

约定 5.0（变分独立性/约束）：进行变分时，将 $g_{\mu \nu }$ 与 $\theta \mapsto {\mathsf{K}}_{\theta }$ 视为独立基本场，并在作用中引入拉格朗日乘子项 $\int {\lambda }^{\mu \nu }(g_{\mu \nu }-{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{\mathcal{S}}_{\mathrm{loc}})\sqrt{|g|}{d}^n\theta$；变分后与场方程联立，$\delta \mathcal{A}/\delta {\lambda }^{\mu \nu }=0$ 给出 $g_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{\mathcal{S}}_{\mathrm{loc}}(\theta )$，并仅在满足假设 ND 的开域 $U$ 上回代与进行常数匹配。

作用与场方程：在 $\Theta$ 上以 $g$ 定义 Levi–Civita 联络与曲率，置

$$\mathcal{A}[g,\theta ,\lambda ]=\frac{1}{2\kappa }{\int }_{\Theta }(\mathcal{R}(g)-2\Lambda )\sqrt{|g|}{d}^n\theta +{\int }_{\Theta }({\mathcal{L}}_{\mathrm{info}}(\theta )+{\lambda }^{\mu \nu }(\theta )[g_{\mu \nu }-{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{\mathcal{S}}_{\mathrm{loc}}(\theta )\left]\right)\sqrt{|g|}{d}^n\theta ,$$ 其中

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{info}}(\theta )=\frac{1}{2}{g}^{\mu \nu }(\theta )\mathrm{Tr}[(\mathbb{I}+{\alpha }_{\mathrm{I}}{\mathsf{K}}_{\theta }{)}^{-1}{\alpha }_{\mathrm{I}}{\partial }_{\mu }{\mathsf{K}}_{\theta }(\mathbb{I}+{\alpha }_{\mathrm{I}}{\mathsf{K}}_{\theta }{)}^{-1}{\alpha }_{\mathrm{I}}{\partial }_{\nu }{\mathsf{K}}_{\theta }],$$ 取 ${\alpha }_{\mathrm{I}}\ne {\alpha }_{\mathrm{M}}$ 以避免退化为常数。

定理 5.1（主方程，对 $g^{\mu \nu }$ 的变分）：对度量 $g^{\mu \nu }$ 取一阶变分并令其为零，得到

$${\mathcal{G}}_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa {\mathcal{T}}_{\mu \nu },$$ 其中

$${\mathcal{T}}_{\mu \nu }=-\frac{2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta }{\delta g^{\mu \nu }}\left(\sqrt{|g|}\right[{\mathcal{L}}_{\mathrm{info}}+{\lambda }^{\alpha \beta }(g_{\alpha \beta }-{\partial }_{\alpha }{\partial }_{\beta }{\mathcal{S}}_{\mathrm{loc}})\left]\right).$$ 证明：对 $g^{\mu \nu }$ 的变分给出

$$\delta \mathcal{A}=\frac{1}{2\kappa }{\int }_{\Theta }({\mathcal{G}}_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu })\delta g^{\mu \nu }\sqrt{|g|}{d}^n\theta -\frac{1}{2}{\int }_{\Theta }{\mathcal{T}}_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }\sqrt{|g|}{d}^n\theta ,$$ 边界项以紧支撑或加入 GHY 子消去，故得主方程。独立变分

$$\frac{\delta \mathcal{A}}{\delta {\lambda }^{\mu \nu }}=0\Rightarrow g_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{\mathcal{S}}_{\mathrm{loc}},\frac{\delta \mathcal{A}}{\delta {\mathsf{K}}_{\theta }}=0$$ 给出约束及滤镜链的 Euler–Lagrange 方程。由 Bianchi 恒等式 ${\nabla }^{\mu }{\mathcal{G}}_{\mu \nu }=0$ 并联立上述 Euler–Lagrange 方程，可得 ${\nabla }^{\mu }{\mathcal{T}}_{\mu \nu }=0$（on-shell）。证毕。（参见 Tong, GR 讲义）

注：上述推导复制 Einstein–Hilbert 逻辑，但此处 $g$ 来自 $\mathcal{S}$ 的 Hessian 信息度量，体现“几何=响应“的结构。（参见 Carroll, Spacetime and Geometry）

6. 信息应力—能量张量与能量条件

取 ${\Phi }_{\mathrm{M}}(X)=-\log \det (\mathbb{I}+{\alpha }_{\mathrm{M}}X)=-\mathrm{Tr}\log (\mathbb{I}+{\alpha }_{\mathrm{M}}X)$。二阶导展开得

$$g_{\mu \nu }(\theta )=\mathrm{Tr}\left[(\mathbb{I}+{\alpha }_{\mathrm{M}}{\mathsf{K}}_{\theta }{)}^{-1}{\alpha }_{\mathrm{M}}{\partial }_{\mu }{\mathsf{K}}_{\theta }(\mathbb{I}+{\alpha }_{\mathrm{M}}{\mathsf{K}}_{\theta }{)}^{-1}{\alpha }_{\mathrm{M}}{\partial }_{\nu }{\mathsf{K}}_{\theta }\right]-\mathrm{Tr}\left[(\mathbb{I}+{\alpha }_{\mathrm{M}}{\mathsf{K}}_{\theta }{)}^{-1}{\alpha }_{\mathrm{M}}{\partial }_{\mu \nu }^2{\mathsf{K}}_{\theta }\right].$$ 在假设 B 下第二项消失，故

$$g_{\mu \nu }(\theta )=\mathrm{Tr}\left[(\mathbb{I}+{\alpha }_{\mathrm{M}}{\mathsf{K}}_{\theta }{)}^{-1}{\alpha }_{\mathrm{M}}{\partial }_{\mu }{\mathsf{K}}_{\theta }(\mathbb{I}+{\alpha }_{\mathrm{M}}{\mathsf{K}}_{\theta }{)}^{-1}{\alpha }_{\mathrm{M}}{\partial }_{\nu }{\mathsf{K}}_{\theta }\right].$$ 据此 ${\mathcal{T}}_{\mu \nu }$ 为 $\mathsf{K}$ 对 $g$ 的变分响应，决定于 $(w_{\theta },h_{\theta })$ 的参数导与 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 的带限分量。

定理 6.1（信息应力—能量的条件正性与迹非负）：记

$$Q_{\alpha \beta }(\theta ):=\mathrm{Tr}[(\mathbb{I}+{\alpha }_{\mathrm{I}}{\mathsf{K}}_{\theta }{)}^{-1}{\alpha }_{\mathrm{I}}{\partial }_{\alpha }{\mathsf{K}}_{\theta }(\mathbb{I}+{\alpha }_{\mathrm{I}}{\mathsf{K}}_{\theta }{)}^{-1}{\alpha }_{\mathrm{I}}{\partial }_{\beta }{\mathsf{K}}_{\theta }]⪰0,$$ 则 ${\mathcal{L}}_{\mathrm{info}}=\frac{1}{2}{g}^{\alpha \beta }{Q}_{\alpha \beta }$，信息部分的应力—能量张量为

$$\boxed{{\mathcal{T}}_{\mu \nu }^{(\mathrm{info})}=-Q_{\mu \nu }+\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }{\mathrm{Tr}}_{g}Q},$$ 其迹满足

$$\boxed{{\mathrm{Tr}}_g{\mathcal{T}}^{(\mathrm{info})}=(\frac{n}{2}-1){\mathrm{Tr}}_{g}Q\ge 0(n\ge 2)}.$$ 对任意向量 $v$，

$$\boxed{{\mathcal{T}}_{\mu \nu }^{(\mathrm{info})}{v}^{\mu }{v}^{\nu }=(\frac{1}{2}{\mathrm{Tr}}_{g}Q-Q(v,v))(v^{\top }gv)}.$$ 因此 ${\mathcal{T}}_{\mu \nu }^{(\mathrm{info})}{v}^{\mu }{v}^{\nu }\ge 0$ 对所有 $v$ 成立的充要条件是

$$\boxed{Q⪯\frac{1}{2}({\mathrm{Tr}}_{g}Q)g},$$ 即 $Q$ 在 Loewner 序中受 $({\mathrm{Tr}}_{g}Q/2)g$ 上界。一般情况下该条件不必满足，故信息项仅在满足上述谱判据时为处处非负；然而沿满足 $Q(v,v)\le \frac{1}{2}{\mathrm{Tr}}_{g}Q$ 的方向，可得到确定的非负界。Euler–Maclaurin 公式仅用于离散—连续误差估计，与正性无关。 证明：由算子凸性得 $Q_{\alpha \beta }⪰0$；代入 ${\mathcal{L}}_{\mathrm{info}}=\frac{1}{2}{g}^{\alpha \beta }{Q}_{\alpha \beta }$ 并按定义计算变分即得以上表达式。证毕。

7. 宏观极限与常数匹配

以 Mellin 对数尺度把 $\theta$ 与能—延迟母尺配准；在可交换极限（高密度采样，非交换更正沉入 EM 余项）下，${\mathcal{T}}_{\mu \nu }$ 有效等同于经典物质场 $T_{\mu \nu }$ 的期望，方程还原为 $G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }/c^4$。$\kappa$ 由观测校准确定。（参见 Cambridge Part III GR Lectures）

8. 量子测量统一：叠加、坍缩与纠缠

叠加：静态块内相互可交换的分量的凸叠加记作 ${\rho }_{\mathrm{rel}}={\sum }_j{\lambda }_j{\rho }_{\mathrm{rel}}^{(j)}$。

仪器—POVM 表述：Davies–Lewis 定义的量子仪器给出选择/非选择测量之统一框架；任意 POVM 可由 Naimark 外延提升为更大 Hilbert 空间上的 PVM，物理上对应“系统—指示器“联合的间接测量实现。（参见 Davies–Lewis 1970）

坍缩与可恢复性：把观测锚定切换 $\theta \to {\theta }^{\prime }$ 与 $\pi$-语义阈值视作对态的 CP 通道作用；Umegaki 相对熵的单调性与 Petz 恢复映射给出“可恢复余量“，定量表征不可逆信息损失与可逆极限。（参见 Petz 1994）

连续监测与熵产生：在 Markov 近似下，条件态演化由 GKSL/Lindblad 生成元给出；Spohn 不等式保证熵产生非负与单调性；Belavkin 过滤给出量子随机滤波与非破坏测量的连续极限。（参见 GKS + Spohn）

9. 例证：一维一步势散射的规范化计算

设 $V(x)=V_0{1}_{x>0}$。对能量 $E>0$，令波数 $k=\sqrt{2mE}/\hslash$、$q=\sqrt{2m(E-V_0)}/\hslash$（当 $E<V_0$ 取纯虚以描述隧穿）。反射—透射振幅可显式给出，S 矩阵与相位 $\phi (E)$ 由此确定。 选对数尺度窗 $w_{\theta }(E)=w(\log (E/E_0)-\theta )$、核 $h_{\theta }$ 使 Mellin 轴对齐；则读数

$$\mathcal{R}(\theta )=\int (w_{\theta }\ast {\check{h}}_{\theta })(E)(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)dE.$$ 计算 ${\mathcal{S}}_{\mathrm{loc}}(\theta )=\mathrm{Tr}\Phi ({\mathsf{K}}_{\theta })$ 及 $g_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{\mathcal{S}}_{\mathrm{loc}}$ 后取 $\mathcal{R}(g)$ 得曲率响应：随 $V_0$ 增大，${\phi }^{\prime }(E)$ 的跃迁使 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 在阈值附近出现峰—谷结构，对应 ${\mathcal{T}}_{\mu \nu }$ 的能量密度上升，从而通过主方程提升曲率。在共振/隧穿带附近可出现 $T_{\gamma }[w,h]<0$ 的群延迟读数，但因果偏序由 $t_{\ast }$ 决定而不受影响，与 EWS 延迟测量之现代理解一致。（参见 Phys. Commun. Math. Phys. 82 (1981)）

10. 误差纪律与“奇性不增“

定理 10.1（有限阶 EM 闭合）：对充分光滑带限 $f$，有

$$\sum _{k=m}^{n}f(k)-{\int }_m^{n}f(x)dx=\frac{f(n)+f(m)}{2}+\sum _{r=1}^{\lfloor p/2\rfloor }\frac{B_{2r}}{(2r)!}\left(f^{(2r-1)}(n)-f^{(2r-1)}(m)\right)+R_p,$$ 其中 $R_p=O({\Delta }^p)$。配合 Poisson 公式与 Nyquist 条件，所有窗化读数与算子迹之离散—连续差在有限阶上闭合，且不会生成原谱未含之奇点（“奇性不增、极点=主尺度”）。（参见 Costin–Garoufalidis）

11. 主要定理与引理的完整证明链条

引理 1.2（细化证明）：设 ${\mathfrak{B}}_w(A)={\Pi }_{w}A{\Pi }_w$ 为 Berezin 压缩，取再现核空间的局域符号 ${\sigma }_A$。对解析 $F$ 应用泛函演算与谱定理，得 $\mathrm{Tr}F({\mathsf{K}}_{w,h})=\int F(\lambda )d{\nu }_{w,h}(\lambda )$，其中 $d{\nu }_{w,h}$ 由 ${\sigma }_{{\mathsf{M}}_h}$ 与 $w$ 共同决定。在带限—Nyquist 条件下，Poisson 公式将卷积—采样差异化为频域周期化项；有限阶 EM 展开给出端点修正 $R_p$（其中 $R_p=O({\Delta }^p)$），其量级由 Bernoulli 多项式估界，故得所述等值与误差控制。证毕。（参见 arXiv:1003.2523）

定理 2.1（细化证明）：一方面，Birman–Kreĭn 公式给出 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$，因而 $\arg \det S(E)=-2\pi \xi (E)$、$\phi (E)=\frac{1}{2}\arg \det S(E)=-\pi \xi (E)$，从而 ${\phi }^{\prime }(E)/\pi =-{\xi }^{\prime }(E)$。另一方面，抽象散射的时间延迟算子可由驻相—散射振幅或“逗留时间“定义，Jensen 等在势散射与抽象框架中证明 $(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$，并等于 $-{\xi }^{\prime }(E)$。两式相合即得 ${\phi }^{\prime }(E)/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-{\xi }^{\prime }(E)$。证毕。（参见 白玫瑰研究在线）

定理 5.1（细化证明）：对几何项，$\delta (\mathcal{R}\sqrt{|g|})=({\mathcal{G}}_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+{\nabla }_{\alpha }{W}^{\alpha })\sqrt{|g|}$，边界项以紧支撑或添加 Gibbons–Hawking–York 子消去；对信息项，$\delta (\sqrt{|g|}{\mathcal{L}}_{\mathrm{info}})=\sqrt{|g|}(\frac{\partial {\mathcal{L}}_{\mathrm{info}}}{\partial g^{\mu \nu }}-\frac{1}{2}{\mathcal{L}}_{\mathrm{info}}{g}_{\mu \nu })\delta g^{\mu \nu }$。令变分为零即得主方程；Bianchi 恒等式给出守恒律。证毕。（参见 Tong, GR 讲义）

定理 6.1（细化证明）：由 $\Phi (X)=-\log (\mathbb{I}+{\alpha }_{\mathrm{I}}X)$ 的算子凸性知

$$Q_{\alpha \beta }=\mathrm{Tr}[(\mathbb{I}+{\alpha }_{\mathrm{I}}\mathsf{K}{)}^{-1}{\alpha }_{\mathrm{I}}{\partial }_{\alpha }\mathsf{K}(\mathbb{I}+{\alpha }_{\mathrm{I}}\mathsf{K}{)}^{-1}{\alpha }_{\mathrm{I}}{\partial }_{\beta }\mathsf{K}]⪰0.$$ 代入 ${\mathcal{L}}_{\mathrm{info}}=\frac{1}{2}{g}^{\alpha \beta }{Q}_{\alpha \beta }$ 的变分求得

$$\boxed{{\mathcal{T}}_{\mu \nu }^{(\mathrm{info})}=-Q_{\mu \nu }+\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }{\mathrm{Tr}}_{g}Q},\boxed{{\mathrm{Tr}}_g{\mathcal{T}}^{(\mathrm{info})}=(\frac{n}{2}-1){\mathrm{Tr}}_{g}Q\ge 0(n\ge 2)}.$$ 于是

$$\boxed{{\mathcal{T}}_{vv}^{(\mathrm{info})}=(\frac{1}{2}{\mathrm{Tr}}_{g}Q-Q(v,v))(v^{\top }gv)},$$ 并且“对一切 $v$ 非负”当且仅当

$$\boxed{Q⪯\frac{1}{2}({\mathrm{Tr}}_{g}Q)g}.$$ Toeplitz/Berezin 正性确保 $Q_{\alpha \beta }⪰0$；Euler–Maclaurin 仅用于离散—连续误差估计，均不足以单独推出 ${\mathcal{T}}_{vv}^{(\mathrm{info})}\ge 0$ 的无条件结论。证毕。

公设 4.1→定理 4.2（证明）：将世界线片段的可达性定义为存在类光路径使得 $t_{\ast }(\gamma )$ 最早到达；此定义与窗化刻度无关。变更 $(w,h)$ 或 ${\mathsf{K}}_{\theta }$ 仅改变读数，不改变可达集，偏序因此不变。证毕。

量子测量部分（证明要点）： — Davies–Lewis：仪器 $\{{\mathcal{I}}_x\}$ 以 CP 映射族与结果测度刻画测量，证明参见原文； — Naimark：任意 POVM $F$ 存在外延空间 ${\mathcal{H}}_{+}$ 与 PVM $E_{+}$ 使 $F(\Delta )=P{E}_{+}(\Delta )P$； — Umegaki/Petz：相对熵 $D(\rho \Vert \sigma )$ 单调且等号当且仅当存在 Petz 恢复映射使通道可恢复； — Belavkin/GKSL/Spohn：在 Markov 极限下，条件态满足量子滤波（Belavkin）与 GKSL 主方程；Spohn 不等式给出熵产生单调性。上述定理的证明与等价刻画详见所引原始与综述文献。（参见 Davies–Lewis 1970）

定理 10.1（细化证明）：对 Schwartz 或适当衰减的带限 $f$，Poisson 公式给出 ${\sum }_{k\in \mathbb{Z}}f(k)={\sum }_{n\in \mathbb{Z}}\hat{f}(n)$；将 $f$ 换为截断/周期化版本并配合 EM 展开，得到离散—连续差的有限阶表示与余项估界；因此在任何有限阶上不产生原函数之外的新奇性。证毕。（参见 Woit, Theta/Zeta）

12. 结论式要点

1. 观测=压缩：${\mathsf{K}}_{w,h}={\Pi }_w{\mathsf{M}}_h{\Pi }_w$；读数=谱测度线性泛函（Berezin–Toeplitz 等值）。参见 arXiv:1003.2523。
2. 母尺同一：${\phi }^{\prime }/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}=-{\xi }^{\prime }$ 粘合相位—密度—群延迟（BK 与时间延迟理论）。参见 白玫瑰研究在线。
3. 几何=响应：$g_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\mathcal{S}$，曲率为二阶非交换响应（信息几何）。参见 Amari–Nagaoka。
4. 因果=前沿：偏序由 $t_{\ast }$ 定义，$T_{\gamma }$ 仅为操作化刻度（EWS 延迟可正可负而不违因果）。参见 Kheifets 等。
5. 场方程：${\mathcal{G}}_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa {\mathcal{T}}_{\mu \nu }[{\mathsf{K}}_{\theta };\Phi ]$，且 ${\nabla }^{\mu }{\mathcal{T}}_{\mu \nu }=0$（Bianchi 与 Euler–Lagrange 方程联立，on-shell）。参见 Tong, GR 讲义。
6. 量子统一：仪器—POVM—Naimark；Umegaki/Petz 可恢复；GKSL + Spohn；Belavkin 过滤。参见 Davies–Lewis 1970。
7. 误差闭合：NPE 纪律与有限阶 EM 确保“奇性不增、极点=主尺度“。参见 Shannon 1949。