量子测量统一：EBOC 静态块—SBU 叠加、锚定切换的 $\pi$-语义塌缩与因果网纠缠

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摘要

在“离散—静态块（EBOC）“与“连续—因果流形/规范系统“的统一视角下，构造量子测量的公理化体系：波函数被刻画为静态块中相容 SBU（Static Block Units）的复幅叠加；坍缩被刻画为观察者锚定切换与从算子代数到经典记录代数的 $\pi$-语义塌缩；纠缠被刻画为因果网中的条件互信息与量子马尔可夫性。数学上，以量子仪器与 POVM 为核心对象，并用 Stinespring/Naimark/Kraus 表示、Lüders 更新、相对熵极小原则与 Belavkin 过滤闭合“测量—更新—记录“链条；在信息几何层以强次可加性与条件互信息控制纠缠的因果传播与“无信号”。在读数—几何接口上，采用窗化压缩 $K_{w,h}$ 与“三位一体母刻度“ $\frac{{\phi }_{\mathrm{m}}^{\prime }}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 的统一读数框架，并在 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（有限阶）纪律下给出非渐近误差闭合；该同一式在绝对连续谱上几乎处处成立，从而将“相位导数—相对谱密度—Wigner–Smith 群延迟“严格统一。Davies–Lewis 仪器/POVM、公设 Lüders 规则、Stinespring–Kraus–Naimark 表示与 Belavkin 连续测量随机滤波提供了可检锚点；Birman–Kreĭn 恒等式、Kreĭn–Friedel–Lloyd 桥接与 de Branges 核对角公式为“窗化—谱—散射“之统一读数提供了谱/泛函分析依据。(施普林格链接)

Notation & Axioms / Conventions

记号与约定。 单位取 $\hslash =c=1$。希尔伯特空间 $\mathcal{H}$，可观测代数 $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B}(\mathcal{H})$，经典记录代数 $\mathcal{O}\cong L^{\infty }(\mathcal{X})$。测量以 Davies–Lewis 仪器 $\{{\mathcal{I}}_{\Delta }{\}}_{\Delta \in \mathcal{B}(\mathcal{X})}$ 与 POVM $E(\cdot )$ 表示；其 Heisenberg 像为 $${\pi }^{\ast }(f)={\int }_{\mathcal{X}}f(x)E(dx),$$ 当 $\mathcal{X}$ 为离散集时退化为 ${\pi }^{\ast }(f)={\sum }_{x}f(x)E_x$。Kraus 表示与 Stinespring 扩张等价（针对 CP 映射）；POVM 与 PVM 通过 Naimark 扩张等价（针对测度）。Lüders 更新涵盖投影测量极限；Belavkin 过滤用于连续测量。(施普林格链接)

谱测度记号。 记 $E_H:\mathcal{B}(\mathbb{R})\to \mathcal{B}(\mathcal{H})$ 为自伴算子 $H$ 的谱投影测度；对任意有界 Borel 函数 $f$， $$f(H)={\int }_{\mathbb{R}}f(E)d{E}_H(E).$$ 因此 §6.1 中的 $\int w_R(E)d{E}_H$ 即 $w_R(H)$。

卷积与窗化。 取窗—核对 $(w_R,h)$，卷积记为 $(h\star f)(E)={\int }_{\mathbb{R}}h(E-E^{\prime })f(E^{\prime })d{E}^{\prime }$。窗化读数定义为 $⟨K_{w,h}⟩={\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)(h\star {\rho }_{\star })(E)dE$，其中 ${\rho }_{\star }\in \{{\rho }_{\mathrm{abs}},{\rho }_{\mathrm{rel}}\}$。其中 ${\rho }_{\mathrm{abs}}(E)$ 为绝对谱密度/态密度，定义为对任意 $f\in C_0^{\infty }(\mathbb{R})$ $$\mathrm{Tr}f(H)={\int }_{\mathbb{R}}f(E){\rho }_{\mathrm{abs}}(E)dE,$$ 必要时以窗算子 $W_R$ 或体积正规化确保有限性。Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（有限阶）给出非渐近误差账本，带限并满足 Nyquist 条件时别名误差为零。(Project Euclid)

母刻度与散射。 定义母刻度相位 $${\phi }_{\mathrm{m}}(E):=\frac{1}{2}\arg \det S(E)=-\pi \xi (E).$$ 在标准正则性（相对迹类扰动、存在散射矩阵）下，绝对连续谱上几乎处处成立 $$\frac{{\phi }_{\mathrm{m}}^{\prime }(E)}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),$$ 其中 $\det S=e^{-2\pi i\xi }$、${\rho }_{\mathrm{rel}}=-{\xi }^{\prime }$、$\mathsf{Q}=-i{S}^{†}\frac{dS}{dE}$。(arXiv)

de Branges 锚点。 令 ${\phi }_{\mathrm{dB}}(x):=-\arg E(x)$。则 $$\frac{K(x,x)}{|E(x){|}^2}=\frac{{\phi }_{\mathrm{dB}}^{\prime }(x)}{\pi }.$$ 桥接条件。 当且仅当所用 $E$ 由与 $(H,H_0)$ 对应的规范系统产生并与散射数据配准时，${\phi }_{\mathrm{dB}}(x)={\phi }_{\mathrm{m}}(x)$ 几乎处处成立；一般情形下该式仅提供“相位—密度“的函数论校准刻度，不与 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 无条件同一。(math.purdue.edu)

1. 波函数：EBOC 静态块中的相容 SBU 叠加

定义 1.1（SBU、退相干泛函与相容划分）。 设 $\mathfrak{B}$ 为静态块中的历史类族，干涉/退相干泛函 $D:\mathfrak{B}\times \mathfrak{B}\to \mathbb{C}$ 给定。若存在子族 $\mathcal{C}\subset \mathfrak{B}$ 使得对任意 $B\ne B^{\prime }\in \mathcal{C}$ 有 $D(B,B^{\prime })=0$，则称 $\mathcal{C}$ 为相容（退相干）划分。波函数 $\psi :\mathfrak{B}\to \mathbb{C}$ 在相容划分上满足 ${\sum }_{B\in \mathcal{C}}|\psi (B){|}^2=1$，并定义概率 $\mathbb{P}(B)=D(B,B)=|\psi (B){|}^2(B\in \mathcal{C})$。

命题 1.2（退相干诱导）。 若对所选历史类的干涉泛函对角，则 $\mathbb{P}$ 与 Born 概率一致。证略：相干项消失后归结于正交分解，见第 8 节之 Born–I 投影等价。

2. 坍缩：锚定切换与 $\pi$-语义

定义 2.1（仪器与经典化）。 仪器 $\{{\mathcal{I}}_{\Delta }{\}}_{\Delta \in \mathcal{B}(\mathcal{X})}$ 与 POVM $E(\cdot )$ 的 Heisenberg 经典化为 $${\pi }^{\ast }(f)={\int }_{\mathcal{X}}f(x)E(dx),$$ 离散情形下 ${\pi }^{\ast }(f)={\sum }_{x}f(x)E_x$。选择记录代数基即“锚定“；锚定切换对应 $\mathcal{O}\to {\mathcal{O}}^{\prime }$ 的基变换。

定理 2.2（Lüders/仪器更新）。 当结果代数与测量 PVM 共对角且 $\mathrm{tr}(\rho P_x)>0$ 时，选择性条件态更新为 $$\rho \mapsto {\rho }_x=\frac{P_x\rho P_x}{\mathrm{tr}(\rho P_x)}.$$ 若 $\mathrm{tr}(\rho P_x)=0$，则该结果的条件态无定义。 一般 POVM 可由 Naimark 扩张至 PVM，再由 Stinespring/Kraus 收回 Schrödinger 像。(施普林格链接)

证明要点。 Naimark 给出 $E_x=V^{\ast }{P}_{x}V$，Stinespring 给出 $\Phi (A)=V^{\ast }\pi (A)V$。选择性更新由条件化与收缩 $V$ 实现；投影情形回收 Lüders 形式。

3. 纠缠：因果网的信息关联与无信号

定义 3.1（条件互信息与量子马尔可夫）。 条件互信息 $I(A:C|B)=S(AB)+S(BC)-S(ABC)-S(B)\ge 0$。等号当且仅当状态为短量子马尔可夫链（存在恢复映射使 $A\leftrightarrow C|B$ 独立）。(AIP Publishing)

命题 3.2（无信号的算子条件）。 若区域代数在类空分离上交换，且局域操作为 CPTP（CP 与迹保持），则不存在超光锥信号；AQFT 中可用 CP 局域操作与“漏斗性质“刻画。(arXiv)

说明。 上述信息论与代数因果的衔接提供“纠缠传播受限“的判据，并与“记录代数锚定“相容。

4. 连续测量与量子轨道

定理 4.1（Belavkin 过滤）。 在 QND 与马尔可夫近似下，记录历程给出后验态的量子随机微分方程；离散弱测量极限与轨道平均回收 Lindblad 主方程。(Project Euclid)

证明要点。 用量子随机演算建立观测过程的滤波方程；计数型与扩散型方程互为极限，详见原始工作。(maths.nottingham.ac.uk)

5. 统一测量的变分原理（I-投影）

定理 5.1（相对熵极小与 Lüders/I‑投影一致的条件）。

（a）选择性更新：投影测量 $\{P_x\}$ 给定结果 $x$，若 $\mathrm{tr}(\rho P_x)>0$，在约束 ${\rho }^{\prime }\ge 0,\mathrm{tr}{\rho }^{\prime }=1,\mathrm{supp}({\rho }^{\prime })\subseteq \mathrm{ran}(P_x)$ 下极小化 $D({\rho }^{\prime }\Vert \rho )$ 的唯一解为 $${\rho }_x^{\prime }=\frac{P_x\rho P_x}{\mathrm{tr}(\rho P_x)}\text{（Lu¨ders 条件态）}.$$ 若 $\mathrm{tr}(\rho P_x)=0$，则约束集为空，条件态无定义。

（b）非选择性更新：令先验为忠实态 $\rho \succ 0$；若 $\rho$ 非满秩，则一律限制在 $\mathrm{supp}(\rho )$ 上并以受限 $\log \rho$ 代之。若 $[\rho ,P_x]=0$ 且采用对齐约束 $\mathrm{tr}({\rho }^{\prime }{P}_x)=\mathrm{tr}(\rho P_x)$（对所有 x），则 I‑投影解为 ${\rho }^{\prime }={\sum }_x{P}_x\rho P_x$；一般非交换情形仅得 $${\rho }^{\prime }\propto \exp (\log \rho -\sum _x{\lambda }_x{P}_x)\text{（在 }\mathrm{supp}(\rho )\text{ 上）},$$ 通常不等同于 Lüders。(yaroslavvb.com)

证明。 （a）由约束与严格凸性直接得到；（b）由拉格朗日对偶与交换性条件得到。

推论 5.2（Born = I-投影极限）。 对投影测量，当窗/噪声尺度 $\tau \downarrow 0$（硬极限），softmax 权收敛至一热核极限，得到 $p_x=\mathrm{tr}(\rho P_x)$，即 Born 规则。

6. 窗化读数与误差三分解

定义 6.1（窗化读数与 Toeplitz/Berezin 压缩）。 令窗算子 $W_R=\int w_R(E)d{E}_H$，则 Toeplitz/Berezin 压缩与核平滑诱导读数 $⟨K_{w,h}⟩=\int w_R(E)(h\star {\rho }_{\star })(E)dE$。Berezin 变换刻画符号到算子的映射及其紧性/迹理性。

紧性约束。 以下固定窗算子取为 $$W_R:=P_R({\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)d{E}_H)P_R,$$ 其中 $P_R$ 为有限秩（或 Hilbert–Schmidt）局域化投影（Toeplitz/Berezin 压缩）。于是 $W_R$ 自伴且紧，谱离散，§9.1 的 Ky Fan 极值刻画可用。(axler.net)

定理 6.2（Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin 非渐近误差）。 对 $F(E)=w_R(E)(h\star {\rho }_{\star })(E)$ 的等距采样—有限求和近似，有 ${\mathcal{E}}_R={\mathcal{E}}_{\mathrm{alias}}+{\mathcal{E}}_{\mathrm{EM}}+{\mathcal{E}}_{\mathrm{tail}}$；若 $F$ 带限且采样率满足 Nyquist，则 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{alias}}=0$；有限阶 Euler–Maclaurin 给出显式余项上界。(Project Euclid)

证明要点。 Poisson 求和将采样误差化为频域旁瓣；带限与 Nyquist 杀死别名；EM 有界余项由 Bernoulli 多项式的周期化与 $f^{(p)}$ 的有界可积性给出。(施普林格链接)

7. 相位—密度—群延迟“三位一体“与窗化 BK 恒等式

定理 7.1（Birman–Kreĭn 与 Wigner–Smith）。 设 $(H,H_0)$ 为相对迹类扰动，存在散射矩阵 $S(E)$ 与谱移函数 $\xi (E)$。则 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$、${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=-{\xi }^{\prime }(E)$、$\mathsf{Q}(E)=-i{S}^{†}(E)\frac{dS}{dE}(E)$，并且 $$\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-2\pi {\xi }^{\prime }(E),\frac{{\phi }_{\mathrm{m}}^{\prime }(E)}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$$ 几乎处处成立。(arXiv)

证明（纲要）。 由 Lifshits–Kreĭn 迹公式与 BK 恒等式得 ${\xi }^{\prime }$ 为谱差密度；Wigner–Smith 定义给出 $${\partial }_E\arg \det S=\frac{1}{i}{\partial }_E\log \det S=\frac{1}{i}\mathrm{tr}{S}^{†}{S}^{\prime }=\mathrm{tr}\mathsf{Q},$$ 合并得主同一式。对非幺正扩展见最新文献（复杂耗散情形），但本框架在宇宙封闭/幺正假设下取幺正分支。(arXiv)

定理 7.2（窗化 BK 恒等式）。 设 $f=h\star w_R\in C_0^{\infty }$。则 $\mathrm{Tr}f(H)-\mathrm{Tr}f(H_0)={\int }_{\mathbb{R}}{f}^{\prime }(E)\xi (E)dE$ 且 $-\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\mathbb{R}}{f}^{\prime }(E)\log \det S(E)dE={\int }_{\mathbb{R}}{f}^{\prime }(E)\xi (E)dE$， 于是窗化后“谱—散射—相位“积分级桥接成立。证明借助 Helffer–Sjöstrand 公式与算子 Lipschitz 类函数的 Kreĭn 迹公式适用性。(维基百科)

8. Born 规则的完备化：I-投影与正交极限

定理 8.1（Born = I-投影充要）。 在投影测量下，线性对齐约束上的 I-投影唯一解生成的概率向量 $p$ 等于 Born 概率，当且仅当对偶问题的拉格朗日乘子满足谱对角条件（即指针基共对角）。此时 Lüders 更新与 I-投影一致。(PhilPapers)

证明（要点）。 对角化下指数族退化为对谱测度的加权；极限 $\tau \downarrow 0$ 下 softmax 收敛到投影选择，完成与 Lüders 的一致化。

9. 指针基选择的谱变分刻画

定理 9.1（指针基的 Ky Fan 谱极值刻画）。

令窗算子 $W_R$ 为自伴紧算子，$P_V$ 为任意 $k$ 维子空间 $V$ 的正交投影。则 $$\underset{\dim V=k}{\min }\mathrm{Tr}(P_V{W}_R)=\sum _{j=1}^k{\lambda }_j^{\uparrow }(W_R),$$ 极小由 $W_R$ 的最小 $k$ 个本征子空间达到。因而“指针基“可刻画为使 $\mathrm{Tr}(P_V{W}_R)$ 极小的本征基；该表述与 Ky Fan 最小和原理等价。(国家科学院院刊)

证明（提要）。 由 Ky Fan 最小和原理直接得到；极小由最小本征子空间达到。

附录 A：de Branges 核对角与相位密度

de Branges 结构函数 $E=A-iB$（Hermite–Biehler 类）与相位 ${\phi }_{\mathrm{dB}}(x)=-\arg E(x)$。

记号补充。 令 $E^{♯}(z):=\overline{E(\overline{z})}$（de Branges 伴随整函数）。

则核公式写为 $$K(z,w)=\frac{E(z)\overline{E(w)}-E^{♯}(z)\overline{E^{♯}(w)}}{2\pi i(z-\overline{w})},$$ 其在实轴对角化为 $$K(x,x)=\frac{{\phi }_{\mathrm{dB}}^{\prime }(x)}{\pi }|E(x){|}^2.$$ 该式为“相位密度刻度“的函数论锚点。(math.purdue.edu)

附录 B：Kreĭn–Friedel–Lloyd 桥接与时间延迟

Friedel 公式给出相对 DOS $${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{\pi }{\partial }_E{\phi }_{\mathrm{m}}(E),$$ 与 BK 恒等式一致；其中 $M:=\dim S(E)$ 为开放道数，$\mathrm{tr}$ 表示对通道空间的迹。Wigner–Smith 给出 $${\tau }_W(E)=\frac{1}{M}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-\frac{i}{M}{\partial }_E\log \det S(E).$$ 据此“相位导数—相对 DOS—群延迟“三重统一。(物理评论链接管理器)

附录 C：Nyquist–Poisson–EM 误差闭合细节

Poisson 求和将采样误差表示为高频像差之和；带限与 Nyquist 条件消灭别名项。有限阶 Euler–Maclaurin 用周期化 Bernoulli 函数给出余项积分表达与上界估计；对解析/带限 $F$ 可给出显式非渐近上界，闭合窗化账本。(Project Euclid)

参考文献（选）

1. E. B. Davies & J. T. Lewis, “An operational approach to quantum probability,” Commun. Math. Phys. 17 (1970). (施普林格链接)
2. W. F. Stinespring, “Positive functions on C*-algebras,” Proc. AMS 6 (1955). (维基百科)
3. M. A. Naimark, “On a representation of additive operator set functions,” 1940s—Naimark 扩张综述。(维基百科)
4. K. Kraus, States, Effects, and Operations（相关综述）。(维基百科)
5. P. Busch, “Lüders Rule,” Compendium of Quantum Physics（2009）。(施普林格链接)
6. V. P. Belavkin, “Quantum continual measurements and a posteriori collapse,” CMP 146 (1992)。(Project Euclid)
7. E. H. Lieb & M. B. Ruskai, “Proof of the strong subadditivity of quantum-mechanical entropy,” JMP 14 (1973)。(AIP Publishing)
8. P. Hayden, R. Jozsa, D. Petz, A. Winter, “Structure of states which satisfy SSA with equality,” CMP 246 (2004)。(施普林格链接)
9. A. Pushnitski 等，Birman–Kreĭn 及谱移函数综述。(arXiv)
10. J. Kuipers 等，“Efficient semiclassical approach for time delays,” NJP 16 (2014)。(arXiv)
11. L. de Branges, Hilbert Spaces of Entire Functions（1968）；及后续相位函数文献。(math.purdue.edu)
12. V. Peller 等，Lifshits–Kreĭn 迹公式与 Helffer–Sjöstrand 功能演算。(arXiv)
13. Ky Fan, “Maximum properties and inequalities for eigenvalues,” PNAS 37 (1951)。(国家科学院院刊)
14. 采样/Poisson/EM 经典文献与综述。(Project Euclid)

结论要点（提炼）

（i）以仪器/POVM—I-投影—Lüders/Belavkin 为核心，可在范畴上闭合“测量—更新—记录“；（ii）以 $\boxed{{\phi }_{\mathrm{m}}^{\prime }/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}}$ 为母刻度，并以 de Branges 核对角与 BK/Helffer–Sjöstrand 为锚，实现“窗化—谱—散射“的可检统一；（iii）Nyquist–Poisson–EM 的有限阶纪律保证非渐近误差闭合；（iv）条件互信息与量子马尔可夫性提供纠缠传播与无信号的因果约束。以上四点统一地将 EBOC 静态块的 SBU 叠加、锚定切换的 $\pi$-语义塌缩与因果网纠缠联入同一测量理论框架。