层级化“停机“—“视角相对完备性“统一理论

（EBOC–WSIG–RBIT 框架下的形式化构建） Version: 1.29

摘要

在窗化散射—信息几何（WSIG/CCS）、永恒静态块计算（EBOC）与有限资源不完备理论（RBIT）框架下，建立与视角及资源相关的层级化“停机“判据,并给出与采样—帧门槛、Poisson–Euler–Maclaurin（EM）误差学及“三位一体“刻度（相位导数—相对态密度—群延迟）一致的等价定理。统一三位一体等式链的号志与分支规范,明确 ${\Phi }_f=\arg \det S$ 的绝对连续分支与 Birman–Kreĭn（BK）规范的互换使用；在算子层刻画“读数/指针“与 Ky–Fan 极小；在严格带限与紧帧的正则前提下收紧“采样-周期闭环“与“读数停机“的等价条件；并以哥德尔–柴廷型与扩展链不完备重述 RBIT 断言。

0. 记号、规范与正则纪律

0.1 视角四元与窗化读数

设视角四元为

$$\mathrm{View}=(H_0,w_R,h,\mathsf{sample}),$$

并引入窗口中心参数 $c\in \mathbb{R}$。定义位移—尺度化窗

$$w_{R,c}(E):=R^{-1}w\left(\frac{E-c}{R}\right).$$

其中 $H_0$ 为参照端（散射对 $(H,H_0)$ 的自由端）,$w_R$ 为能量窗（尺度 $R$）,$h$ 为带限前端核,$\mathsf{sample}$ 为采样/帧方案（步长 $\Delta$、点集 $\Lambda$ 等）。窗化读数取

$$\mathrm{Obs}(R,\Delta ;c)={\int }_{\mathbb{R}}{w}_{R,c}(E)(h\ast {\rho }_{\star })(E)dE+{\epsilon }_{\mathrm{alias}}+{\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}},$$

其中 ${\rho }_{\star }$ 可取相对态密度 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 或 Herglotz 密度 ${\rho }_m$。全篇统一采用标准卷积

$$(h\ast \rho )(E):={\int }_{\mathbb{R}}h(E-E^{\prime })\rho (E^{\prime })d{E}^{\prime }.$$

必要时以 $w_{R,c}$ 作加权测度,不影响正则与误差学结论。

窗口归一化与基线（零和条件）：采用二选一规范：

(A) 零均值窗：${\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)dE=0$。

(B’) 外定基线（非平凡零和）：取与 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 无关的 $c_R^{\mathrm{ext}}$（可由参照端 $H_0$ 的密度 ${\rho }_{m_0}$ 或独立低通校准得到）,定义 ${\tilde{\rho }}_{\mathrm{rel}}:={\rho }_{\mathrm{rel}}-c_R^{\mathrm{ext}}$。此时

$${\int }_{\mathbb{R}}{w}_R{\tilde{\rho }}_{\mathrm{rel}}=0⟺{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R{\rho }_{\mathrm{rel}}=\left({\int }_{\mathbb{R}}{w}_R\right)c_R^{\mathrm{ext}}.$$

等价性适用：§2 的定理 A.1 一律在规范 (A) 或 (B’) 下陈述,以避免内生基线造成的同义反复。

平移不变性：对任意 $c\in \mathbb{R}$,有

$${\int }_{\mathbb{R}}{w}_{R,c}(E)dE={\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)dE,$$

因而规范 (A)/(B’) 下的零和/基线关系与后续以 $w_{R,c}$ 表述的条件严格一致。

（统一记号） 为同时覆盖规范 (A)/(B’),记

$${\bar{\rho }}_{\mathrm{rel}}:=\{\begin{array}{ll}{\rho }_{\mathrm{rel}},& \text{规范 (A)};\\ {\tilde{\rho }}_{\mathrm{rel}},& \text{规范 (B′)}.\end{array}$$

后文凡述及“零和/平衡通量“,一律以 ${\bar{\rho }}_{\mathrm{rel}}$ 表达；若采用平滑,则统一以 $h\ast {\bar{\rho }}_{\mathrm{rel}}$ 计。

正则性与带限纪律（Poisson–EM 的非新增奇点）：固定一个 EM 截断阶 $M\ge 1$。为保证 Poisson–EM 误差闭合且不引入新奇点,要求 $h\in C^{2M}(\mathbb{R})\cap L^1$、$w_R\in C_c^{2M}(\mathbb{R})$ 或严格带限,且 $(h\ast {\rho }_{\star })$ 的至多 $2M$ 阶导数在窗端点可积；则 EM 截断余项仅由端点导数与伯努利多项式构成,Poisson 项在带限或足够衰减下可审计或为零。

上述正则与 Poisson–EM 闭合限定于 ${\sigma }_{\mathrm{ac}}(H)$ 内；对 ${\sigma }_{\mathrm{pp}}(H)$ 的 $\delta$-质量,采用 $w_R$ 支撑规避或以 $h$ 的平滑卷积抑制其贡献,从而保持“非新增奇点“。

0.2 窗化散射“三位一体“刻度（规范化、分支与 BK 号志）

在绝对连续谱上几乎处处,取散射矩阵 $S(E)\in U(N)$,Wigner–Smith 矩阵

$$\mathsf{Q}(E):=-iS(E{)}^{†}{\partial }_{E}S(E),$$

全局相位

$${\Phi }_f(E):=\arg \det S(E),\phi (E):=\frac{1}{2}{\Phi }_f(E).$$

定义相对态密度（Krein–Friedel 意义）

$${\rho }_{\mathrm{rel}}(E):=\frac{1}{2\pi }{\partial }_E{\Phi }_f(E).$$

在 ${\sigma }_{\mathrm{ac}}$ 上固定 ${\Phi }_f$ 的绝对连续分支,故 ${\partial }_E{\Phi }_f$ 在几乎处处意义下唯一；等价地,采用 BK 规范 $\det S(E)=\exp (-2\pi i\xi (E))$ 时有 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=-{\xi }^{\prime }(E)$。

一行推导：

$$\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-i\mathrm{tr}\left(S^{†}{\partial }_{E}S\right)=-i{\partial }_E\log \det S(E)={\partial }_E{\Phi }_f(E).$$

据此在 ${\sigma }_{\mathrm{ac}}$ 上几乎处处成立严格等式链

$$\boxed{{\phi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)}.$$

0.3 采样—帧门槛与不可能性

以相位密度 $d\nu =\frac{{\phi }^{\prime }}{\pi }dE$ 为几何刻度：Landau 给出采样/插值的必要密度下限；Wexler–Raz 对偶刻画 Gabor/多窗帧一致性；Balian–Low 定理在临界格处给出全局定位障碍。这些共同限定稳定读数与固定点判据的适用域。

Nyquist 门槛的严格定义：记窗化-平滑密度 $g_{R,c}(E):=w_{R,c}(E)(h\ast {\rho }_{\star })(E)$,其傅里叶支撑半宽

$${\Omega }_{\mathrm{eff}}(R):=\inf \{\Omega >0:\mathrm{supp}\widehat{g_{R,c}}\subseteq [-\Omega ,\Omega ]\}.$$

定义别名门槛

$${\Delta }_c(R):=\frac{\pi }{{\Omega }_{\mathrm{eff}}(R)}.$$

别名为零当且仅当 $\mathrm{supp}\widehat{g_{R,c}}\subseteq [-\pi /\Delta ,\pi /\Delta ]$；充分条件为 $\Delta \le {\Delta }_c(R)$（平移不改频域支撑）。

0.4 “读数/指针“的算子级定义与 Ky–Fan 极小；Born = I-投影

由 $w_R$ 与 $h$ 诱导正算子 $W_R$（Toeplitz/Gram 形式）。一种可检构造（正定、迹类、稳健）：令

$$u_{R,c}(E):=w_{R,c}(E{)}^2(\text{或取 }{u}_{R,c}(E)=|w_{R,c}(E)|),$$

取可测矩阵核 $K_h:\mathbb{R}\to {\mathbb{C}}^{N\times N}$,定义

$$W_R:={\int }_{\mathbb{R}}{u}_{R,c}(E)K_h(E{)}^{†}{K}_h(E)dE.$$

则 $W_R\ge 0$ 且 $\mathrm{tr}{W}_R<\infty$；并加入非平凡性约束 $\mathrm{tr}{W}_R>0$,从而

$$p(j)=\frac{{\lambda }_j}{\mathrm{tr}{W}_R},\sum _{j=1}^{N}p(j)=1$$

定义良好。此构造仅作用于“指针/Ky–Fan“判据（(iii)）,不改变 (i)(ii)(iv) 的窗权与零和判据（仍以 $w_{R,c}$ 计）。

作用空间与维度：以下约定 $W_R$ 作用于通道空间 ${\mathbb{C}}^N$（由窗/核对各通道的能量加权诱导）,故其谱分解记为 $\{({\lambda }_j,{\psi }_j){\}}_{j=1}^N$,并以此 $N$ 为后续 $\mathrm{rank}{P}^{\perp }=N-k$ 等秩条件的维度基准。相应地,$p(j)=⟨{\psi }_j,W_R{\psi }_j⟩/\mathrm{tr}{W}_R$ 的索引 $j$ 取 $1\le j\le N$。

设 $W_R={\sum }_j{\lambda }_j{\mathbb{P}}_{{\psi }_j}$ 为谱分解。本征规范：取 $\{{\psi }_j{\}}_{j=1}^N$ 为正交归一本征系,令 ${\mathbb{P}}_{{\psi }_j}=|{\psi }_j⟩⟨{\psi }_j|$,则 $⟨{\psi }_j,W_R{\psi }_j⟩={\lambda }_j$、$\mathrm{tr}{\mathbb{P}}_{{\psi }_j}=1$。据此定义

$$p(j):=\frac{⟨{\psi }_j,W_R{\psi }_j⟩}{\mathrm{tr}{W}_R}=\frac{{\lambda }_j}{\mathrm{tr}{W}_R},\sum _{j=1}^{N}p(j)=1.$$

取允许族为与谱同轴的混合族

$$\mathcal{M}:=\{\sum _j{g}_j{\mathbb{P}}_{{\psi }_j}:g_j\ge 0,\sum _j{g}_j=1\}.$$

将允许族收紧为同轴分块粗化族：取指数集的一分割 $\mathcal{P}=\{B_{\alpha }\}$,及块权 ${\mu }_{\alpha }\ge 0,{\sum }_{\alpha }{\mu }_{\alpha }=1$,定义

$${\Pi }_{\mathcal{P},\mu }:=\sum _{\alpha }{\mu }_{\alpha }\frac{1}{|B_{\alpha }|}\sum _{j\in B_{\alpha }}{\mathbb{P}}_{{\psi }_j}\in \mathcal{M}.$$

相应的分块粗化通道 ${\Gamma }_{\mathcal{P}}$ 在 $\{{\psi }_j\}$ 基上为类内均匀化：

$$({\Gamma }_{\mathcal{P}}p)(j)=\frac{1}{|B_{\alpha }|}\sum _{k\in B_{\alpha }}p(k),j\in B_{\alpha }.$$

（记号澄清） ${\Gamma }_{\mathcal{P}}$ 为通道（Markov 线性算子）,${\Pi }_{\mathcal{P},\mu }$ 为混合态；二者为不同对象。本文不使用记号 ${\Gamma }_{{\Pi }_{\mathcal{P},\mu }}$。

非退化粗化假设：除非另有说明,分块 $\mathcal{P}$ 不是单点细分,即存在 $\alpha$ 使 $|B_{\alpha }|\ge 2$。该约束排除 ${\Gamma }_{\mathcal{P}}=\mathrm{Id}$ 的平凡情形,使“Born=I-投影固定点仅在块内谱退化时成立“的结论与可行集一致。

给定秩 $k$,定义“指针投影“

$$P_k^{\star }\in \arg \underset{\begin{array}{c}P:P^2=P,P^{†}=P,\\ \mathrm{rank}P=k\end{array}}{\min }\mathrm{tr}(P{W}_R),$$

其最优值等于 $W_R$ 的最小 $k$ 个特征值之和（Ky–Fan 主谱和极小化）。对偶说明：令补投影 $P^{\perp }:=I-P$（同为正交投影）,则

$$\underset{\begin{array}{c}{P}^{\perp }:(P^{\perp }{)}^2=P^{\perp },(P^{\perp }{)}^{†}=P^{\perp },\\ \mathrm{rank}{P}^{\perp }=N-k\end{array}}{\min }\mathrm{tr}(P^{\perp }{W}_R)$$

等价于对 $P$ 的极大化,选择最大 $k$ 个特征值；本文规范固定采用“Pointer=Ky–Fan 极小“。概率侧以通道族做 Csiszár I-投影（两块阈值可行集）：

$${\Gamma }^{\star }\in \arg \underset{\mathcal{P}\in {\mathfrak{T}}_2}{\min }{D}_{\mathrm{KL}}(p\Vert {\Gamma }_{\mathcal{P}}p),{\mathfrak{T}}_2:=\{\mathcal{P}=\{B_{\downarrow },B_{\uparrow }\}\text{由 }{W}_R\text{ 的谱阈值诱导}\}.$$

在同轴分块与帧正则下,指针 Ky–Fan 极小与该两块阈值的 I-投影最优通道 ${\Gamma }_{{\mathcal{P}}^{\ast }}$ 相容但一般不等价。

仅当同时满足（a）分块内谱退化 且（b）严格带限+完全重构时,成立

$$\text{(iii′)}⟺\text{(i)}⟺\text{(ii)}⟺\text{(iv)}.$$

若仅满足（a）而不具备（b）,则仅有

$$\text{(iii′)}⟺\text{(i)}⟺\text{(ii)},$$

而 (iv) 仅为误差预算内近闭环（不纳入等价）。详见 §2 的 (iii′) 及其“此外“两条款。因此本文固定采用“Pointer=Ky–Fan 极小“作为稳定性的必要判据；若存在块内退化,则“Born=I-投影固定点“同步成立。

1. 层级化“停机“谓词

令系统 $S$、资源 $\mathcal{R}=(L;m,N,\epsilon )$、视角 $\mathrm{View}=(H_0,w_R,h,\mathsf{sample})$。定义

$${\mathsf{H}}_0\Rightarrow {\mathsf{H}}_1\Rightarrow {\mathsf{H}}_2\Rightarrow {\mathsf{H}}_3\Rightarrow {\mathsf{H}}_4\Rightarrow {\mathsf{H}}_5,$$

逆向一般不成立：

• ${\mathsf{H}}_0$：语法停机（无后继态）。
• ${\mathsf{H}}_1$：动力停机（函数图入环）；环长 $p=1$ 为自环不动点,与“无后继“的 ${\mathsf{H}}_0$ 非等价；$p>1$ 为振荡停机。
• ${\mathsf{H}}_2$：读数停机。固定 $\mathrm{View}$,记窗化-平滑密度 $g_{R,c}(E):=w_{R,c}(E)(h\ast {\rho }_{\star })(E)$。若其傅里叶支撑满足

$$\mathrm{supp}\widehat{g_{R,c}}\subseteq [-\pi /\Delta ,\pi /\Delta ],$$

则 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$。一组充分条件为

$$\mathrm{supp}\widehat{w_R}\subseteq [-{\Omega }_w,{\Omega }_w],\mathrm{supp}\hat{h}\subseteq [-{\Omega }_h,{\Omega }_h],\mathrm{supp}\widehat{{\rho }_{\star }}\subseteq [-{\Omega }_{\rho },{\Omega }_{\rho }],$$

且 ${\Omega }_w+{\Omega }_h+{\Omega }_{\rho }\le \pi /\Delta$。同时要求

$$\frac{d}{d\log R}\mathrm{Obs}(R,\Delta ;c)\to 0,{\epsilon }_{\mathrm{EM}},{\epsilon }_{\mathrm{tail}}\text{ 受控},$$

且平衡通量满足

$${\int }_{\mathbb{R}}{w}_{R,c}(E){\bar{\rho }}_{\mathrm{rel}}(E)dE=0.$$

其中 $\frac{d}{d\log R}$ 均指在 $w_{R,c}(E)=R^{-1}w((E-c)/R)$ 下、固定 $c$ 的对数尺度导数。

• ${\mathsf{H}}_3$：三位一体停机。满足 ${\phi }^{\prime }=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}$ 且“Pointer=Ky–Fan 极小稳定“（若 $W_R$ 在分块内退化,则 Born=I-投影固定点亦成立）。
• ${\mathsf{H}}_4$：多视角停机（在视角族 $\mathfrak{V}$ 上均达 ${\mathsf{H}}_3$）。
• ${\mathsf{H}}_5$：理论停机/资源完备（RBIT 层面全域不可达）。

2. 主定理 A（固定视角下“相对停机 $\iff$ 采样-周期闭环“）

定理 A.1（收紧等价性） 设 $\mathrm{View}=(H_0,w_R,h,\mathsf{sample})$ 满足：$g_{R,c}$ 的有效带宽 ${\Omega }_{\mathrm{eff}}(R)$ 有限且 $\Delta \le {\Delta }_c(R)=\pi /{\Omega }_{\mathrm{eff}}(R)$（因而 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$）,所用窗/基构成紧帧（Parseval；或帧界一致并经正规化）,并且满足 §0.4 的结构性同轴假设与同轴分块粗化通道（$\mathcal{M},{\Gamma }_{\mathcal{P}}$）成立。

（测度统一约定） 统一记

$${\bar{\rho }}_{\mathrm{rel}}:=\{\begin{array}{ll}{\rho }_{\mathrm{rel}},& \text{规范 (A)};\\ {\tilde{\rho }}_{\mathrm{rel}},& \text{规范 (B′)}.\end{array}$$

若 (i) 的观测主项采用平滑 $h\ast {\rho }_{\mathrm{rel}}$,则在 (ii) 中同步以 $h\ast {\bar{\rho }}_{\mathrm{rel}}$ 表述零和,以保证 (i) 的观测主项与 (ii) 的零和判据处于同一测度。

（相位单调性） 在窗支撑上要求 $\phi$ 单调非减,以保证 (iv) 中广义逆 $E(\cdot )$ 定义良好；若不满足,则 (iv) 不参与等价串。

在 §0.1 规范 (A) 或 (B’) 与门槛/帧正则前提下：

（严格带限） 若 $w_R,h,{\rho }_{\star }$ 严格带限且 $\Delta \le {\Delta }_c(R)$（无别名）,并此外采用 Parseval 紧帧的 Poisson–Shannon 完全重构（或等价精确求和）计算读数,使 ${\epsilon }_{\mathrm{EM}}={\epsilon }_{\mathrm{tail}}=0$,则 (i) $\iff$ (ii) $\iff$ (iv)；

（一般正则） 在仅满足 Poisson–EM 正则与尾项有界时,(i) $\iff$ (ii)；(iv) 仅为误差预算内近闭环（给出 $(i)\Rightarrow (iv)$；而 (iv) 仅推出近似零和,即 (ii) 在 ${\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}}$ 的意义下近似成立,不推出 (ii) 的严格等式）。

此外：

（严格带限+完全重构） 在严格带限且完全重构前提下,若且仅若 $W_R$ 在分块内退化,存在通道 ${\Gamma }_{\mathcal{P}}$ 使 (iii′) $⟺$ (i) $⟺$ (ii) $⟺$ (iv)；

（一般正则） 若且仅若 $W_R$ 在分块内退化,则 (iii′) $⟺$ (i) $⟺$ (ii),而 (iv) 仅为误差预算内近闭环并不与之等价。一般情形下,“Pointer=Ky–Fan 极小”（记 (iii)）与上述判据相容但不必等价。

(i) 读数停机（${\mathsf{H}}_2$；定义见 §1,包含 Nyquist 无别名、Poisson–EM 误差受控与平衡通量零和）；

(ii) ${\int }_{\mathbb{R}}{w}_{R,c}(E){\bar{\rho }}_{\mathrm{rel}}(E)dE=0$；

(iii) 指针基为 Ky–Fan 极小；

(iii′) 两块阈值 Born = I-投影固定点（同轴分块）：存在由 $W_R$ 的谱阈值诱导的两块通道 ${\Gamma }_{\mathcal{P}}\in \{{\Gamma }_{\mathcal{P}}:\mathcal{P}\in {\mathfrak{T}}_2\}$,使得

$$p={\Gamma }_{\mathcal{P}}p.$$

该固定点非平凡成立当且仅当 $W_R$ 在每个非平凡块 $B_{\alpha }$ 内发生谱退化（即 ${\lambda }_j$ 在 $B_{\alpha }$ 上为常数）；此时 (iii′) 与 (i)(ii)（并在“严格带限+完全重构“下与 (iv)）的等价性结论与上文“此外“两段保持一致。

(iv) 相位坐标均匀采样的一步闭环（广义逆版）：取右连续广义逆

$$E(\theta ):=\inf \{E:\phi (E)\ge \theta \}.$$

给定窗口中心 $c_n$,置

$$c_{n+1}:=E(\phi (c_n)+\pi ).$$

当 $\Delta \le {\Delta }_c(R)$ 且紧帧正则（可由 Wexler–Raz 对偶核验）时：

（严格带限） 若 $w_R,h,{\rho }_{\star }$ 严格带限 且 $\Delta \le {\Delta }_c(R)$,则 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$；若此外采用 Parseval 紧帧并以 Poisson–Shannon 完全重构（或等价的精确求和公式）计算窗化读数,则可令 ${\epsilon }_{\mathrm{EM}}={\epsilon }_{\mathrm{tail}}=0$；在此前提下

$$\mathrm{Obs}(R,\Delta ;c_{n+1})=\mathrm{Obs}(R,\Delta ;c_n).$$

否则,仅得到误差预算内的近闭环（与下一条“一般正则“一致）。

（一般正则） 在仅满足 §0.1 的 Poisson–EM 正则与尾项有界时,闭环为误差预算内近闭环：

$$\mathrm{Obs}(R,\Delta ;c_{n+1})\approx \mathrm{Obs}(R,\Delta ;c_n),$$

其中偏差由 ${\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}}$ 控制。

证明要点：

• $(ii)\Rightarrow (i)$：主项为零且 Poisson–EM 受控；
• （严格带限+完全重构） $(iv)\Rightarrow (ii)$：在严格带限且采用 Poisson–Shannon 完全重构时,由 Parseval 与核对角恒等式将一步闭环化为密度零和；（一般正则） 仅推出近似零和,其偏差由 ${\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}}$ 控制；
• $(i)\Rightarrow (iv)$：在 Nyquist 与紧帧前提下,严格带限+完全重构时给出等式闭环；否则为误差预算内近闭环（偏差由 ${\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}}$ 控制）。
• 旁注：由 $(i)$ 可构造不增的 Ky–Fan 目标,但不保证达到极小,故 (iii) 与 (i)(ii)(iv) 相容而非等价；(iii′) 的等价范围见上述总述中的分情形陈述。

门槛与障碍由 Landau 必要密度、Wexler–Raz 对偶与 Balian–Low 定理共同保证。

3. 主定理 B（换视角 $\equiv$ 添加理论/扩展字典）

定义（视角扩展）：$\mathrm{View}\mapsto {\mathrm{View}}^{\prime }$ 包括 $H_0\mapsto H_0^{\prime }$（重标定 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$）、$(w_R,h,\mathsf{sample})\mapsto (w_{R^{\prime }},h^{\prime },{\mathsf{sample}}^{\prime })$ 与尺度（Mellin/对数）切换。

定理 B.1（不变式与再点亮）：在 Poisson–EM 正则与紧帧前提下,视角扩展不生新奇点,但可改变窗化相位密度的可见性：一视角下的 ${\mathsf{H}}_3$ 可被另一视角打破,从而显现新的振荡—周期。

4. RBIT 接口：完备性增长 = 停机边界外推

定理 C.1’（柴廷型不完备）：对任一一致且可计算枚举、可解释 PA 的理论 $T$,存在常数 $c_T$,使当 $n>c_T$ 时,具体命题“$K(x)\ge n$“虽为真但在 $T$ 中不可证。

定理 C.2’（扩展链不终结）：对任意一致且可计算扩展链 $T_{t+1}=T_t+{\Delta }_t$,每个阶段 $t$ 存在 $G^{(t)}$ 在 $T_t$ 中不可判定。

推论 C.3：在资源—统计统一坐标 $\mathcal{R}=(L;m,N,\epsilon )$ 与视角族 $\mathfrak{V}$ 上,“追求完备性“即持续扩张资源并扩展视角,结构上等价于“追求不停机”。

5. EBOC–共识链的离散镜像与可计算性

在因果网—窗口约束—统一选择子下,得到唯一后继函数图 $f:V\to V$。其连通分量分解为有向环与附着入树（直线/半直线为极限情形）；“停机“即自环（长度 $1$ 的环）,一般 $p>1$ 为振荡不停机。环检测可线性时间、常量空间完成。

6. “热寂“的操作化刻画与可检方案

定义（视角相对热寂）：给定 $\mathrm{View}$,若

$$\int w_{R,c}(E){\bar{\rho }}_{\mathrm{rel}}(E)dE\approx 0,\int w_{R,c}(E)\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)dE\approx 0,$$

并且 Poisson–EM 三分解误差在预算内闭合,则达视角相对热寂。

协议（可检闭环）：参照校准（反演 $(H,H_0)$ 的 ${\rho }_m,{\rho }_{m_0}$）；窗/核 KKT 最优；记录 $(\Delta ,M,L)$ 与 Landau 门槛,多窗帧以 Wexler–Raz 对偶核验；联立 Ky–Fan 极小与最小-KL 判据；在 $H_0$、窗/核/尺度上扫描视角以检测“再点亮“。

7. 工程化门槛与跨域一致性

1. Nyquist 消别名：严格带限与 $\Delta \le {\Delta }_c$ 使 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$,Poisson 用于别名审计。
2. 帧稳定与障碍：以 $d\nu =\frac{{\phi }^{\prime }}{\pi }dE$ 计数,Landau 下限、Wexler–Raz 对偶与 Balian–Low 障碍共同控制稳定域与临界退化。
3. EM 截断：有限阶 EM 仅引入端点伯努利改正,不产生新奇点。
4. 群延迟跨域统一：$\mathsf{Q}=-i{S}^{†}{\partial }_{E}S$ 在量子、声学与电磁散射中具有统一表达与统计结构。

8. 结论

在三位一体刻度 ${\phi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$ 与 Poisson–EM 正则纪律之下,固定视角时：

（严格带限+完全重构） 若严格带限且采用 Parseval 紧帧的 Poisson–Shannon 完全重构（或等价精确求和）,使 ${\epsilon }_{\mathrm{EM}}={\epsilon }_{\mathrm{tail}}=0$,则（当 $\phi$ 在窗支撑上单调非减时）

$$\boxed{\text{(i) 读数停机 }⟺\text{(ii) 窗加权零和 }⟺\text{(iv) 相位—周期闭环}}$$

（一般正则） 仅有 (i) $\iff$ (ii)；(iv) 给出误差预算内近闭环,与 (i)(ii) 相容但不作为等价项。

“Pointer=Ky–Fan 极小”（记为 (iii)）与上述判据相容,但一般不等价（可作为稳定性的必要判据,不宣称与 (i)(ii) 或 (iv) 等价）。关于 (iii′)：

（严格带限+完全重构） 在严格带限且完全重构前提下,若且仅若 $W_R$ 在分块内发生谱退化,存在通道 ${\Gamma }_{\mathcal{P}}$ 使 (iii′) $⟺$ (i) $⟺$ (ii) $⟺$ (iv)；

（一般正则） 若且仅若 $W_R$ 在分块内谱退化,则 (iii′) $⟺$ (i) $⟺$ (ii),而 (iv) 仅为误差预算内近闭环,不纳入等价。

视角扩展等价于添加理论/扩展字典,可打破既有停机并再点亮新振荡；RBIT 层面保证该再点亮永不终结。

术语对齐

EBOC：永恒-静态块·观察—计算；WSIG/CCS：窗化散射—信息几何（相位导数—相对态密度—群延迟）；RBIT：有限资源不完备理论。全篇统一采用

$${\phi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$$

作为唯一能量刻度母尺,所有出现处保持该链式等式的一致写法与号志。