FMU：频率—尺度—信息的“分形镜“统一理论

Fractal-Mirror Unification of Frequency–Scale–Information

作者： Auric（S-series / EBOC） 日期： 2025-10-26（阿联酋时区，UTC+04）

摘要

本文在带权 Mellin—Hilbert 空间 $L^2({\mathbb{R}}_{+},dt/t)$ 中，建立由母函数 $M$ 经乘性尺度复制生成的分形镜（fractal mirror, FM）信号族的严格理论。围绕“频率—尺度—信息“三主线，给出等价刻画与完整证明：（A）在 Mellin–Calderón 条件下，乘性自相似 $⟺$ Mellin 域准周期（临界线出现等距频移阵列）；（B）谱幂律 $⟺$（对数刻度下）熵斜率一阶近似线性，并在自仿射模型中推出图像盒维数 $D=(3-\beta )/2$ 的经典关系；（C）以Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（三分解）实现非渐近误差闭合与可分预算。进一步，以谱密度权测度 $d\mu =(1/\pi )\Im m(\omega +i0)d\omega$ 将 FM 子空间等距嵌入 Paley–Wiener 型带限空间，从而导出Landau 型采样/插值密度阈值、Wexler–Raz 紧/对偶准则，以及临界密度下的 Balian–Low 不可能性；并证明该谱密度权与一维自伴规范系统的 Weyl–Titchmarsh $m$ 函数之 Herglotz 表示一致。以上刻度与判据与 Mellin 等距、Paley–Wiener、Poisson 求和、Euler–Maclaurin、Landau 密度、Wexler–Raz 与 Balian–Low、Herglotz 表示与 de Branges 反谱定理等公认标准兼容。

0. 记号与底座（Notation & Baseplates）

(0.1) Mellin 等距与临界线。 对 $x\in L^2({\mathbb{R}}_{+},dt/t)$ 的 Mellin 变换

$$\mathcal{M}x(s)={\int }_0^{\infty }x(t)t^{s-1}dt,$$

在临界直线 $s=\frac{1}{2}+i\omega$ 上与“对数傅里叶“单元等距：

$$|x{|}_{L^2(dt/t)}^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}|\mathcal{M}x(\frac{1}{2}+i\omega ){|}^{2}d\omega .$$

因此 $\tilde{\mathcal{M}}:x\mapsto (2\pi {)}^{-1/2}\mathcal{M}x(\frac{1}{2}+i\cdot )$ 在 $L^2({\mathbb{R}}_{+},dt/t)\to L^2(\mathbb{R})$ 上酉等距。

(0.2) 对数变量与缩放。 取 $u=\log t$，令 $m(u)=M(e^u)$。尺度 $t\mapsto 2^{k}t$ 化为对数平移 $u\mapsto u+k\log 2$。Mellin 缩放律给出

$$\mathcal{M}M(2^k\cdot )(s)=2^{-ks}\mathcal{M}M(s)(s=\frac{1}{2}+i\omega ),$$

即振幅因子 $2^{-k/2}$ 与相位调制 $e^{-ik\omega \log 2}$。

(0.3) 谱密度测度与相位坐标。 记号与变换约定：$\mathcal{M}$ 表示对 $t$ 的 Mellin 变换并在 $s=\frac{1}{2}+i\omega$ 取值；$\hat{\cdot }$ 一律表示对 $u=\log t$ 的 Fourier 变换（等价于沿临界线的 $\omega$-域算子）。

对与 Weyl–Titchmarsh $m$-函数关联的系统，定义谱密度权测度

$$d\mu (\omega )=\frac{1}{\pi }\Im m(\omega +i0)d\omega .$$

当 $\Im m\ge 0$ 时，$\mu$ 为正测度。在满足特殊归一化（如某类边界条件使 $\Re m(\lambda +i0)\equiv 0$ a.e.）时，可用相位表示 $d{\mu }_{\phi }(\omega )=(1/\pi )d(\arg m(\omega +i0))$；一般情形则采用谱密度权 $d\mu$。其与自伴系统的谱测度一致性见 §6。

约定（$u$-域 Fourier）：$\hat{f}(\omega )=(2\pi {)}^{-1/2}{\int }_{\mathbb{R}}f(u)e^{-i\omega u}du$，$f(u)=(2\pi {)}^{-1/2}{\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}(\omega )e^{i\omega u}d\omega$。

符号约定（避免冲突）：本文固定 $u:=\log t$ 作为对数时间变量；谱密度权坐标另记为 $v_{\mu }$。$u$-域 Fourier 仅作用于 $u$ 变量；与谱密度权相关的等距映射与密度判据均在 $v_{\mu }$ 坐标上叙述。

(0.4) 有限阶 Euler–Maclaurin（EM）。 全文仅用有限阶 EM，将“和—积分“差分解为端点伯努利层与余项：

$$\sum _{n=a}^{b}f(n)={\int }_a^{b}f(x)dx+\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum _{r=1}^{p-1}\frac{B_{2r}}{(2r)!}\left(f^{(2r-1)}(b)-f^{(2r-1)}(a)\right)+R_p,$$

并可用 $|R_p|\lesssim \frac{2\zeta (2p)}{(2\pi {)}^{2p}}{\int }_a^b|f^{(2p)}|$ 控制。

1. 分形镜（FM）信号族：定义与基本性质

定义 1.1（FM 生成与 Mellin–Calderón 条件）

给定母函数 $M\in L^2({\mathbb{R}}_{+},dt/t)$，权序列 $\{a_k{\}}_{k\in \mathbb{Z}}\in {\ell }^2$，相位序列 $\{{\varphi }_k\}\subset \mathbb{R}$ 有 ${\sup }_k|{\varphi }_k|<\infty$。定义

$$x(t)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{a}_{k}M(2^{k}t)e^{i{\varphi }_k},t>0.$$

假设 (H0) 加权 ${\ell }^2$ 一致性。 令 $b_k:=a_k{2}^{-k/2}{e}^{i{\varphi }_k}$，要求 $\{b_k{\}}_{k\in \mathbb{Z}}\in {\ell }^2$（等价地 ${\sum }_k|a_k{|}^2{2}^{-k}<\infty$）。

假设 (H1) Mellin–Calderón 有界性。 记 $G(\omega ):=\mathcal{M}M(\frac{1}{2}+i\omega )$，$P:=2\pi /\log 2$，要求 Calderón 和

$${\mathcal{C}}_G(\omega ):=\sum _{n\in \mathbb{Z}}|G(\omega +nP){|}^2\in L^{\infty }([0,P]).$$

命题 1.2（$L^2$ 无条件收敛与频域结构，在 (H0)–(H1) 下）

在假设 (H0)–(H1) 下，级数 ${\sum }_k{a}_{k}M(2^k\cdot )e^{i{\varphi }_k}$ 在 $L^2({\mathbb{R}}_{+},dt/t)$ 中无条件收敛，且

$$\mathcal{M}x\left(\frac{1}{2}+i\omega \right)=G(\omega )\sum _{k\in \mathbb{Z}}{b}_k{e}^{-ik\omega \log 2},b_k:=a_k{2}^{-k/2}{e}^{i{\varphi }_k}.$$

并有 Bessel 界

$$|x{|}_{L^2(dt/t)}^2\le \frac{P}{2\pi }\Vert {\mathcal{C}}_G{\Vert }_{L^{\infty }([0,P])}\sum _{k\in \mathbb{Z}}|b_k{|}^2,P=\frac{2\pi }{\log 2}.$$

证明。 由 (H1) 的 Calderón 上界与 Plancherel–Mellin 等距，得

$$|x{|}_{L^2(dt/t)}^2\le \frac{P}{2\pi }\Vert {\mathcal{C}}_G{\Vert }_{L^{\infty }([0,P])}\sum _{k\in \mathbb{Z}}|b_k{|}^2,P=\frac{2\pi }{\log 2},$$

从而级数 Cauchy 收敛；频域表达随缩放律直接得出。$\square$

2. 主定理 A：乘性自相似的 Mellin-准周期刻画

定理 2.1（自相似 $⟺$ 准周期）

对定义 1.1 的 $x$，以下等价： (i) $x(t)={\sum }_k{a}_{k}M(2^{k}t)e^{i{\varphi }_k}$（乘性自相似叠加）； (ii) 存在包络 $G(\omega )=\mathcal{M}M(\frac{1}{2}+i\omega )\in L^2(\mathbb{R})$，使

$$\mathcal{M}x\left(\frac{1}{2}+i\omega \right)=G(\omega )\cdot \underset{\text{Bohr 准周期；频移格距 }2\pi /\log 2}{\underbrace{\sum _{k\in \mathbb{Z}}{b}_k{e}^{-ik\omega \log 2}}}.$$

证明。 “$\Rightarrow$” 由命题 1.2。 “$\Leftarrow$” 对准周期部分作逆 Mellin（$\sigma =\frac{1}{2}$）并用“对数域平移 $\leftrightarrow$ Mellin 频移“对偶，即得对数平移族 $M(2^k\cdot )$ 的叠加。$\square$

3. 主定理 B：谱幂律—熵斜率与自仿射维数

3.1 幂律谱与对数分箱熵的线性耦合（近似关系）

命题 3.1（熵—斜率近似线性，一阶区间）. 设功率谱在宽频比 $\Lambda =f_{\max }/f_{\min }\gg 1$ 上满足 $S(f)\asymp C{f}^{-\beta }$，对数均匀分箱 $I_j=[e^{y_j},e^{y_{j+1}}]$，$\delta y:=y_{j+1}-y_j\ll 1$ 固定，分箱数 $J\sim (\log \Lambda )/\delta y$，概率 $P_j\propto {\int }_{I_j}S(f)df$ 归一化。则在一阶近似下

$$H:=-\sum _j{P}_j\log P_j=c_1(\delta y)+c_2(\delta y)\beta +\mathcal{O}\left(\delta y\right)+\mathcal{O}((\log \Lambda {)}^{-1}),$$

其中 $c_1,c_2$ 仅由分箱步长 $\delta y$ 与窗重叠常数决定，显式可求；当 $\delta y\to 0$、$\Lambda \to \infty$ 时主项线性成立。

证明要点。 令 $y=\log f$，有 $df=fdy$，从而 $P_j\propto {\int }_{y_j}^{y_{j+1}}{e}^{(1-\beta )y}dy$。均匀 $y$-分箱使 $\{P_j\}$ 近似指数分布；代回熵并以 Riemann 和近似，$\delta y$ 的离散化误差给出 $\mathcal{O}(\delta y)$ 项，端点/重叠给出 $\mathcal{O}((\log \Lambda {)}^{-1})$ 项；二者在 $\delta y\ll 1/\log \Lambda$ 时可忽略。$\square$

3.2 自仿射样条与图像维数（典型模型）

定理 3.2（$D=(3-\beta )/2$）. 若样条满足 $x(\lambda t)\stackrel{d}{=}{\lambda }^{H}x(t)$（如 fBm），则

$$S(f)\sim f^{-(2H+1)}⟹D_{\mathrm{graph}}=2-H=\frac{3-\beta }{2}.$$

证明. fBm 等自仿射过程满足 $S(f)\propto f^{-(2H+1)}$；其样条图像的 Hausdorff/盒维数 $D=2-H$ 为经典结论，联立消去 $H$ 得上式。$\square$ 相关结论可见 Flandrin 对 fBm 频谱的分析与 Xiao 对图像维数的严格测度结果。

4. 主定理 C：Nyquist–Poisson–EM 的非渐近误差闭合

设目标频域量记为

$$F(\omega )=\hat{w}(\omega )\hat{h}(\omega )X(\omega ),X(\omega ):=(2\pi {)}^{-1/2}\mathcal{M}x\left(\frac{1}{2}+i\omega \right),$$

其中 $\hat{w}(\omega )$、$\hat{h}(\omega )$ 为按 §0.3 约定的 $u$-域 Fourier 变换后的分析窗频响与插值核频响，$X(\omega )$ 为沿临界线的 Mellin 影像（由 §0.1 的酉等距归一化）。

定理 4.1（Nyquist 条件与三分解误差）. 设存在 $B>0$ 使 $\mathrm{supp}F\subset [-B,B]$，其中 $B:=\min \{{\Omega }_w,{\Omega }_h\}$（若 $X$ 非带限，则以 $\mathrm{supp}(\hat{w})\cap \mathrm{supp}(\hat{h})$ 的交为有效带宽）。若采样步长

$$\Delta \le \frac{\pi }{B},$$

则别名能量为零。一般情形下，别名项可记为

$${\epsilon }_{\text{alias}}=\left|\sum _{\ell \ne 0}F\right(\cdot +2\pi \ell /\Delta ){|}_{L^2([-\pi /\Delta ,\pi /\Delta ])},$$

对带限线性重构算子 $\mathsf{E}$，总误差分解为

$$|x-\mathsf{E}x{|}_{L^2}\le \underset{\text{周期化叠加}}{\underbrace{{\epsilon }_{\text{alias}}}}+\underset{\mathcal{O}(|B_{2p}|{\Delta }^{2p})}{\underbrace{{\epsilon }_{\mathrm{EM}}^{(p)}}}+\underset{\text{带缘/截断}}{\underbrace{{\epsilon }_{\text{tail}}}},$$

且 ${\epsilon }_{\mathrm{EM}}^{(p)}=\mathcal{O}(|B_{2p}|{\Delta }^{2p})$。

证明。 以 Poisson 求和将离散化转为频谱周期化；Nyquist 阈值消除带间重叠。和—积分差以有限阶 EM 分解为端点伯努利层与余项，余项界见 §0.4。$\square$

5. 采样—插值—稳定性：谱密度坐标下的 Landau—Wexler–Raz—Balian–Low

5.1 谱密度权坐标的等距嵌入

在 $\Im m(\omega +i0)>0$ 区域，定义谱密度权坐标

$$v_{\mu }(\omega )=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\omega }\Im m({\omega }^{\prime }+i0)d{\omega }^{\prime },d{v}_{\mu }=\frac{1}{\pi }\Im m(\omega +i0)d\omega ,$$

则

$${\int }_{\mathbb{R}}|X(\omega ){|}^2\frac{1}{\pi }\Im m(\omega +i0)d\omega ={\int }_{\mathbb{R}}|X(\omega (v_{\mu })){|}^{2}d{v}_{\mu },$$

从而把谱密度权加权的 FM-子空间等距嵌入单位带宽 Paley–Wiener 型空间。特殊归一化时，可简化为相位坐标 $v_{\mu }=\phi (\omega )/\pi$。Mellin 语境下的 Paley–Wiener 与 Hardy/Mellin-Hardy 结构详见文献。

5.2 Landau 型必要条件（FM 版）

定理 5.1（必要密度阈值，$v_{\mu }$-域）. 设 $\Omega =\{{\omega }_n\}$ 为采样序列（分别：插值序列）。在 $v_{\mu }$ 坐标下（由 §5.1 定义），其 Beurling 下（分别上）密度满足

$${\underline{D}}_{\mu }(\Omega )\ge 1(\text{分别 },{\overline{D}}_{\mu }(\Omega )\le 1).$$

备注：上述为必要条件。充分性一般需附加分离性/稳定性等结构条件；实践中可通过 §5.3 的 WR/Parseval 条件设计达到稳定采样/重构。

证明要点。 由 5.1 的等距，问题化为单位带宽 Paley–Wiener 空间的非均匀采样，直接调用 Landau 必要密度定理。$\square$

5.3 Wexler–Raz 与 Parseval 紧帧（临界 Nyquist）

定理 5.2（WR/Parseval 条件）. 在 Nyquist（无别名）条件下，多窗 $\{w_{\alpha }{\}}_{\alpha =1}^r$ 生成的系统为 Parseval 紧帧当且仅当

$$\frac{1}{\Delta }\sum _{\alpha =1}^r|\widehat{w_{\alpha }}(\xi ){|}^2\equiv 1\text{(a.e.)}.$$

存在别名时，Parseval 条件变为

$$\frac{1}{\Delta }\sum _{\alpha =1}^r\sum _{m\in \mathbb{Z}}\left|\widehat{w_{\alpha }}\right(\xi +2\pi m/\Delta ){|}^2\equiv 1.$$

与对偶窗 $\{{\tilde{w}}_{\alpha }\}$ 的重构满足相应的双正交式。

证明要点。 WR 恒等式给出频域点态正交的充要条件；经 $u=\log t$ 与相位坐标变换可无损移植到 Mellin/对数模型。$\square$

5.4 Balian–Low 型不可能性（临界密度）

定理 5.3（BLT—Mellin 版）. 在临界密度 $D=1$ 时，若单窗 $w$ 在对数时间 $u$ 与频率 $\omega$ 两侧均“良好局域“（例如二阶矩有限），则由 $w$ 与在 $v_{\mu }$ 坐标下临界格生成的系统不能为 Riesz 基；要得到基，必须放宽至少一侧的局域或采用超采样。

证明要点。 经 $u=\log t$ 与 §5.1 的等距嵌入，把问题等价为标准 Gabor 格的 BLT；由 BLT 的 Riesz/ONB 版立即推出。$\square$

6. 与 de Branges—Kreĭn / Weyl–Titchmarsh $m$-函数的一致性

命题 6.1（谱密度权与 Herglotz 表示）. 在一维自伴规范系统/Schrödinger 型算子情形，Weyl–Titchmarsh $m$ 为 Herglotz–Nevanlinna 函数，存在谱测度 $\mu$ 使

$$m(z)=az+b+{\int }_{\mathbb{R}}\left(\frac{1}{\lambda -z}-\frac{\lambda }{1+{\lambda }^2}\right)d\mu (\lambda ),$$

边界值满足 $\Im m(\lambda +i0)=\pi \rho (\lambda )$（a.e.），其中 $\rho$ 为谱密度。由此可定义谱密度权测度

$$d\mu (\omega )=\frac{1}{\pi }\Im m(\omega +i0)d\omega =\rho (\omega )d\omega ,$$

与绝对连续谱测度一致。在满足特殊归一化（如某类边界条件使 $\Re m(\lambda +i0)\equiv 0$ a.e.）时，可简化为相位表示 $d{\mu }_{\phi }=(1/\pi )d(\arg m)$；一般情形则须采用上述谱密度权。$\square$

说明：该一致性保证了本文以 $d\mu$ 定义的谱密度刻度，能与 de Branges 空间/规范系统的谱理论无缝衔接，成为 §5 中密度与帧判据的自然坐标；相位导数 ${\phi }^{\prime }=d(\arg m)/d\omega$ 一般还依赖 $\Re m$ 与 $m^{\prime }$，仅在特例下化为 $\pi \rho$。

7. 可复现实验范式（验证与工程）

P1｜幂律/熵耦合。 在足够宽的对数带宽上拟合 $S(f)\propto f^{-\beta }$，并以对数分箱熵 $H$ 验证回归斜率在误差带内线性（§3.1 的一阶近似）。

P2｜Mellin 峰列。 计算 $\mathcal{M}x(\frac{1}{2}+i\omega )$，检验等距峰列与相对相位稳定（§2）。

P3｜采样/窗设计。 按 §5.2 的密度阈值选格；以 §5.3 的 WR 条件调窗以获 Parseval；按 §4 的三分解做误差可分预算（Nyquist 余量、EM 阶、带缘尾项）。

8. 信息三元 $(i_{+},i_0,i_{-})$ 与模型选择

• $i_{+}$：跨尺度外溢收益（$\beta$ 趋红 $\Rightarrow$ 低频集中 $\Rightarrow$ 压缩/预测收益）。
• $i_0$：层内重排（相位—相干性“中性“重分配）。
• $i_{-}$：稀疏与复杂度惩罚（避免过拟合/过稠格）。

命题 8.1（近似线性区的策略）. 在 §3.1 的一阶近似区，${\partial }_{\beta }H\approx c_2$，有效层数 $N_{\mathrm{eff}}\asymp (1+\beta )\log \Lambda$。据此联合选择“窗/格密度—模型复杂度“，使 $i_{+}-i_{-}$ 极大并满足 §4 的三分解预算。$\square$

9. 与 S-series / WSIG-QM / UMS 的接口

9.1 与 S24–S26 的接口。

• S24 的纤维 Gram 表征与 Wexler–Raz 双正交为本文 §5.3 的 WR 条件提供具体实现框架。
• S25 的非平稳 Weyl–Mellin 框架与本文的 Mellin 等距（§0.1）、对数平移—频移对偶（§0.2）共享数学结构。
• S26 的谱密度刻度与本文 §0.3 及 §6 的谱密度权测度 $d\mu =(1/\pi )\Im m(\omega +i0)d\omega$ 在 Herglotz 表示层面一致；S26 的 Landau 必要密度、Balian–Low 不可能性直接对应本文定理 5.1、5.3。

9.2 与 WSIG-QM 的接口。

• WSIG-QM 的公理 A2（有限窗口读数）与本文 §4 的窗化重构共享 Nyquist–Poisson–EM 三分解框架。
• WSIG-QM 的公理 A5（相位—密度—延迟刻度）与本文 §0.3、§6 的谱密度权测度在谱理论层面一致。
• WSIG-QM 的定理 T6（窗/核优化）与本文 §5.2–5.3 的 Landau 密度阈值、WR 条件共享帧理论判据。

9.3 与 UMS 的接口。

• UMS 的核心统一式 $d\mu =\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}dE={\rho }_{\mathrm{rel}}dE$ 在 Mellin 语境下对应本文 §0.3、§6 的谱密度权测度；在特殊归一化下可简化为相位表示。
• UMS 的公理 A2（有限窗口读数）与本文定理 4.1 的三分解误差闭合在数值实现层面共享框架。
• UMS 的公理 A6（采样—帧门槛）与本文 §5 的 Landau–Wexler–Raz–Balian–Low 判据完全对齐。

9.4 与窗口化路径积分理论的接口。

• 路径积分理论的窗—核对偶（定理 2.1）可在 Mellin 域改写为本文定理 2.1 的准周期表述。
• 路径积分理论的 Nyquist–Poisson–EM 误差闭合与本文定理 4.1 的三分解在离散化框架上一致。

9.5 与量子引力场理论的接口。

• 量子引力场理论的谱密度刻度与本文 §0.3、§6 的谱密度权测度 $d\mu =(1/\pi )\Im m(\omega +i0)d\omega$ 在谱移语境下一致。
• 量子引力场理论的窗化采样（§6.1）与本文 §5 的 Landau–Wexler–Raz 判据共享帧理论基础。

9.6 保持“极点 = 主尺度“的有限阶 EM 纪律。

• 本文在所有离散—连续换序中均采用有限阶 EM（§0.4、定理 4.1），确保不引入新奇点。
• 与 S15–S26、WSIG-QM、UMS、路径积分理论、量子引力场理论保持一致：EM 余项仅作有界扰动。

附录 A：证明细节与工具

A.1 Mellin–Hardy 与等距。 $\tilde{\mathcal{M}}$ 在 $\sigma =\frac{1}{2}$ 上酉等距；Mellin–Paley–Wiener 与 Mellin–Hardy 空间的构造可见 Bardaro–Butzer–Mantellini–Schmeisser。

A.2 Poisson 与别名。 采样步长 $\Delta$ 的 Dirac 梳在频域周期为 $2\pi /\Delta$ 的 Dirac 梳；别名能量等于周期化副谱在主带的叠加能量。

A.3 Euler–Maclaurin 余项。 采用 DLMF 版 EM 公式与余项界，确保在有限阶近似下不引入额外奇点；误差由 Bernoulli 数与步长给出。

A.4 Landau 密度。 Paley–Wiener 空间 $P{W}_B$ 的采样（插值）序列须满足 $\underline{D}\ge B/\pi$（$\overline{D}\le B/\pi$）；本文在 $v_{\mu }$ 坐标单位带宽下等距为阈值 1。

A.5 Wexler–Raz 与 BLT。 WR 恒等式给出紧/对偶帧的频域点态充要条件；BLT 表明临界密度下“良好双侧局域+非冗余“不相容。

A.6 Herglotz 表示与谱密度。 $m$ 为 Herglotz 函数 $\Rightarrow$ 存在谱测度表示；边界虚部为 $\Im m(\lambda +i0)=\pi \rho (\lambda )$（a.e.）。由此定义谱密度权测度 $d\mu =(1/\pi )\Im md\omega$；相位导数 ${\phi }^{\prime }=d(\arg m)/d\omega$ 一般还依赖 $\Re m$ 与 $m^{\prime }$，仅在特殊归一化下化为 $\pi \rho$。

结论

1. 乘性自相似经 Mellin 变换等价为准周期频移阵列，并以包络 $G$ 控制（定理 2.1）；在加权 ${\ell }^2$ 一致性 (H0) 与 Mellin–Calderón 条件 (H1) 下级数无条件收敛（命题 1.2）。
2. 幂律谱与对数分箱熵在一阶近似下线性耦合；在自仿射极限下 $D=(3-\beta )/2$ 成立（命题 3.1、定理 3.2）。
3. 采用 Nyquist–Poisson–EM 三分解，可将总误差稳定地拆分为“别名/伯努利层/尾项“三项预算（定理 4.1）。
4. 谱密度权坐标 $v_{\mu }$ 使 FM 子空间与 Paley–Wiener 空间等距，从而继承 Landau 密度阈值、Wexler–Raz 紧/对偶准则与 Balian–Low 不可能性；其谱密度权测度与 $m$-函数的 Herglotz 表示一致（§5–§6）。

参考文献（选）

1. Mellin–Paley–Wiener / Mellin–Hardy：Bardaro, Butzer, Mantellini, Schmeisser, On the Paley–Wiener theorem in the Mellin transform setting（2015）与续篇（2017）。
2. Mellin 等距/缩放：Butzer & Jansche, A Direct Approach to the Mellin Transform（1997）。
3. Poisson 求和：NIST DLMF §1.8(iv)；Candès 讲义（2021）。
4. Euler–Maclaurin：NIST DLMF §2.10(i), §24.17。
5. Landau 必要密度：Landau, Acta Math. 117 (1967)。
6. Wexler–Raz：Daubechies & Landau, J. Fourier Anal. Appl. (1994/95)。
7. Balian–Low：Heil & Powell, J. Math. Phys. (2006)。
8. fBm 频谱与维数：Flandrin (1989)；Xiao (1997)。
9. Herglotz–Weyl–Titchmarsh / de Branges：Kostenko–Teschl 等综述与 Oberwolfach 报告。

读者指引

将本文嵌入 S25（非平稳 Weyl–Mellin）与 S26（谱密度—de Branges）时，可直接复用 §5 的谱密度权坐标 $v_{\mu }$ 准则与 §4 的三分解误差账本；窗/核设计以 WR 充要式落地，临界密度遇 BLT 障碍则通过超采样或放宽局域规避。实施时注意加权 ${\ell }^2$ 一致性 (H0) 与 Mellin–Calderón 条件 (H1) 的验证（如 Log-Gaussian 母函数）与熵—斜率关系的误差带控制（§3.1 的一阶近似范围）。符号约定：对数时间 $u:=\log t$ 与谱密度权坐标 $v_{\mu }$ 严格区分（§0.2–§0.3）。