有限窗口可逆补全熵：EBOC–WSIG–RCA 框架下的公理化定义、结构性质与非渐近误差学

Version: 1.18

摘要

提出并建立“有限窗口可逆补全熵“作为在可逆传播与能量/正则约束下针对“记录—解释“问题的本地化信息量度：给定有限窗观测，其与可逆全局动力一致的补全集之最小等价代表数（或容量）的对数。该量度仅刻画“有多少个可逆世界解释同一条记录“，与先验概率和混合态熵无关。本文在离散可逆元胞自动机（RCA）与连续窗化散射—信息几何（WSIG）两端给出严密定义，并证明单调性、可逆同变性与拼接次可加等结构性质；在 Toeplitz/Berezin 压缩与带限/指数窗设定下，构建遵循 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（NPE）三分解且有限阶终止的非渐近上/下界，给出“边界=信息资源“的定量律，并与“相位导数—相对态密度—Wigner–Smith 群延迟迹“的同一刻度严格相容。文末给出带限信号与 RCA 的范例及定理化证明。

Notation & Axioms / Conventions

1. 三位一体刻度同一式（Trinity）在绝对连续谱几乎处处成立： $$\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),\mathsf{Q}(E)=-iS(E{)}^{†}{\partial }_{E}S(E),S(E)\in U(N),\phi (E):=\frac{1}{2}\arg \det S(E).$$ $\mathsf{Q}$ 为 Wigner–Smith 群延迟矩阵，其迹与相对态密度相容；$\det S$ 与 Kreĭn 谱移函数 $\xi$ 满足 Birman–Kreĭn 公式 $\det S(E)=e^{2\pi i\xi (E)}$，因此 ${\xi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2\pi i}{\partial }_E\log \det S(E)=\frac{1}{2\pi }{\partial }_E\arg \det S(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$，从而 ${\phi }^{\prime }(E)/\pi ={\xi }^{\prime }(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$。(arXiv)

2. 窗—读数—对象：读数以“算子—测度—函数“对象表达。给定窗 $w$ 与核尺度 $h$，对应 Toeplitz/Berezin 压缩或局域化算子记为 $K_{w,h}$ 或 $T_{a,w,h}$（符号 $a$）。本文记 $\ker (w;E)$ 为由窗 $w$ 与尺度 $h$ 在能量轴上诱导的非负权核（可取 $\int \ker (w;E)dE=1$ 归一化），用于定义 $\Phi [w],\Xi [w]$ 等窗化读数。(users.math.cas.cz)

3. 误差学纪律（NPE）：一切近似分解为 Poisson 别名项、Euler–Maclaurin（EM）边界层与尾项三部分，严格在有限阶 $m$ 处终止；EM 余项与 Bernoulli 多项式/数的显式上界用于非渐近控制。(维基百科)

4. 可逆性与传播约束：离散端以 RCA 的双向可逆演化刻画（全局映射双射、逆演化亦为 CA），连续端以幺正/散射可逆传播刻画；Garden-of-Eden 定理与 Curtis–Hedlund–Lyndon 特征用于可逆/满射/单射的等价与结构。(维基百科)

5. 等价类：若两全局补全由保结构可逆同构（RCA 共轭/格移、散射等谱同构）联系，则属于同一解释等价类。

6. 测度约定：记 $\mathrm{vol}(\cdot )$ 为计数测度（RCA 端）或 Lebesgue 体积（WSIG 端），在直积域上取乘性；定理 5.1 等处之边界体积均据此约定计算。

7. 复杂度单位约定：记 $K(y)$ 为前缀 Kolmogorov 复杂度，以 nats 计：$K(y):=(\ln 2)K_{\mathrm{bits}}(y)$。据此，§6 的不等式与 $H_W,H_w$ 的单位一致。

8. 格距与边界带（RCA）：在 ${\mathbb{Z}}^d$ 上取 ${\ell }_{\infty }$ 距离 $\mathrm{dist}(x,W):={\min }_{z\in W}|x-z{|}_{\infty }$。定义 ${\partial }_{r}W:=\{x\in {\mathbb{Z}}^d:0<\mathrm{dist}(x,W)\le r\}$，其体积按(6)之计数测度计算。本文 §5/§6 中涉及的边界带均据此度量解释。

9. 记号统一（跨端）：在综述性/结论性陈述（§12–§13）中，记 $H$ 为总符号：RCA 端 $H:=H_W$，WSIG 端 $H:=H_w$；若需区分，将显式写 $H_W,H_w$。

10. 范数与容差球（WSIG）：记 $|\cdot {|}_{{\mathcal{H}}_w}$ 为 ${\mathcal{H}}_w$ 的 Hilbert 范数，${\mathbb{B}}_{\epsilon }(y):=\{z\in {\mathcal{H}}_w:|z-y{|}_{{\mathcal{H}}_w}\le \epsilon \}$。凡涉及“容差/误差“的集合均以此范数度量。

1. 问题设定

在本文称为 EBOC（静态块—可逆一致性补全的抽象框架，本文简称）的视角中，记录为全局不变量在有限窗 $W$ 上的读数 $y$。在全局可逆动力与能量/正则约束下，定义与 $y$ 一致的全局可逆补全集，并以“等价代表数/容量“的对数刻画其规模，得到有限窗口可逆补全熵。该量度描述“局域记录的全局可逆歧义度“，强调结构一致性与传播约束，而非统计不确定性。

2. 离散端（RCA）：定义与基本性质

设 $\Omega$ 为一维或多维 CA 的全局态空间，更新半径 $r$，全局更新 $G:\Omega \to \Omega$。若 $G$ 双射且 $G^{-1}$ 亦为 CA，则称 RCA。令有限窗域 $W\subset {\mathbb{Z}}^d$，观测 $y\in {\mathcal{Y}}^W$。定义与 $y$ 一致且可逆的补全集 $$\mathcal{C}(y;W):=\{\omega \in \Omega :\omega {|}_W=y,\exists \text{双向轨道与全局约束一致}\}.$$ 以保结构可逆同胚等价类 $\mathcal{C}(y;W)/{\sim }_{\mathrm{rev}}$ 定义 $$H_W(y):=\log \min \{\#\mathcal{R}:\mathcal{R}\subset \mathcal{C}(y;W),\mathcal{R}\text{横截所有等价类}\}.$$

约定：本文统一取 $\log$ 为自然对数（单位：nats）；若 $\mathcal{C}(y;W)/{\sim }_{\mathrm{rev}}$ 为无限集合，则约定 $H_W(y):=+\infty$。

约定（等价关系的窗口固定） 在 $H_W(y)$ 的定义中，${\sim }_{\mathrm{rev}}$ 仅由在窗 $W$ 上为恒等且保持读数 $y$ 的保结构可逆同构所诱导：对任意 $\Phi$，要求 $\Phi {|}_W=\mathrm{id}$ 且 $(\Phi \omega ){|}_W=\omega {|}_W=y$；连续端同理，散射/幺正同构在 $K_{w,h}$ 的像上需保持 $y$。据此，$\mathcal{C}(y;W)/{\sim }_{\mathrm{rev}}$ 与“横截“操作在同一集合上良定义。

约定（可行性，修订） 若 $\mathcal{C}(y;W)=\varnothing$，则 $H_W(y):=-\infty$（扩展实数）。涉及 $I_{\mathrm{rev}}(W_1:W_2)$ 与拼接次可加的命题仅在 $$\mathcal{C}(y;W_1)\ne \varnothing ,\mathcal{C}(y;W_2)\ne \varnothing ,\mathcal{C}(y;W_1\cup W_2)\ne \varnothing$$ 的情形下陈述；否则 $I_{\mathrm{rev}}$ 不定义。

补充（$I_{\mathrm{rev}}$ 的有限性）：凡涉及 $$I_{\mathrm{rev}}(W_1:W_2)=H_{W_1}(y_1)+H_{W_2}(y_2)-H_{W_1\cup W_2}(y)$$ 的陈述，均仅在 $H_{W_1}(y_1),H_{W_2}(y_2),H_{W_1\cup W_2}(y)\in \mathbb{R}$（有限）时定义与讨论；否则 $I_{\mathrm{rev}}$ 不定义。

定理 2.1（单调性） 若 $W_1\subseteq W_2$ 且 $y_i=y{|}_{W_i}$，则 $H_{W_2}(y_2)\le H_{W_1}(y_1)$。

证明 由约束增加只会筛去补全，等价类数不增，故横截所需代表数不增，取对数得结论。

定理 2.2（可逆同变性） 对任一保结构可逆变换 $\Phi :\Omega \to \Omega$（平移、群作用、RCA 共轭），有 $H_{\Phi (W)}(\Phi (y))=H_W(y)$。

证明 $\Phi$ 在全局态与等价类上诱导双射，横截数不变。

定理 2.3（拼接—可逆互信息恒等式；次可加为推论） 设 $W=W_1\cup W_2$，两窗相互作用仅通过半径 $r$ 的边界带；且 $\mathcal{C}(y;W_i),\mathcal{C}(y;W)\ne \varnothing$ 并且 $H_{W_1}(y_1),H_{W_2}(y_2),H_W(y)\in \mathbb{R}$。则有恒等式 $$H_W(y)=H_{W_1}(y_1)+H_{W_2}(y_2)-I_{\mathrm{rev}}(W_1:W_2),$$ 其中 $$I_{\mathrm{rev}}(W_1:W_2):=H_{W_1}(y_1)+H_{W_2}(y_2)-H_{W_1\cup W_2}(y).$$ 推论（次可加）：由 §5.2 之 $I_{\mathrm{rev}}(W_1:W_2)\ge 0$，立得 $$H_W(y)\le H_{W_1}(y_1)+H_{W_2}(y_2).$$ 证明 将等价类纤维化，边界一致性条件产生配对约束，定义式即给出上式恒等分解；再用 §5.2 的非负性与单调性得到推论。□

注：RCA 的可逆/满射/预注入结构由 Garden-of-Eden 定理与 Curtis–Hedlund–Lyndon 定理保证：在 ${\mathbb{Z}}^d$ 上，预注入（pre-injective）⇔ 满射；而可逆性 ⇔ 全局双射且其逆规则亦为 CA，支撑上述同变与拼接结构。(维基百科)

3. 连续端（WSIG）：Toeplitz/Berezin 压缩与容量定义

令希尔伯特空间 $\mathcal{H}$，窗 $w$ 与尺度 $h$ 给出压缩/局域化算子 $K_{w,h}:\mathcal{H}\to {\mathcal{H}}_w$，或更具体的 Toeplitz/Berezin 算子 $T_{a,w,h}$（符号 $a$）。对观测 $y\in {\mathcal{H}}_w$，考虑可行集 $${\mathfrak{C}}_w(y):=\{\Psi \in {\mathcal{E}}_{\mathrm{rev}}:K_{w,h}\Psi =y\},$$ 其中 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{rev}}$ 为幺正/散射可逆传播类，受能量壳与正则约束。以 Fisher–Rao（FR）度量体积作为容量 $\mathrm{Cap}(\cdot )$（一次性归一化常数 $\kappa$ 见下），定义 $$H_w(y):=\log \mathrm{Cap}({\mathfrak{C}}_w(y)/{\sim }_{\mathrm{rev}}).$$

约定：同上，$\log$ 取自然对数（nats）；若 $\mathrm{Cap}({\mathfrak{C}}_w(y)/{\sim }_{\mathrm{rev}})=0$ 或 $+\infty$，则 $H_w(y)$ 取相应的扩展实数值。

约定（容量与归一化） 连续端统一取 $\mathrm{Cap}$ 为 Fisher–Rao 体积：若 $\{\Psi (\theta ){\}}_{\theta \in \Theta }\subset {\mathcal{E}}_{\mathrm{rev}}$ 为可逆族的光滑参数化，则 $$\mathrm{Cap}({\mathfrak{C}}_w(y)/{\sim }_{\mathrm{rev}}):=\kappa {\int }_{{\mathfrak{C}}_w(y)/{\sim }_{\mathrm{rev}}}\sqrt{\det I(\theta )}d\theta ,$$ 其中 $I(\theta )$ 为由映射 $\theta \mapsto K_{w,h}\Psi (\theta )$ 诱导的 Fisher 信息矩阵，$\kappa >0$ 为一次性归一化常数，选取使 §4 的刻度同一 $\Phi [w]=\Xi [w]=\int \ker (w;E){\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE$ 下 $H_w$ 的单位与 nats 一致。离散端视作计数测度；以下不再变更容量模型。

约定（连续端可行性与有限体积）：记 ${\mathfrak{C}}_w(y)/{\sim }_{\mathrm{rev}}$ 为可逆等价类商。凡涉及 $\log \mathrm{Cap}(\cdot )$ 的陈述（含 §3.2、§4.1、§8、§9.1、§11），均仅在 $$0<\mathrm{Cap}({\mathfrak{C}}_w(y)/{\sim }_{\mathrm{rev}})<\infty$$ 且该商集为 $C^1$ 正则可测流形（或由有限并的此类片覆盖）时成立；若容量为 0 或 $+\infty$，则取 $H_w(y)=-\infty$ 或 $+\infty$ 而不再陈述上述等式/不等式。

定理 3.1（同变性） 对任意幺正/散射同构 $\mathsf{U}$ 与窗同变 $\mathsf{W}$，有 $H_{\mathsf{W}w}(\mathsf{W}y)=H_w(y)$。 证明 由 $\mathsf{U}$ 的幺正与散射共形，及 Berezin–Toeplitz 量化下的自然协变性，容量保持。(users.math.cas.cz)

定理 3.2（修订：NPE 三分解的非渐近容差） 若 $w$ 为带限或指数型且采样满足 Nyquist 条件，在 $0<\mathrm{Cap}({\mathfrak{C}}_w(y)/{\sim }_{\mathrm{rev}})<\infty$ 且可行商集为 $C^1$ 正则流形时，存在有限阶 $m$ 与常数 $C_{w,h}$，对任意 $\epsilon >0$ 有 $$\left|\log \mathrm{Cap}\right(\{\Psi :|K_{w,h}\Psi -y{|}_{{\mathcal{H}}_w}\le \epsilon \}/{\sim }_{\mathrm{rev}})-\log \mathrm{Cap}({\mathfrak{C}}_w(y)/{\sim }_{\mathrm{rev}})|\le C_{w,h}\epsilon +{\Delta }_{\mathrm{NPE}}^{(\le m)}.$$ 其中 ${\Delta }_{\mathrm{NPE}}^{(\le m)}={\Delta }_{\mathrm{alias}}+{\Delta }_{\mathrm{Bernoulli}}^{(\le m)}+{\Delta }_{\mathrm{tail}}$。该表述与 §8 的 Toeplitz/Berezin 压缩结果保持一致。(维基百科)

4. 与三位一体刻度的一致性

定义窗化读数量 $$\Phi [w]:=\int \ker (w;E)\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }dE,\Xi [w]:=\int \ker (w;E)\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)dE,$$ 以及 $\int \ker (w;E){\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE$。由三位一体同一式得 $\Phi [w]=\Xi [w]=\int \ker (w;E){\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE$。据此得到：

定理 4.1（刻度相容与局域稳定） 若容量归一化与上述刻度一致，则对窗的平滑形变 $\delta w$ 与符号扰动 $\delta a$ 存在常数 $C$ 使 $$|\delta H_w(y)|\le C(|\delta w{|}_{W^{1,1}}+|\delta a{|}_{W^{1,1}})+O\left({\Delta }_{\mathrm{NPE}}^{(\le m)}\right).$$ 证明 Gateaux 变分由窗化迹的一级响应控制；刻度同一将 ${\phi }^{\prime }(E)/\pi$、${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$ 与 $(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 统一归一；NPE 有限阶终止给出残差的非渐近上界。(arXiv)

5. 边界=信息资源：传播半径与互信息

RCA 的有限传播半径 $r$ 或连续系统的有限群延迟/微支集传播界，意味着窗外自由度作用经厚度 $r$ 的边界带传入。

定义 5.0（RCA 端的边界补丁计数 $\mathrm{Comp}$） 设 $${\partial }_{r}W:=\{x\in {\mathbb{Z}}^d:0<\mathrm{dist}(x,W)\le r\},$$ 其中 $\mathrm{dist}$ 与体积 $\mathrm{vol}$ 依 Notation(8)/(6) 取值。定义 $$\mathrm{Comp}(y;{\partial }_{r}W):=\min \{\#\mathcal{B}:\mathcal{B}\subset \mathcal{S}({\partial }_{r}W),\forall \omega \in \mathcal{C}(y;W)\exists b\in \mathcal{B}\text{s.t.}\omega {|}_{{\partial }_{r}W}=b\},$$ 其中 $\mathcal{S}({\partial }_{r}W)$ 仅指 RCA 字母表配置空间。

定义 5.1a（边界可分辨性，BD） 对任意 $\omega ,{\omega }^{\prime }\in \mathcal{C}(y;W)$，若 $\omega /{\sim }_{\mathrm{rev}}{\omega }^{\prime }$，则有 $$\omega {|}_{{\partial }_{r}W}\ne {\omega }^{\prime }{|}_{{\partial }_{r}W}.$$ 换言之，不同等价类必对应不同的边界补丁。

定理 5.1（RCA 端的边界主导上界；统一版） 存在常数 $c>0$（仅依赖传播半径 $r$、维度与局部规则/字母表规模）使 $$\log \mathrm{Comp}(y;{\partial }_{r}W)\le c\cdot \mathrm{vol}({\partial }_{r}W).$$ 若进一步满足边界可分辨性（定义 5.1a），则 $$H_W(y)\le \log \mathrm{Comp}(y;{\partial }_{r}W)\le c\cdot \mathrm{vol}({\partial }_{r}W).$$ 其中 $\mathrm{vol}$ 依“测度约定(6)“取计数测度。本定理不涉及 WSIG 端；连续端的对应上界与尺度控制见 §9 与 §4。

（此统一版与 §10.1 的一维情形一致。）

定理 5.2（可逆互信息的非负性） 令 $$I_{\mathrm{rev}}(W_1:W_2):=H_{W_1}(y_1)+H_{W_2}(y_2)-H_{W_1\cup W_2}(y)\ge 0,$$ 且随边界一致性约束增强单调不减；在边界完全闭合时取极值。 证明 由等价类纤维化与匹配数的子模性，结合可逆一致性，得到非负性与单调性。

6. 复杂度下界与随机稳健性

记 $K(y)$ 为柯尔莫哥洛夫复杂度的可计算上界代理。

定义（边界长度预算）：设 ${\partial }_{r}W$ 与常数 $c$ 如 定理 5.1，定义 $$\mathrm{bdry}(W):=c\cdot \mathrm{vol}({\partial }_{r}W).$$

定义（模型容量）：沿用 定理 5.1 之常数 $c$ 与“测度约定(6)“，定义 $$\mathrm{ModelCap}(W):=c\cdot \mathrm{vol}({\partial }_{r}W).$$ 则弱依赖与有限传播场景下，有 $$H_W(y)\gtrsim [K(y)-\mathrm{bdry}(W){]}_{+},H_W(y)\lesssim \mathrm{ModelCap}(W)=c\cdot \mathrm{vol}({\partial }_{r}W),$$ 其中 $[x{]}_{+}:=\max \{x,0\}$，两端常数与 定理 5.1 的刻度一致。高度不可压缩的 $y$ 需要更大的解释族，因而提升 $H_W$ 的下界。(维基百科)

7. 与香农/冯诺依曼熵的关系

$H_w$ 度量“结构一致的可逆解释族规模“，而香农/冯诺依曼熵度量分布或密度矩阵不确定性。在独立同分布与窗尺度趋大极限下，单位体密度的 $H_w$ 可与熵率耦合；但在强可逆约束与边界主导的几何场景中二者分离：$H_w$ 对“可逆一致性“和“传播半径“更敏感。

8. Toeplitz/Berezin 压缩的非渐近界

设 $T_{a,w,h}$ 为符号 $a$ 与窗 $w$ 的 Toeplitz/Berezin 压缩；记容差球 ${\mathbb{B}}_{\epsilon }(y)$。存在常数 $C_{w,a,h}$ 与有限阶 $m$ 使 $$\left|\log \mathrm{Cap}\right(\{\Psi \in {\mathcal{E}}_{\mathrm{rev}}:|T_{a,w,h}\Psi -y{|}_{{\mathcal{H}}_w}\le \epsilon \}/{\sim }_{\mathrm{rev}})-\log \mathrm{Cap}({\mathfrak{C}}_w(y)/{\sim }_{\mathrm{rev}})|\le C_{w,a,h}\epsilon +{\Delta }_{\mathrm{NPE}}^{(\le m)}.$$ 其中 ${\Delta }_{\mathrm{NPE}}^{(\le m)}$ 由 Poisson 别名、EM 有限阶边界层和尾项共同控制；若 $a$ 为带限/解析符号、$w$ 指数衰减且满足帧密度条件，则常数由带宽与 Bernoulli 常数统一界定。(users.math.cas.cz)

9. 带限信号的 Nyquist 范例

设一维带限信号，带宽 $B$，采样率 $f_s\ge 2B$，窗 $w$ 为紧支或指数窗，能量壳 $|\Psi {|}_{\mathcal{H}}\le E$。

定理 9.1（Nyquist 条件下的边界主导） $$H_w(y)=\log \mathrm{Cap}({\mathfrak{C}}_w(y)/{\sim }_{\mathrm{rev}}),$$ $$\left|\log \mathrm{Cap}\right({\mathfrak{C}}_w(y)/{\sim }_{\mathrm{rev}})-\log \mathrm{Cap}(\text{边界相位/幅度自由度}/{\sim }_{\mathrm{rev}}\left)\right|\le {\Delta }_{\mathrm{NPE}}^{(\le m)}.$$ 当窗尺度 $R\to \infty$ 而 $B,E$ 固定时，单位长度 $H_w/R\to 0$。 证明 由 Paley–Wiener 空间的 Landau 密度必要条件与 Poisson 求和控制别名误差，EM 有限阶收敛控制边界层；边界主导由有限传播/核衰减与帧稳定性给出。(numdam.org)

注（帧与不确定性） 窗族取紧框架可优化误差常数；Balian–Low 禁止在临界密度下同时实现优良双局域，提示容量下界不可过度压缩。(维基百科)

10. RCA 范例与定理

考虑一维 RCA，半径 $r$，窗长 $R$。

定理 10.1（有限半径传播的容量上界） 若长度 $2r$ 的边界补丁唯一决定外延，则 $$H_R(y)\le \log \#\{\text{边界补丁}\}\le c\cdot r,$$ 且当 $R\to \infty$、$r$ 固定时，单位长度 $H_R/R\to 0$。 证明 由马尔可夫型传播限制与边界决定性，横截数受边界补丁数界定。

定理 10.2（拼接与可逆互信息） 对相邻窗 $W_1,W_2$ 与公共边界带， $$I_{\mathrm{rev}}(W_1:W_2)\text{随边界一致性约束增强而单调不减，并在闭合时极大}.$$ 证明 与定理 2.3 同理；RCA 可逆性与 Garden-of-Eden/CHL 结构确保配对的可逆一致性与非负性。(维基百科)

11. 变分与二阶结构

记 $\mathcal{F}(a,w):=\log \mathrm{Cap}({\mathfrak{C}}_w(y)/{\sim }_{\mathrm{rev}})$。在符号/窗的正则类（带限/解析/指数窗）内，有 $$\delta \mathcal{F}=⟨{\mathcal{G}}_a,\delta a⟩+⟨{\mathcal{G}}_w,\delta w⟩+O\left({\Delta }_{\mathrm{NPE}}^{(\le m)}\right),$$ 其中灵敏度泛函 ${\mathcal{G}}_a,{\mathcal{G}}_w$ 由窗化迹与三位一体刻度导出；其二阶对称部分建立 $H^{1/2}$-型稳定 Hessian 下界，反映容量函数在可行域上的强凸/凹互补结构（取决于容量模型与归一化）。

12. 公理化总结

• A1 可逆一致性：仅计与观测一致且可逆的补全；
• A2 同变性：对保结构可逆变换不变；
• A3 单调性：随窗扩张不增；
• A4 次可加：拼接时以可逆互信息修正；
• A5 NPE–EM 非渐近闭合：一切误差在有限阶终止并可显式上界；
• A6 奇性不增/极点=主尺度：窗化不引入更强奇性，极点决定主尺度；
• A7 刻度同一相容：与 ${\phi }^{\prime }/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 严格一致。

13. 结论性定理

定理 13.1（良定性与稳健性） 在上述公理与正则条件下，有限窗口可逆补全熵 $H$（RCA 端为 $H_W$，WSIG 端为 $H_w$）良定、与可逆同构不变、对窗/符号扰动 Lipschitz 稳定，并在 NPE–EM 纪律下获得非渐近上下界与变分估计；其规模受边界带与传播半径主导，体现“边界=信息资源“的定量律；且与三位一体刻度严格相容。 证明 由 3.1、3.2、4.1、5.1、5.2 及 NPE–EM 有限阶控制综合得证。(维基百科)

定理 13.2（局域信息律） 在 RCA 半径有限或连续传播有界的系统中，随窗尺度增大，单位体密度的 $H$（RCA 端 $H_W$，WSIG 端 $H_w$）衰减至零；对带限/指数窗，$H/R$ 的衰减速率由带宽、窗衰减与 EM 阶数的常数集合统一控制。 证明 由 5.1 的边界主导上界与 9.1 的 Nyquist 框架、结合 EM 有限阶终止，得单位尺度衰减。

附录 A：NPE 三分解的显式常数

• Poisson 别名项：令频域带宽 $B$ 与采样间隔 $\Delta$ 满足 $1/\Delta \ge 2B$（Nyquist），则别名误差按高频泄露的窗谱衰减估计；Poisson 求和给出离散—连续差的主项。(维基百科)
• EM 边界层：对 $p\le m$ 阶终止，余项由 periodized Bernoulli 函数 $P_p$ 的 $L^{\infty }$ 界与 $\zeta (p)$ 常数给出 $\left|R_p\right|\le \frac{2\zeta (p)}{(2\pi {)}^p}\int |f^{(p)}|$。(维基百科)
• 尾项：由窗的指数/次指数衰减与能量壳正则性（有限阶导数有界）给出几何级或幂级收敛。

附录 B：帧密度与不确定性障碍

Gabor/多窗框架下，Wexler–Raz 双正交与 Janssen 表示保证帧稳定与密度判据；Landau 密度定理给出 Paley–Wiener 空间的采样必要密度；Balian–Low 定理提供临界密度下的双局域障碍与定量强化版本，限制容量的进一步压缩。(sites.math.duke.edu)

参考文献（选）

1. Wigner, Smith：群延迟与时间延迟矩阵；Brouwer–Frahm–Beenakker：$\mathsf{Q}$ 谱的随机矩阵理论分布。(arXiv)
2. Birman–Kreĭn 公式与谱移函数综述与推广（Pushnitski；Hanisch 等）。(arXiv)
3. Berezin–Toeplitz 量化与局域化算子（Engliš；相关 Toeplitz-局域化文献）。(users.math.cas.cz)
4. Poisson 求和、Euler–Maclaurin 公式与 Bernoulli 常数的显式余项估计。(维基百科)
5. Garden-of-Eden 定理、Curtis–Hedlund–Lyndon 定理与 RCA 可逆性综述（Kari）。(维基百科)
6. Landau 密度必要条件及新近推广；Wexler–Raz、Janssen 与 Gabor 框架的双正交理论；Balian–Low 定理及其定量版本。(numdam.org)
7. 柯尔莫哥洛夫复杂度、MDL/MML 与编码定理（Li–Vitányi；Grünwald 教程）。(维基百科)