WSIG–EBOC 时空/时间/空间统一理论

（含可核对引文）

Version: 1.45（2025-11-03，Asia/Dubai）

摘要

在 WSIG（Windowed Scattering & Information Geometry）与 EBOC（Eternal-Block Observer-Computing）框架下，本文建立一套基于窗口化散射的可操作时空理论：以相位导数—谱移密度—Wigner–Smith 群延迟三重等价为计量基元；以Kramers–Kronig 因果—解析（稳定 LTI 限定）与波动方程推迟格林函数（时域支撑，适用于 LTV）的光锥支撑，给出以前沿光学度量计的上界：因果前沿不超 $c$；并当且仅当满足前沿可检（§5）时取等号。以门限互信息的首次可检时间确立信息光锥上界：在真空或静态介质（LTI）下， $$c_{\mathrm{info}}:=\underset{\delta \downarrow 0}{\lim }\sup \frac{D}{T_{\delta }}\le c,$$ 且当且仅当满足前沿可检（§5）时取等号 $c_{\mathrm{info}}=c$；其中 $D=D_{\mathrm{front}}$（链路归一，$t_h=0$）或 $D=D_{\mathrm{sys}}:=D_{\mathrm{front}}+c{t}_h$（系统归一，$t_h>0$）。LTV 仅得 $T_{\delta }\ge t_{\min }$。据此给出时间与空间的操作性定义，并把时空刻画为四元组 $(\mathcal{E},⪯,g,{\mu }_{\phi })$：其中 $⪯$ 由光锥支撑诱导，$g$ 为（含介质的）光学洛伦兹度量，${\mu }_{\phi }=({\phi }^{\prime }/\pi )dx$ 为由 de Branges 核对角给出的相位密度测度。核心定理证明“相位斜率 = 群延迟 = 谱移密度 = SI 实现“四等价，并在 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（NPE） 误差账本下给出非渐近可检上界。理论兼容**可逆元胞自动机（RCA）**之 CHL 定理的离散光锥，并与采样/插值/帧的密度阈值（Landau、Wexler–Raz、Balian–Low）建立同构。

0. 记号与预备

• 散射矩阵 $S(E)\in U(N)$。Wigner–Smith 延迟矩阵定义为 $Q(E):=-iS(E{)}^{†}\frac{dS}{dE}(E)$，其迹 $\mathrm{tr}Q(E)$ 的量纲为 $1/\text{能量}$；物理群延迟取 ${\tau }_{\mathrm{WS}}(E):=\hslash \mathrm{tr}Q(E)$，量纲为时间。该定义可追溯至 Smith 对“寿命矩阵“的刻画。标准文献将 Wigner–Smith 延迟定义为“相位对能量的导数“并与 $\mathrm{tr}Q$ 对应，$\tau =\hslash \mathrm{tr}Q$ 具时间量纲。(物理评论链接管理器)

• Birman–Kreĭn（BK）公式：若 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$，则 $\mathrm{tr}Q(E)=-2\pi {\xi }^{\prime }(E)$。(arXiv)

• KK—因果（LTI 限定）：在稳定 LTI系统（脉冲响应 $h_{\mathrm{sys}}(t)$）上，严格因果 $\Rightarrow$ 频响在上半平面解析；并且在 $h_{\mathrm{sys}}\in L^1(\mathbb{R})$、$H(\omega )$ 多项式增长受控、无上半平面极点等附加条件下，实部与虚部满足 Kramers–Kronig 色散，且可反推严格因果（解析 $\Rightarrow$ 因果）。LTV/非平稳情形不适用该频域等价，本文仅采用 $G_{\mathrm{ret}}$ 的时域支撑性表述（见 §5）。(物理评论链接管理器)

• 推迟格林函数：在三维真空无界域，标量波动方程 $\square G_{\mathrm{ret}}=\delta$ 的解为 $G_{\mathrm{ret}}(t,\mathbf{r})=\delta (t-|\mathbf{r}|/c)/(4\pi |\mathbf{r}|)$，支撑恰在 $t=r/c$；Maxwell 的时域 dyadic 核由该标量核经张量—微分算子得到（含 $\delta$ 及其导数），支撑同样仅在光锥上。在有界域/介质/色散下，一般会出现先驱/尾场，详见 §0 的“前沿分解（定义）“。(维基百科)

• 光学度量（Gordon）：前沿时间满足 $$t_{\min }\ge \frac{d_{\mathrm{front}}}{c},$$ 其中 $d_{\mathrm{front}}$ 由高频极限折射率 $n_{\infty }$ 的 3D 费马度量定义。且当且仅当满足前沿可检（§5）时，取等号 $t_{\min }=d_{\mathrm{front}}/c$；3D 真空纯传播为其特例。许多被动介质在高频满足“真空化“ $n(\mathbf{x},\omega )\to 1$（故 $n_{\infty }=1$），于是 $d_{\mathrm{front}}=|A-B|$；此时实验坐标下仅能无条件断言 $t_{\min }\ge |A-B|/c$，并仅在上述等号条件成立时才恢复“前沿速度 $=c$”。（群速与 $c$ 可异——Sommerfeld–Brillouin 先驱）现代综述与推广见 Leonhardt–Philbin 及后续工作。(arXiv)

• 快/慢光与信息速度：实验与信息论定义表明可检测信息速度不超 $c$。(PubMed)

• NPE 误差账本：Nyquist 采样定理与别名条件（Shannon/Nyquist）；Poisson 求和公式（NIST DLMF §1.8(iv)）；Euler–Maclaurin 有界余项（DLMF §2.10）。(webusers.imj-prg.fr)

• de Branges 核对角：对 Hermite–Biehler 函数 $\mathcal{E}$ 的空间 $\mathcal{H}(\mathcal{E})$，有 $K(x,x)=\frac{1}{\pi }{\phi }^{\prime }(x)|\mathcal{E}(x){|}^2$，其中 $\phi$ 为相位函数。**（记号统一）**本文以 $E$ 表示能量（亦作实频变量）；在 de Branges 章节用 $x$ 表示同一实轴变量并与 $E$ 等同，记作 $x\equiv E$。因此 ${\mu }_{\phi }=({\phi }^{\prime }(E)/\pi )dE$，并与 §2 中 $w_R(E)$ 的归一规范 $\frac{1}{2\pi }\int w_R(E)dE=1$ 一致。

• Weyl–Heisenberg 表示与唯一性：Stone–von Neumann 定理与相干/时频框架之基础可参见 Folland。(PagePlace)

• 窗化卷积与平均记号：取能量窗 $w_R\in L^1(\mathbb{R})$ 与单位积分核 $\eta \in L^1(\mathbb{R})$。归一规范 $$\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)dE=1,{\int }_{\mathbb{R}}\eta (\nu )d\nu =1.$$ 定义卷积与窗化平均 $$[\eta \star f](E):={\int }_{\mathbb{R}}\eta (\nu )f(E-\nu )d\nu ,⟨f{⟩}_{w,\eta }:=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)[\eta \star f](E)dE.$$ 在真空纯延迟链路 $S_L(E)=e^{iEL/(\hslash c)}$ 下，由 $\mathrm{tr}{Q}_L\equiv L/(\hslash c)$ 与上式归一规范，得 $\hslash ⟨\mathrm{tr}{Q}_L{⟩}_{w,\eta }=L/c$（见 §4）。（符号说明）本文以 $\eta$ 表示单位积分核（用于窗化读数），以 $h_{\mathrm{sys}}(t)$ 表示系统脉冲响应（LTI 滤波器），$t_h:=\inf \{t:h_{\mathrm{sys}}(t)\ne 0\}$ 为其起始时延。

• 分布与广义函数记号：$\delta (\cdot )$ 为 Dirac $\delta$ 分布；$\Theta (t)$ 为 Heaviside 阶跃函数，$\Theta (t)=0(t<0)$、$\Theta (t)=1(t>0)$（取 $\Theta (0)=\frac{1}{2}$ 不影响本文结果）。

• 前沿分解（定义）：在真空或静态介质（LTI）并满足前沿假设（F）下，推迟格林函数在分布意义上可写成 $$G_{\mathrm{ret}}(t;x,y)=\sum _{k=0}^m{K}_k(x,y){\delta }^{(k)}(t-\frac{d_{\mathrm{front}}(x,y)}{c})+\Theta (t-\frac{d_{\mathrm{front}}(x,y)}{c})g(t;x,y),$$ 其中 $m<\infty$，$K_k(x,y)$ 为前沿奇性的幅度系数，$g$ 为尾项核（局部可积）。据此称“前沿可检（在分布层面）“当且仅当存在某 $k\ge 0$ 使 $K_k(x,y)\ne 0$；Maxwell 情形允许 $k\ge 1$。

• 散射背景与能量表象：设 $\mathcal{H}$ 为希尔伯特空间，$H_0,H$ 为其上自伴算子（自由/全哈密顿量）。假设波算子 $W_{\pm }:=s\text{-}{\lim }_{t\to \pm \infty }{e}^{itH}{e}^{-it{H}_0}$ 存在且完备，则散射算子 $\mathsf{S}:=W_{+}^{\ast }{W}_{-}$ 在能量表象纤维化为 $S(E)\in U(N)$。Wigner–Smith 延迟矩阵定义为 $Q(E):=-iS(E{)}^{†}{\partial }_{E}S(E)$，与正文 §0 的记号一致。

• 迹记号：本文统一用 $\mathrm{tr}$ 表示有限维矩阵迹（如 $S(E)\in U(N)$），$\mathrm{Tr}$ 保留给希尔伯特空间上的迹类算子（如 §6 的 $T_{w_{\phi }}$）。

1. 公理（WSIG–EBOC 时空）

令 $$\mathbb{S}=(\mathcal{E},⪯,g,{\mu }_{\phi };H,H_0,S(\cdot );\mathcal{W},\mathcal{H}).$$

层级说明：本文称 $(\mathcal{E},⪯,g,{\mu }_{\phi })$ 为时空四元组（本体层），而 $(H,H_0,S(\cdot );\mathcal{W},\mathcal{H})$ 为实现资料（实现层，用以给出窗化散射读数与证明链），两者不可混淆。

称 $\mathbb{S}$ 为WSIG–EBOC 时空，若：

(A1) 事件与因果序：$\mathcal{E}$ 为事件集；若波动方程的 $G_{\mathrm{ret}}$ 在对 $(e_1,e_2)$ 上具有非零支撑（即 $G_{\mathrm{ret}}(e_2,e_1)\ne 0$），则置 $e_1⪯e_2$。离散系统取 RCA 邻域传播界（见 §9）。(维基百科)

(A2) 表象与可观测性：$\mathcal{H}$ 为希尔伯特空间；$(U_{\tau },V_{\sigma })$ 为 Weyl–Heisenberg 射影酉表示，支持窗化读数。(PagePlace)

(A3) 相位—密度—延迟字典：存在窗 $\mathcal{W}$ 使 ${\partial }_E\arg \det S=\mathrm{tr}Q=-2\pi {\xi }^{\prime }(E)$ 的窗化读数成立。(arXiv)

(A4) 因果—解析一致：在稳定 LTI情形，严格因果 $\Rightarrow$ 频响在上半平面解析；并且在 $h_{\mathrm{sys}}\in L^1(\mathbb{R})$、$H(\omega )$ 多项式增长受控、无上半平面极点等附加条件下，实部与虚部满足 Kramers–Kronig 色散，且可反推严格因果（解析 $\Rightarrow$ 因果）。LTV/非平稳情形不使用该频域等价，仅采用 $G_{\mathrm{ret}}(t,\tau )$ 的时域支撑表述（见 §5）。在时不变/静态介质下，仅断言 $$t_{\min }\ge \frac{D_{\mathrm{front}}}{c},D_{\mathrm{front}}=\{\begin{array}{ll}L,& \text{真空},\\ d_{\mathrm{front}}(x,y),& \text{介质/不均匀/有界域}.\end{array}$$ 当且仅当满足前沿可检（§5）时，可取等号 $t_{\min }=d_{\mathrm{front}}/c$；3D 真空纯传播为其特例。若与严格因果 LTI 滤波器（脉冲响应 $h_{\mathrm{sys}}(t)$，起始时延 $t_h:=\inf \{t:h_{\mathrm{sys}}(t)\ne 0\}$）串联，则 $$t_{\min }\ge \frac{D_{\mathrm{front}}}{c}+t_h,$$ 且仅当满足前沿可检（§5）且前沿处无系统性抵消时，方有 $$t_{\min }=\frac{D_{\mathrm{front}}}{c}+t_h.$$ (物理评论链接管理器)

(A5) 前沿—信息一致：在真空或静态介质（LTI）下，门限互信息的首次可检时间 $T_{\delta }$ 满足 $$c_{\mathrm{info}}:=\underset{\delta \downarrow 0}{\lim }\sup \frac{D}{T_{\delta }}\le c,$$ 其中 $D$ 为所用归一化的前沿光程。并且当且仅当满足前沿可检时取等 $c_{\mathrm{info}}=c$；此处**“前沿可检”指：按§0 的前沿分解 $G_{\mathrm{ret}}(t;x,y)={\sum }_{k=0}^m{K}_k(x,y){\delta }^{(k)}(t-\frac{D}{c})+\Theta (\cdot )g$，存在某 $k\ge 0$ 使 $K_k(x,y)\ne 0$，或测链含Dirac直通分量**（脉冲响应含 $\delta (t)$），或存在 $t_n\downarrow D/c$ 与单位能量短脉冲 $\psi$ 使 $\int G_{\mathrm{ret}}(t_n,\tau ;x,y)\psi (\tau )d\tau \ne 0$。(i) 链路归一化（$t_h=0$）：$D=D_{\mathrm{front}}$。(ii) 系统归一化（$t_h>0$）：$D=D_{\mathrm{sys}}:=D_{\mathrm{front}}+c{t}_h$。（LTV 补充）：对时变系统，仅断言 $T_{\delta }\ge t_{\min }$（由 $G_{\mathrm{ret}}(t,\tau )$ 的时域支撑定义）。(维基百科)

(A6) 采样—误差闭合：读数误差按 NPE 三分解给出非渐近上界。(webusers.imj-prg.fr)

(A7) SI 对齐：$c$ 取 SI 固定值；“以延迟计长“与“以时定长“互逆实现（§4、§12）。

(A8) 相位密度几何：de Branges 核对角 $K(x,x)=\frac{1}{\pi }{\phi }^{\prime }(x)|\mathcal{E}(x){|}^2$ 诱导 ${\mu }_{\phi }:=({\phi }^{\prime }/\pi )dx$ 作为窗化刻度。

2. 操作性定义：时间与空间

定义 2.1（时间） 取窗 $w_R$ 与单位积分核 $\eta$。对链路散射 $S(E)$，定义窗口化群延迟读数 $$\mathsf{T}[w_R,\eta ]:=\hslash \frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)[\eta \star \mathrm{tr}Q](E)dE,$$ 其中 $Q:=-i{S}^{†}\frac{dS}{dE}$，$\mathrm{tr}Q$ 与 ${\partial }_E\arg \det S$ 及 $-2\pi {\xi }^{\prime }(E)$ 等价。(物理评论链接管理器)

归一规范：约定 $(2\pi {)}^{-1}{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)dE=1$，且 ${\int }_{\mathbb{R}}\eta (E)dE=1$（单位积分核），据此在真空纯延迟链路上有 $\mathsf{T}=L/c$。验证：在 $S_L(E)=e^{iEL/(\hslash c)}$ 下有 $\mathrm{tr}Q=L/(\hslash c)$ 常数，代入上式并用上述归一条件立得 $\mathsf{T}=L/c$；与定理 4.1 保持一致。

在真空长度 $L$ 的链路上，定义的时间坐标差满足 $\Delta t=L/c$。

定义 2.2（空间） 真空中以雷达距定义空间距离：$d(A,B):=\frac{c}{2}{\mathsf{T}}_{\mathrm{roundtrip}}(A\to B\to A)$。

在介质/不均匀/有界域中，取高频极限折射率 $n_{\infty }(\mathbf{x})={\lim }_{\omega \to \infty }n(\mathbf{x},\omega )$。定义 3D 费马（光学）度量 $$d{s}_{\mathrm{front}}=n_{\infty }(\mathbf{x})|d\mathbf{x}|,$$ 并据此定义前沿光程 $$d_{\mathrm{front}}(A,B):=\underset{\gamma :A\to B}{\inf }{\int }_{\gamma }{n}_{\infty }(\mathbf{x})ds,$$ 则最早可达时间满足 $$t_{\min }(A,B)\ge \frac{d_{\mathrm{front}}(A,B)}{c}.$$ **当且仅当满足前沿可检（§5）时，取等号。**在各向同性且 $n_{\infty }\equiv 1$ 时，$d_{\mathrm{front}}=|A-B|$。上述与 4D Gordon 光学度量的零测地线描述在高频极限下等价，但用于计时以 3D 光程表述更为直接。(arXiv)

群折射率：对各向同性被动介质，定义 $$n_g(\mathbf{x},\omega ):=n(\mathbf{x},\omega )+\omega {\partial }_{\omega }n(\mathbf{x},\omega )=\frac{c}{v_g(\mathbf{x},\omega )},$$ 其中 $v_g$ 为群速度。于是群时间 $t_g={\int }_{\gamma }{n}_{g}ds/c$，相位时间 $t_{\varphi }={\int }_{\gamma }nds/c$。一般地不保证 $t_g$ 或 $t_{\varphi }$ 与 $t_{\min }$ 的大小关系（在异常色散与增益/损耗情况下可出现 $t_g<t_{\min }$ 或 $t_{\varphi }<t_{\min }$）。普适且与因果一致的仅是 $$t_{\min }\ge \frac{d_{\mathrm{front}}}{c},T_{\mathrm{info}}\ge t_{\min },$$ 并且仅当满足前沿可检（§5）时，才有 $t_{\min }=d_{\mathrm{front}}/c$。其中 $T_{\mathrm{info}}$ 为任意可检信息的首次到达时间（见 §5）。

往返时间： $${\mathsf{T}}_{\mathrm{roundtrip}}(A\to B\to A;w_R,\eta ):=\mathsf{T}[w_R,\eta ;A\to B]+\mathsf{T}[w_R,\eta ;B\to A].$$ 若链路与读数协议互易（双向对称），则 $d(A,B)=\frac{c}{2}{\mathsf{T}}_{\mathrm{roundtrip}}(A\to B\to A)$。

前沿假设（F）：介质为被动线性、各向同性，且高频折射率存在有限极限 $$n_{\infty }(\mathbf{x}):=\underset{\omega \to \infty }{\lim }n(\mathbf{x},\omega )\in [1,\infty ).$$ 据此定义前沿光学度量 $g^{\mathrm{front}}$ 与前沿光程 $d_{\mathrm{front}}$。若只能给出 $n_{\infty }$ 的上下界函数 $1\le {\underline{n}}_{\infty }(\mathbf{x})\le n_{\infty }(\mathbf{x})\le {\overline{n}}_{\infty }(\mathbf{x})<\infty$，则对应的前沿光程满足 ${\underline{d}}_{\mathrm{front}}\le d_{\mathrm{front}}\le {\overline{d}}_{\mathrm{front}}$。一般地仅能无条件断言 $$\boxed{t_{\min }(A,B)\ge \frac{{\underline{d}}_{\mathrm{front}}(A,B)}{c}},$$ 而 $$t_{\min }(A,B)\le \frac{{\overline{d}}_{\mathrm{front}}(A,B)}{c}$$ 仅在附加条件下成立：$t_{\min }\le {\overline{d}}_{\mathrm{front}}/c$ 仅当满足前沿可检（§5）时成立；若与严格因果 LTI 滤波器串联且起始时延 $t_h$ 有上界，则 $$t_{\min }\ge \frac{d_{\mathrm{front}}}{c}+t_h,$$ 并且仅当满足前沿可检（§5）且前沿处无系统性抵消时，方有 $t_{\min }=\frac{d_{\mathrm{front}}}{c}+t_h\le \frac{{\overline{d}}_{\mathrm{front}}}{c}+t_h$。 本稿其他处对“等号何时成立“的口径与 §5 保持一致。仅当被动因果介质满足高频真空化（典型模型下 $n(\mathbf{x},\omega )\to 1$）时，实验坐标中才恢复 $t_{\min }=|A-B|/c$ 与“波前速度 $=c$“；一般介质则保持 $t_{\min }\ge d_{\mathrm{front}}/c$ 的陈述。

定义 2.3（同时切片） 选参考世界线与往返协议，令 ${\Sigma }_t:=\{e\in \mathcal{E}:{\mathsf{T}}_{\mathrm{roundtrip}}=2t\}$，其三维度量由雷达距或 $g^{\mathrm{front}}$ 诱导。

3. 时空的结构化定义

定义 3.1（WSIG–EBOC 时空） 若存在窗化散射读数使：

(1) 度量—读数一致：真空链路 $L$ 上 $\mathsf{T}=L/c$；介质前沿光程与前沿一致，即 $d_{\mathrm{front}}$ 为 3D 费马（光学）度量 $d{s}_{\mathrm{front}}=n_{\infty }|\mathrm{d}x|$ 的测地光程极小值；

(2) 三重字典：${\partial }_E\arg \det S=\mathrm{tr}Q=-2\pi {\xi }^{\prime }(E)$；

(3) NPE 可检：误差别名/Poisson/EM 余项有全局上界；

(4) 信息—因果一致（真空或静态介质〔LTI〕）：首次可检互信息时间 $T_{\delta }$ 满足 $$c_{\mathrm{info}}:=\underset{\delta \downarrow 0}{\lim }\sup \frac{D_{\mathrm{front}}}{T_{\delta }}\le c,$$ 且仅当满足前沿可检（见 A5、§5）时取等 $c_{\mathrm{info}}=c$。（串联滤波补充）：若测链含严格因果 LTI 滤波器且起始时延 $t_h>0$，则以上 $D_{\mathrm{front}}$ 全部替换为 $D_{\mathrm{sys}}:=D_{\mathrm{front}}+c{t}_h$。（LTV 补充）：对时变系统，仅断言 $T_{\delta }\ge t_{\min }$（由 $G_{\mathrm{ret}}(t,\tau )$ 的时域支撑定义）。

则四元组 $(\mathcal{E},⪯,g,{\mu }_{\phi })$ 为一时空。(arXiv)

4. 主等价定理（相位—延迟—谱移—SI）

定理 4.1（四等价） 设真空链路 $L$ 的散射 $S_L(E)=\exp (iEL/(\hslash c))$。则 $$\mathsf{T}[w_R,\eta ;L]=\hslash ⟨{\partial }_E\arg \det S_L{⟩}_{w,\eta }=\hslash ⟨\mathrm{tr}{Q}_L{⟩}_{w,\eta }=-\hslash 2\pi ⟨{\xi }^{\prime }(E){⟩}_{w,\eta }=\frac{L}{c},$$ 且在 Nyquist 带宽极限下所得 $c=\lim L/\mathsf{T}$ 与窗/核无关，并与 SI 数值一致。

证明：

假设（单模纯延迟链路）：取单通道 $S_L(E)=\exp (iEL/(\hslash c))$。窗 $w_R\in L^1(\mathbb{R})$、核 $\eta \in L^1(\mathbb{R})$ 满足归一规范 $$\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)dE=1,{\int }_{\mathbb{R}}\eta (E)dE=1.$$

引理 1（对数导数 = Wigner–Smith）：对可微酉矩阵（此处为标量）$S$，有 $${\partial }_E\arg \det S(E)=\mathrm{Im}{\partial }_E\log \det S(E)=\mathrm{Im}\mathrm{tr}(S^{†}(E){\partial }_{E}S(E))=-i\mathrm{tr}(S^{†}(E){\partial }_{E}S(E))=\mathrm{tr}Q(E),$$ 其中 $Q(E):=-i{S}^{†}(E){\partial }_{E}S(E)$。在标量 $S_L$ 下，$\mathrm{tr}{Q}_L(E)=-i{S}_L^{\ast }(E){\partial }_E{S}_L(E)=L/(\hslash c)$（常数）。

引理 2（Birman–Kreĭn）：若 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$，则 $$\mathrm{tr}Q(E)=-2\pi {\xi }^{\prime }(E).$$ 据此在 $S_L$ 下得 ${\xi }^{\prime }(E)=-\frac{1}{2\pi }\frac{L}{\hslash c}$。

主证明：定义窗化读数 $$\mathsf{T}[w_R,\eta ;L]=\hslash \frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)[\eta \star \mathrm{tr}{Q}_L](E)dE.$$ 因 $\mathrm{tr}{Q}_L\equiv L/(\hslash c)$ 为常数，卷积与积分交换并用两条归一，得 $$\mathsf{T}[w_R,\eta ;L]=\hslash \cdot \frac{1}{2\pi }\cdot \frac{L}{\hslash c}\int w_R(E)dE\cdot \int \eta (\nu )d\nu =\frac{L}{c}.$$ 再结合引理 1–2，于被积函数恒定之事实，立得 $$\mathsf{T}=\hslash ⟨{\partial }_E\arg \det S_L{⟩}_{w,\eta }=\hslash ⟨\mathrm{tr}{Q}_L{⟩}_{w,\eta }=-\hslash \cdot 2\pi ⟨{\xi }^{\prime }(E){⟩}_{w,\eta }=\frac{L}{c}.$$

误差闭合说明（NPE）：Nyquist/Poisson/Euler–Maclaurin 三项在“常数被积“情形下分别为 0：别名项为 0，Poisson 周期化项为 0，EM 余项因高阶导数为 0 而为 0。故极限与窗/核无关，且与 SI 数值一致。$\square$

5. 因果前沿与信息光锥

定理 5.1（因果前沿不超 $c$；等号条件） 线性且严格因果、时不变（静态介质）信道的最早非零响应时间满足 $$t_{\min }\ge \frac{D_{\mathrm{front}}}{c},D_{\mathrm{front}}=\{\begin{array}{ll}L,& \text{真空},\\ d_{\mathrm{front}}(x,y),& \text{介质/不均匀/有界域}.\end{array}$$ 且在3D真空自由空间纯传播时 $t_{\min }=L/c$；对一般介质/有界域，若满足前沿可检（§5），亦有 $t_{\min }=d_{\mathrm{front}}/c$；若与严格因果LTI滤波器串联，则 $t_{\min }\ge D_{\mathrm{front}}/c+t_h$（等号需前沿可检且无抵消）。

（LTV 备注）：对线性时变系统，仅以 $G_{\mathrm{ret}}(t,\tau )$ 的时域支撑表述前沿；本文不以静态 $d_{\mathrm{front}}$ 代表时变介质的前沿。

证明：设系统线性且严格因果、时不变（静态介质）。由因果性， $$G_{\mathrm{ret}}(t,\tau ;x,y)=0\text{当}t<\tau .$$ 令源信号 $x$ 支持于 $t\ge 0$，则 $$y(t)={\int }_{\mathbb{R}}{G}_{\mathrm{ret}}(t,\tau ;x,y)x(\tau )d\tau ,y(t)=0(t<0).$$

真空、均匀、无耗 3D 标量波动方程： $$G_{\mathrm{ret}}(t,r)=\frac{\delta (t-r/c)}{4\pi r},$$ 支撑仅在 $t=r/c$，故对链路长度 $L$ 有 $t_{\min }(L)=L/c$。Maxwell 情形由 dyadic 核对上式施以张量—微分算子（含 $\delta$ 及其导数），支撑同样仅在光锥上，结论不变。

一般介质/不均匀/有界域（以下确界口径）：在前沿假设（F）下，$n_{\infty }(\mathbf{x})$ 存在且有限，由高频几何光学的前沿传播界得 $${\mathrm{supp}}_t{G}_{\mathrm{ret}}^{\mathrm{med}}(t,\tau ;x,y)\subseteq [\tau +d_{\mathrm{front}}(x,y)/c,\infty ).$$ 因此当 $t<d_{\mathrm{front}}(x,y)/c$ 时响应为零。若满足前沿可检（§5），则在 $t=d_{\mathrm{front}}(x,y)/c$ 处存在分布型非零响应（前沿奇性 ${\sum }_k{K}_k{\delta }^{(k)}$ 或Dirac直通分量），从而 $$t_{\min }=\frac{d_{\mathrm{front}}(x,y)}{c};$$ 否则仅能断言 $$\boxed{t_{\min }\ge \frac{d_{\mathrm{front}}(x,y)}{c}},$$ 且通常严格大于。若与严格因果 LTI 滤波器串联且起始时延 $t_h>0$，则 $$t_{\min }\ge \frac{d_{\mathrm{front}}(x,y)}{c}+t_h,$$ 并且仅当满足前沿可检（§5）且前沿处无系统性抵消时，方可取等号。

因此在真空情形下，当 $t<L/c$ 时，对任意 $\tau \ge 0$，有 $t-\tau <L/c\Rightarrow G_{\mathrm{ret}}(t-\tau ,L)=0$，从而 $y(t)=0$。取单位能量短脉冲族 $x_{\eta }={\psi }_{\eta }$（${\psi }_{\eta }\to \delta$ 为近似恒等核），则 $$y_{\eta }(t)=(G_{\mathrm{ret}}\ast {\psi }_{\eta })(t)=\frac{{\psi }_{\eta }(t-L/c)}{4\pi L},$$ 从而 ${\lim }_{\eta \downarrow 0}{y}_{\eta }(t)=\delta (t-L/c)/(4\pi L)$，最早非零响应仍在 $t=L/c$。该论证与“可检读数“口径一致。

（LTI 情形）：在稳定 LTI 系统中，严格因果 $\Rightarrow$ 频响在上半平面解析；而“解析 $\Rightarrow$ 严格因果“仅在附加条件（如 $h_{\mathrm{sys}}\in L^1(\mathbb{R})$、$H(\omega )$ 多项式增长受控且上半平面无极点等）下成立。在纯延迟链路 $G(t)=\delta (t-L/c)$ 或串联严格因果滤波器且具有Dirac直通分量（即脉冲响应含 $\delta (t)$ 分量）时，最小支撑端点为 $L/c$。对一般 LTI 系统（脉冲响应 $h_{\mathrm{sys}}(t)$），最早非零响应时间由其支撑给出 $$t_{\min }=\inf \{t:h_{\mathrm{sys}}(t)\ne 0\},t_{\min }=L/c+t_h(\text{若与纯延迟串联}).$$ 其中 $t_h:=\inf \{t:h_{\mathrm{sys}}(t)\ne 0\}$ 为系统起始时延。

（LTV 情形）：上述频域等价一般不成立，应直接以 $G_{\mathrm{ret}}(t,\tau )$ 的支撑性质陈述和证明前沿。$\square$

定理 5.2（信息光锥；上界与等号条件） 在真空或静态介质（LTI）下，门限互信息的首次可检时间 $T_{\delta }$ 满足 $$c_{\mathrm{info}}:=\underset{\delta \downarrow 0}{\lim }\sup \frac{D}{T_{\delta }}\le c,$$ 其中 $D$ 为所用归一化的前沿光程。且当且仅当满足前沿可检时取等 $c_{\mathrm{info}}=c$。

(i) 链路归一化（$t_h=0$）：$D=D_{\mathrm{front}}$；若满足前沿可检（定义同 A5），则 $c_{\mathrm{info}}=c$。

(ii) 系统归一化（串联严格因果 LTI，$t_h>0$）：$D=D_{\mathrm{sys}}:=D_{\mathrm{front}}+c{t}_h$；若满足前沿可检，则 $c_{\mathrm{info}}=c$。

（LTV 补充）：对线性时变系统，仅断言 $T_{\delta }\ge t_{\min }$。

证明：设输入过程 $X$ 支持于 $t\ge 0$，噪声 $N$ 与 $X$ 独立，接收端观测 $$Y_t:=\{Y(s):0\le s\le t\},Y(t)={\int }_{\mathbb{R}}{G}_{\mathrm{ret}}(t,\tau ;x,y)X(\tau )d\tau +N(t).$$ 注：真空/线性时不变（LTI）情形下 $G_{\mathrm{ret}}(t,\tau ;x,y)=G_{\mathrm{ret}}(t-\tau ;|x-y|)$，可写为 $Y=G_{\mathrm{ret}}\ast X+N$。

(1) 零互信息（前沿之前）：对情形 (i)，若在真空 $t<L/c$（或在介质/不均匀/有界域 $t<d_{\mathrm{front}}(x,y)/c$），则 $Y(s)=N(s)$，故 $I(X;Y_t)=0$。对情形 (ii)，前沿改为 $D_{\mathrm{sys}}/c$。

(2) 前沿之后（情形 i 的完整证明；情形 ii 仅需替换 $D_{\mathrm{front}}\to D_{\mathrm{sys}}$）：

若满足前沿可检（情形 i）或系统含串联滤波（情形 ii），则对任意小 $\epsilon >0$，令 $$t_{\epsilon }:=\frac{D_{\mathrm{front}}}{c}+\epsilon \text{（情形 i）},t_{\epsilon }:=\frac{D_{\mathrm{sys}}}{c}+\epsilon \text{（情形 ii）},$$ 取标量试探 $X_{\alpha }(\tau )=\alpha \psi (\tau )$（$\psi$ 为单位能量的短时脉冲），有 $$Z_{\epsilon }:={\int }_0^{t_{\epsilon }}{G}_{\mathrm{ret}}(t_{\epsilon },\tau ;x,y)\psi (\tau )d\tau \ne 0.$$ 真空情形（情形 i）：取连续且 $\psi (0)\ne 0$ 的单位能量短脉冲，则 $Z_{\epsilon }=\psi (\epsilon )/(4\pi L)\ne 0$。介质情形（情形 i）：若存在前沿奇性（§0，${\sum }_{k=0}^m{K}_k{\delta }^{(k)}$ 中某 $K_k\ne 0$），则与真空同理可取 $t_{\epsilon }=\frac{D_{\mathrm{front}}}{c}+\epsilon$ 直接得 $Z_{\epsilon }\ne 0$。否则按 §1(A5)/§5 的前沿可检（短脉冲极限）定义，存在 $t_n\downarrow \frac{D_{\mathrm{front}}}{c}$ 与单位能量短脉冲 $\psi$ 使 $$Z(t_n):={\int }_0^{t_n}{G}_{\mathrm{ret}}(t_n,\tau ;x,y)\psi (\tau )d\tau \ne 0.$$ 故对任意 $\epsilon >0$，可取 $n$ 使 $t_n\le \frac{D_{\mathrm{front}}}{c}+\epsilon$，从而 $T_{\delta }\le t_n\le \frac{D_{\mathrm{front}}}{c}+\epsilon$（情形 (ii) 仅以 $D_{\mathrm{front}}\to D_{\mathrm{sys}}$ 代换）。串联滤波情形（情形 ii）：系统响应在 $t\ge D_{\mathrm{sys}}/c$ 可检。

引入等概符号 $S\in \{\pm 1\}$，设 $X_S(\tau ):=S\alpha \psi (\tau )$，则 $Y(t_{\epsilon })=S\alpha Z_{\epsilon }+N(t_{\epsilon })$。令 $N(t_{\epsilon })\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }^2)$，记 $X:=S\alpha$，取 $\mathrm{SNR}:={\alpha }^2|Z_{\epsilon }{|}^2/{\sigma }^2$。由 I–MMSE 小 SNR 斜率得 $$I(X;Y(t_{\epsilon }))=\frac{1}{2}\mathrm{SNR}+o(\mathrm{SNR})=\frac{{\alpha }^2|Z_{\epsilon }{|}^2}{2{\sigma }^2}+o({\alpha }^2).$$ 因 $Y(t_{\epsilon })$ 为 $Y_{[0,t_{\epsilon }]}$ 的可测函数，故 $I(X;Y_{[0,t_{\epsilon }]})\ge I(X;Y(t_{\epsilon }))$。给定任意小 $\delta >0$，取 $$\alpha =\alpha (\delta ):=\frac{\sqrt{2{\sigma }^2\delta }}{|Z_{\epsilon }|},$$ 使得 $\mathrm{SNR}={\alpha }^2|Z_{\epsilon }{|}^2/{\sigma }^2=2\delta$（仍处于小 SNR 区间），于是 $$I(X;Y_{[0,t_{\epsilon }]})\ge I(X;Y(t_{\epsilon }))\ge \delta .$$ 因而 $T_{\delta }\le t_{\epsilon }$。并且当 $\delta \downarrow 0$ 时有 $\alpha (\delta )\downarrow 0$，与“小信号极限“假设一致。因此 $\forall \epsilon >0,\exists \delta (\epsilon )\downarrow 0:T_{\delta }\le t_{\epsilon }$，由是情形 (i) 给出 $c_{\mathrm{info}}=c$，情形 (ii) 同样给出 $c_{\mathrm{info}}=c$。

$\square$

注：情形 (ii) 的证明与情形 (i) 完全相同，仅需把 $D_{\mathrm{front}}$ 替换为 $D_{\mathrm{sys}}=D_{\mathrm{front}}+c{t}_h$，从而消除 §5.1 中 $t_{\min }\ge D_{\mathrm{front}}/c+t_h$ 与信息光锥速度的矛盾。

6. 相位密度几何与迹公式

命题 6.1 在 de Branges 空间 $\mathcal{H}(\mathcal{E})$ 上，几乎处处 $K(x,x)=\frac{1}{\pi }{\phi }^{\prime }(x)|\mathcal{E}(x){|}^2$。因此相位密度 $\rho (x):={\phi }^{\prime }(x)/\pi$ 给出自然测度。令再生核正交投影 $\Pi$，并取 $T_{w_{\phi }}:=M_{\sqrt{w_{\phi }}}\Pi M_{\sqrt{w_{\phi }}}$。若 $w_{\phi }\ge 0$ 且 $w_{\phi }\in L^1\cap L^{\infty }(d{\mu }_{\phi })$（或以 $w_{\phi }^{(n)}\uparrow w_{\phi }$ 之单调截断极限理解），则 $T_{w_{\phi }}$ 为迹类，并且 $$\mathrm{Tr}(T_{w_{\phi }})={\int }_{\mathbb{R}}{w}_{\phi }(E)\rho (E)dE,\rho (E)=\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }.$$ 这里的积分变量 $E$ 与 §2 的能量变量一致。该恒等式为“相位—密度—延迟“在 RKHS 的实现。

证明：设 $\mathcal{E}$ 为 Hermite–Biehler 函数，${\mathcal{E}}^{\#}(z):=\overline{\mathcal{E}(\overline{z})}$。de Branges 空间 $\mathcal{H}(\mathcal{E})$ 的再生核为 $$K(z,w)=\frac{\overline{\mathcal{E}(w)}\mathcal{E}(z)-\overline{{\mathcal{E}}^{\#}(w)}{\mathcal{E}}^{\#}(z)}{2\pi i(\overline{w}-z)}.$$ 取 $w=z=x\in \mathbb{R}$，用洛必达法则并记 $\mathcal{E}(x)=|\mathcal{E}(x)|e^{-i\phi (x)}$ 得 $$K(x,x)=\frac{1}{2\pi i}(\overline{\mathcal{E}(x)}{\mathcal{E}}^{\prime }(x)-\overline{{\mathcal{E}}^{\prime }(x)}\mathcal{E}(x))=\frac{1}{\pi }{\phi }^{\prime }(x)|\mathcal{E}(x){|}^2.$$ 于是对角密度 $\rho (x):={\phi }^{\prime }(x)/\pi$ 自然诱导测度 ${\mu }_{\phi }=\rho (x)dx$，并由再生性质给出窗口迹公式。$\square$

7. 采样/插值/帧：密度阈值与障碍

• Landau 必要密度（Paley–Wiener 特例）：采样/插值序必须满足端密度阈值。(Project Euclid)
• Wexler–Raz 双正交关系：刻画 Gabor 框架的对偶窗—格参数关系及其推广。(sites.math.duke.edu)
• Balian–Low 障碍：临界密度下单窗无法同时时—频紧局域；可作框架/多窗规避。(Scispace)

8. NPE 误差账本（非渐近上界）

误差分解与尾项定义：约定时间读数的非理想项分解为 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}$（别名/欠采样）、${\epsilon }_{\mathrm{EM}}$（Euler–Maclaurin 有限阶余项）与 ${\epsilon }_{\mathrm{tail}}$（窗/核的有限支持或非紧支撑尾项）。取 $R>0$ 使 $w_R$ 的主要支撑包含于 $[-R,R]$。定义 $${\epsilon }_{\mathrm{tail}}:=\hslash \frac{1}{2\pi }{\int }_{|E|>R}{w}_R(E)[\eta \star \mathrm{tr}Q](E)dE.$$ 若 ${\int }_{|E|>R}|w_R(E)|dE\le ϵ$、$\eta \in L^1$，并且记 ${\Omega }_E:=\mathrm{supp}(w_R)\oplus \mathrm{supp}(\eta )$，且 $\mathrm{tr}Q\in L^{\infty }({\Omega }_E)$，则 $$|{\epsilon }_{\mathrm{tail}}|\le \frac{\hslash }{2\pi }ϵ\Vert \eta {\Vert }_{L^1}\underset{E\in {\Omega }_E}{\mathrm{esssup}}|\mathrm{tr}Q(E)|.$$ 在真空纯延迟链路中，因 $\mathrm{tr}{Q}_L\equiv L/(\hslash c)$ 为常数，别名项与 Euler–Maclaurin 余项为 0；而尾项 ${\epsilon }_{\mathrm{tail}}$ 仅在 $w_R$ 紧支撑且 $R$ 覆盖其支撑（或取极限 $R\to \infty$ / 选取 ${\int }_{|E|>R}|w_R|=0$）时为 0；对一般窗口仅能用上界将其做任意小。因此在全频积分下仍有 $\mathsf{T}=L/c$，与 §4 的精确等式一致。

• Nyquist（别名）：若 $\hat{f}$ 带限于 $(-\pi /\Delta E,\pi /\Delta E)$，则别名为 0；否则可用频谱抽样上界量化。(webusers.imj-prg.fr)
• Poisson 求和：把离散采样与周期化严格联结，用于评估别名项。(dlmf.nist.gov)
• Euler–Maclaurin（有限阶）：余项满足 $$|R_{2m}|\le \frac{2\zeta (2m)}{(2\pi {)}^{2m}}\int |f^{(2m)}(x)|dx,m\ge 1,$$ 给出端点/尾项的可检上界。(dlmf.nist.gov)

（真空纯延迟校准链路）：综上，时间读数满足 $$\mathsf{T}=\frac{L}{c}+{\epsilon }_{\mathrm{alias}}+{\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}},$$ 三误差在规程内可控并收敛。

9. 离散时空与 CHL 光锥

设格点间距为 $a$、离散时间步长为 $\Delta t$。半径 $r$ 的 RCA 在 $t$ 步的影响域为 $\pm rt$，等效“离散光锥“，其离散“光速“定义为 $$c_{\mathrm{disc}}=\frac{ra}{\Delta t}.$$ Curtis–Hedlund–Lyndon 定理刻画了“连续且与移位可换 $\iff$ 滑动块码“，并保证可逆性时逆演化亦为 CA，从而实现可逆因果传播。(SpringerLink)

10. 与相对论/场论的相容性

• 洛伦兹协变：$G_{\mathrm{ret}}$ 的光锥支撑等价于 Minkowski 光锥。(维基百科)
• 微因果/无超信号性：快/慢光体系中“信息速度 $\le c$“与量子场的类空对易一致。(PubMed)
• 介质几何：Gordon 光学度量把折射/流速吸收入度量，因而在前沿光学度量中按定义始终有“前沿 $=c$“。实验坐标下仅能保证 $t_{\min }\ge d_{\mathrm{front}}/c$；且仅当满足前沿可检（§5）（含 $\delta /{\delta }^{(k)}$ 前沿或Dirac直通，或短脉冲极限可检）时，方可恢复“前沿 $=c$”。若并且 $n_{\infty }\equiv 1$，则 $d_{\mathrm{front}}=|A-B|$（此时是否取等仍取决于前述条件）。(arXiv)

11. 结论性定义（汇总）

• 时间：在给定窗—核与读数协议下，时间是窗口化群延迟坐标，即 $t\equiv \hslash \int \frac{w_R}{2\pi }[\eta \star \mathrm{tr}Q]dE$。
• 空间：通过等时往返读数选定的同时切片 ${\Sigma }_t$ 及其三维度量。真空中由雷达距定义；介质情形以前沿光学度量诱导的 3D 费马度量 $d{s}_{\mathrm{front}}=n_{\infty }(\mathbf{x})|\mathrm{d}x|$ 的测地光程极小值定义 $d_{\mathrm{front}}$（高频极限 $n_{\infty }={\lim }_{\omega \to \infty }n(\mathbf{x},\omega )$ 决定），最早可达时间满足 $t_{\min }\ge d_{\mathrm{front}}/c$；仅当满足前沿可检（§5）时，方有 $t_{\min }=d_{\mathrm{front}}/c$。在前沿光学度量下波前速度按定义为 $c$；实验坐标下：若 $n_{\infty }\equiv 1$，则 $d_{\mathrm{front}}=|A-B|$ 且无条件仅得 $t_{\min }\ge |A-B|/c$；仅在满足前沿可检（§5）（或外接严格因果 LTI 滤波器使 $t_h>0$ 时改以 $D_{\mathrm{sys}}$ 计）下，方可恢复“前沿速度 $=c$“的结论。
• 时空：四元组 $(\mathcal{E},⪯,g,{\mu }_{\phi })$，其中 $⪯$ 来自 $G_{\mathrm{ret}}$ 光锥支撑，$g$ 为（光学）洛伦兹度量，${\mu }_{\phi }=({\phi }^{\prime }/\pi )dx$ 为相位密度刻度；在 NPE 账本下可检、可校准，并与 SI 互逆实现。

12. 实施规程（简述）

1. 选几何已知的真空链路 $L$；2) 宽带激励，测得 $\hat{\tau }=\mathsf{T}[w_R,\eta ;L]$；3) 检验 Nyquist（带限/反混叠）、估计 Poisson/EM 余项；4) 取 $\hat{c}=L/\hat{\tau }$，与频率链/干涉计长度链交叉校准闭环。(webusers.imj-prg.fr)

13. 证明脉络与外部索引

• ${\partial }_E\arg \det S=\mathrm{tr}Q$ 与 BK 恒等式：(arXiv)
• KK—因果等价（稳定 LTI 限定）与前沿光锥：(物理评论链接管理器)
• 信息光锥与门限互信息：(PubMed)
• NPE 三分解的非渐近上界：(webusers.imj-prg.fr)
• de Branges 核对角与相位密度：标准 de Branges 空间理论
• Weyl–Heisenberg/Stone–von Neumann：(PagePlace)
• CHL 定理与离散光锥：(SpringerLink)

参考文献（书目信息，按主题）

散射与群延迟：F. T. Smith, “Lifetime Matrix in Collision Theory,” Phys. Rev. 118 (1960) 349–356；A. Pushnitski, “The Birman–Krein formula…” (2010, arXiv:1006.0639)；M. S. Birman & D. R. Yafaev, “The spectral shift function…” Alg. Anal. 4 (1992) 1–20.

因果—色散—前沿：J. S. Toll, “Causality and the Dispersion Relation,” Phys. Rev. 104 (1956) 1760–1770；L. Brillouin, Wave Propagation and Group Velocity, Academic Press (1960)。

光学度量：W. Gordon, “Zur Lichtfortpflanzung nach der Relativitätstheorie,” Ann. Phys. 377 (1923) 421–456；U. Leonhardt & T. G. Philbin, “General Relativity in Electrical Engineering” (2006)。

信息速度：M. D. Stenner, D. J. Gauthier, M. A. Neifeld, “The speed of information in a ‘fast-light’ optical medium,” Nature 425 (2003) 695–698；A. H. Dorrah, M. Mojahedi, Phys. Rev. A 90 (2014) 033822。

采样—Poisson—EM：C. E. Shannon, “Communication in the Presence of Noise,” Proc. IRE 37 (1949)；H. Nyquist, “Certain Topics in Telegraph Transmission Theory,” (1928)；NIST DLMF §1.8（Poisson）、§2.10（Euler–Maclaurin）。

de Branges 空间：L. de Branges, Hilbert Spaces of Entire Functions, 1968；J. Antezana, J. Marzo, J.-F. Olsen, “Zeros of random functions generated with de Branges kernels,” IMRN (2017)。

Gabor/帧/密度：H. J. Landau, “Necessary density conditions…,” Acta Math. 117 (1967) 37–52；I. Daubechies 等, “Gabor Time-Frequency Lattices and the Wexler–Raz Identity,” JFAA 1 (1995)；C. Heil, A Basis Theory Primer, Birkhäuser (2011)。

Weyl–Heisenberg 与唯一性：G. B. Folland, Harmonic Analysis in Phase Space, Princeton (1989)。

RCA 与 CHL：G. A. Hedlund, “Endomorphisms and automorphisms of the shift dynamical system,” Math. Systems Theory 3 (1969) 320–375。

结语（定理）

定理（统一刻度定理）：以窗口化群延迟的 Nyquist 极限定义的 $c$ 在真空链路上唯一确定，且与

(A) 相位斜率/谱移密度、(B) 因果前沿（KK & 光锥）、(C) 信息光锥（门限互信息）、(D) SI 实现

两两等价。因此：时间即窗化群延迟坐标；空间即等时往返切片及其度量；时空即因果序 +（光学）度量 + 相位密度测度的可测结构。上述等价与可检性由 §4–§8 之证明与文献支撑。

证明：设真空链路 $L$。由定理 4.1，窗化群延迟读数给出 $\mathsf{T}=L/c$。由定理 5.1，最早非零响应时间 $t_{\min }(L)=L/c$，故“相位斜率/群延迟“与“因果前沿“一致。由定理 5.2，真空链路因 $G_{\mathrm{ret}}(t,r)=\delta (t-r/c)/(4\pi r)$ 含前沿奇性（$\delta$ 分布）而满足前沿可检条件，故门限互信息的首次可检时间 $T_{\delta }(L)\to L/c$（$\delta \downarrow 0$），于是“信息光锥“与前沿一致。SI 中 $c$ 为固定常数，长度—时间互逆实现（§2、§12 的往返/雷达规程）即给出 $\hat{c}=L/\hat{\tau }$ 与频率链/干涉计长度链的闭环一致性。因此四者（A）相位斜率/谱移密度，（B）因果前沿，（C）信息光锥，（D）SI 实现，两两等价。$\square$