WSIG–EBOC–RCA 统一理论

以“窗—群延迟比不变量“为母尺对光速常数作几何化重述

Version: 1.4

关键词：Wigner–Smith 群延迟；Birman–Kreĭn 谱移；de Branges–Kreĭn 规范系统；窗化迹与 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（NPE）三分解误差；帧/采样密度；信息几何（I-投影）；可逆元胞自动机

摘要

在窗化散射与信息几何（WSIG）、静态块宇宙（EBOC）与可逆元胞自动机（RCA）的统一框架中，定义对任意观测三元 $(\mathcal{H},w,S)$ 的窗—群延迟比

$$\chi (\mathcal{H},w,S):=\frac{\Delta [w]}{⟨{\tau }_g{⟩}_w},$$

其中 $\Delta [w]$ 是窗 $w$ 的有效跨度，$⟨{\tau }_g{⟩}_w$ 为以 $w$ 加权的 Wigner–Smith 群延迟平均。在假设 A（§1）下，证明在所有可逆观测变换（信息不损的坐标/尺度重标、酉性预滤、帧/采样重排以及可逆格点更新）下，$\chi$ 为不变量，其公共值记为 $c$。在时空几何解释中，取 $\Delta [w]$ 为有效空间长度、$⟨{\tau }_g{⟩}_w$ 为时间延迟，则 $c$ 等价于可达信号锥的最大斜率，与光速常数同构。该构造锚定于以下公认链式等式与判据：相位导数—谱移密度—群延迟之统一（绝对连续谱 a.e.），Birman–Kreĭn 恒等式与 Wigner–Smith 矩阵 $\mathsf{Q}=-i\hslash S^{†}{\partial }_{E}S$ 的迹表征；窗化读数的 NPE 非渐近误差学；Gabor/非平稳 Gabor 帧的 Wexler–Raz 条件、Landau 密度门槛与 Balian–Low 障碍；以及 I-投影与 Ky–Fan 极小化的“读码—提交“一致性。奇性/阈值处以 de Branges–Kreĭn 与 Rouché-型稳定判据控制零极结构，保证 $\chi$ 的可检稳定性。进一步证明：RCA 的“前沿斜率“细化极限 $c_{\mathrm{RCA}}$ 与连续散射侧常数 $c$ 一致，并给出多窗—多通道的可复现实验规程（含采样率、窗阶与置信区间构造）。

0. 记号、规范与公理

0.1 基本记号与已知链

能量变量 $E\in \mathbb{R}$。散射矩阵 $S(E)\in U(N)$（a.e. 可微）。Wigner–Smith 延迟矩阵

$$\mathsf{Q}(E):=-i\hslash S(E{)}^{†}\frac{dS}{dE}(E).$$

在绝对连续谱的 Lebesgue 点 a.e. 成立

$$\frac{1}{2\pi \hslash }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{\pi }{\phi }^{\prime }(E)=-{\xi }^{\prime }(E)\text{(a.e.)},$$

其中 $\xi$ 为谱移函数（Birman–Kreĭn $\det S(E)=\exp (-2\pi i\xi (E))$ 之导数形式），${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 为相对态密度，$\phi (E):=\frac{1}{2}\mathrm{Arg}\det S(E)$。见 Wigner–Smith 与其矩阵形式、BK 恒等式及其现代表述与综述。(chaosbook.org)

窗化读数与误差学采用 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（NPE）三分解：离散化的混叠（Poisson）、端点伯努利层（有限阶 Euler–Maclaurin）与窗外尾项（衰减/带限给界）。相关公式与统一误差界见 DLMF（Poisson 与 EM）及统一误差估计文献。(dlmf.nist.gov)

0.2 观测三元与可逆观测变换群

观测三元 $(\mathcal{H},w,S)$：$\mathcal{H}$ 为载体，$w$ 为偶窗（严格带限 Paley–Wiener 或指数衰减）并允许缩放 $w_R(x)=w(x/R)$，$S(E)$ 为（多通道）散射矩阵。可逆观测变换群 $\mathcal{G}$ 由下列信息不损操作生成：

1. 坐标同胚与尺度/速率重标；
2. 带限子空间上的酉性预滤（功能演算）；
3. 帧/采样重排（紧帧/Parseval 与对偶窗，Wexler–Raz 条件）；
4. 离散格点的可逆局域更新（RCA），其频率侧与连续窗/帧由非平稳 Gabor 框架桥接。(sites.math.duke.edu)

0.3 窗的有效跨度与群延迟平均

有效跨度 $\Delta [w]$：取与实验几何协变的半径/二次型（如时间半径 ${\Delta }_t$、空间半径 ${\Delta }_x$），要求在缩放/平移/酉性预滤下齐次。

群延迟平均

$$\boxed{⟨{\tau }_g{⟩}_w:=\frac{\int (\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E))K_w(E)dE}{\int K_w(E)dE}=\hslash \frac{\int {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)K_w(E)dE}{\int K_w(E)dE}}.$$

其中 $K_w$ 为窗诱导的能量核；由上式的 a.e. 等价，亦可用 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$、${\phi }^{\prime }(E)/\pi$ 或 $-{\xi }^{\prime }(E)$ 替换被积函数。(epub.uni-regensburg.de)

1. 主定义与不变量定理

定义 1.1（窗—群延迟比与母尺）

$$\boxed{\chi (\mathcal{H},w,S):=\frac{\Delta [w]}{⟨{\tau }_g{⟩}_w}}.$$

若对所有 $T\in \mathcal{G}$ 与允许窗族 $w$ 有 $\chi (\mathcal{H},w,S)=\chi (T(\mathcal{H},w,S))=:c$，称 $c$ 为窗—群延迟比不变量（母尺）。

命题 1.2（$\chi$ 的 $\mathcal{G}$-不变性；在假设 A 下）

假设 A（协变与可测性）：满足下列条件：

(i) 在单位/坐标缩放与能量再参数化（不含洛伦兹 boost）下，$\Delta [w]$ 与 $⟨{\tau }_g{⟩}_w$ 的维度同次协变；若涉及洛伦兹变换，参见 §3 的锥界上界表述；

(ii) 带限偶子空间上的酉性预滤保持窗支撑与能量；

(iii) 帧/采样重排在 Parseval 归一后不改变量纲与读数；

(iv) RCA 细化极限与非平稳 Gabor 框架保证离散前沿斜率与连续侧读数一致。

结论：在假设 A 下，$\chi$ 在 $\mathcal{G}$ 下不变。

要点说明：

(i) 单位/坐标协变（非 boost）：在单位缩放与能量再参数化下，$\Delta [w]$ 与 $⟨{\tau }_g{⟩}_w$ 同次变换，故比值不变；洛伦兹协变性不依赖逐项齐次，而是通过 §3 定义的最大斜率 $c:={\sup }_w\Delta [w]/⟨{\tau }_g{⟩}_w$ 得到；

(ii) 预滤/功能演算：带限偶子空间上酉性预滤不改变 $\hat{w}$ 的支撑与能量；窗化迹读数与 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 的卷积在 NPE 纪律下只产生统一误差阶（伯努利层与尾项），不影响极限比值；(dlmf.nist.gov)

(iii) 帧/采样重排：Wexler–Raz 条件与帧算子刻画保证 Parseval 常数归一后窗化读数不变，$\Delta [w]$ 的度量在等距群下保持，故 $\chi$ 不变；(sites.math.duke.edu)

(iv) RCA 可逆更新：细化极限下，非平稳 Gabor 对角化与 Walnut/Calderón 和确保离散前沿斜率的能量—时间刻度与连续 $⟨{\tau }_g{⟩}_w$ 对齐，极限比值与 $c$ 一致。(worldscientific.com)

2. 相位—密度—延迟链与窗化读数

2.1 相位导数 = 谱移密度 = 群延迟（WS–BK 链）

由 $S$ 的行列式相位与 Wigner–Smith 矩阵定义，

$$\boxed{\frac{1}{2\pi \hslash }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{\pi }{\phi }^{\prime }(E)=-{\xi }^{\prime }(E)\text{(a.e.)}}.$$

第一等号用 $S^{-1}=S^{†}$ 与 ${\partial }_E\log \det S=\mathrm{tr}(S^{-1}{\partial }_{E}S)$ 得到；BK 公式给出 $\det S=\exp (-2\pi i\xi )$（此处采用 BK 号记；若改用 $\det S=\exp (+2\pi i\xi )$，则右端号改为正），Friedel–Kreĭn 关系与 Wigner–Smith 统一了相位导数、谱密度与时间延迟的刻度。(chaosbook.org)

2.2 窗化迹与 NPE 三分解误差

离散实现的总误差分解为

$$\text{error}=\underset{\text{Poisson}}{\underbrace{\text{alias}}}+\underset{\text{有限阶 EM}}{\underbrace{\text{Bernoulli layer}}}+\underset{\text{窗外截断}}{\underbrace{\text{tail}}},$$

严格带限与 Nyquist 步长可令 $\text{alias}=0$；伯努利层由端点导数确定，有限阶即可闭合；尾项由窗衰减给出可积上界。该纪律支撑 $⟨{\tau }_g{⟩}_w$ 的可重复读数与 $\chi$ 的非渐近稳定估计。(dlmf.nist.gov)

3. 光速的几何化：$c$ 作为最大斜率

在时空几何解释中，取 $\Delta [w]$ 为有效空间长度、$⟨{\tau }_g{⟩}_w$ 为时间延迟，则 $\chi =\Delta [w]/⟨{\tau }_g{⟩}_w$ 具速度维度。在本稿的可逆观测变换 $\mathcal{G}$（单位/坐标重标、酉性预滤、帧/采样重排、RCA 细化）下，$\chi$ 不变。狭义相对论情形下，定义

$$c:=\underset{w}{\sup }\frac{\Delta [w]}{⟨{\tau }_g{⟩}_w},$$

将其解释为可达信号锥的最大斜率；该上界为洛伦兹不变量，因而与光速常数同构。该陈述依赖 §2 的刻度统一与多通道迹式表述。对于非酉/开放系统，可引入复时间延迟，并以 ${\partial }_E\Im \log \det S$ 等广义刻度替代；此时不再有 $\frac{1}{2\pi \hslash }\mathrm{tr}\mathsf{Q}={\rho }_{\mathrm{rel}}$ 的严格等式（该等式仅在 $S$ 酉时成立）。（参见引文 link.aps.org）

4. 离散—连续桥接与 RCA 前沿斜率

以非平稳 Weyl–Heisenberg（Gabor）框架对角化分块系统，利用 Walnut 型表示与“painless“构造控制能量守恒与稳定性；在 tight/dual 与帧界夹逼下，细化网格得到

$$\underset{\text{细化}}{\lim }\frac{{\Delta }_{\mathrm{lattice}}}{{\tau }_{\mathrm{steps}}}=c_{\mathrm{RCA}}=c.$$

非平稳 Gabor 与“painless“展开给出显式构造与稳定半径，实现离散—连续的量化一致。(worldscientific.com)

5. 误差学与窗/核的最优设计

将窗/核设计表述为带限偶子空间上的凸变分问题：在固定 $(\Delta ,M,T)$（跨度、EM 阶、采样总时长）下，最小化 $⟨{\tau }_g{⟩}_w$ 估计的方差并约束 NPE 误差上界。强凸情形唯一解，弱稀疏情形由 Bregman–KL 正则得到 Γ-极限收敛。多窗的帕累托前沿可由广义双正交 $(G{G}^{†})$ 重构给出，并在 Parseval 框架下实现稳健冗余。Nyquist 率由被采样 integrand 的“和宽“确定；严格带限时 $\text{alias}=0$。(people.maths.ox.ac.uk)

6. 阈值/共振/奇性稳定与迹—Weyl 型定律

在 de Branges–Kreĭn 规范系统下，以谱函数与 Hermite–Biehler 结构控制零极分布；Rouché-型半径保证窗化与有限阶换序不引入新奇性且极阶不升。时间—频率局部化（Toeplitz/Anti-Wick）算子的迹与积性公式提供“符号积分 = 迹“的 Weyl 型弱极限，从而给出 $⟨{\tau }_g{⟩}_w$ 的稳定读数。(math.purdue.edu)

7. 采样密度门槛与 Balian–Low 障碍

以 ${\phi }^{\prime }(E)$ 诱导的相位密度为刻度，Landau 型必要密度成立；在 one-component/doubling-phase 条件下亦得充分性。单窗+矩形格在临界密度处受 Balian–Low 限制，实验实现需采用多窗/非均匀或超临界密度策略。(archive.ymsc.tsinghua.edu.cn)

8. EBOC 语义：读码—提交的一致性（Born = I-投影；指针基 = 光谱极小）

在信息几何中，I-投影（最小化 $D_{\mathrm{KL}}$）在给定约束族上产生最“保真“的更新；当约束与装置字典（窗/帧）对齐，温度极限由软到硬，得到与 Born 规则的等价提交机制。统计灵敏度由 KL–Pinsker 不等式控制，直接给出估计带宽与置信区间。指针基的选择可表述为 Ky–Fan 部分和极小（前 $k$ 个特征值/奇异值之和极小），与稳定读数的“光谱最简“一致。([projecteuclid.org][10])

9. 多通道统一与号记

对 $N$ 通道取标量

$${\rho }_{\Sigma }(E):=\mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)(E)=\frac{1}{2\pi \hslash }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E).$$

在采用 $\det S(E)=\exp (-2\pi i\xi (E))$ 的号记下，有 ${\rho }_{\Sigma }(E)=-{\xi }^{\prime }(E)$；若改用 $\det S(E)=\exp (+2\pi i\xi (E))$，则号改为正，不影响本文比值结构。([arXiv][11])

10. 可检验陈述与复现规程

(A) 窗无关性（跨窗族）：选两族窗（带限与指数），若干尺度 $R$；在统一 NPE 校正后，$\Delta [w]/⟨{\tau }_g{⟩}_w$ 收敛至同一 $c$，输出非渐近置信区间（KL–Pinsker）。(dlmf.nist.gov)

(B) 变换协变性（跨 $\mathcal{G}$）：坐标重标、预滤与帧/采样重排后重复读数，$\chi$ 在误差带内不变；多通道取迹后同样成立。(sites.math.duke.edu)

(C) 离散—连续桥接：RCA 的最短更新锥斜率随细化与非平稳帧对角化收敛至 $c$；在 tight/dual 与帧界夹下给出数值稳定性与容差预算。(worldscientific.com)

(D) 统计闭环：提交 = I-投影；构造 ${\hat{c}}_i=\Delta [w^{(i)}]/⟨{\tau }_g{⟩}_{w^{(i)}}$ 并以 KL–Pinsker 合并，产出置信带与最优多窗 Pareto 选择。([arXiv][12])

11. 讨论与边界

1. 单位与维度：若 $\Delta [w]$ 取空间尺度、$⟨{\tau }_g{⟩}_w$ 取时间延迟，则 $\chi$ 具速度维度；若二者处于对数/Mellin 刻度的无量纲表述，则需由几何字典回译为速度上界。
2. 非酉/开放系统：可用复时间延迟与 ${\partial }_E\Im \log \det S$ 等广义刻度替代，$\chi$ 的比值结构可延续；但等式 $\frac{1}{2\pi \hslash }\mathrm{tr}\mathsf{Q}={\rho }_{\mathrm{rel}}$ 仅在酉散射时成立，非酉情形不再与 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 严格等同（参见 link.aps.org）。
3. 阈值/共振：de Branges–Kreĭn 与 Rouché-型稳定保证窗化与有限阶换序不增奇性；剔除有限邻域后，$\chi$ 的一致极限与置信区间仍可构造。([arXiv][13])
4. 临界密度障碍：单窗矩形格在临界密度受 Balian–Low 限制，推荐多窗/非均匀或超临界密度的实验方案。([heil.math.gatech.edu][14])

12. 结论

以窗—群延迟比 $\chi =\Delta /⟨{\tau }_g⟩$ 的群不变性为核心，建立“光速常数“作为几何不变量的重述。该母尺 $c$ 在量子/经典、连续/离散、多通道/单通道与读码/提交等层面一致，并在有限资源的现实读数中由 NPE 非渐近误差学与帧/采样纪律保障。核心刻度链 $\frac{1}{2\pi \hslash }\mathrm{tr}\mathsf{Q}={\rho }_{\mathrm{rel}}=\frac{1}{\pi }{\phi }^{\prime }(E)=-{\xi }^{\prime }(E)$ 与 BK、WS、Wexler–Raz、Landau、Balian–Low 等判据共同构成可检、可复现的理论—实验闭环。

参考文献（选）

1. Wigner E. P., Phys. Rev. 98 (1955): 相位导数与因果性下界；Smith F. T., Phys. Rev. 118 (1960): 寿命/时间延迟矩阵 $\mathsf{Q}=-i\hslash S^{†}{\partial }_{E}S$。([chaosbook.org][15])
2. Birman–Kreĭn 公式与谱移：Pushnitski A., An integer-valued version of the Birman–Krein formula, 2010；Yafaev D., Perturbation determinants, the spectral shift function…, 2007。([arXiv][11])
3. 相位—密度—延迟统一与 DoS 关系：Texier C., Scattering on graphs (II): Friedel sum rule, 2001；NJPhys (2014) 统一述评。([arXiv][16])
4. NPE：DLMF §1.8（Poisson）、§2（EM）与 Trefethen–Javed (2015) 的统一误差界。(dlmf.nist.gov)
5. Gabor/非平稳 Gabor 帧：Daubechies–Paul (1988) 局部化算子；Wexler–Raz 条件（Daubechies 等；Heil 历史综述）；非平稳/“painless“构造（Dörfler 等）。([sites.math.duke.edu][17])
6. 采样密度与障碍：Landau (1967) 必要密度及后续拓展；Heil (2006) Balian–Low 综述。(archive.ymsc.tsinghua.edu.cn)
7. 信息几何与 I-投影、KL–Pinsker：Csiszár (1975)；Canonne (2022)；Amari (2016/2018)。([projecteuclid.org][10])
8. de Branges–Kreĭn 规范系统与逆谱：de Branges (1968)；Romanov (2014)；Remling (2018/2025)。(math.purdue.edu)

附录 A：维度与规范

• 若 $\Delta [w]$ 取空间长度、$⟨{\tau }_g{⟩}_w$ 取时间，则 $\chi$ 具速度维度；若处于对数/Mellin 刻度的无量纲表述，则需由几何字典回译。
• 本文采用 $\mathsf{Q}=-i\hslash S^{†}{\partial }_{E}S$；于是 $\frac{1}{2\pi \hslash }\mathrm{tr}\mathsf{Q}={\rho }_{\mathrm{rel}}={\phi }^{\prime }/\pi =-{\xi }^{\prime }$（BK 号记 $\det S=\exp (-2\pi i\xi )$）。若改用 $\det S=\exp (+2\pi i\xi )$，则关系式右端 ${\xi }^{\prime }$ 项改号为正，不影响 $\chi$ 的比值结构与读数流程。([arXiv][11])

附录 B：最小可复现实验清单

1. 选择两族窗（带限 PW 与指数），每族 3–4 个尺度 $R$；
2. 选择带限前端核 $h$（两种和宽），按 integrand 的带宽和宽设定 Nyquist 采样步长；
3. 以 $M=2,3$ 的有限阶 EM 校正，显式上界伯努利层；
4. 以 Parseval-on-$\mathcal{V}$ 的多窗方案压低方差并实施 $(G{G}^{†})$ 重构；
5. 输出 ${\hat{c}}_i=\Delta [w^{(i)}]/⟨{\tau }_g{⟩}_{w^{(i)}}$ 与加权合并估计 $\hat{c}$（KL–Pinsker 置信带）；
6. 在坐标重标/预滤/帧重排后复测，验证 $\hat{c}$ 的 $\mathcal{G}$-不变性。(dlmf.nist.gov)

[10]: https://projecteuclid.org/journals/annals-of-probability/volume-3/issue-1/I-Divergence-Geometry-of-Probability-Distributions-and-Minimization-Problems/10.1214/aop/1176996454.full?utm_source=chatgpt.com “$I$-Divergence Geometry of Probability Distributions” [11]: https://arxiv.org/pdf/1006.0639?utm_source=chatgpt.com “arXiv:1006.0639v1 [math.SP] 3 Jun 2010” [12]: https://arxiv.org/pdf/2202.07198?utm_source=chatgpt.com “A short note on an inequality between KL and TV” [13]: https://arxiv.org/abs/1408.6022?utm_source=chatgpt.com “[1408.6022] Canonical systems and de Branges spaces” [14]: https://heil.math.gatech.edu/papers/bltschauder.pdf?utm_source=chatgpt.com “Gabor Schauder bases and the Balian-Low theorem” [15]: https://chaosbook.org/library/WignerDelay55.pdf?utm_source=chatgpt.com “Lower Limit for the Energy Derivative of the Scattering” [16]: https://arxiv.org/pdf/cond-mat/0112225?utm_source=chatgpt.com “Scattering theory on graphs (2) : the Friedel sum rule” [17]: https://sites.math.duke.edu/~ingrid/publications/ieee34-1988.pdf?utm_source=chatgpt.com “Time-frequency localization operators: a geometric phase”