WSIG–EBOC–RCA 框架下的量子—经典统一理论

（Windowed Scattering & Information Geometry · Eternal-Block Observer-Computing · Reversible Cellular Automata）

Version: 1.15（2025-11-02，Asia/Dubai）

摘要

以窗化散射—信息几何给出的相位—相对态密度—群延迟三位一体为能量刻度的唯一母尺，本文在静态块几何与可逆元胞自动机两侧建立同构语义，实现量子—经典统一。设散射对 $(H,H_0)$ 在 $H_0$ 的绝对连续谱上给出多端口散射矩阵 $S(E)$，其在能量 $E$ 处作用于开放通道子空间，且 $S(E)\in U(N(E))$。Wigner–Smith 延迟矩阵定义为 $\mathsf{Q}(E):=-iS(E{)}^{†}{\partial }_{E}S(E)$，相对态密度的 ac 密度记为 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E):={\xi }_{\mathrm{ac}}^{\prime }(E)$，半行列式相位记为 $\phi (E):=\pi {\xi }_{\mathrm{ac}}(E)$（亦可记为 $\frac{1}{2}{\mathrm{Arg}}_{\mathrm{ac}}\det S(E)$）。在 $H_0$ 的绝对连续谱的 Lebesgue 点几乎处处成立 $$\boxed{{\phi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)}.$$

半经典极限由 Egorov 定理、Moyal 变形与 Wigner 测度传播闭合到经典哈密顿流、泊松括号与李乌维尔动力学。读数采用 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（NPE）误差账本给出非渐近上界，并提出单/多窗—多核的变分最优性框架（细节见 §6）。常数 $(c,\hslash ,e,G,k_{\mathrm{B}})$ 在本体系内完成计量对表：$c$ 由前沿支撑与群延迟定标；$\hslash$ 为 Weyl–Heisenberg 中心荷比例尺；$e$ 由磁通量子锚定；$G$ 由曲率—能流对表锚定；$k_{\mathrm{B}}$ 由 SI 常数化固定。上述结构在 EBOC 的因果块宇宙与 RCA 的离散光锥下具有可实现的同构语义。

1. 公理与对象

A1（因果—前沿）：世界为因果块 $(M,g)$。零类锥 $d{s}^2=0$ 确定前沿速度 $c$。在线性时不变（LTI）系统中，若冲激响应 $h(t)$ 支撑于 $t\ge 0$ 且 $h\in L^1(\mathbb{R})$（或更一般为缓增分布且频响 $H(\omega )$ 属 Hardy 类），则 $H(\omega )$ 在上半平面解析并满足 Kramers–Kronig；反之，若 $H$ 为上半平面有界解析并具适当增长/衰减，则对应 $h$ 为因果。时变系统以推迟格林函数之支撑陈述因果。

A2（母尺—WSIG）：定义 $$\mathsf{Q}(E):=-iS(E{)}^{†}{\partial }_{E}S(E),{\tau }_{\mathrm{WS}}(E):=\hslash \mathrm{tr}\mathsf{Q}(E).$$ 进一步定义多端口情形的每端口平均群延迟 $$\overline{\tau }(E):=\frac{\hslash }{N(E)}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),N(E):=\text{开放通道数（在该 E 处）}.$$ 以下如未特别说明，迹与平均均在当下开放通道子空间上取；远离通道阈值时 $N(E)$ 为常数。

令散射对 $(H,H_0)$ 满足可定义的波算子，记其在 $H_0$ 的绝对连续谱上之多端口散射矩阵 $S(E)$；对每个能量 $E$，$S(E)$ 作用于开放通道子空间，且 $S(E)\in U(N(E))$。

BK 条件（确保光谱位移与行列式相位的适用）：假设 $(H,H_0)$ 构成 Birman–Kreĭn 意义下的迹类扰动对，例如 $$(H-i{)}^{-1}-(H_0-i{)}^{-1}\in {\mathfrak{S}}_1,$$ 则 Kreĭn 光谱位移函数 $\xi$ 存在，且在 $E\in {\sigma }_{\mathrm{ac}}(H_0)$ 的 Lebesgue 点几乎处处成立 $$\det S(E)=\exp (2\pi i\xi (E)),-i{\partial }_E\log \det S(E)=2\pi {\xi }_{\mathrm{ac}}^{\prime }(E).$$

记相对态密度的 ac 密度为 $${\rho }_{\mathrm{rel}}(E):={\xi }_{\mathrm{ac}}^{\prime }(E).$$ 为避免 $\mathrm{Arg}$ 的多值歧义，定义 $$\phi (E):=\pi {\xi }_{\mathrm{ac}}(E)(\text{亦可记为 }\frac{1}{2}{\mathrm{Arg}}_{\mathrm{ac}}\det S(E)).$$ 则在 $H_0$ 的绝对连续谱的 Lebesgue 点几乎处处成立 $$\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=2\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E),{\phi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E).$$

正则性与域：下述关于 ${\partial }_{E}S(E)$ 与 $\mathsf{Q}(E)$ 的等式均在 $E\in {\sigma }_{\mathrm{ac}}(H_0)$ 上、$S(E)$ 关于 $E$ 局部绝对连续（或具弱导数）之处理解。本文默认工作能量窗远离通道阈值与支化点；如需跨阈值讨论，均以 $N(E)$ 与开放通道子空间的迹/导数替代相应常数与全迹。

A3（桥接常数）：$\hslash$ 为 Weyl–Heisenberg 的中心参数；$c$ 由前沿支撑与群延迟计量对表；$e$ 由磁通量子锚定；$G$ 由曲率—能流对表实现；$k_{\mathrm{B}}$ 由 SI 常数化固定。

A4（读数—误差）：任何读数均为“窗 × 核“加权平均，并服从 NPE 三分误差闭合：别名/Poisson、有限阶 Euler–Maclaurin 余项、带宽尾项。

A5（可实现性—RCA，可逆性判据）：半径 $r$ 的可逆元胞自动机（RCA）的影响域为离散光锥。可逆性的充要判据为：全局映射为双射且其逆映射亦为元胞自动机。

2. 三位一体母尺与主定理

2.1 定义与记号

设散射对 $(H,H_0)$ 在 $H_0$ 的绝对连续谱上给出 $S(E)$（在 $E$ 处作用于开放通道子空间），且 $S(E)\in U(N(E))$，取 $$\mathsf{Q}(E):=-i{S}^{†}{\partial }_{E}S,{\tau }_{\mathrm{WS}}(E):=\hslash \mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),{\rho }_{\mathrm{rel}}(E):={\xi }_{\mathrm{ac}}^{\prime }(E),$$ $$\det S(E)=\exp (2\pi i\xi (E)),-i{\partial }_E\log \det S(E)=2\pi {\xi }_{\mathrm{ac}}^{\prime }(E)\text{(a.e. on }{\sigma }_{\mathrm{ac}}(H_0)\text{，BK 条件下)}.$$

2.2 主定理（Trinity）

$$\boxed{{\phi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)}\text{（在 H0 的绝对连续谱的 Lebesgue 点几乎处处成立）}.$$

证明要点：由 $\det S(E)=\exp (2\pi i\xi (E))$（BK 条件）得，在 $E\in {\sigma }_{\mathrm{ac}}(H_0)$ 的 Lebesgue 点几乎处处 $$-i{\partial }_E\log \det S(E)=2\pi {\xi }_{\mathrm{ac}}^{\prime }(E).$$ 幺正性给出 ${\partial }_E\log \det S(E)=\mathrm{tr}\left(S^{†}{\partial }_{E}S\right)$。据此在 $E\in {\sigma }_{\mathrm{ac}}(H_0)$ 上有 $$\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-i\mathrm{tr}\left(S^{†}{\partial }_{E}S\right)=2\pi {\xi }_{\mathrm{ac}}^{\prime }(E)=2\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E),$$ 又由 BK 链条得 $${\phi }^{\prime }(E)=\pi {\xi }_{\mathrm{ac}}^{\prime }(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)\text{（在 H0 的绝对连续谱的 Lebesgue 点几乎处处成立）}.$$ 证毕。

单通道核验：若 $S(E)=e^{2i\delta (E)}$，则 $$\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=2{\delta }^{\prime }(E),{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{{\delta }^{\prime }(E)}{\pi },{\phi }^{\prime }(E)={\delta }^{\prime }(E),$$ 与 Friedel 关系一致。

3. 半经典桥：Egorov—Moyal—Wigner 测度（${\mathrm{Op}}_{\hslash }$ 记号）

Egorov（主阶）：对 Weyl 量子化 $H={\mathrm{Op}}_{\hslash }(p)$ 与经典哈密顿流 ${\Phi }_t$，有 $$U_t^{†}{\mathrm{Op}}_{\hslash }(a)U_t={\mathrm{Op}}_{\hslash }(a\circ {\Phi }_t)+\mathcal{O}(\hslash ),$$ 在适当正则性下可延至 Ehrenfest 尺度（混沌情形出现 $\log (1/\hslash )$ 修正）。

Moyal 变形：Weyl 传函将 $\frac{i}{\hslash }[\hat{A},\hat{B}]$ 对应为 Moyal 括号，且 $$\{A,B{\}}_M=\{A,B\}+\mathcal{O}({\hslash }^2).$$

Wigner 测度传播：态序列的 Wigner 测度沿经典流传播，收敛到李乌维尔/Vlasov 型输运方程。

4. EBOC：前沿支撑、KK 因果与计量闭环

推迟格林函数的前沿支撑：三维波动方程的推迟格林函数为 $$G_{\mathrm{ret}}(t,\mathbf{r})=\frac{\delta (t-|\mathbf{r}|/c)}{4\pi |\mathbf{r}|},$$ 其支撑恰在前沿 $t=|\mathbf{r}|/c$。在满足 §1.A1 条件（$h\in L^1$ 或更一般为缓增分布且频响 $H$ 属 Hardy 类并具适当增长/衰减）时，严格因果与上半平面解析及 Kramers–Kronig 色散关系互为充要；若上述条件不满足，仅能得到方向性的蕴含或需额外正则化。

计量闭环的分解与成立条件：设外部链路均匀，各开放通道 $n=1,\dots ,N(E)$ 的自由传播相位可写为对角因子 $$D_k(E):=\mathrm{diag}\left(e^{i{k}_n(E)L}\right),k_n(E)=\frac{E}{\hslash v_{p,n}(E)}.$$ 取分解 $S(E)=D_k(E)U(E)$，则由 $\frac{d{k}_n}{dE}=\frac{1}{\hslash v_{g,n}(E)}$ 得 $$\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=\frac{L}{\hslash }\sum _{n=1}^{N(E)}\frac{1}{v_{g,n}(E)}-i\mathrm{tr}\left(U^{†}{\partial }_{E}U\right).$$ 若各通道在给定能量窗内满足 $v_{g,n}(E)\approx v_g(E)$（或已用参考链路消除了 $-i\mathrm{tr}(U^{†}{\partial }_{E}U)$），则 $$\overline{\tau }(E)=\frac{\hslash }{N(E)}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)\approx \frac{L}{v_g(E)}(\text{真空时 }{v}_g(E)=c).$$ 若外部链路存在色散或反射，或散射区含与端口解耦的局域态，则需分离连续部分并修正上述分解。

5. RCA：可逆性判据、离散光锥与 Floquet 能谱

在有限字母与 ${\mathbb{Z}}^d$ 位移下，连续且与移位可换的全局映射即为元胞自动机；当且仅当该全局映射为双射且其逆映射亦为元胞自动机，系统为可逆元胞自动机。半径 $r$、栅距 $a$、步长 $\Delta t$ 的元胞自动机在 $t$ 步影响域为 $\pm rt$，离散“光速“为 $c_{\mathrm{disc}}=ra/\Delta t$；连续极限与 EBOC 前沿对齐。周期驱动一步演化的准能谱由 Floquet–Sambe 形式主义给出，能量刻度 $E=\hslash \omega$ 与群延迟读数相容。

6. NPE 误差账本与窗/核最优化

Poisson—Nyquist（别名项）：在带限满足 Nyquist–Shannon 条件时，别名项为零；一般窗的别名项可由 Poisson 求和定量上界。

Euler–Maclaurin（统一余项上界）：若 $f\in C^{2m}\cap W^{2m,1}(\mathbb{R})$ 且 $f^{(k)}(\pm \infty )=0(0\le k\le 2m-1)$，则偶阶截断余项满足 $$\left|R_{2m}\right|\le \frac{2\zeta (2m)}{(2\pi {)}^{2m}}{\int }_{\mathbb{R}}|f^{(2m)}(x)|dx,m\in \mathbb{N}.$$ 若上述衰减/可积性不满足，则以窗函数截断并将边界项并入 $R_{2m}$，本上界据此作相应修正。

NPE 的读数写法与总误差：记卷积 $[\kappa \star f](E):={\int }_{\mathbb{R}}\kappa (E-E^{\prime })f(E^{\prime })d{E}^{\prime }$。任意窗—核对 $(w_R,\kappa )$ 的读数写为 $$X_W=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)[\kappa \star f](E)dE,$$ 综合误差可估为 $$\mathsf{Err}=\mathcal{O}(\hslash )+\mathcal{O}({\epsilon }_{\mathrm{alias}})+\mathcal{O}({\epsilon }_{\mathrm{EM}})+\mathcal{O}({\epsilon }_{\mathrm{tail}}),$$ 其中 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$（带限时），${\epsilon }_{\mathrm{EM}}$ 由上式界定，${\epsilon }_{\mathrm{tail}}$ 由窗带外质量与 $|\mathrm{tr}\mathsf{Q}{|}_{\infty }$ 控制。

多窗—多核优化：在 Parseval 紧帧或 Gabor 框架下，以目标核 $\kappa$ 拟合 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 并惩罚 $\mathsf{Err}$ 的泛函最小化；可行性与稳定性受双正交关系与密度定理保障。

7. 典型模型与统一推论

自由传播链路（统一写法，含多模）：若外部链路均匀且 $-i\mathrm{tr}\left(U^{†}{\partial }_{E}U\right)=0$（或已通过参考链路抵消该项），则 $$\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=\frac{L}{\hslash }\sum _{n=1}^{N(E)}\frac{1}{v_{g,n}(E)},{\tau }_{\mathrm{WS}}(E)=L\sum _{n=1}^{N(E)}\frac{1}{v_{g,n}(E)},\overline{\tau }(E)=\frac{1}{N(E)}\sum _{n=1}^{N(E)}\frac{L}{v_{g,n}(E)}.$$ 若各通道 $v_{g,n}(E)\approx v_g(E)$，则退化为 ${\tau }_{\mathrm{WS}}(E)\approx \frac{N(E)L}{v_g(E)}$ 与 $\overline{\tau }(E)\approx \frac{L}{v_g(E)}$。若上述条件不满足，应保留 $-i\mathrm{tr}\left(U^{†}{\partial }_{E}U\right)$ 的修正项。

RCA 的离散光锥：半径为 $r$、栅距 $a$、步长 $\Delta t$ 的 RCA 在 $t$ 步影响域为 $\pm rt$，离散“光速“ $c_{\mathrm{disc}}=ra/\Delta t$。在连续极限中，其与经典色散的群速度仅在某一线性化能量/波数邻域 $E_0$ 局域匹配： $$c_{\mathrm{disc}}\underset{\text{连续极限}}{\overset{E\approx E_0}{\to }}{v}_g(E_0),$$ 真空的线性色散给出特例 $c_{\mathrm{disc}}\to c$。

势散射的 DOS—相位—延迟：若 $S(E)=\mathrm{diag}\left(e^{2i{\delta }_j(E)}\right)$，则 $${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{\pi }\sum _j{\delta }_j^{\prime }(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),$$ 延迟峰刻画共振寿命。

量子—经典动力学退化： $$\frac{d}{dt}⟨\hat{A}⟩=\frac{i}{\hslash }⟨[\hat{H},\hat{A}]⟩=⟨\{H,A\}⟩+\mathcal{O}({\hslash }^2),$$ Wigner 测度给出宏观输运极限。

8. 可证伪出口与接口

给定多端口 $S(E)$ 或端口数据，三位一体链给出 ${\phi }^{\prime }(E)$、${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$、$\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$ 的一致预测；任何系统性偏离指示窗—核或模型假设的失配。在 §7 所述条件（$-i\mathrm{tr}(U^{†}{\partial }_{E}U)=0$ 或已基线抵消）满足时，多窗化回归 $\overline{\tau }(E)\to L/v_g(E)$ 的速率受 §6 上界控制，可实验检验。RCA 原型的 $c_{\mathrm{disc}}$-标定在连续极限与线性化能量邻域 $E_0$ 下与 $v_g(E_0)$ 局域匹配；准能谱读数应与连续链路在该邻域内一致。

9. 附录：技术引理与证明要点

9.1 BK—Kreĭn—WS 链条

设散射对 $(H,H_0)$ 在 $H_0$ 的绝对连续谱上给出 $S(E)$（$S(E)\in U(N(E))$）。则 $$\det S(E)=\exp (2\pi i\xi (E))\Rightarrow -i{\partial }_E\log \det S(E)=2\pi {\xi }_{\mathrm{ac}}^{\prime }(E)\text{(a.e. on }{\sigma }_{\mathrm{ac}}(H_0)\text{)},$$ $${\partial }_E\log \det S(E)=\mathrm{tr}\left(S^{†}{\partial }_{E}S\right),\mathsf{Q}(E)=-i{S}^{†}{\partial }_{E}S,{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)={\xi }_{\mathrm{ac}}^{\prime }(E),$$ $$\phi (E):=\pi {\xi }_{\mathrm{ac}}(E)(=\frac{1}{2}{\mathrm{Arg}}_{\mathrm{ac}}\det S(E)),{\phi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)\text{(a.e. on σac(H0))}.$$

9.2 Egorov—NPE 综合误差

若 $f_t=f\circ {\Phi }_t+\mathcal{O}(\hslash )$，则对 $$X_W=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)[\kappa \star f_t](E)dE$$ 有 $$\mathsf{Err}=\mathcal{O}(\hslash )+\mathcal{O}({\epsilon }_{\mathrm{alias}})+\mathcal{O}({\epsilon }_{\mathrm{EM}})+\mathcal{O}({\epsilon }_{\mathrm{tail}}),$$ 其中 ${\epsilon }_{\mathrm{EM}}$ 由 §6 的 Euler–Maclaurin 上界给定。

结论

本文在 WSIG–EBOC–RCA 三侧建立了量子—经典统一框架：以相位—相对态密度—群延迟三位一体为能量轴唯一母尺；以 Egorov–Moyal–Wigner 测度传播实现半经典退化；以 NPE 误差账本给出非渐近可检上界；以前沿支撑与计量闭环定标桥接常数 $(c,\hslash ,e,G,k_{\mathrm{B}})$。该体系在静态块几何与离散可逆动力学之间具有同构语义，为量子—经典界面提供可操作的测量—定标链条。