EBOC–WSIG 统一公理化：光速常数的窗口化群延迟定义与“时空/时间/空间“公理的融合

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摘要

在仅假设因果前沿（光速常数 $c$）与时空几何 $(M,g)$ 的前提下，建立从几何—因果到可测—定标的无环体系：以散射相位导数 ${\phi }^{\prime }(E)$、相对态密度 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$、Wigner–Smith 群延迟迹 $\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$ 的三位一体刻度作为能量轴的唯一母尺；以窗化读数实现非渐近测量并给出 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（NPE）三分误差闭合；在体系内部定义 $\hslash ,e,k_{\mathrm{B}},G$ 四个桥接常数；据此封装导出量并给出力的三重等价（世界线非测地性 $=$ 动量通量散度 $=$ 对曲率/联络的最小耦合）。光速常数不作重新定义；以下给出窗口化群延迟读数作为与公理 A1 常数 $c$ 的计量等值，并与三位一体刻度、因果前沿与信息光锥、计量实现构成四重对齐。该体系保证存在、唯一与窗/核无关性，并以单位—定标的有向无环图（DAG）消除循环。

0. 记号与实现纪律

术语与缩略语：WSIG：指“基于窗口化相位/群延迟读数并配合 NPE 误差账本的操作性规约与计量对表“。EBOC：指“静态块 + 叶分解 + 悬挂流“的几何—动力框架（文中以二维子移位 $X\subset {\mathcal{A}}^{{\mathbb{Z}}^2}$ 的叶分解与诱导度规 $h$ 为其实现）。RCA：可逆元胞自动机，指 $Y\subset {\mathcal{B}}^{\mathbb{Z}}$ 与双射滑动块码 $F:Y\to Y$ 的离散可逆演化体系。记号区分：$\mathsf{Q}$ 始终表示 Wigner–Smith 矩阵 $-i{S}^{†}{\partial }_{E}S$（量纲 $E^{-1}$）；$\mathcal{Q}$ 表示最小耦合中的“荷“，二者含义与量纲不同，严禁混用。（下文沿用上述定义与区分。）

相位与群延迟：设 $S(E)\in U(N)$，$\Phi (E):=\mathrm{Arg}\det S(E)$，$\phi (E):=\frac{1}{2}\Phi (E)$。定义 $\mathsf{Q}(E):=-iS(E{)}^{†}\frac{dS}{dE}$，${\Phi }^{\prime }(E)=\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$，${\phi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$。

相位支与导数约定：$\Phi (E)=\mathrm{Arg}\det S(E)$ 取连续相位支；${\Phi }^{\prime }(E)$ 作为分布导数理解，与 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$ 在绝对连续谱上几乎处处相等。

三位一体母式（绝对连续谱上几乎处处）： $${\phi }^{\prime }(E)=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E).$$

群延迟量纲（通道平均/单通道）：通道平均群延迟 ${\bar{\tau }}_{\mathrm{WS}}(E):=\hslash \frac{1}{N}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$（时间）；单通道（特征相位 ${\theta }_{\alpha }$）${\tau }_{g,\alpha }(E):=\hslash {\partial }_E{\theta }_{\alpha }(E)$。与半行列式相位 $\phi (E):=\frac{1}{2}\mathrm{Arg}\det S(E)$ 的关系：${\bar{\tau }}_{\mathrm{WS}}(E)=\frac{2\hslash }{N}{\phi }^{\prime }(E)$。

频率—能量映射与群折射率：设 $E=\hslash \omega$，在各向同性、静态、局域线性介质中取色散关系 $k(\omega )=n(\omega )\omega /c$。定义群速度与群折射率 $$v_g(\omega ):=({\partial }_{\omega }k(\omega ){)}^{-1}=\frac{d\omega }{dk},n_g(\omega ):=\frac{c}{v_g(\omega )}=n(\omega )+\omega {\partial }_{\omega }n(\omega ).$$ 一般情形下 $n_g(\ell ,E)$ 指能量 $E$ 下沿路径 $\gamma$ 在弧长坐标 $\ell$ 的局域群折射率，按 $\omega =E/\hslash$ 代入；若介质各向异性或非各向同性，应将 $n_g$ 理解为沿射线方向的投影群折射率（等效慢度）。本文 §4.4 的窗—核加权式即据此定义成立。

傅里叶约定：$\hat{f}(\tau ):={\int }_{\mathbb{R}}f(E)e^{-i\tau E}dE,f(E)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}(\tau )e^{i\tau E}d\tau$。

窗与核的规范化（含量纲）：取无量纲原型 $W,K\in L^1(\mathbb{R})$ 满足 $\int W=\int K=1$，定义 $$w_R(E):=\frac{2\pi }{{\Delta }_w}W\left(\frac{E}{{\Delta }_w}\right),\kappa (E):=\frac{1}{{\Delta }_{\kappa }}K\left(\frac{E}{{\Delta }_{\kappa }}\right),$$ 则 $\frac{1}{2\pi }\int w_R(E)dE=1$、$\int \kappa (E)dE=1$，且 $w_R,\kappa$ 量纲均为 $E^{-1}$。由归一性可得对常数 $c$ 有 $[\kappa \star c]\equiv c$、$⟨c{⟩}_{w,\kappa ;E_0}=c$。

正则性假设与近似单位：$w_R\in W^{1,1}(\mathbb{R})$（或紧支撑，或带限；两者不可兼得），且 $w_R,w_R^{\prime }\in L^1$、$w_R(\pm \infty )=0$；$\kappa \in L^1$、$\int \kappa =1$，并在分布意义下有 $[\kappa \star {\partial }_E\Phi ]={\partial }_E[\kappa \star \Phi ]$。近似单位条件：$(w_R{)}_R$ 满足 ${\sup }_R\Vert w_R{\Vert }_{L^1}<\infty$、$\Vert w_R{\Vert }_{L^{\infty }}\to 0$ 且 ${\hat{w}}_R\stackrel{{\mathcal{S}}^{\prime }}{\to }2\pi {\delta }_0$（$R\to \infty$）。

注意：严格带限与紧支撑不可同时成立（Paley–Wiener），本文仅以频域有效支集给出“别名为零“的可检充分判据，其余泄漏统一计入 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{tail}}$。

卷积定义：$[\kappa \star f](E):={\int }_{\mathbb{R}}\kappa (E-E^{\prime })f(E^{\prime })d{E}^{\prime }$。

加权平均记号（统一）：对任意可积函数 $f$ 与中心能量 $E_0$，定义 $$\boxed{⟨f{⟩}_{w,\kappa ;E_0}:=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E-E_0)[\kappa \star f](E)dE}.$$ 若未指明，默认 $E_0=0$。对常数 $c$ 且 $\int \kappa =1$，有 $⟨c{⟩}_{w,\kappa ;E_0}\equiv c$。（与 §4 统一。）

记号：$w_{R,E_0}(E):=w_R(E-E_0)$。目标谱密度：${\rho }_{\star }\in \{\rho ,{\rho }_{\mathrm{rel}}\}$（分别为绝对谱密度与相对态密度）。

采样与 Nyquist 条件：令 $f:=w_{R,E_0}\cdot (\kappa \star {\rho }_{\star })$、$E_n:=E_0+n{\Delta }_E$、$\hat{f}(\tau ):=\int f(E)e^{-i\tau E}dE$。Poisson 求和（含偏移，标准式）： $$\boxed{\sum _{n\in \mathbb{Z}}f(E_0+n{\Delta }_E)=\frac{1}{{\Delta }_E}\sum _{m\in \mathbb{Z}}{e}^{i\frac{2\pi m}{{\Delta }_E}{E}_0}\hat{f}\left(\frac{2\pi m}{{\Delta }_E}\right)}.$$ 无别名充要条件保持：$\mathrm{supp}\hat{f}\subset (-\pi /{\Delta }_E,\pi /{\Delta }_E)$。（若需对照“未含偏移“形式，请在该处标注“此处取 $E_0=0$“。） 有效支集宽度（修订）：令 $\hat{f}(\tau )={\hat{w}}_R(\tau )\ast (\hat{\kappa }(\tau )\cdot {\hat{\rho }}_{\star }(\tau ))$，定义 $${\Omega }_{\mathrm{eff}}:=\inf \{\Omega >0:\mathrm{supp}\hat{f}\subset [-\Omega ,\Omega ]\}\le {\Omega }_w+\min ({\Omega }_{\kappa },{\Omega }_{\rho }).$$ 其中 ${\Omega }_w,{\Omega }_{\kappa },{\Omega }_{\rho }$ 分别界定 ${\hat{w}}_R,\hat{\kappa },{\hat{\rho }}_{\star }$ 的有效支集上界；当三者支集对称且边界饱和时取等号（此时同宽特例 ${\Omega }_{\mathrm{eff}}=2\Omega$ 亦随之成立）。据此，“别名为零“的可检充分条件统一为 $${\Delta }_E<\frac{\pi }{{\Omega }_{\mathrm{eff}}},\text{常用上界替代：}{\Delta }_E<\frac{\pi }{{\Omega }_w+\min ({\Omega }_{\kappa },{\Omega }_{\rho })}.$$

NPE 误差账本：任何窗化读数分解为 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{alias}}+{\mathcal{E}}_{\mathrm{EM}}+{\mathcal{E}}_{\mathrm{tail}}$。带限与 Nyquist 下 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{alias}}=0$。仅允许有限阶 Euler–Maclaurin（EM）换序，以保证奇性与极阶不增。上述“三分误差“为纯数学意义下的解析余项与上界（含 Poisson 求和别名项、有限阶 EM 余项与带宽尾项），不涉及实验噪声或仪器误差。

1. 公理族

A1（因果时空）：$(M,g)$ 为时空流形，因果前沿由 $d{s}^2=0$ 与常数 $c$ 定标。

A2（叶分解，局域/全局条件）：在所考虑的时空域满足全局双曲（存在 Cauchy 叶）或处于因果凸域内，可选取时间函数 $t$ 使等时超曲面 ${\Sigma }_t$ 构成光滑叶分解，并诱导三维度规 $h$。当不具备全局双曲性时，以下关于“叶/雷达“的表述仅在该因果凸域内使用。

A3（能量刻度）：绝对连续谱上 $d{\mu }_{\phi }(E)=\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }dE={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)dE$。

A4（可实现性）：任一仪器读数等价于“窗×核“对谱密度的加权，并服从 NPE 三分误差闭合。

A5（概率与指针）：Born 概率等价于最小相对熵（I-投影）；设窗算子 $\mathcal{W}$ 自伴且 $\mathcal{W}\ge 0$，指针基取 Ky-Fan 极大原则：给定窗算子 $\mathcal{W}$ 与维数 $k$，令 $P$ 为秩 $k$ 的投影，则 $\underset{\mathrm{rank}P=k}{\max }\mathrm{Tr}(P\mathcal{W})=\sum _{i=1}^k{\lambda }_i^{\downarrow }(\mathcal{W})$；指针子空间由 $\mathcal{W}$ 的前 $k$ 个特征向量张成。

A6（换序纪律）：一切离散—连续换序仅用有限阶 EM；奇性集合保持。

A7（时间与空间的操作性定义）：时间为因果偏序与最早可检互信息的联合刻度；空间为等时叶 ${\Sigma }_t$ 内由度规 $h$ 的内在距离；雷达定标仅用于与 A1 中 $c$ 的对表，不作为长度的原始定义。

2. 三位一体定理

定理 2.1（相位—密度—延迟三位一体）：对满足 Birman–Kreĭn 公式适用条件的自伴散射对 $(H,H_0)$，在绝对连续谱上几乎处处成立 ${\phi }^{\prime }(E)=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$。

证明：Weyl–Titchmarsh–Herglotz 定理给出谱密度表示 $\rho (E)={\pi }^{-1}\Im m(E+i0)$，其中 $m(z)$ 为相应通道的 Weyl–Titchmarsh–Herglotz 函数，例如 $m(z)=⟨\psi ,(H-z{)}^{-1}\psi ⟩$ 的边界值（$\psi$ 为适当边界向量/通道选择）；其非负虚部与绝对连续谱的 Radon–Nikodym 密度满足 $\rho (E)={\pi }^{-1}\Im m(E+i0)$。Birman–Kreĭn 公式给出 $\det S(E)=\exp (-2\pi i\xi (E))$、${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=-{\xi }^{\prime }(E)$。由 $\mathsf{Q}(E)=-i{S}^{†}\frac{dS}{dE}$ 与 Jacobi 恒等式得 ${\partial }_E\mathrm{Arg}\det S(E)=\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$。合并得到结论。∎

推论 2.2（阈值与奇性保持）：带限+Nyquist 与有限阶 EM 下窗化不引入新奇性与极阶提升；阈值与共振由主尺度决定，可据“窗不变奇性“分辨物理结构与数值伪影。∎

3. 窗口化读数与 NPE 误差闭合

定理 3.1（窗化读数恒等式）：对带限窗 $w_R$ 与核 $\kappa$，任意可观测量的窗化读数表示为 $$\boxed{\mathrm{Obs}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E-E_0)[\kappa \star {\rho }_{\star }](E)dE+{\mathcal{E}}_{\mathrm{alias}}+{\mathcal{E}}_{\mathrm{EM}}+{\mathcal{E}}_{\mathrm{tail}}=⟨{\rho }_{\star }{⟩}_{w,\kappa ;E_0}+{\mathcal{E}}_{\mathrm{alias}}+{\mathcal{E}}_{\mathrm{EM}}+{\mathcal{E}}_{\mathrm{tail}}.}$$ 其中 ${\rho }_{\star }$ 取 $\rho$（绝对谱密度）或 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$（相对态密度）。

证明：先引入加权平均记号 $⟨f{⟩}_{w,\kappa ;E_0}:=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E-E_0)[\kappa \star f](E)dE$。

Case A（${\rho }_{\mathrm{rel}}$）：由三位一体关系 ${\rho }_{\mathrm{rel}}=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}=\frac{1}{\pi }{\phi }^{\prime }$ 且 $\phi =\frac{1}{2}\Phi$，有 $$⟨{\rho }_{\mathrm{rel}}{⟩}_{w,\kappa ;E_0}=\frac{1}{2\pi }\int w_R(E-E_0)[\kappa \star \frac{1}{\pi }{\phi }^{\prime }](E)dE=-\frac{1}{2{\pi }^2}\int w_R^{\prime }(E-E_0)[\kappa \star \phi ](E)dE=-\frac{1}{4{\pi }^2}\int w_R^{\prime }(E-E_0)[\kappa \star \Phi ](E)dE,$$ 其中用到 $[\kappa \star {\partial }_E\Phi ]={\partial }_E[\kappa \star \Phi ]$ 与分部积分（按分布理解），且 $\Phi (E):=\mathrm{Arg}\det S(E)$ 取 §0 的连续相位支。上式使用了分部积分与导数换序；在上述正则性与分布框架下边界项为零，故等式严格成立。

Case B（$\rho$）：由 Weyl–Titchmarsh–Herglotz 表示 $\rho (E)={\pi }^{-1}\Im m(E+i0)$，直接有 $$⟨\rho {⟩}_{w,\kappa ;E_0}=\frac{1}{2\pi }\int w_R(E-E_0)[\kappa \star \rho ](E)dE.$$

随后依 Poisson 求和（给出 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{alias}}$）、有限阶 Euler–Maclaurin（给出 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{EM}}$）与带宽截断（给出 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{tail}}$）得到三分误差闭合。综上，两种情形均得到 $$\boxed{\mathrm{Obs}=⟨{\rho }_{\star }{⟩}_{w,\kappa ;E_0}+{\mathcal{E}}_{\mathrm{alias}}+{\mathcal{E}}_{\mathrm{EM}}+{\mathcal{E}}_{\mathrm{tail}},{\rho }_{\star }\in \{\rho ,{\rho }_{\mathrm{rel}}\}},$$ 在带限+Nyquist 与有限阶 EM 下满足别名为零与奇性保持。∎

非渐近上界：存在常数 $C_{\mathrm{EM}}(k)$ 与 $C_{\mathrm{tail}}(R)$，使得 $|{\mathcal{E}}_{\mathrm{EM}}|\le C_{\mathrm{EM}}(k)\sup |{\partial }_E^{2k}(\cdot )|$、$|{\mathcal{E}}_{\mathrm{tail}}|\le C_{\mathrm{tail}}(R)|\cdot {|}_{L^1(E\notin [-\Omega ,\Omega ])}$，且随 $k$ 与带宽 $R$ 单调收敛。

4. 光速常数的窗口化群延迟读数与四重对齐

4.1 计量规约（读数）

窗口化群延迟读数定义为 $$\boxed{\mathsf{T}[w_R,\kappa ;L;E_0]:=\frac{\hslash }{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E-E_0)[\kappa \star \frac{1}{N}\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_L](E)dE=\hslash ⟨\frac{1}{N}\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_L{⟩}_{w,\kappa ;E_0}},$$ 其中 $L$ 为等时叶 ${\Sigma }_t$ 内按度规 $h_{ij}$ 定义的端点内在距离，$\frac{1}{N}\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_L$ 为链路每通道平均群延迟。光速常数的窗化群延迟读数（计量规约）记为 $$\boxed{c^{\mathrm{read}}:=\underset{\text{能量窗宽}\uparrow }{\lim }\frac{L}{\mathsf{T}[w_R,\kappa ;L;E_0]}},$$ 其中“能量窗宽$\uparrow$“等价于”$\tau$ 域频带宽 ${\Omega }_w(R)\downarrow 0$“，即 ${\hat{w}}_R\Rightarrow 2\pi \delta$，而 $(2\pi {)}^{-1}\int w_R=1$ 始终成立。该极限与 $E_0$ 无关（见 §4.2）。并与 A1 中取作常数的 $c$ 等值；此处不构成对 $c$ 的重新定义。

多端口链路可取 $\bar{\tau }(E):=\hslash \frac{1}{N}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$ 并先行能量依赖基线相消。

4.2 存在性、唯一性与窗/核无关性

命题 4.2(a)（真空链路—恒等式）：若 $S_L(E)=e^{iEL/(\hslash c)}{I}_N$，则 $q(E):=\frac{1}{N}\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_L(E)\equiv \frac{L}{\hslash c}$ 为常数，因而 $$\mathsf{T}[w_R,\kappa ;L;E_0]=\frac{\hslash }{2\pi }\int w_R(E-E_0)[\kappa \star q](E)dE=\frac{\hslash }{2\pi }\frac{L}{\hslash c}\int w_R(E-E_0)dE=\frac{L}{c},$$ 与 $(w_R,\kappa )$、带宽 $R$ 及 $E_0$ 无关。

命题 4.2(b)（一般链路—极限形式，严谨版）：设 $(w_R{)}_R$ 为 §0 之近似单位，满足 $\frac{1}{2\pi }\int w_R=1$、${\sup }_R|w_R{|}_{L^1}<\infty$、$|w_R{|}_{L^{\infty }}\to 0$ 且 ${\hat{w}}_R\stackrel{{\mathcal{S}}^{\prime }}{\to }2\pi {\delta }_0$；取 $\kappa \in L^1$ 且 $\int \kappa =1$。令 $$q(E):=\frac{1}{N}\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_L(E)=q_0+\delta q(E),\delta q\in L^1(\mathbb{R}).$$ 则极限存在，且 $$\boxed{\underset{R\to \infty }{\lim }\mathsf{T}[w_R,\kappa ;L;E_0]=\hslash \left(q_0+\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\delta q(E)dE\right)},$$ 与 $(w_R,\kappa ,E_0)$ 无关。

推论（零均值情形）：若再加上 $${\int }_{\mathbb{R}}\delta q(E)dE=0,$$ （例如先对真空链路作能量依赖基线相消后得到的相对读数），则 $$\underset{R\to \infty }{\lim }\mathsf{T}[w_R,\kappa ;L;E_0]=\hslash q_0.$$

证明略要：写作 $\mathsf{T}=\hslash ⟨q{⟩}_{w,\kappa ;E_0}$ 并代入 $q=q_0+\delta q$；第一项由 $\frac{1}{2\pi }\int w_R=1$ 给出 $\hslash q_0$。第二项在傅里叶域为 ${\hat{w}}_R\cdot \widehat{(\kappa \star \delta q)}$，随 $R\to \infty$ 收敛到 $2\pi {\delta }_0\cdot \widehat{(\kappa \star \delta q)}$，反变换即取直流分量 $\frac{1}{2\pi }\int (\kappa \star \delta q)=\frac{1}{2\pi }\int \delta q$。∎

注（修订）：上式表明若不假设 $\int \delta q=0$，则不可简写为 $\frac{\hslash }{2\pi }\int q(E)dE$ 的常数倍；当且仅当 $\int \delta q=0$（或等价地，采用了“相对于真空链路“的零均值归一）时，方退化为 $\hslash q_0$。（真空链路对应 $\delta q\equiv 0$，与 4.2(a) 一致。）

4.3 与三位一体刻度的等价

由 $\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}={\rho }_{\mathrm{rel}}={\phi }^{\prime }/\pi$ 得 $$\mathsf{T}[w_R,\kappa ;L;E_0]=\hslash ⟨\frac{1}{N}\mathrm{tr}\mathsf{Q}{⟩}_{w,\kappa ;E_0}=\frac{2\hslash }{N}⟨{\phi }^{\prime }(E){⟩}_{w,\kappa ;E_0}=\frac{\hslash }{N}⟨{\Phi }^{\prime }(E){⟩}_{w,\kappa ;E_0}.$$

真空链路 ${\Phi }^{\prime }(E)=\frac{NL}{\hslash c}$ 为常，故 $\mathsf{T}=L/c$ 与 $E_0$ 无关。

4.4 与因果前沿的等价

在 Kramers–Kronig 解析性与推迟格林函数支撑条件下，最早非零响应之前沿速度为 $c$。对真空纯延迟链路（$S_L(E)=e^{iEL/(\hslash c)}{I}_N$），由 4.1–4.3 知 $\mathsf{T}=L/c$；若测得 $\mathsf{T}\ne L/c$，则或破坏 NPE 封账，或破坏前沿因果。对一般介质/几何链路，前沿速度仍为 $c$。

在纯传输且无显著反射/驻波，并满足几何光学（WKB）近似的链路条件下，窗—核加权的群延迟可写为 $$\boxed{\mathsf{T}[w_R,\kappa ;L;E_0]=\frac{1}{c}{\int }_{\gamma }⟨n_g(\ell ,E){⟩}_{w,\kappa ;E_0}d\ell }.$$ 一般情形仅有严格恒等式 $$\boxed{\mathsf{T}[w_R,\kappa ;L;E_0]=\hslash ⟨\frac{1}{N}\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_L{⟩}_{w,\kappa ;E_0}},$$ 其中右式由 §4.1–4.3 之定义与三位一体刻度直接给出；非在上述条件时不可无条件化为路径积分形式。窄带/弱色散极限下仍退化为 $\mathsf{T}\simeq {\int }_{\gamma }{n}_g(\ell )/cd\ell$。

（修订） 在被动、最小相位的透明带内，若该窗带上 $n(\omega )\ge 1$ 且 ${\partial }_{\omega }n(\omega )\ge 0$（正常色散）对 $\omega =E/\hslash$ 几乎处处成立，则带权平均满足 $$⟨n_g(\ell ,E){⟩}_{w,\kappa ;E_0}\ge 1,$$ 从而 $\mathsf{T}[w_R,\kappa ;L;E_0]\ge L/c$。一般情形不作逐点 $n_g\ge 1$ 断言；即使出现 $n_g<1$ 或 $n_g<0$ 的“快光/负群速“窗口，前沿速度仍等于 $c$，见本节首述的前沿—因果结论。

适用域：此前沿结论依赖于微因果性与局域线性响应（高频极限 $n(\omega )\to 1$）及推迟格林函数的支撑性质；在非局域/强增益情形仅保证“最早非零响应不超出光锥“。

4.5 与信息光锥的等价

在接收端于阈前仅含独立噪声且无预共享携信变量的条件下，首次可检互信息的速度上确界等于 $c$。该上确界由前沿速度与三位一体刻度共同约束。

4.6 与计量实现的互逆

以时定长：取 $c$ 为常数，用 $\ell =c\Delta t$ 定义长度单位；以延迟计长：用 $\mathsf{T}$ 反算 $L$。真空链路严格互逆，弱色散下在 NPE 上界内一致。

5. 四个桥接常数的体系内定义

5.1 $\hslash$：Weyl–Heisenberg 中心荷（phase–time 2-cocycle 的物理尺）

WSIG 定义（操作性）：令 $U(\Delta t)$ 为物理时间平移、$V(\Delta E)$ 为能量调制的酉表示。其射影对易相位满足 $$V(\Delta E)U(\Delta t)=\exp \left(\frac{i}{\hslash }\Delta E\Delta t\right)U(\Delta t)V(\Delta E).$$ $\hslash$ 定义为把几何 2-余因子 $\exp (i\tau \sigma )$ 提升为物理量 $\exp (i\Delta E\Delta t/\hslash )$ 的唯一比例尺；并以临界格 $\Delta t\Delta \omega =2\pi$ 锚定 $E=\hslash \omega$。Stone–von Neumann 唯一性定理保证该定标在正则类中唯一。

EBOC 定义（结构性）：在 EBOC 的时—频平移作用下，$\hslash$ 是 Weyl–Heisenberg 群的中心荷，把静态块上相位增量与时间叶参数的乘积映为能量刻度：$\Delta \Phi =\Delta E\Delta t/\hslash$。其值由 WSIG 定标唯一固定，因而在块—叶阅读中保持协变。

RCA 定义（操作—计量）：令一步演化 $U:=F=\exp (-i{H}_{\mathrm{CA}}\Delta t/\hslash )$，空间平移 ${\sigma }_a=\exp (iKa)$。Floquet 本征值 $U\psi =e^{-i\omega \Delta t}\psi$ 给出准能频率 $\omega$，据此读数 $E:=\hslash \omega$。$\hslash$ 由“步相 $\omega \Delta t$“到能量刻度的比例尺唯一确定。

意义（三侧对照）：$\hslash$ 是“相位—时间 2-cocycle“的中心荷：在 WSIG 中把 $\Delta E\Delta t$ 的几何相位提升为可计量相位；在 EBOC 中保证叶推进对 $E=\hslash \omega$ 的协变；在 RCA 中把离散步进的本征相位转为能标，实现三侧 $E\leftrightarrow \omega$ 的统一刻度。

存在、唯一与窗/核无关性：$\hslash$ 来自群表示的中心扩张，独立于 $(w_R,\kappa )$；对任意带限窗核，仅改变读数的收敛速率，不影响 $E=\hslash \omega$ 的比例尺。

5.2 $e$：$U(1)$ 规范 holonomy 的最小耦合量

WSIG 定义（操作性）：对由最小基本 $U(1)$ 载荷（如单电子，而非 Cooper 对）实现的闭合回路 $\mathcal{C}$，干涉相位 $$\Delta \varphi (\mathcal{C})=\frac{q}{\hslash }{\Phi }_B(\mathcal{C})(\mathrm{mod}2\pi ).$$ 令 ${\Phi }_{0,B}$ 为该基本载荷回路族实现首个相位复现 $\Delta \varphi =2\pi$ 的最小正磁通，定义 $$e:=\frac{2\pi \hslash }{{\Phi }_{0,B}}.$$ Josephson 说明：若观测到 ${\Phi }_0^{(J)}=h/(2e)$ 的周期，系由载荷 $2e$ 的复合态导致，其数据不可直接用于 $e$ 的原位定标；用于本定义时应以基本载荷回路的 ${\Phi }_{0,B}=h/e$ 为准。该定义仅用相位与磁通读数（在 WSIG 中以窗化相位实现），与传统电学单位无关。

EBOC 定义（结构性）：把 $U(1)$ 视为 EBOC 上的纤维联络。$e$ 是使回路 holonomy 的第一陈数实现最小非平凡元素时的耦合常数；其数值由 ${\Phi }_{0,B}$ 结合 $\hslash$ 唯一定标。

RCA 定义（操作—计量）：对局部更新引入 Peierls 相位 ${\theta }_{i+1/2}(n)$，闭合微回路的 Wilson 相位 $\oint \theta =2\pi m$ 读出磁通量子 ${\Phi }_{0,B}$。定义 $e:=2\pi \hslash /{\Phi }_{0,B}$，其最小值对应最小基本载荷的回路。

意义（三侧对照）：$e$ 把“相位 holonomy $\leftrightarrow$ 规范耦合“统一：WSIG 以相位回路定标，EBOC 以联络的第一陈类定标，RCA 以离散 Wilson 回路定标；三侧共同保证 ${\Phi }_{0,B}=2\pi \hslash /e$ 的装置无关性。

窗/核无关与稳定性：在 Nyquist 与有限阶 EM 下，${\Phi }_{0,B}$ 的确定不随 $(w_R,\kappa )$ 改变；跨装置基线相消保持 ${\Phi }_{0,B}$ 的不变性。

5.3 $k_{\mathrm{B}}$：信息温度到热温标的比例尺

WSIG 定义（操作性）：在能量约束的最大熵（最小 KL/I-投影）下，最优分布 $$p^{\star }\propto \exp (-\beta E).$$ 把自然参数 $\beta$ 与热温标 $T$ 以 $$T:=\frac{1}{k_{\mathrm{B}}\beta }$$ 对齐，定义 $k_{\mathrm{B}}$ 为把“每能量的纳特“映到“每开尔文“的比例尺。谱斜率读数满足 $${\partial }_{\omega }\log \left[\frac{I(\omega )}{{\omega }^3}\right]=-\frac{\hslash }{k_{\mathrm{B}}T}\cdot \frac{e^{\hslash \omega /(k_{\mathrm{B}}T)}}{e^{\hslash \omega /(k_{\mathrm{B}}T)}-1},$$ 在 Wien 极限 $\hslash \omega \gg k_{\mathrm{B}}T$ 下近似为 $-\hslash /(k_{\mathrm{B}}T)$。据此以“精确公式 + Wien 极限近似“联合锚定 $k_{\mathrm{B}}$，与卡诺温标构成双锚定标，保证唯一性与无环化。

EBOC 定义（结构性）：在静态块的叶上，自由能密度 $F=U-TS$ 把能量测度与信息熵（KL/Bregman 对偶势）同构。$k_{\mathrm{B}}$ 是把对偶势的自然参数 $\beta$ 转为温标 $T$ 的唯一比例尺，确保自由能、涨落与响应的协变表述。

RCA 定义（操作—计量）：在固定能量预算与可见胞元窗口下，以 I-投影得到 $p^{\star }\propto \exp (-\beta E)$ 的离散能谱直方；由多窗合成的 Wien 区斜率读出 $\beta$，再以 $T:=1/(k_{\mathrm{B}}\beta )$ 锚定温标。

意义（三侧对照）：$k_{\mathrm{B}}$ 把“信息参数 $\beta$“转为“热温标 $T$”：WSIG 由谱斜率与卡诺温标双锚；EBOC 由自由能的对偶势锚定；RCA 由可见态数与能谱直方锚定，三侧合一。

5.4 $G$：曲率—能量密度的几何耦合系数

WSIG 定义（操作性）：以窗化群延迟与相位层析反演几何曲率（或弱场势），以能量窗读取 $T_{\mu \nu }$ 的能量—动量通量。定义 $G$ 为使 $$G_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$$ 在所测域内成立的唯一比例系数；牛顿极限 ${\nabla }^2\varphi =4\pi G{\rho }_E/c^2$ 作为一致性约束。带限+Nyquist 与有限阶 EM 确保“延迟/偏折“与“能流“两侧的窗/核无关性。

EBOC 定义（结构性）：在静态块上，$G$ 把曲率泛函（测地偏差/光学度规）与能量密度测度配对为同一单位；其值由 WSIG 对表唯一定标，并在叶变换下协变。

RCA 定义（操作—计量）：以局域子步计划 $\mathcal{S}(i)$ 与占空比定义群折射率 $n_g(i):={\tau }_g(i)/\Delta t$，以离散 Noether 读数得到能流张量 $T_{\mathrm{CA}}^{\mu \nu }$。定义 $G$ 使离散曲率（微回路并行输运相位）与能流密度在悬挂极限中对表 $G_{\mu \nu }\sim \frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$ 的单位配比。

意义（三侧对照）：$G$ 统一“几何$\leftrightarrow$能流“的量纲：WSIG 侧通过相位-延迟-密度三刻度把曲率读数转为能量密度；EBOC 侧以光学度规/测地偏差配对能流；RCA 侧以子步-能流读数对齐，三侧单位一致。

5.5 无环化与独立性

命题 5.1（DAG）：单位—定标依赖图为 L0$\to$L1$\to$L2$\to$L3 的有向无环图：

L0：$(M,g),c$ 与相位/计数读数；

L1：可观测比例类（${\Phi }^{\prime },\mathrm{tr}\mathsf{Q},{\rho }_{\mathrm{rel}}$ 等）；

L2：$\hslash$（时间–频率锚）、$e$（holonomy 锚）、$k_{\mathrm{B}}$（温标与谱斜率双锚）、$G$（曲率—能流对表锚）；

L3：绝对标度的全部物理量。

四常数的定标锚彼此独立，且均不依赖待定常数本身；任何假设回路都会与三位一体刻度、NPE 误差闭合或相应的双锚校核矛盾，因而被排除。

6. 导出物理量及其在 EBOC 与可逆元胞自动机中的语义等价

设 EBOC 为二维子移位 $X\subset {\mathcal{A}}^{{\mathbb{Z}}^2}$，坐标记为 $(i,t)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ 或经悬挂流得到的 $(i,t)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{R}$；每个时间叶 ${\Sigma }_t:=\{(i,t):i\in \mathbb{Z}\}$ 搭配诱导度规 $h$。设可逆元胞自动机（RCA）为一维子移位 $Y\subset {\mathcal{B}}^{\mathbb{Z}}$ 与双射滑动块码 $F:Y\to Y$，局部半径为 $r$，格点间距为 $a$，基准时隙为 $\Delta t$。定义最大传播锥（光锥） $$\Lambda :=\{(i,n)\in {\mathbb{Z}}^2:|i|\le rn\},$$ 并以悬挂流构造算符谱 $U:=\exp (-i{H}_{\mathrm{CA}}\Delta t/\hslash )$ 与位移谱 ${\sigma }_a:=\exp (iKa)$。本节给出物理量在 $\text{EBOC}\leftrightarrow \text{RCA}$ 的语义等价字典与读数式，均遵循统一母尺 ${\phi }^{\prime }(E)⟺\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)⟺{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$。

6.1 语义接口：切片—悬挂与读数算子

WSIG（窗化读数）：在真空基线链路上以 $\mathsf{T}[w_R,\kappa ;L;E_0]$ 验证 $L/\mathsf{T}=c$。在纯传输且无显著反射/驻波，并满足几何光学（WKB）近似的链路条件下， $$\boxed{\mathsf{T}[w_R,\kappa ;L;E_0]=\frac{1}{c}{\int }_{\gamma }⟨n_g(\ell ,E){⟩}_{w,\kappa ;E_0}d\ell }.$$ 一般情形仅有严格恒等式 $$\boxed{\mathsf{T}[w_R,\kappa ;L;E_0]=\hslash ⟨\frac{1}{N}\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_L{⟩}_{w,\kappa ;E_0}}.$$ 速度上界仍由 A1 的 $c$ 限定。所有观测量通过窗—核对 $(w_R,\kappa )$ 与中心能量 $E_0$ 的能量域读数实现，并服从 NPE 三分误差闭合。以 $\mathsf{T}[w_R,\kappa ;L;E_0]$ 得到的 $c^{\mathrm{read}}$ 为 A1 常数 $c$ 的计量等值。

EBOC（静态块）：时间叶推进以叶索引 $t$ 表示，光锥上界为 $c$。叶内度规 $h_{ij}$ 给出空间长度刻度。

RCA（离散步进）：离散步进以 $n\in \mathbb{Z}$ 表示，通过悬挂流 $t:=n\Delta t$ 映为连续时间；格距 $a$、半径 $r$、步隙 $\Delta t$。由读数唯一确定比值 $\frac{a}{\Delta t}$ 使 $c_{\mathrm{CA}}:=\frac{ra}{\Delta t}=c$；$a,\Delta t$ 分别在 §6.4 的“谱对齐“（$E=\hslash \omega ,p=\hslash k$）中锁定。

意义（三侧对照）：三侧共享同一速度上界 $c$，并以窗化读数对齐时空参数；读数算子在三侧以相同的 NPE 误差账本闭合。

6.2 时—空—速—加速度

时间

• WSIG：以窗化群延迟 $\mathsf{T}[w_R,\kappa ;L;E_0]$ 给出时间刻度。
• EBOC：因果偏序的参量 $t$。
• RCA：步进索引 $n$ 与 $t=n\Delta t$。

空间与长度

• WSIG：以 $c\mathsf{T}$ 给出长度单位（雷达法）。
• EBOC：$\ell (\gamma )=\int \sqrt{h_{ij}{\dot{\gamma }}^i{\dot{\gamma }}^j}ds$。
• RCA：图度量 $d_{\mathrm{CA}}(i,j):=|i-j|a$，雷达法 ${\ell }_{\mathrm{CA}}(\gamma ):=N_{\mathrm{gate}}(\gamma )\frac{a}{2}$（最短往返门数 $N_{\mathrm{gate}}(\gamma )$）；经 $c_{\mathrm{CA}}=c$ 标定与 EBOC 一致。

速度与上界

• WSIG：速度上界 $c$ 由 $\mathsf{T}[w_R,\kappa ;L;E_0]$ 定标。
• EBOC：$v=d\ell /dt$，$|v|\le c$。
• RCA：$v_{\mathrm{CA}}:={\lim }_{n\to \infty }\frac{|i(n)-i(0)|a}{n\Delta t}\le \frac{ra}{\Delta t}=c$。

加速度

• WSIG：通过速度变化率的窗化读数给出。
• EBOC：$a=dv/dt$。
• RCA：定义离散位置 $x(n):=i(n)a$，加速度 $a_{\mathrm{CA}}:=\frac{x(n+1)-2x(n)+x(n-1)}{(\Delta t{)}^2}$，悬挂极限与 EBOC 一致。

意义（三侧对照）：时空量由 $c$ 与 $\mathsf{T}$ 统一定标；三侧速度上界一致；加速度在悬挂极限协变。

6.3 波—相—色散与群参数

平面模态

• WSIG：${\phi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$，色散由窗化相位读数给出。
• EBOC：波模 $\exp (i(k\cdot x-\omega t))$，色散关系 $\omega =\omega (k)$。
• RCA：Koopman 模态 ${\psi }_{k,\omega }(j,n)=\exp (i(kaj-\omega n\Delta t))$，$k\in [-\pi /a,\pi /a]$（第一布里渊区）；局部规则线性化给出离散 $\omega =\omega (k)$。

相位与群速度

• WSIG：先由窗化相位读数估计色散 $\omega (k)$，再取 $v_g=\frac{\partial \omega }{\partial k}$。能量域下用于校准的通道平均群延迟为 ${\bar{\tau }}_g(E)=\frac{\hslash }{N}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=\frac{2\hslash }{N}{\phi }^{\prime }(E)=\frac{2}{N}{\partial }_{\omega }\phi (E)$；单通道（特征相位 ${\theta }_{\alpha }$）则有 ${\tau }_{g,\alpha }(E)=\hslash {\partial }_E{\theta }_{\alpha }(E)={\partial }_{\omega }{\theta }_{\alpha }(E)$。与 $\omega (k)$ 联合校准。
• EBOC：由波模 $\exp (i(k\cdot x-\omega t))$，相位增量 $\boxed{\Delta \phi =k\Delta \ell -\omega \Delta t}$，$v_g=\partial \omega /\partial k$。
• RCA：Koopman 模态 ${\psi }_{k,\omega }(j,n)=\exp (i(kaj-\omega n\Delta t))$，相位增量 $\boxed{\Delta \phi =ka-\omega \Delta t}$，$v_g=\frac{\partial \omega }{\partial k}\le c$。亦可记无量纲斜率 ${\partial }_{(ka)}(\omega \Delta t)=v_g\Delta t/a$。

群延迟（窗口化）

• WSIG：通道平均 ${\bar{\tau }}_g=\frac{\hslash }{N}\mathrm{tr}\mathsf{Q}=\frac{2\hslash }{N}{\partial }_E\phi =\frac{2}{N}{\partial }_{\omega }\phi$，与 $\mathsf{T}[w_R,\kappa ;L;E_0]$ 对表。
• EBOC：${\tau }_g=\partial \phi /\partial \omega$。
• RCA：由 Floquet $\omega (k)$ 读出，与 WSIG 对表。

意义（三侧对照）：三侧色散关系由同一相位母尺 ${\phi }^{\prime }(E)⟺\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$ 统一；群延迟量纲为时间，含 $\hslash$ 因子，三侧一致。

6.4 能量—动量—质量—作用

能量与动量

• WSIG：$E=\hslash \omega$、$p=\hslash k$ 由窗化相位读数给出。
• EBOC：$E=\hslash \omega$、$p=\hslash k$。
• RCA：悬挂生成元 $U=\exp (-i{H}_{\mathrm{CA}}\Delta t/\hslash )$、位移生成元 ${\sigma }_a=\exp (iKa)$ 给出 $E=\hslash \omega$、$p=\hslash k$。

质量

• WSIG：静止能量 $E_0$ 由 $c$ 与 $\hslash$ 定标，$m:=E_0/c^2$。
• EBOC：$m:=E_0/c^2$。
• RCA：取 $k=0$ 的本征支 $\omega (0)$ 给出 $m=\hslash \omega (0)/c^2$。

作用

• WSIG：作用由相位读数给出。
• EBOC：$S=\int (pd\ell -Edt)$。
• RCA：离散作用 $S_{\mathrm{CA}}:={\sum }_n(p_n\Delta {\ell }_n-E_n\Delta t)$，悬挂极限与 EBOC 一致。

意义（三侧对照）：$E,p,m,S$ 由 $\hslash ,c$ 统一定标；三侧在 $E=\hslash \omega$ 与 $p=\hslash k$ 的锚定下对齐。

6.5 概率—指针—测量

概率

• WSIG：以 I-投影得到 $p^{\star }\propto \exp (-\beta E)$，约束由窗化能量读数 $⟨{\rho }_{\star }{⟩}_{w,\kappa ;E_0}$ 实现。
• EBOC：窗局域化的测度结构与 I-投影等价。
• RCA：有限胞元窗口下的 I-投影给出 $p^{\star }\propto \exp (-\beta E)$ 的离散能谱分布。

指针基

• WSIG：窗算子的 Ky-Fan 极大（选择 $\mathcal{W}$ 的前 $k$ 个特征值对应子空间）。
• EBOC：窗算子的 Ky-Fan 极大，在同一 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 刻度上实现。
• RCA：有限柱集诱导的窗算子 ${\mathcal{W}}_{R,T}$ 的 Ky-Fan 极大。

意义（三侧对照）：三侧指针基与概率分布在同一 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 刻度上等价，保证测量的一致性与 Born 规则的统一实现。

6.6 通量—应力—守恒

四流与连续方程

• WSIG：守恒律由窗化读数的谱密度守恒给出。
• EBOC：${\nabla }_{\mu }{J}^{\mu }=0$。
• RCA：键流 $J_{i+1/2}(n):=\frac{1}{\Delta t}(N_{i\to i+1}(n)-N_{i+1\to i}(n))$，离散散度 $\frac{Q_i(n+1)-Q_i(n)}{\Delta t}+\frac{J_{i+1/2}(n)-J_{i-1/2}(n)}{a}=0$，窗口化极限与 EBOC 一致。

应力—能量张量

• WSIG：$T^{\mu \nu }$ 由窗化能量—动量读数给出。
• EBOC：$T^{\mu \nu }$ 由 Noether 定理给出，${\nabla }_{\nu }{T}^{\mu \nu }=0$。
• RCA：局域能密度 ${\epsilon }_i$、动量密度 ${\pi }_i$ 给出 $T_{\mathrm{CA}}^{00}:=\epsilon$、$T_{\mathrm{CA}}^{01}:=c\pi$、$T_{\mathrm{CA}}^{11}$（压强/应力密度）；离散 Noether—Belinfante 得 ${\nabla }_{\nu }{T}_{\mathrm{CA}}^{\mu \nu }=0$。

意义（三侧对照）：守恒律与应力—能量张量在三侧以窗化读数统一，悬挂极限协变。

6.7 规范—电荷—Wilson 回路

$U(1)$ 规范

• WSIG：回路相位由窗化相位读数给出，${\Phi }_{0,B}=2\pi \hslash /e$，电荷 $e$ 由首个相位复现定标。
• EBOC：最小耦合 $p\mapsto p-qA$，回路 holonomy 给出 $\oint A={\Phi }_{0,B}m$。
• RCA：Peierls 替换引入边相位 ${\theta }_{i+1/2}(n)$，Wilson 回路相位 ${\Phi }_{\square }:={\theta }_{i+1/2}(n)+{\theta }_{i+1}(n+1/2)-{\theta }_{i+1/2}(n+1)-{\theta }_i(n+1/2)$ 作为离散场强 $\mathcal{F}$；$\oint \theta =2\pi m$ 给出量子化通量。

意义（三侧对照）：三侧对同一 Wilson 回路相位读数给出一致的最小耦合单位 ${\Phi }_{0,B}=2\pi \hslash /e$ 与电荷守恒律；规范不变性在三侧等价。

6.8 曲率—几何—并行输运

度规与光学等效

• WSIG：曲率由窗化相位层析读数反演。
• EBOC：Gordon 光学度规 $g_{\mu \nu }^{\mathrm{opt}}=g_{\mu \nu }+(1-1/n^2)u_{\mu }{u}_{\nu }$。
• RCA：时钟占空比与局部子步数 $m(i)$ 表示介质效应，等效群折射率 $n_g(i):=\frac{\text{每格有效子步数}}{\text{基准子步数}}=\frac{{\tau }_g(i)}{\Delta t}$。在（纯传输＋WKB）条件下的时间延迟： $$\tau (\gamma )=\frac{1}{c}{\int }_{\gamma }{n}_{g}d\ell .$$ 一般情形采用 $$\tau (\gamma )=\mathsf{T}[w_R,\kappa ;L;E_0]=\hslash ⟨\frac{1}{N}\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_L{⟩}_{w,\kappa ;E_0}.$$

离散曲率

• WSIG：曲率测量由相位—延迟—密度统一刻度给出。
• EBOC：Riemann 曲率张量。
• RCA：联络为局部相位平移，微回路并行输运相位偏差为离散曲率；窗口化极限对应 EBOC 的 Riemann 曲率张量测量性不变量。

意义（三侧对照）：曲率与光学度规在三侧通过相位—延迟—密度统一刻度对齐；$G$ 统一几何↔能流的量纲。

6.9 折射率—介质密度—时钟重标

相位折射率与群折射率

• WSIG：$n,n_g$ 由窗化相位与群延迟读数给出。
• EBOC：$\lambda =c/(nf)$；（纯传输＋WKB）条件下 $${\tau }_g(\gamma )=\frac{1}{c}{\int }_{\gamma }{n}_{g}d\ell .$$ 一般情形：传播时间由 $$\mathsf{T}[w_R,\kappa ;L;E_0]=\hslash ⟨\frac{1}{N}\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_L{⟩}_{w,\kappa ;E_0}$$ 给出。
• RCA：局部更新计划 $\mathcal{S}(i)$ 的子步安排给出 $n(i):=\frac{\text{相位子步周期}}{\text{基准周期}}$、$n_g(i):=\frac{\partial \phi }{\partial \omega }/\Delta t$。

介质效应：介质密度升高导致局部等待子步数增加，$n,n_g$ 同向增大，对应传播时间刻度的等效伸长。

意义（三侧对照）：$n,n_g$ 在三侧以时间延迟与相位读数统一定标；介质密度对时钟重标的影响在三侧等价。

6.10 温度—熵—化学势

温度与熵

• WSIG：$T$ 由谱斜率与卡诺温标双锚定标（见 5.3），$S$ 由 I-投影与窗化能量读数给出。
• EBOC：$S=-k_{\mathrm{B}}\sum p\ln p$、$T^{-1}=\partial S/\partial E$。
• RCA：窗化能量直方与 I-投影给出相同形式；有效态数 ${\Omega }_{\mathrm{eff}}$ 定义 $S_{\mathrm{CA}}:=k_{\mathrm{B}}\ln {\Omega }_{\mathrm{eff}}$、$T^{-1}=\frac{\partial S_{\mathrm{CA}}}{\partial E}$。

化学势与守恒族

• WSIG/EBOC/RCA：若存在守恒计数 $N={\sum }_i{n}_i$，三侧配分函数 $\mathcal{Z}={\sum }_{\text{states}}\exp (-\beta (E-\mu N))$，并以窗化读数校准 $(\beta ,\mu )$。

意义（三侧对照）：温标、熵与化学势在三侧由 $k_{\mathrm{B}}$ 与 I-投影统一定标；有效态数在三侧对应。

6.11 力—非测地性—最小耦合（离散表达）

统一定义

• WSIG：力由窗化读数与最小耦合 $⟨\mathcal{Q},\mathcal{F}⟩$ 确定，荷符号 $\mathcal{Q}$ 区分于 Wigner–Smith 矩阵 $\mathsf{Q}$。
• EBOC：$f^{\mu }=m{u}^{\nu }{\nabla }_{\nu }{u}^{\mu }$（非测地性）$=-{\nabla }_{\nu }{T}_{\mathrm{matter}}^{\mu \nu }$（物质动量通量散度）$=⟨\mathcal{Q},{\mathcal{F}}^{\mu }{}_{\nu }⟩u^{\nu }$（最小耦合）。
• RCA：定义离散协变差分 ${\nabla }_{\nu }^{\mathrm{d}}$ 与四速度 $u_{\mathrm{d}}^{\mu }$，取 $f_{\mathrm{CA}}^{\mu }:=m{u}_{\mathrm{d}}^{\nu }{\nabla }_{\nu }^{\mathrm{d}}{u}_{\mathrm{d}}^{\mu }=-{\nabla }_{\nu }^{\mathrm{d}}{T}_{\mathrm{CA},\mathrm{matter}}^{\mu \nu }=⟨\mathcal{Q},{\mathcal{F}}^{\mu }{}_{\nu }⟩u_{\mathrm{d}}^{\nu }$。

意义（三侧对照）：三侧力的三重等价（非测地性$=$动量通量散度$=$最小耦合）在悬挂极限一致；荷 $\mathcal{Q}$ 与 Wigner–Smith $\mathsf{Q}$ 明确区分，保证物理含义与量纲清晰。

6.12 读数一致性与不变量

WSIG 定义（窗化读数）：对任意窗—核对 $(w_R,\kappa )$ 与中心能量 $E_0$，观测量以 $$\boxed{\mathrm{Obs}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E-E_0)[\kappa \star {\rho }_{\star }](E)dE=⟨{\rho }_{\star }{⟩}_{w,\kappa ;E_0}+{\mathcal{E}}_{\mathrm{alias}}+{\mathcal{E}}_{\mathrm{EM}}+{\mathcal{E}}_{\mathrm{tail}}}$$ 读取，并以 NPE 三分误差闭合。Trinity 保证 ${\phi }^{\prime }(E)⟺\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)⟺{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$ 的统一刻度。

EBOC 与 RCA：两侧同名量在 WSIG 读数下量纲与数值对齐；读数算子服从相同的 NPE 误差账本。

不可变性（三侧对照）

• 在带限与 Nyquist 条件及有限阶 EM 纪律下，阈值、共振与奇性集合在三侧映射中保持。
• 信息/前沿速度的上界由 $c$ 统一固定；相速度与群速度/群延迟在被动最小相位且无强反常色散时满足 $n_g\ge 1$ 的通常界，但在存在增益或强反常色散时可超光或为负，且不违背前沿因果（见 §4.4）。
• Wilson 回路相位的整数性不随窗—核改变。

意义（三侧对照）：三侧读数在同一母尺 ${\phi }^{\prime }(E)⟺\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)⟺{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$ 下闭合，保证物理量的一致性、上界的一致性与不变量的一致性。

6.13 实施与校准步骤（最小足够集）

步 1（速度对齐）：以基线链路测得 $\mathsf{T}[w_R,\kappa ;L;E_0]$ 并验证 $L/\mathsf{T}=c$；在 RCA 侧选取 $(a,\Delta t)$ 使 $ra/\Delta t=c$。

步 2（谱对齐）：以多窗对 ${\partial }_E\mathrm{Arg}\det S$ 与 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 同步读数，校准 $E=\hslash \omega$、$p=\hslash k$ 与 $\omega (k)$。

步 3（介质对齐）：在 EBOC 侧用 $n,n_g$ 读出介质；在 RCA 侧以子步计划 $\mathcal{S}(i)$ 与占空比重现 ${\tau }_g$ 的空间分布。一般情形以严格恒等式 $$\mathsf{T}[w_R,\kappa ;L;E_0]=\hslash ⟨\frac{1}{N}\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_L{⟩}_{w,\kappa ;E_0}$$ 对表；仅在纯传输、无显著反射/驻波且满足几何光学（WKB）近似时，再行验证 $$\mathsf{T}[w_R,\kappa ;L;E_0]=\frac{1}{c}{\int }_{\gamma }⟨n_g(\ell ,E){⟩}_{w,\kappa ;E_0}d\ell .$$ （与 §4.4 保持一致。）

步 4（规范—几何对齐）：以 AB/Josephson 型相位与 Wilson 回路相位对齐 $e$；以微回路并行输运相位对齐离散曲率与 EBOC 曲率的层析读数。

上述等价保证所有导出物理量在 EBOC 静态块与 RCA 可逆演化之间的读数一致性、上界一致性与不变量一致性，且均以统一母尺 ${\phi }^{\prime }(E)⟺\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)⟺{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$ 实现。

7. 力的统一定义与分类

统一定义：$f^{\mu }=\frac{D{p}^{\mu }}{D\tau }=m{u}^{\nu }{\nabla }_{\nu }{u}^{\mu }$。

三重等价： $$\text{力}=\underset{\text{非测地性}}{\underbrace{m{u}^{\nu }{\nabla }_{\nu }{u}^{\mu }}}=\underset{\text{物质部分的动量通量散度}}{\underbrace{-{\nabla }_{\nu }{T}_{\mathrm{matter}}^{\mu \nu }}}=\underset{\text{最小耦合}}{\underbrace{⟨\mathcal{Q},{\mathcal{F}}^{\mu }{}_{\nu }⟩u^{\nu }}}.$$

证明：将总应力—能量张量分解为 $T^{\mu \nu }=T_{\mathrm{matter}}^{\mu \nu }+T_{\mathrm{field}}^{\mu \nu }$，由 ${\nabla }_{\nu }{T}^{\mu \nu }=0$ 得 $-{\nabla }_{\nu }{T}_{\mathrm{matter}}^{\mu \nu }={\nabla }_{\nu }{T}_{\mathrm{field}}^{\mu \nu }=:f^{\mu }$，与最小耦合项对表一致。规范联络的最小耦合给出 $⟨\mathcal{Q},\mathcal{F}⟩$ 形式，自由落体满足 $f^{\mu }=0$。微观读数以 $\dot{\mathbf{p}}=\hslash \dot{\mathbf{k}}$、$\dot{E}=\hslash \dot{\omega }$ 实现，并与三位一体刻度及窗化恒等式相容。

分类：几何力（度规/联络）、规范力（$U(1)$/非阿贝尔）、有效力（自由能梯度、辐射压）。所有观测量落在 ${\phi }^{\prime }$、$\mathrm{tr}\mathsf{Q}$、${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 同一母尺上。

8. 新力的可定义性与最小对象

判据：以已知模型的 ${\rho }_{\mathrm{rel}}^{\mathrm{known}}(E)$ 为基线，构造残差 $r(E):={\phi }^{\prime }(E)-\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}^{\mathrm{known}}(E)$。若 $r$ 在多窗/多核、Nyquist 安全采样下稳健非零且超出 NPE 上界，并满足 Herglotz/KK 解析一致性，则定义新力 $\mathfrak{F}$ 为使 $r(E)\equiv \pi {\rho }_{\mathrm{rel}}^{\mathfrak{F}}(E)$ 的最小对象。

构造：以 $r/\pi$ 为边界密度建立 Herglotz 函数 $m_{\mathfrak{F}}(z)=\int \frac{d{\mu }_{\mathfrak{F}}(\lambda )}{\lambda -z}$ 得谱测度 ${\mu }_{\mathfrak{F}}$；由 ${\mu }_{\mathfrak{F}}$ 构造最小 de Branges 空间与再生核 $K$，使 $K(x,x)={\pi }^{-1}{\phi }^{\prime }(x)|E(x){|}^2$；以“窗不变奇性、阈值迁移、holonomy 周期、通量差“等不变量将 $m_{\mathfrak{F}}$ 归入几何/规范/有效类之一。有限阶 EM 保证奇性保持。