$(c)$-FIRST：光速常数的窗口化群延迟表述、等价层、误差账本与完整证明（全文）

Version: 1.27（2025-10-31，Asia/Dubai）

作者：Auric（EBOC / WSIG / S-series）

关键词：光速常数；因果前沿；Wigner–Smith 延迟；Birman–Kreĭn 公式；谱移函数；Kramers–Kronig（因果—解析）；微因果；信息光锥；Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin 误差账本；SI 计量基准

MSC：81U05；47A40；94A15；78A40；83A05

0.0 立场声明

本文不对光速常数 $c$ 作任何重新定义或数值调整。$c$ 的常数地位与数值属于既定理论与度量学体系之内容。本文仅提供一种窗口化群延迟视角下对 $c$ 的新表述：在严格指明的理想模型与条件下，相关群延迟量与路径长度之比呈现为 $c$ 的等价刻画。这一表述是数学—物理结构的重述，而非对常数的重定标。

0.1 误差 = 解析余项（用语与符号约定）

本文中误差一词严格指数学逼近的解析余项，与实验测量误差或统计不确定度无关。典型情形包括（但不限于）： $$\mathsf{Err}=\underset{\text{采样与混叠项}}{\underbrace{{\epsilon }_{\mathrm{alias}}}}+\underset{\text{Euler–Maclaurin 至第 m 阶截断余项}}{\underbrace{{\epsilon }_{\mathrm{EM}}^{(m)}}}+\underset{\text{窗/频带外尾项}}{\underbrace{{\epsilon }_{\mathrm{tail}}}}.$$ 其中 $m$ 为 Euler–Maclaurin 采用的截断阶；$N$ 专指采样网格点数/区间数，二者概念独立，不应混用。上式各项均为确定性（可上界/可控制）量；若无特别说明，本文所有“误差““误差账本“均作如上解析意义理解。

0.2 记号与单位

设能量变量为 $E=\hslash \omega$，散射矩阵 $S(E)\in \mathrm{U}(N)$ 可对能量求导。Wigner–Smith 延迟矩阵定义为 $Q(E):=-iS(E{)}^{†}\frac{dS}{dE}(E)$；它是厄米矩阵，总群延迟记为 ${\tau }_{\mathrm{WS}}(E):=\hslash \mathrm{tr}Q(E)$（单位：秒）。**Smith（1960）原始“寿命矩阵“将 $\hslash$ 并入矩阵定义，记 $Q_{\text{Smith}}:=-i\hslash S^{†}\frac{dS}{dE}$；本文采用不含 $\hslash$ 的 $Q$ 约定，并以 ${\tau }_{\mathrm{WS}}=\hslash \mathrm{tr}Q$ 表示总群延迟，二者仅差一个 $\hslash$ 因子（量纲与 §13.1 一致）。**这一构造在电磁、声学等多域广泛使用。(APS链接)

本文默认单模链路（$N=1$；多端口情形见第 11 节），并对观测采用带宽随 $R\uparrow$ 增长的窗 $w_R$（归一化 ${\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)dE=2\pi$）与前端核 $h$ 的卷积，其中 $h\in L^1(\mathbb{R})$ 且归一化为 ${\int }_{\mathbb{R}}h(E)dE=1$，因此对任意常值 $C_0$ 有 $h\star C_0=C_0$（避免与下文的光速常数 $c$ 混淆）。SI 与计量对齐采用“固定 $c$“的定义：$c=299792458\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ 为精确常数，米用 $l=c\Delta t$ 实现。(BIPM)

1. 主表述（WSIG）与要证目标

1.1 窗口化群延迟读数（定义）

窗口化群延迟读数定义为 $$\mathsf{T}[w_R,h;L]:=\frac{\hslash }{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)[h\star \mathrm{tr}{Q}_L](E)dE,$$ 上式诱导记号：$⟨f{⟩}_{w,h}:=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)[h\star f](E)dE,$，于是 $\mathsf{T}=\hslash ⟨\mathrm{tr}{Q}_L{⟩}_{w,h}$。其中 $L$ 是端点的欧氏几何距。

1.2 表述（光速的窗口化群延迟基线）

在自由空间（真空、均匀、无界、无耗散）的理想模型下，对长度 $L$ 的真空链路与任意满足 ${\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)dE=2\pi$ 与 ${\int }_{\mathbb{R}}h(E)dE=1$ 的窗口/前端核对 $(w_R,h)$，窗口化群延迟读数满足 $$\boxed{\mathsf{T}[w_R,h;L]=\frac{L}{c}}$$ 为便于后文引用，可记 ${\bar{\tau }}_{\mathrm{vac}}[w_R,h;L]:=\mathsf{T}[w_R,h;L]$。该表述仅为对既定常数 $c$ 的结构性重述，不涉及对 $c$ 的重定义或数值调整。

1.3 要证目标

本文主线：证明上式表述之 $c$ 与下列四类结构互为等价：

• （A）相位斜率 / 谱移密度：${\partial }_E\arg \det S=\mathrm{tr}Q=-2\pi {\xi }^{\prime }(E)$（BK 公式），故 $\mathsf{T}=\hslash ⟨{\partial }_E\arg \det S⟩$。(arXiv)
• （B）因果前沿：严格因果 $\iff$ 频响上半平面解析（KK），3D 推迟格林函数支撑在光锥 $t=r/c$ 上，故最早非零响应速度为 $c$。(APS链接)
• （C）信息光锥（在假设 7.0 下）：互信息首次可检阈值速度的上确界等于 $c$。(APS链接)
• （D）SI 实现互逆：“以时定长”（SI）与“以延迟计长“（本文）互为实现。(BIPM)

此外给出**Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（NPE）**非渐近误差账本，实现工程可检。(fab.cba.mit.edu)

2. 基本性质与引理

引理 2.1（$Q$ 的厄米性与相位导数恒等式）

若 $S(E)$ 幺正可微，则 $Q(E)=-i{S}^{†}{S}^{\prime }$ 厄米，且 $${\partial }_E\arg \det S(E)=\mathrm{tr}Q(E).$$

证明：由 $S^{†}S=I$ 得 $(S^{†}{)}^{\prime }S+S^{†}{S}^{\prime }=0\Rightarrow (S^{†}{)}^{\prime }S=-S^{†}{S}^{\prime }$。故 $$Q^{†}=i(S^{†}{)}^{\prime }S=-i{S}^{†}{S}^{\prime }=Q.$$ 又 ${\partial }_E\ln \det S=\mathrm{tr}(S^{-1}{S}^{\prime })=\mathrm{tr}(S^{†}{S}^{\prime })=i\mathrm{tr}Q$，取虚部即得 ${\partial }_E\arg \det S=\mathrm{tr}Q$。—证毕。

（与 Smith 的“寿命矩阵“在 $\hslash$ 因子上一致；参见 §0 的约定说明。）(APS链接)

引理 2.2（BK 公式与谱移导数）

取 Birman–Kreĭn 约定 $\det S(E)=\exp \{-2\pi i\xi (E)\}$，则 $$\mathrm{tr}Q(E)=-2\pi {\xi }^{\prime }(E).$$

证明：对上式取导：${\partial }_E\ln \det S=-2\pi i{\xi }^{\prime }$。又 ${\partial }_E\ln \det S=i\mathrm{tr}Q$，合并得 $\mathrm{tr}Q=-2\pi {\xi }^{\prime }$。—证毕。(arXiv)

注：文献亦见不同号约定；本文一律采用上式带“−“号的 BK 约定。(arXiv)

3. 真空链路的 $S$ 与 $\mathrm{tr}Q$

对理想真空链路长度 $L$，平面波传播相位为 $\varphi (E)=EL/(\hslash c)$；因无耦合、无增益/损耗，故 $$S_L(E)=e^{i\varphi (E)}\in \mathrm{U}(1),\Rightarrow Q_L(E)=\frac{d\varphi }{dE}=\frac{L}{\hslash c},$$ 为与能量无关的常数。据此 $$\mathsf{T}[w_R,h;L]=\frac{\hslash }{2\pi }\int w_R(E)[h\star Q_L](E)dE=\frac{\hslash }{2\pi }\int w_R(E)Q_{L}dE=\frac{\hslash }{2\pi }\cdot 2\pi \cdot \frac{L}{\hslash c}=\frac{L}{c}.$$

因此若忽略采样与带宽截断误差，则主表述直接给出 $c=L/\mathsf{T}$。下面用 NPE 误差账本严格控制有限带宽与离散观测误差（第 8 节）。关于 $Q$、${\tau }_{\mathrm{WS}}$ 的物理与测量见 Smith 原文与当代综述。(APS链接)

4. 主表述的存在—唯一与窗/核无关性（完整证明）

命题 4.1：在真空链路上，窗口化群延迟读数 $\mathsf{T}[w_R,h;L]=L/c$ 的关系存在且唯一，与窗 $w_R$ 与前端核 $h$ 的具体形状无关。

证明：

1. 常值结构：由第 3 节，$\mathrm{tr}{Q}_L(E)\equiv L/(\hslash c)$。卷积 $h\star \mathrm{tr}{Q}_L$ 与加窗平均均不改变常值。

2. Nyquist（别名项）：若被测与窗—核的总频谱在能量的共轭变量 $\tau$（单位：${\mathrm{J}}^{-1}$）上严格带限，即 $\hat{f}(\tau )$ 支撑于 $|\tau |<{\tau }_{\max }$，则 Poisson 求和给出无混叠的充要条件 $$\boxed{\frac{2\pi }{\Delta E}>2{\tau }_{\max }⟺\Delta E<\frac{\pi }{{\tau }_{\max }}}.$$ 在该条件下频谱重复项不重叠，从而 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$。若仅具“有效带宽“（存在带外尾项，非严格带限），则一般 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}\ne 0$，其量级由带外能量与 $\Delta E$ 给出，应按 §8.1 的上界并入误差账本。(fab.cba.mit.edu)

互斥说明（Paley–Wiener）：严格的 $\tau$ 域带限与 $E$ 域紧支撑不可能同时成立（除零函数）。因此，上述“严格带限—Poisson/Nyquist“与下述“紧支撑—Euler–Maclaurin“是两种互斥的数值/实验设置：实际使用时应择一并据此记账。若采用 $w_R\in C_c$（紧支撑窗），则属“非严格带限“，别名项一般不为零，需按 §8.1 的上界并入误差账本。

3. Poisson—EM（端点与尾项）：为应用 Euler–Maclaurin 上界，取整数 $m\ge 1$，并假设 $g(E):=w_R(E)[h\star \mathrm{tr}{Q}_L](E)\in C^{2m}[a,b]$ 且 $g^{(2m)}$ 可积；在真空链路下因 $h\star \mathrm{tr}{Q}_L$ 为常值，选择 $w_R\in C_c^{2m}$ 即可满足该条件。设能量步长为 $\Delta E$，节点 $E_n=a+n\Delta E$。则求和公式的 Euler–Maclaurin 余项满足 $$\left|R_{2m}\right|\le \frac{2\zeta (2m)}{(2\pi {)}^{2m}}(\Delta E{)}^{2m-1}{\int }_a^b|g^{(2m)}(E)|dE\le \frac{2\zeta (2m)}{(2\pi {)}^{2m}}(\Delta E{)}^{2m-1}(b-a)\underset{E\in [a,b]}{\sup }|g^{(2m)}(E)|.$$ 将其与梯形积分联系起来（两边乘以 $\Delta E$ 并整理），得 $$\Delta E\left[\frac{g(a)+g(b)}{2}+\sum _{n=1}^{N-1}g(E_n)\right]={\int }_a^{b}g(x)dx+\sum _{k=1}^m\frac{B_{2k}}{(2k)!}(\Delta E{)}^{2k}[g^{(2k-1)}(b)-g^{(2k-1)}(a)]+\Delta E{R}_{2m}.$$ 因而对未做端点校正的纯梯形法，总体主阶为 $O((\Delta E{)}^2)$；仅当满足 $g^{(2k-1)}(a)=g^{(2k-1)}(b)=0$（$k=1,\dots ,m-1$，例如选用在端点平滑为零的窗 $w_R$ 或加入相应 EM 端点修正）时，整体误差方可提升为 $O((\Delta E{)}^{2m})$。另需注意 Euler–Maclaurin 为渐近展开：增大 $m$ 并不保证误差单调减小，应依据 $g$ 的平滑性选取最优截断阶 $m_{\ast }$。—证毕。(carmamaths.org)

4. 极限与唯一性（理论项）：综合 1)–3)，在真空链路下 $$\mathsf{T}[w_R,h;L]=\frac{\hslash }{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)[h\star \mathrm{tr}{Q}_L](E)dE=\frac{L}{c}.$$ 因此 ${\lim }_{\text{带宽}\uparrow }\mathsf{T}=L/c$ 存在且与 $w_R,h$ 无关，从而窗口化群延迟表述给出 $c=L/\mathsf{T}$ 的唯一关系。

与实测值的区分：有限采样与有限带宽下，观测量 $$\mathrm{Obs}=\mathsf{T}[w_R,h;L]+{\epsilon }_{\mathrm{alias}}+{\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}},$$ 其中各 $\epsilon$ 的上界如 §8 所述，随带宽↑、步长↓ 而收敛至 0；对阶数 $m$ 应固定或按最优截断阶 $m_{\ast }$ 选择，不以 $m\uparrow$ 作为收敛保证。—证毕。

5. 等价层（一）：相位—谱移—延迟（完整证明）

定理 5.1：取 BK 约定 $\det S(E)=\exp \{-2\pi i\xi (E)\}$，则几乎处处 $$\boxed{\mathrm{tr}Q(E)={\partial }_E\arg \det S(E)=-2\pi {\xi }^{\prime }(E)}.$$

证明：已于引理 2.1–2.2 逐步给出：${\partial }_E\arg \det S=\mathrm{tr}Q$，而 BK 给 ${\partial }_E\ln \det S=-2\pi i{\xi }^{\prime }$。二式相合即得。—证毕。(arXiv)

推论 5.2：窗口化平均下 $$\mathsf{T}[w_R,h;L]=\hslash ⟨{\partial }_E\arg \det S_L{⟩}_{w,h}=-\hslash 2\pi ⟨{\xi }^{\prime }(E){⟩}_{w,h}.$$

真空链路 $S_L(E)=e^{iEL/(\hslash c)}\Rightarrow {\partial }_E\arg \det S_L=L/(\hslash c)$，故 $\mathsf{T}=L/c$。—证毕。

注：更一般的障碍散射、波迹与 BK 的联系可见 Borthwick 的系统论述。(arXiv)

6. 等价层（二）：因果前沿 = $c$（完整证明）

6.1 KK—因果等价（Toll）

为避免与 §1.1 的能量域前端核 $h(E)$ 混淆，本节将时域脉冲响应记为 $\kappa (t)$，其频率（复频）响应记为 $$K(z):={\int }_0^{\infty }\kappa (t)e^{izt}dt,\Im z>0.$$

定理 6.1（Toll）：稳定线性时不变系统的严格因果性（$\kappa (t)=0,t<0$）与其频率响应 $K(\omega )$ 的上半平面解析性及 Kramers–Kronig 色散关系逻辑等价。(APS链接)

证明要点：

(i) 若 $\mathrm{supp}\kappa \subset [0,\infty )$，则 $K(z)$ 在 $\Im z>0$ 全纯，边界值满足 Hilbert 变换，得 KK 关系；

(ii) 反向由 Paley–Wiener–Titchmarsh 定理：若 $K$ 可在上半平面解析并满足适当增长条件，逆变换得 $\kappa (t)$ 支持于非负半轴。因此严格因果 $\iff$ KK。—证毕。(APS链接)

6.2 光锥前沿（仅适用于自由空间）

对三维标量波动方程，在自由空间（真空、均匀、无界、无耗散）模型下，推迟格林函数为 $$G_{\mathrm{ret}}(t,\mathbf{r})=\frac{\delta (t-|\mathbf{r}|/c)}{4\pi |\mathbf{r}|},$$ 其支撑严格位于光锥 $t=r/c$。对于 Maxwell 方程，在同样条件下，时域 dyadic（张量）格林函数可由标量核 $\delta (t-r/c)/(4\pi r)$ 经张量微分算子生成，因而为分布级的 $\delta$ 及其导数在 $t=r/c$ 上的组合；据此最早非零前沿为 $t=r/c$。

适用限制：在存在色散/耗散或边界的介质中通常出现 $t>r/c$ 的尾项；但在无超信号性的理论中前沿不早于 $r/c$。—证毕。(solar.physics.montana.edu; dyadic 结构见 ETH Zürich)

6.3 快/慢光与前驱

色散介质可出现 $v_g>c$ 或负群速，但信息/前沿速度不超过 $c$。Sommerfeld–Brillouin 前驱解析式与实验（Stenner–Gauthier–Neifeld；Macke–Ségard）均证实“可检信息最早不早于真空同程“。(PubMed)

7. 等价层（三）：信息光锥（在下述通信模型假设下的证明）

假设 7.0（通信模型，允许预共享资源）：信道为严格因果的真空 LTI 链路；允许发送端与接收端预共享经典随机数或量子纠缠；在时间窗口 $\Delta t$ 内，若 $\Delta t<L/c$ 则不存在任何跨区通信（无超信号性）。

定义“首次可检互信息时间“ $$T_{\delta }(L):=\inf \{\Delta t\ge 0:\exists \text{协议使}I(X;Y_{\Delta t})\ge \delta \},\boxed{c_{\mathrm{info}}:=\underset{\delta \downarrow 0}{\mathrm{limsup}}\underset{L>0}{\sup }\frac{L}{T_{\delta }(L)}}.$$

定理 7.1（信息光锥）：在假设 7.0 下，有 $c_{\mathrm{info}}=c$。

证明：

上界：由无超信号性与微因果，$\Delta t<L/c$ 时，接收端观测 $Y_{\Delta t}$ 不能携带发送端输入 $X$ 的信息，故 $I(X;Y_{\Delta t})=0$，从而 ${\sup }_{L}L/T_{\delta }(L)\le c\forall \delta >0\Rightarrow {\mathrm{limsup}}_{\delta \downarrow 0}\le c$。

下界：真空链路上第 3–5 节给出 $\mathsf{T}=L/c$。设接收端做能量或相干阈值检验（考虑信道+探测器总噪声），则当 $\Delta t=L/c+\epsilon$ 且满足宽带—门限准则时，窗口积累的信噪随带宽/时间线性增长，存在阈值 $\delta (\epsilon )\downarrow 0$ 使 $I\ge \delta (\epsilon )$。Dorrah–Mojahedi 用“可检测信息速度“以 SNR 阈值在总噪声模型下形式化了该事实。对任意 $\epsilon >0$ 存在 $\delta (\epsilon )\downarrow 0$ 使 ${\sup }_L\frac{L}{T_{\delta (\epsilon )}(L)}\ge c-\epsilon \Rightarrow {\mathrm{liminf}}_{\delta \downarrow 0}\ge c$。

收束：由上界与构造性下界并用，${\mathrm{limsup}}_{\delta \downarrow 0}={\mathrm{liminf}}_{\delta \downarrow 0}=c$ 因而极限存在且等于 $c$，即 $c_{\mathrm{info}}=c$。—证毕。(APS链接)

注：量子场论视角下，“无超信号性 $\Rightarrow$ 微因果“的当代证明为上界提供了独立逻辑支撑。(arXiv)

8. NPE 误差账本（非渐近上界与证明）

令理论（连续）聚合量 $$\mathsf{T}:=\frac{\hslash }{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)[h\star \mathrm{tr}Q](E)dE.$$

令 $g(E):=w_R(E)[h\star \mathrm{tr}Q](E)$，取等距能量网格 $E_n=a+n\Delta E$（$n=0,\dots ,N$，$b=a+N\Delta E$）。定义梯形法的离散估计量 $$\mathrm{Obs}:=\frac{\hslash }{2\pi }\Delta E\left[\frac{g(E_0)+g(E_N)}{2}+\sum _{n=1}^{N-1}g(E_n)\right],$$ 与连续量 $\mathsf{T}=\frac{\hslash }{2\pi }{\int }_a^{b}g(E)dE$ 对应。其偏差由 ${\epsilon }_{\text{alias}}$、${\epsilon }_{\text{EM}}$ 与 ${\epsilon }_{\text{tail}}$ 构成，详见下文。

由有限采样与有限带宽/阶数， $$\mathrm{Obs}=\mathsf{T}+{\epsilon }_{\text{alias}}+{\epsilon }_{\text{EM}}+{\epsilon }_{\text{tail}}=\frac{L}{c}+{\epsilon }_{\text{alias}}+{\epsilon }_{\text{EM}}+{\epsilon }_{\text{tail}},$$ 其中第二个等号在真空链路下由 $\mathsf{T}=L/c$（见 §3–§4）给出。

8.1 Nyquist 与 Poisson（变量与单位已显式化）

设能量域 Fourier 对为 $$\hat{f}(\tau ):={\int }_{\mathbb{R}}f(E)e^{-i\tau E}dE,[\tau ]={\mathrm{J}}^{-1}.$$

则对任意步长 $\Delta E>0$ 与偏移 $a\in \mathbb{R}$，Poisson 求和为 $$\boxed{\sum _{n\in \mathbb{Z}}f(a+n\Delta E)=\frac{1}{\Delta E}\sum _{k\in \mathbb{Z}}\hat{f}\left(\frac{2\pi k}{\Delta E}\right)e^{i\frac{2\pi ka}{\Delta E}}}.$$

无混叠（alias-free）充要条件：若 $\hat{f}(\tau )=0$ 当 $|\tau |\ge \pi /\Delta E$，则所有 $k\ne 0$ 项为零，别名项消失。

别名误差上界（非严格带限时；针对梯形估计量）： $$\boxed{\left|{\epsilon }_{\mathrm{alias}}^{\text{trap}}\right|\le \sum _{k\ne 0}\left|\hat{f}\left(\frac{2\pi k}{\Delta E}\right)\right|}.$$ 此处把 Poisson 周期化后的 $\Delta E\sum f$ 与 $\int f$ 之差写为 $k\ne 0$ 频谱重复的和；有限区间的端点/权重误差由 §8.2 的 EM 上界单独计入，不在此项重复记账。

与频率域的等价换元：令 $\omega :=E/\hslash ,\Delta \omega :=\Delta E/\hslash ,g(\omega ):=f(\hslash \omega ),\hat{g}(t):=\int g(\omega )e^{-i\omega t}d\omega$（此时 $t=\hslash \tau$），则 $$\sum _{n}g({\omega }_0+n\Delta \omega )=\frac{1}{\Delta \omega }\sum _{k\in \mathbb{Z}}\hat{g}\left(k{T}_s\right)e^{ik{T}_s{\omega }_0},T_s:=\frac{2\pi }{\Delta \omega }\text{（时间采样周期）}.$$

无混叠条件在 $(\omega ,t)$ 变量下等价为 $$\boxed{T_s>2t_{\max }⟺\Delta \omega <\frac{\pi }{t_{\max }}},$$ 其中 $t_{\max }$ 为 $\hat{g}(t)$ 的支持上界；在能量域对应为 $$\boxed{\Delta E<\frac{\pi \hslash }{t_{\max }}}.$$

在本文应用中可取 $f(E)=w_R(E)[h\star \mathrm{tr}Q](E)$。上述单位与变量的显式化保证 §4 与 §8 的 NPE 误差账本在能量采样与频率采样两种实现之间严格一致、可检且无歧义。—证毕。(math.columbia.edu)

8.2 Euler–Maclaurin（端点与尾项）

对光滑 $g$ 与整数 $m\ge 1$，步长 $\Delta E$ 的 Euler–Maclaurin 给出 $$\sum _{n=0}^{N}g(E_n)=\frac{1}{\Delta E}{\int }_a^{b}g(x)dx+\frac{g(a)+g(b)}{2}+\sum _{k=1}^m\frac{B_{2k}}{(2k)!}(\Delta E{)}^{2k-1}(g^{(2k-1)}(b)-g^{(2k-1)}(a))+R_{2m},$$ 其中 $E_n=a+n\Delta E,N=(b-a)/\Delta E$。余项满足可用上界 $$\left|R_{2m}\right|\le \frac{2\zeta (2m)}{(2\pi {)}^{2m}}(\Delta E{)}^{2m-1}{\int }_a^b|g^{(2m)}(x)|dx\le \frac{2\zeta (2m)}{(2\pi {)}^{2m}}(\Delta E{)}^{2m-1}(b-a)\underset{x\in [a,b]}{\sup }|g^{(2m)}(x)|.$$ 针对梯形积分的误差阶：将上式两边乘以 $\Delta E$ 并整理得 $$\underset{\text{梯形法}}{\underbrace{\Delta E\left[\frac{g(a)+g(b)}{2}+\sum _{n=1}^{N-1}g(E_n)\right]}}={\int }_a^{b}g(x)dx+\sum _{k=1}^m\frac{B_{2k}}{(2k)!}(\Delta E{)}^{2k}[g^{(2k-1)}(b)-g^{(2k-1)}(a)]+\Delta E{R}_{2m}.$$ 由 $|R_{2m}|\le \frac{2\zeta (2m)}{(2\pi {)}^{2m}}(\Delta E{)}^{2m-1}{\int }_a^b|g^{(2m)}|$，得到 $$|\mathrm{Obs}-\mathsf{T}|\le \frac{\hslash }{2\pi }\left[\sum _{k=1}^m\frac{|B_{2k}|}{(2k)!}(\Delta E{)}^{2k}\cdot |g^{(2k-1)}(b)-g^{(2k-1)}(a)|+\frac{2\zeta (2m)}{(2\pi {)}^{2m}}(\Delta E{)}^{2m}{\int }_a^b|g^{(2m)}(x)|dx\right].$$ 因此在固定带宽下、对未做端点校正的纯梯形法，其误差展开自 $O((\Delta E{)}^2)$ 起；仅当 $g^{(2k-1)}(a)=g^{(2k-1)}(b)=0$（$k=1,\dots ,m-1$）或显式加入对应的 EM 端点修正时，整体误差方可达到 $O((\Delta E{)}^{2m})$。此外，EM 为渐近级数，应选取最优截断阶 $m_{\ast }$，不应把 $m\uparrow$ 视为保证收敛的手段。取 $g=w_R[h\star \mathrm{tr}Q]$ 即得 ${\epsilon }_{\text{EM}}$ 的显式上界。—证毕。(carmamaths.org)

8.3 尾项（有限带宽截断）

若 $w_R$ 的频域窗在带外具有至多代数/指数衰减，$h\star \mathrm{tr}Q$ 连续且有界，则 $$\left|{\epsilon }_{\text{tail}}\right|\le |h\star \mathrm{tr}Q{|}_{\infty }\cdot {\int }_{|E|>{\Omega }_R}|w_R(E)|dE\to 0$$ （${\Omega }_R\uparrow$）。—证毕。

9. 工程实现：以延迟计长 & 与 SI 交叉校准（规约与可检性）

规约：

(i) 选几何已知的真空链路 $L$；(ii) 宽带激励，测得 $\hat{\tau }=\mathsf{T}[w_R,h;L]$；(iii) 计算 $\hat{c}=L/\hat{\tau }$，并随带宽验证“别名=0、端点/尾项收敛“；(iv) 以铯频率链与干涉计长度链交叉校准，闭环至 SI “以时定长“的 Mise en pratique。(BIPM)

介质与“快光“注意：群速异常不影响信息/前沿速度上界；检测阈值下的信息速度 $\le c$ 的理论与实验证据详见文献。(PubMed)

10. 结论定理（四等价与唯一性）

定理 10.1：光速常数 $c$ 可由窗口化群延迟表述唯一刻画；且与

$(\mathrm{A})$ 相位斜率/谱移密度、$(\mathrm{B})$ 因果前沿、$(\mathrm{C})$ 信息光锥（在假设 7.0 下）、$(\mathrm{D})$ SI 实现

两两等价。—证毕（综上第 3–9 节）。

11. 多端口一般化与离散实现（RCA 光锥）

11.1 多端口一般化与基线校准条件

若 $S(E)\in \mathrm{U}(N)$，令“平均延迟“$\bar{\tau }(E):=\hslash \frac{1}{N}\mathrm{tr}Q(E)$。对无耦合且各通道等长的 $N$ 端口真空链路，有 $S(E)=e^{iEL/(\hslash c)}{I}_N$，从而 $Q(E)=\frac{L}{\hslash c}{I}_N$，各本征延迟皆为 $L/c$，故 $\bar{\tau }(E)=L/c$。

多端口分解与恢复条件：令 $S(E)\in \mathrm{U}(N)$ 表示 $N$ 端口散射矩阵，作分解 $$S(E)=e^{iEL/(\hslash c)}U(E),U(E)\in \mathrm{U}(N).$$ 则 Wigner–Smith 算子 $Q(E)=-i{S}^{†}(E)S^{\prime }(E)$ 的迹满足 $$\mathrm{tr}Q(E)=\frac{NL}{\hslash c}-i\mathrm{tr}(U^{†}(E)U^{\prime }(E)),\bar{\tau }(E)=\frac{L}{c}-\frac{i\hslash }{N}\mathrm{tr}(U^{†}(E)U^{\prime }(E)).$$

注意 $U^{†}{U}^{\prime }$ 反厄米：由 $(U^{†}U{)}^{\prime }=0$ 得 $(U^{†}{)}^{\prime }U+U^{†}{U}^{\prime }=0\Rightarrow (U^{†}{U}^{\prime }{)}^{†}=-(U^{†}{U}^{\prime })$，故 $\mathrm{tr}(U^{†}{U}^{\prime })\in i\mathbb{R}$，从而 $-\frac{i\hslash }{N}\mathrm{tr}(U^{†}{U}^{\prime })\in \mathbb{R}$，保证 $\bar{\tau }$ 为实数。

基线校准：若存在参考链路使 $\mathrm{tr}(U^{†}{U}^{\prime })$ 在被测与参考两链路间相同（或可精确建模并扣除），则窗口化平均恢复 $\bar{\tau }=L/c$。对于单一 S-参数 $S_{mn}$，仅在“直达真空通道、无额外色散耦合且端口等长“的条件下有 $\hslash {\partial }_E\arg S_{mn}=L/c$；否则亦需按上法相消/校准（参见第 9 节）。—证毕。(APS链接)

11.2 离散等价（RCA 光锥与 CHL）

半径 $r$ 的一维可逆元胞自动机（RCA）中，$t$ 步后每个元胞仅受初态 $\pm rt$ 邻域影响（归纳法可证），形成离散光锥，取栅距 $a$、步长 $\Delta t$ 得离散“光速“ $c_{\mathrm{disc}}=ra/\Delta t$。CHL 定理刻画“连续＋移位共变“的滑动块码与 CA 的等价性。进一步，若该滑动块码为双射且其逆亦为滑动块码，则得到可逆 CA，从而在离散因果结构下实现可逆的传播光锥。—证毕。(维基百科)

12. 与相对论/场论的相容性（要点证明）

• 洛伦兹协变：标量波动方程与 Maxwell 方程的推迟格林函数支撑均在 $t=r/c$（第 6.2 节），保证“光锥前沿= $c$“ 与协变性一致。—证毕。(solar.physics.montana.edu)
• 微因果：Soulas 证明“无超信号性 $\Rightarrow$ 微因果“；结合 6.1–6.2，所得前沿与信息光锥一致。—证毕。(arXiv)

13. 补充证明细节

13.1 $Q$ 的物理量纲与真空常值

由 $Q=-i{S}^{†}\frac{dS}{dE}$ 得 $[Q]=E^{-1}$，故 ${\tau }_{\mathrm{WS}}=\hslash \mathrm{tr}Q$ 具时间量纲。真空链路 $S_L(E)=e^{iEL/(\hslash c)}\Rightarrow \mathrm{tr}{Q}_L=L/(\hslash c)$ 为常值，保证 $\mathsf{T}=L/c$。—证毕。(APS链接)

13.2 KK—因果的严格化（记号统一）

与 §1.1 的能量域核 $h(E)$ 区分，本节统一使用 $\kappa (t)$ 表示时域脉冲响应，$K(z)$ 表示其频率响应。给定 $\kappa \in L^2(\mathbb{R})$ 且 $\mathrm{supp}\kappa \subset [0,\infty )$，则 $K(z)$ 为上半平面全纯函数，边界值 $K(\omega )$ 的实部与虚部由 Hilbert 变换互定，即 KK 关系；反向由 Paley–Wiener–Titchmarsh 定理推出 $\kappa (t)=0$（$t<0$）。—证毕。(APS链接)

13.3 光锥支撑的直接校验（自由空间）

对标量波动方程，在自由空间（真空、均匀、无界、无耗散）下，将 $G_{\mathrm{ret}}(t,\mathbf{r})=\delta (t-r/c)/(4\pi r)$ 代入波算符 $(\frac{1}{c^2}{\partial }_t^2-{\nabla }^2)$ 的分布意义计算，可得 $(\frac{1}{c^2}{\partial }_t^2-{\nabla }^2)G_{\mathrm{ret}}=\delta (t)\delta (\mathbf{r})$；支撑仅在 $t=r/c$。对 Maxwell 方程，在同样条件下，其 dyadic 格林函数为分布级的 $\delta$ 及其导数在光锥上的组合，支撑同样仅在光锥上，故前沿速度结论相同。在色散/耗散或有边界介质中此结论不成立。—证毕。(solar.physics.montana.edu; ETH Zürich)

13.4 信息阈值与误差指数

对二元假设检验（存在/不存在微弱信号），在独立样本数随观测时间/带宽线性增长时，最优误差指数为 KL 散度（Chernoff–Stein）；Dorrah–Mojahedi 在含总噪声模型下跟踪“可检测信息速度“，与本表述一致。—证毕。(APS链接)

14. 最终陈述

以“窗口化群延迟“表述之 $c$，在真空链路上给出 $L/\mathsf{T}$ 的唯一值；该值与相位斜率/谱移密度、因果前沿与信息光锥三线并证，且与 SI 的固定数值完全一致。工程上，NPE 误差账本提供非渐近、可操作的精度控制与校准路径。(BIPM)

参考文献

1. F. T. Smith, “Lifetime Matrix in Collision Theory,” Phys. Rev. 118 (1960) 349–356。 2. BIPM，《SI 手册》（第九版，v3.02）。 3. A. Pushnitski, “The Birman–Krein formula,” arXiv:1006.0639（2010）。 4. J. S. Toll, “Causality and the Dispersion Relation: Logical Foundations,” Phys. Rev. 104 (1956) 1760–1770。 5. A. H. Dorrah, M. Mojahedi, “Velocity of detectable information in faster-than-light pulses,” Phys. Rev. A 90 (2014) 033822。 6. C. E. Shannon, “Communication in the Presence of Noise,” Proc. IRE 37 (1949) 10–21。（脚注链接为教学版 PDF） 7. D. H. Bailey, J. M. Borwein, “Effective Error Bounds in Euler–Maclaurin-Based Quadrature Schemes”（2005/2006）。 8. D. Borthwick, Scattering by Obstacles（arXiv:2110.06370，2022 版）。 9. PH519 Lecture Notes, “The Wave Equation Green’s Function”（2020，教学讲义 PDF）。 10. M. D. Stenner, D. J. Gauthier, M. A. Neifeld, “The speed of information in a ‘fast-light’ optical medium,” Nature 425 (2003) 695–698。 11. A. Soulas, “No-signalling implies microcausality in QFT,” arXiv:2309.07715（2025 版）。 12. P. Woit, “Notes on the Poisson Summation Formula”（2020，讲义）。 13. Curtis–Hedlund–Lyndon theorem（CHL 定理）条目与综述（维基）。 14. BIPM，“SI 基本单位：米（metre）“页面。 15. ETH Zürich, “Radiation” lecture notes, Ch. 6（时域 dyadic 格林函数）。

附：关键出处与段落对应（选摘）

• SI “以时定长“与固定 $c$ 的表述与数值：BIPM 官方页面与 SI 手册。(BIPM)
• Wigner–Smith 定义与跨域应用：Smith 1960；JASA 近作（声学版）。(APS链接)
• Birman–Kreĭn 与 $\det S$ 的谱移表述与导数关系：Pushnitski（2010）；Borthwick（2021/2022）。(arXiv)
• KK—因果等价：Toll 1956。(APS链接)
• 3D 推迟格林函数的光锥支撑：标量波动方程讲义；Maxwell dyadic 格林函数。(solar.physics.montana.edu; ETH Zürich)
• 快/慢光与信息速度：Stenner–Gauthier–Neifeld（2003）；Dorrah–Mojahedi（2014）；前驱分析（2012）。(PubMed)
• NPE 误差账本的三支：Shannon（Nyquist）、Poisson（Woit 讲义）、EM（Bailey–Borwein）。(fab.cba.mit.edu)
• CHL 定理与离散光锥：维基条目与 CA 专著。(维基百科)

（全文完）