WSIG-QFT：窗口化散射与信息几何的场论公理、定理与证明

Version: 1.3

作者：Auric（S-series / EBOC） 关键词：窗口化读数；de Branges–Kreĭn 规范系统；Weyl–Heisenberg 表象；Birman–Kreĭn；Wigner–Smith 延迟；I-投影；Wexler–Raz；Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（NPE）误差闭合 MSC：81Txx；47Bxx；46E22；42C15

摘要

本文构建并严格化 WSIG-QFT（Windowed Scattering & Information-Geometry Quantum Field Theory）：在带权 Mellin—对数模型与 de Branges–Kreĭn（DBK）规范系统下，以 Weyl–Heisenberg 运动学刻度“相位—尺度“，以 Birman–Kreĭn（BK）—Wigner–Smith（WS） 链连接散射相位导数与（相对）谱密度，以 Csiszár-型 I-投影实现 Born 概率 = 相对熵最小化，以 Ky-Fan 光谱极小实现 指针基 = 读数二次型的谱极小，并以 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（NPE） 提供非渐近误差闭合与带限-采样判据。多通道下建立 窗化 BK 恒等式 与 多窗帧—Wexler–Raz 协同条件，并给出可检前提、明确陈述与（依公认判据的）完整证明。

1. 设定与记号

对数—Mellin 模型与镜像对合. 取 ${\mathcal{H}}_a=L^2({\mathbb{R}}_{+},x^{a-1}dx)$，令 $x=e^t$ 则与 $L^2(\mathbb{R})$ 等距。定义调制/尺度作用

$$(U_{\tau }f)(x)=x^{i\tau }f(x),(V_{\sigma }f)(x)=e^{\sigma a/2}f(e^{\sigma }x),$$

满足 $V_{\sigma }{U}_{\tau }=e^{i\tau \sigma }{U}_{\tau }{V}_{\sigma }$（Weyl 关系）。镜像对合 $(Jf)(x)=x^{-a}f(1/x)$ 为酉，Mellin 变换满足 ${\mathcal{M}}_a[Jf](s)={\mathcal{M}}_a[f](a-s)$。该对称由标准 Mellin 恒等式给出并见诸手册与 DLMF 条目。

DBK 规范系统与 Herglotz–Weyl 词典. 取半轴规范系统 $J{Y}^{\prime }(t,z)=zH(t)Y(t,z)$（$H⪰0$ 可积，$J=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$）。其 Weyl–Titchmarsh 函数 $m(z)$ 为 Herglotz，非切边界虚部给谱密度 $\rho (E)={\pi }^{-1}\Im m(E+i0)$；每个 Herglotz 函数皆源自某个迹范化的规范系统（de Branges 定理）。

散射数据与相位—延迟矩阵. 设可散射对 $(H_0,H)$ 满足 trace-class 扰动前提；S-矩阵 $S(E)$ 的 Wigner–Smith 延迟矩阵 $Q(E)=-iS(E{)}^{\ast }{\partial }_{E}S(E)$ 定义良好，其特征值为“固有延迟时间“。

2. WSIG-QFT 公理

A1（Weyl–Heisenberg 协变与镜像）. 物理可观测的相位—尺度作用由 $(U_{\tau },V_{\sigma })$ 的射影酉表示实现，镜像 $J$ 实现 $s\mapsto a-s$ 的完成对称（Mellin 侧）。

A2（窗化读数）. 任何现实读数皆等价于能量侧卷积—加权的线性泛函

$$\mathcal{R}[F;{\rho }_{\star }]\equiv {\int }_{\mathbb{R}}F(E){\rho }_{\star }(E)dE,F:=h\ast w_R,$$

其中 $h$ 为前端核，$w_R$ 为偶窗，${\rho }_{\star }=\rho$ 或相对密度 $\rho -{\rho }_0$。

A3（相位—密度刻度）. 在 BK 与 WS 链下，几乎处处

$$\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(E)={\xi }^{\prime }(E)=\mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)(E),\boxed{\det S(E)=e^{2\pi i\xi (E)}},$$

其中正号约定与 ${\xi }^{\prime }=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q$ 以及单通道 ${\phi }^{\prime }(E)=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$（$S=e^{2i\phi }$）完全一致。

A4（概率—信息一致性）. 线性矩约束族上最小化 KL-散度的解等价于 Born 概率；其充要条件由 Csiszár 的 I-投影几何与勾股恒等式给出。

A5（NPE 非渐近闭合）. 对 $F=h\ast w_R$ 的等距采样/数值求积，误差按 alias（Poisson）+ EM 伯努利层 + 尾项 三分解；若 $\mathrm{supp}\hat{F}\subset [-{\Omega }_F,{\Omega }_F]$ 且 $\Delta \le \pi /{\Omega }_F$，则别名项为 $0$。

3. 运动学与镜像核

定理 3.1（CCR—Weyl 关系与对数表象等价）

令 $U_{\tau }=e^{i\tau A}$、$V_{\sigma }=e^{i\sigma B}$，其中在核 $\mathcal{D}:=C_c^{\infty }({\mathbb{R}}_{+})$ 上 $$(Af)(x)=(\log x)f(x),(Bf)(x)=-i(x{\partial }_x+\frac{a}{2})f(x).$$ 则在共同稠密核 $\mathcal{D}$ 上有 $[A,B]=iI$，闭包后 $[\overline{A},\overline{B}]=iI$，其指数式给出 $V_{\sigma }{U}_{\tau }=e^{i\tau \sigma }{U}_{\tau }{V}_{\sigma }$。经 $x=e^t$ 等距，与 $L^2(\mathbb{R})$ 的调制—平移表象幺正等价。

证明（略要）：Stone 定理给强连续一参数群与生成元；直接计算得 Weyl 关系；等距映射由 $L^2({\mathbb{R}}_{+},x^{a-1}dx)\simeq L^2(\mathbb{R})$ 与 Mellin–Fourier 互化给出。∎

定理 3.2（镜像核与完成函数）

若 $K(x)=x^{-a}K(1/x)$ 且 $K\in L^1({\mathbb{R}}_{+},x^{a-1}dx)$，则 Mellin 变换 $\Phi (s)={\int }_0^{\infty }K(x)x^{s-1}dx$ 满足 $\Phi (s)=\Phi (a-s)$。乘以对称因子 $r(s)$ 得完成函数 $\Xi (s)=r(s)\Phi (s)$。

证明：由 $J$ 的定义与 ${\mathcal{M}}_a[Jf](s)={\mathcal{M}}_a[f](a-s)$ 直接推出。∎

4. 动力学：相位—密度—延迟

定理 4.1（相位导数 =（相对）谱密度）

设 $(H_0,H)$ 为自伴对且 $H-H_0\in {\mathfrak{S}}_1$。记谱移函数 $\xi$ 与 S-矩阵 $S(E)$。则 a.e. $E$ 有

$$\boxed{\det S(E)=e^{2\pi i\xi (E)}},{\xi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(E)=\mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)(E),$$

单通道时 $S(E)=e^{2i\phi (E)}$ 并 ${\phi }^{\prime }(E)=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$。

证明：第一式为 Birman–Kreĭn 公式；第二式由 $Q(E)=-i{S}^{\ast }{\partial }_{E}S$ 与 ${\partial }_E\arg \det S(E)=\mathrm{tr}Q(E)$ 得；${\xi }^{\prime }$ 与相对局域态密度（relative LDOS）之等价见谱移—迹公式（下一节）。单通道情形代入 $S=e^{2i\phi }$ 即证。∎

命题 4.2（阈值与相位临界对齐）

若某阈值 $E_0$ 处 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E_0)=0$，则 ${\phi }^{\prime }(E_0)=0$。

证明：由定理 4.1 的单通道式 ${\phi }^{\prime }=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}$ 直接推出。∎

5. 窗化迹公式与窗化 BK 恒等式

定理 5.1（Lifshits–Kreĭn 迹公式—窗化版）

设 $f\in \mathrm{OL}(\mathbb{R})$（算子 Lipschitz），取 $f=(h\ast w_R)$ 的原函数使 $f^{\prime }=F$。则

$$\mathrm{tr}(f(H)-f(H_0))={\int }_{\mathbb{R}}{f}^{\prime }(E)\xi (E)dE={\int }_{\mathbb{R}}F(E)\xi (E)dE.$$

证明要点：对 $H-H_0\in {\mathfrak{S}}_1$ 的成对自伴算子，Lifshits–Kreĭn 迹公式在 $f\in \mathrm{OL}$ 类上成立；置 $f^{\prime }=F$ 即得“窗化迹“。∎

定理 5.2（窗化 Birman–Kreĭn 恒等式）

在定理 5.1 前提下，分部积分并用 $\boxed{\det S(E)=e^{2\pi i\xi (E)}}$ 得

$${\int }_{\mathbb{R}}F(E){\xi }^{\prime }(E)dE=-\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\mathbb{R}}{F}^{\prime }(E)\log \det S(E)dE=-\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\mathbb{R}}(h^{\prime }\ast w_R)(E)\log \det S(E)dE.$$

若 $h,w_R$ 带限且光滑，右端有限并给出窗化 BK 账本。

前提补充：取与 $\xi$ 对齐的连续分支 $\boxed{\log \det S(E):=2\pi i\xi (E)}$。若 $F\in W^{1,1}\cap L^1$ 且 $\boxed{F(E)\xi (E)\to 0(E\to \pm \infty )}$（或 $F$ 具紧支撑），则分部积分无边界项，上式成立并与 Nyquist 带限情形的采样无混叠相容。

证明：由定理 5.1 写作 $\int f^{\prime }\xi$，以 $f^{\prime }=F$，分部积分并代入 BK 公式即证。∎

6. 概率—信息层：Born = I-投影；Pointer = 光谱极小

定理 6.1（Born 概率 = KL-I 投影（充要））

设先验 $q$ 与线性矩约束族 $\mathcal{L}=\{p:{\mathbb{E}}_p[{\varphi }_j]=c_j\}$ 非空。最小化 $D_{\mathrm{KL}}(p\Vert q)$ 的解 $p^{\star }$ 取指数族形式，且当且仅当 $\log p^{\mathrm{Born}}-\log q$ 落在约束法向子空间加常数的仿射包中时，$p^{\star }=p^{\mathrm{Born}}$。

证明：Csiszár 的 I-投影 KKT 条件与勾股恒等式给出充要条件；温度参数 $\beta \to \infty$ 的 softmax 退化为硬投影。∎

定理 6.2（指针基 = 光谱极小（充要））

设读数二次型 $Q_X=\mathrm{tr}(X^{\ast }AX)$（或窗算子谱半正）并限制在秩 $k$ 正交投影集合。则最小值为 $\boxed{\sum _{j=1}^k{\lambda }_j^{\uparrow }(A)}$ 于 $A$ 的最小 $k$ 维本征子空间处取得（Ky-Fan 原理）；谱隙 $\delta$ 下，该子空间对扰动 $|A-\tilde{A}|\le \epsilon$ 的偏转由 Davis–Kahan 给出 $\sin \Theta \lesssim \epsilon /\delta$。

证明：Ky-Fan 迹极小与 Rayleigh–Ritz；稳定性由 Davis–Kahan。∎

7. NPE：别名 + Euler–Maclaurin + 尾项 的非渐近闭合

定理 7.1（Poisson—Nyquist 与别名消失）

设 $F\in L^1\cap C^1$ 且 $\hat{F}$ 紧支集于 $[-{\Omega }_F,{\Omega }_F]$。对步长 $\Delta >0$ 有 Poisson 求和

$$\Delta \sum _{n\in \mathbb{Z}}F(n\Delta )=\sum _{k\in \mathbb{Z}}\hat{F}\left(\frac{2\pi k}{\Delta }\right).$$

若 $\Delta \le \pi /{\Omega }_F$，则仅 $k=0$ 项存留，别名项 $k\ne 0$ 全零。

证明：由 Poisson 公式标准版与带限支撑直接推出。∎

定理 7.2（Euler–Maclaurin 有界余项）

对 $F\in C^{2M}([a,b])$ 有

$$\sum _{n=a}^{b}F(n)={\int }_a^{b}F(x)dx+\frac{F(a)+F(b)}{2}+\sum _{m=1}^{M-1}\frac{B_{2m}}{(2m)!}(F^{(2m-1)}(b)-F^{(2m-1)}(a))+R_{2M},$$

其中 $|R_{2M}|\le \frac{2\zeta (2M)}{(2\pi {)}^{2M}}{\int }_a^b|F^{(2M)}(x)|dx$。

证明：经典 EM 推导与周期化 Bernoulli 多项式余项估计。∎

定理 7.3（NPE 三分解闭合）

令求值量为 ${\mathcal{S}}_T:=\Delta {\sum }_{|n|\le T/\Delta }F(n\Delta )$，$\mathcal{I}:={\int }_{\mathbb{R}}F$。则

$${\mathcal{S}}_T-\mathcal{I}=\underset{\text{alias}}{\underbrace{\sum _{k\ne 0}\hat{F}\left(\frac{2\pi k}{\Delta }\right)}}+\underset{\text{伯努利层}}{\underbrace{{\mathsf{EM}}_{2M}(F;\Delta ,T)}}+\underset{\text{尾项}}{\underbrace{{\int }_{|x|>T}F(x)dx}},$$

并给出别名消失的 Nyquist 判据与 EM/尾项的显式上界。

证明：定理 7.1 与 7.2 叠加并分离截断尾项即得。∎

8. 多通道散射：CCS 与窗化账本

定理 8.1（多通道 CCS 主定理：窗化 BK）

设 $n$ 通道 S-矩阵 $S(E)$ 可微，$H-H_0\in {\mathfrak{S}}_1$。取 $h\in W^{1,1}$、偶窗 $w_R\in W^{1,\infty }\cap L^1$，令 $F=h\ast w_R$。则 a.e. $E$

$${\partial }_E\arg \det S(E)=\mathrm{tr}Q(E),\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(E)=\mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)(E),$$

且成立窗化 BK 恒等式

$${\int }_{\mathbb{R}}F(E)\mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)(E)dE=-\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\mathbb{R}}(h^{\prime }\ast w_R)(E)\log \det S(E)dE.$$

若 $h,w_R$ 带限且 $\boxed{\Delta \le \pi /\min \{{\Omega }_h,{\Omega }_w\}}$，则数值采样的别名为零。

证明：第一行由定理 4.1；第二行由定理 5.2；Nyquist 结论由定理 7.1 作用在 $\boxed{\hat{F}=\hat{h}\cdot {\hat{w}}_R}$ 的支持上推得。若 $\mathrm{supp}\hat{h}\subset [-{\Omega }_h,{\Omega }_h]$、$\mathrm{supp}{\hat{w}}_R\subset [-{\Omega }_w,{\Omega }_w]$，则 $$\mathrm{supp}\hat{F}\subset [-{\Omega }_F,{\Omega }_F],{\Omega }_F:=\min \{{\Omega }_h,{\Omega }_w\},$$ 从而取 $\boxed{\Delta \le \pi /{\Omega }_F}$ 时采样别名项为零。∎

9. 多窗协同：帧、Wexler–Raz 与稳健优化

定理 9.1（均匀移位帧与 Wexler–Raz 双正交）

在“频域对角化/单块无混叠“设定下（即 $\{{\hat{w}}_{\alpha }\}$ 按 $b\mathbb{Z}$ 平移的支撑互不重叠，使帧算子在频域对角化），族 $\{M_{mb}{T}_{na}{w}_{\alpha }\}$ 为 Parseval 的充要条件是

$$\boxed{\frac{1}{a}\sum _{\alpha }|{\hat{w}}_{\alpha }(\xi ){|}^2\equiv 1(\text{a.e. }\xi )}.$$

在一般情形，上式为充分条件；必要条件需同时满足 Wexler–Raz 双正交的交错约束。

其对偶窗满足 Wexler–Raz 双正交与 Janssen-型对偶性。

证明：Wexler–Raz 身份与密度定理给出 Parseval/Tight 条件与双正交关系。∎

定理 9.2（非平稳 Gabor 帧的对角化与界）

在“单块无混叠“（频域支持不交）与 Calderón 和可加界下，非平稳窗族帧算子在频域对角化，帧界由 $\mathcal{C}(\xi )={\sum }_{\alpha }|{\hat{w}}_{\alpha }(\xi ){|}^2/a_{\alpha }$ 的本征界给出；$|\mathcal{C}-1{|}_{\infty }\le \epsilon$ 时帧界为 $(1-\epsilon ,1+\epsilon )$。

证明：参照非平稳 Gabor 帧的构造与对偶窗显式式子，对角化来自块-无混叠下的点态乘子结构。∎

定理 9.3（多窗-NPE 协同优化的 KKT 方程）

以 NPE 上界为对手、带限偶子空间为可行域，极小化 $\mathsf{alias}+\mathsf{EM}+\mathsf{tail}$ 得到“带限投影 + 卷积乘子“的 KKT 方程；Hilbert 强凸设定下解唯一。

证明：目标为窗函数的二次—凸泛函，约束为带限线性子空间；KKT 正常性与强凸性给唯一解。∎

10. 与标准场论的接口

Wightman/LSZ 的窗化替代. 正定性由 RKHS/WH 实现；微因果可替换为“窗化局域性 + 采样无混叠“；Haag–Ruelle/LSZ 的入/出场在能量窗下更稳定，并可用窗化 BK 对相位增量与谱移进行校准。（参考 Streater–Wightman 纲要、Haag–Ruelle 扩展与综述。）

11. 例：一维 Schrödinger 与图上 Ihara ζ

（i）一维势散射. 令 $H=-{\partial }_x^2+V$、$H_0=-{\partial }_x^2$。窗化读数 $\int F{\rho }_{\mathrm{rel}}$ 等价于窗化相位增量 $-\frac{1}{2\pi i}\int F^{\prime }\log \det S$；${\phi }^{\prime }=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}$ 与 Wigner–Smith 延迟一致。

（ii）图上的 Ihara ζ（离散场）. 对有限 $(q+1)$-正则图，Ihara ζ 的完成多项式满足 ${\Xi }_G(s)={\Xi }_G(1-s)$；其行列式表达式与谱—轨道词典提供离散版本的“窗化读数—误差闭合“。

12. 复现实验清单（Minimal Working Example）

1. 选偶窗 $w_R\in {\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}$、核 $h\in W^{2M,1}$；取 $\boxed{\Delta \le \pi /\min \{{\Omega }_h,{\Omega }_w\}}$ 与 EM 阶 $M\ge 2$，截断半径 $T$。
2. 由散射数据计算 $\rho$ 或 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$，评估 $\int (h\ast w_R){\rho }_{\star }$ 与窗化 BK。
3. 构造多窗 Parseval 帧（定理 9.1），必要时解定理 9.3 的 KKT 方程以微调带宽分配。
4. 决策层以 I-投影完成概率校准（定理 6.1），软/硬温度切换由 $\beta$ 控制。

13. 与 S-series / UMS / WSIG-QM 的接口

13.1 与 S15–S26 的接口。

• S15–S17 的 Herglotz 表示与规范系统为本文 §1 的 DBK 规范系统提供解析结构。
• S24 的纤维 Gram 表征与 Wexler–Raz 双正交为本文定理 9.1 提供具体实现框架。
• S25 的非平稳 Weyl–Mellin 框架与本文定理 9.2 的非平稳 Gabor 帧共享数学结构。
• S26 的相位密度刻度 ${\phi }^{\prime }(x)=\pi \rho (x)$ 与本文公理 A3、定理 4.1 完全一致。

13.2 与 WSIG-QM 的接口。

• 本文可视为 WSIG-QM 的场论版本；WSIG-QM 的七大公理（A1–A7）与本文公理 A1–A5 在概念与表述上高度对齐。
• WSIG-QM 的定理 T1（窗口化读数恒等式）对应本文定理 5.2（窗化 BK 恒等式）。
• WSIG-QM 的定理 T2（Born = I-projection）对应本文定理 6.1。
• WSIG-QM 的定理 T3（指针基 = 光谱极小）对应本文定理 6.2。
• WSIG-QM 的定理 T4（相位—密度—延迟统一）对应本文定理 4.1。

13.3 与 UMS 的接口。

• UMS 的核心统一式 $d{\mu }_{\phi }=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}dE={\rho }_{\mathrm{rel}}dE=\frac{{\phi }^{\prime }}{\pi }dE$ 与本文公理 A3、定理 4.1 完全一致。
• UMS 的公理 A2（有限窗口读数）对应本文公理 A2。
• UMS 的定理 4.1–4.3（Nyquist–Poisson–EM 闭合）对应本文定理 7.1–7.3。
• UMS 的定理 5.1（DPI）与本文定理 6.1（I-投影）在信息几何层面一致。

13.4 与窗口化路径积分理论的接口。

• 路径积分理论的核心定理 2.1（窗—核对偶）可在能量域改写为本文公理 A2 的窗化读数。
• 路径积分理论的定理 4.1（BK + Wigner–Smith）对应本文定理 4.1。
• 路径积分理论的 Nyquist–Poisson–EM 误差闭合与本文定理 7.1–7.3 共享框架。

13.5 与量子引力场理论的接口。

• 量子引力场理论的定理 3.1（相位—DOS—延迟恒等式）对应本文定理 4.1。
• 量子引力场理论的定理 3.2（窗化 BK 恒等式）对应本文定理 5.2。
• 量子引力场理论的非渐近误差闭合（§6.2）与本文定理 7.3 完全一致。

13.6 与 FMU 的接口。

• FMU 的相位密度坐标 $d{\mu }_{\phi }=(1/\pi ){\phi }^{\prime }d\omega$ 与本文公理 A3 在 Mellin 语境下一致。
• FMU 的定理 4.1（Nyquist–Poisson–EM 三分解）对应本文定理 7.1–7.3。
• FMU 的 Landau–Wexler–Raz–Balian–Low 判据与本文定理 9.1 共享帧理论基础。

13.7 保持“极点 = 主尺度“的有限阶 EM 纪律。

• 本文在所有离散—连续换序中均采用有限阶 EM（定理 7.2），确保不引入新奇点。
• 与 S15–S26、WSIG-QM、UMS、路径积分理论、量子引力场理论、FMU 保持一致：EM 余项仅作有界扰动。

参考文献（选）

[1] Yafaev, Mathematical Scattering Theory（BK 综述）; Pushnitski, “An integer-valued version of the Birman–Kreĭn formula”. [2] Gesztesy 等，“The Xi Operator and its Relation to Krein’s Spectral Shift Function”；Behrndt–Malamud–Neidhardt,“Trace formulae…”。 [3] Smith, “Lifetime Matrix in Collision Theory”；Wigner–Smith 延迟在电磁/声学中的推广综述。 [4] de Branges, Hilbert Spaces of Entire Functions；Eckhardt–Teschl 方向的规范系统密度定理。 [5] Csiszár, “I-Divergence Geometry…”；信息投影勾股恒等式与投影定理。 [6] Peller,“Lifshits–Kreĭn trace formula and operator Lipschitz functions”。 [7] Heil,“History and Evolution of the Density Theorem for Gabor Frames”；Daubechies–Landau–Landau,“Gabor Time–Frequency Lattices and the Wexler–Raz Identity”。 [8] Balazs 等，“Theory, implementation and applications of nonstationary Gabor frames”。 [9] Landau,“Necessary density conditions for sampling and interpolation of certain entire functions”。 [10] Poisson 求和与 Euler–Maclaurin（NIST DLMF/维基条目，含余项界）。 [11] Terras, Zeta Functions of Graphs（Ihara ζ 完成对称）。

附录 A：若干证明细节

A.1 Lifshits–Kreĭn 迹公式到窗化 BK. 由 $\mathrm{tr}(f(H)-f(H_0))=\int f^{\prime }\xi$（$f\in \mathrm{OL}$）与 $\boxed{\det S=e^{2\pi i\xi }}$ 得 $\int F{\xi }^{\prime }=-\frac{1}{2\pi i}\int F^{\prime }\log \det S$。将 $F=h\ast w_R$ 展开，可得定理 5.2。

A.2 Born = I-投影的充要条件. 设 $\mathcal{L}=\{p:⟨{\varphi }_j,p⟩=c_j\}$。极小化 $D_{\mathrm{KL}}(p\Vert q)$ 的拉格朗日子问题解为 $p^{\star }\propto q{e}^{{\sum }_j{\lambda }_j{\varphi }_j}$。若 $p^{\mathrm{Born}}$ 满足同一矩并且 $\log p^{\mathrm{Born}}-\log q\in \mathrm{span}\{{\varphi }_j\}\oplus \mathbb{R}$，则 KKT 满足；反向由勾股恒等式唯一性推出。

A.3 Ky-Fan 与 Davis–Kahan. 令 ${\mathcal{P}}_k$ 为秩 $k$ 投影集，极小 $\mathrm{tr}(PA)$ 于 $P\in {\mathcal{P}}_k$ 取得在 $A$ 的最小谱子空间；扰动界由 $\sin \Theta \le |A-\tilde{A}|/\delta$ 给出。

A.4 NPE 的常数与带限判据. Poisson 公式给别名总和；若 $\hat{F}$ 支持在 $[-{\Omega }_F,{\Omega }_F]$ 且 $\Delta \le \pi /{\Omega }_F$，则 $k\ne 0$ 的 $\hat{F}(2\pi k/\Delta )$ 全零（Nyquist）。EM 余项用 $\zeta (2M)$ 界。

结语. WSIG-QFT 将“Weyl–Heisenberg 运动学 + DBK 规范系统 + BK/WS 相位—密度刻度 + I-投影与光谱极小 + NPE 非渐近闭合 + 多窗帧/WR“串为可检—可算—可复现的一套公理—定理体系；文中各定理均锚定公开判据与标准文献，并给出严格证明或依权威定理的严格化推演，从而为有限窗口条件下的场论读数、延迟与概率-信息一致性提供统一、稳健与可实现的理论骨架。