WSIG–EBOC–RCA 统一理论：以“窗—群延迟刻度“实现通用测度坐标与规范不变量时间尺

Version: 1.10

摘要

在 de Branges–Kreĭn 规范系统与多通道散射的抽象框架内，本文以“算子—测度—函数“的纯理论语言，建立一套不依赖实验叙述的统一体系：将“相位导数—相对态密度—Wigner–Smith 群延迟迹“焊接为同一母刻度的通用测度坐标，并以 Toeplitz/Berezin 压缩的窗口化读数刻画有限资源与观测选择。在由基底内同构、相位规范与可逆滤波生成的可逆观测变换群上，证明窗口化延迟积分构成的块内时间尺之不变性；在“有限阶“ Euler–Maclaurin 与 Poisson 纪律下给出非渐近误差闭合与“奇性不增/极点=主尺度“的稳定原则。由此，在 EBOC 静态块宇宙中以内禀的 $T_{\mathrm{inv}}$ 代替外置流逝时间；在 RCA 可逆计算的同构重标下获得统一度量。本体系的刻度同一式在绝对连续谱几乎处处成立： $$\boxed{\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi };=;{\rho }_{\mathrm{rel}}(E);=;\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)},$$ 其中 $S(E)\in U(N(E))$ 为散射矩阵，$\mathsf{Q}(E):=-iS(E{)}^{†}{\partial }_{E}S(E)$ 为 Wigner–Smith 延迟矩阵，$\phi (E):=\frac{1}{2}\mathrm{Arg}\det S(E)$，${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 为相对于参考通道/自由哈密顿的相对态密度。窗口化读数以 Toeplitz/Berezin 压缩映射 ${\mathcal{C}}_w$ 及其协变符号 $K_w(E)$ 定义： $${\mathcal{T}}_w(E):=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}(K_w(E)\mathsf{Q}(E)),T_{\mathrm{inv}}(I):={\int }_I{\mathcal{T}}_w(E)\mathrm{d}E,$$ 并在可逆观测变换下保持不变，成为 EBOC 块内之通用时间尺。上述三位一体刻度由 Wigner–Smith 延迟矩阵与 Birman–Kreĭn 谱移—行列式公式联接而成，提供从相位到密度、从散射到测度的统一坐标与变分/最优化的稳定基准。(chaosbook.org)

Notation & Axioms / Conventions

1. 观测三元 $(\mathcal{H},w,S)$：$\mathcal{H}$ 为希尔伯特空间；$S(E)\in U(N(E))$ 为能量刻度 $E$ 的散射矩阵（绝对连续谱 a.e.）；$w$ 为窗口，诱导分析—合成映射 ${\Pi }_w$ 及 Toeplitz/Berezin 压缩映射 ${\mathcal{C}}_w[X]:={\Pi }_{w}X{\Pi }_w^{†}$；其协变符号为 $K_w(E):={\Pi }_w(E{)}^{†}{\Pi }_w(E)\ge 0$，并由此决定读数泛函。窗口族取带限或指数衰减类，并满足 reproducing-kernel 语境下的正则性。(SpringerLink) 1′. 窗族归一化（Parseval/紧框架，分量内）：在绝对连续谱的直接积分分解及通道纤维上，任选窗族使每个阈值正则分量 $J$ 内 $\mathrm{tr}{K}_w(E)\equiv N_J$（a.e. $E\in J$）。该归一化与 reproducing-kernel 正则性兼容，并确保窗口化读数的相位规范项仅产生端点常数。 1″. 阈值集合与正则域：记阈值集合 $\mathcal{T}:=\{E:N(E^{+})\ne N(E^{-})\}$。凡涉及定理 3.2 的积分，默认 $I\cap \mathcal{T}=\varnothing$，或等价地先将 $I$ 按 $\mathcal{T}$ 细分后分量积分并汇总。 1‴. 相位分支与可导性：在每个阈值正则分量 $J$ 上固定 $\mathrm{Arg}\det S(E)$ 的连续分支，从而 ${\phi }^{\prime }(E)$ 在 $J$ 上 a.e. 存在；跨越阈值与离散谱处按分布意义处理（Levinson 型跃迁）。
2. 刻度同一卡片：公理化采用 ${\phi }^{\prime }(E)/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$，$\mathsf{Q}:=-i{S}^{†}{\partial }_{E}S$。其中相位导数与 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 的等价来自 Wigner–Smith 定义与行列式微分恒等式；与 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 的等价由 Birman–Kreĭn 公式与谱移函数之微分联系给出。(link.aps.org)
3. 有限阶 EM+Poisson 卡片：涉及求和—积分换元与能量格点化，一律以有限阶 Euler–Maclaurin 与 Poisson 求和给出非渐近误差闭合；明确界常数依赖窗口与符号的有限范数；奇性不增且“极点=主尺度“。(dlmf.nist.gov)
4. 语言与对象：窗口/读数一律作“算子—测度—线性泛函“的对象；避免实验流程叙述。Toeplitz/Berezin 压缩与 Berezin 变换用于将能量—相位解析平台（如 de Branges 空间、Paley–Wiener/Mellin 模型）中的函数符号映到算子。(math.purdue.edu)
5. 记号：$\det !$ 表示正规化（Fredholm）行列式；$\mathrm{tr}$ 为迹；$P_{\mathrm{ac}}$ 为绝对连续谱投影；“a.e.“均指绝对连续谱几乎处处。正规化与迹类标准参考见 Simon。(ams.org)

1. 散射相位、群延迟与谱移：三位一体坐标

令 $H$ 与参考 $H_0$ 为自伴，满足使得 $S(E)$ 存在且幺正的通常可追踪扰动条件。定义 $\mathsf{Q}(E):=-iS(E{)}^{†}{\partial }_{E}S(E)$ 与 $\phi (E):=\frac{1}{2}\mathrm{Arg}\det S(E)$。Wigner–Smith 给出 $\mathsf{Q}$ 的厄米性（Hermitian）与其与 $S$ 的能量导数关系；其迹满足 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)={\partial }_E\mathrm{Arg}\det S(E)=2{\phi }^{\prime }(E)$。另一方面，Birman–Kreĭn 公式 $\det S(E)=\exp (-2\pi i\xi (E))$ 联系散射行列式与谱移函数 $\xi$，故 ${\xi }^{\prime }(E)=-\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-{\phi }^{\prime }(E)/\pi$。取 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E):=-{\xi }^{\prime }(E)$ 即得刻度同一式。(link.aps.org)

推论：绝对连续谱 a.e. 上，三对象诱导的测度满足 $d{\mu }_{\phi }=d{\mu }_{\rho }=d{\mu }_Q$，且 $d{\mu }_Q(E)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)\mathrm{d}E$。这为后续的窗口化读数与换元一致性提供母刻度。(ams.org)

2. 窗口化读数与 Toeplitz/Berezin 压缩

取 reproducing-kernel 空间 $\mathcal{H}$（如 de Branges、Paley–Wiener 或 Mellin–Hardy）作能量—相位解析平台。窗口 $w$ 诱导分析—合成映射 ${\Pi }_w$。定义压缩映射 $${\mathcal{C}}_w[X]:={\Pi }_{w}X{\Pi }_w^{†},$$ 以及其协变符号 $$K_w(E):={\Pi }_w(E{)}^{†}{\Pi }_w(E)\ge 0.$$

定义 2.0（通道纤维压缩） 在绝对连续谱的直接积分分解 ${\mathcal{H}}_{\mathrm{ac}}\simeq {\int }^{\oplus }{\mathbb{C}}^{N(E)}\mathrm{d}E$ 下，分析映射 ${\Pi }_w(E):{\mathbb{C}}^{N(E)}\to {\mathbb{C}}^{N(E)}$ 给出协变符号 $$K_w(E):={\Pi }_w(E{)}^{†}{\Pi }_w(E)\in {\mathbb{C}}^{N(E)\times N(E)},K_w(E)\ge 0.$$ 于是窗口化密度与读数为 ${\mathcal{T}}_w(E):=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}(K_w(E)\mathsf{Q}(E))$、$T_{\mathrm{inv}}(I):={\int }_I{\mathcal{T}}_w(E)\mathrm{d}E$，并在 1′ 的 Parseval 归一化下，对每个阈值正则分量 $J$，满足 $\mathrm{tr}{K}_w(E)\equiv N_J$（a.e. $E\in J$）。

对能量局域的矩阵符号 $A(E)$，定义窗口化迹 $⟨A{⟩}_w:=\int \mathrm{tr}(K_w(E)A(E))\mathrm{d}E$，其中 $K_w(E)$ 为 Berezin 协变符号。群延迟的窗口化密度定义为 ${\mathcal{T}}_w(E):=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}(K_w(E)\mathsf{Q}(E))$，从而 $T_{\mathrm{inv}}(I):={\int }_I{\mathcal{T}}_w(E)\mathrm{d}E$。Toeplitz/Berezin 体系保证 $K_w$ 的正性与正则极限，以及在符号代数上的一致性。(SpringerLink)

注：在 de Branges 空间 $H(E)$ 上，$K_w$ 可由核 $k_E$ 的 Berezin 变换给出；在 Paley–Wiener 与 Mellin 模型中，$K_w$ 分别对应带限/对数伸缩的窗压缩，从而与谱分解可交换到受控余量。(math.purdue.edu)

3. 可逆观测等价与规范不变量

定义 3.1（可逆观测变换）

可逆观测变换由以下生成元生成： (i) $\mathcal{H}$ 的内同构 $U$（固定能量刻度）；(ii) 相位规范：$S\mapsto e^{i\theta (E)}S$，其中 $\theta \in W^{1,1}(I)\cap C^0(\overline{I})$ 且对每个分量区间端点满足 $\theta (E_{j,\pm })=0$；(iii) 可逆窗重标（能量无关）：在每个阈值正则分量 $J$ 上取固定的通道基 $U\in U(N_J)$。窗重标 $w\mapsto \tilde{w}$ 诱导 $${\Pi }_{\tilde{w}}={\Pi }_w{U}^{†},K_{\tilde{w}}(E)=U{K}_w(E)U^{†}.$$ 因而压缩映射对符号协变： $${\mathcal{C}}_{\tilde{w}}[X]={\Pi }_w{U}^{†}XU{\Pi }_w^{†}={\mathcal{C}}_w\left[U^{†}XU\right].$$ 与 (i) 的内同构及 (ii) 的相位规范共同作用下，$\mathrm{tr}(K_w\mathsf{Q})$ 的窗口化积分保持不变。

定理 3.2（窗口化延迟的规范不变性—归一化版本）

在 1′–1″ 与定义 3.1 的条件下，对任意阈值正则的有限并区间 $I={⨆}_{j=1}^J[E_{j,-},E_{j,+}]\subset \mathbb{R}$（即 $I\cap \mathcal{T}=\varnothing$），量 $$T_{\mathrm{inv}}(I):={\int }_I\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}(K_w(E)\mathsf{Q}(E))\mathrm{d}E$$ 在可逆观测变换（内同构、相位规范、可逆窗重标）下保持不变。

证明纲要：用迹与相似不变性得 $\mathrm{tr}(U{K}_w{U}^{†}\cdot U\mathsf{Q}{U}^{†})=\mathrm{tr}(K_w\mathsf{Q})$。相位规范贡献 ${\theta }^{\prime }(E)\mathrm{tr}{K}_w(E)$ 之项；由 1′ 的分量内归一化 $\mathrm{tr}{K}_w(E)\equiv N_j$（$E\in [E_{j,-},E_{j,+}]$）与定义 3.1 的端点条件 $\theta (E_{j,\pm })=0$，得 ${\int }_I{\theta }^{\prime }(E)\mathrm{tr}{K}_w(E)\mathrm{d}E={\sum }_j{N}_j[\theta {]}_{E_{j,-}}^{E_{j,+}}=0$，规范项消失，不变性成立。(dlmf.nist.gov)

推论 3.3（通用时间尺）：$T_{\mathrm{inv}}$ 与观测表象无关，构成 EBOC 静态块中的内禀时标。

4. 通用测度坐标与换元一致性

命题 4.1（a.c. 三测度一致及分布拓展）

设 $S(E)$ 满足通常的可追踪扰动与极限吸收条件。则在绝对连续谱 a.e. 上有 $$d{\mu }_{\phi }^{\mathrm{ac}}=d{\mu }_{\rho }^{\mathrm{ac}}=d{\mu }_Q^{\mathrm{ac}},$$ 其中 $d{\mu }_{\phi }(E)=\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }\mathrm{d}E$，$d{\mu }_{\rho }(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)\mathrm{d}E$，$d{\mu }_Q(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)\mathrm{d}E$。若将离散谱/阈值并入全谱，则在分布意义下三者一致：$d{\mu }_{\rho }$ 在离散谱处含 $\delta$-质量，$\phi$ 出现相位跃迁（Levinson 型），$\mathsf{Q}$ 取自边界值。因此任意窗口化读数可在同一坐标下比较与换元，换元后误差由第 5 节的统一常数封顶。([m.mathnet.ru][9])

命题 4.2（Mellin/Paley–Wiener 模型的协变）

对严格单调换元 $\Phi$ 及相应窗—符号的协变变换，窗口化积分在通用坐标下保持到受控余量的一致性；余量常数仅依赖窗族与符号的有限范数。该结论依赖于 reproducing-kernel 扰动的 Berezin 稳定性。(SpringerLink)

5. 稳定误差学：有限阶 Euler–Maclaurin 与 Poisson

令 $w$ 属带限类或指数类，$a(E)$ 为足够光滑的能量符号，$\{E_n\}$ 为能量分割（由窗或谱管产生）。对能量域 $I={⨆}_{j=1}^J[E_{j,-},E_{j,+}]$，则存在 $m\in \mathbb{N}$ 与常数 $C_m,C_m^{\prime }$（仅依赖窗族与有限阶导数半范数）使得 $$|\sum _{n}a(E_n)-{\int }_{I}a(E)\mathrm{d}E-\sum _{k=1}^m\frac{B_{2k}}{(2k)!}\sum _{j=1}^J[a^{(2k-1)}(E){]}_{E_{j,-}}^{E_{j,+}}|\le C_m{\mathfrak{R}}_m(a,w),$$ $$|\sum _{k\ne 0}\hat{a}(2\pi k)\hat{w}(2\pi k)|\le C_m^{\prime }{\mathfrak{P}}_m(a,w).$$ 其中 $B_{2k}$ 为 Bernoulli 数，${\mathfrak{R}}_m,{\mathfrak{P}}_m$ 是由有限个半范数组成的误差功能。对 $a=\mathrm{tr}\mathsf{Q},{\phi }^{\prime },{\rho }_{\mathrm{rel}}$ 适用同一常数链；在三对象的窗口化读数上获得统一误差预算；并且奇性不增与“极点=主尺度“成立。(dlmf.nist.gov)

6. 变分与稳定：对数行列式泛函

假设 6.A（可定义与凹性域） 取 $m\ge 1$。设 $a$ 属于使 $a(H)P_{\mathrm{ac}}{1}_{(-\infty ,R]}(H)\in {\mathfrak{S}}_1$ 的符号类，窗族满足 1′。选取 $\lambda$ 使得 $I+\lambda T_{a,w,R}$ 正定（例如 $T_{a,w,R}\ge 0$ 时取 $\lambda \in (0,{\lambda }_{\ast })$）。更一般地，只需谱半径 $r(\lambda T_{a,w,R})<1$，即可保证 $I+\lambda T_{a,w,R}$ 可逆，并使 $z\mapsto \log \det !(I+z{T}_{a,w,R})$ 在 $z=\lambda$ 处解析。若进一步有 $\Vert \lambda T_{a,w,R}\Vert <1$，则 $$(I+\lambda T_{a,w,R}{)}^{-1}=\sum _{n\ge 0}(-\lambda T_{a,w,R}{)}^n$$ 在算子范数下收敛，且 $$\log \det !(I+\lambda T_{a,w,R})=\sum _{n\ge 1}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{\lambda }^n\mathrm{tr}(T_{a,w,R}^n).$$

在局部化算子 $$T_{a,w,R}:={\mathcal{C}}_w[a(H)P_{\mathrm{ac}}{1}_{(-\infty ,R]}(H)]={\Pi }_{w}a(H)P_{\mathrm{ac}}{1}_{(-\infty ,R]}(H){\Pi }_w^{†}$$ 上定义正规化对数行列式 $${\mathcal{F}}_R(a,w;\lambda ):=\log \det !(I+\lambda T_{a,w,R}).$$ 其一二阶变分满足 $$\delta {\mathcal{F}}_R=\lambda \mathrm{tr}[(I+\lambda T{)}^{-1}\delta T],{\delta }^2{\mathcal{F}}_R=-{\lambda }^2\mathrm{tr}[(I+\lambda T{)}^{-1}(\delta T)(I+\lambda T{)}^{-1}(\delta T)]+\lambda \mathrm{tr}[(I+\lambda T{)}^{-1}{\delta }^{2}T].$$ 在假设 6.A 下，若 $T_{a,w,R}\ge 0$ 且 $\lambda >0$，则 ${\mathcal{F}}_R$ 对 $T$ 凹，对 $(a,w)$ 的仿射扰动呈局部强凹；一般符号下在 $\Vert \lambda T\Vert <1$ 的小参数区间呈局部半凹，常数由 $\Vert T\Vert$ 与第 5 节的有限阶误差常数控制。在刻度同一下适用于 $a=\mathrm{tr}\mathsf{Q},{\phi }^{\prime },{\rho }_{\mathrm{rel}}$，并满足统一的 Lipschitz—强凹型稳定界。正规化与迹理想的技术背景见 Simon 与相关 Fredholm 文献。(ams.org)

7. EBOC 内禀时间与 RCA 可逆计算的同构重标

定义 7.1（内禀时间尺）

对能量域 $I$ 定义 $$T_{\mathrm{inv}}(I)={\int }_I\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}(K_w(E)\mathsf{Q}(E))\mathrm{d}E,$$ 作为 EBOC 静态块中的关系推进时标；它在可逆观测变换下不变。

定理 7.2（RCA 的可同构重标）

将可逆元胞自动机 $\mathcal{U}$ 的步进深度嵌入 $T_{\mathrm{inv}}$ 度量：若两组观测三元 $({\mathcal{H}}_i,w_i,S_i)$ 可逆等价，则与其边界—通道耦合对应的 RCA“深度“由同一时间尺衡量。证明依定理 3.2 的不变性与刻度同一式的统一坐标，从而在不同基底/编码下获得可同构重标。关于 RCA 的可逆性、Garden-of-Eden 判据与可计算性障碍之标准背景参见 Kari 与 Toffoli–Margolus。([ibisc.univ-evry.fr][10])

8. 窗口与紧框架：密度、双正交与障碍

在时间—频率或尺度—相位模型中，紧/有界框架保证窗族的稳定分解与重构。Wexler–Raz 双正交关系刻画了 Gabor/伸缩格下的对偶窗配对；Balian–Low 定理给出紧框架下的本征不可兼容性；Landau 密度定理给出采样/插值的必要密度阈值。将本体系中的 $K_w$ 置于上述框架，得到窗口族的稳定性与不可能性边界，从而为 $T_{\mathrm{inv}}$ 的数值离散化与误差学提供“先验几何“。([sites.math.duke.edu][11])

9. de Branges–Kreĭn 解析平台与 Herglotz–Nevanlinna 结构

de Branges 空间提供能量—相位的全纯解析化平台，其子空间的全序定理与 canonical systems 赋予散射/相位函数天然的函数论与算子论桥接；谱移与散射相位的 Herglotz–Nevanlinna 表示保证了 $\phi$ 与 $\xi$ 的测度型与单调性，从而支撑三位一体刻度的测度一致性与可变分性。(math.purdue.edu)

10. 典型模型（纯理论模板）

1. 一维短程势散射：$N=1$ 时 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}={\tau }_g$ 为群延迟；取 Paley–Wiener 窗，则 $\hat{w}$ 紧支，$T_{\mathrm{inv}}$ 作为包络到达序之内禀度量，先于任何“到达时间“表象成立。(link.aps.org)
2. 多通道耦合：$\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 汇总通道相位推进；$K_w$ 描述有限资源的线性取样与通道加权；窗口族的几何依赖统一吸收到 $K_w$ 的（Parseval/紧框架）归一化与正则性之中。
3. DBK 规范系统：在 de Branges/Canonical Systems—Toeplitz/Berezin—Herglotz 组合下，三对象测度的协变与一致由刻度同一式直接固定。([arXiv][12])

附录 A：三位一体刻度的证明

Wigner–Smith 定义 $\mathsf{Q}=-i{S}^{†}{\partial }_{E}S$ 给出 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}=-i\mathrm{tr}(S^{†}{\partial }_{E}S)=-i{\partial }_E\log \det S={\partial }_E\mathrm{Arg}\det S=2{\phi }^{\prime }(E)$。Birman–Kreĭn 公式 $\det S(E)=\exp (-2\pi i\xi (E))$ 导出 ${\partial }_E\mathrm{Arg}\det S=-2\pi {\xi }^{\prime }(E)$。定义 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E):=-{\xi }^{\prime }(E)$ 即得 ${\phi }^{\prime }(E)/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$。(chaosbook.org)

附录 B：窗口化不变性的细化证明

令 $S(E)\mapsto \tilde{S}(E)=e^{i\theta (E)}US(E)U^{†}$（$U$ 与 $E$ 无关），且 $K_w(E)\mapsto U{K}_w(E)U^{†}$。则 $$\tilde{\mathsf{Q}}(E)=-i\tilde{S}(E{)}^{†}{\partial }_E\tilde{S}(E)=U(-iS(E{)}^{†}{\partial }_{E}S(E)+{\theta }^{\prime }(E)I)U^{†},$$ 从而 $$\mathrm{tr}(U{K}_w(E)U^{†}\tilde{\mathsf{Q}}(E))=\mathrm{tr}(K_w(E)\mathsf{Q}(E))+{\theta }^{\prime }(E)\mathrm{tr}{K}_w(E).$$ 由 1′ 的分量内归一化与 $\theta$ 的端点条件，积分端点项消失，从而 $T_{\mathrm{inv}}(I)$ 不变。(dlmf.nist.gov)

附录 C：有限阶 EM+Poisson 统一上界

对带限/指数窗与足够光滑的符号 $a$，Euler–Maclaurin 给出边界层的 Bernoulli 多项式校正项，Poisson 求和给出别名项；两者以有限阶闭合并由窗口与符号的有限半范数控制，从而可将误差学直接移植到 $\mathrm{tr}\mathsf{Q},{\phi }^{\prime },{\rho }_{\mathrm{rel}}$ 的窗口化读数。(dlmf.nist.gov)

附录 D：RCA 重标的构造语义

将 RCA 的步进算子视作边界通道的可逆耦合；以三位一体刻度给出的母坐标将其步进深度嵌入 $T_{\mathrm{inv}}$ 度量。RCA 的可逆性等价于全局演化在配置空间的双射性；由 Garden-of-Eden 判据与 Toffoli–Margolus 可逆构造可知，同一动力（在可逆观测变换下）对应相同的 $T_{\mathrm{inv}}$ 测度，从而不同编码/基底下的时间刻度同构。([ibisc.univ-evry.fr][10])

参考文献（选）

Wigner（1955）；Smith（1960）关于时间延迟与群延迟矩阵；Birman–Kreĭn 与 Birman–Yafaev 关于谱移函数与散射行列式；Yafaev《Mathematical Scattering Theory》；Simon《Trace Ideals and Their Applications》与 Fredholm 行列式相关文献；de Branges《Hilbert Spaces of Entire Functions》与 canonical systems 综述；Berezin–Toeplitz 量化与 Berezin 变换综述；Stein–Shakarchi《Fourier Analysis》、NIST DLMF 关于 Poisson 与 Euler–Maclaurin；Heil、Daubechies、Ramanathan–Steger、Landau 关于框架密度、Wexler–Raz 与 Balian–Low；Kari《Theory of cellular automata: A survey》与 Toffoli–Margolus《Cellular Automata Machines》。([chaosbook.org][13])

[9]: https://m.mathnet.ru/eng/aa343?utm_source=chatgpt.com “M. Sh. Birman, D. R. Yafaev, “The spectral shift function. …” [10]: https://ibisc.univ-evry.fr/~hutzler/Cours/IMBI_MPS/Kari05.pdf?utm_source=chatgpt.com “[PDF] Theory of cellular automata: A survey” [11]: https://sites.math.duke.edu/~ingrid/publications/J_Four_Anala_Appl_1_p437.pdf?utm_source=chatgpt.com “Gabor Time-Frequency Lattices and the Wexler–Raz Identity” [12]: https://arxiv.org/abs/1408.6022?utm_source=chatgpt.com “[1408.6022] Canonical systems and de Branges spaces” [13]: https://chaosbook.org/library/WignerDelay55.pdf?utm_source=chatgpt.com “Lower Limit for the Energy Derivative of the Scattering …”