窗口化路径积分：从传播子到“窗—核“谱读数的严格等价

Windowed Path Integrals: A Spectral “Window–Kernel” Formulation of Propagators

Version: 0.8.1 · 2025-10-28

摘要

在 de Branges–Kreĭn（DBK）规范系统与 Weyl–Heisenberg（含对数/Mellin）表象所组成的 WSIG-QM 框架下，本文以谱定理 + 解析傅里叶对偶为主线，给出路径积分 = 传播子核的严格数学刻画，并证明一个窗化路径积分定理：任何可实现的路径积分型观测都等价于能量域的“窗—核—密度“卷积；其时间域正是传播子时间迹（或带态权的核）在同一窗/核下的傅里叶对偶。数值实现方面，离散化误差非渐近地闭合为“别名（Poisson）+ 伯努利层（Euler–Maclaurin）+ 截断“三分解；在带限 + Nyquist条件下别名项严格为 0。相位刻度方面，绝对连续谱上几乎处处成立

$${\phi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{s_{\mathrm{BK}}}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),\phi (E)=s_{\mathrm{BK}}\pi \xi (E)(\mathrm{mod}\pi ),$$

其中 $\mathsf{Q}(E)=-i{S}^{†}(E)\frac{dS}{dE}(E)$ 为 Wigner–Smith 延迟矩阵，${\rho }_{\mathrm{rel}}={\xi }^{\prime }$ 为谱移密度，$s_{\mathrm{BK}}$ 为 BK 号记版本参数（本文采用 $s_{\mathrm{BK}}=+1$）；这由 Birman–Kreĭn 公式与相对散射延迟的一致化给出，从而把路径权重的作用量相位与可测的能量刻度闭合统一。信息几何侧，**Born 概率 = 最小-KL（I-投影）**给出 log-sum-exp 软势的凸对偶语义；窗/核的单窗与多窗协同可表述为强凸/稀疏最优化并与帧—对偶窗理论对接。以上均锚定标准判据：谱定理与 Stone 定理、Birman–Kreĭn 公式、Wigner–Smith 延迟、Poisson 求和与 Euler–Maclaurin 公式、Nyquist–Shannon 采样、Wexler–Raz 双正交与“painless“展开等。

0. 记号与规范

（0.1）Fourier 规范. 取

$$\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}f(x)e^{-ix\xi }dx,f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}(\xi )e^{ix\xi }d\xi ,$$

并用 Parseval（零频等式与 Plancherel 并用）：$\int f\overline{g}=\frac{1}{2\pi }\int \hat{f}\overline{\hat{g}}$。

速查卡： 本规范下，$\widehat{e^{+iE{t}_0}}(\xi )=2\pi \delta (\xi -t_0)$，$\widehat{e^{-iE{t}_0}}(\xi )=2\pi \delta (\xi +t_0)$；缩放 $w_R(E)=w(E/R)$ 给出 ${\hat{w}}_R(\xi )=R\hat{w}(R\xi )$（幅值因子 $R$，支撑缩至 $1/R$ 倍）。角频率 $\Omega$ 对应时间带宽 $\Omega$（本文统一取此规范，与某些文献的 $2\pi$ 放置不同）。

单位/规范提示（统一）. 在能量—时间对偶中，记 $E$ 的傅里叶对偶变量为 $\xi$；在 $\hslash =1$ 下 $\xi =t$（单位：time），恢复 $\hslash$ 时 $\xi =t/\hslash$。本文所谓“带宽 $\Omega$“统一指 $\xi$-域半宽（即 $|\xi |\le \Omega$ 的支撑/近支撑）。因此能量侧 ${\hat{w}}_R,\hat{h}$ 的半宽分别为 ${\Omega }_w/R,{\Omega }_h$，其和 ${\Omega }_g={\Omega }_w/R+{\Omega }_h$ 亦为 $\xi$-域半宽。若以物理时间表述，在 $\hslash =1$ 约定下有 $T_g={\Omega }_g^{-1}$；恢复 $\hslash$ 时应取 $T_g=\hslash /{\Omega }_g$。文中一切 Nyquist 判据均以 $\xi =t/\hslash$ 为准。Nyquist 判据见 §3 与附录 A。

（0.2）量纲与常数. 统一取 $\hslash =1$；恢复时以 $t\mapsto t/\hslash$ 替换。

（0.3）谱与传播子. $H$ 为自伴算子，$E_H$ 为其谱测度。对任意迹类算子 $\rho \in {\mathfrak{S}}_1(\mathcal{H})$（其中态权指 $\rho \ge 0$，可观测权指符号有限且 $\mathrm{Tr}\rho =0$ 的迹类算子），定义

$$K_{\rho }(t):=\mathrm{Tr}\left(\rho e^{-iHt}\right)={\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-iEt}d{\nu }_{\rho }(E),{\nu }_{\rho }(B):=\mathrm{Tr}(\rho E_H(B)).$$

在此假设下，$K_{\rho }(t)$ 良定义且为连续有界函数。

若 ${\nu }_{\rho }$ 的绝对连续部分具有密度 ${\rho }_{\mathrm{abs}}(E)$，则其贡献满足（分布意义）$\widehat{{\rho }_{\mathrm{abs}}}(t)={\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-iEt}{\rho }_{\mathrm{abs}}(E)dE$。一般地，$K_{\rho }(t)=\widehat{{\rho }_{\mathrm{abs}}}(t)+\widehat{{\nu }_{\mathrm{sing}}}(t)$；当且仅当 ${\nu }_{\rho }$ 纯绝对连续时，才有 $K_{\rho }=\widehat{{\rho }_{\mathrm{abs}}}$。这来自谱定理与 Stone 定理对 $e^{-itH}$ 的刻画。

泛化记号. 对一般谱密度/测度 ${\rho }_{\star }$（可为 ${\rho }_{\mathrm{abs}}$、${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 或其他），记 $K_{{\rho }_{\star }}(t):=\widehat{{\rho }_{\star }}(t)={\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-iEt}d{\rho }_{\star }(E)$。当 ${\rho }_{\star }$ 来自某迹类 $\rho$ 的谱测度 ${\nu }_{\rho }$ 时，$K_{{\rho }_{\star }}(t)=K_{\rho }(t):=\mathrm{Tr}(\rho e^{-iHt})$；一般地仍取 Stieltjes/分布意义。

（0.4）窗与核. 取偶窗 $w_R(E)=w(E/R)$，其中 $w\in {\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}$（带宽 $\Omega$ 的 Paley–Wiener 偶函数类，此处取 $L^2$ Paley–Wiener：紧支撑傅里叶变换的 $L^2$ 函数），则 $\widehat{w_R}(\xi )=R\hat{w}(R\xi )$ 亦为偶函数且支撑在 $[-\Omega /R,\Omega /R]$。注： “支撑缩放（$\Omega /R$）“与“幅值因子（$R$）“需区分——例如 $R=2$ 时支撑变为原来的 $1/2$，而峰值变为原来的 $2$ 倍，使 $\Vert {\hat{w}}_R{\Vert }_{L^1}$ 保持不变。缩放不变速查： 由 ${\hat{w}}_R(\xi )=R\hat{w}(R\xi )$ 得

$$\Vert {\hat{w}}_R{\Vert }_{L^1}={\int }_{\mathbb{R}}|{\hat{w}}_R(\xi )|d\xi ={\int }_{\mathbb{R}}R|\hat{w}(R\xi )|d\xi =\Vert \hat{w}{\Vert }_{L^1},$$

$${\int }_{\mathbb{R}}|\xi {|}^k|{\hat{w}}_R(\xi )|d\xi =R{\int }_{\mathbb{R}}|\xi {|}^k|\hat{w}(R\xi )|d\xi =R{\int }_{\mathbb{R}}{\left|\frac{\eta }{R}\right|}^k|\hat{w}(\eta )|\frac{d\eta }{R}=R^{-k}{\int }_{\mathbb{R}}|\eta {|}^k|\hat{w}(\eta )|d\eta \le {\left(\frac{\Omega }{R}\right)}^k\Vert \hat{w}{\Vert }_{L^1}.$$

测试核 $h\in W^{2M,1}(\mathbb{R})\cap L^1(\mathbb{R})$（无偶性要求，必要时可带限），保证卷积与换序。

函数空间提示. 本文在定理 2.1 与假设 A 中要求 $w\in L^{\infty }$ 以保证卷积—乘积交换与估计。在本文的 Paley–Wiener 设定（$\mathrm{supp}\hat{w}\subset [-\Omega ,\Omega ]$）下，$w$ 连续且有界，并有 $\Vert w{\Vert }_{L^{\infty }}\le \frac{1}{2\pi }\Vert \hat{w}{\Vert }_{L^1}\le \frac{\sqrt{2\Omega }}{2\pi }\Vert \hat{w}{\Vert }_{L^2}$，因此 $w\in L^{\infty }$ 自动成立。

函数空间提示（更正）. 在一维情形，按本文对 Sobolev 空间的约定（$W^{m,1}(\mathbb{R})\subset L^1(\mathbb{R})$），有嵌入 $$W^{1,1}(\mathbb{R})\hookrightarrow C_0(\mathbb{R})\cap L^{\infty }(\mathbb{R}).$$ 因此对任意 $M\ge 1$，若 $h\in W^{2M,1}(\mathbb{R})$，则 $h\in C_0(\mathbb{R})\cap L^{\infty }(\mathbb{R})$ 成立，可用于卷积与换序的有界性估计。另一方面，定理 2.1 的恒等式本身最低仅需 $h\in L^1(\mathbb{R})$；更高阶的 $W^{2M,1}$ 假设仅服务于 §3 的 EM 误差估计。

（0.5）相位—密度—延迟刻度. 设对参照 $H_0$ 的散射矩阵为 $S(E)$（单/多通道）。本文固定 Birman–Kreĭn 号记

$$\det S(E)=e^{+2\pi i\xi (E)}(\text{a.e. }E),$$

并引入 Wigner–Smith 延迟矩阵。量纲与 $\hslash$ 统一： 定义

$${\mathsf{Q}}_{\hslash }(E):=-i\hslash S^{†}(E){\partial }_{E}S(E),\mathsf{Q}(E):=\frac{1}{\hslash }{\mathsf{Q}}_{\hslash }(E)=-i{S}^{†}(E){\partial }_{E}S(E).$$

则对任意 a.e. 可微的散射能量 $E$，

$$\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{\hslash }(E)=2\hslash {\phi }^{\prime }(E)=2\pi \hslash {\xi }^{\prime }(E),{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)={\xi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2\pi \hslash }\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{\hslash }(E).$$

在全文中取 $\hslash =1$，默认 $\mathsf{Q}={\mathsf{Q}}_{\hslash }/\hslash$，从而

$${\xi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),{\rho }_{\mathrm{rel}}(E):={\xi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)\text{(谱移密度)}.$$

定义总相位 $\phi (E):=\frac{1}{2}\arg \det S(E)$，其中选取与 BK 号记一致的连续支路，并将 $\xi$ 规范为在参考能区（例如阈下或选定参考能量 $E_{\ast }$）归零，使得 $\xi (E)$ 的绝对值可物理测量。则

$${\phi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),\phi (E)=s_{\mathrm{BK}}\pi \xi (E)(\mathrm{mod}\pi ),$$

其中 $s_{\mathrm{BK}}=+1$ 对应本文版本 I 号记（$\det S=e^{+2\pi i\xi }$）。由此

$${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)={\xi }^{\prime }(E)=\frac{s_{\mathrm{BK}}}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E).$$

归一化与支路选择. 令谱移函数取标准归一化 $\xi (E)\to 0$ 当 $E\to -\infty$，并选择连续支路使 $\arg \det S(E)$ 满足 $\arg \det S(-\infty )=0$。在此归一化下，BK 版本 I（$\det S=e^{+2\pi i\xi }$）给出函数级等式 $$\phi (E)=\pi \xi (E),{\phi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E).$$ 若采用一般号记 $s_{\mathrm{BK}}\in \{+1,-1\}$，则 $\phi (E)=s_{\mathrm{BK}}\pi \xi (E)$，导数关系不变。

统一不变量说明： ${\phi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$ 为两号记版本的共同不变量（与 $s_{\mathrm{BK}}$ 无关），而 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$ 的符号依赖由 $s_{\mathrm{BK}}$ 决定。详见定理 4.1 对双版本号的详细说明。

适用条件： 上述关系在 §4.1 的散射正则性条件下（例如相对迹类或 Hilbert–Schmidt 条件，使 $S(E)$ a.e. 可微且 BK 公式适用）a.e. 成立，并统一了作用量相位与谱移密度的刻度。详见 §4.1 与附录 A。

1. 路径积分与谱—窗/核字典

位置本征基下的传播子核

$$K(x_f,t;x_i,0)=⟨x_f|e^{-iHt}|x_i⟩={\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-iEt}d{\mu }_{x_f,x_i}(E),$$

其中 ${\mu }_{x_f,x_i}$ 为对应的谱 Stieltjes 测度。形式的费曼路径积分正是对该核的另一种表述（在严格化框架下与核一致）。因此，当选择“窗“ $w_R(E)=e^{-iE{t}_0}$ 与“核“ $h=\delta$（广义函数意义）时，时间传播子 $K(x_f,t_0;x_i,0)$ 就是能量侧窗化读数的特例；$h\ne \delta$ 则对应能量平滑，时间域为乘以 $\hat{h}$。

在 WSIG-QM 语境中，这等价于：可测的所有路径积分型观测 = 能量侧“窗—核—密度“读数；时间侧为传播子时间迹/核在同窗/核下的傅里叶对偶。

2. 窗化路径积分定理：能量—时间双表

设 $H$ 自伴，$E_H$ 其谱测度；${\rho }_{\star }$ 表示欲读数的谱密度（可取 ${\rho }_{\mathrm{abs}}$ 或相对密度 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$）。令 $w_R\in {\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}$，$h\in W^{2M,1}\cap L^1$。

Assumption A（换序与可积性前提）. 为使定理 2.1 的傅里叶对偶与换序严格成立，假设：

• （A1）谱密度规整性： ${\rho }_{\star }$ 为有限符号 Borel 测度（即 $|{\rho }_{\star }|(\mathbb{R})<\infty$）；当 ${\rho }_{\star }$ 有绝对连续部分时其密度属 $L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R})$。
• （A2）窗函数规整性： $w_R\in L^{\infty }(\mathbb{R})\cap C^{2M}(\mathbb{R})$ 且为偶函数，属 Paley–Wiener 类 ${\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}$（带限于角频率 $\Omega$），从而其傅里叶变换 ${\hat{w}}_R$ 紧支撑于 $[-\Omega /R,\Omega /R]$（角频率规范）。
• （A3）核函数规整性： $h\in W^{2M,1}(\mathbb{R})\cap L^1(\mathbb{R})$（无偶性要求），保证 $h\ast {\rho }_{\star }$ 在分布意义下良定义且 $\hat{h}\in L^{\infty }(\mathbb{R})$。充分条件链： 由 Sobolev 嵌入，$h\in W^{2M,1}(\mathbb{R})$ 蕴含 $h\in C_0(\mathbb{R})\cap L^{\infty }(\mathbb{R})$（对 $2M\ge 1$ 时），从而 $\Vert h\ast {\rho }_{\star }{\Vert }_{L^{\infty }}\le \Vert h{\Vert }_{L^{\infty }}|{\rho }_{\star }|(\mathbb{R})$，保证定理 2.1 证明中的有界性与可积性。时间侧 EM 附加要求： 若在时间侧使用 $2M$ 阶 EM 修正（见 A6），需额外保证 $\hat{h}\in C^{2M}(\mathbb{R})$。充分条件为 $h$ 满足矩条件 ${\int }_{\mathbb{R}}|x{|}^k|h(x)|dx<\infty$（$0\le k\le 2M$），此时 ${\hat{h}}^{(k)}(t)={\int }_{\mathbb{R}}(-ix{)}^{k}h(x)e^{-ixt}dx$ 对所有 $0\le k\le 2M$ 一致收敛且 $\Vert {\hat{h}}^{(k)}{\Vert }_{L^{\infty }}\le {\int }_{\mathbb{R}}|x{|}^k|h(x)|dx$。
• （A4）Fubini/Tonelli 可交换（修订）. 上述条件下，$h\ast {\rho }_{\star }\in L^1(\mathbb{R})$，且 $w_R\cdot (h\ast {\rho }_{\star })\in L^1(\mathbb{R})$（亦可视为对 Lebesgue 测度的绝对连续有限测度）。因此分布型 Parseval/Plancherel 恒等式与 Fubini–Tonelli 换序成立。
• （A5）Stieltjes/分布对偶： 当 ${\rho }_{\star }={\nu }_{\rho }$ 为谱测度时，$K_{{\rho }_{\star }}(t)=\mathrm{Tr}(\rho e^{-iHt})$ 由 Stone 定理保证为连续有界函数；点谱+绝对连续谱分拆时各部分分别以 Stieltjes 意义处理。
• （A6）时间侧 EM 光滑性（可选）： 若在时间侧使用 $2M$ 阶 Euler–Maclaurin 修正，需额外假设 $G_t=\frac{1}{2\pi }{\hat{w}}_R(-t)\hat{h}(t)K_{{\rho }_{\star }}(t)\in C^{2M}([-T,T])$。充分条件（三因子闭合）：
  • (i) 窗函数： 若 $w_R\in L^1(\mathbb{R})$ 且满足矩条件 ${\int }_{\mathbb{R}}|E{|}^k|w_R(E)|dE<\infty$（$0\le k\le 2M$），则 ${\hat{w}}_R\in C^{2M}(\mathbb{R})$ 且

$${\hat{w}}_R^{(k)}(t)={\int }_{\mathbb{R}}(-iE{)}^k{w}_R(E)e^{-iEt}dE,\Vert {\hat{w}}_R^{(k)}{\Vert }_{L^{\infty }}\le {\int }_{\mathbb{R}}|E{|}^k|w_R(E)|dE.$$

注意： $w_R\in {\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}$（即 $\mathrm{supp}{\hat{w}}_R\subset [-\Omega /R,\Omega /R]$）仅保证 $w_R$ 在能量域解析与有界，不足以推出时间域 ${\hat{w}}_R$ 的 $C^{2M}$ 光滑性；后者需由能量侧矩条件给出。由 (i)(ii)(iii) 合用可闭合 $G_t^{(2M)}$ 的有界性。

• (ii) 核函数： $h$ 满足矩条件 ${\int }_{\mathbb{R}}|x{|}^k|h(x)|dx<\infty$（$0\le k\le 2M$），从而 $\hat{h}\in C^{2M}(\mathbb{R})$ 且 $\Vert {\hat{h}}^{(k)}{\Vert }_{L^{\infty }}\le {\int }_{\mathbb{R}}|x{|}^k|h(x)|dx$（见 A3 中时间侧 EM 附加要求）。
• (iii) 谱密度： 对整体现代谱测度 ${\rho }_{\star }$ 施加到 $2M$ 阶的统一矩条件：

$${\int }_{\mathbb{R}}|E{|}^{k}d|{\rho }_{\star }|(E)<\infty ,0\le k\le 2M,$$

其中 $|{\rho }_{\star }|$ 为测度 ${\rho }_{\star }$ 的全变差（覆盖绝对连续、点谱、奇异连续三部分）。于是 $K_{{\rho }_{\star }}^{(k)}(t)={\int }_{\mathbb{R}}(-iE{)}^k{e}^{-iEt}d{\rho }_{\star }(E)$ 对所有 $0\le k\le 2M$ 一致收敛且有界（$|K_{{\rho }_{\star }}^{(k)}(t)|\le {\int }_{\mathbb{R}}|E{|}^{k}d|{\rho }_{\star }|(E)$），从而 $K_{{\rho }_{\star }}\in C^{2M}(\mathbb{R})$。综合 (i)(ii)(iii)，由 Leibniz 规则得 $G_t^{(2M)}$ 存在且有界，EM 余项上界 $\lesssim \frac{1}{(2M)!}\underset{|t|\le T}{\max }|G_t^{(2M)}(t)|{\Delta }_t^{2M}$ 合法。纯绝对连续特例： 当 ${\rho }_{\star }$ 为绝对连续密度 ${\rho }_{\mathrm{abs}}(E)$ 时，矩条件退化为 ${\int }_{\mathbb{R}}|E{|}^k|{\rho }_{\mathrm{abs}}(E)|dE<\infty$（$0\le k\le 2M$）。点谱/奇异连续： 需分别保证 ${\sum }_n|p_n||E_n{|}^k<\infty$ 与相应奇异连续部分的矩可积；否则建议在时间侧跳过 EM 或改用能量侧方案（§3(ii)）。推荐优先使用能量侧采样。

• （A7）能量侧 EM 光滑性（修订，统一充分条件）. 为在能量侧使用 $2M$ 阶 Euler–Maclaurin，需 $G_E:=w_R\cdot (h\ast {\rho }_{\star })\in C^{2M}(\mathbb{R})$。给出如下分情形充分条件： (i) $w_R\in C^{2M}(\mathbb{R})$； (ii-A)（一般测度，函数连续有界）若 $h^{(k)}\in C_b(\mathbb{R})\cap L^1(\mathbb{R})$（$0\le k\le 2M$），则对任意有限符号测度 ${\rho }_{\star }$ 有 $$(h^{(k)}\ast {\rho }_{\star })\in C_b(\mathbb{R}),\Vert (h^{(k)}\ast {\rho }_{\star }){\Vert }_{L^{\infty }}\le \Vert h^{(k)}{\Vert }_{L^{\infty }}|{\rho }_{\star }|(\mathbb{R}).$$ 备注（必要区分）：若仅有 $h^{(k)}\in L^1\cap L^{\infty }$ 而缺少连续性，则一般只能推出 $(h^{(k)}\ast {\rho }_{\star })\in L^{\infty }$，不能保证其连续（例如 ${\rho }_{\star }={\delta }_0$）。此时应改用（ii-B）的绝对连续密度情形，或按（ii-C）对点谱部分分段处理/显式求和。 (ii-B)（$L^p$ 密度情形）若仅有 $h^{(k)}\in L^1(\mathbb{R})$（$0\le k\le 2M$），则需附加 ${\rho }_{\star }$ 具 $L^p$ 密度 $v\in L^p(\mathbb{R})$（某个 $1\le p<\infty$；如仅在 $[-E_{\max },E_{\max }]$ 内施行 EM，可取 $v\in L_{\mathrm{loc}}^p$ 并据截断窗作局部化）。于是 $$(h^{(k)}\ast v)\in C_0(\mathbb{R})\cap L^{\infty }(\mathbb{R}),\Vert h^{(k)}\ast v{\Vert }_{L^{\infty }}\le \Vert h^{(k)}{\Vert }_{L^1}\Vert v{\Vert }_{L^p}.$$ (ii-C) 若 ${\rho }_{\star }$ 含点质量，则按离散和式处理或要求 $h^{(k)}\in L^{\infty }$ 以确保有界性；此时可采用分段 EM 或直接显式求和以绕开连续可微要求。 在上述任一情形下，$G_E\in C^{2M}(\mathbb{R})$ 成立，$2M$ 阶 EM 余项可由 ${\max }_{|E|\le E_{\max }}|G_E^{(2M)}(E)|$ 控制。

定理 2.1（窗—核对偶）

设 $w\in L^{\infty }(\mathbb{R})\cap C^{2M}(\mathbb{R})$，$h\in W^{2M,1}(\mathbb{R})\cap L^1(\mathbb{R})$，${\rho }_{\star }$ 为有限符号 Borel 测度，则

$$\boxed{{\int }_{\mathbb{R}}w(E)[h\ast {\rho }_{\star }](E)dE=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{w}(-t)\hat{h}(t)K_{{\rho }_{\star }}(t)dt},$$

其中 $K_{{\rho }_{\star }}(t)=\widehat{{\rho }_{\star }}(t)$；当 ${\rho }_{\star }={\nu }_{\rho }$ 时与 $K_{\rho }(t):=\mathrm{Tr}(\rho e^{-iHt})$ 一致。若 $w$ 为偶函数（如带宽窗 $w_R(E)=w(E/R)$），则上式右端的 $\hat{w}(-t)$ 可写为 $\hat{w}(t)$。

正则性分级说明： 定理 2.1 的恒等式本身仅需 $w\in L^{\infty }$、$h\in L^1$（换序按 A1–A4 保证），而 $C^{2M}$/$(W^{2M,1})$ 的高阶光滑性仅用于 §3 的 EM 误差估计；若仅使用定理本身而无需 $\mathcal{O}({\Delta }^{2M})$ 精度的 EM 修正，可将正则性要求降为 $w\in L^{\infty }$、$h\in L^1$。

证明. 记 $g(E)=w(E)(h\ast {\rho }_{\star })(E)$。由假设 A1–A3，$h\in W^{2M,1}\cap L^1$，故 $\Vert h\ast {\rho }_{\star }{\Vert }_{L^1}\le \Vert h{\Vert }_{L^1}|{\rho }_{\star }|(\mathbb{R})$，从而 $g:=w\cdot (h\ast {\rho }_{\star })\in L^1(\mathbb{R})$（因 $w\in L^{\infty }$）。据此可直接应用 Fubini–Tonelli 与 Parseval 得到结论；无需用到 $\Vert h\ast {\rho }_{\star }{\Vert }_{L^{\infty }}$ 上界。由 Parseval，$\int g=\hat{g}(0)$。再由卷积—乘积对偶

$$\hat{g}(\xi )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{w}(\tau )\hat{h}(\xi -\tau )\widehat{{\rho }_{\star }}(\xi -\tau )d\tau .$$

取 $\xi =0$，变元 $t=-\tau$ 得

$$\hat{g}(0)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{w}(-t)\hat{h}(t)\widehat{{\rho }_{\star }}(t)dt.$$

又由记号 0.3，$\widehat{{\rho }_{\star }}(t)=K_{{\rho }_{\star }}(t)$（Stieltjes/分布意义），即得所述。换序由 $w\in L^{\infty }\cap C^{2M}$、$h\in W^{2M,1}$ 及 ${\rho }_{\star }$ 的 Lebesgue 三分解（点谱 $+$绝对连续 $+$奇异连续）下的可积性估计保证：对点谱部分采用显式和式、对绝对连续部分采用 $L^1$ 积分、对奇异连续部分以有限测度的全变差作界，从而 Fubini–Tonelli 与零频 Parseval 恒等式得以适用。□

诠释. 左端是能量侧“窗—核—密度“读数；右端是时间侧传播子时间迹在相同窗/核下的乘积积分。这就是”路径积分核（传播子）↔ 能量窗化谱读数“的精确傅里叶对偶，依赖的仅是谱定理与 Plancherel（Stone 定理确保 $e^{-itH}$ 的一参单位群）。

通式与偶窗. 定理陈述的通式 $\hat{w}(-t)$ 适用于任意窗函数；当 $w$ 为偶函数时简化为 $\hat{w}(t)$。对点时刻传播子等非偶窗情形（如 $w(E)=e^{\pm iE{t}_0}$），采用推论 2.2 的分布版本，号记细节见附录 B.2。

推论 2.2（分布版本/点窗与 $\delta$ 核，修订）

令 $w\in {\mathcal{S}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 且其傅里叶变换 $\hat{w}$ 为有界有限测度（容许 $\hat{w}=2\pi \delta (\cdot \pm t_0)$）；令 ${\rho }_{\star }$ 为有限符号 Borel 测度；令 $h\in {\mathcal{S}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 且可由 $h_{ϵ}\in W^{2M,1}\cap L^1$ 逼近。则定理 2.1 的恒等式

$${\int }_{\mathbb{R}}w(E)(h\ast {\rho }_{\star })(E)dE=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{w}(-t)\hat{h}(t)K_{{\rho }_{\star }}(t)dt$$

在 ${\mathcal{S}}^{\prime }$ 配对意义下成立（与定理 2.1 保持相同的通式记号 $\hat{w}(-t)$；当 $w$ 为偶函数时可简化为 $\hat{w}(t)$）。此时 $K_{{\rho }_{\star }}(t)=\widehat{{\rho }_{\star }}(t)\in C_b(\mathbb{R})$，与 $\hat{h}\in L^{\infty }$ 的乘积良定义；本文不将该乘法泛化至任意分布乘子。

点时刻传播子特例（双版本对照）. 取 $h=\delta$（从而 $\hat{h}\equiv 1$），在本文傅里叶规范 $\hat{f}(\xi )=\int f(x)e^{-ix\xi }dx$ 下：

两侧恒等式逐步相等，与 §0.1 速查卡完全对齐。物理上常用第二行（$w=e^{-iE{t}_0}$）得正时刻传播子 $K_{{\rho }_{\star }}(t_0)$。

3. 离散化与Nyquist–Poisson–EM三分解（非渐近闭合）

在数值实现中，对（2.1）任一侧取等距采样步长 $\Delta$，窗口截断至 $[-T,T]$，并以 $2M$ 阶 Euler–Maclaurin（EM）修正求和—积分差，则总体误差可一次性分解为

$$\boxed{\text{error}=\underset{\text{Poisson}}{\underbrace{\text{alias}}}+\underset{\text{EM 余项}}{\underbrace{\text{Bernoulli layer}}}+\underset{\text{截断}}{\underbrace{\text{tail}}}}.$$

侧别统一与别名判据. 为避免变量混用，定义

• 时间侧函数：$G_t(t):=\frac{1}{2\pi }{\hat{w}}_R(-t)\hat{h}(t)K_{{\rho }_{\star }}(t)$。（当 $w_R$ 为偶函数时可简化为 ${\hat{w}}_R(t)$。）
• 能量侧函数：$G_E(E):=w_R(E)(h\ast {\rho }_{\star })(E)$。

（i）时间侧采样（近带限与上界）. 若在时间侧采样 $G_t$（步长 ${\Delta }_t$），由定义 $G_t(t)=\frac{1}{2\pi }{\hat{w}}_R(-t)\hat{h}(t)K_{{\rho }_{\star }}(t)$ 与本文傅里叶规范 $\hat{f}(\xi )=\int f(x)e^{-ix\xi }dx$，逐步计算得 $\mathcal{F}[{\hat{w}}_R(-t)]=2\pi w_R$、$\mathcal{F}[\hat{h}]=2\pi h^{♯}$、$\mathcal{F}[K_{{\rho }_{\star }}]=2\pi {\rho }_{\star }^{♯}$（其中 $f^{♯}(E):=f(-E)$ 为反射）。对 Borel 测度 $\mu$ 定义反射 ${\mu }^{♯}(B):=\mu (-B)$（$-B:=\{-x:x\in B\}$）。于是 $\mathcal{F}[K_{{\rho }_{\star }}]=2\pi {\rho }_{\star }^{♯}$ 合法，且与函数情形的反射记号一致。由 $K_{{\rho }_{\star }}(t)={\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-iEt}d{\rho }_{\star }(E)$，对 $t$ 取傅里叶变换得 $$\mathcal{F}[K_{{\rho }_{\star }}](\xi )={\int }_{\mathbb{R}}\left[{\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-iEt}d{\rho }_{\star }(E)\right]e^{-it\xi }dt=2\pi {\int }_{\mathbb{R}}\delta (\xi +E)d{\rho }_{\star }(E)=2\pi {\rho }_{\star }^{♯}(\xi ),$$ 其中 ${\mu }^{♯}(B):=\mu (-B)$。由乘积—卷积律与前因子 $1/(2\pi )$，得

$${\hat{G}}_t(\xi )=(w_R\ast h^{♯}\ast {\rho }_{\star }^{♯})(\xi ).$$

散射谱 ${\rho }_{\star }$ 通常非紧支撑，故 ${\hat{G}}_t$ 一般支撑在 $\mathbb{R}$ 上。严格带限情形（别名=0）需额外假设：存在 ${\Omega }_G$ 使 $\mathrm{supp}{\hat{G}}_t\subset [-{\Omega }_G,{\Omega }_G]$（即 $w_R\ast h^{♯}\ast {\rho }_{\star }^{♯}$ 带限），此时

$$\boxed{{\Delta }_t\le \frac{\pi }{{\Omega }_G}\Rightarrow \text{alias}=0}.$$

一般近带限情形下，别名上界由出带能量控制：

$$\Vert \text{alias}\Vert \lesssim \Vert {\hat{G}}_t{\Vert }_{L^1(|\xi |>\pi /{\Delta }_t)}.$$

EM 余项（需 $G_t\in C^{2M}$，见假设 A6）：$\lesssim \frac{1}{(2M)!}\underset{|t|\le T}{\max }|G_t^{(2M)}(t)|{\Delta }_t^{2M}$；截断尾项 $\lesssim \Vert G_t{\Vert }_{L^1(|t|>T)}$。

（ii）能量侧采样（推荐）. 若在能量侧采样 $G_E$（步长 ${\Delta }_E$），其傅里叶变换 ${\hat{G}}_E(\xi )=\frac{1}{2\pi }{\hat{w}}_R(\xi )\ast (\hat{h}(\xi )\cdot K_{{\rho }_{\star }}(\xi ))$。带宽判据（Minkowski 和）： 当 ${\hat{w}}_R$ 与 $\hat{h}$ 均为紧支撑时，有

$$\mathrm{supp}{\hat{G}}_E\subset \mathrm{supp}{\hat{w}}_R+\mathrm{supp}\hat{h},$$

与 $K_{{\rho }_{\star }}$ 是否紧支撑无关（被乘子局域化）。具体地，若 ${\mathrm{supp}}_{\xi }{\hat{w}}_R\subset [-\frac{{\Omega }_w}{R},\frac{{\Omega }_w}{R}]$ 且 ${\mathrm{supp}}_{\xi }\hat{h}\subset [-{\Omega }_h,{\Omega }_h]$，则 ${\mathrm{supp}}_{\xi }{\hat{G}}_E\subset [-(\frac{{\Omega }_w}{R}+{\Omega }_h),\frac{{\Omega }_w}{R}+{\Omega }_h]$，其中 $\boxed{{\Omega }_g=\frac{{\Omega }_w}{R}+{\Omega }_h}$ 为 $\xi$-域半宽。则 ${\hat{G}}_E$ 严格带限于 $[-{\Omega }_g,{\Omega }_g]$，从而

$$\boxed{{\Delta }_E\le \frac{\pi }{{\Omega }_g}\Rightarrow \text{alias}=0}.$$

EM 余项（需假设 A7 保证 $G_E\in C^{2M}$）：$\lesssim \frac{1}{(2M)!}\underset{|E|\le E_{\max }}{\max }|G_E^{(2M)}(E)|{\Delta }_E^{2M}$；截断尾项 $\lesssim \Vert G_E{\Vert }_{L^1(|E|>E_{\max })}$。解析 $\Rightarrow$ 指数收敛（限定条件版）： 当 $G_E$ 在实轴邻近的水平条带 $\{E+i\eta :|\eta |<{\eta }_0\}$ 内解析且满足条带内一致衰减（如 $|G_E(E+i\eta )|\lesssim (1+|E|{)}^{-\alpha }$ 对某 $\alpha >1$）或可周期化延拓时，梯形规则呈几何（指数）收敛 $\lesssim e^{-c/{\Delta }_E}$（$c$ 依赖于解析条带宽度与衰减速率）；详见 Trefethen–Weideman（SIAM Rev. 2014）关于周期/解析情形的梯形规则指数收敛定理。非周期或无条带解析时需退回代数阶估计。点谱情形注意： 若 ${\rho }_{\star }$ 含点质量（如谐振子点谱 ${\sum }_n{p}_n\delta (E-E_n)$），则 $G_E$ 仅为分段光滑；此时需改用分段 EM 或直接对离散谱求和 ${\sum }_n{p}_n{w}_R(E_n)h(E_n)$，绕过连续微分要求（见假设 A7 中降级处理说明）。

实践建议. 优先在能量侧采样 $G_E=w_R\cdot (h\ast {\rho }_{\star })$，因其窗/核带限时自动满足 Nyquist 条件。光滑性注意： 若使用 $2M$ 阶 EM 修正，需验证假设 A7 的充分条件（${\rho }_{\star }$ 具 $L_{\mathrm{loc}}^1$ 密度且 $h\in C^{2M}$）；对含点谱情形，改用分段处理或直接对离散谱求和。时间侧采样需额外验证 ${\rho }_{\star }$ 的矩条件（见假设 A6）或施加低通预滤波。

近带限工作定义. 对给定容差 $\epsilon >0$，定义 $\epsilon$-带限半宽

$${\Omega }_{\epsilon }(G):=\inf \{\Omega :\Vert \hat{G}{\Vert }_{L^1(|\xi |>\Omega )}\le \epsilon \},$$

从而别名上界可用此量表达：$\Vert \text{alias}\Vert \lesssim \Vert \hat{G}{\Vert }_{L^1(|\xi |>\pi /\Delta )}$；而截断尾项上界由窗外被积函数控制：$\Vert \text{tail}\Vert \lesssim \Vert G{\Vert }_{L^1(|x|>T)}$。

误差账本实施清单（数值实现者速查）：

4. 相位—密度—延迟的统一刻度

定理 4.1（BK + Wigner–Smith）

设 $(H,H_0)$ 满足常规散射正则性（例如 $V\in L^1(⟨x⟩,dx)$ 或相应相对迹类/Hilbert–Schmidt 条件，使谱移函数与 $S(E)$ 的可微性、BK 公式适用），使得 a.e. $E$ 上 $S(E)$ 存在并酉。

BK 号记双版本约定（与主流文献对照）.
版本 I（本文采用）： $\det S(E)=e^{+2\pi i\xi (E)}$，$\mathsf{Q}(E):=-i{S}^{†}(E){\partial }_{E}S(E)$（取 $\hslash =1$），从而 ${\xi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$。
版本 II（Pushnitski, Sobolev 等主流）： $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$，$\mathsf{Q}(E):=-i{S}^{†}(E){\partial }_{E}S(E)$（定义相同），从而 ${\xi }^{\prime }(E)=-\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$。
互换规则（统一表述）. 记 $s_{\mathrm{BK}}\in \{+1,-1\}$ 使 $\det S(E)=e^{s_{\mathrm{BK}}2\pi i\xi (E)}$。定义

$$\phi (E):=\frac{1}{2}\arg \det S(E)\Rightarrow {\phi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E).$$

则

$${\rho }_{\mathrm{rel}}(E):={\xi }^{\prime }(E)=\frac{s_{\mathrm{BK}}}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),\phi (E)\equiv s_{\mathrm{BK}}\pi \xi (E)(\mathrm{mod}\pi \mathbb{Z}),$$

因而

$$\boxed{{\phi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=s_{\mathrm{BK}}\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)}.$$

其中 $s_{\mathrm{BK}}=+1$ 对应本文主文“版本 I“，$s_{\mathrm{BK}}=-1$ 对应“版本 II“。（${\phi }^{\prime }$ 为两版本共同不变量。）

证明（要点）. 由 BK 公式 $\det S(E)=e^{s_{\mathrm{BK}}2\pi i\xi (E)}$（a.e.）取对数并微分，得 $\frac{d}{dE}\log \det S(E)=\mathrm{tr}(S^{-1}{S}^{\prime })=s_{\mathrm{BK}}2\pi i{\xi }^{\prime }(E)$。又因 $S$ 酉，$S^{-1}=S^{†}$，于是 $\mathrm{tr}(-i{S}^{†}{S}^{\prime })=s_{\mathrm{BK}}2\pi {\xi }^{\prime }(E)$，即 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=s_{\mathrm{BK}}2\pi {\xi }^{\prime }(E)$。定义 $\phi (E):=\frac{1}{2}\arg \det S(E)$（可取连续分支锚定），则 ${\phi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$，且有 $\phi (E)\equiv s_{\mathrm{BK}}\pi \xi (E)(\mathrm{mod}\pi \mathbb{Z})$。□

物理含义. $\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$ 为总群延迟，其与谱移导数一致即是 Friedel-型“密度—相位“规则的抽象版本。上述 $\rho (E)=(2\pi \hslash {)}^{-1}\mathrm{Tr}\mathsf{Q}(E)$ 在凝聚态、介观物理与电磁波散射中广泛用作能级密度的直接度量。

与窗化读数的联系. 对良态散射对 $(H,H_0)$，有 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)={\xi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$，故 $K_{{\rho }_{\mathrm{rel}}}(t)=\widehat{{\rho }_{\mathrm{rel}}}(t)$ 可理解为 $\frac{1}{2\pi }\widehat{\mathrm{tr}\mathsf{Q}}(t)$ 的分布版本；这在定理 2.1 中将相对散射读数与 BK/Wigner–Smith 刻度统一对接。

5. Born = I-投影与信息几何

（解释性命题/信息几何语义） 下述“Born = 最小-KL（I-投影）“用于本框架的概率更新语义，并非量子力学 Born 规则公理的标准表述，而是将窗化读数后的概率条件化/更新过程置于信息几何框架下的重述；在闭凸矩约束 $\mathcal{C}$ 与下半连续条件下存在唯一极小解。

适用场景： 当窗化读数（定理 2.1）给出能量谱的条件化分布后，若需将其更新为满足额外线性矩约束 $\mathcal{C}$ 的最优分布，可表为对参考 $q$ 的最小-KL 投影（I-投影）：

$$p^{\star }=\arg \underset{p\in \mathcal{C}}{\min }\mathrm{KL}(p|q),$$

则解属于指数族，势函数为 $\log {\sum }_j{e}^{⟨\lambda ,T_j⟩}$（log-sum-exp）。这与 Fenchel–Legendre 对偶一致，温度 $\tau \downarrow 0$ 的极限在 $\Gamma$-收敛下给出“硬投影/最小能量“。此“Born = 最小-KL“的等价在信息几何中由 Csiszár 的 I-投影与 Bregman-KL 关系奠基。注意： 本节非路径积分的必要组成部分，仅为与 WSIG-QM 公理 A4/定理 T2 的概念接口。

6. 窗/核设计与多窗协同（最优化—帧—对偶窗）

（6.1）单窗强凸最优. 在带限偶子空间上以“带外能量 + 高阶导能量“作目标，得到唯一极小窗；频域满足带限投影的 KKT 条件。

（6.2）多窗/多核与帧稳定. 用加权多目标描述帕累托前沿；令 $\{g_m\}$ 为多窗族，帧算子 $Sf={\sum }_m⟨f,g_m⟩g_m$，存在对偶窗族 $\{g_m\}$ 使 ${\sum }_m⟨f,g_m⟩g_m=f$。Wexler–Raz 双正交给出 Gabor/WH 系的必要充分条件；“painless“非正交展开提供可实现的稳定构造。

7. 轨道展开与迹公式接口（半经典视角）

抽象迹公式把“谱和 + 轨道和“置于同一测试核 $h$ 下；窗化后奇性集合与阶保持，数值误差依旧遵循本论文的“别名 + EM + 截断“账本。（具体 Selberg/Gutzwiller 版略。）

8. 例：自由粒子与谐振子（纲要）

• 自由粒子：LDOS 的密度 ${\rho }_{\mathrm{abs}}(E)$ 与 $K_{{\rho }_{\mathrm{abs}}}(t)$ 由傅里叶互为对偶；取 $w_R(E)=e^{-iE{t}_0}$、$h=\delta$ 恢复 $K_{{\rho }_{\mathrm{abs}}}(t_0)$。
• 谐振子：点谱 ${\nu }_{\rho }={\sum }_n{p}_n\delta (E-E_n)$ 时，$K_{\rho }(t)={\sum }_n{p}_n{e}^{-i{E}_{n}t}$，（2.1）以 Stieltjes 形式依然成立。

9. 与 WSIG-QM / UMS / EBOC 的接口

9.1 与 WSIG-QM 的接口。

• WSIG-QM 的公理 A2（有限窗口读数）直接对应本文定理 2.1 的能量侧“窗—核—密度“读数。
• WSIG-QM 的公理 A5（相位—密度—延迟刻度）与本文定理 4.1 采用完全一致的 BK 号记与 Wigner–Smith 定义。
• WSIG-QM 的定理 T1（窗口化读数恒等式与非渐近误差闭合）与本文第 3 节的 Nyquist–Poisson–EM 三分解共享同一误差账本。
• WSIG-QM 的定理 T2（Born = I-projection）与本文第 5 节的信息几何投影在概念与证明结构上完全对齐。

9.2 与 UMS 的接口。

• UMS 的核心统一式 ${\rho }_{\mathrm{rel}}dE={\xi }^{\prime }dE=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}dE$ 与 ${\phi }^{\prime }=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}$ 与本文 0.5 及定理 4.1 采用相同刻度。
• UMS 的公理 A2（有限窗口读数）与本文定理 2.1 在传播子语境下完全等价。
• UMS 的定理 4.1–4.3（Nyquist–Poisson–EM 有限阶闭合）为本文第 3 节的路径积分离散化提供理论支撑。

9.3 与 EBOC-Graph 的接口。

• EBOC-Graph 的定理 G4（非渐近误差闭合）与本文第 3 节的三分解在离散谱/图信号情形下共享框架。
• 路径积分在图/格点系统上的离散化可沿用本文的 Nyquist–Poisson–EM 账本，将连续能量谱替换为图拉普拉斯谱。

9.4 与 S15–S26 的接口。

• S15–S17 的 Herglotz 表示与规范系统为传播子核的谱密度 ${\rho }_{\mathrm{abs}}$ 提供解析结构。
• S24–S26 的纤维 Gram、Wexler–Raz 双正交与 Balian–Low 不可能性为本文第 6 节的多窗设计提供具体判据。
• S21–S23 的相位—尺度协变与有限阶 EM 纪律直接支撑本文的误差闭合框架。

9.5 与 CCS（协变多通道）的接口。

• CCS 的窗化 Birman–Kreĭn 恒等式与本文定理 4.1 在多通道散射情形下完全一致。
• CCS 的 Nyquist–Poisson–EM 三分解为本文第 3 节的路径积分离散化提供多通道推广。

9.6 保持“极点 = 主尺度“的有限阶 EM 纪律。

• 本文在所有离散—连续换序中均采用有限阶 EM，确保传播子的极点（共振/束缚态能量）始终为“主尺度“标记。
• 与 WSIG-QM、UMS、S15–S26 保持一致：EM 余项仅作有界扰动，不引入新奇点。

10. 结论

一语以蔽之：

$$\boxed{\text{路径积分 = 传播子核}⟺\text{能量侧"窗—核—密度"读数}\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }\text{时间侧窗化传播子迹}},$$

并在 BK/延迟/相位密度统一刻度与 Nyquist–Poisson–EM 误差学下，得到严格对偶 + 可计算闭合的表述。

附录 A：规范切换与 $\hslash$ 恢复

• 若取对称 Fourier 规范 $\hat{f}=(2\pi {)}^{-1/2}\int f{e}^{-ix\xi }$，则定理 2.1 右端无 $1/(2\pi )$ 因子（自动吸收进规范）。
• 恢复 $\hslash$：以 $\xi =t/\hslash$ 改写 ${\hat{w}}_R,\hat{h},K_{{\rho }_{\star }}$ 的自变量并配套雅可比；按 §0.5 中 ${\mathsf{Q}}_{\hslash }$ 的定义，含 $\hslash$ 的版本无关关系式为 $\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{\hslash }(E)=2\hslash {\phi }^{\prime }(E)$；在版本 I 号记（$\det S=e^{+2\pi i\xi }$）下有 $\phi \equiv \pi \xi (\mathrm{mod}\pi \mathbb{Z})$（可在 $E_{\ast }$ 处锚定分支），从而 $\mathrm{tr}{\mathsf{Q}}_{\hslash }(E)=2\pi \hslash {\xi }^{\prime }(E)$。
• Nyquist 速查式（恢复 $\hslash$）： 设 ${\Omega }_g$ 为能量侧 ${\hat{G}}_E$ 的 $\xi$-域半宽（$\xi =t/\hslash$）。则 $$\boxed{{\Delta }_E\le \frac{\pi }{{\Omega }_g}}.$$ 等价地，以物理时间半宽 $$T_g:=\frac{\hslash }{{\Omega }_g}$$ 表示，则 $$\boxed{{\Delta }_E\le \frac{\pi \hslash }{T_g}},$$ 二者完全一致；当 $\hslash =1$ 时退化为 ${\Delta }_E\le \pi /{\Omega }_g$。时间侧同理：若 ${\Omega }_G$ 为 $G_t$ 的频域半宽，则 ${\Delta }_t\le \pi /{\Omega }_G$。取 $\hslash =1$ 时回到正文 §3 公式。