能量的窗化谱测度理论（WEM：Windowed Energy as Measure）

Version: 1.4

摘要

建立以窗化相对谱密度的一阶矩刻画能量的自洽框架。核心刻度链在绝对连续谱几乎处处成立：

$$\boxed{\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)},$$

其中 $\phi (E)=\frac{1}{2}\mathrm{Arg}\det S(E)$，$\mathsf{Q}(E)=-iS(E{)}^{†}{\partial }_{E}S(E)$ 为 Wigner–Smith 群延迟矩阵，${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 为相对谱密度。以窗 $w$ 对 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 加权定义能量泛函

$$\mathcal{E}[w]={\int }_{\mathbb{R}}Ew(E){\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE.$$

本文给出：能量重参数—窗推前的协变不变性与通道加性；基于 Birman–Kreĭn 迹—相位公式的 $\log \det$ 表征及在 Hilbert–Schmidt 相对扰动下的 ${\det }_2$/Koplienko 正则化；有限阶 Euler–Maclaurin（EM）纪律下的非渐近误差闭合；以及在 EBOC（静态块·观察—计算）与 RCA（可逆元胞自动机）中的语义嵌入与 Koopman 谱对应。所用事实基础包括群延迟矩阵的定义与多物理场推广、谱移函数与相对迹、以及 EM 误差学。(chaosbook.org)

Notation & Axioms / Conventions

Card-1（刻度同一式）：在绝对连续谱 a.e. 成立

$$\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),\mathsf{Q}(E)=-i{S}^{†}(E){\partial }_{E}S(E).$$

单/多通道情形与原始“寿命矩阵“定义一致，并已在电磁、声学等系统中建立计算与实验路径。(chaosbook.org)

Card-2（有限阶 EM—NPE 纪律）：一切离散近似仅采用有限阶 Euler–Maclaurin 展开；误差分解为“别名 + Bernoulli 校正 + 尾项“，常数仅依赖端点导数与有限阶光滑度。(维基百科)

散射—谱移规范：在迹类散射框架

$$\det S(E)=\exp (-2\pi i\xi (E)),(\log \det S{)}^{\prime }(E)=i\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),$$

故 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=-{\xi }^{\prime }(E)$；在 Hilbert–Schmidt 相对扰动下以 Koplienko 谱移 $\eta$ 与 ${\det }_2$ 取代之。(arXiv)

窗与窗化测度：窗 $w\in L^1(\mathbb{R})\cap C^1$，$w\ge 0$、$\int w=1$、$\int |E|w(E)dE<\infty$；窗化相对谱测度 $d{\mu }_w(E)=w(E){\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE$。

1. 框架与基本对象

设可分希尔伯特空间 $(\mathcal{H},⟨\cdot ,\cdot ⟩)$，自伴算子对 $(H_0,H)$ 的波算子存在且完备；绝对连续谱上存在可微散射矩阵 $E\mapsto S(E)\in U(N(E))$。定义

$$\mathsf{Q}(E)=-i{S}^{†}(E){\partial }_{E}S(E),{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E),$$

并以

$$\boxed{\mathcal{E}[w]={\int }_{\mathbb{R}}Ew(E){\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE}$$

作为“能量“的窗化谱定义。单通道 $S(E)=e^{2i\delta (E)}$ 时 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=2{\delta }^{\prime }(E)$，与态密度差之 Friedel 型关系相容（图网络存在局域态修正）。(chaosbook.org)

2. 公理与基本性质

A1（可观测性） $\mathcal{E}[w]$ 仅依赖窗化相对谱测度 $d{\mu }_w$。

A2（重参数协变） 设 $\varphi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 严格单调且 $C^1$。定义窗化相对谱测度

$$d{\mu }_w(E):=w(E){\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE,$$

及其推前 $d{\mu }_w^{\varphi }:={\varphi }_{\ast }d{\mu }_w$。则协变等价式为

$$\boxed{{\mathcal{E}}_S^{(\varphi )}[w]:={\int }_{\mathbb{R}}\varphi (E)d{\mu }_w(E)={\int }_{\mathbb{R}}Ed{\mu }_w^{\varphi }(E)}.$$

若以密度形式展开（$\varphi$ 递增），则

$$d{\mu }_w^{\varphi }(E)=w({\varphi }^{-1}(E)){\rho }_{\mathrm{rel}}({\varphi }^{-1}(E))({\varphi }^{-1}{)}^{\prime }(E)dE.$$

（注：如需与 $S^{\varphi }(E):=S(\varphi (E))$ 的记号并行使用，可保持 $S^{\varphi }$ 仅作参数重标，而协变等价式始终经由测度推前给出。）

A3（通道加性） $S=S_1\oplus S_2\Rightarrow {\rho }_{\mathrm{rel}}={\rho }_{\mathrm{rel},1}+{\rho }_{\mathrm{rel},2}\Rightarrow {\mathcal{E}}_S[w]={\mathcal{E}}_{S_1}[w]+{\mathcal{E}}_{S_2}[w]$。

A4（正则化延拓） 若 $S-I\in {\mathfrak{S}}_2$，以 Koplienko 谱移函数 $\eta$ 与 ${\det }_2$ 维持 $\mathcal{E}[w]$ 的结构与表征。(Department of Mathematics)

A5（空真） $S\equiv I\Rightarrow {\rho }_{\mathrm{rel}}\equiv 0\Rightarrow \mathcal{E}[w]=0$。

3. $\log \det$/${\det }_2$ 表征与相对迹

定理 3.1（迹类情形） 若 $S-I\in {\mathfrak{S}}_1$，则

$$\mathcal{E}[w]=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\mathbb{R}}Ew(E)(\log \det S{)}^{\prime }(E)dE=-{\int }_{\mathbb{R}}Ew(E){\xi }^{\prime }(E)dE.$$

证明要点：由 $(\log \det S{)}^{\prime }=\mathrm{tr}(S^{-1}{S}^{\prime })=i\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 与 Card-1 直接推出；$\det S=\exp (-2\pi i\xi )$ 导出谱移版本。(arXiv)

定理 3.2’（Hilbert–Schmidt 情形，安全表述） 设 $S(E)-I\in {\mathfrak{S}}_2$。则存在 Koplienko 谱移函数 $\eta \in L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R})$，使对任意 $f\in C_c^2(\mathbb{R})$ 有

$$\mathrm{tr}(f(H)-f(H_0)-f^{\prime }(H_0)(H-H_0))={\int }_{\mathbb{R}}{f}^{\prime \prime }(E)\eta (E)dE.$$

在此框架下，能量泛函仍定义为 $\mathcal{E}[w]={\int }_{\mathbb{R}}Ew(E){\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE$。

若进一步满足附加正则性假设（例如 ${\det }_{2}S(E)$ 存在非切边界值且 a.e. 可微），则可定义

$${\Xi }_2(E):=\frac{1}{2\pi i}{\partial }_E\log \underset{2}{\det }S(E),$$

并得到与迹类情形结构一致的表达

$$\boxed{\mathcal{E}[w]={\int }_{\mathbb{R}}Ew(E){\Xi }_2(E)dE}.$$

（说明：上述分层陈述与 BK 型关系在迹类情形保持一致；在 Hilbert–Schmidt 情形则以 Koplienko 迹公式为主，并仅在额外正则性下使用 ${\det }_2$ 版本。(arxiv.org)）

4. 变分结构与尺度窗族

在约束 $\int w=1$ 下，Gateaux 导数

$$D\mathcal{E}[w]\cdot \delta w={\int }_{\mathbb{R}}E{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)\delta w(E)dE,$$

驻点满足 $E{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\lambda$ 于 $w$ 的支集上。尺度窗族

$$w_{\lambda }(E)={\lambda }^{-1}w\left(\frac{E}{\lambda }\right),$$

其方向导数为

$$\boxed{\frac{d}{d\lambda }\mathcal{E}[w_{\lambda }]{|}_{\lambda =1}=-{\int }_{\mathbb{R}}E{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)(w(E)+E{\partial }_{E}w(E))dE}.$$

5. 有限阶 Euler–Maclaurin（EM）非渐近误差闭合

对均匀网格 $E_n=E_0+n\Delta$ 的离散近似

$$\hat{\mathcal{E}}=\sum _{n=-R}^R{E}_{n}w(E_n){\rho }_{\mathrm{rel}}(E_n)\Delta ,$$

令 $f(E)=Ew(E){\rho }_{\mathrm{rel}}(E)\in C^p$，均匀网格 $E_n=E_0+n\Delta$ 且 $[a,b]$ 覆盖有效支集，则

$$\boxed{\mathcal{E}=\hat{\mathcal{E}}-\frac{\Delta }{2}(f(a)+f(b))-\frac{B_2}{2!}{\Delta }^2(f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a))-\frac{B_4}{4!}{\Delta }^4(f^{(3)}(b)-f^{(3)}(a))-\cdots }$$

因而，未做端点修正时误差首项为 $O(\Delta )$；当 $f(a)=f(b)=0$（如窗在端点消失）或改用梯形/中点等对称规则时，主误差提升为 $O({\Delta }^2)$。上述分解仍记作

$${\Delta }_{\mathrm{NPE}}={\Delta }_{\mathrm{alias}}+{\Delta }_{\mathrm{Bernoulli}}+{\Delta }_{\mathrm{tail}},$$

该纪律体现“窗越平滑误差越优“的原则，并给出端点主导项的可计算界。(维基百科)

6. 统计与混沌散射刻画

在混沌腔体、量子点与电磁/声学散射中，$\mathsf{Q}$ 本征值（proper delay times）与 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 的矩与分布可由随机矩阵方法建立，从而为 $\mathcal{E}[w]$ 提供统计界与置信区间构造准则；含损耗与色散的推广亦已给出。(arXiv)

7. EBOC 嵌入：全观察者集成不变量

EBOC 将读数视为对谱测度的线性泛函。由 Card-1 得

$$d{\mu }_w(E)=w(E){\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE=\frac{w(E)}{\pi }{\phi }^{\prime }(E)dE=\frac{w(E)}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)dE,$$

能量读数为 $\mathcal{E}[w]=\int Ed{\mu }_w(E)$。对可逆观察变换族 $\Omega$ 定义全局量

$${\mathcal{E}}_{\mathrm{glob}}:={\int }_{\Omega }\mathcal{E}[w]d\Omega (w),$$

其在能量重参数与窗推前下协变不变，刻画静态块中的“能量—相位—延迟“一致刻度。

8. RCA 嵌入与 Koopman 谱对应

考虑可逆元胞自动机 $(X,\sigma ,T)$ 及其不变测度 $\mu$。Koopman 算子 $U_{T}g=g\circ T$ 的谱测度 ${\nu }_g$ 满足

$$⟨U_T^{n}g,g⟩={\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{in\omega }d{\nu }_g(\omega ).$$

对局部可加“能量密度“观测 $g$，定义离散相位域上的窗化能量

$$\boxed{{\mathcal{E}}_{\mathrm{RCA}}[w]={\int }_{-\pi }^{\pi }\omega w(\omega )d{\nu }_g(\omega )}.$$

Curtis–Hedlund–Lyndon 定理将可逆 CA 刻画为滑动块共轭的连续—移位等变映射；现代 Koopman 理论提供从非线性到线性算子表述的谱工具。存在离散—连续谱变换 $\omega \leftrightarrow E$ 与 Poincaré 截面动力学的可测嵌入时，有 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{RCA}}[w]\equiv \mathcal{E}[w]$。(维基百科)

9. 典型情形与实例

1. 单通道相移：$\mathcal{E}[w]={\pi }^{-1}\int Ew(E){\delta }^{\prime }(E)dE$，与 Friedel 求和一致；图网络存在未耦合局域态时需修正局域态密度项。(lptms.universite-paris-saclay.fr)

2. 多通道与有耗介质：$\mathrm{tr}\mathsf{Q}={\sum }_{j}2{\delta }_j^{\prime }(E)$；在色散/损耗体系内可引入校正项并解耦损耗与延迟，由此保持群延迟刻度与能量窗读数的可解释性。(arXiv)

3. 电磁/声学实现：$\mathsf{Q}$ 可通过 S 参数的频率导数或面/体积分公式稳定估计，并用于模式综合与延迟整形。(arXiv)

10. 主要定理（摘选）

定理 10.1（重参数协变的一致性）

对任意严格单调 $C^1$ 的 $\varphi$ 均有

$${\mathcal{E}}_S^{(\varphi )}[w]={\int }_{\mathbb{R}}\varphi (E)d{\mu }_w(E)={\int }_{\mathbb{R}}Ed({\varphi }_{\ast }d{\mu }_w)(E).$$

证： 推前测度的定义给出 $\int g(E)d({\varphi }_{\ast }\mu )(E)=\int g(\varphi (E))d\mu (E)$。取 $g(E)=E$ 立即得到结论。

定理 10.2（$\log \det /{\det }_2$ 表征）

在 $S-I\in {\mathfrak{S}}_1$ 时成立定理 3.1；在 $S-I\in {\mathfrak{S}}_2$ 时成立定理 3.2’，且两者在迹类极限上一致。(arXiv)

定理 10.3（有限阶 EM 稳定界——统一表述）

设 $f(E)=Ew(E){\rho }_{\mathrm{rel}}(E)\in C^p([a,b])$，均匀网格 $E_n=E_0+n\Delta$ 覆盖有效支集，离散近似取

$$\hat{\mathcal{E}}=\sum _{n=-R}^R{E}_{n}w(E_n){\rho }_{\mathrm{rel}}(E_n)\Delta .$$

则存在常数 $C_1,C_{2k}$（依赖端点导数至阶 $2k-1$），使

$$\boxed{|\mathcal{E}-\hat{\mathcal{E}}|\le \frac{\Delta }{2}(|f(a)|+|f(b)|)+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{C}_{2k}{\Delta }^{2k}}.$$

进一步地，若满足下列任一条件，则首项 $O(\Delta )$ 消失而主阶提升为 $O({\Delta }^2)$：

(i) $f(a)=f(b)=0$（例如窗在端点至少一阶消失）；或

(ii) 采用梯形/中点等对称求和规则。

若再有 $f^{(2j-1)}(a)=f^{(2j-1)}(b)=0$ 对 $1\le j\le m$，则主阶提升为 $O({\Delta }^{2(m+1)})$。(维基百科)

命题 10.4（WEM–RCA 谱对应）

当存在 $\omega \leftrightarrow E$ 的谱变换与可测嵌入时，${\mathcal{E}}_{\mathrm{RCA}}[w]\equiv \mathcal{E}[w]$；其不变性由滑动块共轭与 Koopman 谱测度的自然性保证。(维基百科)

11. 实施细则：估计与误差控制

群延迟途径：$\mathsf{Q}(E_n)\approx -i{S}^{†}(E_n)\frac{S(E_{n+1})-S(E_{n-1})}{2\Delta }$，${\rho }_{\mathrm{rel}}(E_n)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E_n)$。

$\log \det$ 途径：直接估计 $(\log \det S{)}^{\prime }(E_n)$ 或 $(\log {\det }_{2}S{)}^{\prime }(E_n)$ 并积分，常较差分更稳健。

NPE 闭合：加入二阶/四阶 Bernoulli 端点校正并估计尾项；在统计场景下结合 $\mathsf{Q}$ 的矩界给出置信区间。(维基百科)

12. 适用范围与边界

当 $S(E)$ 正则性不足或奇点密集时，应提高窗平滑度并采用 $\log \det$/${\det }_2$ 交叉验证；在量子图与缺陷体系中需显式补偿未耦合局域态密度项；在非酉或亚酉散射的广义延时情形下，可通过极点—零点结构与广义群延迟的延拓维持测度—函数结构。上述处理与已知的 Friedel 失效情形相容。(lptms.universite-paris-saclay.fr)

参考要点（主题指引）

Wigner–Smith 群延迟矩阵的原始/多物理场表述与计算；Birman–Kreĭn 公式与谱移函数（含 ${\mathfrak{S}}_2$ 正则化）；Euler–Maclaurin 有限阶误差学；量子图情形的 Friedel 规则与失效；Curtis–Hedlund–Lyndon 定理与可逆 CA；Koopman 算子与数据驱动谱方法。(chaosbook.org)