量子引力场：以窗化散射相位—延迟—谱移为刻度的统一理论

Quantum Gravitational Field as a Windowed Scattering Phase–Delay–Spectral-Shift Measure

Version v0.7, 2025-10-28

摘要

本文提出一套完全以可观测量刻度的量子引力场理论：对给定时空几何 $g$ 与参考几何 $g_{0}$ ，以其定能散射矩阵 $S_{g} (E)$ 的能量导数所定义的 Wigner–Smith 延迟算子 $Q_{g} (E) = - i S_{g} (E)^{†} \partial_{E} S_{g} (E)$ 为核心，定义相对态密度（relative density of states, rDOS）

$ρ_{rel} [g : g_{0}] (E) = \frac{1}{2 πi} tr (S_{g}^{†} \partial_{E} S_{g}) = \frac{1}{2 π} tr Q_{g} (E) .$

在满足 Birman–Kreĭn（BK）公式 $det S_{g} (E) = exp [- 2 πi ξ_{g} (E)]$ 的幺正散射框架下，有 $ρ_{rel} [g : g_{0}] (E) = - ξ_{g}^{'} (E)$ ，其中 $ξ_{g}$ 为 Kreĭn 谱移函数；这统一了相位—延迟—谱移三者的刻度关系，并与 Friedel/Smith 关系一致。含吸收（非幺正）时，改用相位部分态密度 $ρ_{rel} [g : g_{0}]^{(phase)} (E) = \frac{1}{2 π} \partial_{E} ar g det S_{g} (E)$ ，并以总复延迟 $τ_{tot}$ 的虚部刻画吸收强度。注：本文中 $Q = - i S^{†} \partial_{E} S$ 的自然单位为能量 $^{- 1}$ ，物理时间延迟为 $ℏ Q$ 。我们以窗化观测实现实验分辨率内的可测读数：选取满足 Wexler–Raz 双正交与 Gabor 帧必要密度（ $Δ E Δ t / (2 π ℏ) \leq 1$ ）的窗—对偶核 $(w, \tilde{w})$ ，定义

$N_{w} [g : g_{0}; E_{0}] = \int_{R} w (E - E_{0}) ρ_{rel} [g : g_{0}] (E) d E,$

并给出窗化 BK 恒等式与非渐近误差三分解（混叠/Poisson＋伯努利层/Euler–Maclaurin＋截断）。在渐近平直/双曲流形的几何散射、定常弱场的 Shapiro 引力时延、及含吸收（如黑洞外区）的非幺正散射中，我们证明：(不变性) 对微分同胚/幺正等价不变；(可加性) 级联散射的 rDOS 可加；(半经典极限) 窗化 rDOS 由周期测地流长度谱控制，并在低频极限回到经典驻留时间与 Shapiro 时延。本文并给出面向数值的可复现实验流程与既有量子引力/S-matrix/几何散射文献的接口。

关键词

Wigner–Smith 延迟；Krein 谱移；Birman–Kreĭn 公式；Friedel/Smith 关系；窗化观测；Gabor/Weyl–Heisenberg 框架；Landau 采样密度；流形散射；Shapiro 延迟

1. 引言（以可观测量刻度）

散射相位与能量导数给出 DOS 的事实自 Beth–Uhlenbeck 与 Friedel 以来已广泛确立；在现代散射理论中，这由 BK 公式严格化为

$det S (E) = e^{- 2 πi ξ (E)}, ξ^{'} (E) = - \frac{1}{2 πi} tr (S^{†} \partial_{E} S),$

因而 $ρ_{rel} [g : g_{0}] (E) = \frac{1}{2 πi} tr (S_{g}^{†} \partial_{E} S_{g}) = - ξ_{g}^{'} (E)$ 。这同时等价于以 Wigner–Smith 延迟算子 $Q_{g} = - i S_{g}^{†} \partial_{E} S_{g}$ 计量的驻留时间总和。限定：上述等价链仅当 $S (E)$ 幺正（ $S^{†} S = I$ ）时成立；含吸收/泄露时，改用相位部分态密度 $ρ_{rel}^{(phase)} = \frac{1}{2 π} \partial_{E} ar g det S$ 与总复延迟 $τ_{tot} = - i \partial_{E} lo g det S$ （见 §5）。上述等价在数学物理中具有标准而严密的表述，在物理上与 Friedel/Smith 关系吻合。

几何散射方面，对渐近平直/长程度量/双曲几何之拉普拉斯–Beltrami（或 Klein–Gordon）算子存在完备的能量壳散射矩阵与微局部结构；散射矩阵在能量纤维上是与无穷远测地流相关的 Fourier 积分算子，这为将 DOS 的几何来源解释为谱流提供了严格基础。

本文主张：量子引力场可操作地定义为窗化的相对态密度，即 $ρ_{rel} [g : g_{0}] (E)$ 及其在仪器分辨率内的读数 $N_{w} [g : g_{0}; E_{0}]$ 。该定义基于可观测的散射矩阵 $S_{g} (E)$ ，通过 $ar g det S_{g}$ 的能量导数或 Wigner–Smith 延迟算子 $Q_{g}$ 的迹计量，天然具备：(i) 微分同胚/幺正等价下不变；(ii) 级联散射的可加性；(iii) 半经典极限与波迹/测地谱的 Poisson 关系；(iv) 非幺正散射（吸收）的复延迟推广。

2. 设定与记号

2.1 几何、算子与站立假设

设 $(M, g)$ 为带一个或多个非紧端的光滑流形，满足渐近 Euclid（或渐近双曲/长程）条件；令 $H_{g} = - Δ_{g}$ （或含合适短/长程势的自伴变体）。取参考几何 $(M, g_{0})$ 与 $H_{g_{0}}$ 。

站立假设（全文适用）：假设成对 $(H_{g}, H_{g_{0}})$ 满足相对迹类条件，即存在 $z \in ρ (H_{g_{0}})$ 使

$(H_{g} - H_{g_{0}}) (H_{g_{0}} - z)^{- 1} \in S_{1},$

其中 $S_{1}$ 为迹类算子理想。在此条件下，谱移函数 $ξ_{g} (E)$ 与能量壳散射矩阵 $S_{g} (E)$ 良定，且 BK 公式 $det S_{g} (E) = e^{- 2 πi ξ_{g} (E)}$ 成立；此处 $det S_{g}$ 为 BK 意义下的扰动行列式（Fredholm/det $_{1}$ 型）。本文所有 BK 公式、谱移函数恒等式与相对迹表达式均在此假设下理解。 对非迹类但可允许相对光滑/耗散扩展的情形，可采用相应的推广框架。

参考几何 $g_{0}$ 的标定与选择：实验/天文对接时，参考几何 $g_{0}$ 应选为已知标准背景（如 Minkowski 平直时空、Schwarzschild 解、或渐近平直流形的标准渐近锥）。关键原则：

(i) 相对迹类保证： $g$ 与 $g_{0}$ 的差须满足上述迹类条件（或可追化/相对光滑条件）；

(ii) 可比性：不同观测应对同一物理情形选用同一 $g_{0}$ ，确保 $ρ_{rel} [g : g_{0}]$ 的比较意义；

(iii) 窗化标定：窗对 $(w, \tilde{w})$ 的带宽 $Δ E$ 与时域宽度 $Δ t$ 应与仪器分辨率/观测时标匹配（见 §2.3 与 §9）；

(iv) 相位基准：对 $ar g det S$ 执行相位解卷绕（附录 A 伪代码）时，需以 $E_{m i n}$ 处相位为基准并累积跟踪，避免任意 $2 π$ 跳变。

不依赖性说明： $ρ_{rel} [g : g_{0}]$ 定义依赖于 $g_{0}$ 选择（“相对“概念固有），但在窗化观测与级联可加性（定理 3.3）下，不同 $g_{0}$ 选择的差异可控：背景平移恒等式为

$ρ_{rel} [g : g_{0}] - ρ_{rel} [g : g_{0}^{'}] = ρ_{rel} [g_{0}^{'} : g_{0}],$

其中左侧为目标几何 $g$ 相对于两个不同参考 $g_{0}$ 与 $g_{0}^{'}$ 的 rDOS 差，右侧为固定背景差项，在比较不同 $g$ 时系统性消除。实验中应固定 $g_{0}$ 为标准背景（如平直或已知解），使绝对标定可追溯。

2.2 以 rDOS 定义量子引力场

$ρ_{rel} [g : g_{0}] (E) = \frac{1}{2 πi} tr (S_{g}^{†} \partial_{E} S_{g}) = \frac{1}{2 π} tr Q_{g} (E) = - ξ_{g}^{'} (E) （幺正）;$

其中 $Q_{g} (E) = - i S_{g}^{†} \partial_{E} S_{g}$ 为能量导相延迟算子（自然单位为能量 $^{- 1}$ ，物理时间延迟为 $ℏ Q_{g}$ ），下标 $g$ 隐含相对于参考背景 $g_{0}$ 的散射矩阵。此定义等价于能量分辨的总驻留时间密度，亦即“几何相对 DOS“。

适用性：上述 $ρ_{rel} [g : g_{0}] = - ξ_{g}^{'} (E)$ 与 $\frac{1}{2 π} tr Q$ 的等价性仅在 $S_{g}$ 幺正时成立（要求 $S_{g}^{†} S_{g} = I$ ，即无吸收散射）；含吸收时改用相位部分态密度 $ρ_{rel} [g : g_{0}]^{(phase)} (E) = \frac{1}{2 π} \partial_{E} ar g det S_{g} (E) = \frac{1}{2 π} Im \partial_{E} lo g det S_{g} (E),$ 并以 $Im τ_{tot} (E) = - \partial_{E} lo g ∣ det S_{g} ∣$ 刻画吸收强度（详见 §5）。

2.3 窗化观测与对偶窗

Fourier 规范声明：本文固定能量—时间 Fourier 对偶为

$f (t) = \frac{1}{2 π ℏ} \int_{R} f (E) e^{- i Et /ℏ} d E, f (E) = \int_{R} f (t) e^{i Et /ℏ} d t;$

凡涉及 $w$ 、Poisson 求和与 Gabor 密度的常数/相位，均以此规范计量。

取 $w \in S (R) \cap L^{1}$ 为能量窗（无量纲归一化）， $\tilde{w}$ 为其 Gabor 对偶。在能量—时间 $(E, t)$ 表示中，取调制算子 $M_{τ} f (E) = e^{i τ E /ℏ} f (E)$ 。采用规范化内积 $⟨ f, g ⟩_{E} = \frac{1}{2 π ℏ} \int_{R} \overline{f (E)} g (E) d E$ （带度量因子 $1/ (2 π ℏ)$ ，确保归一化常数无量纲）。

对窗对 $(w, \tilde{w})$ 与格点步长 $(Δ E, Δ t)$ ，记平移算子 $T_{a} f (E) = f (E - a)$ （ $a$ 为能量参数），调制算子 $M_{τ} f (E) = e^{i τ E /ℏ} f (E)$ （ $τ$ 为时间参数）。Wexler–Raz 双正交的无求和版本（在对偶格点上表述）为

$⟨ w, M_{m Δ t_{\circ}} T_{n Δ E_{\circ}} w ⟩_{E} = δ_{m 0} δ_{n 0}, 适用前提： Δ E Δ t = 2 π ℏ （临界密度）, (w, w) Riesz 双对偶基; 对偶格点： Δ E_{\circ} = \frac{2 π ℏ}{Δ t} (能量), Δ t_{\circ} = \frac{2 π ℏ}{Δ E} (时间) .$

其中 $T_{a}$ 的参数具能量维度（如 $n Δ E_{\circ}$ ）， $M_{τ}$ 的参数具时间维度（如 $m Δ t_{\circ}$ ），对偶格点 $(Δ E_{\circ}, Δ t_{\circ})$ 由能量-时间 Fourier 对偶给出。

与标准 $(a, b)$ 形式的对照：在标准文献的 $(a, b)$ 表示（不带度量因子的内积）下，上式对应 $a = Δ E$ ， $b = Δ t / (2 π ℏ)$ ，密度条件 $ab \leq 1$ （必要密度）与 $ab = 1$ （Riesz 基临界密度）。本文采用带度量因子 $1/ (2 π ℏ)$ 的规范化内积 $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{E}$ ，因此密度条件表为 $Δ E Δ t / (2 π ℏ) \leq 1$ 。对一般帧（ $Δ E Δ t / (2 π ℏ) < 1$ ），应采用 Wexler–Raz 的求和版恒等式（对偶格点 $Λ^{\circ}$ 上的求和形式）：

$(m, n) \in Z^{2} \sum ⟨ w, M_{m Δ t_{\circ}} T_{n Δ E_{\circ}} w ⟩_{E} e^{i (mσ + nκ)} = (k, ℓ) \in Z^{2} \sum ⟨ w, M_{- k Δ t} T_{- ℓ Δ E} w ⟩_{E} e^{i (k σ^{\circ} + ℓ κ^{\circ})}, 适用前提： Δ E Δ t / (2 π ℏ) < 1 （稠密帧）; 格点参数： Δ E, Δ t （抽样步长）, Δ E_{\circ} = \frac{2 π ℏ}{Δ t}, Δ t_{\circ} = \frac{2 π ℏ}{Δ E} （对偶格点）; 无量纲相位变量： σ = τ /Δ t_{\circ}, κ = E /Δ E_{\circ}, σ^{\circ} = τ /Δ t, κ^{\circ} = E /Δ E; （此处 E 为能量变量，与本文固定的能量 — 时间 Fourier 规范一致） .$

该等式适用于 $Δ E Δ t / (2 π ℏ) < 1$ 的稠密帧情形，可作为数值实现时的稳定重建核；临界密度情形（ $Δ E Δ t = 2 π ℏ$ ）回退为上述无求和版本的 $δ_{m 0} δ_{n 0}$ 恒等式。完整 Gabor 帧密度理论见参考文献 [13,14]。

$^{†}$ 无量纲推导：设 $u = E / E^{*}$ 、 $v = t / t^{*}$ ，取 $E^{*} t^{*} = 2 π ℏ$ 。标准 WR 恒等式（无量纲）为 $⟨ \tilde{w}, M_{m /Δ v} T_{n /Δ u} w ⟩_{u} = δ_{m 0} δ_{n 0}$ （临界密度 $Δ u Δ v = 1$ ）。取 $E^{*} = Δ E$ 得 $t^{*} = \frac{2 π ℏ}{Δ E}$ ；由 $v = t / t^{*}$ 知 $v$ -域的调制步长 $1/Δ v$ 推回 $t$ -域得到的是无量纲比值 $\frac{t ^{*}}{Δ t} = \frac{2 π ℏ}{Δ E Δ t}$ 。在临界密度 $Δ E Δ t = 2 π ℏ$ 下有 $\frac{t ^{*}}{Δ t} = 1$ 。对应的对偶时间步长为 $Δ t_{\circ} = t^{*} = \frac{2 π ℏ}{Δ E}$ 。对称地， $u$ -域平移步长 $1/Δ u$ 推回 $E$ -域给出对偶能量步长 $Δ E_{\circ} = \frac{2 π ℏ}{Δ t}$ 。对偶格点 $(Δ E_{\circ}, Δ t_{\circ}) = (2 π ℏ/Δ t, 2 π ℏ/Δ E)$ 即能量-时间 Fourier 对偶的标准结果。

规范化注记：在标准文献的 $(a, b)$ 表示（不带度量因子的内积）下，上式写为 $ab \leq 1$ （必要密度）与 $ab = 1$ （Riesz 基临界密度）。本文采用带度量因子 $1/ (2 π ℏ)$ 的规范化内积，因此密度条件表为 $Δ E Δ t / (2 π ℏ) \leq 1$ ；此处 $a = Δ E$ ， $b = Δ t / (2 π ℏ)$ 。完整 Gabor 帧密度理论见参考文献 [13,14]。

窗化读数定义为

$N_{w} [g : g_{0}; E_{0}] = \int_{R} w (E - E_{0}) ρ_{rel} [g : g_{0}] (E) d E .$

Gabor 帧的必要密度条件为 $Δ E Δ t / (2 π ℏ) \leq 1$ （帧的必要条件）；Riesz 基情形取等号（ $= 1$ ）并受 Balian–Low 限制（时—频同时紧支撑不可能）。

3. 主定理（刻度与不变性）

定理 3.1（相位—DOS—延迟恒等式，幺正情形）

在 2.1 的假设下，当 $S_{g} (E)$ 幺正（ $S_{g}^{†} S_{g} = I$ ）时，

$ρ_{rel} [g : g_{0}] (E) = \frac{1}{2 πi} tr (S_{g}^{†} \partial_{E} S_{g}) = \frac{1}{2 π} tr Q_{g} (E) = - ξ_{g}^{'} (E) = \frac{1}{2 π} \partial_{E} ar g det S_{g} (E) .$

证明（要点）：BK 公式给出 $lo g det S_{g} (E) = - 2 πi ξ_{g} (E)$ 。微分并用 $\partial_{E} lo g det S = tr (S^{- 1} \partial_{E} S) = tr (S^{†} \partial_{E} S)$ （幺正时 $S^{- 1} = S^{†}$ ），即 $tr (S^{†} \partial_{E} S) = - 2 πi ξ_{g}^{'} (E)$ ，得第一与第三等号；再由 $Q = - i S^{†} \partial_{E} S$ 得中间等号；幺正性保证 $lo g det S = i ar g det S$ （模 $2 πi$ 整数），微分给出最后等号。∎

适用性：本定理的等价链仅在幺正散射时成立；含吸收时改用定义 5.1 的相位 DOS $ρ_{rel}^{(phase)}$ 与总复延迟 $τ_{tot}$ 。

定理 3.2（窗化 BK 恒等式，幺正情形）

对任意 $h \in S (R)$ （或 $C_{c}^{\infty} (R)$ ），

$\int h (E) ρ_{rel} [g : g_{0}] (E) d E = \frac{1}{2 πi} \int h (E) \partial_{E} lo g det S_{g} (E) d E = - \frac{1}{2 π} \int h^{'} (E) ar g det S_{g} (E) d E .$

证明：由定理 3.1（ $ρ_{rel} = \frac{1}{2 πi} tr (S^{†} \partial_{E} S)$ ）与分部积分，端点由紧支撑或快速衰减（ $S$ 类）保证消失。幺正时 $lo g det S = i ar g det S$ ，分部积分 $\int h θ^{'} d E = - \int h^{'} θ d E$ 给出负号。此处 $lo g det S$ 取连续解卷绕的 $ar g det S$ 分支；阈值/束缚态处的跳变以分布意义计入窗化积分。窗函数的紧支撑与光滑性保证跳变项并入 $h^{'}$ 的分布贡献；在数值实现中需对 $ar g det S$ 执行相位解卷绕处理：采用连续相位跟踪（逐步累加主值间相位变化，检测 $\pm π$ 跳变并累加 $2 π$ 倍数修正）；阈值附近的跳变通过窗函数导数的分布项自然并入 $^{‡}$ （详见附录 A）。∎

$^{‡}$ 相位解卷绕提示：对离散能量序列 ${E_{j}}$ ，初始化累积相位 $Θ_{0} = ar g det S (E_{0})$ ；迭代 $Θ_{j + 1} = Θ_{j} + wrap [ar g det S (E_{j + 1}) - ar g det S (E_{j})]$ ，其中 $wrap [δ] = δ + 2 π round (- δ / (2 π))$ 将相位差折回 $(- π, π]$ ；数值导数 $\partial_{E} ar g det S ∣_{E_{j}} \approx (Θ_{j + 1} - Θ_{j - 1}) / (2Δ E)$ 。阈值处的 $δ$ -型跃变由窗化积分的分部项自动吸收。

定理 3.3（级联可加性）

适用前提：

(i) 相对于同一参考 $g_{0}$ ；
(ii) $S (E)$ 作用于同一入/出通道空间且通道匹配（同边界接触结构）；
(iii) 采用 BK/扰动行列式 $det_{1}$ ，且满足 $lo g det_{1} (S_{2} S_{1}) = lo g det_{1} S_{2} + lo g det_{1} S_{1} + 2 πi k (E)$ （ $k (E)$ 为分段常数整数）。

若相对于同一参考 $g_{0}$ ，有能量壳级联 $S_{g_{2} \circ g_{1}} (E) = S_{g_{2}} (E) S_{g_{1}} (E)$ ，则

$ρ_{rel} [g_{2} \circ g_{1} : g_{0}] = ρ_{rel} [g_{2} : g_{0}] + ρ_{rel} [g_{1} : g_{0}] .$

证明： $lo g det (S_{2} S_{1}) = lo g det S_{2} + lo g det S_{1} + 2 πi k (E)$ ，其中 $k (E)$ 为分段常数整数（对应行列式的分支选择）。对 $E$ 微分后 $k^{'} (E) = 0$ （作为分布，除非在相位跃迁/束缚态阈值处可能出现 $δ$ -型跃变）。在窗化 BK 恒等式（定理 3.2，幺正情形）中，分部积分使端点/跃变项由窗函数紧支撑消去或合并到 $h^{'}$ 中；套用定理 3.2 即得。∎

定理 3.4（微分同胚/幺正不变性）

若 $g^{'} = ϕ^{*} g$ 为保持渐近结构/散射边界接触结构的微分同胚拖曳，则存在幺正 $U$ 使 $S_{g^{'}} (E) = U^{†} S_{g} (E) U$ 。因此 $tr Q$ 与 $ρ_{rel}$ 不变。

证明：在渐近平直/双曲流形上，散射矩阵是与无穷远测地流相关的 Fourier 积分算子（FIO），几何散射的函子性保证：当 $ϕ$ 保持散射结构时，波算子/散射矩阵在能量纤维上以幺正（微局部）共轭方式变换；迹不变性即得。∎

4. 几何散射、半经典极限与波迹

4.1 几何散射的能量纤维结构

假设（FIO 结构）：在渐近平直流形或凸余紧双曲流形上，散射度量 $g$ 与参考度量 $g_{0}$ 的差满足以下条件：

(i) 衰减率：度量扰动 $∣ g - g_{0} ∣ + r ∣ \partial (g - g_{0}) ∣ = O (r^{- ρ})$ ， $ρ > 1$ （渐近平直情形）；或凸余紧双曲背景的长程衰减条件；

(ii) 正则性：度量及势属 $C^{\infty}$ 且高阶导数满足配套衰减；

(iii) 陷波（trapping）处理：允许陷波/束缚连续谱（如凸余紧双曲流形、存在稳定/不稳定流形的情形），采用 $0$ -trace 正则化（Melrose–Zworski/Guillopé–Zworski 框架）确保散射算子的 Fredholm 性质与波迹公式的适用性；

(iv) 辐射边界条件：在无穷远处波场满足 Sommerfeld 出射条件（或渐近圆柱端上的相应条件）。

在此假设下，散射矩阵 $S_{g} (E)$ 是与无穷远处测地流在时间 $π$ （对应半波群 $e^{- iπ Δ}$ ）的典范变换相关的 Fourier 积分算子（FIO）；此结构与 Melrose–Zworski 散射微积分框架（渐近平直/短程）、Vasy 的长程散射理论（长程情形需作相位/测地漂移修正）及相关微局部散射理论一致 $^{[1, 2]}$ 。该 FIO 结构保证了散射矩阵在能量纤维上的微局部性质与几何不变性。陷波情形下的共振/极点结构通过窗化观测的能量阈值与误差项自然体现（见 §6.2 与 §9 数值流程）。

4.2 波迹与周期测地流（Poisson 关系）

在双曲/凸余紧背景下，波群的正则化迹（ $0$ -trace）满足 Poisson/Selberg-型公式：闭合测地的长度谱控制波迹奇点位置与权重；因此窗化的 $ρ_{rel}$ 在半经典极限 $ℏ \to 0$ 由周期测地贡献主导。

定理 4.1（半经典窗化极限）

假设流形为双曲/凸余紧背景或渐近平直流形且周期测地轨道为清洁交会（clean）/非退化。取 $w$ 为尺度 $σ$ 的平滑窗，令 $w$ 支撑于 $∣ t ∣ ≲ σ^{- 1}$ 。当 $ℏ \to 0$ 且 $σ$ 与几何注入半径/弛豫时间匹配时，

$N_{w} [g : g_{0}; E_{0}] = γ \in P \sum A_{γ} (E_{0}) w (T_{γ}) e^{i S_{γ} (E_{0}) /ℏ} + o (1),$

其中 $P$ 为周期测地族， $T_{γ}$ 其周期， $S_{γ}$ 为经典作用量， $A_{γ}$ 含稳定子与 monodromy 的标准因子。注：在出现陷波/轨道簇集时需 $0$ -trace/配分正则化处理。

证明（要点）：在上述几何假设下，波群的正则化迹（0-trace）满足 Poisson/Selberg-型公式：奇性支撑位于长度谱 ${T_{γ}}$ 。结合定理 3.2 与波迹公式，把 $ar g det S$ 的能量导数转化到时间域后，以平稳相位法得到；正则化与非退化条件保证级数收敛与余项估计。该陈述在几何假设“清洁/非退化周期测地“与“凸余紧/渐近平直“下严格成立 $^{[3, 4, 5]}$ 。∎

4.3 宏观极限与 Shapiro 延迟

定常弱场中， $N_{w}$ 的低频极限回到 Shapiro 引力时延；具体地， $\partial_{E} ar g det S$ 以平均群时延表示，等价于经典传播时间的引力增量。在参数化后牛顿（PPN）框架下，对单程近轴近似（ $b ≪ r_{i}$ ），Shapiro 时延公式为 $^{[6, 7]}$

$Δ t \approx (1 + γ) \frac{GM}{c ^{3}} lo g \frac{4 r _{1} r _{2}}{b ^{2}},$

其中 $b$ 为最近逼近距（冲量参数）， $r_{1}, r_{2}$ 为初/末位置的径向距离， $γ$ 为 PPN 参数（广义相对论中 $γ = 1$ ）。一般形式为 $(1 + γ) \frac{GM}{c ^{3}} ln \frac{r _{1} + r _{2} + R}{r _{1} + r _{2} - R}$ （其中 $R$ 为收—发距离），在近轴极限 $b ≪ r_{i}$ 时化为上式。Cassini 实验通过雷达回波精确测量了日面掠射引力时延，得到 $γ = 1 + (2.1 \pm 2.3) \times 1 0^{- 5}$ ，验证了广义相对论至 $1 0^{- 5}$ 量级 $^{[8]}$ ；此结果与本文窗化 rDOS 的低频极限相吻合。

5. 非幺正散射与复时间延迟

单位与符号约定（重要提示）：本节复时间延迟 $τ_{tot} (E)$ 与延迟算子 $Q_{g} (E)$ 的自然单位为能量 $^{- 1}$ ；对应的物理时间延迟为 $ℏ τ_{tot} (E)$ 与 $ℏ Q_{g} (E)$ ，单位为时间。所有公式中未标注 $ℏ$ 的延迟量均采用能量倒数单位。

在存在吸收/泄露（如黑洞外区、耗散开口系统）时， $S_{g} (E)$ 非幺正（ $S^{†} S \neq = I$ ）， $S^{- 1} \neq = S^{†}$ 。此时 §2.2 的幺正刻度 $ρ_{rel} = - ξ_{g}^{'}$ 不再成立，改用以下定义：

定义 5.1（非幺正情形的相位 DOS 与总复延迟）

$ρ_{rel} [g : g_{0}]^{(phase)} (E) = \frac{1}{2 π} \partial_{E} ar g det S_{g} (E) = \frac{1}{2 π} Im \partial_{E} lo g det S_{g} (E),$

$τ_{tot} (E) : = - i \partial_{E} lo g det S_{g} (E) \in C .$

若且仅当 $det S_{g} (E) \neq = 0$ ，有等价表示 $τ_{tot} (E) = - i tr (S_{g}^{- 1} (E) \partial_{E} S_{g} (E))$

在 $det S_{g} (E) = 0$ 处（如 CPA 条件），采用 $\partial_{E} lo g det S_{g}$ 的分布/极限意义或基于 SVD 伪逆的正则化；吸收强度由 $Im τ_{tot} = - \partial_{E} lo g ∣ det S_{g} ∣$ 给出。此处 $det S_{g}$ 为 BK 意义下的扰动行列式（det $_{1}$ 或其等价可追化定义，见 §2.1），在复平面上具有良定的解析延拓与分支结构。

物理意义分解：总复延迟的实部 $Re τ_{tot} = \partial_{E} ar g det S$ 对应相位导数与驻留时间，虚部 $Im τ_{tot} = - \partial_{E} lo g ∣ det S ∣$ 刻画吸收强度。 $ρ_{rel}^{(phase)}$ 仅刻画“相位“部分（排除吸收幅度信息）。

关键差异：非幺正情形下 $ρ_{rel}^{(phase)} \neq = - ξ_{g}^{'} (E)$ （BK 公式 $det S = e^{- 2 πi ξ}$ 需幺正性或相应的自伴扩展假设）。在幺正极限 $S^{†} S = I$ 时， $∣ det S ∣ = 1$ ， $Im τ_{tot} = 0$ ，且 $ρ_{rel}^{(phase)}$ 退化为定理 3.1 的 $ρ_{rel} = - ξ^{'}$ 。

通道归一化：对有限通道（多端口）散射系统，可定义每通道平均延迟 $τ_{avg} (E) = τ_{tot} (E) / N$ （ $N$ 为通道数）；在几何散射的无限维情形下，应使用总量 $τ_{tot}$ 或基于相对迹的“单位立体角延迟“。

CPA 条件与极点统计： $Im τ_{tot}$ 刻画吸收强度，与 $S$ -矩阵极点/共振及相干完美吸收（CPA）条件直接相关。CPA 条件等价于 $det S (E_{0}) = 0$ （ $S$ 不可逆/存在零特征值，零—极互补 $^{[9]}$ ），此时共振能量 $E_{0}$ 处 $Re τ_{tot}$ 与 $Im τ_{tot}$ 的峰—峰对齐指示共振吸收最大。rDOS $ρ_{rel}^{(phase)}$ 与 $S$ -矩阵极点/零点的统计分布存在定量联系，在随机矩阵理论与开口腔体系统中已有系统性结果 $^{[10, 11, 12]}$ 。

6. 窗化采样与误差的非渐近闭合

6.1 采样可实现性：Wexler–Raz 与采样密度

选择 $(Δ E, Δ t)$ 与窗对 $(w, \tilde{w})$ 使 Gabor 系形成帧/基，并满足 Wexler–Raz 双正交（见 §2.3）。对能量窗化后的光滑带限近似，可用 Landau 必要密度（Paley–Wiener 类）估计采样下界；对一般 Gabor 帧，必要密度条件 $Δ E Δ t / (2 π ℏ) \leq 1$ 。Riesz 基情形取等号 $Δ E Δ t / (2 π ℏ) = 1$ 并受 Balian–Low 约束（时—频同时集中不可能）；稠密帧情形 $Δ E Δ t / (2 π ℏ) < 1$ 较稳健且数值上更实用 $^{[13, 14]}$ 。这给出从离散能量网格对 $ρ_{rel}$ 进行稳定估计的充分—必要准则。

6.2 误差三分解：混叠＋伯努利层＋截断

令采样步长为 $Δ E$ ，截断到有限窗 $I = [E_{m i n}, E_{m a x}]$ 。对平滑 $f = ρ_{rel} * w$ 应用 Poisson 求和（在 §2.3 固定的 Fourier 规范下 $^{§}$ ）：

$n \in Z \sum f (E_{0} + n Δ E) = \frac{2 π ℏ}{Δ E} k \in Z \sum e^{i 2 πk E_{0} /Δ E} f (\frac{2 π ℏ k}{Δ E}) （ Poisson ）,$

其中 $f (t) = \frac{1}{2 π ℏ} \int f (E) e^{- i Et /ℏ} d E$ 。非零 $k$ 项即混叠；对有限求和/积分差，Euler–Maclaurin（EM）给出伯努利层显式余项；截断带来第三类误差。三者相加即总误差的非渐近闭合。

适用条件（有限阶 EM 纪律，与 §12.7 对接）：

窗函数 $w \in S (R)$ （Schwartz 类）保证所需阶可导与快速衰减；
对 $2 m$ 阶 EM，要求 $f^{(2 m)} \in L^{\infty}$ 且端点可导至 $2 m - 1$ 阶；
EM 余项以伯努利数 $B_{2 j}$ 与边界高阶导数表出至 $2 m$ 阶，详见附录 B；
EM 仅作有界扰动，不引入新奇点；散射极点（共振/束缚态能量）始终为“主尺度“标记。

$^{§}$ Fourier 规范与维度检查：Fourier 对偶为 $f (t) = \frac{1}{2 π ℏ} \int f (E) e^{- i Et /ℏ} d E$ ；频率栅点间距 $\frac{2 π ℏ}{Δ E}$ 具有时间维度，与能量采样步长 $Δ E$ 互为对偶。前因子 $2 π ℏ/Δ E$ 由狄拉克梳 $\sum_{n} e^{in Δ E t /ℏ} = (2 π ℏ/Δ E) \sum_{k} δ (t - 2 π ℏ k /Δ E)$ 导出，确保量纲正确。

7. 物理后果与可检验预测

相位台阶与束缚态计数（Levinson/Friedel–Kreĭn 型）： $ar g det S$ 对 $E$ 的累计跳变与低能相移之和及束缚态数目相关；Friedel–Kreĭn 关系给出 $Δ_{E} [ar g det S / (2 π)] = n_{bound} + 修正项$ ，其中 $n_{bound}$ 为束缚态数。故 $\int^{E} ρ_{rel} d E^{'}$ 呈整数级跃迁，与拓扑相位联系紧密 $^{[15]}$ 。关于计数式与谱移函数/相位台阶的联系及常见修正项（半束缚态、简并、多通道情形），见文末参考文献。
共振与延迟峰值：Breit–Wigner 近似下， $tr Q (E)$ 在 $E_{0}$ 处出现峰值，半高宽 $Γ$ 与寿命由 $Re τ_{tot}$ 定量关联；在非幺正系统中， $Im τ_{tot}$ 还指示极点分布与 CPA 条件。
引力透镜/脉冲时延：多路径干涉在 $N_{w} [g : g_{0}; E]$ 中留下能量依赖的相位—延迟纹理；对 FRB/脉冲星的多频测量可直接估计窗化 rDOS 的纹理。
分支与可加性的防御性注记： $ar g det S$ 的分支改变只在离散能量产生 $π$ 跳变；对紧支测试函数或窗化读数 $N_{w}$ 的影响为零测（分部积分吸收，见附录 A）。

8. 数学证明与技术细节

8.1 BK 公式与谱移函数

在相对迹类假设下（或适当的相对可追性/光滑假设），谱移函数 $ξ_{g}$ 由

$tr (φ (H_{g}) - φ (H_{g_{0}})) = \int_{R} φ^{'} (E) ξ_{g} (E) d E, \forall φ \in C_{c}^{\infty} (R),$

唯一决定。对能量壳散射矩阵 $S_{g} (E)$ 成立 BK 公式 $det S_{g} (E) = e^{- 2 πi ξ_{g} (E)}$ ，且 $ξ_{g}$ 的绝对连续部分满足定理 3.1。

8.2 流形散射与能量纤维

渐近平直/长程背景下，散射理论与散射微积分保证 $S_{g} (E)$ 的良定、幺正性（无吸收时）及其与无穷远测地流的 FIO 关联；这使定理 4.1 的半经典陈述可由波迹–长度谱公式导出。

8.3 Wigner–Smith 延迟的算子表达

多通道情形 $Q (E) = - i S^{†} \partial_{E} S$ 自然推广；在电磁/声学等波动系统亦成立并可转写为能量密度积分的体/边表示。具体地，局域 DOS 表示（Lloyd/Friedel–Kreĭn 关系）给出

$（幺正情形） tr Q_{g} (E) = 2 π ρ_{rel} [g : g_{0}] (E), ρ_{rel} [g : g_{0}] (E) = \int_{Ω} Δ LDOS (E, r) d r,$

非幺正时： $tr Q_{g}$ 不再给出 $ρ_{rel}$ ；应改用 $ρ_{rel}^{(phase)} (E) = \frac{1}{2 π} \partial_{E} ar g det S_{g} (E)$ ，并以 $Im τ_{tot} = - \partial_{E} lo g ∣ det S_{g} ∣$ 描述吸收强度（与 §5 保持一致）。

其中 $Δ LDOS$ 为相对局域态密度（对参考背景 $g_{0}$ 的差），可由散射格林函数 $G (E, r, r^{'})$ 虚部给出；这避免绝对 DOS 的发散问题，便于数值实现与材料色散/损耗处理 $^{[16]}$ 。记号说明： $ρ_{rel} [g : g_{0}] (E)$ 为能量处相对态密度（单位：能量 $^{- 1}$ ），累计计数记为 $N [g : g_{0}] (E) = \int^{E} ρ_{rel} [g : g_{0}] (ε) d ε$ （无量纲），避免混淆。

8.4 非幺正推广与统计性质

对次幺正 $S$ ，定义总复延迟 $τ_{tot}$ 并建立与 $S$ -矩阵极点分布的统计联系；在随机矩阵理论与开口腔体实验中， $Re τ_{tot}$ 的分布与零点—极点统计存在定量关系 $^{[10, 11, 12]}$ 。这些结果可用于从窗化 rDOS 推断共振寿命与吸收通道结构。

8.5 窗化采样与误差界

Wexler–Raz 身份刻画对偶窗；Landau 密度给出必要下界。Poisson 求和与 EM 余项一起构成误差的非渐近闭合：对 $2 m$ 阶光滑窗，EM 余项界与 $∣ f^{(2 m)} ∣_{\infty}$ 成正比，混叠项由 $f$ 在频域栅点的衰减控制。

9. 最小可复现实验：幺正与非幺正示例

本节给出解析可控的玩具模型，分别展示幺正散射（§9.1）与非幺正散射（§9.2）的 $ρ_{rel}$ 计算流程与窗化读数实现。

9.1 幺正情形：两通道 Breit–Wigner 共振

模型设定：两通道对称系统（秩一耦合，部分宽度 $Γ_{1} = Γ_{2} = Γ/2$ ），散射矩阵为

$S (E) = (S_{11} (E) S_{12} (E) S_{12} (E) S_{11} (E)), z \equiv E - E_{0} .$

取幺正 Breit–Wigner 形式（单个共振能量 $E_{0}$ ，总宽度 $Γ$ ）：

$S_{11} (E) = \frac{z}{z + i Γ/2}, S_{12} (E) = \frac{- i Γ/2}{z + i Γ/2} .$

解析验证：

幺正性（完整）：验证 $S^{†} S = I_{2}$ 。首先有 $∣ S_{11} ∣^{2} + ∣ S_{12} ∣^{2} = \frac{z ^{2}}{∣ z + i Γ/2 ∣ ^{2}} + \frac{Γ ^{2} /4}{∣ z + i Γ/2 ∣ ^{2}} = 1$ 。还需验证列间正交： $S_{11} \overline{S_{12}} + S_{12} \overline{S_{11}} = 2 Re (S_{11} \overline{S_{12}}) = 0.$ 由模型给定 $S_{11} = \frac{z}{z + i Γ/2}, S_{12} = \frac{- i Γ/2}{z + i Γ/2}$ 可得 $S_{11} \overline{S_{12}} = \frac{i ( Γ/2 ) z}{z ^{2} + ( Γ/2 ) ^{2}} \in i R \Rightarrow Re (S_{11} \overline{S_{12}}) = 0.$ 故 $S^{†} S = I_{2}$ ，幺正成立。
行列式： $det S (E) = S_{11}^{2} - S_{12}^{2} = \frac{z ^{2} - ( - i Γ/2 ) ^{2}}{( z + i Γ/2 ) ^{2}} = \frac{z - i Γ/2}{z + i Γ/2}$ ；
相位（解卷绕与极限）：令 $θ (E) = ar g det S (E)$ 取连续解卷绕分支并固定基线 $θ (+ \infty) = 0$ ，则 $θ (E) = - 2 arctan \frac{Γ}{2 ( E - E _{0} )} - 2 π 1_{{E < E_{0}}}$ 因而 $θ (- \infty) = - 2 π$ 、 $θ (+ \infty) = 0$ ，与 $\int_{R} ρ_{rel} (E) d E = 1$ （单共振）一致。
rDOS（Lorentz 峰型）：

$ρ_{rel} [g : g_{0}] (E) = \frac{1}{2 π} \partial_{E} ar g det S_{g} = \frac{1}{2 π} \frac{Γ}{z ^{2} + ( Γ/2 ) ^{2}} .$

数值验证代码（可直接运行）：

import numpy as np

def unitary_BW_S(E, E0, Gamma):
    """Unitary two-channel Breit-Wigner S-matrix"""
    z = E - E0
    S11 = z / (z + 1j*Gamma/2)
    S12 = -1j*Gamma/2 / (z + 1j*Gamma/2)
    S = np.array([[S11, S12], [S12, S11]], dtype=complex)
    return S

# Energy grid
E0, Gamma = 10.0, 0.5
E_grid = np.linspace(E0 - 2*Gamma, E0 + 2*Gamma, 500)
dE = E_grid[1] - E_grid[0]

# Compute S-matrix at all energies
S_list = [unitary_BW_S(E, E0, Gamma) for E in E_grid]
detS = np.array([np.linalg.det(S) for S in S_list])

# Method 1: log-det path (primary, robust)
theta = np.unwrap(np.angle(detS))
rho_phase = np.gradient(theta, E_grid) / (2*np.pi)

# Method 2: tr(Q) path (unitary-only, cross-check)
# Compute dS/dE via centered finite difference
dS_dE = []
for j in range(len(E_grid)):
    if j == 0:  # Forward difference at left boundary
        dS = (S_list[j+1] - S_list[j]) / dE
    elif j == len(E_grid) - 1:  # Backward difference at right boundary
        dS = (S_list[j] - S_list[j-1]) / dE
    else:  # Centered difference
        dS = (S_list[j+1] - S_list[j-1]) / (2*dE)
    dS_dE.append(dS)

Q_list = [-1j * S.conj().T @ dS for S, dS in zip(S_list, dS_dE)]
rho_trQ = np.array([np.trace(Q).real / (2*np.pi) for Q in Q_list])

# Analytical comparison (Lorentzian)
rho_analytic = (Gamma / (2*np.pi)) / ((E_grid - E0)**2 + (Gamma/2)**2)

# Unitarity check
unitarity_err = np.array([np.linalg.norm(S.conj().T @ S - np.eye(2)) for S in S_list])
print(f"max||S^† S - I|| = {np.max(unitarity_err):.2e}  (should be ~machine eps)")
print(f"max|rho_phase - rho_trQ| = {np.max(np.abs(rho_phase - rho_trQ)):.2e}")
print(f"max|rho_phase - rho_analytic| = {np.max(np.abs(rho_phase - rho_analytic)):.2e}")

9.2 非幺正情形：含吸收的双端口 CPA 示例（TCMT 秩一耦合）

模型设定（记号统一）：令 $Γ_{rad} = diag (Γ_{1}, \dots, Γ_{M})$ ， $Γ_{rad}^{Σ} = \sum_{i = 1}^{M} Γ_{i}$ ， $Γ_{tot} = Γ_{rad}^{Σ} + Γ_{abs}$ 。单模共振腔与 $M = 2$ 个辐射端口耦合，另有非辐射吸收通道（内禀损耗 $Γ_{abs}$ ）。可观测散射矩阵仅定义在辐射端口子块上，采用 Temporal Coupled-Mode Theory（TCMT） 的秩一更新形式 $^{[18]}$ ：

$S_{rad} (E) = I_{M} - \frac{i}{z + i Γ _{tot} /2} Γ_{rad}^{1/2} 1 1^{⊤} Γ_{rad}^{1/2}, z = E - E_{⋆},$

其中 $Γ_{rad} = diag (Γ_{1}, \dots, Γ_{M})$ 为辐射耦合宽度矩阵， $1 = (1, \dots, 1)^{⊤}$ （ $M$ 维全 $1$ 向量）， $Γ_{rad}^{Σ}$ 为总辐射宽度标量。

CPA 充要条件：该秩一更新使 $S_{rad}$ 具有 $M - 1$ 个特征值 $1$ （非共振模）与一个“共振“特征值

$λ_{⋆} (E) = 1 - \frac{i Γ _{rad}^{Σ}}{z + i Γ _{tot} /2} = \frac{z - \frac{i}{2} ( Γ _{rad}^{Σ} - Γ _{abs} )}{z + i Γ _{tot} /2},$

故 $det S_{rad} (E) = λ_{⋆} (E),$ $det S_{rad} (E_{⋆}) = 0 ⟺ Γ_{abs} = Γ_{rad}^{Σ} .$

参数选择（ $M = 2$ 情形）：取 $Γ_{1} = Γ_{2} = 0.3$ ， $Γ_{abs} = 0.6$ ，则 $Γ_{rad}^{Σ} = Γ_{1} + Γ_{2} = 0.6 = Γ_{abs}$ ，满足 CPA 条件。此时 $E = E_{⋆}$ 处 $det S_{rad} (E_{⋆}) = 0$ （可观测子空间上共振能量处完美吸收）。

数值验证代码（含吸收情形，展示 $ρ_{rel}^{(phase)}$ 与 $Im τ_{tot}$ 峰位对齐）：

import numpy as np

def nonunitary_CPA_S_rad(E, E_star, Gamma_rad_diag, Gamma_abs):
    """Radiative-port-only CPA scattering matrix (TCMT rank-one form)
    
    Args:
        E: Energy (scalar or array)
        E_star: Resonance energy
        Gamma_rad_diag: array of radiative widths [Gamma_1, ..., Gamma_M]
        Gamma_abs: Absorption (intrinsic) width
    Returns:
        S_rad: M×M observable scattering matrix on radiative ports
    """
    z = E - E_star
    M = len(Gamma_rad_diag)
    Gamma_rad_total = np.sum(Gamma_rad_diag)
    Gamma_tot = Gamma_rad_total + Gamma_abs
    
    # Rank-one update: S = I - (i/(z + i*Gamma_tot/2)) * sqrt(Gamma) @ 1 @ 1.T @ sqrt(Gamma)
    v = np.sqrt(Gamma_rad_diag)  # v = Γ_rad^{1/2} · 1
    rank_one = np.outer(v, v)    # v v^T
    S_rad = np.eye(M, dtype=complex) - (1j / (z + 1j*Gamma_tot/2)) * rank_one
    return S_rad

# Parameters satisfying CPA condition: Gamma_abs = Gamma_rad_total
E_star = 10.0
Gamma_rad_diag = np.array([0.3, 0.3])  # Two radiative ports
Gamma_abs = 0.6  # Absorption width = Gamma_1 + Gamma_2 (CPA condition)

E_grid = np.linspace(E_star - 1.5, E_star + 1.5, 500)
S_list = [nonunitary_CPA_S_rad(E, E_star, Gamma_rad_diag, Gamma_abs) for E in E_grid]
detS = np.array([np.linalg.det(S) for S in S_list])

# Phase rDOS (robust log-det path)
theta = np.unwrap(np.angle(detS))
rho_phase = np.gradient(theta, E_grid) / (2*np.pi)

# Absorption indicator (Im tau_tot = -d/dE log|det S|)
log_abs_detS = np.log(np.abs(detS) + 1e-15)  # Avoid log(0) at CPA
Im_tau_tot = -np.gradient(log_abs_detS, E_grid)

# Verify CPA condition
idx_min = np.argmin(np.abs(detS))
print(f"CPA condition check: Gamma_abs = {Gamma_abs:.2f}, Gamma_rad_total = {np.sum(Gamma_rad_diag):.2f}")
print(f"CPA at E = {E_grid[idx_min]:.4f}, |det S_rad| = {np.abs(detS[idx_min]):.2e}")
print(f"Peak alignment: rho_phase peak at E = {E_grid[np.argmax(rho_phase)]:.4f}")
print(f"                Im_tau_tot peak at E = {E_grid[np.argmax(Im_tau_tot)]:.4f}")

# Cross-check eigenvalue structure at E = E_star
S_at_CPA = nonunitary_CPA_S_rad(E_star, E_star, Gamma_rad_diag, Gamma_abs)
eigvals = np.linalg.eigvals(S_at_CPA)
print(f"Eigenvalues at E = E_star: {eigvals}")
print(f"  (expect one zero eigenvalue and M-1 eigenvalues ≈ 1)")

# Unitarity check (should fail for non-unitary)
unitarity_err = np.array([np.linalg.norm(S.conj().T @ S - np.eye(len(Gamma_rad_diag))) 
                          for S in S_list])
print(f"max||S^† S - I|| = {np.max(unitarity_err):.2e}  (non-unitary as expected)")

关键区别：

幺正（§9.1）： $∣ det S ∣ = 1$ ，无 CPA； $ρ_{rel} = - ξ^{'} = \frac{1}{2 π} tr Q$ ；
非幺正（§9.2）： $∣ det S_{rad} ∣ < 1$ ，CPA 处 $det S_{rad} = 0$ （充要条件 $Γ_{abs} = Γ_{rad}^{Σ}$ ）； $ρ_{rel}^{(phase)} = \frac{1}{2 π} \partial_{E} ar g det S_{rad}$ ， $Im τ_{tot}$ 刻画吸收强度并在 CPA 能量处峰值对齐。

可观测子块 vs 扩展通道说明：

端口定义区分（实验/仿真对接）

散射读数仅定义在辐射端口上（本例 $M = 2$ ），吸收通道 $Γ_{abs}$ 作为非端口参数进入共振极点宽度 $Γ_{tot} = Γ_{rad}^{Σ} + Γ_{abs}$ 。若需从扩展形式（包含吸收通道的 $(M + 1) \times (M + 1)$ 矩阵 $S_{ext}$ ）提取可观测子块，可采用 Schur 补投影：

$> S_{rad} = S_{ext, 11} - S_{ext, 12} (S_{ext, 22})^{- 1} S_{ext, 21}, >$

其中下标 $1$ 对应辐射端口子块， $2$ 对应吸收通道。对本文 TCMT 秩一形式，扩展矩阵可取为

$> S_{ext} (E) = I_{M + 1} - \frac{i}{z + i Γ _{tot} /2} Γ_{ext}^{1/2} 1_{M + 1} 1_{M + 1}^{⊤} Γ_{ext}^{1/2}, >$

其中 $Γ_{ext} = diag (Γ_{1}, \dots, Γ_{M}, Γ_{abs})$ 。Schur 补投影后回到上述 $S_{rad}$ 的 $M \times M$ 形式，保证 CPA 条件 $det S_{rad} (E_{⋆}) = 0 \Leftrightarrow Γ_{abs} = Γ_{rad}^{Σ}$ 在扩展与子块表述下的等价性。

9.3 计算路线图（可复现实现清单）

本节给出从散射矩阵 $S_{g} (E)$ 到窗化读数 $N_{w} [g : g_{0}; E_{0}]$ 的完整计算流程与伪代码，确保与 §3–§6 的理论规则一致。

输入：几何/折射率模型 $g$ 与参考 $g_{0}$ ，窗 $w$ 与对偶 $\tilde{w}$ ，采样步长 $Δ E$ 。

打勾清单：

□ 步骤1：计算能量网格 {E_j} 上的散射矩阵 S_g(E_j)
    → PML/辐射边界条件或几何散射坐标
    → 检查数值收敛性（网格/截断/PML厚度）

□ 步骤2：幺正性判定
    → 计算 ||S_g^† S_g - I|| 对所有 E_j
    → 若 max || · || < ε_tol（如 1e-10）：幺正散射，进入步骤3a
    → 若 max || · || ≥ ε_tol：非幺正散射，进入步骤3b

□ 步骤3a：幺正情形 → rDOS 计算（双路径交叉校核）
    ├─ 路径1（log-det，主推）：
    │   ├─ 计算 det S_g(E_j)
    │   ├─ 相位解卷绕：θ_j = unwrap(arg(det S_g))（附录A伪代码）
    │   └─ rho_rel[g:g_0](E_j) = (1/2π) · d/dE θ|_{E_j}（中心差分）
    └─ 路径2（tr Q，幺正专用）：
        ├─ 计算 dS/dE|_{E_j}（复步差分或中心差分）
        ├─ Q_g(E_j) = -i S_g^† dS/dE
        ├─ rho_rel[g:g_0](E_j) = (1/2π) · tr Q_g(E_j)
        └─ 交叉校核：|路径1 - 路径2| < ε_cross（如 1e-6）

□ 步骤3b：非幺正情形 → 相位rDOS与吸收指示符
    ├─ 计算 det S_g(E_j)
    ├─ 相位解卷绕：θ_j = unwrap(arg(det S_g))
    ├─ rho_rel^(phase)[g:g_0](E_j) = (1/2π) · d/dE θ|_{E_j}
    ├─ 吸收强度：Im τ_tot(E_j) = -d/dE log|det S_g(E_j)|
    └─ CPA检测：若 |det S_g(E_k)| < ε_CPA，标记E_k为CPA能量

□ 步骤4：窗化读数
    ├─ 离散卷积：N_w[g:g_0;E_k] = Σ_j w(E_k - E_j) · rho_rel[g:g_0](E_j) · ΔE
    └─ 检查Gabor密度：ΔE·Δt/(2πħ) ≤ 1（必要条件）

□ 步骤5：误差预算（非渐近三分解，§6.2）
    ├─ 混叠项：(2πħ/ΔE) · Σ_{k≠0} |f̂(2πħk/ΔE)|（Poisson）
    ├─ 伯努利层：EM余项至 2m 阶（通常 m=2，见附录B）
    └─ 截断误差：窗衰减指数界 × [E_min, E_max] 外的积分

□ 步骤6：物理一致性检查
    ├─ 束缚态计数：∫ rho_rel dE 的跳变与 Levinson/Friedel-Krein 关系
    ├─ 低频极限：与 Shapiro 延迟公式比较（定常弱场情形）
    └─ 共振峰位：Re τ_tot 峰值与 Im τ_tot 峰值对齐（非幺正CPA）

伪代码（核心循环）：

# Step 1: Solve S_g(E) on energy grid
E_grid = np.linspace(E_min, E_max, N_E)
S_list = [solve_scattering_matrix(E, geometry_g, ref_g0) for E in E_grid]

# Step 2: Unitarity check
unitarity_err = [np.linalg.norm(S.conj().T @ S - np.eye(M)) for S in S_list]
is_unitary = (max(unitarity_err) < eps_tol)

# Step 3a/b: Compute rDOS
detS = np.array([np.linalg.det(S) for S in S_list])
theta = unwrap_phase(E_grid, detS)  # Appendix A
rho_phase = np.gradient(theta, E_grid) / (2*np.pi)

if is_unitary:
    # Cross-check with tr(Q) path
    dS_dE = compute_derivative(S_list, E_grid)  # Complex-step or centered diff
    Q_list = [-1j * S.conj().T @ dS for S, dS in zip(S_list, dS_dE)]
    rho_trQ = np.array([np.trace(Q).real / (2*np.pi) for Q in Q_list])
    assert np.max(np.abs(rho_phase - rho_trQ)) < eps_cross
    rho_rel = rho_phase  # Use log-det path as primary
else:
    # Non-unitary: compute absorption indicator
    log_abs_detS = np.log(np.abs(detS) + eps_reg)
    Im_tau_tot = -np.gradient(log_abs_detS, E_grid)
    rho_rel = rho_phase  # Phase-only rDOS
    # Detect CPA
    CPA_indices = np.where(np.abs(detS) < eps_CPA)[0]
    if len(CPA_indices) > 0:
        print(f"CPA detected at E = {E_grid[CPA_indices]}")

# Step 4: Windowed readout
def windowed_readout(E_0, w, rho_rel, E_grid):
    dE = E_grid[1] - E_grid[0]
    w_vals = w(E_grid - E_0)
    return np.sum(w_vals * rho_rel) * dE

N_w = [windowed_readout(E_k, window_w, rho_rel, E_grid) for E_k in E_centers]

# Step 5: Error budget (§6.2)
# ... Poisson + EM + truncation (see text)

# Step 6: Consistency checks
# ... Bound-state count, low-freq limit, resonance alignment

关键数值选择（与理论对接）：

能量导数法（步骤3）：
- 首选：复步差分 $\partial_{E} S (E) \approx Im [S (E + ih)] / h$ （ $h \sim 1 0^{- 8}$ ，零舍入误差，需支持复能量求解器） $^{[17]}$
- 备选：中心差分 $\partial_{E} S (E_{j}) \approx [S (E_{j} + δ) - S (E_{j} - δ)] / (2 δ)$ （ $δ$ 需平衡截断与舍入，通常 $δ \sim ϵ_{mach} E$ ）
相位解卷绕（附录A）：累积跟踪 + 边界单侧差分
行列式路径选择（步骤3）：
- 幺正： $lo g ∣ det S ∣ = 0$ ，直接用 $ar g det S$
- 非幺正/近CPA： $lo g ∣ det S ∣$ 通过 Cholesky/LU 的对数行列式稳定计算，避免直接 $S^{- 1}$
Gabor密度（步骤4）： $Δ E Δ t / (2 π ℏ) \leq 1$ （必要条件），临界密度取等号（Riesz基，§2.3）

10. 数值实现（详细流程）

输入：几何/折射率模型 $g$ 与参考 $g_{0}$ ，窗 $w$ 与对偶 $\tilde{w}$ ，采样步长 $Δ E$ 。

定能散射求解：在能量网格 ${E_{j}}$ 上求 $S_{g} (E_{j})$ （几何散射坐标或 PML 处理辐射条件）。检查幺正性：计算 $∥ S_{g}^{†} S_{g} - I ∥$ 判定是否幺正散射；若非幺正，改用定义 5.1 的相位 DOS $ρ_{rel}^{(phase)}$ 与总复延迟 $τ_{tot}$ 。
能量导数与 rDOS 计算：
- 主推方法（复能量求解器）：前向虚步差分（complex-step derivative） $\partial_{E} S_{g} (E_{j}) \approx Im [S_{g} (E_{j} + ih)] / h$ ，零舍入消去误差，精度达机器精度且数值稳定 $^{[17]}$ ；
- 备选方法（实能量求解器）：实步中心差分 $\partial_{E} S_{g} (E_{j}) \approx [S_{g} (E_{j} + δ) - S_{g} (E_{j} - δ)] / (2 δ)$ ，需谨慎选择 $δ$ 平衡截断与舍入误差。
对于 rDOS，优先采用log-det 路径避免在 CPA/零点处数值不稳定：
- 首选：计算 $det S_{g} (E_{j})$ 的行列式模与幅角， $lo g ∣ det S ∣ = \frac{1}{2} lo g det (S^{†} S)$ 通过 Cholesky/LU 分解微分获得， $ar g det S$ 执行相位解卷绕（附录 A）；然后用数值导数得 $\partial_{E} ar g det S$ 与 $\partial_{E} lo g ∣ det S ∣$ ；
- 备选（幺正情形）：计算 $Q_{g} (E_{j}) = - i S_{g}^{†} \partial_{E} S_{g}$ ；
- 非幺正情形的稳健实现：避免直接计算 $S^{- 1}$ （易在 $det S \approx 0$ 处数值爆炸）。改用SVD 截断伪逆或 Tikhonov 正则：对 $S_{g}$ 做 SVD，取阈值 $ϵ \sim 1 0^{- 10} \sim 1 0^{- 12}$ 。采用截断伪逆 $Σ_{ii}^{#} = {1/ σ_{i}, 0, σ_{i} \geq ϵ, σ_{i} < ϵ 或 Tikhonov 正则 Σ_{ii}^{#} = \frac{σ _{i}}{σ _{i}^{2} + ϵ ^{2}},$ 构造 $S^{#} = V Σ^{#} U^{†}$ 以计算 $tr (S^{#} \partial_{E} S)$ ；在 $det S \approx 0$ 或 CPA 邻域优先采用log-det 路径（ $\partial_{E} ar g det S$ 、 $\partial_{E} lo g ∣ det S ∣$ ）以保持数值稳定。
交叉校核：同时计算 $ρ_{rel} = \frac{1}{2 π} tr Q$ （或 $\frac{1}{2 π} Re τ_{tot}$ ）与 $ρ_{rel} = \frac{1}{2 π} \partial_{E} ar g det S$ 并比较差异，以排除数值噪声并检测异常（如 CPA 条件 $det S \approx 0$ ）。
rDOS 与窗化：
- 幺正： $ρ_{rel} (E_{j}) = \frac{1}{2 π} tr Q_{g} (E_{j})$ 或 $ρ_{rel} (E_{j}) = \frac{1}{2 π} \partial_{E} ar g det S_{g} (E_{j})$ ；
- 非幺正： $ρ_{rel}^{(phase)} (E_{j}) = \frac{1}{2 π} \partial_{E} ar g det S_{g} (E_{j})$ ，并记录 $Im τ_{tot} (E_{j}) = - \partial_{E} lo g ∣ det S_{g} (E_{j}) ∣$ 刻画吸收。
执行离散卷积 $N_{w} [g : g_{0}; E_{k}] = \sum_{j} w (E_{k} - E_{j}) ρ_{rel} [g : g_{0}] (E_{j}) Δ E$ （或用 $ρ_{rel} [g : g_{0}]^{(phase)}$ ）。
采样与误差控制：选 $Δ E$ 小于窗主瓣带宽的 $1/5 \sim 1/10$ 以满足 Nyquist 判据；检查 Gabor 帧密度 $Δ E Δ t / (2 π ℏ) \leq 1$ （见 §2.3 与 §6.1，临界密度取等号）；以 $∣ f (2 π ℏ k /Δ E) ∣$ 估计混叠（§6.2 Poisson 公式）；用 $2 m$ 阶 EM 余项界（取 $2 m = 4$ 为保守选择）与边界修正量化截断误差（见附录 B）。

11. 与现有量子引力/信息框架的接口

S-matrix 取向：本文以 $S (E)$ 为原始对象，强调定能、低能与弯曲背景的一致可观测刻度，兼容 S-matrix 与天球全息的可观测性立场。
宏观极限： $N_{w}$ 的低频极限回到 Shapiro 时延/经典驻留时间；半经典区由测地谱控制。
信息论单调性：窗化/粗粒化视为 CPTP/正保持映射下统计区分度的降低；量子相对熵的数据处理不等式保证任何后端读出与通道噪声只会降低可判别度，从而使本刻度保守（单调）且具有比较意义。

12. 与 WSIG-QM / UMS / S-series 的接口

12.1 与 WSIG-QM 的接口。

WSIG-QM 的公理 A5（相位—密度—延迟刻度）与本文定理 3.1 采用完全一致的 BK 号记与 Wigner–Smith 定义： $ρ_{rel} [g : g_{0}] (E) = \frac{1}{2 π} tr Q_{g} (E)$ ， $φ^{'} (E) = π ρ_{rel} [g : g_{0}] (E) = \frac{1}{2} tr Q_{g} (E)$ 。
WSIG-QM 的公理 A2（有限窗口读数）直接对应本文 2.3 的窗化观测 $N_{w} [g : g_{0}; E_{0}]$ 。
WSIG-QM 的定理 T1（窗口化读数恒等式与非渐近误差闭合）与本文 6.2 的误差三分解共享 Nyquist–Poisson–EM 框架。
本文的量子引力场定义 $ρ_{rel} [g : g_{0}]$ 可视为 WSIG-QM 在几何散射语境下的具体实现。

12.2 与 UMS 的接口。

UMS 的核心统一式 $d μ_{φ} = \frac{1}{2 π} tr Q_{g} d E = ρ_{rel} [g : g_{0}] d E = \frac{φ ^{'}}{π} d E$ 与本文定理 3.1 完全一致。
本文的窗化 BK 恒等式（定理 3.2）为 UMS 的谱—窗化字典提供几何散射情形的具体表述。
UMS 的公理 A7（通道—单调—容量）与本文 §11 的信息论单调性（DPI）共享数据处理不等式框架。

12.3 与窗口化路径积分理论的接口。

窗化—时间域字典（相对/0-trace 版，规范与量纲一致）：在本文 §2.3 的 Fourier 规范下，

$N_{w} [g : g_{0}; E_{0}] = - \int_{R} w (- t) e^{i E_{0} t /ℏ} tr^{(0)} (e^{- i H_{g} t /ℏ} - e^{- i H_{g_{0}} t /ℏ}) d t;$

其中 $w (t) = \frac{1}{2 π ℏ} \int w (E) e^{- i Et /ℏ} d E$ 。等价写法（便于使用 $w (t)$ ）： $N_{w} [g : g_{0}; E_{0}] = - \int_{R} w (t) e^{- i E_{0} t /ℏ} tr^{(0)} (e^{+ i H_{g} t /ℏ} - e^{+ i H_{g_{0}} t /ℏ}) d t .$ 两式等价，且对一般（不必偶对称）窗 $w$ 与非紧几何下的 $0$ -trace 一致。
本文的定理 3.2（窗化 BK 恒等式）为路径积分理论的能量—时间对偶提供几何化表述。
两理论共享 Nyquist–Poisson–EM 误差闭合框架。

12.4 与 S15–S26 的接口。

S15–S17 的 Herglotz 表示与规范系统为本文的谱移函数 $ξ_{g} (E)$ 提供解析结构。
S24–S26 的 Wexler–Raz 双正交、Landau 必要密度与 Balian–Low 不可能性为本文 2.3 与 6.1 的窗化采样提供具体判据。
S21–S23 的有限阶 EM 纪律直接支撑本文 6.2 的误差闭合框架。

12.5 与 CCS（协变多通道）的接口。

CCS 的窗化 Birman–Kreĭn 恒等式与本文定理 3.2 在多通道散射情形下完全一致。
CCS 的 Wigner–Smith 群延迟矩阵定义与本文 2.2 采用相同约定。
本文的非幺正推广（§5）可视为 CCS 在含吸收散射情形下的几何化版本。

12.6 与 EBOC-Graph 的接口。

EBOC-Graph 的定理 G4（非渐近误差闭合）与本文 6.2 的三分解在离散谱/图信号情形下共享框架。
本文的几何散射可在图/格点系统上离散化，将连续能量谱替换为图拉普拉斯谱，与 EBOC-Graph 的图谱滤波统一。

12.7 保持“极点 = 主尺度“的有限阶 EM 纪律。

本文在所有离散—连续换序中均采用有限阶 EM（§6.2），确保散射极点（共振/束缚态能量）始终为“主尺度“标记。
与 WSIG-QM、UMS、S15–S26 保持一致：EM 余项仅作有界扰动，不引入新奇点。

结论

以窗化相对态密度 $N_{w} [g : g_{0}; E_{0}] = \int w (E - E_{0}) ρ_{rel} [g : g_{0}] (E) d E$ 为核心刻度的量子引力场理论，为基于可观测散射矩阵的几何场提供了完全操作性、比较性与重正化-无关的定量框架：

(1) 刻度等价性（幺正情形）：与 Birman–Kreĭn、Wigner–Smith、Friedel/Smith 的标准散射理论判据严格一致， $ρ_{rel} [g : g_{0}] (E) = \frac{1}{2 π} tr Q_{g} (E) = - ξ_{g}^{'} (E) = \frac{1}{2 π} \partial_{E} ar g det S_{g} (E)$ ；

(2) 几何不变性与存在性：在渐近平直/凸余紧双曲流形的 FIO 结构下具备微分同胚/幺正等价不变性，并以无穷远测地流对接；允许陷波情形的 $0$ -trace 正则化；

(3) 级联散射可加性：定理 3.3 确保相对 DOS 在级联几何下的可加性，分支处理清晰；

(4) 半经典-宏观对接：半经典极限与波迹/测地长度谱的 Poisson 公式吻合，低频极限回到 Shapiro 引力时延；

(5) 实验可读出性：可经满足 Wexler–Raz 双正交的 Gabor 窗化采样在实验上直接读出，并有明确的非渐近误差预算（Poisson 混叠 + EM 伯努利层 + 截断）；

(6) 非幺正推广（含吸收）：定义相位部分态密度 $ρ_{rel}^{(phase)} (E) = \frac{1}{2 π} \partial_{E} ar g det S$ 与总复延迟 $τ_{tot} = - i \partial_{E} lo g det S$ ，实部刻画驻留时间，虚部刻画吸收强度，并与 CPA 条件及共振极点统计对接。

该框架以相位—延迟—谱移为唯一主线，将经典-量子与几何-信息的刻度统一到一个可验证、可数值实现且可与天文/实验数据直接对接的体系中。适用性分层明确：幺正散射下 BK 公式与 $ξ_{g}^{'}$ 等价；非幺正散射下改用相位 DOS 与复延迟的实/虚部分解。

附录 A：窗化 BK 恒等式的细化证明

取 $h \in C_{c}^{\infty}$ 。在幺正情形，由定理 3.1，

$\int h ρ_{rel} d E = \frac{1}{2 πi} \int h \partial_{E} lo g det S d E = - \frac{1}{2 πi} \int h^{'} lo g det S d E .$

将 $lo g det S$ 分解为实部 $lo g ∣ det S ∣$ 与虚部 $i ar g det S$ ；幺正时 $∣ det S ∣ = 1$ ，得到

$\int h ρ_{rel} d E = - \frac{1}{2 π} \int h^{'} ar g det S d E .$

对非幺正情形，定义相位部分态密度为

$ρ_{rel}^{(phase)} (E) = \frac{1}{2 π} \partial_{E} ar g det S (E) = \frac{1}{2 π} Im \partial_{E} lo g det S (E),$

并定义总复延迟

$τ_{tot} (E) = - i \partial_{E} lo g det S (E) .$

相位部分态密度 $ρ_{rel}^{(phase)}$ 仅保留相位导数部分，吸收率部分由 $Im τ_{tot} = - \partial_{E} lo g ∣ det S ∣$ 单独刻画。

相位解卷绕伪代码（与定理 3.2 配套）：

function unwrap_phase(E[], det_S[])
    Θ[0] = arg(det_S[0])
    for j = 1 to length(E) - 1
        δ = arg(det_S[j]) - arg(det_S[j-1])
        Θ[j] = Θ[j-1] + δ + 2π·round(-δ/(2π))  # wrap to (-π,π]
    return Θ

数值导数采用中心差分 $\partial_{E} Θ ∣_{E_{j}} \approx (Θ_{j + 1} - Θ_{j - 1}) / (2Δ E)$ ；边界点用单侧差分。阈值处的 $δ$ -跃变由窗化分部积分自动并入。

附录 B：误差三分解的显式上界

令 $f = ρ_{rel} * w$ 且 $f^{(2 m)} \in L^{\infty}$ 、端点可导。对有限求和 $\sum_{n = a}^{b} f (E_{0} + n Δ E)$ 与 $Δ E \int_{a}^{b} f (x) d x$ 的差，Euler–Maclaurin 公式（到 $2 m$ 阶）给出

$Δ E n = a \sum b f (E_{0} + n Δ E) - \int_{E_{0} + a Δ E}^{E_{0} + b Δ E} f (x) d x = j = 1 \sum m \frac{B _{2 j}}{( 2 j )!} (Δ E)^{2 j} (f^{(2 j - 1)} (b) - f^{(2 j - 1)} (a)) + R_{2 m},$

其中 $B_{2 j}$ 为伯努利数， $∣ R_{2 m} ∣ \leq C_{m} ∣ f^{(2 m)} ∣_{\infty} (Δ E)^{2 m} (b - a)$ ，常数 $C_{m}$ 可由伯努利周期多项式的 $L^{1}$ 范数界出。混叠项由 $\frac{1}{Δ E} \sum_{k \neq = 0} ∣ f (2 π ℏ k /Δ E) ∣$ 控制（§6.2 Poisson 公式）；截断项按窗衰减指数界定。

附录 C：非幺正情形的 rDOS 与复延迟

定义相位部分 DOS 为 $ρ_{rel}^{(phase)} = \frac{1}{2 π} \partial_{E} ar g det S$ （见 §5）。对非幺正 $S$ ，总复时间延迟 $τ_{tot} = - i \partial_{E} lo g det S$ 分为实部（相位导数，对应驻留时间）与虚部（吸收率导数）。 $Re τ_{tot}$ 的分布统计与 $S$ -矩阵零点—极点结构存在定量联系，在随机矩阵理论与开口腔体中已有系统性实验验证 $^{[10, 11, 12]}$ 。

CPA 条件与双洛伦兹形：在共振能量 $E_{⋆}$ 附近，当 $det S_{rad} (E_{⋆}) = 0$ （相干完美吸收，充要条件 $Γ_{abs} = Γ_{rad}^{Σ}$ ，零—极互补 $^{[9]}$ ）， $τ_{tot} (E)$ 展现双洛伦兹结构： $Re τ_{tot}$ 在 $E_{⋆}$ 处峰值（Breit–Wigner 型）， $Im τ_{tot}$ 在同一位置呈现吸收极大；此时 $S_{rad}$ -矩阵在复平面的零点与极点互补。

复现实验指引：对 $det S_{rad} (E)$ 的幅相同测， $Re τ_{tot}$ 与 $Im τ_{tot}$ 的峰-峰对齐指示 CPA/共振零极互补。数值上可通过测量 $S_{rad} (E)$ 的幅相并以复步差分求 $\partial_{E} S_{rad}$ 得到，或直接对 $ar g det S_{rad}$ 解卷绕后差分；二者可交叉校核稳健性。完整可运行示例见 §9.2（双端口 TCMT-CPA 模型）。

附录 D：符号对照与单位

核心量定义：

符号	定义	物理意义	单位
$S_{g} (E)$	能量壳散射矩阵	几何 $g$ 的定能散射算子	无量纲
$Q_{g} (E)$	$- i S_{g}^{†} \partial_{E} S_{g}$	能量导相延迟算子（物理时间延迟为 $ℏ Q_{g}$ ）	能量 $^{- 1}$
$ξ_{g} (E)$	谱移函数， $det S_{g} = e^{- 2 πi ξ_{g}}$	相对累积态密度（BK）	无量纲
$ρ_{rel} [g : g_{0}] (E)$	$\frac{1}{2 πi} tr (S^{†} \partial_{E} S) = - ξ_{g}^{'}$	相对态密度	能量 $^{- 1}$
$τ_{tot} (E)$	$- i \partial_{E} lo g det S$ （ $det S \neq = 0$ 时等价于 $- i tr (S^{- 1} \partial_{E} S)$ ）	总复延迟（物理时间延迟为 $ℏ τ_{tot}$ ）	能量 $^{- 1}$
$τ_{avg} (E)$	$τ_{tot} (E) / N$	每通道平均延迟（仅有限通道情形）	能量 $^{- 1}$
$N_{w} [g : g_{0}; E_{0}]$	$\int w (E - E_{0}) ρ_{rel} [g : g_{0}] (E) d E$	窗化读数	无量纲
$(w, \tilde{w})$	窗-对偶核对	Wexler–Raz 双正交（规范化内积下）	无量纲
$Δ E, Δ t$	采样步长/窗宽	Gabor 格点尺度	能量, 时间

单位与规范注记：

物理时间延迟为 $ℏ Q_{g} (E)$ 与 $ℏ τ_{tot} (E)$ ，单位为时间；本文 $Q_{g}$ 与 $τ_{tot}$ 的自然单位为能量 $^{- 1}$ 。
窗-对偶核对 $(w, \tilde{w})$ 满足能量—时间版本的 Wexler–Raz 双正交（§2.3 规范化内积 $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{E}$ 下，度量因子 $1/ (2 π ℏ)$ 确保归一化常数无量纲）。
Fourier 规范固定为 $f (t) = \frac{1}{2 π ℏ} \int f (E) e^{- i Et /ℏ} d E$ （§2.3），所有相位因子与 Gabor 密度以此计量。

关键恒等式（幺正情形， $S_{g}^{†} S_{g} = I$ ）：

$ρ_{rel} [g : g_{0}] (E) = \frac{1}{2 πi} tr (S_{g}^{†} \partial_{E} S_{g}) = \frac{1}{2 π} tr Q_{g} = - ξ_{g}^{'} (E) = \frac{1}{2 π} \partial_{E} ar g det S_{g} .$

上述等价链仅在幺正散射时成立。特别地， $- ξ_{g}^{'} (E)$ 与 $\frac{1}{2 π} tr Q_{g}$ 的等价依赖于 BK 公式 $det S_{g} = e^{- 2 πi ξ_{g}}$ 与 $S_{g}^{†} = S_{g}^{- 1}$ 。

非幺正情形（含吸收， $S_{g}^{†} S_{g} \neq = I$ ）：

$ρ_{rel} [g : g_{0}]^{(phase)} (E) = \frac{1}{2 π} \partial_{E} ar g det S_{g} = \frac{1}{2 π} Im \partial_{E} lo g det S_{g}, τ_{tot} (E) : = - i \partial_{E} lo g det S_{g} .$

可逆时等价表示： $τ_{tot} (E) = - i tr (S_{g}^{- 1} \partial_{E} S_{g})$ （仅在 $det S_{g} (E) \neq = 0$ 时成立）；

$Re τ_{tot} = \partial_{E} ar g det S_{g}, Im τ_{tot} = - \partial_{E} lo g ∣ det S_{g} ∣.$

关键区别：非幺正情形下 $ρ_{rel} [g : g_{0}]^{(phase)} \neq = - ξ_{g}^{'} (E)$ （BK 公式的 $ξ_{g}$ 定义需幺正性或相应的自伴扩展假设）； $Re τ_{tot}$ 刻画相位/驻留时间， $Im τ_{tot}$ 刻画吸收率。在 $det S_{g} (E) = 0$ 处应使用 log-det 或 SVD 伪逆的正则化（见定义 5.1）。

Gabor 密度条件： $Δ E Δ t / (2 π ℏ) \leq 1$ 为必要密度。

参考文献

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[17] J. R. R. A. Martins, P. Sturdza, and J. J. Alonso, “The complex-step derivative approximation,” ACM Transactions on Mathematical Software 29, 245–262 (2003). doi:10.1145/838250.838251

[18] W. Suh, Z. Wang, and S. Fan, “Temporal coupled-mode theory and the presence of non-orthogonal modes in lossless multimode cavities,” IEEE Journal of Quantum Electronics 40, 1511–1518 (2004). doi:10.1109/JQE.2004.834773 — 单模 TCMT 及其在 CPA 条件推导中的应用见 Y. D. Chong et al., PRL 105, 053901 (2010) [参考文献 9]。

关于相对迹类与 BK 公式：F. Gesztesy 讲义及 J. Behrndt, M. Malamud, H. Neidhardt 的综述提供了相对迹类/耗散扩展下的 BK/谱移函数框架。

关于 Wigner–Smith 延迟与局域 DOS：V. A. Gasparian, T. Christen, and M. Büttiker, “Partial densities of states, scattering matrices, and Green’s functions,” Physical Review A 54, 4022–4031 (1996). doi:10.1103/PhysRevA.54.4022

关于散射矩阵的 FIO 结构：R. Melrose, Geometric Scattering Theory, Cambridge University Press (1995); A. Hassell, “Ergodic billiards that are not quantum unique ergodic,” Journal of Functional Analysis 210, 321–348 (2004).

关于波迹公式与测地流：S. Zelditch, “Spectral determination of analytic bi-axisymmetric plane domains,” Geometric and Functional Analysis 10, 628–677 (2000); L. Guilarmou and F. Naud, “Spectral gap and wave decay on convex co-compact hyperbolic manifolds,” Communications in Mathematical Physics 347, 619–673 (2016).

注：文中所有记号与号记遵循数学物理主流约定（例如 BK 取 $det S = e^{- 2 πi ξ}$ ），以避免号差混淆。所有公式均在相应假设的适用条件下成立（见 §2.1 站立假设）。

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