观察者窗—Mellin–Heisenberg 紧框架与再参数化

WSIG–EBOC–RCA 一体化理论与有限阶 NPE 误差学

Version: 1.5

摘要

在 $\mathcal{H}:=L^2({\mathbb{R}}_{+},dt/t)$ 的对数模型 $u=\log t$ 下，Mellin 变换与一维傅里叶变换等距同构，伸缩成为平移、乘性相位成为加性调制。由此可将“观察者的时间窗“刻画为对数域上的（可非平稳）Weyl–Heisenberg 系的紧/有界框架，其对偶窗族刻画对同一“静态块“的不同展开并对应可测的时间再参数化 $\tau =\Phi (t)$。本文建立：

（T1）观察者—窗的酉等价（存在性，painless 情形）：在带限工作带 $\Omega$ 内，满足 Calderón 乘子常数化与帧上下界的窗族与绝对连续、正则的时间重标度 $\Phi$ 存在酉等价，该等价在自然等价类内非唯一；

（T2）对偶的充分条件及附加前提下的充要性：$\Psi ={\Phi }_1\circ {\Phi }_2^{-1}$ 的导数满足由 Calderón 乘子比与帧界决定的 $L^{\infty }$ 夹逼是两观察者窗族互为对偶的充分条件；在规则格/NSG-painless 与 Wiener 型引理可逆域内为充要条件；并给出小扰动下的稳定半径；

（T3）Mellin–Balian–Low 障碍：临界密度下，若窗在 $u$ 与 $\xi$ 同时强局域，则不可能生成 Riesz 基。

理论与 WSIG 的“相位—相对态密度—Wigner–Smith 群延迟三位一体“一致：在绝对连续谱几乎处处，统一刻度式为 ${\phi }^{\prime }(E)/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$，其中 $\mathsf{Q}(E)=-iS(E{)}^{†}{\partial }_{E}S(E)$，并由 Birman–Kreĭn 公式与 Smith 的 lifetime-matrix 定义支撑。离散实现由可逆元胞自动机（RCA）提供：对 $U_{\Phi }$ 的等距逼近可通过分区（Margolus/GMN）构造获得。误差学遵循有限阶 Euler–Maclaurin（EM）+ Poisson + 帧重建的“三分解“（NPE）纪律。(sites.math.duke.edu)

Notation & Axioms / Conventions

1. 对数模型与等距：设 $u=\log t$ 与 $F(u)=f(e^u)$。单位化 Mellin 变换定义为 $$(\mathcal{M}f)(\xi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_0^{\infty }f(t)t^{-i\xi }\frac{dt}{t}=\hat{F}(\xi ),\hat{F}(\xi ):=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{\mathbb{R}}F(u)e^{-i\xi u}du,$$ 因而 $\mathcal{M}:L^2({\mathbb{R}}_{+},dt/t)\to L^2(\mathbb{R})$ 为等距同构（Plancherel）。(ResearchGate)

2. 三位一体刻度（WSIG）：在绝对连续谱 a.e. 成立 $$\boxed{{\phi }^{\prime }(E)/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)},\mathsf{Q}(E)=-i{S}^{†}{\partial }_{E}S,$$ 其中 $\phi (E):=\frac{1}{2}\arg \det S(E)$。由 Birman–Kreĭn 公式 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$ 与 Smith（1960）给出的 $\mathsf{Q}$ 定义与性质导出。(arXiv)

3. 读数为算子—测度：任意窗化读数写为 Toeplitz/Berezin 压缩 $K_{w,h}=P_{w}h(H)P_w$，读数等价于对谱测度的线性泛函。(SpringerLink)

4. NPE 纪律：误差按照有限阶 EM 余项、Poisson 去别名余项、帧重建余项三部分加总控制；默认使用 $m$ 阶 EM，奇性不增与极点视为主尺度。(dlmf.nist.gov)

1. Mellin–Heisenberg 系与非平稳框架

在 $u$-域，记平移 $T_{u_0}F(u)=F(u-u_0)$、调制 $M_{b}F(u)=e^{ibu}F(u)$。给定窗 $G\in L^2(\mathbb{R})$ 与索引集 $\Lambda \subset {\mathbb{R}}^2$（可非平稳），置

$$\mathcal{G}=\{T_{u_k}{M}_{b_{\ell }}G:(u_k,b_{\ell })\in \Lambda \}.$$

称 $\mathcal{G}$ 为 $\Omega$-框架，若 $\exists 0<A\le B<\infty$ 使 $$A|F{|}_2^2\le \sum _{(k,\ell )}|⟨F,T_{u_k}{M}_{b_{\ell }}G⟩{|}^2\le B|F{|}_2^2$$ 对所有 $F$ 成立。非平稳 Gabor 框架（NSG）给出存在性、扰动与“painless“可逆构造；框架算子在频域具有 Walnut/Janssen 表示，Calderón 和 ${\mathcal{C}}_G(\xi )$ 给出帧界。(worldscientific.com)

Wexler–Raz 对偶判据与 Wiener 型引理：规则格情形下，对偶窗当且仅当伴随格上的双正交条件成立；对具离带衰减的算子，twisted-convolution 的 Wiener 引理保证可逆性的稳定与对偶窗的有界构造。(www1.chapman.edu)

2. 观察者与时间再参数化的酉实现

令 $\Phi :{\mathbb{R}}_{+}\to {\mathbb{R}}_{+}$ 绝对连续、严格单调，写 $v=\varphi (u):=\log \Phi (e^u)$，

$$(U_{\varphi }F)(v)=\frac{1}{\sqrt{{\varphi }^{\prime }({\varphi }^{-1}(v))}}F({\varphi }^{-1}(v)),$$

则 $U_{\varphi }:L^2(\mathbb{R},du)\to L^2(\mathbb{R},dv)$ 为酉算子，刻画“时间重标度“。观察者 $\mathsf{O}=(\Omega ;G,\Lambda )$ 的分析映射为 $${\mathcal{A}}_{\mathsf{O}}F=\{⟨F,T_{u_k}{M}_{b_{\ell }}G⟩{\}}_{(k,\ell )}$$ “更换时标“即施加 $U_{\varphi }$。(ResearchGate)

3. 主定理

定理 T1（观察者—窗的酉等价—存在性，painless 情形）

断言：设工作带 $\Omega$ 内窗族 $\mathcal{G}$ 的 Calderón 乘子 ${\mathcal{C}}_G(\xi )$ 为常数且帧界 $0<A\le B<\infty$。若 $\varphi$ 为绝对连续且 ${\varphi }^{\prime },1/{\varphi }^{\prime }\in L_{\mathrm{loc}}^{\infty }$ 的时间再参数化，定义

$$(U_{\varphi }F)(v)=\frac{1}{\sqrt{{\varphi }^{\prime }({\varphi }^{-1}(v))}}F({\varphi }^{-1}(v)).$$

则存在参考紧框架 $\tilde{\mathcal{G}}$ 使得分析算子满足

$${\mathcal{A}}_{\mathsf{O}}={\mathcal{A}}_{\tilde{\mathsf{O}}}\circ U_{\varphi }\text{于 }\Omega \text{ 上的酉等价},$$

从而得到观察者—窗之间的存在性与酉等价。该等价在（窗相位、格平移、单位纯相位因子）等自然等价类内一般非唯一。反向：给定满足同样正则与有界性的 $\varphi$，可构造（可能非平稳、分块）窗族 $\mathcal{G}$ 使 ${\mathcal{A}}_{\mathsf{O}}\circ U_{\varphi }^{-1}$ 在 $\Omega$ 上成为紧框架。

注：若 ${\mathcal{C}}_G$ 在 $\Omega$ 内非常数，则上述“常数化“仅在额外整形（分块-painless/局部均匀化）后按块成立，不能推出与单一 $\Phi$ 的唯一对应。

结构限定：上式中的 $\tilde{\mathcal{G}}$ 在一般绝对连续 $\varphi$ 下不必为 Weyl–Heisenberg/NSG 结构；若要求 $\tilde{\mathcal{G}}$ 仍属（非平稳）Weyl–Heisenberg 族，则需将 $\varphi$ 限定为仿射或分段仿射（或作相应的分块近似），否则仅能断言存在紧框架 $\tilde{\mathcal{F}}$ 使 ${\mathcal{A}}_{\mathsf{O}}={\mathcal{A}}_{\tilde{\mathsf{F}}}\circ U_{\varphi }$ 于 $\Omega$ 上成立。

证明要点：Walnut/Janssen 表示下，${\mathcal{A}}_{\mathsf{O}}^{\ast }{\mathcal{A}}_{\mathsf{O}}$ 在 $\Omega$ 上为乘子 ${\mathcal{C}}_G$。当 ${\mathcal{C}}_G$ 常数时，选择 $U_{\varphi }$ 将非匀节点整形为匀格，使乘子常数化（DGM“painless“），回推得参考紧框架；等价类由框架相位自由度决定。反向构造由频域常数乘子窗经 $U_{\varphi }^{-1}$ 回推完成。(SpringerLink)

定理 T2（对偶的充分条件；规则格/NSG-painless 下的充要性）

设定：两观察者 $({\mathcal{G}}_j,{\Phi }_j)$（$j=1,2$）在工作带 $\Omega$ 上具有帧界 $[A_j,B_j]$ 与 Calderón 乘子 ${\mathcal{C}}_{G_j}$。令 $\Psi ={\Phi }_1\circ {\Phi }_2^{-1}$。

断言（充分性）：若 ${\Psi }^{\prime }$ 满足

$${\gamma }_{-}\le {\Psi }^{\prime }(u)\le {\gamma }_{+}\text{a.e. }u,{\gamma }_{-}=\frac{A_2}{B_1}\underset{\xi \in \Omega }{\mathrm{essinf}}\frac{{\mathcal{C}}_{G_2}(\xi )}{{\mathcal{C}}_{G_1}(\xi )},{\gamma }_{+}=\frac{B_2}{A_1}\underset{\xi \in \Omega }{\mathrm{esssup}}\frac{{\mathcal{C}}_{G_2}(\xi )}{{\mathcal{C}}_{G_1}(\xi )},$$

且 ${\Psi }^{\prime },1/{\Psi }^{\prime }\in L_{\mathrm{loc}}^{\infty }$，则存在有界可逆的系数变换 $\mathcal{T}:{\ell }^2\to {\ell }^2$ 使

$$\sum _{k,\ell }⟨F,G_{k\ell }^{(1)}⟩G_{k\ell }^{(2)}=P_{\Omega }F,$$

即 ${\mathcal{G}}_1,{\mathcal{G}}_2$ 构成一对对偶窗族。

断言（充分性；必要性需附加伴随格双正交）：若进一步假设：

1. 规则格或 NSG-painless（使 Walnut/Janssen 表示的乘子在 $\Omega$ 上为常数/分块常数）；
2. 相关 twisted-convolution 代数满足 Wiener 型引理的可逆性；

则在同时满足伴随格上的 Wexler–Raz 双正交与相关 Walnut/Janssen 符号在 $\Omega$ 上恒等（$=1$）的前提下，可得“导数夹逼“为必要；一般情形下仅为充分。

稳定半径：设位置节点扰动 ${\epsilon }_u:={\sup }_k|u_k-u_k|$, 调制步长扰动 ${\epsilon }_b:={\sup }_{\ell }|b_{\ell }-b_{\ell }|$, 乘子相对扰动 ${\epsilon }_{\mathcal{C}}:=|\frac{{\mathcal{C}}_{G_1}}{{\mathcal{C}}_{G_1}}-1{|}_{L^{\infty }(\Omega )}$。小扰动下，若 $$\max \{{\epsilon }_u,{\epsilon }_b,{\epsilon }_{\mathcal{C}}\}\le r_{\ast }=c\cdot \min \{A_1/B_1,A_2/B_2\},$$ 其中 $\tilde{c}\in (0,1)$ 为与所用 Wiener-型引理常数和 Walnut/Janssen 展开相关的绝对常数；当 ${\mathcal{G}}_1$ 为紧框架且 ${\mathcal{C}}_{G_1}$ 常数时，上述相对扰动度量已吸收绝对尺度，无需再乘 $\mathrm{essinf}{\mathcal{C}}_{G_1}$。则对偶关系与帧界稳定保持。

证明要点：充分性由 Walnut/Janssen 表示与 ${\Psi }^{\prime }$ 的 $L^{\infty }$ 夹逼保证 Calderón 乘子之帧界稳定；在规则格/NSG-painless 与 Wiener 型引理可逆域内，Wexler–Raz 给出对偶的必要性，即频域乘子在 $\Omega$ 上恒等（$=1$）的可逆因子分解当且仅当 ${\Psi }^{\prime }$ 满足上述夹逼；一般扰动定理给出稳定半径估计。(www1.chapman.edu)

定理 T3（Mellin–Balian–Low 障碍）

断言：临界密度（对数平面单元面积为 $2\pi$ 的格；与 $M_{b}F(u)=e^{ibu}F(u)$、$\hat{F}(\xi )=(2\pi {)}^{-1/2}\int F(u)e^{-i\xi u}du$ 的归一化一致）下，若 $G$ 满足 $uG(u)\in L^2$ 且 $\xi \hat{G}(\xi )\in L^2$，则 $\{T_{u_k}{M}_{b_{\ell }}G\}$ 不可能为 Riesz 基。

证明要点：对数域与标准 Gabor 酉等价，故化约为 Balian–Low：临界密度下良好时频局域窗不可能生成 Riesz 基。(heil.math.gatech.edu)

4. 密度与变形稳定

Gabor/NSG 存在与稳定受密度/双有界性制约：规则格情形需 $\alpha \beta \le 2\pi$；非均匀与可变形情形，Lipschitz 级相空间变形保持帧稳定（Deformation of Gabor systems），历史综述见 Heil。(www1.chapman.edu)

5. WSIG 一致性：散射三位一体与窗化刻度

由 Birman–Kreĭn $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$ 与 Smith 定义 $\mathsf{Q}=-i{S}^{†}{\partial }_{E}S$ 可得

$$\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-2\pi {\xi }^{\prime }(E),$$

因此统一刻度式 ${\phi }^{\prime }(E)/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$ 与所用 BK 记号完全一致。窗化读数的 Calderón 乘子在 $\Omega$ 上等价于相位导数密度与群延迟的刻度，使“观察者—窗—刻度“与“相位—密度—群延迟“彼此对齐。(arXiv)

6. EBOC：静态块上的观察—计算

定义：EBOC 对象为四元 $(\mathcal{H},H;\mathcal{W},\mathcal{C})$：$(\mathcal{H},H)$ 为希尔伯特空间与自伴生成元，$\mathcal{W}$ 为可选窗—格族（在 $u$-域实现为 NSG 框架），$\mathcal{C}$ 为可逆码与读数—提交链。任一读数 $K_{w,h}=P_{w}h(H)P_w$ 等价于谱测度的线性泛函；“当下“即某窗族对“静态块“的局域读取。此结构以内在刻度 ${\phi }^{\prime }/\pi =(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 统一所有观察者，并以 T1–T2 的再参数化核刻画观察者间的可逆变换。(SpringerLink)

7. RCA：可逆离散实现与意义

定义：RCA 是在移位空间上的可逆、局部的全局映射；Hedlund 刻画了移位自同态，Toffoli–Margolus 给出分区（Margolus/GMN）可逆实现，Kari 系统综述了可逆性与计算通用性。(SciSpace)

实现原理：对 $U_{\varphi }$ 取对数域格的有理逼近与分块量化，构造 GMN-RCA 以局部置换+平移逼近 $U_{\varphi }$；在 NPE 纪律下，总误差为（EM 余项）+（Poisson 去别名）+（帧重建）+（量化/分块逼近），并随块尺度与 $|{\varphi }^{\prime }-1{|}_{L^{\infty }(\Omega )}$ 控制。(ibisc.univ-evry.fr)

8. 常 $Q$/对数频应用：可逆 NSG 与“painless“实现

NSG 提供频率自适应的可逆常 $Q$ 变换（sliCQ 框架），其对偶窗与重建由帧理论给出，适用于实时处理并避免传统 CQT 的不可逆问题。(arXiv)

9. 有限阶 NPE 误差学

在带限 $\Omega$ 与分块拼接下，整体误差满足

$$|F-\tilde{F}{|}_2\le E_{\mathrm{EM}}(m)+E_{\mathrm{alias}}(\Omega ,\Lambda )+E_{\mathrm{frame}}(A,B).$$

其中 $E_{\mathrm{EM}}(m)$ 为 $m$ 阶 EM 余项（以 Bernoulli 数给出），$E_{\mathrm{alias}}$ 由 Poisson 公式定量去别名，$E_{\mathrm{frame}}$ 由帧界与 Wiener-型对偶余量控制。奇性不增（截断 EM 不引入新的奇性）与“极点=主尺度“作为误差归因准则。(dlmf.nist.gov)

10. 推论与可计算结论

C1（多观察者一致性）：若 ${\Psi }^{\prime }$ 满足 T2 的充分条件夹逼，则存在有界可逆的系数变换 $\mathcal{T}:{\ell }^2\to {\ell }^2$ 使 ${\mathcal{A}}_{{\mathsf{O}}_1}=\mathcal{T}{\mathcal{A}}_{{\mathsf{O}}_2}$ 于 $\Omega$ 内成立，条件数由 ${\gamma }_{\pm }$ 控制；在规则格/NSG-painless + Wiener 可逆域内，该条件亦为必要（Wexler–Raz + Wiener 引理）。(www1.chapman.edu)

C2（最优窗）：固定密度预算下，最优 $G^{\star }$ 令 ${\mathrm{essinf}}_{\xi \in \Omega }{\mathcal{C}}_G/{\mathrm{esssup}}_{\xi \in \Omega }{\mathcal{C}}_G$ 最大化；“painless“构造与 Walnut 乘子化将其化为可解的极大极小问题。(SpringerLink)

C3（稳定半径）：若扰动能量 ${\sum }_n|⟨F,\delta f_n⟩{|}^2\le R|F{|}_2^2$ 且 $R<A$，则新下界 $\ge (\sqrt{A}-\sqrt{R}{)}^2$；据此得 T2 的半径级估计。(www1.chapman.edu)

C4（临界退化）：密度趋近临界时，条件数暴涨与重建不稳定出现；对强局域窗尤甚（Balian–Low 征兆）。(heil.math.gatech.edu)

11. 结论

“时间“可理解为 Mellin–Heisenberg 窗框架下的再参数化几何。T1 在 painless/乘子常数化条件下给出观察者—窗的酉等价存在性（非唯一）；T2 在充分条件（一般框架）与附加结构前提（规则格/NSG-painless + Wiener 可逆域）下分别给出对偶判据的单向与双向蕴含；T3 确立临界密度下的 Balian–Low 障碍；三定理将观察者—窗—刻度与 WSIG 三位一体统一。EBOC 以窗化读数的算子—测度结构固定刻度，RCA 提供可逆离散实现；有限阶 NPE 纪律闭合非渐近误差。由此得到一套可证明、可计算、可实现的“观察者时间“理论。

参考文献

Butzer & Jansche：Mellin 变换与 $L^2({\mathbb{R}}_{+},dt/t)$ 等距综述；Dörfler、Balazs 等：非平稳 Gabor 框架存在性、Walnut 表示与“painless“构造；Janssen/Walnut/Wexler–Raz：框架算子表示与对偶判据；Gröchenig–Leinert：twisted-convolution Wiener 引理；Landau 与后续综述：必要密度；Heil 等：Balian–Low 原理；Pushnitski/Guillarmou 等：Birman–Kreĭn；Smith（1960）：lifetime-matrix 与 $\mathsf{Q}$；Holighaus–Dörfler–Velasco–Grill：可逆常 $Q$ 变换；Hedlund、Toffoli–Margolus、Kari：RCA 可逆性与分区实现；DLMF §2.10 与 Stein–Shakarchi：EM 与 Poisson。(ResearchGate)