相位导数即谱密度：量子测量的窗口化读数理论与非渐近误差闭合

Phase-Derivative Equals Spectral Density: A Windowed Readout Theory of Quantum Measurement with Non-Asymptotic Error Closure

作者：Auric 版本：v1.0（可复现方法学首稿） 关键词：Weyl–Titchmarsh 函数、Herglotz 测度、局域态密度（LDOS）、散射相位、窗化迹（windowed trace）、Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（三分解误差）、隧穿/延迟时间、指针基

摘要

在 de Branges–Krein 规范系统与 Herglotz–Weyl 词典下，建立单通道散射中相位导数与相对谱密度的等价：对几乎处处的能量 $E$,

$$\boxed{{\phi }^{\prime }(E)=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\pi ({\rho }_m(E)-{\rho }_{m_0}(E))},$$

其中 $m,m_0$ 分别为待测算子与参照算子的 Weyl–Titchmarsh 函数，${\rho }_m,{\rho }_{m_0}$ 为其 Herglotz–Weyl 边界虚部密度。由此导出窗口化读数方程：

$$\mathrm{Obs}(R,\Delta ,M,T)={\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)[h\star {\rho }_{\star }](E)dE+{\epsilon }_{\mathrm{alias}}+{\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}},$$

其中 $w_R$ 为能量窗、$h$ 为带限前端核、${\rho }_{\star }$ 按场景为 ${\rho }_m$ 或 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$。在 Nyquist–Poisson–EM 纪律下可实现别名关断/压阈与非渐近误差闭合。该框架把“延迟/隧穿时间““负延迟“与“指针基“统一为窗—核—采样—误差账本的可设计问题。

0. 记号与规范

能量与上半平面：$E\in \mathbb{R}$，${\mathbb{C}}_{+}=\{z:\Im z>0\}$。

Weyl–Titchmarsh 与密度：若 $m:{\mathbb{C}}_{+}\to {\mathbb{C}}_{+}$ 为 Herglotz（Nevanlinna）函数（半直线自伴算子或规范系统的 Weyl 函数），则

$$\Im m(E+i0)=\pi {\rho }_m(E)({\rho }_m\ge 0\text{a.e.}).$$

给定参照算子 $H_0$，定义相对（谱移）密度

$${\rho }_{\mathrm{rel}}(E):={\xi }^{\prime }(E),$$

其中 $\xi$ 为谱移函数（SSF）。

说明：当 $(H,H_0)$ 源自同一边界三元组/半直线设定且端口 Weyl–Titchmarsh 函数 $m,m_0$ 存在时，在 a.e. $E$ 上有等价式 ${\xi }^{\prime }(E)={\rho }_m(E)-{\rho }_{m_0}(E)$（见定理 2.1）。凡与散射相位直接对应者，统一采用 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$。

散射相位：单通道 $S(E)=e^{2i\phi (E)}$。Wigner–Smith 矩阵 $\mathsf{Q}(E)$ 的定义见下文“单位约定“。

傅里叶对（非角频率）：

$$\hat{f}(\nu )={\int }_{\mathbb{R}}f(E)e^{-2\pi i\nu E}dE,f(E)={\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}(\nu )e^{2\pi i\nu E}d\nu .$$

若 $\mathrm{supp}\hat{h}\subset [-{\mathcal{B}}_h,{\mathcal{B}}_h]$、$\mathrm{supp}{\hat{w}}_R\subset [-{\mathcal{B}}_w(R),{\mathcal{B}}_w(R)]$，则 ${\hat{w}}_R(\nu )=R\hat{w}(R\nu )$、${\mathcal{B}}_w(R)={\mathcal{B}}_w^0/R$（对应 $w_R(E)=w(E/R)$ 的定义），并记角频率 $\Omega =2\pi \mathcal{B}$。

单位约定（统一）：本文统一采用 Wigner–Smith 矩阵（对能量 $E$ 求导）

$$\boxed{\mathsf{Q}(E):=-iS(E{)}^{†}\frac{dS}{dE}},\boxed{{\tau }_{\mathrm{WS}}(E):=\hslash \mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)}.$$

则 a.e. $E$ 有

$$\boxed{\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)={\xi }^{\prime }(E)},\text{单通道： }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=2{\phi }^{\prime }(E).$$

单通道时 ${\tau }_{\mathrm{WS}}(E)=2\hslash {\phi }^{\prime }(E)=2\pi \hslash {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$。注：单通道下与文献中常用的 $\tau ={\partial }_E\arg \det S$ 一致。

a.e. 范围声明：凡含 $S^{\prime }(E)$、${\phi }^{\prime }(E)$、${\xi }^{\prime }(E)$ 或边界值 $\Im m(E+i0)$ 的等式，均在几乎处处（a.e.）能量上成立；共振/不可导点按测度零处理。$\arg \det S$ 可于 a.e. $E$ 选取连续支，故导数在 a.e. 成立（参见 BK 公式与 SSF 的 a.e. 定义）。盒装等式右上角的“a.e.“标注提醒读者此约束。

符号约定备注：BK 采用 $\det S(E)=e^{+2\pi i\xi (E)}$ 号记，对应 $\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}={\xi }^{\prime }(E)$。若采用他书的反号文献（$\det S=e^{-2\pi i\xi }$），请同时作 $\phi \mapsto -\phi$ 的一致置换（详见附录 A）。

参考：Wigner (1955); Smith (1960) 定义与性质；Birman–Kreĭn 公式见 Yafaev (1992/2010) 与 Pushnitski (2006)，据此得 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 与 ${\xi }^{\prime }$ 的关系。

LDOS 约定：“LDOS“指端口/边界意义下的 m-测度密度及其相对版（${\rho }_m$ 或 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$）。单/多通道时本文以 ${\rho }_{\mathrm{rel}}:={\xi }^{\prime }(E)$ 为准；在可由端口 m-函数实现的情形（边界三元组/半直线设定且绝对连续谱部分可由端口 m-函数实现时），它与边界 m-测度差一致；否则以 ${\xi }^{\prime }$ 的定义为主。若要保障被积主项逐点非负性（配合 $h\ge 0,w_R\ge 0$）建议选 ${\rho }_m$；${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 与相位/Friedel 关系配对更自然，但其符号不定（见推论 2.2 与 §4）。

1. 引言

现实仪器受限于有限带宽与有限时间。因此，任何读数必然包含谱平滑与窗化采样两步。本文用严格的谱论—采样复合框架给出可实现的读数方程：测得量 = 窗口加权的 LDOS + 三分解误差（别名/伯努利层/尾项），并在 Nyquist–Poisson–EM 纪律下实现非渐近闭合。核心事实是

$${\phi }^{\prime }(E)=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E),$$

从而延迟/隧穿时间、负延迟与指针基问题均可在同一窗化—误差账本下分析与设计。

操作备注（${\rho }_m$ 与 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 的选择）：若需非负主项与“能量计数“解释，请选 ${\rho }_m$；与相位导数/Friedel 关系配对时选 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$（其符号不定）。两者在窗—核—误差账本中可互换，但物理解读不同（见推论 2.2 与 §4）。

2. 相位—密度词典（相对版）

符号约定前置：本文固定采用 Birman–Kreĭn 正号约定 $\det S(E)=e^{+2\pi i\xi (E)}$；若读者沿用负号流派（$\det S=e^{-2\pi i\xi }$），同时令 $S\mapsto S^{-1}$（或 $\phi \mapsto -\phi$）可恢复相同物理结论 ${\phi }^{\prime }=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}$（详见附录 A）。

定理 2.1（相位导数 = SSF 导数；迹类假设）

在单通道散射且满足： (i) $(H-i{)}^{-1}-(H_0-i{)}^{-1}\in {\mathfrak{S}}_1$（迹类）且波算子存在； (ii) $S(E)$ 在 a.e. $E$ 可微； (iii) 采用固定的 BK 号记 $\det S(E)=e^{+2\pi i\xi (E)}$； 则 a.e. $E$ 上

$$\boxed{{\phi }^{\prime }(E)=\pi {\xi }^{\prime }(E)}.$$

若再假设 $(H,H_0)$ 源自同一边界三元组/半直线情形且存在对应 Weyl–Titchmarsh $m,m_0$（可用边界三元组描述且绝对连续谱部分可由端口 m-函数实现），则 a.e. $E$ 上

$$\boxed{{\xi }^{\prime }(E)={\rho }_m(E)-{\rho }_{m_0}(E)},$$

因而 ${\phi }^{\prime }(E)=\pi ({\rho }_m-{\rho }_{m_0})=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$，其中 ${\rho }_{\mathrm{rel}}:={\xi }^{\prime }$。

证明（分三步）：

(I) Birman–Kreĭn（BK）与相位导数—SSF 的导数关系。 在 $(H,H_0)$ 的波算子存在且 $(H-i{)}^{-1}-(H_0-i{)}^{-1}$ 为迹类的假设下，SSF $\xi (E)$ 存在并满足 Kreĭn 迹公式

$$\mathrm{Tr}(f(H)-f(H_0))={\int }_{\mathbb{R}}{f}^{\prime }(E)\xi (E)dE,$$

以及 BK 公式

$$\det S(E)=\exp \{+2\pi i\xi (E)\}(\text{a.e. }E).$$

对单通道 $S(E)=e^{2i\phi (E)}$，取 $\log$ 并对 $E$ 求导，得

$$\frac{d}{dE}\log \det S(E)=2i{\phi }^{\prime }(E)=2\pi i{\xi }^{\prime }(E)⟹{\phi }^{\prime }(E)=\pi {\xi }^{\prime }(E).$$

（这里用到 a.e. 处 $\arg \det S$ 可选取连续支，且 $S$ 可微：散射相位在 a.e. 能量上可微。）

(II) SSF 导数与 m-测度之差。 规范系统/半直线情形中，Weyl–Titchmarsh 函数 $m$ 为 Herglotz 函数，其 Herglotz 表示的绝对连续部分满足

$$\Im m(E+i0)=\pi {\rho }_m(E),\Im m_0(E+i0)=\pi {\rho }_{m_0}(E)(\text{a.e. }E).$$

由 Kreĭn 迹公式的分布微分与边界值理论，得到

$${\xi }^{\prime }(E)={\rho }_m(E)-{\rho }_{m_0}(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)(\text{a.e. }E).$$

直观而言，${\xi }^{\prime }$ 即相对于参照 $H_0$ 的边界谱密度差。

(III) 合并即得结论。 由 (I) 与 (II) 立刻得到 ${\phi }^{\prime }(E)=\pi {\xi }^{\prime }(E)=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$。证毕。

a.e. 说明：以上等式于 $E$ 的几乎处处成立（a.e.），在离散共振点或不可导点按测度零处理。

推论 2.2（${\rho }_m$-版非负性）

若 $h\ge 0$、$w_R\ge 0$ 且主项采用 ${\rho }_m$，则

$${\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)[h\star {\rho }_m](E)dE\ge 0.$$

说明：当 $h\ge 0$、${\rho }_m\ge 0$ 时，卷积 $h\star {\rho }_m\ge 0$（卷积保非负性），故窗口积分非负。若换用符号不定的 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$，该非负性不再保证。

3. 窗化迹与三分解误差

定理 3.0（窗口化读数方程）

令 $w_R$ 为能量窗，$h$ 为带限前端核，${\rho }_{\star }\in \{{\rho }_m,{\rho }_{\mathrm{rel}}\}$。定义

$$g(E):=w_R(E)\cdot (h\star {\rho }_{\star })(E),\mathcal{S}:={\int }_{\mathbb{R}}g(E)dE.$$

将连续读数以步长 $\Delta$ 采样、在 $[-T,T]$ 截断并以 EM 校正至 $2M$ 阶，得到

$$\boxed{\mathrm{Obs}(R,\Delta ,M,T)=\mathcal{S}+{\epsilon }_{\mathrm{alias}}+{\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}}},$$

其中 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}$ 来自 Poisson 求和的带外复制（命题 3.1），${\epsilon }_{\mathrm{EM}}$ 与 ${\epsilon }_{\mathrm{tail}}$ 分别由定理 3.3 的余项与截断给出。当 (h,w_R) 严格带限且 $\Delta \le \frac{1}{2({\mathcal{B}}_h+{\mathcal{B}}_w(R))}$ 时，${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$；对近带限核/窗，${\epsilon }_{\mathrm{alias}}$ 由 §3.1 的指数/高斯尾界随 $\Delta$ 连续逼近 0。

证明： （i）离散化：将 $\mathbb{R}$ 分割为长度 $\Delta$ 的小区间并截至 $[-T,T]$，得

$$\mathcal{S}=\Delta \sum _{|n|\le T/\Delta }g(n\Delta )+\text{EM 校正}+{\int }_{|E|>T}g(E)dE.$$

（ii）Poisson/别名项：用命题 3.1 将无限和改写为 ${\sum }_k\hat{g}(k/\Delta )$，与 $\hat{g}(0)=\int g$ 的差即为 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}$。当 $\Delta \le 1/(2({\mathcal{B}}_h+{\mathcal{B}}_w(R)))$ 时别名项为零。 （iii）EM 与尾项：定理 3.3 与 $w_R$ 的尾衰减给出 ${\epsilon }_{\mathrm{EM}},{\epsilon }_{\mathrm{tail}}$ 的上界。三项相加即得陈述。证毕。

下述各小节给出三分解误差的具体控制。

3.1 Poisson 求和与别名控制

命题 3.1（Poisson 求和与 Nyquist 关断）

设 $g$ 可积且 $\hat{g}$ 连续（数值实现时取带外快速衰减）；一般情形下式子也可在温和分布（tempered distributions）框架下解释。

非角频率对约定：本文固定采用非角频率对 $\hat{f}(\nu )=\int f(E)e^{-2\pi i\nu E}dE$，据此 Poisson 求和式写成

$$\boxed{\Delta \sum _{n\in \mathbb{Z}}g(n\Delta )=\sum _{k\in \mathbb{Z}}\hat{g}\left(\frac{k}{\Delta }\right)}.$$

若 $\mathrm{supp}\hat{g}\subset [-B,B]$ 而采样步长满足 $\Delta \le \frac{1}{2B}$，则右侧仅 $k=0$ 项存活，别名误差 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$。

证明：记狄拉克梳 ${\mathrm{III}}_{\Delta }(E)={\sum }_{n\in \mathbb{Z}}\delta (E-n\Delta )$。有

$$\Delta \sum _{n}g(n\Delta )={\int }_{\mathbb{R}}g(E)\underset{=:P_{\Delta }(E)}{\underbrace{\Delta {\mathrm{III}}_{\Delta }(E)}}dE.$$

对偶性给出 $\widehat{{\mathrm{III}}_{\Delta }}(\nu )={\Delta }^{-1}{\sum }_{k\in \mathbb{Z}}\delta (\nu -k/\Delta )$，故 $\widehat{P_{\Delta }}(\nu )={\sum }_k\delta (\nu -k/\Delta )$。Plancherel/Parseval 与卷积—乘积关系推出

$$\Delta \sum _{n}g(n\Delta )=\int \hat{g}(\nu )\widehat{P_{\Delta }}(\nu )d\nu =\sum _{k\in \mathbb{Z}}\hat{g}\left(\frac{k}{\Delta }\right).$$

若 $\mathrm{supp}\hat{g}\subset [-B,B]$，当 $\Delta \le (2B{)}^{-1}$ 时，所有 $k\ne 0$ 的采样点 $k/\Delta$ 都落在带外，因而 $\hat{g}(k/\Delta )=0$。证毕。

应用于窗—核复合：当 $g=w_R\cdot (h\star {\rho }_{\star })$ 时，卷积—乘积与支撑给出：$\widehat{h\star {\rho }_{\star }}=\hat{h}\cdot \widehat{{\rho }_{\star }}$，故 $\mathrm{supp}\widehat{(h\star {\rho }_{\star })}\subset [-{\mathcal{B}}_h,{\mathcal{B}}_h]$；再由 $\hat{g}={\hat{w}}_R\ast \widehat{(h\star {\rho }_{\star })}$，得

$$\mathrm{supp}\hat{g}\subset [-({\mathcal{B}}_h+{\mathcal{B}}_w(R)),{\mathcal{B}}_h+{\mathcal{B}}_w(R)].$$

从而 Nyquist 条件为

$$\boxed{\Delta \le \frac{1}{2({\mathcal{B}}_h+{\mathcal{B}}_w(R))}=\frac{\pi }{{\Omega }_h+{\Omega }_w(R)}}.$$

可检性备注：当 $\hat{h}$ 或 ${\hat{w}}_R$ 仅近带限（而非紧支撑）时，应把 Nyquist 理解为近似关断阈，$|{\epsilon }_{\mathrm{alias}}|$ 由下文命题 3.2 的闭式上界报告，并随 $\Delta$ 线性衰减。严格带限时别名可完全关断（${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$）。

命题 3.2（近带限别名上界）

在命题 3.1 的设定下，若 $\hat{g}$ 带外快速衰减（非紧支），则

$${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=\sum _{k\ne 0}\hat{g}\left(\frac{k}{\Delta }\right),\left|{\epsilon }_{\mathrm{alias}}\right|\le \sum _{k\ne 0}\left|\hat{g}\left(\frac{k}{\Delta }\right)\right|.$$

进一步，若 $|\hat{g}(\nu )|\le C{e}^{-\alpha |\nu |}$（指数尾）或 $|\hat{g}(\nu )|\le C{e}^{-\alpha {\nu }^2}$（高斯尾），则

$$\left|{\epsilon }_{\mathrm{alias}}\right|\le \frac{2C\Delta }{\alpha }\text{或}\left|{\epsilon }_{\mathrm{alias}}\right|\le C\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}\Delta .$$

证明：由 Poisson 求和式，别名误差即去掉 $k=0$ 后的离散尾和，首个不等式显然。 （a）指数尾：$|\hat{g}(k/\Delta )|\le C{e}^{-\alpha |k|/\Delta }$。故

$$\sum _{k\ne 0}\left|\hat{g}\left(\frac{k}{\Delta }\right)\right|=2\sum _{k=1}^{\infty }C{e}^{-\alpha k/\Delta }\le 2C{\int }_0^{\infty }{e}^{-\alpha x/\Delta }dx=\frac{2C\Delta }{\alpha }.$$

（b）高斯尾：$|\hat{g}(k/\Delta )|\le C{e}^{-\alpha k^2/{\Delta }^2}$。由积分比较

$$\sum _{k=1}^{\infty }{e}^{-\beta k^2}\le {\int }_0^{\infty }{e}^{-\beta x^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{\beta }},\beta >0,$$

故

$$\left|{\epsilon }_{\mathrm{alias}}\right|\le 2C\sum _{k=1}^{\infty }{e}^{-\alpha k^2/{\Delta }^2}\le C\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}\Delta .$$

证毕。

注（收敛性与上界）：上述指数/高斯尾上界给出可用 $\mathcal{O}(\Delta )$ 上界报告（保守）；实际别名项对指数/高斯尾常呈超指数收敛（$\sim e^{-\alpha /\Delta }$ 或 $\sim e^{-\alpha /{\Delta }^2}$）。数值实现可用更紧的 Jacobi $\vartheta$-和或 Poisson-外推界，但不影响本框架的非渐近闭合。

3.2 Euler–Maclaurin（EM）伯努利层与尾项

定理 3.3（Euler–Maclaurin 偶阶公式及余项上界）

设 $g\in C^{2M}([-T,T])$（或分段 $C^{2M}$ 且端点可控）。记 $N:=\lfloor T/\Delta \rfloor$。则

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-T}^{T}g(E)dE& =\Delta \sum _{|n|\le N}g(n\Delta )-\frac{\Delta }{2}(g(T)+g(-T))\\ & -\sum _{k=1}^{M-1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}{\Delta }^{2k}(g^{(2k-1)}(T)-g^{(2k-1)}(-T))-R_{2M},\end{array}$$

其中余项满足

$$\boxed{|R_{2M}|\le \frac{2\zeta (2M)}{(2\pi {)}^{2M}}{\Delta }^{2M}{\int }_{-T}^T\left|g^{(2M)}(x)\right|dx}.$$

证明：取分段线性插值并用周期伯努利函数 $B_{2M}(\{x/\Delta \})$ 的 Fourier 展开推导 EM 公式（标准方法）。余项可写作

$$R_{2M}=\frac{{\Delta }^{2M}}{(2M)!}{\int }_{-T}^T{B}_{2M}(\{x/\Delta \})g^{(2M)}(x)dx.$$

由 Fourier 展开 $B_{2M}(t)=-\frac{(2M)!}{(2\pi i{)}^{2M}}{\sum }_{n\ne 0}\frac{e^{2\pi int}}{n^{2M}}$ 得 $|B_{2M}(t)|\le \frac{2(2M)!}{(2\pi {)}^{2M}}\zeta (2M)$ 对一切 $t$。从而

$$|R_{2M}|\le \frac{{\Delta }^{2M}}{(2M)!}\cdot \frac{2(2M)!}{(2\pi {)}^{2M}}\zeta (2M){\int }_{-T}^T|g^{(2M)}(x)|dx=\boxed{\frac{2\zeta (2M)}{(2\pi {)}^{2M}}{\Delta }^{2M}{\int }_{-T}^T|g^{(2M)}(x)|dx}.$$

证毕。

常数来源：伯努利多项式 Fourier 展开 + 经典界 $|B_{2M}(t)|\le \frac{2(2M)!}{(2\pi {)}^{2M}}\zeta (2M)$，见标准参考文献（DLMF、Euler–Maclaurin 公式条目）。

奇/偶情形注记：对偶阶 $2M$ 取法，伯努利项只含偶阶 $B_{2k}$；对奇函数 $g$ 且对称区间 $[-T,T]$ 时，端点项与奇阶导数项在对称端点处相消（见附录 B 自检基准）。

尾项控制：定义

$${\epsilon }_{\mathrm{EM}}(M):=|R_{2M}|,{\epsilon }_{\mathrm{tail}}(R):={\int }_{|E|>T}|g(E)|dE.$$

若 $w_R(E)\le C{e}^{-\kappa |E|/R}$（指数尾），则 ${\epsilon }_{\mathrm{tail}}(R)\le \frac{2CR}{\kappa }|h\star {\rho }_{\star }{|}_{\infty }{e}^{-\kappa T/R}$。

严格带限窗的尾项：若在频域采用三角谱窗（非周期 Fourier 对偶），则时域窗 $w_R$ 为 ${\mathrm{sinc}}^2$ 形（$\mathcal{F}\{\mathrm{tri}\}={\mathrm{sinc}}^2$），严格带限且尾项呈多项式衰减（$\sim |E{|}^{-2}$），需按所选窗的已知大 $|E|$ 渐近给出具体界。

3.3 非渐近误差闭合

一般情形（含近带限）：

$$\boxed{|\mathcal{S}-\mathrm{Obs}(R,\Delta ,M,T)|\le {\epsilon }_{\mathrm{alias}}(\Delta )+{\epsilon }_{\mathrm{EM}}(M)+{\epsilon }_{\mathrm{tail}}(R)},$$

其中 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}(\Delta )$ 取 §3.1 的闭式上界（指数尾或高斯尾）。

严格带限 + Nyquist（别名完全关断）：

$$\boxed{|\mathcal{S}-\mathrm{Obs}(R,\Delta ,M,T)|\le {\epsilon }_{\mathrm{EM}}(M)+{\epsilon }_{\mathrm{tail}}(R)}.$$

框注：当 $(h,w_R)$ 严格带限且 $\Delta \le \frac{1}{2({\mathcal{B}}_h+{\mathcal{B}}_w(R))}$ 时，${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$，工程实现者可直接按上式设计误差账本。

从而读数的系统误差逐项可控且可报告。

操作提示：

1. 先验验证 Nyquist 条件 $\Delta \le 1/(2({\mathcal{B}}_h+{\mathcal{B}}_w(R)))$；
2. 报告 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}$ 的显式数值上界（按指数尾或高斯尾选用 §3.1 的闭式）；
3. 再提升 $M,T$ 以压低 ${\epsilon }_{\mathrm{EM}},{\epsilon }_{\mathrm{tail}}$。

4. 物理诠释：延迟、隧穿与“负延迟“

在幺正体系中，Wigner–Smith 矩阵 $\mathsf{Q}(E)=-iS(E{)}^{†}\frac{d}{dE}S(E)$（Wigner 1955, Smith 1960）为 Hermitian（自伴），故其固有延迟（特征值）为实数但不必非负；并且

$$\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$$

的符号一般不定。

密度选择提醒：若需要“非负主项“及能量计数解释，请选 ${\rho }_m$；与相位导数/Friedel 关系配对时选 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$（其可取负）。见推论 2.2。

次幺正（有损/增益）体系：延迟可为复数，需要在相应广义框架下解释。可参见近年来对亚幺正散射延迟的推广（Chen et al., 2021 等）。

数值解读纪律：仅在满足 Nyquist 条件并把 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}},{\epsilon }_{\mathrm{EM}},{\epsilon }_{\mathrm{tail}}$ 压至目标阈值后，“负延迟“数值方可作物理解读；幺正系统下 $\mathsf{Q}$ 自伴但特征值可正可负，次幺正系统则需用广义复延迟框架。按 §3 的纪律（先 Nyquist 控制，再提 $M,T$ 或改善窗衰减）将数值误差压至阈值后，方可对读数作物理解读。

5. 指针基的窗化判据

令 $\mathcal{B}$ 为候选谱基，${\rho }_{\mathcal{B},\star }$ 为其在端口处的 LDOS（${\rho }_m$ 或 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$）。定义窗口化信噪比

$$\mathsf{SNR}(\mathcal{B};h,w_R,\Delta ,M)\approx \frac{{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)(h\star {\rho }_{\mathcal{B},\star })(E)dE}{\sqrt{{\epsilon }_{\mathrm{alias}}^2+{\epsilon }_{\mathrm{EM}}^2+{\epsilon }_{\mathrm{tail}}^2}}.$$

说明：此处 $\approx$ 表示把统计噪声忽略到系统误差可控阈值以下的工程近似；$\mathsf{SNR}$ 用于基的相对比较而非严格概率意义。

当满足 Nyquist 条件且 (h,w_R) 严格带限时，${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$；对近带限核/窗，${\epsilon }_{\mathrm{alias}}$ 随 $\Delta$ 连续逼近 0（§3.1 给出 $\mathcal{O}(\Delta )$ 上界），从而 $\mathsf{SNR}$ 将出现显著提升。使 $\mathsf{SNR}$ 极大的谱基即为指针基。

6. 多通道扩展

定理 6.1（多通道迹公式）

在幺正多通道散射 $S(E)\in \mathrm{U}(N)$ 下，定义 Wigner–Smith 矩阵

$$\mathsf{Q}(E)=-iS(E{)}^{†}\frac{d}{dE}S(E).$$

则 $\mathsf{Q}(E)$ 为 Hermitian（自伴），其特征值（固有延迟）可正可负；并且 a.e. $E$,

$$\boxed{\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)={\xi }^{\prime }(E)}.$$

证明：矩阵初等微分恒等式给出

$$\frac{d}{dE}\log \det S(E)=\mathrm{tr}(S(E{)}^{-1}{S}^{\prime }(E))=\mathrm{tr}(S(E{)}^{†}{S}^{\prime }(E)).$$

据此

$$\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-i\mathrm{tr}\left(S^{†}{S}^{\prime }\right)=-i\frac{d}{dE}\log \det S(E).$$

由 BK（多通道情形同样成立）$\det S(E)=e^{+2\pi i\xi (E)}$，于是

$$\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-i\cdot 2\pi i{\xi }^{\prime }(E)=2\pi {\xi }^{\prime }(E)=2\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E).$$

两边同除以 $2\pi$ 即得。证毕。

a.e. 说明：以上等式于 $E$ 的几乎处处成立（a.e.），在离散共振点或不可导点按测度零处理。

Hermitian 性与固有延迟：由 $S^{†}S=I$ 得 $(S^{†}S{)}^{\prime }=S^{\prime †}S+S^{†}{S}^{\prime }=0$，故 ${\mathsf{Q}}^{†}=i{S}^{\prime †}S=-i{S}^{†}{S}^{\prime }=\mathsf{Q}$。特征值为实但可正可负。

次幺正情形：在次幺正体系（有损/增益）中，延迟可为复数，本文窗化与 Nyquist–Poisson–EM 闭合仍按迹/实部进行；读数解释需结合具体通道模型。

符号对照：本文采用 $\det S(E)=e^{+2\pi i\xi (E)}$ 正号约定，与 $\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}={\xi }^{\prime }$ 同号一致。不同作者的 BK 号记可能相反（见附录 A），读者需对照文献时注意符号对应。

7. 可复现实验协议（最小版）

输入：$({\mathcal{B}}_h,{\mathcal{B}}_w^0,R,\Delta ,M,T)$。 选择：非负、带限或带外快速衰减核 $h$（BL/Gauss-BL/Exp-BL）；逐点非负窗 $w_R$：

• 高斯：指数尾，逐点非负；
• PSWF（连续）：严格带限（$\hat{\psi }$ 支撑在 $[-W,W]$），并在带限函数空间中完备，且第 $n$ 阶在 $(-1,1)$ 内恰有 $n$ 个零点（故第 0 阶可全正归一）；
• DPSS（离散、有限长度）：时间限幅，在离散频带 $[-W,W]$ 能量最优集中（通常称“近带限“），作为多锥谱估计的标准 tapers；
• 频域三角谱窗（非周期对偶）：时域为 ${\mathrm{sinc}}^2$ 形（$\mathcal{F}\{\mathrm{tri}\}={\mathrm{sinc}}^2$），严格带限且尾项呈多项式衰减。 纪律：$\Delta \le 1/(2({\mathcal{B}}_h+{\mathcal{B}}_w(R)))$；$M\ge 2$；$T$ 使 ${\epsilon }_{\mathrm{tail}}$ 达到目标阈值。 报告：输出

$$(\mathrm{Obs},{\epsilon }_{\mathrm{alias}},{\epsilon }_{\mathrm{EM}},{\epsilon }_{\mathrm{tail}}),$$

及主项占比与“非负性合规“（注明采用 ${\rho }_m$ 还是 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$）。 压力测试：自大步长（不合规）逐步减小至合规，记录读数符号/台阶点，验证“别名主导 $\to$ 去别名后主项稳定“。

8. 结论

本文给出

$$\text{相位导数 = π×相对谱密度}⟹\text{测得 = 窗口加权 LDOS + （别名/伯努利层/尾项）}$$

的严格而可复现的量化框架，并在 Nyquist–Poisson–EM 纪律下实现非渐近闭合。该框架将延迟/隧穿、负延迟与指针性统一为窗—核—采样—误差的工程化问题，为后续把 Born 二次律表述为“几何投影 = 信息投影（KL/Bregman）“提供可检路径。

附录 A：符号约定与文献对照

Birman–Kreĭn 公式约定：本文固定采用

$$\det S(E)=e^{+2\pi i\xi (E)}(\text{a.e. }E),$$

配合单通道 $S(E)=e^{2i\phi (E)}$，得 ${\phi }^{\prime }=\pi {\xi }^{\prime }$。该选择与部分教材的 $\det S=e^{-2\pi i\xi }$ 约定相差一个全局负号，但只要同时调整 $S=e^{-2i\phi }$，物理结论 ${\phi }^{\prime }=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}$ 保持不变。本文采用正号约定以确保与多通道迹公式 $\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}={\rho }_{\mathrm{rel}}$ 及 Friedel 关系的同号一致性。

定理 2.1、定理 6.1 的完整证明见正文 §2 与 §6。

附录 B：误差上界速查表

EM 余项（定理 3.3）：若 $g\in C^{2M}([-T,T])$ 且 ${\int }_{-T}^T|g^{(2M)}(x)|dx\le G_{2M}$，则

$$\boxed{{\epsilon }_{\mathrm{EM}}(M)\le \frac{2\zeta (2M)}{(2\pi {)}^{2M}}{\Delta }^{2M}{G}_{2M}}.$$

尾项：若 $w_R(E)\le C{e}^{-\kappa |E|/R}$，则

$${\epsilon }_{\mathrm{tail}}(R)\le \frac{2CR}{\kappa }|h\star {\rho }_{\star }{|}_{\infty }{e}^{-\kappa T/R}.$$

别名误差（命题 3.2）：指数尾 $|\hat{g}(\nu )|\le C{e}^{-\alpha |\nu |}$ 时，$|{\epsilon }_{\mathrm{alias}}|\le \frac{2C\Delta }{\alpha }$；高斯尾 $|\hat{g}(\nu )|\le C{e}^{-\alpha {\nu }^2}$ 时，$|{\epsilon }_{\mathrm{alias}}|\le C\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}\Delta$。

自检基准（定理 3.3 符号验证）：取常函数 $g\equiv c$，则左端 ${\int }_{-T}^{T}g=2Tc$；右端：求和项 $\Delta {\sum }_{|n|\le N}c\approx (2N+1)\Delta c\approx 2Tc+\Delta c$；端点修正 $-\frac{\Delta }{2}(c+c)=-\Delta c$；伯努利层与余项均为零。总和 $\approx 2Tc+\Delta c-\Delta c=2Tc$ ✓。取线性 $g(E)=aE$（奇函数）时，求和与端点项均为零，伯努利奇阶项亦为零（奇导数在对称端点相消），验证通过。

附录 C：实现清单（可移植）

• FFT 卷积实现 $h\star {\rho }_{\star }$；
• 带限/近带限窗 $w_R$ 乘法；
• 均匀采样 $\Delta$ 与 EM 偶阶校正（含端点梯形项）；
• 误差账本：${\epsilon }_{\mathrm{alias}}/{\epsilon }_{\mathrm{EM}}/{\epsilon }_{\mathrm{tail}}$ 与主项占比；
• 明确采用 ${\rho }_m$ 还是 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$，以避免解读混淆。

参考文献（选）

1. M. Sh. Birman & M. G. Kreĭn, On the Theory of Wave and Scattering Operators, Sov. Math. Dokl. 3 (1962).
2. D. R. Yafaev, Mathematical Scattering Theory: General Theory, AMS, 1992/2010.
3. B. Simon, Spectral Analysis of Rank One Perturbations and Applications, Proc. Symp. Pure Math. 65 (1999).
4. A. Pushnitski, The Birman–Kreĭn Formula for Unitary Operators, St. Petersburg Math. J. 17 (2006).
5. E. P. Wigner, Lower Limit for the Energy Derivative of the Scattering Phase Shift, Phys. Rev. 98 (1955)；F. T. Smith, Lifetime Matrix in Collision Theory, Phys. Rev. 118 (1960).
6. C. A. A. de Carvalho & H. M. Nussenzveig, Time Delay, Phys. Rep. 364 (2002).
7. J. Behrndt, F. Gesztesy, H. Holden & R. Nichols, Spectral Shift Functions and Dirichlet-to-Neumann Maps, Math. Ann. 371 (2018).
8. Bo-Wen Chen et al., Generalization of Wigner Time Delay to Subunitary Scattering Systems, Phys. Rev. E 103 (2021).
9. D. Slepian & H. O. Pollak, Prolate Spheroidal Wave Functions, I, Bell Syst. Tech. J. 40 (1961).
10. L. de Branges, Hilbert Spaces of Entire Functions, Prentice-Hall, 1968；R. Romanov, Canonical Systems and de Branges Spaces, 综述。
11. E. M. Stein & R. Shakarchi, Fourier Analysis, Princeton, 2003（Poisson 求和与采样定理）。
12. T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory（Euler–Maclaurin 与伯努利数上界）。
13. DLMF（Digital Library of Mathematical Functions），§24.8，伯努利多项式与余项常数。