窗口化测量的三位一体定理

—— Born = 信息投影（当且仅当），Pointer = 光谱极小（当且仅当），Windows = 极大极小最优

作者：Auric 版本：v1.1（预印本，符号修正版） 日期：2025-10-25（修订）

摘要（定性）

在 de Branges–Kreĭn（DBK）规范系统、散射—功能方程词典与Bregman/信息几何的统一框架下，本文建立窗口化测量的“三位一体定理（Trinity Theorem）“。结论分三层： （I）Born = 信息投影（iff）：在正交投影测量（及其到 POVM 的推广）下，由窗口化读数诱导的最优概率向量，等价于一族线性对齐约束上的 I-投影（最小 KL/Bregman 代价） 当且仅当它等于 Born 概率。 （II）Pointer = 光谱极小（iff）：对任意可分辨窗族，令“窗化迹二次型“的 Ky Fan 部分和 在所有正交基上极小，则且仅当该基为被测可观测量的 光谱本征基（模退化）。 （III）Windows = 极大极小最优：在带限偶窗并归一 $w(0)=1$ 的约束下，以 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin 的“别名 + 伯努利层 + 截断“非渐近误差上界为对手，最优窗存在且（Hilbert 强凸代理下）唯一，并满足频域投影的 KKT 条件。关键桥梁是 Birman–Kreĭn 公式与 Wigner–Smith 延迟所给出的相位导数 = 谱密度，从而将窗化读数与相对态密度（LDOS）精确对接。

0. 记号、规范与基本设定

0.1 Hilbert 空间与测量

$\mathcal{H}$ 可分；纯态 $\psi \in \mathcal{H}$、$|\psi |=1$。PVM 情形取互斥完备投影 $\{P_i\}$（$P_i{P}_j={\delta }_{ij}{P}_i$、${\sum }_i{P}_i=I$），测量概率 $p_i=⟨\psi ,P_i\psi ⟩$。POVM 情形以 $\{E_i⪰0\}$、${\sum }_i{E}_i=I$ 计，$p_i=⟨\psi ,E_i\psi ⟩$。

0.2 DBK 规范系统与 Weyl–Titchmarsh

对一维通道，Weyl–Titchmarsh 函数 $m(z)$ 为 Herglotz–Nevanlinna 函数（即在上半平面解析且虚部非负），其边界值的虚部给出谱测度 $d\rho$：$\Im m(E+i{0}^{+})=\pi d\rho /dE$（几乎处处）。de Branges–Kreĭn（DBK）理论在 Herglotz 类与正则系统（canonical system）之间给出一一对应：每个 Herglotz 函数唯一对应一个正则系统（传递矩阵 $M(t,z)$ 满足 $J$-酉性），从而建立了光谱表示与评估嵌入（参见 de Branges 1968; Remling, Spectral Theory of Canonical Systems, 综述）。本文利用此对应将窗化核 $h(E)w_R(E)$ 与谱测度 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 的卷积联系到谱投影 ${\Pi }_A$。

0.3 散射—功能方程词典与相位—谱移

$$\det S(E)=\exp (-2\pi i\xi (E)),\frac{d}{dE}\arg \det S(E)=-2\pi {\xi }^{\prime }(E).$$

若规范 $\det S(E)=c_0{e}^{-2i\phi (E)}$，则 $\phi (E)=\pi \xi (E)$（差常数），从而

$$\boxed{{\phi }^{\prime }(E)=\pi {\xi }^{\prime }(E)=-\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)}.$$

规范声明：我们固定 $\det S(E)=c_0{e}^{-2i\phi (E)}$ 且 $|c_0|=1$；据 Birman–Kreĭn，$\det S=e^{-2\pi i\xi }$，故 ${\phi }^{\prime }=\pi {\xi }^{\prime }$；由 $Q=-i{S}^{†}{S}^{\prime }$ 与 $\frac{d}{dE}\arg \det S=\mathrm{tr}Q$，得 $\mathrm{tr}Q=-2{\phi }^{\prime }=-2\pi {\xi }^{\prime }$。取 $\theta (E)=\arg \det S(E)$ 的连续支，使 ${\theta }^{\prime }=\mathrm{tr}Q$ 与 BK 对齐。

记号对齐：令 $\theta (E):=\arg \det S(E)$、${\delta }_{\mathrm{tot}}(E):=\theta (E)/2$。则 ${\theta }^{\prime }=\mathrm{tr}Q=-2\pi {\xi }^{\prime }(E)$、${\delta }_{\mathrm{tot}}^{\prime }=\frac{1}{2}\mathrm{tr}Q=-\pi {\xi }^{\prime }(E)=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$。本文取 $\det S(E)=c_0{e}^{-2i\phi (E)}$，故 $\phi =-{\delta }_{\mathrm{tot}}$（差常数）且 ${\phi }^{\prime }=-{\delta }_{\mathrm{tot}}^{\prime }=-\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}=\pi {\xi }^{\prime }$。这与标准散射相位定义 $\sigma (\lambda )=\frac{1}{2\pi i}\log \det S(\lambda )$ 完全一致（Pushnitski, arXiv:1006.0639；Galkowski–Marchand–Wang–Zworski）。以下恒等式在远离通道门槛与嵌入特征值处按分布意义成立；必要时对 $\log \det S$ 取连续分支并加上束缚态的原子项（Krein–Friedel–Lloyd 标准正则化）。

0.4 Wigner–Smith 矩阵

$$Q(E)=-i{S}^{†}(E)\frac{dS}{dE}(E)\text{为自伴（特征值一般不保证非负）},\boxed{\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=-{\xi }^{\prime }(E)}.$$

与 §0.3 之 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$ 相容，且由 $\mathrm{tr}Q=\frac{d}{dE}\arg \det S$ 得。关键恒等式：$-i{S}^{†}{\partial }_{E}S$ 的迹等于 ${\partial }_E\arg \det S$（Friedel 相位导数），这是标准的 Wigner–Smith 延迟理论（Texier 综述；Wigner 1955, Smith 1960）。由 Krein–Friedel–Lloyd 公式，${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi i}\frac{d}{dE}\log \det S(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(E)$；结合 Birman–Kreĭn 得 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=-{\xi }^{\prime }(E)$（ChaosBook §35；Pushnitski arXiv:1006.0639）。

0.5 窗化迹、三分解误差与可分辨窗族

对偶窗/核 $(w,h)$ 的窗化功能

$$\mathcal{S}(h;R)=\sum _{j}h(z_j)w_R(z_j)+{\int }_{\mathbb{R}}h(E)w_R(E){\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE,$$

其中 $\{z_j\}\subset {\sigma }_p(A)$ 为 $A$ 的点谱（本征能级），若无点谱则此和为空。本文把点谱原子并入 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 的测度表示（即 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 既含绝对连续部分也含原子部分），于是上式可统一写为 Stieltjes 积分 $\int h(E)w_R(E)d{\nu }_{\mathrm{rel}}(E)$；§4 的写法正是此统一表达。数值实现的误差闭合为

$$\text{alias（Poisson）}+\text{EM（有限阶伯努利层）}+\text{tail}.$$

“可分辨窗族” $\mathcal{W}$ 指：存在窗集合 $\mathcal{W}$ 与有限核集合 $\mathcal{H}$，使 $\{E\mapsto h(E)w_R(E):w\in \mathcal{W},h\in \mathcal{H}\}\subset C_0(\sigma (A))$ 在谱上分离点；若该族在复共轭与乘法下封闭，且连同常数函数生成的交换 $\ast$-代数在 $C_0(\sigma (A))$ 中稠密（Stone–Weierstrass），则 $\{K_{w,h}\}$ 在直接积分意义下同时可对角化，并与 ${\Pi }_A$ 的谱分解一致（纯点谱时退化为本征基，模退化）。

0.6 Paley–Wiener 带限偶窗与 Fourier 规范

$${\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}=\{w:\mathrm{supp}\hat{w}\subset [-\Omega ,\Omega ],\mathbf{w}(\mathbf{E})=\mathbf{w}(-\mathbf{E})\},w(0)=1.$$

本文采用非角频率规范，对能量变量 $E$ 取 Fourier 变换（频率记为 $\xi$）：

$$\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-iE\xi }f(E)dE,f(E)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{e}^{iE\xi }\hat{f}(\xi )d\xi ,$$

Parseval：$⟨f,g⟩=\frac{1}{2\pi }⟨\hat{f},\hat{g}⟩$；乘法—卷积：$\widehat{fg}=\frac{1}{2\pi }\hat{f}\ast \hat{g}$。

缩放窗定义：令带限偶窗 $w\in {\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}$，缩放窗定义为 $w_R(E):=w(E/R)$。于是 $\widehat{w_R}(\xi )=R\hat{w}(R\xi )$，其支撑位于 $[-\Omega /R,\Omega /R]$，即下文 KKT 中 ${\chi }_B$ 的 $B=[-\Omega /R,\Omega /R]$。

0.7 信息几何与 I-投影

负熵与 log-sum-exp 势互为 Fenchel 共轭；指数族的自然/期望参数由 Legendre 映射联系。在线性对齐子族上，I-投影存在唯一（KL 的严格凸性与可达性）；关于线性族上的 I-投影存在唯一与退化情形，参见 Csiszár (1975) 与后续综述。

1. Born = 信息投影（当且仅当）

设 $P_i$ 为 PVM 元，记

$${\varphi }_i:=\frac{P_i\psi }{|P_i\psi |}(|P_i\psi |>0),w_i:=|P_i\psi {|}^2.$$

Born 概率为 $p_i^{\mathrm{B}}=w_i$。若 $w_i=0$，任选 ${\varphi }_i\in \mathrm{Ran}(P_i)$ 并有 $⟨\psi ,{\varphi }_i⟩=0$；此时所有涉及 $⟨\psi ,{\varphi }_i⟩$ 的和式项为 0，不影响后续等式。

定理 1.1（几何与信息两种刻画的等价）

令

$$X(p):=\sum _i\sqrt{p_i}{\varphi }_i,\mathcal{D}(p):=\frac{1}{2}\Vert X(p)-\psi {\Vert }^2,$$

则 $\mathcal{D}(p)$ 的唯一极小点为 $p=w$（即 Born 概率）。另一方面，在线性对齐族

$$\mathcal{M}:=\{p\in \Delta :\sum _i{p}_i{\varphi }_i=\sum _i{w}_i{\varphi }_i\}$$

上，I-投影

$$p^{\star }=\arg \underset{p\in \mathcal{M}}{\min }{D}_{\mathrm{KL}}(p|w)$$

存在唯一，且 $p^{\star }=w$。因而

$$\boxed{\text{Born 概率}⟺\text{I-投影（在线性对齐族上）}}.$$

说明：PVM 情形下，$\{{\varphi }_i\}$ 彼此正交源于 $\mathrm{Ran}{P}_i\perp \mathrm{Ran}{P}_j(i\ne j)$；当 $|P_i\psi |=0$ 时，所选 ${\varphi }_i\in \mathrm{Ran}{P}_i$ 仍与其余 ${\varphi }_j$ 正交。因此线性对齐族 $\mathcal{M}=\{w\}$ 为单点，故此处 I-投影为退化情形，是把几何最优与信息最优对齐到同一点的等价刻画，而非常规的非平凡投影问题。

POVM 情形通过 Naimark 扩张 归约为 PVM：存在等距嵌入 $V:\mathcal{H}\to \mathcal{H}\otimes \mathcal{K}$ 与扩张空间上的 PVM $\{{\Pi }_i\}$ 使得 $E_i=V^{†}{\Pi }_{i}V$。在 $\mathcal{H}\otimes \mathcal{K}$ 上对 $\{{\Pi }_i\}$ 与态 $V\psi$ 应用上述 PVM 论证，再投回原空间，结论逐项成立（标准构造参见 Naimark 定理，arXiv:1509.06999；Petz & Ghinea, Introduction to Quantum Fisher Information, §3）。

证明（提纲）

（1）几何版：$|X(p){|}^2={\sum }_i{p}_i=1$，故

$$\mathcal{D}(p)=1-⟨\psi ,X(p)⟩=1-\sum _i⟨\psi ,{\varphi }_i⟩\sqrt{p_i}=1-\sum _i|P_i\psi |\sqrt{p_i}$$

（注意 $⟨\psi ,{\varphi }_i⟩=|P_i\psi |$ 当 $|P_i\psi |>0$，来自 $P_i\psi =|P_i\psi |{\varphi }_i$ 与正交投影性质）。由 Cauchy–Schwarz 取等当且仅当 $\sqrt{p_i}\propto |P_i\psi |$；由 CS 等号条件与 $\sum p_i=1$ 唯一化常数，故 $p=w$。

（2）信息版：在线性对齐族 $\mathcal{M}$ 上，因 $\{{\varphi }_i\}$ 正交（源于 $\mathrm{Ran}{P}_i\perp \mathrm{Ran}{P}_j$）且单位，约束 ${\sum }_i{p}_i{\varphi }_i={\sum }_i{w}_i{\varphi }_i$ 逐系数给出 $p_i=w_i$，即 $\mathcal{M}=\{w\}$，因此 $p^{\star }=w$。 （3）POVM 情形用 Naimark 扩张：存在等距嵌入 $V:\mathcal{H}\to \mathcal{H}\otimes \mathcal{K}$ 与扩张 PVM $\{{\Pi }_i\}$ 使 $E_i=V^{†}{\Pi }_{i}V$。在 $\mathcal{H}\otimes \mathcal{K}$ 上对 $\{{\Pi }_i\}$ 与态 $V\psi$ 重复上述 PVM 论证即得结论，再投回原空间。∎

2. Pointer = 光谱极小（当且仅当）

令被测可观测量为自伴算子 $A$，谱投影族 ${\Pi }_A$。对偶窗/核 $(w_R,h)$ 定义

$$K_{w,h}:={\int }_{\mathbb{R}}h(E)w_R(E)d{\Pi }_A(E),$$

则 $K_{w,h}$ 为自伴算子；当 $h(E)w_R(E)\ge 0$ 几乎处处时 $K_{w,h}⪰0$。下文的极值论证仅需自伴。

对正交基 $\{e_k\}$ 与任意 $m\in \mathbb{N}$ 引入 Ky Fan 部分和

$${\mathcal{Q}}_{w,h}^{(m)}(\{e_k\}):=\sum _{k=1}^m⟨e_k,K_{w,h}{e}_k⟩,$$

记 ${\lambda }_1^{\uparrow }\le {\lambda }_2^{\uparrow }\le \cdots$ 为 $K_{w,h}$ 的特征值（非降序，按重数计）。

定理 2.1（Ky Fan–Rayleigh–Ritz）

假设 $K_{w,h}$ 自伴（已满足）。Ky Fan 变分原则（Ky Fan, PNAS 35, 652 (1949)）给出：对每个 $m$,

$$\underset{\{e_k\},\text{正交基}}{\inf }{\mathcal{Q}}_{w,h}^{(m)}(\{e_k\})=\sum _{k=1}^m{\lambda }_k^{\uparrow }(K_{w,h}),$$

其中 ${\lambda }_1^{\uparrow }\le {\lambda }_2^{\uparrow }\le \cdots$ 为 $K_{w,h}$ 的特征值（非降序，按重数计）。适用域：

1. 紧自伴情形（例如 $A$ 具纯点谱且 $h(\cdot )w_R(\cdot )$ 使 $f(A)$ 紧）：等号当且仅当 $\{e_k{\}}_{k\le m}$ 张成最小 $m$ 个特征值对应的特征子空间（可达极小）。
2. 一般自伴情形（含连续谱）：先在有限谱投影 $P_{\Lambda }$ 上研究 $P_{\Lambda }{K}_{w,h}{P}_{\Lambda }$ 的 Ky Fan 极值，再令 $\Lambda \uparrow \sigma (A)$；此时上式给出下确界，可能无可达极小基。

同时对角化判据：若存在一族可分辨窗 $\mathcal{W}$，使同一基 $\{e_k\}$ 对所有 $w\in \mathcal{W}$ 与所有 $m$ 上式均取到下确界，则 $\{e_k\}$ 为 $\{K_{w,h}:w\in \mathcal{W}\}$ 的公共本征向量系（在紧/离散谱前提下）。关键：此要求意味着存在同时对角化所有 $K_{w,h}$ 的基；当 $A$ 有简并时，仅能确定简并子空间的选择而非子空间内的唯一基（模退化）。

交换性与谱分解一致：因 $K_{w,h}=\int h(E)w_R(E)d{\Pi }_A(E)=f_{w,h}(A)$ 为 $A$ 的功能演算，故 $\{K_{w,h}\}$ 两两交换。当 $\{E\mapsto h(E)w_R(E):w\in \mathcal{W},h\in \mathcal{H}\}$ 复共轭封闭且连同常数函数生成的交换 $\ast$-代数在 $C_0(\sigma (A))$ 中稠密（Stone–Weierstrass）时，$\{K_{w,h}\}$ 在直接积分意义下与 ${\Pi }_A$ 的谱分解一致（纯点谱时为本征基（模退化），连续谱时为乘法算子模型）。参见 Ky Fan (PNAS 1949, 1951); Bach (EECS Tech Report CSD-03-1249, 2003); arXiv:2410.18254。∎

3. Windows = 极大极小最优

3.1 误差对手与鲁棒目标

对

$$g(E)=w_R(E)\cdot (h\ast {\rho }_{\mathrm{rel}})(E),$$

离散—连续差的非渐近上界为

$$\sum _{m\ne 0}|\hat{g}(2\pi m/\Delta )|+\sum _{j=1}^{M-1}\frac{|B_{2j}|}{(2j)!}{\Delta }^{2j}{\int }_{\mathbb{R}}|g^{(2j)}(E)|dE+{\int }_{|E|>T}|g(E)|dE.$$

此三项上界需 $g$ 至少具 $M$ 阶可积导数与足够衰减（Schwartz 情形最安全）。带限条件澄清：即便 $\widehat{w_R}$ 带限（$\mathrm{supp}\widehat{w_R}\subset [-\Omega /R,\Omega /R]$），$\hat{g}$ 的支撑满足 $\mathrm{supp}\hat{g}\subset \mathrm{supp}\widehat{w_R}+\mathrm{supp}\hat{h}+\mathrm{supp}\widehat{{\rho }_{\mathrm{rel}}}$（频域卷积），因此**$\hat{g}$ 未必带限**（${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 通常非带限）。若 $\mathrm{supp}\hat{g}\subset (-\pi /\Delta ,\pi /\Delta )$（即 Nyquist 充分条件，严格不等式），则别名项为零（Nyquist–Shannon 采样定理：当支持带宽 $B$ 满足 $B<f_s/2$ 严格时无混叠；边界情形 $B=f_s/2$ 不保证无混叠，参见 Wikipedia: Nyquist–Shannon sampling theorem; 一般文献：Oppenheim & Schafer, Discrete-Time Signal Processing）。

据此定义对手—鲁棒目标

$$\mathcal{J}(w):=\underset{|h{|}_{\mathfrak{H}}\le 1}{\sup }\mathfrak{E}((h\ast {\rho }_{\mathrm{rel}})\cdot w_R),w\in {\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}},w(0)=1,$$

其中 $\mathfrak{E}(\cdot )$ 为上式右端误差泛函，$|h{|}_{\mathfrak{H}}$ 为核函数的适当范数（例如取 $|h{|}_{\mathfrak{H}}={\sum }_{j=0}^{M-1}{\alpha }_j|h^{(j)}{|}_{L^1}$ 或 $L^2$ 形式，以确保上确界良定）。本节鲁棒上界为构造性上界（非最优上界）；参数：$\Delta$（采样步长）、$T$（截断阈值）、$M$（Euler–Maclaurin 阶数）。关于 Poisson 求和与 Euler–Maclaurin 余项标准表述，参见 SCIPP UCSC 讲义；Bernoulli 数性质见 Abramowitz & Stegun §23。

3.2 强凸代理、存在唯一与 KKT

以强凸代理上确界 $\mathcal{J}$：

$$\underset{w\in {\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}}{\min }\sum _{j=1}^{M-1}{\gamma }_j|w_R^{(2j)}{|}_{L^2}^2+\lambda |1_{\{|E|>T\}}{w}_R{|}_{L^2}^2,$$

存在唯一极小元 $w^{\star }$。其 Fourier 侧满足带限投影—KKT（${\chi }_B:={\chi }_{[-\Omega /R,\Omega /R]}$）：

$$\boxed{{\chi }_B(\xi )\cdot (\underset{\text{导数罚}}{\underbrace{2\sum _{j=1}^{M-1}{\gamma }_j{\xi }^{4j}\widehat{w_R^{\star }}(\xi )}}+\underset{\text{尾部罚（单卷积）}}{\underbrace{\frac{2\lambda }{2\pi }(\widehat{1_{|E|>T}}\ast \widehat{w_R^{\star }})(\xi )}})=\eta {\chi }_B(\xi )}$$

其中 $\eta$ 为归一约束 $w_R(0)=1$ 的拉格朗日乘子常数，$B=[-\Omega /R,\Omega /R]$，且 $\widehat{w_R}(\xi )=R\hat{w}(R\xi )$。

归一约束在频域的表述：$w_R(0)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\widehat{w_R}(\xi )d\xi =\frac{1}{2\pi }{\int }_B\widehat{w_R}(\xi )d\xi =1$（带限性）。拉格朗日乘子 $\eta$ 对应此线性约束，因此 KKT 方程右端为常数 $\eta {\chi }_B(\xi )$。

系数来源（非角频率规范 $\hat{f}(\xi )=\int e^{-iE\xi }f(E)dE$）：

1. 导数罚：Parseval $⟨f^{(2j)},f^{(2j)}⟩=\frac{1}{2\pi }⟨(i\xi {)}^{2j}\hat{f},(i\xi {)}^{2j}\hat{f}⟩$ 给出频域权重 ${\xi }^{4j}$；$L^2$ 变分的梯度有系数 $2$。
2. 尾部罚：$⟨1_{|E|>T}{w}_R,1_{|E|>T}{w}_R⟩=\frac{1}{2\pi }⟨\widehat{1_{|E|>T}}\ast \widehat{w_R},\widehat{w_R}⟩$ 导出卷积形式；系数 $\frac{2\lambda }{2\pi }$ 来自 Parseval 因子与梯度系数 2。

分布论细节：矩形窗的 Fourier 变换为 $\widehat{1_{|E|\le T}}(\xi )=\frac{2\sin (T\xi )}{\xi }$（sinc），故 $\widehat{1_{|E|>T}}(\xi )=2\pi \delta (\xi )-\frac{2\sin (T\xi )}{\xi }$（温和分布）。因 $\widehat{w_R}$ 带限且 $L^2$，卷积在 $L^2$ 中良定（标准 Fourier 变换对见 Bracewell, The Fourier Transform and Its Applications; Wikipedia: Fourier transform）。

意义：前项为“曲率惩罚“（$(2j)$ 阶导数的频域像 ${\xi }^{4j}$），后项为“尾部罚“（能量域乘法对应频域卷积）；带限约束通过频域投影 ${\chi }_B$ 表达。有限阶 Euler–Maclaurin 确保“奇性不增、极阶不升“（参见 SCIPP UCSC 讲义；Abramowitz & Stegun §23）。

4. 相位导数 = 谱密度与窗化读数

由 §0.3 之链条

$$\det S(E)=\exp (-2\pi i\xi (E)),{\phi }^{\prime }(E)=\pi {\xi }^{\prime }(E)=-\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E),$$

结合 §0.4 的 Wigner–Smith 关系 $\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=-{\xi }^{\prime }(E)$（Krein–Friedel–Lloyd），在本文规范下 $\mathrm{tr}Q=-2{\phi }^{\prime }(E)=2\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$。得“窗化读数方程“

$$\mathcal{S}(h;R)={\int }_{\mathbb{R}}h(E)w_R(E){\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE+\text{alias}+\text{EM}+\text{tail},$$

在“带限 + Nyquist + 有限阶 EM“纪律下实现非渐近闭合。这把 Born/I-投影与指针极小兼容到同一 LDOS 主项之上。

5. 推论与实例

5.1 延迟/驻留时间与 LDOS

$$\boxed{\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=-{\xi }^{\prime }(E)}.$$

恒等式链（整合 §0.3–0.4 规范）：

1. Krein–Friedel–Lloyd：${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi i}\frac{d}{dE}\log \det S(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(E)$（ChaosBook §35, eq. (35.17)–(35.19)）。
2. Birman–Kreĭn：$\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}\Rightarrow \frac{1}{2\pi i}\frac{d}{dE}\log \det S(E)=-{\xi }^{\prime }(E)$（Pushnitski arXiv:1006.0639）。
3. 合并：${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(E)=-{\xi }^{\prime }(E)$。
4. Friedel 相位表述：令 $\theta (E)=\arg \det S(E)=-2\pi \xi (E)$、${\delta }_{\mathrm{tot}}(E)=\theta (E)/2$，则 $${\delta }_{\mathrm{tot}}^{\prime }(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}Q(E)=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=-\pi {\xi }^{\prime }(E).$$ 这是物理文献中常见的“Friedel 相位导数 = $\pi$ × 态密度“（Friedel sum rule; 参见 ChaosBook §35.3; Texier, Wigner Time Delay and Related Concepts, arXiv:1608.03981）。
5. 与 $\phi$ 规范的对应：取 $\det S(E)=c_0{e}^{-2i\phi (E)}$ 得 $\phi =-{\delta }_{\mathrm{tot}}$（差常数），故 ${\phi }^{\prime }=-{\delta }_{\mathrm{tot}}^{\prime }=-\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}=\pi {\xi }^{\prime }$（与 §0.3 一致）。

物理意义：该等式对单通道与多通道的 $\mathrm{tr}Q$ 同样成立；${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 为相对态密度（相对于自由系统），$\mathrm{tr}Q/(2\pi )$ 为 Wigner–Smith 延迟（能量导数单位）。由 §4 窗化读数主项即相对 LDOS；指针极小与能量/信息读数在本征基上最干净一致。

5.2 POVM 与噪声

POVM 情形先经 Naimark 扩张 $E_i=V^{†}{\Pi }_{i}V$ 至扩张空间的 PVM $\{{\Pi }_i\}$，在该空间复用 §1 的 PVM 论证，再投回原空间，故结论逐项成立。带噪场景可通过指数族—Bregman 对偶与鲁棒窗设计共同处理。

5.3 离散图/算子模型

对非回溯算子或离散散射，BK 链条与窗化迹公式形式平行；指针极小对应算子本征基，与 §2 之结论一致。

6. 三位一体定理（统一表述）

定理 6.1（Trinity Theorem） 在 DBK 光谱模型存在、Birman–Kreĭn 公式与 Wigner–Smith 矩阵关系成立、采用对偶窗/核与有限阶 Euler–Maclaurin 换序，并在带限偶窗与 Nyquist/指数衰减等可行性条件下，对任意纯态 $\psi$、PVM（或 POVM）测量、可分辨窗族 $\mathcal{W}$ 与可检核 $h$，有： （i）Born = I-投影（iff）：由窗口化读数诱导的最优概率 $p^{\star }$ 为线性对齐族上的 I-投影，当且仅当 $p_i^{\star }=⟨\psi ,P_i\psi ⟩$（POVM 时 $p_i^{\star }=⟨\psi ,E_i\psi ⟩$）。 （ii）Pointer = 光谱极小（iff）：使 ${\mathcal{Q}}_{w,h}^{(m)}$ 在所有正交基上对每个 $m$ 与每个 $w\in \mathcal{W}$ 取下确界的基，当且仅当为 $A$ 的光谱本征基（模退化）。 （iii）Windows = 极大极小最优：存在（Hilbert 强凸代理下唯一）$w^{\star }\in {\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}$ 最小化鲁棒上界 $\mathcal{J}$，其 Fourier 侧满足带限投影—KKT 方程。∎

7. 与既有理论的接口

• S15（Weyl–Heisenberg 酉表示）：窗族 $U_{\tau }{V}_{\sigma }w$ 的协变性保证 Ky Fan 部分和在群作用下不变；等距性使信息势 $\Lambda$ 在群平均下保持。
• S16（de Branges–Krein 规范系统）：本文 $m$ 为 Herglotz–Nevanlinna 函数并与规范系统等价；传递矩阵 $M(t,z)$ 的 $J$-酉性保证 $\Im m>0$，从而 ${\rho }_m\ge 0$。
• S17（散射算子与功能方程）：§4 的 ${\phi }^{\prime }=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}$ 即 S17 散射相位导数判据；通道特征值等价给出 $\det S=c_{0}U$ 的相位—密度词典。
• S18（轨道—谱窗化不等式）：§3.1 的三分解误差与 S18 §3.3 统一非渐近上界对齐；Nyquist 条件下别名归零对应 S18 带限假设。
• S19（谱图与 Ihara ζ）：离散图的非回溯算子给出“离散相位导数 = 离散谱密度“；定理 2.1 的 Ky Fan 极小对应离散算子本征基。
• S20（BN 投影—KL 代价—灵敏度）：定理 1.1 的 I-投影直接调用 S20 §2 的 Bregman–KL 恒等式；几何—信息等价对应 S20 定理 2.2。
• S21（连续谱阈值与奇性稳定性）：§4 的 ${\phi }^{\prime }=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}$ 对应 S21 §0.2 相位—密度同一式；有限阶 EM 确保奇性不增依赖 S21 定理 21.6。
• S22（窗/核最优化）：§3.2 的 KKT 方程对应 S22 式（2.2）；强凸代理与存在唯一性继承 S22 定理 2.1。
• S23（多窗/多核协同优化）：本文单窗最优可推广至 S23 向量窗与帧算子层面；定理 2.1 的 Ky Fan 极小对应 S23 §5 的双帧结构。
• 量子读数理论（phase-derivative-spectral-density-windowed-readout.md）：§4 的窗化读数方程即该文 §3 的定理 1.1；§0.3-0.4 的相位—谱移—延迟链条对应该文定理 2.1 与命题 4.2。
• 统一测量理论（unified-measurement-born-kl-pointer-basis.md）：定理 1.1 的 Born = I-投影对应该文主定理 II；定理 2.1 的 Pointer = 光谱极小对应该文主定理 III 的指针基判据；§3 的 Windows 最优对应该文 §5 的窗/核最优化。

8. 结论

本文在光谱—信息—数值三重结构上，给出了窗口化测量的“Born = I-投影（iff）—Pointer = 光谱极小（iff）—Windows = 极大极小最优“的统一定理。Birman–Kreĭn 与 Wigner–Smith 提供相位—谱密度的物理-数学桥；Ky Fan 原理刻画指针极小与本征基的等价；Paley–Wiener 与 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin 则保证有限带宽/有限时间实现的非渐近误差闭合。定理为现实测量中的概率读数、指针选择与窗/核设计给出严格且可操作的准则。

参考文献（选）

• de Branges, Hilbert Spaces of Entire Functions, Prentice-Hall, 1968.
• Remling, Spectral Theory of Canonical Systems, in De Branges Spaces and Kreĭn’s Theory of Entire Operators (综述).
• Wigner, Lower Limit for the Energy Derivative of the Scattering Phase Shift, Phys. Rev. 98, 145 (1955).
• Smith, Lifetime Matrix in Collision Theory, Phys. Rev. 118, 349 (1960).
• Birman–Kreĭn, On the theory of wave operators and scattering operators, Dokl. Akad. Nauk SSSR 144, 475 (1962).
• Pushnitski, The spectral shift function and the invariance principle, arXiv:1006.0639 (2010).
• Ky Fan, On a theorem of Weyl concerning eigenvalues of linear transformations I, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 35, 652 (1949).
• Ky Fan, Maximum properties and inequalities for the eigenvalues of completely continuous operators, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 37, 760 (1951).
• Csiszár, I-divergence geometry of probability distributions and minimization problems, Ann. Probab. 3, 146 (1975).
• Slepian–Pollak, Prolate Spheroidal Wave Functions, I, Bell Syst. Tech. J. 40, 43 (1961).
• Cvitanović et al., Chaos: Classical and Quantum (ChaosBook.org), Chapter 35: Quantum scattering.
• Texier, Wigner Time Delay and Related Concepts: Application to Transport in Coherent Conductors, arXiv:1608.03981 (2016).
• Petz & Ghinea, Introduction to Quantum Fisher Information, in Quantum Probability and Related Topics, World Scientific, 2011.
• Abramowitz & Stegun, Handbook of Mathematical Functions, NBS, 1964 (§23: Bernoulli and Euler polynomials).
• Bracewell, The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed., McGraw-Hill, 2000.
• Oppenheim & Schafer, Discrete-Time Signal Processing, 3rd ed., Prentice-Hall, 2009.

附录：术语索引与公式索引（便于检索）

• DBK 光谱表示、Weyl–Titchmarsh：Herglotz–Weyl 词典与规范系统（de Branges 1968）。
• Birman–Kreĭn 公式：$\det S=e^{-2\pi i\xi }$，$\frac{d}{dE}\arg \det S=-2\pi {\xi }^{\prime }$（Pushnitski arXiv:1006.0639）。
• Krein–Friedel–Lloyd：${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2\pi i}\frac{d}{dE}\log \det S(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(E)$（ChaosBook §35）。
• Wigner–Smith 延迟：$Q=-i{S}^{†}\frac{dS}{dE}$ 自伴，$\boxed{\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=-{\xi }^{\prime }(E)}$；与 §0.3 之 ${\phi }^{\prime }(E)=\pi {\xi }^{\prime }(E)=-\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$ 一致，故 $\mathrm{tr}Q=-2{\phi }^{\prime }(E)$。
• Friedel 相位：${\delta }_{\mathrm{tot}}^{\prime }(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}Q(E)=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=-\pi {\xi }^{\prime }(E)$（Friedel sum rule）。
• Ky Fan 变分原则：${\inf }_{\{e_k\}}{\sum }_{k=1}^m⟨e_k,K{e}_k⟩={\sum }_{k=1}^m{\lambda }_k^{\uparrow }(K)$；紧/离散谱时取等（Ky Fan, PNAS 1949）。
• I-投影/指数族–Bregman 对偶：线性对齐族上的存在唯一性；POVM 用 Naimark 扩张（Csiszár 1975）。
• 三分解误差：alias（Poisson 求和） + 有限阶 EM（Bernoulli 数） + tail；带限 + Nyquist 下 alias 消失。
• KKT（带限投影）：${\chi }_B(\xi )\cdot (\underset{\text{导数罚}}{\underbrace{2\sum _{j=1}^{M-1}{\gamma }_j{\xi }^{4j}\widehat{w_R^{\star }}(\xi )}}+\underset{\text{尾部罚}}{\underbrace{\frac{2\lambda }{2\pi }(\widehat{1_{|E|>T}}\ast \widehat{w_R^{\star }})(\xi )}})=\eta {\chi }_B(\xi )$，其中 $B=[-\Omega /R,\Omega /R]$、$\eta$ 为归一约束 $w_R(0)=1$ 的拉格朗日乘子。

关键词：Birman–Kreĭn 公式；谱移函数；Wigner–Smith 延迟；de Branges–Kreĭn 规范系统；I-投影；Bregman 散度；Ky Fan 原理；Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin；Paley–Wiener 带限窗；窗化迹/LDOS

（全文完）