协变多通道“窗化散射—相位—密度“统一定理（CCS）

摘要（定性）

在 de Branges–Kreĭn 规范系统与多通道散射理论下，建立一个把三类“可观测读数“严密缝合的统一账本：相位导数 ${\partial }_E\arg \det S$、Wigner–Smith 矩阵迹 $\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q$ 与相对谱密度 $\mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)$。核心结果是窗化 Birman–Kreĭn 恒等式及其非渐近三分解误差闭合（Poisson 折叠项 + Euler–Maclaurin 余项 + 截断尾项），并在“相位刻度“下给出采样/插值的 Landau 型必要密度、Balian–Low 不可能性、多窗—多通道的广义 Wexler–Raz 双正交与稳定半径；同时给出带限强式 KKT 条件与最小实验闭环的可检验判据。该体系全部锚定于公认判据与原始文献。

0. 设定、记号与规范

0.1 规范系统与 Weyl–Titchmarsh

考虑（矩阵/多通道）de Branges–Kreĭn 规范系统

$$J{Y}^{\prime }(t,z)=zH(t)Y(t,z),J=\left(\begin{array}{cc}0& -I_n\\ I_n& 0\end{array}\right),H(t)⪰0.$$

其 Weyl–Titchmarsh 函数 $m:{\mathbb{C}}_{+}\to {\mathbb{C}}^{n\times n}$ 为矩阵值 Herglotz–Nevanlinna 函数（$\Im m(z)⪰0$），非切边界值满足标准密度公式

$$\mathrm{tr}\rho (E)=\frac{1}{\pi }\Im \mathrm{tr}m(E+i0)\text{(a.e.)}.$$

这是 de Branges 空间/规范系统与 Herglotz–Nevanlinna 理论的基本词典，见 Remling 与 de Branges 原著。

0.2 散射对、谱移与 Wigner–Smith

设 $(H,H_0)$ 为可散射对，且 $(H-i{)}^{-1}-(H_0-i{)}^{-1}\in {\mathfrak{S}}_1$。令 $S(E)$ 为多通道散射矩阵；无耗散时 $S(E)\in U(n)$（酉），存在损耗/开系统时 $S(E)$ 次酉。本文在酉情形下采用 ${\partial }_E\arg \det S=\mathrm{tr}Q$；一般（次酉）情形以 $\Im \log \det S$ 与复时间延迟推广。令 $\xi (E)$ 为谱移函数（SSF）。Birman–Kreĭn 公式给出

$$\det S(E)=\exp (\pm 2\pi i\xi (E)),{\xi }^{\prime }(E)=\mathrm{tr}(\rho (E)-{\rho }_0(E))\text{(a.e.)},$$

号记符号（$+$ 或 $-$）随文献约定而异；本文选取具体规范见下。

Wigner–Smith 矩阵定义为

$$Q(E)=-iS(E{)}^{†}\frac{dS}{dE}(E),$$

在酉散射时 $Q(E)=-i{S}^{†}{S}^{\prime }(E)$ 为 Hermitian（自伴），并且

$${\partial }_E\arg \det S(E)=\mathrm{tr}Q(E),\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(E)={\xi }^{\prime }(E)=\mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)(E).$$

存在耗散（$S$ 次酉）时改用 $\Im \log \det S$ 与复时间延迟推广（Chen–Anlage–Fyodorov, Phys. Rev. E, 2021）。

号记规范（统一取 $\hslash =1$）：本文固定 BK 正号

$$\det S(E)=\exp (2\pi i\xi (E)),{\xi }^{\prime }(E)=\mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)(E).$$

令 Wigner–Smith $Q(E)=-iS(E{)}^{†}\frac{dS}{dE}(E)$。则在酉散射下

$$\frac{d}{dE}\arg \det S(E)=\mathrm{tr}Q(E),\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(E)={\xi }^{\prime }(E)=\mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)(E).$$

若改用 BK 负号 $\det S=e^{-2\pi i\xi }$，上式仅整体改号，等式结构不变。

0.3 窗与傅里叶规范

取带限偶窗 $w\in {\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}$ 且 $w(0)=1$，缩放 $w_R(E)=w(E/R)$；前端核 $h$ 取 $C_c^m(\mathbb{R})$ 或 $W^{2M,1}$（在需要时明确假设）。统一采用

$$\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}f(E)e^{-iE\xi }dE,f(E)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}(\xi )e^{iE\xi }d\xi .$$

缩放窗的频域支撑为

$$\widehat{w_R}(\xi )=R\hat{w}(R\xi ),\mathrm{supp}\widehat{w_R}\subset [-\frac{\Omega }{R},\frac{\Omega }{R}]=:[-{\Omega }_w,{\Omega }_w].$$

约定 $w_R^{\star }(E):=w_R(-E)=w_R(E)$（偶窗），故 $\widehat{w_R^{\star }}=\widehat{w_R}$。

Poisson 求和（DLMF §1.8(iv)）与 Euler–Maclaurin（DLMF §2.10(i)）公式按 NIST DLMF 规范引用。

1. 窗化谱差与相位增量

定义 1（窗化泛函；矩阵/多通道）

记迹密度差 $\mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)$ 与散射矩阵 $S(E)$。对给定 $(h,w_R)$ 定义

$${\mathcal{S}}_{\mathrm{spec}}(h;R):={\int }_{\mathbb{R}}h(E)\mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)(E)w_R(E)dE,$$

$${\mathcal{S}}_{\mathrm{scat}}(h;R):=-\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\mathbb{R}}[h^{\prime }(E)w_R(E)+h(E)w_R^{\prime }(E)]\log \det S(E)dE,$$

无条件取虚部：${\mathcal{S}}_{\mathrm{scat}}(h;R)=-\frac{1}{2\pi }\int [h^{\prime }(E)w_R(E)+h(E)w_R^{\prime }(E)]\Im \log \det S(E)dE$。

（若已知酉散射，可用 $\arg \det S(E)$ 替代 $\Im \log \det S(E)$。）

其中 $\log \det S$ 取沿实轴的连续分支；阈值/共振点按分段与极限理解。因 $h\in C_c^1$（或 $W^{1,1}$）且 $w_R\in \mathrm{PW}\subset L^{\infty }$（带限 $L^2$ 函数按 Paley–Wiener/Bernstein 不等式天然有界：$|f(x)|\le \frac{1}{2\pi }\Vert \hat{f}{\Vert }_1\le \frac{1}{2\pi }\sqrt{2\Omega }\Vert \hat{f}{\Vert }_2=\sqrt{\frac{\Omega }{\pi }}\Vert f{\Vert }_2$，其中用到 Plancherel $\Vert f{\Vert }_2^2=(2\pi {)}^{-1}\Vert \hat{f}{\Vert }_2^2$），分部积分的两端边界项为 0。束缚态原子项可按 Lloyd–Kreĭn 正则化并入；束缚能级 $E_b$ 贡献为 ${\sum }_{b}h(E_b)w_R(E_b)$ 离散项。

2. 主定理（CCS）：窗化 Birman–Kreĭn 恒等与非渐近误差闭合

定理 A0（窗化 Birman–Kreĭn 恒等式；精确型）

在 §0 假设下，取 $h\in C_c^1(\mathbb{R})$（或 $W^{1,1}$），偶窗 $w_R\in L^{\infty }$（若需 Nyquist/无混叠判据，则进一步假设 $w_R\in \mathsf{PW}$ 且为带限偶窗）。若 $(H-i{)}^{-1}-(H_0-i{)}^{-1}\in {\mathfrak{S}}_1$，则存在可积的谱移函数 $\xi$（适当权重下）与谱移测度 $d\xi$，使 Birman–Kreĭn 公式

$$\det S(E)=\exp (2\pi i\xi (E))$$

与 Lifshitz–Kreĭn 迹公式成立。其绝对连续部分满足 ${\xi }^{\prime }(E)=\mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)(E)$（a.e.），离散原子对应束缚态。据此有精确恒等式

$$\boxed{{\mathcal{S}}_{\mathrm{spec}}(h;R)={\mathcal{S}}_{\mathrm{scat}}(h;R)},$$

即

$${\int }_{\mathbb{R}}h(E)\mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)(E)w_R(E)dE=-\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\mathbb{R}}[h^{\prime }(E)w_R(E)+h(E)w_R^{\prime }(E)]\log \det S(E)dE.$$

若取常值窗 $w_R\equiv 1$，则 $w_R^{\prime }=0$，得 ${\mathcal{S}}_{\mathrm{spec}}(h;R)=-\frac{1}{2\pi i}\int h^{\prime }(E)\log \det S(E)dE$。其中束缚态的原子项以 Lloyd–Kreĭn 正则化并入，$\log \det S$ 取沿实轴的连续分支。（注：该特例不具带限性，仅用于理论校核，不参与 Nyquist/Poisson 的“无混叠“判别。）此外在酉散射下几乎处处有

$$\boxed{{\partial }_E\arg \det S(E)=\mathrm{tr}Q(E)=2\pi \mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)(E)}.$$

说明：这是理论等式，不含数值误差。其来源为 BK 公式 $\det S=\exp (2\pi i\xi )$ 与 ${\xi }^{\prime }=\mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)$，以及 $\mathrm{tr}Q=-i\mathrm{tr}(S^{†}{S}^{\prime })=-i{\partial }_E\log \det S$（酉散射）。号记正负见 Borthwick 与 Strohmaier 等综述；本文统一取“BK 正号“，相应式子一致改号即可。

证明要点：

(i) 谱侧：由 Herglotz 表示与非切边界值 $\mathrm{tr}\rho ={\pi }^{-1}\Im \mathrm{tr}m(\cdot +i0)$ 得 ${\mathcal{S}}_{\mathrm{spec}}$ 的 Stieltjes 形式。

(ii) 散射侧：由 ${\partial }_E\log \det S(E)=2\pi i\mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)(E)$（BK 与 WS 链）得到 ${\mathcal{S}}_{\mathrm{spec}}=\frac{1}{2\pi i}\int h{w}_R{\partial }_E\log \det S$。对 $\int h^{\prime }{w}_R\log \det S$ 分部积分：$\int h^{\prime }{w}_R\log \det S=-\int h{w}_R{\partial }_E\log \det S-\int h{w}_R^{\prime }\log \det S$（因 $h\in C_c^1$ 且 $h{|}_{\partial \mathrm{supp}h}=0$，边界项为零）。据此得上述恒等式。∎

定理 A1（离散化/采样估计的非渐近三分解误差）

当用等距采样 + 有限和近似 ${\mathcal{S}}_{\mathrm{spec}}$ 或 ${\mathcal{S}}_{\mathrm{scat}}$ 时，近似误差分解为

$$\boxed{{\mathcal{E}}_R={\mathcal{E}}_{\mathrm{alias}}+{\mathcal{E}}_{\mathrm{EM}}+{\mathcal{E}}_{\mathrm{tail}}},$$

其中 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{alias}}$ 来自 Poisson 折叠（Nyquist 条件下可为 0），${\mathcal{E}}_{\mathrm{EM}}$ 由 Euler–Maclaurin 公式给出有限阶余项上界，${\mathcal{E}}_{\mathrm{tail}}$ 由窗外截断产生。Poisson 与 EM 条目见 NIST DLMF §1.8(iv), §2.10。

工作定义：令 $F(E)=w_R(E)(h\star g)(E)$，$g(E)=\mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)(E)$。用步长 $\Delta$ 在 $[a,b]$ 等距采样，取有限和 $\Delta {\sum }_{k:E_k\in [a,b]}F(E_k)$ 近似 ${\int }_a^{b}F(E)dE$。其近似误差分解为别名项 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{alias}}$（由 Poisson 给出，Nyquist 下为 0）、EM 余项 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{EM}}$（要求 $F\in C^{2p}([a,b])$ 或足够光滑）、以及尾项 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{tail}}$（由 $|E|>T$ 的截断引入）。带限与 Nyquist 条件下 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{alias}}=0$。∎

命题 A.1（alias 消失的带宽判据）

本命题以下取 $h\in {\mathrm{PW}}_{{\Omega }_h}$（$\mathrm{supp}\hat{h}\subset [-{\Omega }_h,{\Omega }_h]$）。若 $h\notin \mathrm{PW}$，则 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{alias}}$ 仅能以 ${\int }_{|\xi |>{\Omega }_h}|\hat{h}(\xi )|d\xi$ 计的尾项给出上界，不保证为 0（DLMF §1.8(iv)）。

被观测量（前端滤波后）：设 $g(E)=\mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)(E)$，$g_h:=h\star g$。离散采样与 Poisson-alias 分析针对

$$F(E):=w_R(E)g_h(E)=w_R(E)(h\star g)(E).$$

（连续积分的理论恒等式仍以 $h\times g$（点乘）记；采样/alias 分析采用 $g_h=h\star g$。）若 $\mathrm{supp}\widehat{w_R}\subset [-{\Omega }_w,{\Omega }_w]$、$\mathrm{supp}\hat{h}\subset [-{\Omega }_h,{\Omega }_h]$，则因 $\mathrm{supp}(\hat{h}\cdot \hat{g})\subset \mathrm{supp}\hat{h}\cap \mathrm{supp}\hat{g}$，被观测量的频域支集满足

$$\mathrm{supp}\hat{F}=\mathrm{supp}(\widehat{w_R}\ast (\hat{h}\cdot \hat{g}\left)\right)\subset [-({\Omega }_w+{\Omega }_h),{\Omega }_w+{\Omega }_h].$$

当采样间隔 $\Delta$ 满足

$$\boxed{\Delta <\frac{\pi }{{\Omega }_w+{\Omega }_h}},$$

（或“$\le$“且端点强零）则 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{alias}}=0$。更一般地，若 $\mathrm{supp}\hat{F}\subset [-{\Omega }_F,{\Omega }_F]$ 且 $\Delta <\pi /{\Omega }_F$（或 $\le$ 且端点强零），则 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{alias}}=0$。在本文框架下 ${\Omega }_F\le {\Omega }_w+{\Omega }_h$。该 Nyquist 条件与 Poisson 折叠阈值 $|\xi |=\pi /\Delta$ 一致（DLMF §1.8(iv)）。

命题 A.2（EM 余项与尾项上界）

若 $F\in C^{2p}([a,b])$，则至 $2p$ 阶 EM 公式给出

$$\left|{\mathcal{E}}_{\mathrm{EM}}\right|\le C_{2p}\underset{x\in [a,b]}{\sup }|F^{(2p)}(x)|,\left|{\mathcal{E}}_{\mathrm{tail}}\right|\le \Vert h{\Vert }_{L^1}\Vert w_R{1}_{|E|>T}{\Vert }_{L^{\infty }}\Vert \mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0){\Vert }_{L^1(|E|>T)}.$$

其中 $C_{2p}$ 由 Bernoulli 数 $B_{2p}$ 给定（DLMF §2.10.E1；Bernoulli 数规范见 §4.19）；Bernoulli 多项式与常数均取自 DLMF。

3. 相位—密度等价与 Wigner–Smith（矩阵/多通道）

定理 B（Weyl–de Branges 密度等价）

规范系统的 Weyl 函数满足

$$\boxed{\mathrm{tr}\rho (E)=\frac{1}{\pi }\Im \mathrm{tr}m(E+i0)\text{(a.e.)}}.$$

（Herglotz 表示 + 非切边界值；矩阵情形取迹。）

定理 C（Friedel/WS 链：相位导数 = 相对密度）

在 §0.2 条件与本文号记规范下，当 $S(E)$ 酉时，$Q(E)=-i{S}^{†}{S}^{\prime }(E)$ 为 Hermitian，且几乎处处

$$\boxed{{\partial }_E\arg \det S(E)=\mathrm{tr}Q(E),\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(E)={\xi }^{\prime }(E)=\mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)(E).}$$

酉/非酉条件分叉：当 $S(E)$ 酉时，$Q(E)$ 为 Hermitian，且 ${\partial }_E\arg \det S(E)=\mathrm{tr}Q(E)$，$\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(E)={\xi }^{\prime }(E)=\mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)(E)$。$Q$ 为 Hermitian 但不必半正定（混合通道、阈值附近可能出现负特征值）。当存在损耗（$S$ 次酉）时，采用 Chen–Anlage–Fyodorov 的复时间延迟推广（Phys. Rev. E 103, L050203 (2021)），此时 $Q$ 不再必为 Hermitian/半正定，相关等价需要相应解释。

4. 采样—插值—帧障碍：以“相位密度“计量

以相位刻度度量区间 $I$：

$$L_{\phi }(I):={\int }_I{\phi }^{\prime }(E)dE=\pi {\int }_I\mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)(E)dE.$$

相位与正性假设：定义

$$\Theta (E):=\{\begin{array}{ll}\arg \det S(E),& \text{酉散射},\\ \Im \log \det S(E),& \text{次酉（复时间延迟）},\end{array}\phi (E):=\frac{1}{2}\Theta (E).$$

在酉情形几乎处处有 ${\phi }^{\prime }(E)=\pi \mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)(E)$；次酉时 $\phi$ 作为相位刻度使用，与密度的点态等式需按 §3 的推广理解（仍由窗化主等式得到积分/窗口化层面的等价）。为避免阈值/共振导致的相位跃迁，请将能段 $I$ 细分为若干子段，在每段内满足 ${\phi }^{\prime }(E)\ge c_0\ge 0$（必要时剔除零测集）。据此 $u=\phi (E)/\pi$ 在每段内单调。

在相位坐标 $u=\phi (E)/\pi$ 下，对应函数族等价于带宽 $\pi$ 的 Paley–Wiener 模型（归一化后阈值常数为 1），从而可直接调用 Landau 的必要密度结论与 Balian–Low 的不可能性（临界密度下单窗良好局域 $\Rightarrow$ 无 Riesz 基/紧框架）。详见 Landau 原文（Acta Math., 1967）与 Encyclopedia of Math/Heil 的综述。

定理 D（Landau 必要密度：相位刻度版）

设 $\Lambda \subset I$。若 $\Lambda$ 为采样序列，则

$${\underline{D}}_{\phi }(\Lambda ):=\underset{r\to \infty }{\mathrm{liminf}}\underset{\begin{array}{c}J\subset I\\ L_{\phi }(J)\ge r\end{array}}{\inf }\frac{\#(\Lambda \cap J)}{L_{\phi }(J)}\ge 1;$$

若 $\Lambda$ 为插值序列，则

$${\overline{D}}_{\phi }(\Lambda ):=\underset{r\to \infty }{\mathrm{limsup}}\underset{\begin{array}{c}J\subset I\\ L_{\phi }(J)\ge r\end{array}}{\sup }\frac{\#(\Lambda \cap J)}{L_{\phi }(J)}\le 1.$$

这是 Landau 定理在相位坐标下的直推，其中“1“对应单位带宽。

推论 D.1（Balian–Low 不可能性与多窗必要性）

临界密度下（即 ${\underline{D}}_{\phi }=1$；在相位坐标归一化模型下对应于 Gabor 临界密度 $ab=1$ 的情形）若要求单窗良好相位—频率局域，则不能形成 Riesz 基/紧框架；稳定采样需多窗/超采样或放宽局域性。该版本为帧/基不可兼得型 Balian–Low 定理（参见 Encyclopedia of Math；Heil 综述关于密度定理的历史与演变，以及 Landau (Acta Math., 1967)）。

5. 多窗—多通道扩展与稳定半径

结构定理 E（多窗帧与广义 Wexler–Raz）

在 ${\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}$ 上取 $K$ 个窗 $W=(w^{(1)},\dots ,w^{(K)})$。对应的分析/合成算子诱导 Gram 矩阵 $G$。存在对偶窗族 $\tilde{W}$ 使得重构稳定，且满足广义 Wexler–Raz 双正交；当 $K=1$ 且仅施加带限与区间能量集中约束时，频域收敛到 Slepian–Pollak（PSWF）情形。

稳定半径（条带解析与 Rouché 定理）

若 $(H-i{)}^{-1}-(H_0-i{)}^{-1}\in {\mathfrak{S}}_1$、谱移测度 $d\xi$ 在有界区间上全变差有限，且 $h,w_R\in \mathsf{PW}\cap L^1$，则分布卷积

$$g_h(z):=⟨{\xi }^{\prime },h(z-\cdot )⟩$$

在任意有界条带 $\{z:|\Im z|<\tau \}$ 内解析，且 $F(z)=w_R(z)g_h(z)$ 同样在该条带解析并指数型增长有界。

因此若在某有界条带域 $D$ 上

$$\underset{\partial D}{\min }|F|>\Vert \delta F{\Vert }_{L^{\infty }(\partial D)},$$

则由 Rouché 定理得 $D$ 内零点计数不变，从而得到零/极点位置的稳定半径（可用于相位跃迁与谱线定位的鲁棒性评估）。

在有限阶 EM 与 Nyquist–Poisson–EM 纪律下，窗化与近似不引入新奇点，极阶不升。

6. 窗/核优化的带限强式（KKT）

考虑目标“最小化三分解误差 + 结构正则“的凸/变分问题。其频域必要条件（强式）具有带限投影 ×（多项式乘子 + 卷积核）= 常数的范式，例如

$${\chi }_{[-\Omega /R,\Omega /R]}(\xi )\left(2\sum _{j=1}^{M-1}{\gamma }_j{\xi }^{4j}\widehat{w_R}(\xi )+\frac{\lambda }{2\pi }(\widehat{1_{|E|>T}}\ast \widehat{w_R})(\xi )\right)=\eta {\chi }_{[-\Omega /R,\Omega /R]}(\xi ),$$

其中 $\eta$ 为约束 $w_R(0)=1$ 的乘子；傅里叶规范中的 $1/(2\pi )$ 因子须与 §0.3 保持一致。该式与广义 Wexler–Raz/帧定理接口良好，可作实际求解与正则化设计的 Euler–Lagrange 形式。

7. 可检验预测与最小实验闭环

观测量（同步测量）

（i）${\delta }^{\prime }(E)={\partial }_E\arg \det S(E)$：由多端口 S 参数频扫与相位展开获得；

（ii）LDOS：${\mathrm{LDOS}}_i(E)=-\frac{1}{\pi }\Im G_{ii}^r(E)$，由隧穿谱或场点读数获得（电/声/电磁体系适用）。标准公式为 $\mathrm{LDOS}(\mathbf{r},E)=-(\pi {)}^{-1}\Im G^r(\mathbf{r},\mathbf{r};E)$；其与散射相位/矩阵的联系可由 Green 函数或 S 参数两路推得，参见 Souma–Suzuki（Phys. Rev. B 65, 115307 (2002)）。光子/声子体系的 LDOS 亦沿用该定义（参见 Phys. Rev. E 63, 046612 (2001) 及 69, 016609 (2004) 光子晶体实例）。

采样管线约定：进行等距采样与 Poisson-alias 检验时，先构造 $g_h:=h\star {\mathrm{LDOS}}_{\mathrm{rel}}$，实际被采样函数为 $F=w_R\cdot g_h$。

定义（相对 LDOS 的迹化/总和）：设观测点（或通道）集合为 $\{x_i{\}}_{i=1}^N$。定义

$${\mathrm{LDOS}}_{\mathrm{rel}}(E):=\sum _{i=1}^N({\mathrm{LDOS}}_i(E)-{\mathrm{LDOS}}_{0,i}(E)),$$

其中 ${\mathrm{LDOS}}_i(E)=-\frac{1}{\pi }\Im G_{ii}^r(E)$。在连续模型下等价地记

$${\mathrm{LDOS}}_{\mathrm{rel}}(E):=-\frac{1}{\pi }\Im \mathrm{tr}(G^r(E)-G_0^r(E)).$$

据此有 ${\mathrm{LDOS}}_{\mathrm{rel}}(E)=\mathrm{tr}(\rho (E)-{\rho }_0(E))$，从而与定理 A 中的谱侧 integrand 完全一致。

主等式验证（单/多通道）

$$\boxed{\int h(E){\mathrm{LDOS}}_{\mathrm{rel}}(E)w_R(E)dE=-\frac{1}{2\pi }\int [h^{\prime }(E)w_R(E)+h(E)w_R^{\prime }(E)]\Im \log \det S(E)dE+{\mathcal{E}}_R}.$$

注：${\mathrm{LDOS}}_{\mathrm{rel}}=\mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)$，相位—LDOS 关系参见 Souma–Suzuki（Phys. Rev. B 65, 115307 (2002)）。酉散射时可用 $\arg \det S$ 替代 $\Im \log \det S$。若 $w_R\equiv 1$，得 $\int h{\mathrm{LDOS}}_{\mathrm{rel}}=-\frac{1}{2\pi }\int h^{\prime }\Im \log \det S+{\mathcal{E}}_R$。

并在（a）亚 Nyquist（有 alias）与（b）满足 Nyquist（无 alias）两端对比三分解误差的关断/收敛；“Wigner–Smith 均时延 = 开放体系 DOS“提供独立交叉核验。

采样—帧判据（相位刻度）

按定理 D 估计相位密度下界与插值上界：在临界密度验证单窗失败，改用多窗/超采样后恢复稳定（推论 D.1 与定理 E）。

8. 与前序理论的接口

8.1 与 Euler 理论系列（S15–S26）的联结

与 S15（Weyl–Heisenberg）：

• CCS 的相位刻度 $L_{\phi }(I)=\pi {\int }_I\mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)$ 对应 S15 的 Weyl–Heisenberg 酉表示；
• 定理 D 的临界密度对应 S15 的格点面积约束。

与 S16（de Branges 规范系统）：

• 定理 B 的 Weyl 密度公式 $\mathrm{tr}\rho ={\pi }^{-1}\Im \mathrm{tr}m$ 即 S16 的规范系统基本词典；
• §0.1 的 Hamiltonian 形式 $J{Y}^{\prime }=zHY$ 对应 S16 的辛结构。

与 S17（散射—酉性）：

• 定理 A 的 Birman–Kreĭn 公式 $\det S=\exp (2\pi i\xi )$ 与 S17 的散射相位—行列式公式一致；
• 定理 C 的相位导数 ${\partial }_E\arg \det S=2\pi \mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)$ 对应 S17 的散射延迟时间。

与 S18（窗不等式）：

• 命题 A.1 的 Nyquist 条件 $\Delta \le \pi /({\Omega }_w+{\Omega }_h)$ 即 S18 的带限乘积 alias 条件；
• 定理 A 的三分解误差对应 S18 的 Nyquist–Poisson–EM 框架。

与 S19（光谱图）：

• 相位密度刻度对应 S19 的图谱局部密度；
• 定理 D 的 Landau 型下界对应 S19 的非回溯算子谱分布。

与 S20（BN–Bregman）：

• §6 的 KKT 强式对应 S20 的 Bregman 几何最优性条件；
• 窗化泛函的变分问题对应 S20 的 I-投影框架。

与 S21（连续谱阈值与奇性稳定）：

• 定理 A 的相位导数 ${\partial }_E\arg \det S=2\pi \mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)$ 即 S21 的核心恒等式；
• 命题 A.2 的 EM 余项对应 S21 的有限阶 EM 奇性保持。

与 S22（窗/核最优）：

• §6 的带限强式 KKT 对应 S22 的频域核型 Euler–Lagrange 方程；
• 命题 A.1 的 Nyquist 条件对应 S22 的带限偶窗变分原理。

与 S23（多窗协同）：

• 定理 E 的广义 Wexler–Raz 对应 S23 的多窗双正交关系；
• 多通道扩展对应 S23 的多窗 Gram 矩阵框架。

与 S24（紧框架）：

• 定理 D 的采样/插值密度对应 S24 的帧界判据；
• 推论 D.1 的临界密度对应 S24 的 Parseval 紧帧条件。

与 S25（非平稳框架）：

• 定理 E 的多窗帧对应 S25 的分块非平稳系统；
• 命题 A.1 的 alias 消失对应 S25 的“无混叠“条件。

与 S26（相位密度与稳定性）：

• 定理 D 的相位密度刻度 $L_{\phi }$ 即 S26 的 Beurling 密度 $D_{\phi }^{\pm }$；
• 推论 D.1 的 Balian–Low 障碍即 S26 定理 5.1；
• 稳定半径对应 S26 定理 4.1 的 Kadec–Bari 型小扰动稳定。

8.2 与量子测量理论的联结

与相位导数窗口化读数理论：

• 定理 A 的窗化 Birman–Kreĭn 恒等与相位导数窗口化读数的 Nyquist–Poisson–EM 三分解一致；
• §7 的 LDOS 读数对应窗口化测量的 Born 概率。

与统一测量理论：

• 定理 C 的相位—密度—延迟三重等价对应统一测量的“Born = 最小 KL，Pointer = 最小能量“；
• §6 的 KKT 强式对应窗/核优化的变分原理。

与 Trinity 定理：

• CCS 的三重等价（相位导数 ↔ Wigner–Smith ↔ 相对密度）对应 Trinity 定理的三位一体；
• 定理 A 的非渐近误差闭合对应 Trinity 定理的误差分解框架。

8.3 与 EBOC-Graph 的联结

• §7 的可检验预测对应 EBOC-Graph 的“Born = I-投影，Pointer = 光谱极小，Windows = 极大极小“；
• 定理 D 的采样密度下界对应 EBOC-Graph 的资源下界 $N=\Omega (r^{-2})$；
• 窗化散射—相位—密度恒等式为 EBOC-Graph 提供图谱实现的连续谱对应。

9. 讨论与展望

• 相位导数 = 密度（S21）：本文以 ${\partial }_E\arg \det S=2\pi \mathrm{tr}(\rho -{\rho }_0)$ 与 $\frac{1}{\pi }\Im m$ 的 Weyl 边界值为桥，统一“相位—密度“两端。
• 三分解误差闭合（S18）：Poisson/EM/Tail 的非渐近误差模板与 Nyquist 判据对齐，实现“何时 alias 为零、何时只剩 EM/tail“。
• 窗/核最优（S22）与多窗帧（S23）：频域强式/KKT、广义 Wexler–Raz 与 PSWF 极限回收在本文统一框架中直接调用。
• 读数三位一体（EBOC–Graph）：在工程侧，“$\mathrm{Born}=$KL 投影、$\mathrm{Pointer}=$谱极小、$\mathrm{Windows}=$极大极小最优“与本文 CCS 的窗化散射—相位—密度恒等式自然拼合成可测—可控闭环。

参考文献（精选与可核对条目）

1. Louis de Branges, Hilbert Spaces of Entire Functions, Prentice-Hall, 1968（HB/EB 空间原典）。
2. Christian Remling, Spectral Theory of Canonical Systems, De Gruyter, 2018（规范系统现代教科书）。
3. A. Strohmaier 等, The Birman–Kreĭn formula for differential forms and electromagnetic scattering, Bull. London Math. Soc., 2023（BK 现代处理；含号记说明）。
4. D. Borthwick, Birman–Kreĭn and scattering phase, arXiv:2110.06370（BK 与相位/波迹联系；号记差异与相位导数关系）。
5. J. Behrndt, M. Malamud, H. Neidhardt, Trace formulae for dissipative and coupled scattering systems（解算子差为迹类时 SSF 的存在与 BK 成立）。
6. A. Grabsch, D.V. Savin, C. Texier, Wigner–Smith time-delay matrix in chaotic cavities with non-ideal contacts, Phys. Rev. E, 2018（WS 矩阵综述/统计与 DOS 关系）。
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13. Y. V. Fyodorov, D. V. Savin, Resonance scattering of waves in chaotic systems, in The Oxford Handbook of Random Matrix Theory (2011)（DOS–散射矩阵关系综述）。
14. S. Souma, A. Suzuki, Local density of states and scattering matrix in quasi-one-dimensional systems, Phys. Rev. B 65, 115307 (2002)（LDOS 与 S 矩阵/相位联系的标准公式）。
15. A. Asatryan 等, Two-dimensional Green’s function and local density of states in photonic crystals, Phys. Rev. E 63, 046612 (2001)；A. A. Asatryan 等, Density of states functions for photonic crystals, Phys. Rev. E 69, 016609 (2004)（光子晶体中 LDOS 的 Green 函数定义与实算）。

结论

本文给出一个可直接验证的统一框架：

$$\boxed{{\partial }_E\arg \det S(E)⟺\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(E)⟺\mathrm{tr}(\rho (E)-{\rho }_0(E))},$$

并在带限窗与Poisson–EM 三分解的非渐近纪律下给出误差闭合、相位刻度的 Landau 必要密度、Balian–Low 不可能性、多窗—多通道广义 Wexler–Raz 与稳定半径，以及面向实验的最小闭环判据。其每一步均有公认判据作背书，亦与本项目 S15–S26 的 Euler 理论系列、量子测量理论（相位导数窗口化读数、统一测量、Trinity 定理）以及 EBOC-Graph 的工程—物理—数学三端接口严丝合缝。该框架将散射理论、规范系统、相位密度与窗化测量统一到协变多通道框架，为实验可检验预测与理论可复核判据提供完整的数学脊梁。