WSIG-QM（Windowed Scattering & Information Geometry for Quantum Mechanics）

—— 一套统一的量子概念定义与判据体系（含完整证明）

作者：Auric（S-series / EBOC 体系）

版本：v1.4a（逻辑完全闭合，已完成同行审阅修订；可直接并入 S15–S26、euler-quantum 理论系列、EBOC-Graph）

摘要（定性）

以 de Branges–Kreĭn（DBK）规范系统与带权 Mellin 空间为载体，将现实仪器的有限带宽/时间窗显式并入谱测度，形成窗口化读数框架；以 KL/Bregman 信息几何刻画“提交（塌缩/commit）“；以散射相位—谱密度—Wigner–Smith 延迟作为能量刻度；以 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（三分解）闭合非渐近误差；以帧/采样密度与窗/核的变分最优保证可实现性与稳定性。核心统一式为

$$\boxed{{\phi }^{\prime }(E)=-\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)}(\text{a.e.})$$

将（单/多通道）散射相位导数、相对局域态密度（LDOS）与 Wigner–Smith 延迟统一；并在信息几何下得到Born 概率 = 最小-KL 投影（I-projection），而“指针基“即窗口化读数算子的光谱极小。上述判据与 Herglotz–Weyl、Birman–Kreĭn、Wigner–Smith、Ky Fan、Poisson/EM 等标准结果一致，可直接互证与落地。

0. 记号与底座（Notation & Baseplates）

0.1 DBK 规范系统与 Herglotz–Weyl 词典

取一阶辛型规范系统 $J{Y}^{\prime }(t,z)=zH(t)Y(t,z)$（$H⪰0$），其 Weyl–Titchmarsh 函数 $m:{\mathbb{C}}^{+}\to {\mathbb{C}}^{+}$ 为 Herglotz 类，具有表示

$$m(z)=az+b+{\int }_{\mathbb{R}}(\frac{1}{t-z}-\frac{t}{1+t^2})d\mu (t),a\ge 0,b\in \mathbb{R},$$

且 $\Im m(E+i0)=\pi \rho (E)$（a.e.）。这给出连续谱的绝对连续密度 $\rho$ 并与 DBK 框架相容。

0.2 Weyl–Heisenberg（相位—尺度）表象（Mellin 版）

在带权 Mellin 空间 ${\mathcal{H}}_a=L^2({\mathbb{R}}_{+},x^{a-1}dx)$ 上定义

$$(U_{\tau }f)(x)=x^{i\tau }f(x),(V_{\sigma }f)(x)=e^{\sigma a/2}f(e^{\sigma }x),$$

满足 Weyl 关系 $V_{\sigma }{U}_{\tau }=e^{i\tau \sigma }{U}_{\tau }{V}_{\sigma }$。经 $x=e^t$ 的幂-对数同构，${\mathcal{H}}_a$ 与 $L^2(\mathbb{R})$ 的 Weyl–Heisenberg/Gabor 框架等距并行，可作相位—尺度运动学底座。

0.3 有限阶 EM / Poisson 三分解纪律

母映射与一切离散—连续换序仅采用有限阶 Euler–Maclaurin（EM），并以“别名（Poisson）+ Bernoulli 层（EM）+ 尾项“三分解闭合误差；“带限 + Nyquist“时别名项为零。Poisson 求和与采样判据采用角频率规范（$\Omega$ 单位：rad/单位(E)；单位换算：若改用赫兹 $B$，有 $B=\Omega /(2\pi )$，此时切换到 $T_s\le 1/(2B)$；若以时间 $t$ 为自变量时单位为 rad/s）。语境切换说明：能量域采样步长记为 ${\Delta }_E$（或简记 $\Delta$），时间域采样周期记为 $T_s$，二者通过 Fourier 对偶联系（${\Delta }_E\cdot {\Omega }_F\le \pi$ 等价于 $T_s\cdot B_F\le 1/2$，其中 $B_F={\Omega }_F/(2\pi )$ 为赫兹带宽）。Poisson/EM 的换序与求导按 $F\in C^{2M}\cap L^1$（或 Schwartz 类）理解。

0.4 规范与号记

Fourier/Parseval 规范对照表：

Birman–Kreĭn 采用

$$\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}.$$

本文固定上式。等价链路桥（$\det S$–$\xi$–$\mathsf{Q}$ 三者关系）： $$\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-i{\partial }_E\ln \det S(E)=-2\pi {\xi }^{\prime }(E);$$ 因此对任意通道数 $N$，有 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-2\pi {\xi }^{\prime }(E)$；单通道 $S=e^{2i\phi }$ 时 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=2{\phi }^{\prime }(E)$，故 ${\phi }^{\prime }(E)=-\pi {\xi }^{\prime }(E)$（与 ${\rho }_{\mathrm{rel}}={\xi }^{\prime }$ 一致）。号记替代声明：若读者采用的文献使用 $\det S=e^{+2\pi i\xi }$ 规范（某些物理文献中出现），需同步作变换 $\phi \mapsto -\phi$ 与 $\xi \mapsto -\xi$ 才能保持所有物理量（如 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$、${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 等）不变；本文所有推导均基于上述 $e^{-2\pi i\xi }$ 规范执行。

统一规范：本文所有 Parseval 关系与卷积/乘积的 $\frac{1}{2\pi }$ 因子均按上述规范执行；后文不再重复说明。

0.5 投影算子记号统一

本文固定频域投影为 $P_B^{(\xi )}:\hat{f}\mapsto {\chi }_B\hat{f}$（其中 ${\chi }_B$ 为频带 $B=[-\Omega ,\Omega ]$ 的特征函数），其在能量域的积分核实现记为 ${\Pi }_B$，即

$$({\Pi }_{B}f)(E)={\int }_{\mathbb{R}}{k}_B(E-E^{\prime })f(E^{\prime })d{E}^{\prime },k_B(t)=\frac{\sin (\Omega t)}{\pi t}.$$

在 T6 等变分方程中一律使用 $P_B^{(\xi )}$（频域投影）；在 A4/T3 的核—迹类/Hilbert–Schmidt 论证中使用 ${\Pi }_B$（能量域积分算子）。此区分避免“先卷积后投影“与“投影即卷积“的混淆。

1. 公理（Axioms）

A1（载体与协变）：量子态置于 $\mathcal{H}(E)$ 或 ${\mathcal{H}}_a$；相位—尺度协变由 $(U_{\tau },V_{\sigma })$ 的 Weyl–Heisenberg 射影酉表示实现（Stone 定理：强连续一参数酉群 $\iff$ 自伴生成元；Stone–von Neumann：Weyl 关系的不可约表象本质唯一）。

A2（可观测量与窗口化读数）：仪器窗 $w_R$ 与带限响应核 $h\in L^1$ 作用在态的连续谱密度上，定义窗口化读数

$$\boxed{⟨K_{w,h}{⟩}_{\rho }={\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)[h\ast {\rho }_{\star }](E)dE}.$$

其中 ${\rho }_{\star }$ 可为 ${\rho }_{\mathrm{abs}}$（绝对连续谱密度，即 ${\mu }_{\rho }^{\mathrm{ac}}$ 的密度）或 ${\rho }_{\mathrm{rel}}={\rho }_{\mathrm{abs}}-{\rho }_{0,\mathrm{abs}}$（相对密度）。在“无模糊硬极限“ $h\to \delta$ 时回收 $\int w_R(E){\rho }_{\star }(E)dE$。读数受三分解误差控制。

（测度版与可积性/卷积的充分条件见 §2 的 D3；当 ${\rho }_{\star }={\rho }_{\mathrm{rel}}$ 为符号密度时，读数可为负，但三分解误差账本不变。）

实现提示：本文后续默认启用 §2-D3 的正则性充分条件（$w_R,h\in {\mathsf{PW}}_{\Omega }\cap W^{2M,1}$ 或等价可替代条件），以保证 Poisson–EM–Tail 误差闭合与测度卷积的合法性。

A3（概率—信息一致性）：提交（collapse/commit）= 在装置/窗口约束上的最小-KL 投影（I-projection）；PVM 硬极限回到 Born。

A4（指针基）：“指针基“定义为窗算子 $W_R=\int w_{R}d{E}_A$ 的最小谱值对应的谱投影子空间（Ky Fan“最小和”；若最小谱值不被取到，则取 $\epsilon \downarrow 0$ 的极限子空间）；存在性与可检条件：若 $w_R\in L^{\infty }$ 则 $W_R$ 为有界自伴；若进一步 $w_R\in L^2(\mathbb{R})$（例如有限支撑窗），则令 $k_B(t)=\sin (\Omega t)/(\pi t)$，有：

在带限投影 ${\Pi }_B$ 下，统一采用 ${\Pi }_B{M}_{w_R}$ 记号。其积分核为 $K(x,y)=k_B(x-y)w_R(y)$。由 L3.3a 知 $\Vert k_B{\Vert }_{L^2}^2=\Omega /\pi <\infty$（由 Plancherel 或标准积分公式 ${\int }_{-\infty }^{\infty }(\sin ax/x{)}^{2}dx=\pi a$ 可得）；HS 核验一行式：

$$\Vert K{\Vert }_{L^2({\mathbb{R}}^2)}^2={\int }_{{\mathbb{R}}^2}|k_B(x-y){|}^2|w_R(y){|}^{2}dxdy=\Vert k_B{\Vert }_{L^2}^2\Vert w_R{\Vert }_{L^2}^2=\frac{\Omega }{\pi }\Vert w_R{\Vert }_{L^2}^2<\infty ,$$

故由 Fubini–Tonelli 定理得 ${\Pi }_B{M}_{w_R}$ 为 Hilbert–Schmidt，继而 ${\Pi }_B{M}_{w_R}{\Pi }_B$ 亦为 Hilbert–Schmidt/紧（HS 核定理：若积分核 $K\in L^2({\mathbb{R}}^2)$ 则对应的积分算子为 Hilbert–Schmidt 算子，进而为紧算子；此为泛函分析标准结果）。反例提示：仅凭 $w_R\in L^{\infty }$ 与 ${\Pi }_B$ 不足以推出 HS（投影算子 ${\Pi }_B$ 紧当且仅当像有限维，而 ${\Pi }_B$ 的像无限维）。**本文后续一律采用此统一表述。**若 $W_R$ 为紧自伴或其最小谱值 ${\lambda }_{\min }$ 为孤立本征值（存在谱隙），则“指针基“为对应的最小本征子空间；若最小谱值不被取到，则以谱投影 $P_{(-\infty ,{\lambda }_{\min }+\epsilon ]}$ 的极限子空间定义“近指针基“（$\epsilon \downarrow 0$）。在谱隙存在时可用 Ky Fan 与 Davis–Kahan（谱隙稳定）给出极小谱子空间的稳定性。仪器核 $h$ 仅影响读数与误差，不改变 $W_R$ 的谱结构。

A5（相位—密度—延迟刻度）：若 $(H,H_0)$ 满足相对迹类/平滑散射等标准正则性（见 L3.5），则在绝对连续谱上几乎处处

$$\boxed{{\phi }^{\prime }(E)=-\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)}(\text{a.e. on }{\sigma }_{\mathrm{ac}})$$

其中 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)={\xi }^{\prime }(E)$，$\mathsf{Q}:=-i{S}^{†}\frac{dS}{dE}$（单位制 $\hslash =1$）。号约定：本文统一采用 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$，故 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)={\partial }_E\arg \det S(E)=-2\pi {\xi }^{\prime }(E)$，从而 ${\phi }^{\prime }(E)=-\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$。上述等式在绝对连续谱上几乎处处成立；阈值或共振邻近处，一律按 ${\lim }_{ϵ\downarrow 0}$ 的非切向极限或分布意义（主值 + 奇点部分）解释，此与 Herglotz 边界值 $\Im m(E+i0)=\pi \rho (E)$ 保持一致。lossless 假设下 $S(E)$ 酉；若存在吸收/开放通道，$\mathsf{Q}$ 不再必然自伴，需改用相应非酉散射表述（本稿不涵盖）。

正则性公设清单：在 ${\sigma }_{\mathrm{ac}}$ 上，$S(E)$ 酉且 a.e. 可微；$\mathsf{Q}(E)=-i{S}^{†}{\partial }_{E}S$；$\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}\Rightarrow \mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-2\pi {\xi }^{\prime }(E)$；单通道 $S=e^{2i\phi }\Rightarrow {\phi }^{\prime }=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$；阈值/共振处取非切向极限或分布解释，与 Herglotz–Nevanlinna 的 $\frac{1}{\pi }\Im m(E+i0)=\rho (E)$ 一致。能量刻度使用 $\hslash =1$。号记替代：若读者改用 $\det S=e^{+2\pi i\xi }$ 规范，需同步作 $\phi \mapsto -\phi$ 方保持物理量不变；此提醒后文不再重复。

A6（窗/核最优与多窗协同）：窗 $w\in {\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}$；目标为三分解误差上界极小；必要条件为频域“多项式乘子 + 卷积核“的带限投影-KKT 方程；多窗版以广义 Wexler–Raz 双正交与帧算子刻画 Pareto 前沿与稳定性。

A7（阈值与奇性稳定）：在“有限阶 EM + Nyquist–Poisson–EM“纪律下，窗化/换序不生新奇点；零集计数在 Rouché 半径内稳定且可检。

2. 基本定义（Definitions）

D1（态）：纯态 $\psi \in \mathcal{H}$（$|\psi |=1$）；混合态 $\rho ⪰0$、$\mathrm{tr}\rho =1$。

D2（可观测量）：自伴 $A$ 与谱投影 $E_A$。

D3（窗口化读数与正则性条件）：$⟨K_{w,h}{⟩}_{\rho }=\int w_R[h\ast {\rho }_{\star }]dE$，其中 ${\rho }_{\star }$ 可为 ${\rho }_{\mathrm{abs}}$（${\mu }_{\rho }$ 的绝对连续部分密度）或 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$（相对密度）。测度视角可写作 $d(h\ast {\mu }_{\rho })=h\ast d{\mu }_{\rho }$（$h\in {\mathsf{PW}}_{\Omega }\cap L^1$，对 Radon 测度的标准卷积）。正则性与可积性充分条件：为确保三分解（Poisson–EM–Tail）的余项界成立且测度卷积合法，取

$$w_R\in {\mathsf{PW}}_{\Omega }\cap W^{2M,1}(\mathbb{R}),h\in {\mathsf{PW}}_{\Omega }\cap W^{2M,1}(\mathbb{R}),$$

并任选其一：

实际实现优先以 (c) 为准，其次 (b)，(a) 仅用于理论完备；可任选其一：

(c) $w_R$ 紧支撑且 $w_R\in W^{2M,1}(\mathbb{R})$，从而 $F=w_R(h\ast {\rho }_{\star })\in L^1$ 与 $F^{(2M)}\in L^1$ 仍成立（工程首选）；

(b) ${\rho }_{\star }\in L^1(\mathbb{R})$（或 $L^1\cap L^{\infty }$ 或具足够加权可积性）且 $h\in \mathcal{S}$，则 $h\ast {\rho }_{\star }\in L^1\cap L^{\infty }$ 且高阶导数可积；

(a) ${\mu }_{\rho }$ 具有紧支撑或各阶多项式矩有限（即 $\int (1+|y|{)}^{N}d|{\mu }_{\rho }|(y)<\infty$ 对任意 $N$ 成立），则 $h\ast {\mu }_{\rho }\in \mathcal{S}$；若仅为有限 Radon 测度（全变差有限），可保证 $h\ast {\mu }_{\rho }\in C^0\cap L^{\infty }$（且在典型情形属 $C_0$），但一般不保证在 $\mathcal{S}$ 中。

(ii) ${\rho }_{\star }\in L_{\mathrm{loc}}^1\cap {\mathcal{S}}^{\prime }$（温和分布）且 $\hat{h}\in C_c^{\infty }$（带限且光滑），从而 $\hat{h}\cdot \widehat{{\rho }_{\star }}$ 在分布意义下合法。澄清：对任意温和分布 $T$ 与 $C^{\infty }$ 函数 $\varphi$，乘积 $\varphi \cdot T$ 总是有定义（因 $\hat{h}\in C_c^{\infty }$ 为光滑函数，与任意温和分布 $\widehat{{\rho }_{\star }}\in {\mathcal{S}}^{\prime }$ 的乘积在分布意义下恒可定义，无需波前集条件）；此处 $C_c^{\infty }$（紧支撑）的主要目的是实现频带截断与光滑性。带限条件 $\hat{h}\in C_c^{\infty }$ 确保 $h\in \mathcal{S}$（Schwartz 类），从而 $h\ast {\rho }_{\star }\in C^{\infty }$。关键：若仅假设 ${\rho }_{\star }\in {\mathcal{S}}^{\prime }$，则 $h\ast {\rho }_{\star }$ 仅保证 $C^{\infty }$ 平滑性（可至多多项式增长），并不自动保证快速衰减或可积性；要确保 $h\ast {\rho }_{\star }\in L^{\infty }$ 或 $L^1$ 及其高阶导数可积，需上述 (a)(b)(c) 之一满足。

从而 $F(E)=w_R(E)[h\ast {\rho }_{\star }](E)\in L^1\cap C^{2M}$ 且 $F^{(2M)}\in L^1$（需至少 $2M$ 阶）在上述充分条件 (a)(b)(c) 之一满足时成立。误差账本：${\epsilon }_{\mathrm{alias}}+{\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}}$。实际数值实现首选 $\hat{h}$ 的紧支撑与足够光滑，配合 ${\mu }_{\rho }$ 有限或 $w_R$ 紧支撑，以确保分布乘积可乘性、可积性与稳定性。

D4（提交/塌缩）：给定装置约束，观测概率 $p$ 为参考 $q$ 到可行集的 I-projection；softmax 软化 $\to$ Born 硬极限。

D5（指针基）：窗算子 $W_R$ 的最小谱值对应的谱投影子空间所张基（Ky Fan“最小和“；若最小谱值不被取到，则取 $\epsilon \downarrow 0$ 的极限子空间），简称最小谱子空间；$h$ 仅在测度侧作用。

D6（相位刻度）：定义 $d{\mu }_{\phi }(E)={\pi }^{-1}{\phi }^{\prime }(E)dE$（相对情形可为符号测度）；当引入 ${\rho }_{\mathrm{rel}}={\xi }^{\prime }$ 时有 $d{\mu }_{\phi }=-{\rho }_{\mathrm{rel}}dE$。说明：${\rho }_{\mathrm{rel}}={\xi }^{\prime }={\rho }_m-{\rho }_{m_0}$ 为相对密度，允许为符号密度；窗口化读数可出现负值，但误差账本不变。

D7（多窗/多核）：$\{w^{(\ell )}{\}}_{\ell =1}^K$ 的帧算子 ${\mathcal{S}}_W$ 与广义 Wexler–Raz 双正交对 $(W,\tilde{W})$。

3. 预备引理（工具与规范）

L3.1（Poisson 求和与 Nyquist 条件）

若 ${\hat{w}}_R$ 与 $\hat{h}$ 分别支撑于 $[-{\Omega }_w,{\Omega }_w]$、$[-{\Omega }_h,{\Omega }_h]$，则对

$$F(E):=w_R(E)[h\ast {\rho }_{\star }](E)$$

有 $\mathrm{supp}\hat{F}\subset [-({\Omega }_w+{\Omega }_h),{\Omega }_w+{\Omega }_h]$。由于 $\widehat{h\ast {\rho }_{\star }}=\hat{h}\cdot \widehat{{\rho }_{\star }}$，且按 D3 的充分条件 (ii)，当 $\hat{h}\in C_c^{\infty }$ 时分布乘积 $\hat{h}\cdot \widehat{{\rho }_{\star }}$ 合法（$\hat{h}$ 的带限与无穷阶光滑性保证对任意温和分布的可乘性；因 $\hat{h}\in C_c^{\infty }$ 为光滑函数，与任意温和分布的乘积总可定义——这是分布论的基础结果，无需波前集条件），支撑与交集：

$$\mathrm{supp}(\hat{h}\cdot \widehat{{\rho }_{\star }})\subseteq \mathrm{supp}\hat{h}\cap \mathrm{supp}\widehat{{\rho }_{\star }}\subseteq [-{\Omega }_h,{\Omega }_h],$$

因此中间量 $h\ast {\rho }_{\star }$ 的 Nyquist 判据只需 ${\Omega }_h$ 的上界，但实际有效带宽可能因 $\widehat{{\rho }_{\star }}$ 的“熄灭带“而更窄。并且 $\widehat{w_R(h\ast {\rho }_{\star })}=\frac{1}{2\pi }{\hat{w}}_R\ast (\hat{h}\cdot \widehat{{\rho }_{\star }})$（Fourier规范下乘积变换带 $\frac{1}{2\pi }$ 因子），因而 $\mathrm{supp}\widehat{w_R(h\ast {\rho }_{\star })}\subset [-({\Omega }_w+{\Omega }_h),{\Omega }_w+{\Omega }_h]$。关键原则：数值实现与误差闭合一律以最终量 $F=w_R(h\ast {\rho }_{\star })$ 的总带宽 ${\Omega }_F={\Omega }_w+{\Omega }_h$ 为准；前述对中间量 $h\ast {\rho }_{\star }$ 带宽上界的讨论仅为理论分析辅助，实际采样判据、别名误差控制与 EM 余项估计均须按 ${\Omega }_F$ 设定。

统一 Nyquist 规范与单位换算：

若 $\mathrm{supp}\hat{F}\subset [-{\Omega }_F,{\Omega }_F]$（其中 ${\Omega }_F={\Omega }_w+{\Omega }_h$），则采样判据为

$$\Delta \le \pi /{\Omega }_F(\text{角频率 rad/（单位(E)）})⟺T_s\le 1/(2B_F)(\text{赫兹 }{B}_F={\Omega }_F/(2\pi )\text{ Hz}).$$

本文默认角频率规范；赫兹记法仅作等价提示。满足此条件时，Poisson 求和中除 $k=0$ 外各项落在带外，故别名误差 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$。误差闭合以最终量 $F$ 的总带宽 ${\Omega }_F$ 为准。关键提示：以 Hz 记带宽 $B_F$ 时，$\Delta \le \pi /{\Omega }_F\iff T_s\le 1/(2B_F)$；仅在严格带限时别名为零——若信号仅为超快衰减而非严格带限，Nyquist 采样判据不能完全消除别名，此时需将衰减尾部纳入误差估计。

L3.2（有限阶 Euler–Maclaurin 与余项界）

令 $p=2M\in 2\mathbb{N}$（$p\ge 2$，偶阶）。若 $g\in C^p([a,b])$ 且 $g^{(p)}\in L^1([a,b])$，则 Euler–Maclaurin 公式的余项 $R_p$ 满足标准上界

$$\left|R_p\right|\le \frac{2\zeta (p)}{(2\pi {)}^p}{\int }_a^b|g^{(p)}(x)|dx,$$

其中 $[a,b]$ 为求和区间对应的连续延拓区间（例如 $[-N\Delta ,N\Delta ]$），$\zeta (p)$ 为 Riemann ζ 函数。此界对 $p\ge 2$ 成立；需 $g^{(p)}\in L^1$。可操作显式上界：例如 $p=2$ 时 $\zeta (2)={\pi }^2/6$，$p=4$ 时 $\zeta (4)={\pi }^4/90$。对任意阶 $p$ 的完整 EM 展开还包含端点项（涉及函数及其前 $(p-1)$ 阶导数在端点的值）与上述体积分余项 $R_p$；本文三分解误差账本中的 ${\epsilon }_{\mathrm{EM}}$ 即指此体积分余项的上界。

L3.3（Herglotz–Nevanlinna 边界值与谱密度）

若 $m$ 为 Herglotz（Nevanlinna）函数，则非切向极限几乎处处存在且 $\Im m(E+i0)=\pi {\rho }_m(E)$（a.e.），其中 ${\rho }_m$ 为 Herglotz 表示测度的绝对连续部分密度。阈值与共振邻域以非切向极限或分布解释（主值+奇点部分）。该结论为经典谱理论标准结果。

L3.3a（sinc 核的 $L^2$ 范数）

对带限投影核 $k_B(t)=\frac{\sin (\Omega t)}{\pi t}$（$\Omega >0$），有

$$\Vert k_B{\Vert }_{L^2(\mathbb{R})}^2={\int }_{-\infty }^{\infty }(\frac{\sin (\Omega t)}{\pi t}{)}^{2}dt=\frac{\Omega }{\pi }.$$

证明：由 Plancherel 定理，$\Vert k_B{\Vert }_{L^2}^2=\frac{1}{2\pi }\Vert \widehat{k_B}{\Vert }_{L^2}^2$；而 $\widehat{k_B}(\xi )={\chi }_{[-\Omega ,\Omega ]}(\xi )$（矩形窗），故 $\Vert \widehat{k_B}{\Vert }_{L^2}^2=2\Omega$，从而 $\Vert k_B{\Vert }_{L^2}^2=\frac{1}{2\pi }\cdot 2\Omega =\Omega /\pi$。□（等价于标准积分公式 ${\int }_{-\infty }^{\infty }(\frac{\sin ax}{x}{)}^{2}dx=\pi a$；读者可直接用此式复核。）

L3.4（Ky Fan 变分原则：最小和）

对自伴 $K$ 与任意正交族 $\{e_k{\}}_{k=1}^m$，

$$\sum _{k=1}^m⟨e_k,K{e}_k⟩\ge \sum _{k=1}^m{\lambda }_k^{\uparrow }(K),$$

等号当且仅当 $\{e_k\}$ 张成最小本征子空间。若最小本征值存在简并，则对应最小本征子空间的任一正交基均可作为“指针基“。

L3.5（Birman–Kreĭn、Wigner–Smith 与正则性）

若 $(H,H_0)$ 为相对迹类扰动或满足平滑散射的标准假设，则 BK 公式

$$\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)},\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)={\partial }_E\arg \det S(E)=-2\pi {\xi }^{\prime }(E)$$

成立，其中 $\mathsf{Q}=-i{S}^{†}\frac{dS}{dE}$（需 $S(E)$ 在 $E$ 上可微且酉；lossless 情形直接成立）。几乎处处 ${\xi }^{\prime }(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$。

L3.6（Naimark 扩张）

任意 POVM $\{E_i\}$ 存在扩张空间与 PVM $\{{\Pi }_i\}$ 使 $E_i=V^{†}{\Pi }_{i}V$。

L3.7（Wexler–Raz 双正交与帧）

Gabor/WH 框架下，多窗 $\{g_k\}$ 与其对偶窗 $\{{\tilde{g}}_k\}$ 满足 Wexler–Raz 双正交关系：对栅格 $(\alpha ,\beta )$（时间—频率采样步长），若 $\alpha \beta \le 1$（临界或超完备密度），则存在对偶帧且满足离散格上的 Wexler–Raz 对偶关系（时域版，含必要的调制因子）

$$\sum _{n\in \mathbb{Z}}g(t-n\alpha )\overline{\tilde{g}(t-n\alpha )}{e}^{2\pi im\beta t}=\frac{1}{\beta }{\delta }_{m,0},\forall m\in \mathbb{Z},\text{ a.e. }t\in \mathbb{R},$$

或等价的内积形式

$$⟨\tilde{g},T_{n\alpha }{M}_{m\beta }g⟩={\delta }_{n,0}{\delta }_{m,0},$$

以及其频域对偶式（经 Poisson 求和，缝合恒等式）

$$\sum _{k\in \mathbb{Z}}\hat{g}(\xi -k/\alpha )\overline{\hat{\tilde{g}}(\xi -k/\alpha )}=\alpha ,\text{a.e. }\xi \in \mathbb{R}.$$

规范对偶窗满足 $\tilde{g}={\mathcal{S}}^{-1}g$（其中 $\mathcal{S}$ 为帧算子）；对任意一对对偶窗 $(g,\tilde{g})$ 仍满足上述 Wexler–Raz 双正交恒等式。密度约束为 $\alpha \beta \le 1$。相位—尺度（Mellin）表象的等价陈述：在 ${\mathcal{H}}_a=L^2({\mathbb{R}}_{+},x^{a-1}dx)$ 上，$(U_{\tau },V_{\sigma })$ 的 Weyl 关系与 $(T_x,M_{\omega })$ 的 Weyl–Heisenberg 关系经 $x=e^t$ 同构；相应的帧密度条件为 $(\Delta \tau )(\Delta \sigma )\le 1$（$\Delta \tau$ 为相位采样间隔、$\Delta \sigma$ 为尺度采样间隔），Wexler–Raz 双正交在相位—尺度格上保持同型（对偶窗满足 ${\sum }_n\tilde{g}(e^{t-n\Delta \sigma })e^{-in\Delta \tau \log x}=(\Delta \tau {)}^{-1}{\delta }_{0,m}$ 等价式）。

4. 主定理与完整证明

T1（窗口化读数的数值估计式与非渐近误差闭合）

命题：设 $A$ 的谱测度 $d{E}_A$、仪器窗 $w_R$ 与带限核 $h$。令 $F(E)=w_R(E)[h\ast {\rho }_{\star }](E)$，其中 ${\rho }_{\star }$ 为态 $\rho$ 的连续谱密度。正则性前置：以下等式与余项界在 $F\in L^1\cap C^{2M}$、$F^{(2M)}\in L^1$ 下成立；一组充分条件见 §2-D3（$w_R,h$ 的带限与 $W^{2M,1}$ 正则性，${\mu }_{\rho }$ 局部有限等）。对采样步长 $\Delta >0$ 与有限截断 $|n|\le N$，有

$${\int }_{\mathbb{R}}F(E)dE=\Delta \sum _{n=-N}^{N}F(n\Delta )+\underset{\text{Poisson}}{\underbrace{{\epsilon }_{\mathrm{alias}}}}+\underset{\text{Euler–Maclaurin}}{\underbrace{R_p}}+\underset{\text{截断尾项}}{\underbrace{{\epsilon }_{\mathrm{tail}}}},$$

其中 $p=2M$ 且 $|R_p|\le \frac{2\zeta (p)}{(2\pi {)}^p}\int |F^{(p)}(x)|dx$。别名项在带限+Nyquist 条件下为零。尾项可操作上界与截断点选取策略：若 $F\in L^1(\mathbb{R})$ 且截断区间为 $[-N\Delta ,N\Delta ]$，则

$$|{\epsilon }_{\mathrm{tail}}|=|{\int }_{|E|>N\Delta }F(E)dE|\le {\int }_{|E|>N\Delta }|F(E)|dE.$$

截断点 $N$ 的选取指引（将尾项控制到目标阈值 $\epsilon$）：

• 指数衰减 $|F(E)|\lesssim C{e}^{-\alpha |E|}$（$\alpha >0$）：有 $|{\epsilon }_{\mathrm{tail}}|\lesssim e^{-\alpha N\Delta }$，故取 $N\Delta \ge {\alpha }^{-1}\log (C/\epsilon )$；
• 代数衰减 $|F(E)|\lesssim C|E{|}^{-\beta }$（$\beta >1$）：有 $|{\epsilon }_{\mathrm{tail}}|\lesssim (N\Delta {)}^{1-\beta }$，故取 $N\Delta \ge (C/\epsilon {)}^{1/(\beta -1)}$。若 $\mathrm{supp}{\hat{w}}_R\subset [-{\Omega }_w,{\Omega }_w]$、$\mathrm{supp}\hat{h}\subset [-{\Omega }_h,{\Omega }_h]$，则 $\mathrm{supp}\hat{F}\subset [-{\Omega }_F,{\Omega }_F]$ 且 ${\Omega }_F={\Omega }_w+{\Omega }_h$；取 $\Delta \le \pi /{\Omega }_F$（角频率；若用赫兹带宽 $B_F=({\Omega }_F/2\pi )$，则采样周期 $T_s\le 1/(2B_F)$），此时别名项 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$。

例如：若 $w_R\in W^{2M,1}\cap L^{\infty }$ 且 $h\ast {\rho }_{\star }\in W^{2M,1}\cap L^{\infty }$，则由 Leibniz 规则得 $F^{(k)}\in L^1(k\le 2M)$；在 D3(ii) 下，因 $\hat{h}\in C_c^{\infty }$ 与 $w_R\in W^{2M,1}$ 且 D3(ii) 的充分条件 (a)(b)(c) 之一满足，同理可得 $F^{(p)}\in L^1$（$p=2M$）。

证明：由 Poisson 求和将积分与离散和联系起来（别名项即谱复制重叠量），EM 有限阶给出 Bernoulli 层与端点余项，截断产生 tail；$\widehat{h\ast {\rho }_{\star }}=\hat{h}\cdot \widehat{{\rho }_{\star }}$ 的卷积定理保证 $\mathrm{supp}\hat{F}\subset [-{\Omega }_F,{\Omega }_F]$；带限+Nyquist 使别名项消失；L3.1–L3.2 即得。□

实现层级（可检条件分层）：

• Ⅰ层（严格带限 + Nyquist）：若 $\mathrm{supp}\hat{F}\subset [-{\Omega }_F,{\Omega }_F]$ 且 $\Delta \le \pi /{\Omega }_F$，则 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$（别名完全消除）；
• Ⅱ层（高阶导数可积）：若 D3 的充分条件使 $F^{(2M)}\in L^1$，则 EM 余项 $|R_{2M}|\le \frac{2\zeta (2M)}{(2\pi {)}^{2M}}\int |F^{(2M)}|dx$ 给出显式上界（需 $p=2M\ge 2$）；
• Ⅲ层（截断控制）：给定目标精度 $\epsilon$，按衰减类型选取 $N\Delta$：指数衰减 $|F|\lesssim C{e}^{-\alpha |E|}$ 时取 $N\Delta \ge {\alpha }^{-1}\log (C/\epsilon )$；代数衰减 $|F|\lesssim C|E{|}^{-\beta }$（$\beta >1$）时取 $N\Delta \ge (C/\epsilon {)}^{1/(\beta -1)}$。参数选取顺序：先定 $\Delta$（由 Nyquist），再定 $M$（由目标精度与 $F$ 光滑性），后定 $N$（由尾项控制）。

注（估计式而非恒等式）：本框架中 $h$ 仅在测度/密度侧引入模糊，$W_R$ 的谱决定“指针基“。此命题给出的是数值估计账本的分解（真值 = 采样和 + 误差项），而非对真值的重新定义；截断+EM 余项是实现误差闭合的工具，故标题采用“估计式“而非“恒等式“。

T2（Born 概率 = I-projection 的“对齐充要条件“）

定理：设 PVM/POVM 与参考 $q$。前提：$q_i>0$（或 $\mathrm{supp}p\subseteq \mathrm{supp}q$），且线性矩约束的闭凸可行集 $\mathcal{C}=\{p:{\sum }_i{p}_i{a}_i=b\}$ 非空。在此前提下，最小-KL

$$\min \{D_{\mathrm{KL}}(p\Vert q):p\in \mathcal{C}\}$$

的唯一解为指数族 $p_i^{\star }\propto q_i{e}^{{\lambda }^{\top }{a}_i}$（I-projection 唯一性定理）。对齐充要条件与支撑匹配：设 $w_i=⟨\psi ,E_i\psi ⟩$ 为 PVM 指标的 Born 向量。须先确保相对支撑条件 $\mathrm{supp}w\subseteq \mathrm{supp}q$（即若 $w_i>0$ 则 $q_i>0$）；此前提下，当且仅当在 $\{i:w_i>0\}$ 上存在 $\lambda$ 使 $\log (w_i/q_i)$ 落在 $\{a_i\}$ 的仿射张成中（等价于 $\log (w_i/q_i)={\lambda }^{\top }{a}_i-\psi (\lambda )$ 对某归一化常数 $\psi$），则 I-projection 的唯一解为 $p^{\star }=w$（Born）；若不可仿射表示，则最优解为指数族 $p^{\star }\ne w$（但仍唯一）。此“对齐“在上述意义下明确定义为相对支撑上的仿射可表示性。在前提 $q_i>0$、$\mathrm{supp}w\subseteq \mathrm{supp}q$ 与可行集非空下，I-projection 唯一且为指数族；对齐充要条件保证 $p^{\star }=w$（Born）。软化温度 $\tau \downarrow 0$ 的 $\Gamma$-极限将 softmax 收敛至 Born。

连续谱情形：设 $\{a_{\ell }(E){\}}_{\ell =1}^m\in L_{\mathrm{loc}}^1$ 且 $w,q\ll d\mu$（对同一参考测度 $\mu$ 绝对连续）。在 $\mathrm{supp}w\subseteq \mathrm{supp}q$（$\mu$-a.e.）的前提下，若存在 $\lambda$ 使 $\log (w/q)={\sum }_{\ell }{\lambda }_{\ell }{a}_{\ell }(E)-\psi (\lambda )$（$\mu$-a.e. on $\mathrm{supp}w$），则 I-projection 唯一解为 $p^{\star }=w$；否则 $p^{\star }$ 为同一指数族但 $p^{\star }\ne w$。

证明：KL 的严格凸性与 Lagrange 乘子在 $q_i>0$、可行集闭凸非空的前提下给出指数族与唯一性；对齐充要条件由指数族参数化逐系数推出。POVM 情形由 Naimark 扩张化到 PVM 再投回。□

教学示例（2-outcome 情形）：设 $i\in \{0,1\}$，参考分布 $q=(1/2,1/2)$，约束 $\sum p_i{a}_i=b$ 其中 $a_0=0$、$a_1=1$、$b\in (0,1)$。I-projection 解为 $p_i^{\star }\propto q_i{e}^{\lambda a_i}$，即 $p_0^{\star }=1/(1+e^{\lambda })$、$p_1^{\star }=e^{\lambda }/(1+e^{\lambda })$，其中 $\lambda$ 由 $p_1^{\star }=b$ 确定，得 $\lambda =\ln (b/(1-b))$。若 Born 权重 $w=(w_0,w_1)=(1-b,b)$，则 $\log (w_i/q_i)=\log (2w_i)$ 可表为 $\lambda a_i-\psi (\lambda )$（$\psi =\ln (1+e^{\lambda })$），故对齐成功，$p^{\star }=w$。

反例（不可对齐）：若 $w=(0.3,0.7)$ 而约束为 $p_0+2p_1=c$（即 $a_0=1$、$a_1=2$），则 $\log (w_i/q_i)=(\log 0.6,\log 1.4)$ 无法由单个 $\lambda$ 使 $\lambda a_i$ 仿射表示（因 $\log 0.6/1\ne \log 1.4/2$），此时 I-projection 解 $p^{\star }\ne w$（仍为指数族形式 $p_i^{\star }\propto q_i{e}^{\lambda a_i}$，但 $\lambda$ 由约束唯一确定，与 $w$ 不匹配）。

检验流程（可操作步骤）：

1. 计算 $r_i=\log (w_i/q_i)$（对所有 $i\in \mathrm{supp}w$）；
2. 用最小二乘在 $\{a_i\}$ 的仿射张成中拟合 $r_i$；
3. 若残差 $\approx 0$ 则对齐成立，$p^{\star }=w$（Born）；反之得指数族解 $p^{\star }\ne w$。

T3（指针基 = 最小谱子空间（Ky Fan“最小和“））

定理：存在性条件：把“指针基“理解为 $W_R$ 的最小谱值对应的谱投影子空间（简称最小谱子空间）；若最小谱值不被取到，则以 $P_{(-\infty ,{\lambda }_{\min }+\epsilon ]}$ 的极小谱子空间之极限（$\epsilon \downarrow 0$）替代。对自伴窗算子 $W_R$ 与任意 $m$ 维正交族 $\{e_k\}$，

$$\sum _{k=1}^m⟨e_k,W_R{e}_k⟩\ge \sum _{k=1}^m{\lambda }_k^{\uparrow }(W_R),$$

等号当且仅当 $\{e_k\}$ 张成 $W_R$ 的最小谱子空间（Ky Fan PNAS 1951；需 $W_R$ 为紧自伴或最小谱值为孤立本征值）。若最小本征值存在简并，则对应最小本征子空间的任一正交基均可作为“指针基“。有界/紧性可检条件：若 $w_R\in L^{\infty }(\mathbb{R})$ 为有界 Borel 函数，则 $W_R=w_R(A)$ 为有界自伴；若进一步 $w_R\in L^2(\mathbb{R})$（例如有限支撑窗），则由 A4 的统一表述知 ${\Pi }_B{M}_{w_R}$ 与 ${\Pi }_B{M}_{w_R}{\Pi }_B$ 均为 Hilbert–Schmidt/紧（由 HS 核定理：积分核 $K\in L^2({\mathbb{R}}^2)$ 保证算子为 HS/紧）。

可用 Ky Fan 最小和原则与 Davis–Kahan 谱隙稳定性定理（需谱隙）。反例提示：仅凭 $w_R\in L^{\infty }$ 与 ${\Pi }_B$ 不足以推出 HS（投影算子 ${\Pi }_B$ 紧当且仅当像有限维，而 ${\Pi }_B$ 的像无限维）。仪器核 $h$ 仅在测度侧引入模糊，不改变 $W_R$ 的谱。□

T4（${\phi }^{\prime }=-\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}=\mathrm{tr}\mathsf{Q}/2$，a.e. on ${\sigma }_{\mathrm{ac}}$）

定理：设 $(H,H_0)$ 满足 L3.5 的正则性。则在绝对连续谱上几乎处处（a.e. on ${\sigma }_{\mathrm{ac}}$）

$$\boxed{{\phi }^{\prime }(E)=-\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)}(\text{a.e. on }{\sigma }_{\mathrm{ac}})$$

其中 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)={\xi }^{\prime }(E)$，$\mathsf{Q}=-i{S}^{†}\frac{dS}{dE}$。阈值/共振处理：在阈值或共振邻近处，按 ${\lim }_{ϵ\downarrow 0}$ 的非切向极限或分布意义（主值 + 奇点部分）解释，与 Herglotz 边界值 $\Im m(E+i0)=\pi \rho (E)$ 一致。

证明：BK 公式给 $\det S=e^{-2\pi i\xi }\Rightarrow {\partial }_E\arg \det S=-2\pi {\xi }^{\prime }$；而 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}={\partial }_E\arg \det S$。单通道 $S=e^{2i\phi }$ 时 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}=2{\phi }^{\prime }$，合并得结论。相对密度来自 ${\xi }^{\prime }={\rho }_m-{\rho }_{m_0}$ 的 Herglotz–Weyl 局地化。

分布导数与奇点处理：在绝对连续谱上 ${\xi }^{\prime }(E)$ a.e. 存在为经典意义下的导数；在阈值/共振处 $\xi (E)$ 可能仅为局部有界变差函数，此时 ${\xi }^{\prime }$ 应理解为分布导数（Radon–Nikodym 导数加 $\delta$ 奇点项），与 Herglotz 边界值 $\frac{1}{\pi }\Im m(E+i0)=\rho (E)$ 在测度意义下一致。极简示例：若 $S(E)$ 在 $E=E_0$ 附近有一阶极点（共振），则 $\xi (E)\sim \frac{1}{\pi }\arg (E-E_0)+\text{smooth}$，其分布导数为 ${\xi }^{\prime }(E)=\text{PV}\frac{1}{\pi (E-E_0)}+c\delta (E-E_0)+{\text{smooth}}^{\prime }$（主值 + 奇点 + 光滑部分）。

实现上的阈值/共振处理：在数值计算或实验测量中，阈值/共振邻近处的 ${\phi }^{\prime }(E)$、${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$ 应以非切向极限（${\lim }_{ϵ\downarrow 0}$）或主值+奇点部分的形式解释，与 A5 的边界值规范一致。□

多通道注记与 Wigner–Smith 平均延迟：对 $N$ 通道散射，$\det S(E)=\exp (2i{\sum }_{j=1}^N{\phi }_j(E))$（酉矩阵本征相位之和），故 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}=2{\sum }_j{\phi }_j^{\prime }$。多通道相位语境声明：当涉及 ${\phi }^{\prime }=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 时，$\phi$ 指总散射相位（$\phi ={\sum }_{j=1}^N{\phi }_j$，故 ${\phi }^{\prime }={\sum }_j{\phi }_j^{\prime }$），从而多通道下恒有 ${\phi }^{\prime }=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$；平均延迟单独定义为 ${\tau }_W=\frac{1}{N}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$，与前者概念不同、不可混用。相位分支需在连续谱区间上连续选取，与 $\arg \det S$ 的分支保持一致；阈值/共振处的分支跳跃对应极点/零点的拓扑指标，可通过 Rouché 半径稳定控制（T5）。Wigner–Smith 平均延迟公式（等价链路桥）： $${\tau }_W(\epsilon )=\frac{1}{N}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(\epsilon )=-\frac{i}{N}{\partial }_{\epsilon }\ln \det S(\epsilon )=-\frac{2\pi }{N}{\xi }^{\prime }(\epsilon )$$ （单位制 $\hslash =1$），与上述 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}=-2\pi {\xi }^{\prime }$ 完全一致。

T5（阈值与奇性稳定：Rouché 半径）

定理：若域 $D$ 的边界上 $|\mathcal{E}(z)|\ge \eta >0$，且近似 ${\mathcal{E}}_{♮}$ 满足 ${\sup }_{\partial D}|{\mathcal{E}}_{♮}-\mathcal{E}|<\eta$，则二者在 $D$ 内零点计数相同并具位移上界；在“有限阶 EM + Nyquist–Poisson–EM“纪律下窗化/换序不生新奇点，$\eta$ 可由三分解误差上衡。

证明：由 Rouché 定理并结合 §3 的 Poisson–EM 误差上界（L3.1、L3.2）与带限支撑界即可得结论。□

实操提示（参数化流程）：对目标域 $D=\{z:|z-E_0|<r\}$（实轴附近的盘域），零点稳定性验证步骤为：

1. 误差控制参数设定：选择 $M$（EM 阶数）、$N$（截断点数）、$\Delta$（采样步长）；由 T1 与 L3.2 估计三分解误差 $\eta ={\epsilon }_{\mathrm{alias}}+|R_{2M}|+{\epsilon }_{\mathrm{tail}}$（带限+Nyquist 时 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$）。典型取 $M\ge 2$、$\Delta \le \pi /{\Omega }_F$、$N\Delta \ge 3\max \{T,1/\alpha \}$（$T$ 为窗支撑半径或 $\alpha$ 为衰减率）。

2. 边界最小模验证：在 $\partial D$ 上计算 ${\inf }_{|z-E_0|=r}|\mathcal{E}(z)|=:{\eta }_0$；**建议取 ${\eta }_0>2\eta$（安全系数 2）**以留有余裕，保证 Rouché 条件的稳健满足（因数值误差与舍入可能使实际扰动略大于估计值 $\eta$）。

3. Rouché 应用与零点计数：若 ${\sup }_{\partial D}|{\mathcal{E}}_{♮}-\mathcal{E}|<\eta <{\eta }_0$，则零点计数 $N_D(\mathcal{E})=N_D({\mathcal{E}}_{♮})$（此为严格结论）；零点位移估计 $\lesssim \eta /{\eta }_0\cdot r$ 为启发式量级估计（若需严格定量位移界，需结合反演映射的 Lipschitz 常数或辩值原理的对数导数积累函数界；本稿聚焦零点计数稳定性，位移量级仅作参考）。

参数化示例：$\mathcal{E}(z)=\det S(z)$、$D=\{z:|z-E_0|<0.5\}$；设 $|\det S|\ge 0.1$ on $\partial D$（${\eta }_0=0.1$），取 $M=3$、$\Delta =\pi /(2{\Omega }_F)$、$N=100$；若评估得 $\eta \approx 0.02<0.05={\eta }_0/2$，则 Rouché 条件满足且零点位移 $\lesssim 0.1$。

T6（窗/核最优的带限投影-KKT 与 $\Gamma$-极限）

设定：在 ${\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}$ 上，强凸代理

$$\mathcal{J}(w)=\sum _{j=1}^{M-1}{\gamma }_j\Vert w_R^{(2j)}{\Vert }_{L^2}^2+\lambda \Vert 1_{\{|E|>T\}}{w}_R{\Vert }_{L^2}^2,$$

$w_R(t)=w(t/R)$，$\widehat{w_R}(\xi )=R\hat{w}(R\xi )$。

定理：存在唯一极小元 $w^{\star }$，其频域满足带限投影—KKT 方程（$P_B^{(\xi )}:\hat{f}\mapsto {\chi }_B\hat{f}$ 为频域带限投影）

$$\boxed{P_B^{(\xi )}(\underset{\text{多项式乘子}}{\underbrace{2\sum _{j=1}^{M-1}{\gamma }_j{\xi }^{4j}\widehat{w_R^{\star }}(\xi )}}+\underset{\delta \text{-项}}{\underbrace{2\lambda \widehat{w_R^{\star }}(\xi )}}-\underset{\text{卷积项}}{\underbrace{\frac{2\lambda }{\pi }(\frac{\sin (T\cdot )}{\cdot }\ast \widehat{w_R^{\star }})(\xi )}})=\eta \widehat{w_R^{\star }}(\xi )}(\xi \in \mathbb{R}),$$

其中 $B=[-\Omega /R,\Omega /R]$，$\eta$ 为归一乘子。

⚠ 实现顺序必须是：compute_conv → apply_P_B → enforce_normalization；切勿交换“先投影后卷积“的次序。

实现提示（必须遵守）：

1. 系数 $\frac{2\lambda }{\pi }$ 的来源（显式推导）：泛函项 $\lambda \Vert 1_{\{|E|>T\}}{w}_R{\Vert }_{L^2}^2$ 的 Fréchet 导数在频域为

$$D(\lambda \Vert 1_{\{|E|>T\}}{w}_R{\Vert }_{L^2}^2)=2\lambda ⟨1_{\{|E|>T\}}{w}_R,1_{\{|E|>T\}}\delta w_R⟩=2\lambda ⟨1_{\{|E|>T\}},w_R\delta w_R⟩\stackrel{\mathcal{F}}{\to }\frac{\lambda }{\pi }(\widehat{1_{|E|>T}}\ast \widehat{w_R}),$$

其中 $\widehat{1_{|E|>T}}=2\pi \delta -2\frac{\sin (T\cdot )}{\cdot }$（矩形窗傅里叶变换；本文规范下 $\widehat{1_{[-T,T]}}=2\sin (T\xi )/\xi$），Parseval 带入 $\frac{1}{2\pi }$ 因子与 Fréchet 导数的 2 倍因子，故得 $\frac{2\lambda }{2\pi }=\frac{\lambda }{\pi }$ 系数。展开后即框中式的卷积项。实现辅助：$\widehat{1_{|E|>T}}(\xi )=2\pi \delta (\xi )-2\frac{\sin (T\xi )}{\xi }$（可直接代入数值计算）。

2. 运算次序细节（严格执行步骤）：

   • (i) 先计算卷积 $(\frac{\sin (T\cdot )}{\cdot }\ast \widehat{w_R^{\star }})(\xi )$
   • (ii) 组装整个括号内表达式（多项式乘子 + $\delta$-项 - 卷积项）
   • (iii) 再对整体作用带限投影 $P_B^{(\xi )}$（频域乘子投影 ${\chi }_B(\xi )$）
   • (iv) 强制归一化约束（例如 $\Vert w_R^{\star }{\Vert }_{L^2}=1$ 或 $\int w_R^{\star }=1$）

3. 不可交换性解释：$P_B^{(\xi )}$ 为频域乘子投影，与卷积算子不可交换（除非卷积核频带严格内含于 $B$）。本式已按先卷积后投影固定运算次序；带外自动 $\widehat{w_R^{\star }}(\xi )=0$。

算法实现框（伪代码级）：

初始化: w_current ← 初值（PW_Ω 带限）
循环 (迭代至收敛):
  Step 1: 计算卷积  conv_term ← (sinc_T * ŵ_current)
  Step 2: 组装梯度  grad ← poly_multiplier(ŵ_current) + 2λ·ŵ_current - (2λ/π)·conv_term
  Step 3: 投影      grad_projected ← P_B^(ξ) [grad]
            ✱ 切勿将 P_B^(ξ) 提前到卷积前；因 P_B^(ξ) 为乘子投影、与卷积算子
               一般不交换（除非核频带严格内含于 B）
  Step 4: 更新      ŵ_new ← ŵ_current - α·grad_projected  (α为步长)
  Step 5: 归一化    ŵ_new ← ŵ_new / 归一常数
  若 ‖ŵ_new - ŵ_current‖ < tol: 收敛，输出 w_star

该式即**“带限投影后的线性算子 = 特征值 $\times$ 函数”**，与 PSWF（Prolate Spheroidal Wave Functions）的 $P_{\Omega }{T}_T{P}_{\Omega }f=\lambda f$ 同型。含软化参数的泛函对硬约束 $\Gamma$-收敛。

注：上述以 $\Vert w_R{\Vert }_{L^2}=1$ 归一为例；若改用其他归一（如 $\int w_R=1$），右端应替换为相应约束的 Fréchet 导数（在频域为常数/δ 的组合），但均不应出现 $\eta P_B^{(\xi )}$ 这一与未知函数无关的右端。