窗口化读数统一测量：Born 概率 = 最小 KL，指针基 = 最小能量本征基

（含非渐近误差闭合与窗/核最优）

作者： 单位： 日期：2025-10-25

摘要（定性）

本文在镜像核—de Branges–Kreĭn 规范系统—信息几何的统一框架下，提出并严格证明三条主定理：

1. 窗口化读数定理：任何可实现的量子测量读数均等价于“能量窗 $w_R$ 与前端核 $h$“对（相对或绝对）局域态密度（LDOS）的加权；当采用离散采样—有限截断的现实流程时，误差可按 Nyquist（别名）–Poisson（采样）–Euler–Maclaurin（EM，求和—积分差）三项非渐近闭合，且在带限 + Nyquist 条件下别名项严格为零。该结论立足于 Weyl–Titchmarsh $m$-函数的 Herglotz 性与边界值词典（$\Im m(E+i0)=\pi \rho (E)$）及其与规范系统的等价表述。
2. Born 概率 = 最小 KL（信息投影）：当读数字典与对数-配分势 $\Lambda (\rho )=\log {\sum }_j{w}_j{e}^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩}$ 对齐时，单位响应的最小能量投影与线性矩约束下的最小 Kullback–Leibler（KL）散度等价；softmax 概率正是最小-KL 投影的权，且当软化参数 $\tau \downarrow 0$（或等价地逆温度 $\kappa =1/\tau \uparrow \infty$；不与字典系数 ${\beta }_j$ 混淆）时经 $\Gamma$-极限收敛为硬投影（Hilbert 正交）。等价使用 Fenchel–Legendre 对偶 / Bregman–KL 恒等式 / Csiszár 的 I-projection。
3. 指针基 = 最小能量/信息投影的本征基：有限字典下，最小能量 mollifier 的系数向量为 ${\beta }^{\star }=\frac{G^{-1}c}{c^{\ast }{G}^{-1}c}$；在 Gram 谱分解 $G=U\Lambda U^{\ast }$ 中，${\beta }^{\star }$ 沿 $\{u_k\}$ 以 ${\lambda }_k^{-1}$ 加权展开，因而对 ${\beta }^{\star }$ 贡献最强的方向由

$$\arg \underset{k}{\max }\frac{|⟨u_k,c⟩{|}^2}{{\lambda }_k}$$

实现；小特征值趋势放大该方向，但是否主导取决于同时具有足够大的投影 $|⟨u_k,c⟩|$。软版的信息 Hessian ${\nabla }^2\Lambda$ 的谱基与之同构。

在散射侧，借由 Birman–Kreĭn 与 Wigner–Smith 的标准构造，单通道下相位导数与（相对）谱密度满足

$${\phi }^{\prime }(E)=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\pi {\xi }^{\prime }(E),\mathsf{Q}(E)=-iS(E{)}^{†}\frac{dS}{dE},$$

进而 $\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$。这把“负延迟“解释为参照选择与相对计数的结果，而非因果违反。

关键词：窗口化读数；Weyl–Titchmarsh；谱移函数；Wigner–Smith 时间延迟；de Branges 空间；BN—Bregman；最小 KL；PSWF；Nyquist–Poisson–EM；非渐近误差。

0. 记号与背景

基本约定

• 能量与上半平面：$E\in \mathbb{R}$，${\mathbb{C}}_{+}=\{z:\Im z>0\}$。
• 傅里叶规范：本文统一采用 $\hat{f}(\xi )=\int f(t)e^{-it\xi }dt$，其中 $\xi$ 为角频率（rad/能量）。
• 单位约定：固定 $\hslash =1$。

谱函数与边界值

• Weyl–Titchmarsh 与 LDOS：若 $m:{\mathbb{C}}_{+}\to {\mathbb{C}}_{+}$ 为 Herglotz–Nevanlinna 函数，则在 Lebesgue-a.e. 的能量点上具有非切向边界值（Fatou 边界理论）。当其 Herglotz 表示测度的绝对连续部分在 $E$ 处具密度 ${\rho }_m(E)$ 时，a.e.

$$\Im m(E+i0)=\pi {\rho }_m(E).$$

此处的 $\pi$ 来自 Stieltjes 反演的标准常数，与傅里叶变换规范无涉。此处 ${\rho }_m$ 为 Herglotz 表示测度的绝对连续密度；奇异部分不贡献 a.e. 的边界值等式。此式等价于 Stieltjes 反演的弱形式；奇异部分在 a.e. 上给零（见 Kostenko–Sakhnovich–Teschl 的 Stieltjes inversion 引理）。Fatou 边界值与 Herglotz–Pick 类的 a.e. 存在性见 Teschl 与 Kostenko–Teschl 系列文献。等价写法：$\rho (E)=\frac{1}{\pi }\Im m(E+i0)$。

散射与谱移

• 号记约定：本文固定 Birman–Kreĭn 的“正号“约定

$$\det S(E)=e^{+2\pi i\xi (E)},{\xi }^{\prime }(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E).$$

定义相对（谱移）密度 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(E):={\xi }^{\prime }(E)$（a.e.）。如改用“负号“约定 $\det S=e^{-2\pi i\xi }$，需同时置换 $\phi \mapsto -\phi$ 才保持链式等价。注：主流文献（如 Pushnitski 2010，“An integer-valued version of the Birman–Krein formula”, arXiv:1006.0639）常用负号版本 $e^{-2\pi i\xi }=\det S$；两者通过 $\phi \mapsto -\phi$ 对偶一致。

• 适用条件：假设 $(H,H_0)$ 满足适当的相对迹类或局部迹类条件（如 $(H-H_0)\in {\mathfrak{S}}_1$ 的局部化意义），以保证 $S(E)$ 与 $\xi (E)$ 的 a.e. 可微性及 Birman–Kreĭn 公式成立。当 $(H,H_0)$ 源自同一边界三元组/半直线设定且端口 Weyl–Titchmarsh 函数 $m,m_0$ 存在时，在 a.e. $E$ 上有等价式 ${\xi }^{\prime }(E)={\rho }_m(E)-{\rho }_{m_0}(E)$。单通道 $S(E)=e^{2i\phi (E)}$ 下，${\phi }^{\prime }(E)=\pi {\xi }^{\prime }(E)=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$（a.e.）。

其他结构

• de Branges—规范系统：完成函数 $E$ 与内函数 $U=E^{♯}/E$ 生成的 Hilbert 空间 $\mathcal{H}(E)$ 等价于一阶辛型规范系统；Weyl 函数即 $m$。
• 信息势与 Fisher 几何：$\Lambda (\rho )=\log {\sum }_j{w}_j{e}^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩}$，$p_j(\rho )=\frac{w_j{e}^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩}}{{\sum }_{\ell }{w}_{\ell }{e}^{⟨{\beta }_{\ell },\rho ⟩}}$，${\nabla }^2\Lambda ={\mathrm{Cov}}_{p(\rho )}(\beta )$。该等价在正则指数族与正则 Bregman 类之间存在一一对应。

1. 主定理 I：窗口化读数与非渐近误差闭合

定理 1.1（窗口化读数；Nyquist–Poisson–EM 三分解）

假设：被采样函数 $F(E)=w_R(E)[h\star {\rho }_{\star }](E)$ 属于 $L^1(\mathbb{R})$ 或缓增分布 ${\mathcal{S}}^{\prime }$ 且满足 Poisson 求和的对调条件；$h\in L^1\cap L^2$；$w_R$ 为偶窗；${\rho }_{\star }$ 为绝对或相对 LDOS。

取偶窗 $w_R(x)=w(x/R)$ 与前端核 $h\in L^1\cap L^2$。对绝对或相对 LDOS ${\rho }_{\star }\in \{{\rho }_m,{\rho }_{\mathrm{rel}}\}$ 定义读数

$${\mathrm{Obs}}_{\Delta ,T}:=\Delta \sum _{|n|\le M}{w}_R(E_n)[h\star {\rho }_{\star }](E_n),E_n=n\Delta ,T=M\Delta .$$

则

$${\mathrm{Obs}}_{\Delta ,T}={\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(E)[h\star {\rho }_{\star }](E)dE+{\epsilon }_{\mathrm{alias}}+{\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}},$$

其中 （i）${\epsilon }_{\mathrm{alias}}$：由 Poisson 求和导致的频谱回折（aliasing）； （ii）${\epsilon }_{\mathrm{EM}}$：有限阶 Euler–Maclaurin 求和公式之余项； （iii）${\epsilon }_{\mathrm{tail}}$：窗外截断尾项。

别名归零的充要条件与常用判据：由 Poisson 求和公式（见 NIST DLMF §1.8(iv)），${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$ 的充要条件为：

$$\sum _{k\ne 0}\hat{F}\left(\frac{2\pi k}{\Delta }\right)=0.$$

常用充分条件（严格带限 + Nyquist）：若 ${\hat{w}}_R$ 与 $\hat{h}$ 分别严格带限于 $[-{\Omega }_w,{\Omega }_w]$、$[-{\Omega }_h,{\Omega }_h]$，则被采样函数 $F(E)=w_R(E)[h\star \rho ](E)$ 的频谱 $\hat{F}={\hat{w}}_R\ast (\hat{h}\hat{\rho })$ 满足 $\mathrm{supp}\hat{F}\subset [-({\Omega }_w+{\Omega }_h),{\Omega }_w+{\Omega }_h]$（和宽）。当采样满足

$$\boxed{\Delta <\frac{\pi }{{\Omega }_w+{\Omega }_h}}\Rightarrow {\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0,$$

或等价地

$$\boxed{\Delta \le \frac{\pi }{{\Omega }_w+{\Omega }_h}\text{且}\hat{F}(\pm \pi /\Delta )=0}\Rightarrow {\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0.$$

（见 NIST DLMF §1.8(iv) 的带宽-采样折叠判据）。${\epsilon }_{\mathrm{EM}}$ 由有限阶周期化伯努利函数显式控制（NIST DLMF §2.10, §24.11）；${\epsilon }_{\mathrm{tail}}$ 由窗外 $L^2$ 能量给出。

注（有效带宽，对被采样的 $F$）：别名分析针对 $F(E)=w_R(E)[h\star \rho ](E)$ 的时域乘积；其频域为卷积 ${\hat{w}}_R\ast \hat{h}\hat{\rho }$，故谱宽为 ${\Omega }_w+{\Omega }_h$（和宽）。因 $\mathrm{supp}(\hat{h}\hat{\rho })\subseteq \mathrm{supp}(\hat{h})$，故在 $\hat{h}$ 严格带限时 $\hat{\rho }$ 的非带限性不会破坏 $\hat{F}$ 的带限。这与先卷积成核 $w_R\star h$ 再与 $\rho$ 卷积的连续积分层面不同，后者涉及 $\widehat{w_R\star h}={\hat{w}}_R\hat{h}$ 的谱宽 $\min ({\Omega }_w,{\Omega }_h)$，但那不是被采样的对象。若 ${\hat{w}}_R$、$\hat{h}$ 仅近带限，则别名误差由出带能量与采样率共同上界（给出上界而非严格为零）。

注（边界情形）：当 $\mathrm{supp}\hat{F}\subset (-\pi /\Delta ,\pi /\Delta )$ 或在端点处为零时，${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$；若仅“近带限“或端点不为零，别名随“出带能量“与采样率显式上界。

注（近带限情形）：当 $\widehat{w_R}$、$\hat{h}$ 仅近似带限（现实中常见）时，${\epsilon }_{\mathrm{alias}}$ 由出带能量与采样率共同决定，可用 Poisson 项的非零 $k$ 尾和给出上界；理想“${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$“需严格带限 + Nyquist 同时满足。

证明要点. （a）谱侧：由 Herglotz 表示与谱定理，$[h\star {\rho }_{\star }](E)=\int h(E-E^{\prime })d{\mu }_{\star }(E^{\prime })$，$\Im m(E+i0)=\pi {\rho }_m(E)$，得卷积加权形式。

（b）别名（Poisson 求和，本规范）：本文采用的傅里叶规范 $\hat{f}(\xi )=\int f(t)e^{-it\xi }dt$ 下，Poisson 求和公式为

$$\Delta \sum _{n\in \mathbb{Z}}F(n\Delta )=\sum _{k\in \mathbb{Z}}\hat{F}\left(\frac{2\pi k}{\Delta }\right)$$

（与 NIST DLMF §1.8(iv) 在本规范下对应）。若 $\mathrm{supp}\hat{F}\subset (-\pi /\Delta ,\pi /\Delta )$，则仅 $k=0$ 留下。此处 $\xi$ 为角频率（rad/能量），采样点为 $2\pi k/\Delta$。出带能量 ${ϵ}_{\mathrm{OB}}:=|\hat{F}\cdot 1_{|\xi |>\pi /\Delta }{|}_{L^1}$ 给出 $|{\epsilon }_{\mathrm{alias}}|\le {ϵ}_{\mathrm{OB}}$ 的上界（近带限情形）。

（c）EM 余项：采用到 $2p$ 阶 Euler–Maclaurin 需 $F$ 在相关区间上具 $2p$ 阶可积导数，余项 $R_{2p}$ 由周期化伯努利函数 ${\tilde{B}}_{2p}$ 与 $f^{(2p)}$ 表达（NIST DLMF §2.10, §24.11）。当 $F$ 在工作带内具所需阶数的解析延拓时，有限阶 EM 的余项由端点高阶导数与周期化伯努利函数的解析组合构成，不引入新奇点，不提升极阶，仅改变端点解析数据。

推论 1.2（PSWF 能量浓聚与强制性）

对任意 $f\in {\mathsf{PW}}_{\Omega }$（Paley–Wiener 带限空间），时间限制算子在 $[-T,T]$ 上的最大特征值 ${\lambda }_0\in (0,1)$ 满足

$${\int }_{-T}^T|f{|}^2\le {\lambda }_0|f{|}_{L^2(\mathbb{R})}^2,\Rightarrow |1_{|t|>T}f{|}_{L^2}^2\ge (1-{\lambda }_0)|f{|}_{L^2}^2,$$

其中 ${\lambda }_0$ 为时间限制算子在 ${\mathsf{PW}}_{\Omega }$ 上的算子范数（PSWF/DPSS 第 0 阶特征值）。这是在 ${\mathsf{PW}}_{\Omega }$ 上的陈述。据此可得误差泛函的强制性。

注（PSWF 零点性质与能量浓聚）：PSWF 第 $n$ 阶函数在区间 $(-1,1)$ 内恰有 $n$ 个零点（Slepian–Pollak 1961），因此仅第 0 阶可在有限区间内保持单符号（不变号）；高阶函数呈振荡。PSWF/DPSS 的能量浓聚与零点性质见 Slepian–Pollak–Landau 系列（1961–1964）与后续综述，本文仅调用最基本结论。

2. 主定理 II：Born 概率 = 最小 KL 信息投影

设字典 $\{{\varphi }_j\}\subset \mathcal{H}$，评估向量 $k_{s_0}$。几何侧的最小能量 mollifier为

$$\underset{M\in \mathcal{B}}{\min }|M{|}^2\text{s.t.}⟨M,k_{s_0}⟩=1,$$

有限字典写 $M^{\star }={\sum }_j{\beta }_j^{\star }{\varphi }_j$，${\beta }^{\star }=\frac{G^{-1}c}{c^{\ast }{G}^{-1}c}$，$G_{ij}=⟨{\varphi }_i,{\varphi }_j⟩$，$c_j=⟨{\varphi }_j,k_{s_0}⟩$。该解为约束 $c^{\ast }\beta =1$ 的二次型极小问题的拉格朗日解。

对齐假设（可检验条件）：存在线性算子 $\mathcal{T}:\mathcal{H}\to {\mathbb{R}}^d$ 使得： （i）$\mathcal{T}$ 在工作子空间上保持二次型/内积； （ii）$\mathrm{im}(\nabla \Lambda )=\{\text{矩约束可行集}\}$； （iii）$⟨M,k_{s_0}⟩=1⟺{\mathbb{E}}_q[\beta ]=u_0$。

在此字典—约束—势函数三者对齐下，几何最小能量 $⟺$ 最小 KL（I-projection）成立，soft $\to$ hard 极限对应 Hilbert 正交投影。log-partition 的 Bregman 散度与 KL 的对应、I-投影的充要性见 Banerjee et al. (2005) 与 Csiszár (1975)。

当对齐不满足时，本文不主张 Born=最小KL 的无条件成立。

引理 2.1（Bregman–KL 恒等式）

令 $\Lambda (\rho )=\log {\sum }_j{w}_j{e}^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩}$，$p_j(\rho )=\frac{w_j{e}^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩}}{{\sum }_{\ell }{w}_{\ell }{e}^{⟨{\beta }_{\ell },\rho ⟩}}$。则

$$B_{\Lambda }({\rho }^{\prime }\mid \rho )=\Lambda ({\rho }^{\prime })-\Lambda (\rho )-⟨\nabla \Lambda (\rho ),{\rho }^{\prime }-\rho ⟩=\mathrm{KL}(p(\rho )|p({\rho }^{\prime })).$$

标准事实：log-partition $\Lambda$ 的 Bregman 散度即对应该指数族上的 KL 散度，且线性矩约束下的最小-KL（I-projection）给出 softmax 权。以下等式在以 $\rho$ 为自然参数的指数族上成立，故 I-投影给出的 softmax 权与 $\nabla \Lambda$ 的矩匹配等价。参见 Banerjee et al. (2005)、Csiszár (1975)。

定理 2.2（几何最小能量 $⟺$ 最小 KL（I-projection））

假设（字典—约束—势函数等距对齐）：存在线性算子 $\mathcal{T}:\mathcal{H}\to {\mathbb{R}}^d$ 在工作子空间上保持二次型，且 $\mathrm{im}(\nabla \Lambda )$ 与矩约束可行集对齐。

在此对齐下，

$$\boxed{\underset{M}{\min }|M{|}^2\text{s.t.}⟨M,k_{s_0}⟩=1⟺\underset{q\in \Delta }{\min }\{\mathrm{KL}(q|\pi ):{\mathbb{E}}_q[\beta ]=u_0\}}.$$

极小解满足 $\nabla \Lambda ({\rho }^{\star })=u_0$，其权 $p({\rho }^{\star })$ 为 I-projection（在指数族上 log-partition 的 Bregman 散度即 KL；I-投影唯一，见 Banerjee et al., JMLR 2005 与 Csiszár 1975）；当软化参数 $\tau \downarrow 0$（或等价地逆温度 $\kappa =1/\tau \uparrow \infty$；不与字典系数 ${\beta }_j$ 混淆）时，经 $\Gamma$-极限收敛到硬正交投影。

注（退化与择一）：当存在并列极大值/退化时，$\tau \downarrow 0$ 的 softmax 可能收敛到极小支撑的选择（非唯一），此时几何“硬投影“应理解为到极大子空间的正交投影，并需给出平局/择一规则。

推论 2.3（Born 概率的 softmax 实现）

测量概率权即

$$p_j({\rho }^{\star })=\frac{w_j{e}^{⟨{\beta }_j,{\rho }^{\star }⟩}}{{\sum }_{\ell }{w}_{\ell }{e}^{⟨{\beta }_{\ell },{\rho }^{\star }⟩}},$$

它是满足矩约束的最小-KL分布（I-projection），soft $\to$ hard 极限对应几何正交投影（Born）。当约束可行集为非空闭凸集且参考分布有正支撑时，I-投影唯一；并列极值仅在 $\tau \downarrow 0$ 的硬化极限出现选择不唯一（与几何投影到极大子空间一致）。

3. 主定理 III：指针基的谱刻画

设 $G=U\Lambda U^{\ast }$（$\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_k)$）。有

$${\beta }^{\star }\propto U{\Lambda }^{-1}{U}^{\ast }c=\sum _k\frac{⟨u_k,c⟩}{{\lambda }_k}{u}_k,|M^{\star }{|}^{-2}=c^{\ast }{G}^{-1}c=\underset{|y|=1}{\max }\frac{|c^{\ast }y{|}^2}{y^{\ast }Gy}.$$

默认字典线性无关且 $G\succ 0$；若仅半正定，则在 $\mathrm{ran}(G)$ 上取 Moore–Penrose 逆并把 ${\beta }^{\star }$ 解释为最小范数解。

（i）本征基与主导方向：${\beta }^{\star }={\sum }_k\frac{⟨u_k,c⟩}{{\lambda }_k}{u}_k$。因子 $1/{\lambda }_k$ 使小特征值方向被放大，但是否主导取决于同时具有足够大的投影 $|⟨u_k,c⟩|$；从 $G^{-1}$ 度量下的能量角度看，对 ${\beta }^{\star }$ 贡献最强的方向由

$$\arg \underset{k}{\max }\frac{|⟨u_k,c⟩{|}^2}{{\lambda }_k}$$

实现（Rayleigh 商）。这体现了“小特征值放大但需足够投影“的平衡。

（ii）信息几何对应（条件式）：在“字典—约束—势函数“等距对齐（$\mathcal{T}$ 同构且保持二次型）时，${\nabla }^2\Lambda ({\rho }^{\star })$ 的特征方向与 $G$ 的谱向量 $\{u_k\}$ 一一对应；一般情形仅能保证“对应关系“而非同构。此条件下，主导方向仍由上式控制。

4. 相位—密度、Wigner–Smith 时间延迟与“负延迟“的参照依赖

先决条件（标准）：$(H,H_0)$ 满足适当迹类/局部可积条件以保证 $S(E)$ 与 $\xi (E)$ 的 a.e. 可导，并满足 Birman–Kreĭn 公式；单通道时 $S=e^{2i\phi }$ 给出 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}=2{\phi }^{\prime }$，从而 $\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}={\rho }_{\mathrm{rel}}$ a.e.（Wigner 1955；Smith 1960；后续综述/推广见下文参考）。

号记与单位：固定 $\hslash =1$。采用 Birman–Kreĭn 的“正号“约定

$$\det S(E)=e^{+2\pi i\xi (E)},\Rightarrow {\phi }^{\prime }(E)=\pi {\xi }^{\prime }(E)=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)\text{(a.e.)},\mathsf{Q}(E)=-i{S}^{†}\frac{dS}{dE},\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)\text{(a.e.)}.$$

如改用“负号“约定 $\det S=e^{-2\pi i\xi }$，需同时置换 $\phi \mapsto -\phi$ 才保持等式结构一致。

参考：Wigner–Smith 时间延迟矩阵的定义与性质见 Wigner (1955) 与 Smith (1960)；Birman–Kreĭn 公式及其与谱移函数 $\xi$ 的关系见 Yafaev (1992/2010) 与 Pushnitski (2010)，据此得 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 与 ${\xi }^{\prime }$ 的关系。

定理 4.1（相位导数 =（相对）谱密度）

在迹类假设与 a.e. 可微下，

$$\boxed{{\phi }^{\prime }(E)=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\pi {\xi }^{\prime }(E)}\text{(a.e.，按本文正号约定)}.$$

证明：由 $\det S(E)=e^{+2\pi i\xi (E)}$ 与单通道 $S(E)=e^{2i\phi (E)}$ 得 $2\pi {\xi }^{\prime }(E)=2{\phi }^{\prime }(E)$，故 ${\phi }^{\prime }(E)=\pi {\xi }^{\prime }(E)$；再由定义 ${\rho }_{\mathrm{rel}}:={\xi }^{\prime }$ 即得。

注（号记换算与文献对应）：若采用“负号“约定 $\det S=e^{-2\pi i\xi }$（文献常见），则有 ${\phi }^{\prime }=-\pi {\xi }^{\prime }$，其他式子随 $\phi \mapsto -\phi$ 同步调整。Birman–Kreĭn 公式与 $\det S$ 的关系见 Pushnitski (2001)（给出负号版本）；Wigner–Smith 时间延迟矩阵 $\mathsf{Q}=-i{S}^{†}\frac{dS}{dE}$ 与迹—相位关系的现代综述见电磁/声学推广文献（2020–2023）。

命题 4.2（Wigner–Smith 与 LDOS）

在幺正散射下，$\mathsf{Q}(E)=-i{S}^{†}\frac{dS}{dE}$ 为 Hermitian（厄米）；单通道时

$$\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=2{\phi }^{\prime }(E)\text{(a.e.)},$$

于是

$$\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)\text{(a.e.)}.$$

检核线：单通道 $S=e^{2i\phi }$ 时 $\mathsf{Q}=-i{S}^{†}\frac{dS}{dE}=2{\phi }^{\prime }(E)$，故 $\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}={\rho }_{\mathrm{rel}}$；多通道情形参见 Schomerus–Beenakker 系列与 Davy et al. (PRL 2015, “Transmission eigenchannels and the densities of states of random media”) 关于 DOS 与相位导数/延迟矩阵的等价（单位 $\hslash =1$）。在随机矩阵语境下 ${\tau }_W=(1/N)\mathrm{tr}Q$ 与 DOS 的关系亦见实验验证（Grabsch et al. 2018）。“负延迟“来自相对计数与参照 $H_0$ 的选择，并不意味着因果违背。

注（适用域与广义延迟）：恒等式 $\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$ 在 $S(E)$ 与 $\xi (E)$ 的 a.e. 可微与迹类（或局部迹类）假设下成立（幺正散射）。“负延迟“在幺正散射框架下可出现在通道/本征延迟层面，但 $\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 仍与相对 DOS一致。次幺正/耗散体系需改用适当的广义时间延迟与非厄米框架（Chen et al., PRE 2021），局部负值并不违反整体因果约束。电磁/声学扩展见近年的计算与实验综述（2020–2023）。在幺正情形，单通道下 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}=2{\phi }^{\prime }$；多通道下 $\mathsf{Q}$ 的本征值（proper delays）可局部为负而不违背整体因果约束。$\mathsf{Q}$ 的 Hermitian 性仅保证实谱。

5. 窗/核最优化：强式 Euler–Lagrange、KKT 与 $\Gamma$-极限

在带限偶子空间 ${\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}$ 上，定义（$K$ 为最高偶阶索引，与 §1 的采样记号 $M$ 无关）

$$\mathcal{J}(w)=\sum _{j=1}^{K-1}{\gamma }_j|w_R^{(2j)}{|}_{L^2}^2+\lambda |1_{|t|>T}{w}_R{|}_{L^2}^2,\text{s.t.}w(0)=1.$$

其一阶必要条件（频域强式）为

$${\chi }_{[-\Omega /R,\Omega /R]}(\xi )(\sum _{j=1}^{K-1}{\gamma }_j{\xi }^{4j}\widehat{w_R^{\star }}(\xi )+\frac{\lambda }{2\pi }(\widehat{1_{|t|>T}}\ast \widehat{w_R^{\star }})(\xi ))=\eta {\chi }_{[-\Omega /R,\Omega /R]}(\xi ),$$

其中 $\widehat{1_{|t|>T}}=2\pi \delta -\frac{2\sin (T\xi )}{\xi }$（在 ${\mathcal{S}}^{\prime }$ 意义下理解；在本文 Fourier 规范 $\hat{f}(\xi )=\int f(t)e^{-it\xi }dt$ 下成立；常数可与 $\lambda ,\eta$ 重标），$\eta$ 为拉格朗日乘子。

说明（约束来源与常数吸收）：约束 $w(0)=1$ 由反演公式 $w(0)=\frac{1}{2\pi }\int \hat{w}(\xi )d\xi$ 给出，故其变分项在频域为常数，合并到右端的 $\eta$ 中。上式中的所有常数（包括 $2$ 与 $1/(2\pi )$）可统一吸收入 $\lambda ,\eta$ 的重标；数值实现时以固定 Fourier 规范与 Parseval 常数，并通过一次性标定 $\lambda$ 来消除此差异。分布恒等式与余项的周期化伯努利函数表达见 NIST DLMF §2.10；成对公式 $\widehat{1_{[-T,T]}}(\xi )=\frac{2\sin (T\xi )}{\xi }$ 与 $\hat{1}=2\pi \delta$ 的来源见标准教材（如 Stanford EE102 Lecture 11 FT 对偶表）。导数阶数和函数空间（$w_R\in {\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}$ 且 $w_R^{(2K)}\in L^2$）满足即可。指数窗情形宜在时域求解以避免分布阶假设，且仍保持“极点 = 主尺度“。

BN–Bregman 软化与 $\Gamma$-极限：考虑 $\mathcal{J}(w)+\tau {\Lambda }^{\ast }(\mathcal{T}w)$（$\tau >0$），可得唯一极小元；$\tau \downarrow 0$ 时极小值与极小序列 $\Gamma$-收敛至硬约束问题。

6. 奇性保持、阈值与零点稳定半径

在被求和函数 $F$ 于工作带内具有所需阶数的解析延拓且满足 Euler–Maclaurin 公式的标准可微与尾项可积条件时，采用有限阶 EM 与偶窗/核不会引入新奇点且不提升极阶。余项由端点高阶导数与周期化伯努利函数的解析组合构成（见 NIST DLMF §2.10(i)）。具体而言，有限阶 Euler–Maclaurin 的余项可写成 $f^{(p)}$ 与周期化伯努利函数 $P_p$ 的卷积积分，因而不会引入新奇点，且不提升极阶；端点处仅改变解析数据。EM 公式与余项的精确定义、符号与适用条件见 NIST DLMF §2.10(i) 与 §24.11。阈值可由 ${\phi }^{\prime }=\pi \rho$ 的退化点识别，并用 Rouché 定理得到零点位置的稳定半径（细节从略）。

7. 实验/数值协议（可复现纲要）

器件：单通道势垒/量子点/微波波导。 步骤： (1) 校准参照：确定 $(H_0,H)$，由传输/反射数据经 Weyl $m$-函数或等效反演估计 ${\rho }_m,{\rho }_{m_0}$。 (2) 窗/核求解：在 ${\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}$ 或指数族内按 §5 强式方程求 $w_R^{\star }$。 (3) 采样账本：记录 $(\Delta ,M,T)$ 与 Nyquist 条件 $\Delta \le \pi /({\Omega }_w+{\Omega }_h)$；EM 取有限阶并给出上界。 (4) 读数映射：以定理 1.1 将数据还原为 $w_R$ 与 $h$ 对 ${\rho }_{\star }$ 的加权；分别对 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 与 ${\rho }_m$ 读取，比较延迟符号的参照依赖。 (5) 指针/概率：构造字典与 $G,c$，计算 ${\beta }^{\star }$、Rayleigh 商；soft 层用 $\Lambda$ 得到 $p({\rho }^{\star })$（Born 权）。

8. 与既有理论的关系与澄清

• 操作—信息等价：本文并非“从零公设导出 Born“，而是给出在真实窗/核/采样流程下的最小-KL ↔ Hilbert 投影等价；hard 极限对应正交投影（Born）。
• Wigner–Smith 与 DOS：$\mathrm{tr}\mathsf{Q}/2\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}$ 来自相位—谱移—LDOS 之链；“负延迟“属相对计数效应。
• PSWF 与最优能量集中：带限窗的内/外能量分配由 PSWF 谱控制，支撑强制性与最优窗存在性。

9. 与 S15–S23 及量子读数理论的接口

• S15（Weyl–Heisenberg 酉表示）：窗族 $U_{\tau }{V}_{\sigma }w$ 的协变性保证读数算符在相位—尺度群下的对称性；等距性使信息势 $\Lambda$ 在群平均下保持。
• S16（de Branges–Krein 规范系统）：我们只用到 $m$ 为 Herglotz–Nevanlinna 函数并与某个规范系统/HB 生成函数 $E$ 对应这一事实；不假设 $m=-E^{\prime }/E$ 的特殊形态（该式仅在特殊情形可成立）。传递矩阵 $M(t,z)$ 的 $J$-酉性保证 $\Im m>0$，从而 ${\rho }_m\ge 0$。
• S17（散射算子与功能方程）：定理 4.1 的 ${\phi }^{\prime }=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}$ 即 S17 散射相位导数判据；通道特征值等价给出 $\det S=c_{0}U$ 的相位—密度词典。
• S18（轨道—谱窗化不等式）：定理 1.1 的三分解误差与 S18 §3.3 统一非渐近上界对齐；Nyquist 条件下别名归零对应 S18 带限 Paley–Wiener 假设。
• S19（谱图与 Ihara ζ）：离散图的非回溯算子给出“离散相位导数 = 离散谱密度“；本文 Poisson 求和在离散设定下退化为有限和，误差仅剩 EM 层与截断。
• S20（BN 投影—KL 代价—灵敏度）：定理 2.2 的最小-KL ↔ 最小能量等价直接调用 S20 §2 的 Bregman–KL 恒等式；软化与 $\Gamma$-极限对应 S20 §3。
• S21（连续谱阈值与奇性稳定性）：本文 ${\phi }^{\prime }=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}$ 对应 S21 §0.2 相位—密度同一式（0.1）；阈值判据 ${\phi }^{\prime }=0\iff {\rho }_{\mathrm{rel}}=0$ 给出窗化读数的奇点检测。
• S22（窗/核最优化）：§5 的频域强式方程对应 S22 式（2.2）；BN–Bregman 软化与 $\Gamma$-极限继承 S22 定理 5.1。
• S23（多窗/多核协同优化）：本文单窗最优可推广至 S23 向量窗与帧算子层面；指针基判据（定理 III）对应 S23 §5 的双帧结构与 Wexler–Raz 双正交。
• 量子读数理论（phase-derivative-spectral-density-windowed-readout.md）：本文定理 1.1 即该文 §3 的窗化迹与三分解误差；定理 4.1 对应该文定理 2.1 的相位—密度词典；本文进一步给出 Born 概率与指针基的信息几何刻画。

10. 结论

本文把量子测量统一为窗口化读数问题，并得到：

• Born 概率 = 最小-KL 信息投影（soft）；该等价依赖“字典—约束—势“的等距对齐；当约束/字典未对齐时，本文等价结论不无条件成立。
• 指针基 = 最小能量/信息投影本征基，其主导方向由 $\arg {\max }_k\frac{|⟨u_k,c⟩{|}^2}{{\lambda }_k}$ 给出（soft/hard 一致，经 $\Gamma$-极限）；
• 延迟/隧穿 = （相对）LDOS 的读数；“负延迟“来自参照与相对计数；幺正/次幺正需区分对待。
• 别名归零：本文关于 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}=0$ 的断言建立在严格带限 + Nyquist 的前提上；对近带限窗/核，我们给出显式可计算的 Poisson 折叠尾和上界与 EM 余项上界，并在实验协议（§7）中给出可检验账本。
• 实现路线：PSWF/带限窗 + Nyquist–Poisson–EM + 变分最优，形成非渐近、可复现的误差闭合与设计准则。

参考文献（选）

核心理论

• de Branges, Hilbert Spaces of Entire Functions（Purdue 公开本）。
• Wigner, Lower Limit for the Energy Derivative of the Scattering Phase Shift, Phys. Rev. 98, 145 (1955).
• Smith, Lifetime Matrix in Collision Theory, Phys. Rev. 118, 349 (1960).
• Yafaev, Mathematical Scattering Theory: General Theory (AMS, 1992/2010).
• Pushnitski, The spectral shift function and the invariance principle, J. Funct. Anal. 183, 269 (2001); arXiv:math/9911182（开放获取）。
• Pushnitski, An integer-valued version of the Birman–Krein formula, arXiv:1006.0639 (2010)（负号约定版本）。
• Behrndt–Gesztesy–Nakamura, Spectral shift functions and Dirichlet-to-Neumann maps, Math. Ann. 371, 1255 (2018); arXiv:1609.08292.
• Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics (AMS, 2014)；Kostenko–Teschl, Spectral theory as influenced by Fritz Gesztesy, arXiv:2106.06207（Weyl–Titchmarsh $m$-函数与 Herglotz–Pick 边界值）。
• Kostenko–Sakhnovich–Teschl, Weyl–Titchmarsh theory for Schrödinger operators with strongly singular potentials, arXiv:1007.0136 (2010)（含 Stieltjes inversion 引理）。

采样与能量浓聚

• Slepian–Pollak, Prolate Spheroidal Wave Functions, I, Bell Syst. Tech. J. 40, 43 (1961)（公开PDF：https://archive.org/details/bstj40-1-43）。
• Landau–Pollak, Prolate Spheroidal Wave Functions, II/III, Bell Syst. Tech. J. (1961/1962)。
• Slepian, Prolate Spheroidal Wave Functions, Fourier Analysis and Uncertainty — V, Bell Syst. Tech. J. (1978)（DPSS）。

信息几何

• Banerjee et al., Clustering with Bregman Divergences, JMLR 6, 1705 (2005)。
• Csiszár, I-divergence geometry of probability distributions and minimization problems, Ann. Probab. 3, 146 (1975)。
• Amari–Nagaoka, Methods of Information Geometry（AMS MMONO-191, 2000）。

推广与数值

• Chen et al., Generalization of Wigner time delay to subunitary scattering systems, Phys. Rev. E 103, L050203 (2021).
• NIST DLMF §1.8(iv)：Poisson Summation Formula（https://dlmf.nist.gov/1.8）。
• NIST DLMF §2.10(i) & §24.11：Euler–Maclaurin 公式与余项（https://dlmf.nist.gov/2.10, https://dlmf.nist.gov/24.11）。
• Davy et al., Transmission eigenchannels and the densities of states of random media, Phys. Rev. Lett. 114, 033901 (2015)（多通道 DOS 与相位导数/延迟矩阵的等价）。
• Grabsch et al., Time delay and Wigner–Smith matrix for general networks, Phys. Rev. A 98, 033831 (2018)（随机矩阵语境下的实验验证）。
• Hur, Density of Schrödinger Weyl-Titchmarsh m functions on Herglotz wave functions, arXiv:1501.01268 (2015).

附录：关键式索引（便于检索）

• Poisson 求和（本规范 $\hat{f}(\xi )=\int f(t)e^{-it\xi }dt$）：$\Delta {\sum }_{n}F(n\Delta )={\sum }_k\hat{F}\left(\frac{2\pi k}{\Delta }\right)$。
• Herglotz 边界值（与 FT 规范无关）：$\Im m(E+i0)=\pi \rho (E)$（a.e.）。
• 相位—密度—谱移：${\phi }^{\prime }=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}=\pi {\xi }^{\prime }$（a.e.，在标准迹类/可微条件下；按本文 BK 正号约定）。
• 时间延迟密度：$\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$（a.e.，幺正散射下）。
• 窗化读数：${\mathrm{Obs}}_{\Delta ,T}=\int w_R(h\star {\rho }_{\star })+{\epsilon }_{\mathrm{alias}}+{\epsilon }_{\mathrm{EM}}+{\epsilon }_{\mathrm{tail}}$。
• Nyquist 无别名（充分条件）：$\Delta \le \pi /({\Omega }_w+{\Omega }_h)$ 且 $\hat{F}(\pm \pi /\Delta )=0$（针对采样变量 $E$ 上的 $F=w_R\cdot (h\star \rho )$ 的时域乘积；频域支集宽度为和宽 ${\Omega }_w+{\Omega }_h$）；充要条件为 ${\sum }_{k\ne 0}\hat{F}(2\pi k/\Delta )=0$。
• Bregman–KL（log-partition）：$B_{\Lambda }({\rho }^{\prime }\mid \rho )=\mathrm{KL}(p(\rho )|p({\rho }^{\prime }))$。
• 最小能量解与主导方向：${\beta }^{\star }=\frac{G^{-1}c}{c^{\ast }{G}^{-1}c}$，$\arg {\max }_k\frac{|⟨u_k,c⟩{|}^2}{{\lambda }_k}$。
• PSWF 能量浓聚与零点：第 $n$ 阶在 $(-1,1)$ 恰有 $n$ 个零点；${\lambda }_0$ 控制区间内能量上界。
• 带限最优窗强式：见 §5 频域方程。

（全文完）