WSIG 统一测量框架（UMS）

—— 有限窗口协变的“散射—信息—几何“统一理论（正式学术论文，含完整证明）

作者：Auric（S-series / EBOC 体系） 版本：v2.5（由 v2.4 递增）

摘要

本文以相位—密度刻度、窗口化读数与信息几何为三根主轴，把“态—测量—概率—指针—散射相位—群延迟—采样/帧—误差学—通道容量“焊接为一个可验证的范畴化统一理论（UMS）。核心统一式采用同一刻度的三种密度表达：

$$\boxed{d{\mu }_{\phi }(E):=\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }dE=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)dE={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE}\text{（a.c. 谱上 a.e.）}$$

（上式在 a.c. 谱上 a.e. 成立，$\mathrm{Arg}\det S$ 取连续分支；跨阈值/原子点以 $\Delta {\mu }_{\phi }={\mu }_{\phi }(\{E_{\ast }\})$ 跳跃拼接，对应谱移函数 $\xi (E)$ 的跳跃与束缚态/阈值多重度一致——在 Levinson 型定理语境下，谱移 $\xi$ 的跳跃量等于该能量处的束缚态/半束缚态个数。）

其中 $\mathsf{Q}(E)=-i{S}^{†}(E)S^{\prime }(E)$ 为 Wigner–Smith 群延迟矩阵，${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=-{\xi }^{\prime }(E)$ 为 Birman–Kreĭn 谱移密度（采用 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$ 的约定）。在多通道情形，总相位定义为 $\phi (E):=\frac{1}{2}\mathrm{Arg}\det S(E)$（取连续分支）。

规范化说明（统一）：本文将 ${\mu }_{\phi }$ 视为局部有限的有符号 Radon 测度，作 Lebesgue 分解 ${\mu }_{\phi }={\mu }_{\phi }^{\mathrm{ac}}+{\mu }_{\phi }^{\mathrm{s}}+{\mu }_{\phi }^{\mathrm{pp}}$，并作 Jordan 分解 ${\mu }_{\phi }={\mu }_{+}-{\mu }_{-}$（${\mu }_{\pm }\ge 0$）。当 ${\mu }_{\phi }$ 为非负 Borel 测度且满足 Herglotz 表示的标准增长/可积条件（例如 $\int (1+E^2{)}^{-1}d{\mu }_{\phi }(E)<\infty$，超出部分吸收到 $a+bz$ 项）时，存在 Herglotz 函数 $m$ 使 ${\pi }^{-1}\Im m(E+i0)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$（a.e.），并在恰当规范化下（消去 $a+bz$ 自由度）由trace-normed DBK 规范系统实现全局表示；若 ${\mu }_{\phi }$ 含负部，仅能在 ${\rho }_{\mathrm{rel}}>0$ 的 a.c. 分段建立局部表示。其绝对连续部分满足

$$\boxed{d{\mu }_{\phi }^{\mathrm{ac}}(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)dE=\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }dE\text{(a.e.)}}.$$

若存在奇异/原子部分，则分别记为 ${\mu }_{\phi }^{\mathrm{s}},{\mu }_{\phi }^{\mathrm{pp}}$，并在跨阈值/原子能级时通过 $\Delta {\mu }_{\phi }={\mu }_{\phi }(\{E_{\ast }\})$ 体现跳跃。

说明：在一般散射对下，${\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$ 为与自由系之相对态密度，可能变号（负群延迟与谱移密度变号在多类波动散射中可观测，与脉冲整形/共振背景有关，见电磁与非厄米散射体系中的负 Wigner–Smith 延迟与复延迟实测/数值报道），故 $d{\mu }_{\phi }$ 一般为符号测度（signed measure）。本文的主要定理（定理 3.1、3.2）要求 ${\mu }_{\phi }$ 全体无负部时给出全局 DBK 表示，符号测度情形仅能在 ${\rho }_{\mathrm{rel}}>0$ 的 a.c. 分段上得到局部表示。

参考根据：Herglotz 表示与 trace-normed 规范系统的一一对应建立在非负测度上；对任意 Herglotz 函数存在唯一（至自然等价）trace-normed 规范系统。

该式把散射相位导数、相对谱密度与群延迟统一到同一刻度；测量读数以窗—核谱积分表示，并以 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（EM） 三分解给出有限阶、非渐近误差闭合；概率唯一性由 Naimark 扩张与 Gleason 定理保障；采样/帧门槛由 Landau 必要密度、Wexler–Raz 双正交与 Balian–Low 不可能性刻画；开放系统的信息单调与容量上界由 GKSL 主方程、量子相对熵在正迹保持映射下的单调（DPI）以及 HSW 定理控制。

关键词：散射相位；Wigner–Smith 群延迟；Birman–Kreĭn；de Branges / Herglotz；Naimark 扩张；Gleason；Landau 密度；Wexler–Raz；Balian–Low；Euler–Maclaurin；Poisson；GKSL；DPI；HSW。

0. 预备与号记

0.1 散射与群延迟。 设 $S(E)\in U(N)$ 在 a.c. 谱上具弱导数或有界变差，Wigner–Smith 群延迟矩阵定义为 $\mathsf{Q}(E)=-i{S}^{†}(E)S^{\prime }(E)$，其中 $S^{\prime }(E)$ 按分布导数理解。对酉 $S$ 有 $S^{†}{S}^{\prime }=(S^{-1}{S}^{\prime })$ 反厄米，故迹纯虚。由 Jacobi 公式 $\frac{d}{dE}\log \det S=\mathrm{tr}(S^{-1}{S}^{\prime })$，且 $S^{-1}=S^{†}$（酉），得 $\frac{d}{dE}\mathrm{Arg}\det S=\Im \mathrm{tr}(S^{†}{S}^{\prime })$；于是

$$\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=-i\mathrm{tr}(S^{†}{S}^{\prime }(E))=\Im \mathrm{tr}(S^{†}{S}^{\prime }(E))=\frac{d}{dE}\mathrm{Arg}\det S(E)\text{（取连续分支，a.c. 谱上 a.e. 成立）},$$

单通道 $S(E)=e^{2i\phi (E)}$ 时 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=2{\phi }^{\prime }(E)$。跨阈值/原子点时不要求处处可微，而是通过跳跃 $\Delta {\mu }_{\phi }$ 拼接。

记号约定：下文中“a.c.“表绝对连续谱区；“a.e.“指相对于 Lebesgue 测度的几乎处处。$\mathsf{Q}$ 的定义域为 a.c. 谱区的 a.e. 点集，在该区间外（阈值、原子点）用谱测度的跳跃部分 ${\mu }_{\phi }^{\mathrm{pp}}$ 描述。

多通道刻度化相位：令 $\phi (E):=\frac{1}{2}\mathrm{Arg}\det S(E)$（选取连续分支，a.c. 谱上 a.e. 可导），则

$$d{\mu }_{\phi }(E)=\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }dE=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)dE.$$

单通道退化为 $S=e^{2i\phi }$。$\mathrm{Arg}\det S$ 取局部连续分支，仅在 a.c. 谱上 a.e. 可微；跨越阈值与原子点时以跳跃补偿。

单位说明：本文取 $\mathsf{Q}(E)=-i{S}^{†}(E)S^{\prime }(E)$，其量纲为能量${}^{-1}$（$S^{\prime }(E)$ 对能量求导产生 $1/\text{能量}$ 的量纲）；在酉散射情形，物理时间延迟取Wigner–Smith 延迟：$\tau =\hslash \mathrm{eig}(\mathsf{Q})$；非酉/耗散时 $\mathsf{Q}$ 一般非自伴（特征值可为复数），$\tau$ 的定义需按 §6.2 指定（例如取 $\Re \mathrm{eig}(\mathsf{Q})$ 作为驻留相关量），本文不将二者混同。在孤立 Breit–Wigner 共振处，由 $\tau (E)=2\hslash {\delta }^{\prime }(E)$ 与 ${\delta }^{\prime }(E_0)=2/\Gamma$ 得 ${\tau }_{\max }(E_0)=4\hslash /\Gamma$，而寿命 ${\tau }_{\text{life}}=\hslash /\Gamma$，二者相差因子 4。宽度记号说明：本文统一以极点 $E_0-i\Gamma /2$ 计宽度；若参考采用 $E_0-i\Gamma$ 的文献，请将本文 $\tau$ 数值整体乘以 $1/2$ 对齐（峰值由 $4\hslash /\Gamma$ 变为 $2\hslash /\Gamma$）。该约定与电磁及量子散射文献一致（与 §6.2 的非厄米扩展照应）。

0.2 谱移与 Birman–Kreĭn。 采用 BK 的负号约定：$\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$。

行列式约定（BK/Fredholm）：本文中的 $\det S(E)$ 指 Birman–Kreĭn 意义下的 Fredholm 行列式 ${\det }_{\mathrm{F}}S(E)$。在 $(H-z{)}^{-1}-(H_0-z{)}^{-1}\in {\mathfrak{S}}_1$（等价地，a.e. $E$ 上 $S(E)-I\in {\mathfrak{S}}_1$）的前提下，${\det }_{\mathrm{F}}S(E)$ 良定义，$\mathrm{Arg}{\det }_{\mathrm{F}}S(E)$ 可选取连续分支并在 a.c. 谱上 a.e. 可导，从而

$$\frac{d}{dE}\mathrm{Arg}\underset{\mathrm{F}}{\det }S(E)=-2\pi {\xi }^{\prime }(E),{\rho }_{\mathrm{rel}}(E):=-{\xi }^{\prime }(E),$$

因此 $\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$（a.e.）。负群延迟与谱移密度变号在多类波动散射中可观测，与脉冲整形/共振背景有关（见电磁与非厄米散射体系中的负 Wigner–Smith 延迟与复延迟实测/数值报道，含亚酉散射近作）。

散射对前提（BK 公式适用性）：上述 BK 恒等式 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$ 及其导出关系 $\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}={\rho }_{\mathrm{rel}}=-{\xi }^{\prime }$ 在自伴散射对 $(H,H_0)$ 下成立，其中 $H_0$ 为自由哈密顿量，$H=H_0+V$ 为全哈密顿量，并假设 $(H-z{)}^{-1}-(H_0-z{)}^{-1}$ 属 trace class（或等价的可加条件，如 $V(H_0-z{)}^{-1}$ 属 trace class），从而保证波算子 $W_{\pm }={\mathrm{s}-\lim }_{t\to \pm \infty }{e}^{iHt}{e}^{-i{H}_{0}t}$ 存在、完备，散射算子 $S=W_{+}^{†}{W}_{-}$ 酉，且谱移函数 $\xi$ 定义良好；非厄米/耗散情形需在最大耗散扩张或自伴扩张框架下单列（参见 Pushnitski, A., arXiv:1006.0639；Behrndt–Malamud–Neidhardt, arXiv:0712.3120）。

0.3 DBK 规范系统与 Herglotz 词典。 一维 de Branges–Kreĭn 规范系统 $J{Y}^{\prime }(t,z)=zH(t)Y(t,z)$ 的 Weyl–Titchmarsh 函数 $m:{\mathbb{C}}^{+}\to {\mathbb{C}}^{+}$ 为 Herglotz 函数，其标准表示 $m(z)=a+bz+\int (\frac{1}{t-z}-\frac{t}{1+t^2})d\nu (t)$ 中 $d\nu \ge 0$ 为非负 Borel 测度且满足 $\int (1+t^2{)}^{-1}d\nu (t)<\infty$（超出部分吸收到 $a+bz$ 项），边界虚部给出绝对连续谱密度 ${\rho }_{\mathrm{ac}}(E)={\pi }^{-1}\Im m(E+i0)={\pi }^{-1}\frac{d{\nu }^{\mathrm{ac}}}{dE}$（a.e.）；此处 ${\rho }_{\mathrm{ac}}$ 指被考察算子的绝对连续谱部分的谱密度（此 ${\rho }_{\mathrm{ac}}$ 非本文的相对谱密度 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$），若存在奇异/原子部分，其贡献体现在相应的谱测度分解中。在恰当规范化下（消去 $a+bz$ 自由度），trace-normed 规范系统与 Herglotz 函数及 de Branges 空间存在一一对应且唯一（至自然等价）（参见 Remling, C., Hur, I., arXiv:1501.01268；de Branges, L., Hilbert Spaces of Entire Functions）。

符号测度情形的分段拼接：当 ${\mu }_{\phi }$ 含负部（即 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 变号）时，仅能在 ${\rho }_{\mathrm{rel}}>0$ 的各 a.c. 分段 $I_j$ 上分别构造 trace-normed 规范系统 $(H_j,J_j)$ 与对应 Herglotz 函数 $m_j$，使 ${\pi }^{-1}\Im m_j(E+i0)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$ a.e. 在 $I_j$ 上成立；各分段按谱测度 ${\mu }_{\phi }$ 的 Lebesgue 分解与 Jordan 分解逐段拼接，唯一性与一致性在每个分段内由 trace-normed 规范保证，但全局不存在单一规范系统的 Herglotz 表示。

0.4 采样、帧与门槛。 Paley–Wiener 类的稳定采样/插值服从 Landau 必要密度（Landau 1967，见参考文献 [4]）；Gabor 系的对偶窗满足 Wexler–Raz 双正交（Daubechies–Landau–Landau 1995，见参考文献 [5]）；临界密度下满足 Balian–Low 不可能性（见参考文献 [6]）。

0.5 测量与概率唯一性。 任一 POVM 可由更大空间中的 PVM 压缩得到（Naimark 扩张）；当 $\dim \mathcal{H}\ge 3$ 时，满足可加性的概率测度必为 $\mathrm{Tr}(\rho \cdot )$（Gleason 定理）。二能级体系可用 Busch–Gleason 的 POVM 版补足，但本文不需涉及。

0.6 开放系统与信息界。 马尔可夫开放演化由 GKSL（Lindblad）主方程描述；量子相对熵在正迹保持映射下单调不增（DPI）；量子信道的无助理经典容量由 HSW 正则化公式给出。

0.7 Nyquist–Poisson–EM（有限阶非渐近误差学）。 带限信号在理想采样与理想重构滤波前提下，当采样率 $f_s\ge 2B$ 时别名项消失；工程稳健通常取 $f_s>2B$。Euler–Maclaurin（EM）用于离散—连续换序时，取 $m\in \mathbb{N}$ 使被积/被和函数 $F\in C^{2m}$ 且 $F^{(2m)}$ 有界或具有限总变差，则余项具显式积分上界。EM 余项采用 Archive of Formal Proofs (AFP-Isabelle) 条目 The Euler–MacLaurin Formula 的形式化上界（Eberl, M., 见参考文献 [11]），在实现中显式指明所取阶数 $m$ 与被积/被和函数的正则性（$C^{2m}$ 或有限总变差）以复现上界。

选择 $m$ 的经验指引（实现可操作性）：

• $m=1$（2 阶校正）：被积函数 $F\in C^2$，适用于分段线性窗或低光滑度核；
• $m=2$（4 阶校正）：$F\in C^4$，适用于多数光滑窗函数（如高斯窗、Hann 窗）与谱积分；
• $m=3$（6 阶校正）：$F\in C^6$，适用于高精度要求或需控制尾部振荡的情形。 实践中先验证 $F^{(2m)}$ 的 $L^{\infty }$ 范数或总变差有限，再将其代入 AFP-Isabelle 的余项界公式得可执行上界。

1. 公理体系（Axioms）

A1（双表象与协变）。 $\mathcal{H}(E)$（能量表象）与 ${\mathcal{H}}_a=L^2({\mathbb{R}}_{+},x^{a-1}dx)$（相位—尺度表象，其中 $a>0$ 由所用 Mellin 权确定）等距等价；离散—连续换序使用有限阶 EM，按 0.7 的光滑与（有界或有限变差）前提控制余项。此“等距等价“系指在所用 DBK 规范系统/Weyl–Mellin 变换已构造到位时的单位算子实现；读者不应将其理解为任意系统之间的无条件同构。实施前提：当 ${\mu }_{\phi }$ 为非负 Borel 测度且满足 Herglotz 条件（标准增长/可积性，例如 $\int (1+E^2{)}^{-1}d{\mu }_{\phi }(E)<\infty$）时，存在 Herglotz 函数 $m$ 使得在恰当规范化下（消去 $a+bz$ 自由度）由trace-normed DBK 规范系统实现全局 DBK 表示与等距等价；此时 ${\mu }_{\phi }^{\mathrm{ac}}$ 满足 ${\rho }_{\mathrm{rel}}={\pi }^{-1}\Im m$（a.e.）。若 ${\mu }_{\phi }$ 含负部，则仅在 ${\rho }_{\mathrm{rel}}>0$ 的 a.c. 分段逐段实现等距等价，不保证单一规范系统的全局实现。（括注：${\rho }_{\mathrm{rel}}=-{\xi }^{\prime }$ 为相对态密度，一般可变号；故 ${\mu }_{\phi }$ 常为符号测度，仅其非负情形可由 Herglotz–DBK 全局表示，参见定理 3.1。）

A2（有限窗口读数）。 任一次“可实现读数“写作窗—核谱积分 $K_{w,h}=\int h(E)w_R(E)d{\Pi }_A(E)$。为确保 $K_{w,h}$ 在所有密度算子 $\rho$ 上的期望值 $\mathrm{Tr}(\rho K_{w,h})$ 良定义并一致有界，本文限定 $g(E):=h(E)w_R(E)\in L^{\infty }(\mathbb{R};\mathbb{R})$ 且为 Borel 可测，据此 $K_{w,h}$ 为有界自伴算子；误差以“别名（Poisson）+ 伯努利层（EM）+ 截断“三项非渐近闭合（理想采样下带限且 $f_s\ge 2B$ 时别名为 0）。一次“读数“的数值为 $\mathrm{Tr}(\rho K_{w,h})$。记号约定：下文一律用 ${\Pi }_A$ 表示投影值谱测度（避免与能量变量 $E$ 产生符号歧义）。

A3（概率—信息一致性）。 对 PVM $\{P_j\}$ 与态 $\rho$，线性约束 $p_j=\mathrm{Tr}(\rho P_j)$ 使可行集为单点 $\{p^{\star }\}$，任意严格凸 Bregman/KL 的 I-projection 唯一取于 $p^{\star }$；POVM 情形先作 Naimark 扩张到 PVM 再回推。Gleason（$\dim \mathcal{H}\ge 3$）确保此概率形式的唯一性。维度条件：二能级体系（$\dim \mathcal{H}=2$）需用 Busch–Gleason 的 POVM 版补足（Busch, P., Phys. Rev. Lett., 2003）。

A4（指针子空间 / 光谱极小的下确界版）。

（记号约定） 对任意 $r\in \mathbb{N}$：

1. $U:{\mathbb{C}}^r\to \mathcal{H}$ 表示等距嵌入（柱向量 $(u_1,\dots ,u_r)$ 正交归一），故 $U^{†}U=I_r$，且 $\mathrm{tr}(U^{†}{K}_{w,h}U)={\sum }_{j=1}^r⟨u_j,K_{w,h}{u}_j⟩$。
2. $P_M$ 为 $\mathcal{H}$ 上到 $r$ 维子空间 $M$ 的正交投影，并有 ${\mathrm{tr}}_M(P_M{K}_{w,h}{P}_M)=\mathrm{tr}(U^{†}{K}_{w,h}U)$（$U$ 的像即 $M$）。

于是以下“压缩迹/变分式“完全等价。

令 $K_{w,h}=\int g(E)d{\Pi }_A(E)$ 为有界自伴。对任意 $r\in \mathbb{N}$，记谱投影 $P_t:=1_{(-\infty ,t]}(K_{w,h})$。定义 $$m_r:=\underset{U^{†}U=I_r}{\inf }\mathrm{tr}\left(U^{†}{K}_{w,h}U\right).$$ （迹约定：此处 $\mathrm{tr}(P_M{K}_{w,h}{P}_M)$ 为 $M$ 上的有限维迹 ${\mathrm{tr}}_M$，与 $\mathrm{tr}(U^{†}{K}_{w,h}U)$ 等价，其中 $U:{\mathbb{C}}^r\to \mathcal{H}$ 为 $M$ 的等距嵌入。） 则对任意 $t\in \mathbb{R}$ 与任意 $r$ 维子空间 $M\subset \mathrm{Ran}{P}_t$ 有 ${\mathrm{tr}}_M(P_M{K}_{w,h}{P}_M)\le rt$，且 $$m_r=\underset{t\in \mathbb{R}}{\inf }\underset{\begin{array}{c}M\subset \mathrm{Ran}{P}_t\\ \dim M=r\end{array}}{\inf }{\mathrm{tr}}_M(P_M{K}_{w,h}{P}_M),$$ 一般仅取得下确界（不保证取到）。若 $K_{w,h}$ 为紧或在有限维截断上（或其底谱阈值 $t_0:=\inf \sigma (K_{w,h})$ 处存在至少 $r$ 个本征值，可为嵌入本征值，计重数），则该下确界可达，且极小子空间由最小 $r$ 个本征值的本征向量张成。

A5（相位—密度—延迟刻度）。 采用 BK 约定，

$$\boxed{\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }\text{(a.e.)}}.$$

前提：见 §0.2『散射对前提（BK 公式适用性）』。

A6（采样—帧门槛）。 稳定采样满足 Landau 必要密度；多窗对偶由 Wexler–Raz 描述；临界密度触发 Balian–Low 不可能性。

A7（通道—单调—容量）。 演化受 GKSL 主方程；量子相对熵在**正迹保持（PTP）映射下单调（DPI）；经典容量由 HSW 定理给出（需完全正且迹保持（CPTP）**信道）。

2. UMS 的范畴化定义

定义 2.1（对象）。 $U=(\mathcal{H},\mathcal{C},\mathcal{O},\mathbb{W},\mathcal{S},D)$，其中 (i) $\mathcal{H}$：由 $\mathcal{H}(E)/{\mathcal{H}}_a$ 纤维化的希尔伯特丛； (ii) $\mathcal{C}$：闭/开放演化（含 GKSL 半群）； (iii) $\mathcal{O}$：可观测与谱测度 ${\Pi }_A$； (iv) $\mathbb{W}$：窗—核系统与 Nyquist–Poisson–EM 误差账本； (v) $\mathcal{S}$：散射函子 $E\mapsto (S,\mathsf{Q},\xi )$； (vi) $D$：信息散度（KL/Bregman）与其诱导几何。

定义 2.2（态与刻度）。 纯态/混合态分别为向量/密度算子；定义相位—密度刻度

$$d{\mu }_{\phi }(E):=\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }dE=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)dE={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE\text{（一般为符号测度）}.$$

（上式在 a.c. 谱上 a.e. 成立，$\mathrm{Arg}\det S$ 取连续分支；跨阈值/原子点以 $\Delta {\mu }_{\phi }={\mu }_{\phi }(\{E_{\ast }\})$ 跳跃拼接。）

规范化说明（统一）：本文将 ${\mu }_{\phi }$ 视为局部有限的有符号 Radon 测度，作 Lebesgue 分解 ${\mu }_{\phi }={\mu }_{\phi }^{\mathrm{ac}}+{\mu }_{\phi }^{\mathrm{s}}+{\mu }_{\phi }^{\mathrm{pp}}$，并作 Jordan 分解 ${\mu }_{\phi }={\mu }_{+}-{\mu }_{-}$（${\mu }_{\pm }\ge 0$）。当 ${\mu }_{\phi }$ 为非负 Borel 测度且满足 Herglotz 表示的标准增长/可积条件（例如 $\int (1+E^2{)}^{-1}d{\mu }_{\phi }(E)<\infty$，超出部分吸收到 $a+bz$ 项）时，存在 Herglotz 函数 $m$ 使 ${\pi }^{-1}\Im m(E+i0)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$（a.e.），并在恰当规范化下（消去 $a+bz$ 自由度）由trace-normed DBK 规范系统实现全局表示；若 ${\mu }_{\phi }$ 含负部，仅能在 ${\rho }_{\mathrm{rel}}>0$ 的 a.c. 分段建立局部表示。其绝对连续部分满足

$$d{\mu }_{\phi }^{\mathrm{ac}}(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)dE=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)dE=\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }dE\text{(a.e.)}.$$

若存在奇异/原子部分，则分别记为 ${\mu }_{\phi }^{\mathrm{s}},{\mu }_{\phi }^{\mathrm{pp}}$，并在跨阈值/原子能级时通过 $\Delta {\mu }_{\phi }={\mu }_{\phi }(\{E_{\ast }\})$ 体现跳跃。

定义 2.3（态射）。 对象间态射为保持 (i)–(vi) 的结构映射；态间态射默认取 CPTP（量子信道）；仅当陈述 DPI 时，可放宽为**正迹保持（PTP）**映射（DPI 在此范围内仍成立，但 HSW 容量定理需要 CPTP）。

3. 主定理与完整证明

定理 3.1（UMS 表示定理，非负测度情形）

命题。 在 ${\mu }_{\phi }$ 全体无负部（等价地，其 Lebesgue 分解的每一部分均非负）的情形，任何满足 A1–A7 的有限窗口测量理论与某个 DBK 规范系统（及其 Herglotz 函数 $m$）所确定的 $U\in \mathbf{UMS}$ 等价；若 ${\mu }_{\phi }$ 为符号测度，则仅能在 ${\rho }_{\mathrm{rel}}>0$ 的 a.c. 分段上得到局部表示，不能保证单一 DBK 系统的全局表示。在此等价下

$$\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }\text{(a.e.)},$$

测量侧 $K_{w,h}$ 与信息侧（I-projection）满足 A2–A3；帧与门槛满足 A6；等价唯一至相位重参数化与酉变换。

证明。 (1) 散射—相位—密度统一。 由 0.1 得 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}=\frac{d}{dE}\mathrm{Arg}\det S$；由 0.2 得 $\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}={\rho }_{\mathrm{rel}}$；单通道再与 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}=2{\phi }^{\prime }$ 合并，得统一刻度。 (2) Herglotz—规范系统—de Branges。 当 ${\mu }_{\phi }$ 为非负 Borel 测度且满足 Herglotz 表示的标准增长/可积条件（例如 $\int (1+E^2{)}^{-1}d{\mu }_{\phi }(E)<\infty$，超出部分吸收到 $a+bz$ 项）时，存在 Herglotz $m$ 使 ${\pi }^{-1}\Im m={\rho }_{\mathrm{rel}}$（a.e.），并在恰当规范化下（消去 $a+bz$ 自由度）由 de Branges–Kreĭn 规范系统确定该刻度；de Branges 理论在 Herglotz $m$、trace-normed 规范系统与 de Branges 空间间建立等价。一般情形下 $d{\mu }_{\phi }$ 为符号测度，可在 ${\rho }_{\mathrm{rel}}>0$ 的 a.c. 分段上分别构造并按相应分片拼接。参考根据：DBK 逆谱理论对满足 Herglotz 条件的非负测度给出全局（trace-normed）表述与唯一性。 (3) 窗口化读数与有限阶闭合。 在闭集带限且理想滤波前提下 $f_s\ge 2B$ 可使基带别名为 0；工程稳健通常取 $f_s>2B$（见定理 4.1）；EM 在 0.7 假设下给出伯努利层与余项上界，故 A2 成立。 (4) 概率一致性。 POVM 由 Naimark 扩张为 PVM；Gleason 保证 Born 形式唯一；严格凸散度的 I-projection 在单点可行集上退化为 Born。 (5) 帧与门槛。 Landau 必要密度、Wexler–Raz 双正交与 Balian–Low 不可能性分别给出阈值、对偶与临界障碍。 综上得证。若 ${\mu }_{\phi }$ 含负部，以下结论按分段解释（见 §0.3/A1）。∎

定理 3.2（刻度唯一性）

命题。 （在 ${\mu }_{\phi }$ 全体无负部且满足 Herglotz 条件的情形；所用 BK 约定为 $\det S=e^{-2\pi i\xi }$，参见 0.2）若两套构形具有相同 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$（a.e.）且其测量的 Naimark 扩张同型，并约定 $m$ 取与 trace-normed 规范系统一致的规范化（消去 $a+bz$ 自由度），$\mathrm{Arg}\det S$ 取同一连续分支（差常数），则二者于 $\mathbf{UMS}$ 中酉等价；于是

$$d{\mu }_{\phi }(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)dE$$

为读数几何的唯一刻度（至零测集与单调重参数化）。

前提说明：本定理要求 ${\mu }_{\phi }$ 全体无负部且满足 Herglotz 表示的标准增长/可积条件（例如 $\int (1+E^2{)}^{-1}d{\mu }_{\phi }(E)<\infty$，超出部分吸收到 $a+bz$ 项）；所用 Herglotz 函数 $m$ 取与 trace-normed 规范系统一致的规范化（消去 $a+bz$ 自由度）；$\mathrm{Arg}\det S$ 取同一连续分支（差常数）。

证明。 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 相同 $\Rightarrow$ $\mathrm{Arg}\det S$ 差常数；由 BK 得同一 ${\xi }^{\prime }$ 与 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$。在 ${\mu }_{\phi }$ 全体无负部且满足 Herglotz 条件、扩张同型、规范化一致的前提下，酉等价为充分条件；由 trace-normed 规范系统的逆谱理论得到唯一确定（至自然重参数化）的 $m$，进而确定规范系统与 de Branges 空间；Naimark 同型确保 POVM 层一致，故存在酉等价。若去除此同型假设，仅能得局部等价。∎

定理 3.3（三位一体）

(i) Born = I-projection（严格）。 在 PVM $\{P_j\}$ 下，可行集为单点 $\{p^{\star }\}$；任意严格凸 Bregman/KL 的 I-projection 唯一取于 $p^{\star }$。POVM 先作 Naimark 扩张，再回推。∎

(ii) Pointer = 光谱极小（谱投影版 Ky Fan，含可达性）。设 $K_{w,h}$ 为有界自伴，$P_t:=1_{(-\infty ,t]}(K_{w,h})$。对任意 $r\in \mathbb{N}$， $$\underset{U^{†}U=I_r}{\inf }\mathrm{tr}(U^{†}{K}_{w,h}U)=\underset{t\in \mathbb{R}}{\inf }\underset{\begin{array}{c}M\subset \mathrm{Ran}{P}_t\\ \dim M=r\end{array}}{\inf }{\mathrm{tr}}_M(P_M{K}_{w,h}{P}_M),$$ 一般仅为下确界；若 $K_{w,h}$ 为紧或在有限维截断上（或其底谱阈值 $t_0:=\inf \sigma (K_{w,h})$ 处存在至少 $r$ 个本征值，可为嵌入本征值，计重数），则该下确界可达，并等价于 $$\underset{U^{†}U=I_r}{\min }\mathrm{tr}(U^{†}{K}_{w,h}U)=\sum _{k=1}^r{\lambda }_k^{\uparrow }(K_{w,h}),$$ 其中 ${\lambda }_1^{\uparrow }\le {\lambda }_2^{\uparrow }\le \cdots$ 为（含重数的）升序本征值序列。有限维特例：若 $K_{w,h}$ 为 $n\times n$ 矩阵且按降序 ${\lambda }_1\ge \cdots \ge {\lambda }_n$ 记谱，则 ${\sum }_{k=1}^r{\lambda }_k^{\uparrow }={\sum }_{k=n-r+1}^n{\lambda }_k$。

极小子空间由最小 $r$ 个本征值的本征向量张成。上述两种表述在各自适用域内等价。

参考根据：Ky Fan 变分原理（“最小 $r$ 个本征值之和 = 压缩迹的极小”）适用于有限维/紧算子情形；一般有界自伴算子采用谱投影表述。见 Horn, R. A. & Johnson, C. R., Matrix Analysis, 2nd ed., Cambridge University Press, 2013，第 4 章定理 4.3.4（Ky Fan 极大极小原理）与推论 4.3.3（迹极小）；或等价教材对 Fan 最大/最小原理的系统表述。∎

(iii) Windows = 极大极小（带限最坏情形，良定版）。 设

$$\mathcal{F}=\{f\in L^2(\mathbb{R}):\mathrm{supp}\hat{f}\subset [-B,B]\},\Vert f{\Vert }_2=1.$$

取目标窗 $w_{\mathrm{tar}}\in L^2(\mathbb{R})$（如 $w_{\mathrm{tar}}=1_{[-R,R]}/\sqrt{2R}$），并将设计窗限制为 $w\in \mathcal{F}$, $\Vert w{\Vert }_2=1$。定义

$$\mathcal{E}(w):=\underset{f\in \mathcal{F}}{\sup }|⟨f,w_{\mathrm{tar}}⟩-⟨f,w⟩|=\Vert P_{\mathcal{F}}(w_{\mathrm{tar}}-w){\Vert }_2.$$

则极小值当且仅当

$$w^{\star }=\frac{P_{\mathcal{F}}{w}_{\mathrm{tar}}}{\Vert P_{\mathcal{F}}{w}_{\mathrm{tar}}{\Vert }_2}(\Vert P_{\mathcal{F}}{w}_{\mathrm{tar}}{\Vert }_2\ne 0)$$

取得；若 $P_{\mathcal{F}}{w}_{\mathrm{tar}}=0$，则任意 $w\in \mathcal{F}$, $\Vert w{\Vert }_2=1$ 皆为极小解，最小误差为 1。该等式由 Riesz 表示与 $P_{\mathcal{F}}$ 的正交投影性质直接得出，极值由 $f^{\star }=P_{\mathcal{F}}(w_{\mathrm{tar}}-w)/\Vert P_{\mathcal{F}}(w_{\mathrm{tar}}-w){\Vert }_2$ 达成（当分母非 0 时）。多窗情形的最优对偶窗仍由 Wexler–Raz 双正交刻画。∎

定理 3.4（采样—帧门槛的相位化）

命题。 定义

$$\boxed{T(E):={\mu }_{\phi }((E_0,E])}.$$

在a.c. 区间上有

$$T^{\prime }(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{\pi }\text{(a.e.)},$$

跨原子点按跳跃量 $\Delta T={\mu }_{\phi }(\{E_{\ast }\})$ 拼接；等价地，若无奇异/原子部分，则

$$T(E)={\int }_{E_0}^E{\rho }_{\mathrm{rel}}(u)du=\frac{\phi (E)-\phi (E_0)}{\pi }.$$

当 $(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 在所考察区间 a.e. 非负时，$T$ 单调不减并可作（可能退化的）重参数化；当其在该区间 a.e. 严格为正时，$T$ 严格单调并给出可逆的重参数化。

Landau 密度的尺度传递条件：Landau 必要密度（见参考文献 [4]，Landau, H. J., Acta Math. 117, 37–52, 1967）原本针对等距线性尺度 $E$ 轴上的 Paley–Wiener 空间。若 $E\mapsto T$ 重参数化为非线性，则在下列附加正则条件下 Landau 阈值在 $T$ 轴与 $E$ 轴间等价： (i) $T$ 在所考察 a.c. 区间上绝对连续且双 Lipschitz（即存在 $0<c\le C<\infty$ 使 $c\le T^{\prime }(E)\le C$ a.e.），或更一般地， (ii) $T^{\prime }(E)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$ 在该区间上下有正界：${\inf }_{E\in I}{T}^{\prime }(E)>0$ 且 ${\sup }_{E\in I}{T}^{\prime }(E)<\infty$。

在此正则条件下，$E$ 轴的带宽 $B_E$ 与 $T$ 轴的带宽 $B_T$ 经拉回/推前保持等价（至有界因子），从而 Landau 密度阈值不失真。若不满足上述正则性（如 $T^{\prime }$ 可任意趋零或发散），则仅能保证单调性诱导的序关系，不能无条件继承 Landau 阈值的定量表述。

多窗可重构性由帧算子与 Wexler–Raz 双正交刻画；临界密度下满足 Balian–Low 不可能性。∎

4. 有限阶非渐近误差学（Nyquist–Poisson–EM）

定理 4.1（Poisson—Nyquist：基带无混叠）。 设 $\mathrm{supp}\hat{f}\subset [-B,B]$。在理想采样与理想重构前提下：

• 当 $f_s\ge 2B$ 时，Poisson 复制频带互不重叠，故在基带/重构域内仅 $k=0$ 贡献，别名项为 0；
• 当 $f_s<2B$ 时，越界频谱重叠产生混叠。∎

定理 4.2（Euler–Maclaurin：有限阶伯努利层与余项）。 当 $F\in C^{2m}([a,b])$ 且 $F^{(2m)}$ 有界或具有限总变差时，EM 给出到 $2m$ 阶的伯努利校正与显式积分余项；AFP-Isabelle 对余项与收敛条件给出形式化证明，由此可在实现中择定有限阶 $m$ 并得到可执行上界。EM 余项采用 AFP-Isabelle ‘Euler_MacLaurin’ 的形式化上界，在实现中显式指明所取阶数 $m$ 与被积/被和函数的正则性（$C^{2m}$ 或有限总变差）以复现上界。∎

定理 4.3（三分解闭合）。 $K_{w,h}$ 的实现可写为：离散求和（Nyquist）$+$ EM 有限阶校正（伯努利层）$+$ 余项（别名+截断）。在理想采样与重构下，当带限且 $f_s\ge 2B$ 时别名层为 0；EM 余项由 4.2 的上界控制，故得有限阶、非渐近闭合。∎

5. 信息单调与容量上界

定理 5.1（DPI：相对熵在 PTP 映射下单调）。 对任意**正迹保持（PTP）**映射 $\Phi$，

$$D\left(\Phi (\rho )\Vert \Phi (\sigma )\right)\le D(\rho \Vert \sigma ).$$

证明要点。 Müller-Hermes–Reeb 以“夹态 Rényi 发散 + 复插值“证明 DPI 在正迹保持（不必 CP）下成立，并以 Petz 恢复映射刻画等号情形。

（括注） Umegaki 相对熵的 DPI 对任意正且迹保持的线性映射皆成立；这是 Müller-Hermes–Reeb 的结果（Müller-Hermes & Reeb, 2015），并不要求 CP/2-positive/Schwarz 条件。本文在陈述 HSW 等容量结论时仍限定信道为 CPTP。∎

定理 5.2（HSW：CPTP 信道的无助理经典容量）。 量子**完全正且迹保持（CPTP）**信道 $\mathcal{N}$ 的无助理经典容量满足

$$C(\mathcal{N})=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\chi \left({\mathcal{N}}^{\otimes n}\right),I_{\mathrm{acc}}\le \chi .$$

因此单次 Holevo 信息 $\chi (\mathcal{N})$ 一般不足以给出容量（需正则化极限）。

证明要点。 参见 Watrous 教科书对编码、Holevo 界与强对偶的标准推导。∎

6. 派生结构与物理后果

6.1 时间密度与延迟积分。 见 §3.4 定义（并按原子点跳跃拼接）。在a.c. 区间上有

$$T^{\prime }(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)={\rho }_{\mathrm{rel}}(E)\text{(a.e.)}.$$

当 $(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 在所考察区间 a.e. 非负时，$T$ 单调不减并可作（可能退化的）重参数化；当其在该区间 a.e. 严格为正时，$T$ 严格单调并给出可逆的重参数化。当 $(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}\ge 0$ a.e. 时，$T$ 单调不减；仅在 §3.4 的正则性条件（i）或（ii）成立时，Landau 必要密度在 $T$ 与 $E$ 轴之间定量等价；若条件不满足，则仅保留由单调性诱导的序关系（见 §3.4『Landau 密度的尺度传递条件』及参考文献 [4]）。单通道时 $S=e^{2i\phi }$，故 $T(E)=\frac{\phi (E)-\phi (E_0)}{\pi }$，表征可测群延迟并与部分密度态联系。

6.2 非厄米/耗散与共振寿命。 耗散（非酉）系统存在“修正 BK“与相应时间延迟推广。单通道 Breit–Wigner 近似下 ${\delta }^{\prime }(E_0)=\frac{2}{\Gamma }$，以 $\tau =\hslash \mathrm{eig}(\mathsf{Q})=2\hslash {\delta }^{\prime }(E)$ 定义时间延迟，则 $\boxed{{\tau }_{\max }(E_0)=\frac{4\hslash }{\Gamma }}$。共振寿命为 ${\tau }_{\text{life}}=\hslash /\Gamma$，二者概念不同，不应混同。

宽度记号的双约定对照（避免文献换算歧义）：散射理论与共振物理中存在两种常用极点记号，对应不同的 ${\tau }_{\max }$ 公式：

二者差异源于 $S$-矩阵极点虚部的归一化约定：以 $E_0-i\Gamma /2$ 计宽度时 ${\delta }^{\prime }(E_0)=2/\Gamma$，以 $E_0-i\Gamma$ 计宽度时 ${\delta }^{\prime }(E_0)=1/\Gamma$；由 $\tau =2\hslash {\delta }^{\prime }$ 即得上表第三列。本文统一采用极点 $E_0-i\Gamma /2$ 之记号，与量子散射及电磁散射多数文献一致（例如 Phys. Rev. E 103, L050203, 2021 以 $E_0-i\Gamma$ 记号得 ${\tau }_{\max }=2\hslash /\Gamma$；换算至本文记号即 ${\Gamma }_{\text{本文}}={\Gamma }_{\text{该文}}/2$，峰值 $4\hslash /{\Gamma }_{\text{本文}}=2\hslash /{\Gamma }_{\text{该文}}$ 一致）。

负群延迟与复时间延迟：在非厄米/亚酉散射系统中，$\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 可变号并取复值，对应可观测的脉冲整形与超前/延迟效应。亚酉散射下可取 $\mathsf{Q}(E)=-i{S}^{-1}(E)S^{\prime }(E)$（一般非自伴），此时 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 允许为复数；其实部/虚部分别刻画驻留与耗散相关量（具体选择依赖所用最大耗散扩张/自伴扩张，详见 §0.2 之框架）。非厄米/有耗系统的复时间延迟已在微波/光学平台实验与理论中系统研究；近年电磁超材料、光子晶体与开放量子系统的实验与数值研究（含亚波长阵列的负群延迟与复 Wigner 时间延迟统计）均证实此现象，并与谱移密度 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 变号相互印证（例如 Phys. Rev. E 103, L050203, 2021；Patel et al., arXiv:2005.03211, 2020/2021）。

可在“最大耗散扩张/耦合散射“的框架下以谱移与广义 Weyl 函数精确表达。上述耗散/耦合情形可参见 Behrndt–Malamud–Neidhardt 对 BK 变体与迹公式的系统化表述（见参考文献 [12]），该框架把“谱移—Weyl 函数—散射矩阵“的关系与变体公式锚定到统一理论。

7. 可检清单（实验/数值）

1. 相位—延迟一致性：计算 $\mathrm{Arg}\det S(E)$ 与 $\mathsf{Q}(E)$，验证 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=\frac{d}{dE}\mathrm{Arg}\det S(E)$ 与单通道下 ${\phi }^{\prime }(E)$。单位验证：确认 $\mathsf{Q}$ 量纲为能量${}^{-1}$，$\tau =\hslash \mathrm{eig}(\mathsf{Q})$ 为时间量纲。电磁散射算例：对电磁散射体（如介质球、谐振腔、亚波长阵列），采用 Patel et al. (arXiv:2005.03211, 2020) 的 WS 群延迟矩阵定义 $\mathsf{Q}=-i{S}^{†}{S}^{\prime }$ 并与 $\det S$ 导数对比；对单极/多极散射的 $S$ 矩阵以频率 $\omega$ 或能量 $E=\hslash \omega$ 为自变量，验证 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}$ 与相位导数一致性；数值/实验平台见 Phys. Rev. E 103, L050203 (2021) 等亚酉散射报道。
2. 刻度化采样：以 $T(E)={\mu }_{\phi }((E_0,E])$（无原子时等于 ${\int }_{E_0}^E(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$）重参数化能量，在 $T$ 轴执行 Landau 阈值检验与插值实验，再映回 $E$ 轴（参见定理 3.4 对 $T^{\prime }(E)$ 的相位化表达）。最小工作示例：对单通道、单峰 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$ 情形（如 Breit–Wigner 共振），绘制 $(E,T(E))$ 曲线并验证在 $T^{\prime }(E)=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)>0$ 区间上的单调性。
3. 指针基极小性：比较任意正交基与 $K_{w,h}$ 本征基的 Ky Fan 部分和。
4. 窗/核最优与 WR：带限与归一约束下，用 KKT 条件求最优窗；验证与 Wexler–Raz 对偶一致。
5. 三分解误差闭合：报告“别名 + 伯努利层 + 截断“三项；在带限+Nyquist 下别名 0；EM 余项给出显式上界。
6. 信息收支：沿“制备 $\to$ 信道 $\to$ 读数“链记录 $D$ 的单调递减与 $I_{\mathrm{acc}}\le \chi \le C$。

参考文献（选）

1. Patel, U. R., et al., Wigner–Smith Time-Delay Matrix for Electromagnetics, arXiv:2005.03211, 2020。
2. Pushnitski, A., An Integer-Valued Version of the Birman-Kreĭn Formula, arXiv:1006.0639, 2010；Guillarmou, C., Generalized Krein Formula…, 2009。
3. Remling, C., Hur, I., Density of Schrödinger Weyl-Titchmarsh m functions on Herglotz functions, arXiv:1501.01268; de Branges, L., Hilbert Spaces of Entire Functions（Purdue）。
4. Landau, H. J., Necessary Density Conditions for Sampling and Interpolation of Certain Entire Functions, Acta Math. 117, 37–52 (1967), https://doi.org/10.1007/BF02395039。
5. Daubechies, I., Landau, H. J., Landau, Z., Gabor Time-Frequency Lattices and the Wexler–Raz Identity, J. Fourier Anal. Appl. 1(4), 437–478 (1995)。
6. Caragea, A., et al., A Balian–Low Type Theorem for Gabor Riesz Sequences…, 2023。
7. Naimark’s Dilation（综述）与 Busch, P., A Simple Proof of Gleason’s Theorem, PRL, 2003。
8. Manzano, D., A Short Introduction to the Lindblad Master Equation, 2019。
9. Müller-Hermes, A., Reeb, D., Monotonicity of the Quantum Relative Entropy under Positive Maps, arXiv:1512.06117, 2015。
10. Watrous, J., The Theory of Quantum Information, Cambridge University Press, 2018（HSW 章节）。
11. Eberl, M., The Euler–MacLaurin Formula, Archive of Formal Proofs (AFP-Isabelle), https://devel.isa-afp.org/entries/Euler_MacLaurin.html。
12. Behrndt, J., Malamud, M., Neidhardt, H., Trace Formulae for Dissipative and Coupled Scattering Systems, arXiv:0712.3120（及相关后续）。

附录 A：核心等式的自洽推导

引理 A.1（$\mathrm{tr}\mathsf{Q}=\frac{d}{dE}\mathrm{Arg}\det S$）。 由 Jacobi 公式 $\frac{d}{dE}\log \det S=\mathrm{tr}(S^{-1}{S}^{\prime })$ 与酉性 $S^{-1}=S^{†}$，得 $\frac{d}{dE}\log \det S=\mathrm{tr}(S^{†}{S}^{\prime })$；结合 $\mathsf{Q}=-i{S}^{†}{S}^{\prime }$ 得

$$\mathrm{tr}\mathsf{Q}=-i\mathrm{tr}(S^{†}{S}^{\prime })=\Im \mathrm{tr}(S^{†}{S}^{\prime })=\frac{d}{dE}\mathrm{Arg}\det S(\text{a.e.}).$$

∎

引理 A.2（BK 链）。 $\det S=e^{-2\pi i\xi }\Rightarrow \frac{d}{dE}\mathrm{Arg}\det S=-2\pi {\xi }^{\prime }$；令 ${\rho }_{\mathrm{rel}}:=-{\xi }^{\prime }$，得 $\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}={\rho }_{\mathrm{rel}}$。∎

推论 A.3（单通道回到相位导数）。 若 $S=e^{2i\phi }$，则 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}=2{\phi }^{\prime }$；合并 A.2 得 ${\phi }^{\prime }/\pi ={\rho }_{\mathrm{rel}}=(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}$。∎

附录 B：Ky Fan 变分与指针极小

令 $K$ 自伴，${\lambda }_1^{\uparrow }\le {\lambda }_2^{\uparrow }\le \cdots$ 为（含重数的）升序本征值序列。Ky Fan 原理给出

$$\sum _{k=1}^r{\lambda }_k=\underset{U^{†}U=I_r}{\max }\mathrm{tr}(U^{†}KU),\sum _{k=1}^r{\lambda }_k^{\uparrow }=\underset{U^{†}U=I_r}{\min }\mathrm{tr}(U^{†}KU).$$

（此处第 1 式为降序记号：${\lambda }_1\ge \cdots \ge {\lambda }_r\ge \cdots$；第 2 式用升序记号 ${\lambda }^{\uparrow }$。）

有限维特例：若 $K$ 为 $n\times n$ 矩阵且按降序 ${\lambda }_1\ge \cdots \ge {\lambda }_n$ 记谱，则 ${\sum }_{k=1}^r{\lambda }_k^{\uparrow }={\sum }_{k=n-r+1}^n{\lambda }_k$。

最大迹取于由前 $r$ 个本征向量张成的子空间，最小迹取于由最小 $r$ 个本征向量张成的子空间。∎

附录 C：EM 余项的有限阶上界

在 0.7 的假设下（$F\in C^{2m}$ 及 $F^{(2m)}$ 有界/有限变差），EM 公式给出到 $2m$ 阶的伯努利层与显式积分余项；AFP–Isabelle 对余项的构造与收敛作了形式化验证，因而在数值实施中可据以选择有限阶 $m$ 并给出可执行上界。EM 余项采用 Archive of Formal Proofs (AFP-Isabelle) 条目 The Euler–MacLaurin Formula 的形式化上界（Eberl, M., https://www.isa-afp.org/entries/Euler_MacLaurin.html），在实现中显式指明所取阶数 $m$ 与被积/被和函数的正则性（$C^{2m}$ 或有限总变差）以复现上界。∎

附录 D：与 S15–S26 及 EBOC 体系的接口

D.1 与 S15–S23（散射相位、Herglotz、Weyl–Mellin、框架）的接口。

• S15–S17 的 Herglotz 表示与规范系统直接给出 UMS 中的 $\mathcal{S}$ 函子与 $d{\mu }_{\phi }$。
• S18–S20 的 Weyl–Mellin 非平稳框架为 UMS 的多窗协变提供具体实现。
• S21–S23 的相位—尺度协变与 Euler–Maclaurin 有限阶误差学直接支撑 A1、A2 与定理 4.1–4.3。

D.2 与 S24–S26（紧框架、非平稳框架、相位密度）的接口。

• S24 的纤维 Gram 表征与 Wexler–Raz 双正交为 A6 与定理 3.3(iii) 提供具体计算框架。
• S25 的 Calderón sum 与 tight/dual 构造为 UMS 的多窗优化（定义 2.1(iv)）提供可操作方案。
• S26 的相位密度刻度 ${\phi }^{\prime }(x)=\pi \rho (x)$ 与 Landau 必要密度、Balian–Low 不可能性直接对应 A5、A6 与定理 3.4。

D.3 与 EBOC-Graph 的接口。

• EBOC-Graph 的 Born = I-projection（G1）与 UMS 的定理 3.3(i) 在离散谱情形下等价。
• EBOC-Graph 的指针基 = 谱极小（G2）与 UMS 的定理 3.3(ii) 在图拉普拉斯情形下一致。
• EBOC-Graph 的窗口极大极小（G3）与 UMS 的定理 3.3(iii) 在带限约束下共享同一优化结构。
• EBOC-Graph 的非渐近误差闭合（G4）与 UMS 的定理 4.3 均采用 Nyquist–Poisson–EM 三分解框架。

D.4 与 CCS（协变多通道）及 WSIG-QM 的接口。

• CCS 的窗化 Birman–Kreĭn 恒等式与 UMS 的核心统一式（定义 2.2）在多通道情形下完全一致。
• CCS 的 Wigner–Smith 群延迟矩阵 $\mathsf{Q}(E)$ 与 UMS 的 A5 采用相同定义与约定。
• WSIG-QM 的七大公理（A1–A7）与 UMS 的公理体系（§1）在概念与表述上高度对齐；WSIG-QM 可视为 UMS 在量子测量特定语境下的精细展开。
• WSIG-QM 的统一字典（§5）与 UMS 的范畴化定义（§2）共同支撑“态—测量—概率—指针—散射—延迟—帧—误差—容量“的全链条统一。

D.5 保持“极点 = 主尺度“的有限阶 EM 纪律。

• UMS 在所有离散—连续换序中均采用有限阶 EM（A1、定理 4.2），确保不引入新奇点。
• 与 S15–S26、EBOC-Graph、CCS、WSIG-QM 保持一致：散射极点、共振极点、谱奇点始终为“主尺度“标记，EM 余项仅作有界扰动。

一句话总结

$$\boxed{\text{UMS}⟺(d{\mu }_{\phi }=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}dE={\rho }_{\mathrm{rel}}dE=\frac{{\phi }^{\prime }}{\pi }dE;K_{w,h}\text{ 的 Nyquist–Poisson–EM 有限阶闭合};\text{Born=I-proj, DPI, HSW};\text{Landau/WR/BL};\text{Pointer=Ky Fan 极小}).}$$