S21. 连续谱阈值与奇性稳定性

—— Weyl–Titchmarsh 相位—密度、散射通道与窗化误差的阈值判据

摘要（定性）

在一阶辛型规范系统与 de Branges—Herglotz—Clark 词典下，本文把阈值刻画为 Weyl–Titchmarsh 函数的边界虚部（谱密度）与散射总相位导数的退化点；把稳定性刻画为在有限阶 Euler–Maclaurin（EM）换序与 Nyquist–Poisson–EM 三分解（“别名/伯努利层/截断”）纪律下，奇性集合（含极点/零点）与其阶在窗化与近似中保持不变或仅作可定界的局部位移。核心同一式

$${\phi }^{\prime }(x)=\Im m(x+i0)=\pi \rho (x)$$

把 de Branges 相位导数、Weyl–Titchmarsh 函数的边界虚部与绝对连续谱密度统一；由散射—内函数—功能方程词典得

$${\partial }_x\arg \det S(x)=-2{\phi }^{\prime }(x)=-2\pi \rho (x),$$

从而阈值即散射相位的临界点。本文进一步以 Rouché 定理给出零集的定量稳定半径，并在 Bregman–KL 灵敏度框架下给出窗化近似对 $\rho$ 与 ${\phi }^{\prime }$ 的可检偏差界。全文坚持“极点 = 主尺度“的纪律与纯数学体例。

0. 设定与预备

0.1 规范系统、Weyl 函数与谱密度

设 $J=\begin{psmallmatrix}0&-1\1&0\end{psmallmatrix}$，取一阶辛型规范系统

$$J{Y}^{\prime }(t,z)=zH(t)Y(t,z),H(t)=H(t{)}^{!\ast }⪰0,t\in [0,\infty ),$$

并假定 ${\int }_0^{\infty }\mathrm{tr}H(t)dt=+\infty$。对每个 $z\in {\mathbb{C}}^{+}$ 存在唯一（至常数）Weyl 解，Weyl–Titchmarsh 函数 $m:{\mathbb{C}}^{+}\to {\mathbb{C}}^{+}$ 属 Herglotz 类，具有表示

$$m(z)=az+b+{\int }_{\mathbb{R}}(\frac{1}{t-z}-\frac{t}{1+t^2})d\mu (t),a\ge 0,b\in \mathbb{R},$$

其中 $\mu$ 为非负 Borel 测度。绝对连续谱密度

$$\rho (x)=\frac{d{\mu }_{\mathrm{ac}}}{dx}(x)=\frac{1}{\pi }\Im m(x+i0)\text{（a.e. }x\in \mathbb{R}).$$

0.2 de Branges—Herglotz 词典与相位—密度同一

取 Hermite–Biehler（HB）整函数 $E$，使 de Branges 空间 $\mathcal{H}(E)$ 与上节规范系统等价。写

$$E^{♯}(z):=\overline{E(\overline{z})},U(z):=\frac{E^{♯}(z)}{E(z)},E(x)=|E(x)|e^{-i\phi (x)}.$$

注（Clark–Cayley 与 $M$ 函数、测度区分）：令 $E=A-iB$（$A,B$ 为实整函数），则

$$>U=\frac{A+iB}{A-iB},M(z):=i\frac{1+U(z)}{1-U(z)}=-\frac{A(z)}{B(z)}>$$

亦为 Herglotz/Nevanlinna 函数。但因 $|U(x)|=1$ a.e.，故 $M(x)\in \mathbb{R}$ a.e.，$\Im M(x+i0)=0$。$M$ 的 Aleksandrov–Clark 测度 ${\sigma }_{\alpha }$ 一般纯奇或奇/绝对连续混合，不等于 Weyl–Herglotz 表示中的 $\mu$；二者仅在特殊规范与正则性下可比较。本文所用的谱测度 $\mu$ 与密度 $\rho$ 来自下述 Weyl–Titchmarsh 函数 $m$ 的 Herglotz 表示，一律以 $\mu$ 定义 $\rho$，不以 $M$ 定义。

在与所给规范系统配对的标准 de Branges 生成元 $E$ 下，存在 Weyl–Titchmarsh 函数 $m\in \mathcal{N}$（Nevanlinna/Herglotz 类，$\Im m(z)>0$ 于 ${\mathbb{C}}^{+}$），其非切（nontangential）边界值满足

$$\boxed{{\phi }^{\prime }(x)=\Im m(x+i0)=\pi \rho (x)\text{（a.e. }x).}\text{\hspace{1em}(0.1)}$$

若选取与该规范系统相匹配的标准生成元 $E$（实轴无零），则 $m(z)=-E^{\prime }(z)/E(z)$；在更一般的规范下仅保证 $\Im (-E^{\prime }/E)(x)={\phi }^{\prime }(x)$ 的边界关系，不能据此断言 $-E^{\prime }/E$ 属 Herglotz。更换 Weyl 边界将使 $m$ 发生 Möbius 变换 $m\mapsto (\alpha m+\beta )/(\gamma m+\delta )$，本同一式需随规范重申。

并且由再生核 $K(\cdot ,\cdot )$ 的经典公式得到

$$\boxed{{\phi }^{\prime }(x)=\frac{\pi K(x,x)}{|E(x){|}^2}>0,}\text{\hspace{1em}(0.2)}$$

从而 de Branges 相位 $\phi$ 在非奇异区间严格递增。

术语约定：为避免混淆，下文统一称 $\phi$ 为“de Branges 相位“、$\delta$ 为“散射总相位“；由 §0.3 可知散射总相位满足 ${\delta }^{\prime }(x)=-2\pi \rho (x)\le 0$（物理上相位随能量非增）。

0.3 散射矩阵与总相位（单通道归一）

假设：与自由参照系构成短程散射对（如一维 Schrödinger 短程势，或等价的迹类/限制性条件），并以 Jost 解归一，使 Wronskian 与通量归一一致。则存在与 $x$ 无关的 unimodular 常数 $c_0$（与能量无关的相位常数），使二维散射矩阵 $S(x)\in \mathrm{U}(2)$ 满足

$$\boxed{\det S(x)=c_{0}U(x{)}^{-1}=c_0{e}^{-2i\phi (x)}}\text{（a.e. }x\in \mathbb{R}).\text{\hspace{1em}(0.3)}$$

（注：由 §0.2 的定义 $U:=E^{♯}/E$ 及 $E(x)=|E(x)|e^{-i\phi (x)}$，得 $U(x)=e^{+2i\phi (x)}$，故 $U^{-1}=e^{-2i\phi }$）

上式在上述短程性/限制性条件与 Wronskian 归一下成立；在更一般场景中应改用谱移函数 $\xi$ 表述：$\det S=e^{-2\pi i\xi }$、${\xi }^{\prime }=\rho$，从而仍得 ${\delta }^{\prime }=-2\pi \rho$。

多通道推广：多通道情形下 ${\partial }_x\arg \det S=-2\pi \mathrm{tr}\rho$（或用 ${\xi }^{\prime }=\mathrm{tr}\rho$），其余结论逐点沿用。

适用范围：若实轴酉性或镜像对称不满足（如存在吸收/非自伴扰动），则用谱移函数 $\xi$ 的一般形式替代：$\det S=e^{-2\pi i\xi }$、${\xi }^{\prime }=\rho$，结论改述为 ${\partial }_x\arg \det S=-2\pi \rho$。

0.4 窗化与有限阶 EM 三分解

取偶窗/偶核 $\psi$（带限或指数衰减），尺度 $R>0$，设 ${\psi }_R(x)=\psi (x/R)$。连续—离散换序仅使用有限阶 EM：

$$\sum _{n=a}^{b}f(n)={\int }_a^{b}f(x)dx+\sum _{k=1}^M\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right)+{\mathcal{R}}_M,$$

由此得到非渐近误差三分解

$$\boxed{\text{error}=\text{alias}+\text{Bernoulli layer}+\text{tail}},\text{\hspace{1em}(0.4)}$$

在“带限 + Nyquist“条件下 $\text{alias}=0$；指数型整窗时 alias 被吸收到同一条带内的整函数误差。

0.5 信息几何与灵敏度

在 BN–Bregman 框架中，引入势 $\Lambda$（$\mu$-强凸、$L$-平滑），软目标

$$g(X)=\frac{1}{2}|X-F{|}^2+{\Lambda }^{\ast }(X),$$

并以Pinsker（单侧上界）不等式 $\mathrm{TV}\le \sqrt{\mathrm{KL}/2}$ 作为 KL–TV 链接的度量桥；若需由 TV 估计 KL，应显式声明只能得到单侧结论。

1. 阈值与共振：定义与基本性质

定义 21.1（连续谱阈值） $x_0\in \mathbb{R}$ 为阈值，若 $\rho (x_0)=0$，且 $\rho$ 在 $x_0$ 以有限阶 $\kappa \ge 0$（实数）消失：存在邻域与常数 $c>0$ 使 $\rho (x)\sim c|x-x_0{|}^{\kappa }$（$x\to x_0$）。称 $\kappa$ 为阈值阶，定义为最小非负实数使得 ${\mathrm{limsup}}_{x\to x_0}|x-x_0{|}^{-\kappa }\rho (x)>0$。

定义 21.2（函数级共振） $z_0\in \mathbb{C}$ 为共振，若 $E(z_0)=0$ 且 $\Im z_0<0$；当 $z_0\to \mathbb{R}$ 的极限点存在时称临界共振。

命题 21.3（相位—密度—阈值） ${\phi }^{\prime }(x)=\pi \rho (x)$ a.e.。故 $x_0$ 为阈值 $⟺{\phi }^{\prime }(x_0)=0$，阈值阶等于 ${\phi }^{\prime }$ 的零阶。 证明：由 (0.1)。$\square$

2. 散射判据与相位单调性（单通道归一）

定理 21.4（散射相位导数判据） 令 $\delta (x):=\arg \det S(x)$ 取连续分支。则

$$\boxed{{\delta }^{\prime }(x)={\partial }_x\arg \det S(x)=-2{\phi }^{\prime }(x)=-2\pi \rho (x)}.$$

因此 $x_0$ 为阈值 $⟺{\delta }^{\prime }(x_0)=0$。 证明：由 (0.3)，$\det S(x)=c_{0}U(x{)}^{-1}=c_0{e}^{-2i\phi (x)}$，故 $\delta (x)=\arg (c_0)-2\phi (x)$，从而 ${\delta }^{\prime }(x)=-2{\phi }^{\prime }(x)=-2\pi \rho (x)$（由 (0.1)）。亦可由 Birman–Krein 公式 $\det S=e^{-2\pi i\xi }$、${\xi }^{\prime }=\rho$ 推出。$\square$

推论 21.5（单调与临界） 若开区间 $I$ 上 $\rho >0$，则 $\delta$ 在 $I$ 上严格单调；若 $\rho$ 在 $x_0$ 为二阶（及以上）接触，则 $\delta$ 在 $x_0$ 为平坦临界。

3. “极点 = 主尺度“与窗化不改奇性

令 $\Xi (s)$ 为解析母对象（如轨道/谱侧配对 $⟨F,k_s⟩$），窗化后

$${\Xi }_{\psi }(s):=⟨F\ast {\psi }_R,k_s⟩.$$

定理 21.6（奇性不增与极阶不升） 假设：(1) 窗/核 $\psi$ 取 Paley–Wiener 带限（带宽 $B$）或有指数型整函数衰减；(2) 采样率 $f_s\ge 2B$（Nyquist）；(3) 连续—离散换序固定为有限阶 $M$ 的 EM。

则在工作条带内，${\Xi }_{\psi }$ 与 $\Xi$ 具有相同的奇性集合（极点/本性/分支不增），且极点阶不升；若 $\psi$ 在奇点处非零，则极阶保持不变。

注（奇性对象）：定理 21.6 的“奇性“系指所考察的解析对象（如 $E^{\prime }/E$、$\Xi (s)$ 等）的极点/分支/本性奇性；若以 $E$ 作对象，则对应考虑 $1/E$ 或 $E^{\prime }/E$ 的奇性。

证明：有限阶 EM 仅引入有限个端点差分（伯努利层）与整函数余项；带限 + Nyquist 使 $\text{alias}=0$；指数衰减使 alias 进入整函数误差并给出显式上界。故 ${\Xi }_{\psi }-\Xi$ 在同一工作条带内解析；当输入窗/核与母对象在 $s$ 上为整时，差值才为整。因而奇性集合不增、极阶不升的结论在工作条带内成立。由洛朗首项不变性得极阶结论。$\square$

EM 纪律强调：将 EM 误作无穷级并逐项外推会引入伪奇性并破坏“极点不增“。本文固定有限阶 $M$，并统一用 (0.4) 给出非渐近上界。严禁把 EM 当作渐近无穷级逐项外推。在可检清单中需记录所用阶数 $M$ 与端点导数阶。

命题 21.7（窗化非负性） 若 $\psi \ge 0$、$h\ge 0$，则

$$\int h(x){\psi }_R(x)d{\mu }_{\mathrm{ac}}(x)=\frac{1}{\pi }\int h(x){\psi }_R(x)\Im m(x+i0)dx\ge 0,$$

并且 $\int h{\psi }_{R}d\mu \ge \int h{\psi }_{R}d{\mu }_{\mathrm{ac}}\ge 0$。从而窗化不会生成伪负谱或虚阈值。 证明：等号在绝对连续部分成立由 (0.1)；不等式由 $\mu ={\mu }_{\mathrm{ac}}+{\mu }_{\mathrm{s}}$ 与逐点非负。$\square$

4. Rouché 型零集稳定半径

设 $D\subset \mathbb{C}$ 为有界单连通域，$|E(z)|\ge \eta >0$ 于 $\partial D$。

定理 21.8（稳定半径） 若近似 $E_{♮}$ 满足 ${\sup }_{\partial D}|E_{♮}-E|<\eta$，则 $E$ 与 $E_{♮}$ 在 $D$ 中零点计数（含重数）相同，且零点位移由 $\eta$ 可控。并有可检上界

$$\eta \le C\cdot (\mathrm{alias}+\mathrm{Bernoulli}\mathrm{layer}+\mathrm{tail}),$$

其中 $C=C({\inf }_{\partial D}|E|,|\psi {|}_{L^1\cap L^{\infty }},\text{条带宽度},\text{EM 阶 }M)$ 为显式常数。端点导数到伯努利层的具体常数可引用 S18 的三分解常数表。 证明：Rouché 定理结合 (0.4)。$\square$

注（可检操作性）：${\inf }_{\partial D}|E|$ 可由带限窗 + 最大模估计 + 采样阈值检验给出下界；三分解三项均可逐项给出显式上界。推荐检查步骤：(1) 选择条带边界 $\partial D$；(2) 对 $E$ 在 $\partial D$ 上采样，计算 $\inf |E|$；(3) 用窗范数、核 Sobolev 界与尾截断距离分别估计别名、伯努利层与截断项（引用 S18 §3.3 的统一非渐近上界）；(4) 验证 $\eta <\inf |E|$ 以确保 Rouché 条件。

若另有 ${\inf }_{\partial D}|E^{\prime }|>0$ 或零点与 $\partial D$ 有正距离，则零点位移 $\lesssim \eta /{\inf }_{\partial D}|E^{\prime }|$。本文仍以计数不变为主要结论，位移界只作可检上界指引。

5. Bregman–KL 灵敏度与阈值稳定

令 $X^{\ast }=\arg \min g(X)$。窗化/数据扰动给出 $\hat{F},\hat{\nu }$、极小元 $\hat{X}$。

归一化假设：将窗化谱密度在工作区间 $I$ 上归一化为概率密度；若存在截断尾项，则 KL/TV 在同一截断支撑上计算，并计入尾项占比 ${ϵ}_{\text{tail}}$ 的校正常数。为得到 $\mathrm{KL}\le C{\mathrm{TV}}^2$ 的控制，默认在工作区间内相关密度上下有界，$C$ 依赖于该界与 $(\mu ,L)$。

定理 21.9（信息—能量—阈值稳定链） 在上述归一化与 $(\mu ,L)$-凸平滑条件下，存在常数 $C_j=C_j(\mu ,L,\mathcal{C})$ 使

$$|\hat{X}-X^{\ast }|\le C_1|\hat{F}-F|+C_2\mathrm{TV}(\hat{\nu },\nu ),\mathrm{KL}(p_{\hat{X}}|p_{X^{\ast }})\le C_3(|\hat{F}-F{|}^2+{\mathrm{TV}}^2).$$

从而

$$|\hat{\rho }-\rho {|}_{L^1(I)}+|{\hat{\phi }}^{\prime }-{\phi }^{\prime }{|}_{L^1(I)}\le C_4(|\hat{F}-F|+\mathrm{TV}+{ϵ}_{\text{tail}}),$$

并且阈值集合在任意紧区间 $I$ 内的局部 Hausdorff 偏移满足同阶上界（尾项质量 ${ϵ}_{\text{tail}}$ 进入最终上界的线性加项）。 证明：强凸—平滑给出 Bregman–欧氏等价与扰动 Lipschitz 界；由 Pinsker 的单侧界 $\mathrm{TV}\le \sqrt{\mathrm{KL}/2}$，并结合 $(\mu ,L)$-强凸—平滑给出的 Bregman–欧氏等价，得到文中所需的 $\mathrm{KL}\le C{\mathrm{TV}}^2$ 形式（此上界来自强凸—平滑，而非 Pinsker 本身）；再由 Herglotz 表示传递到 $\rho ,{\phi }^{\prime }$。$\square$

6. 阈值正规形与共振靠近

定理 21.10（边界正规形与阈值阶） 设 $\mu$ 在 $x_0$ 的 Lebesgue 分解具有密度 $\rho \in C^{\kappa ,\alpha }(I)$（某邻域 $I$），且奇异部分在 $x_0$ 无原子，并假设在某邻域 $I$ 上 ${\mu }_{\mathrm{s}}{|}_I\equiv 0$（即 $x_0$ 的邻域内纯绝对连续）。则当 $x\to x_0$（实轴非切）时，

$$\Im m(x+i0)\sim c|x-x_0{|}^{\kappa },\Re m(x+i0)=\mathcal{H}[\Im m(\cdot +i0)](x)+\text{平滑项},$$

其中 $\mathcal{H}$ 为 Hilbert 变换，平滑项来自 $ax+b$ 与远离 $x_0$ 的部分。阈值阶即 $\kappa$。有限阶窗化与 EM 不改变 $\kappa$。 证明：Herglotz—Nevanlinna 类局部结构与 (0.1)，结合定理 21.6。$\square$

命题 21.11（临界共振靠近与计数不变） 设 $z_j$ 为下半平面共振。若 $\rho$ 在 $x_0$ 为一阶消失（$\kappa =1$），且存在常数 $c,c^{\prime }>0$ 使得 $\rho (x)=c(x-x_0{)}_{+}+c^{\prime }(x_0-x{)}_{+}+o(|x-x_0|)$，其中至少一侧单侧导数非零（例如 ${\rho }_{+}^{\prime }(x_0)=c\ne 0$ 或 ${\rho }_{-}^{\prime }(x_0)=-c^{\prime }\ne 0$），则在任一 Rouché 圆盘 $D$（$\partial D$ 与实轴交角非零）内，

$$\mathrm{dist}(z_j,\mathbb{R})\ll \underset{\partial D}{\sup }\frac{|E_{♮}-E|}{|E|},$$

并保持计数不变。若存在边界吸收或非自伴扰动，此’共振靠近’仅作上界，不保证极限点沿法线靠近实轴。 证明：最大模估计与参数连续性，结合定理 21.8。$\square$

7. 例示模板

(i) 完成的 $\xi$ 函数（如 $\xi (s)=\frac{1}{2}s(s-1){\pi }^{-s/2}\Gamma (\frac{s}{2})\zeta (s)$）：由于 $\xi (\frac{1}{2}+iz)$ 的零点（若 RH 成立）位于实轴，其并非严格 HB 函数（HB 需上半平面内 $|E^{♯}|<|E|$、无实零）。可采用偏移正则化 $E_{\epsilon }(z)=\xi (\frac{1}{2}+\epsilon +iz)$（$\epsilon >0$），此时由 (0.1)(0.2) 得 ${\phi }^{\prime }(x)=\pi \rho (x)>0$，由 (0.3) 得 ${\delta }^{\prime }=-2\pi \rho$。定理 21.6–21.8 与 21.9 给出窗化稳定与零集的可检稳定半径。极限 $\epsilon \downarrow 0$ 的边界过程只在边界值层面继承 (0.1)，非严格 HB。或直接以规范系统生成的 de Branges 链 $E_t$ 为例，而非直接取 $\xi$。

(ii) Dirichlet $L(\chi ,\cdot )$：完成后的常数因子并入能量无关的相位常数（或通道特征值），仍有 ${\delta }^{\prime }=-2\pi \rho$。在带限/采样达 Nyquist 时别名项消失，伯努利层与尾项提供显式误差。

(iii) 离散图对照：$(q+1)$-正则图的 Ihara–Bass 行列式给出离散“完成函数“与自倒数镜像；“离散阈值“由谱多项式零—极结构指示（等价于谱多项式的接触/重零点），窗化误差结构沿用 (0.4)。端点（$\pm 2\sqrt{q}$）处的’阈值阶’等价于 Chebyshev 型因子的重合阶。

8. 边界与适用范围

• EM 阶数：必须固定有限阶；无穷级展开会引入伪奇性。
• 散射对称：若实轴酉性或镜像对称未满足，需改用谱移函数 $\xi$ 的一般形式；结论以 ${\xi }^{\prime }=\rho$ 取代。
• 度量校准：Bregman–KL 链需 $\Lambda$ 的强凸—平滑与 Pinsker 链接；否则仅得单侧界。

9. 可检清单（最小充分条件）

1. Weyl–Herglotz：
   • 说明采用的 $E$ 与规范系统的对应方式（引用具体的 $H(t)$/初值规范）
   • 给出 Weyl–Titchmarsh 函数 $m$ 与 $\rho ={\pi }^{-1}\Im m(\cdot +i0)$
   • 若使用 $m=-E^{\prime }/E$，注明“满足无实零与标准归一，因此 $-E^{\prime }/E\equiv m$“
   • 验证 ${\phi }^{\prime }(x)=\Im m(x+i0)$
2. 相位正性：用 ${\phi }^{\prime }(x)=\pi K(x,x)/|E(x){|}^2>0$ 校验单调性与符号。
3. 散射相位：构造 $S(x)$ 并核对 $\boxed{\det S(x)=c_{0}U(x{)}^{-1}}$（单通道归一 + 短程假设），从而 ${\partial }_x\arg \det S=-2\pi \rho$。
4. 窗化纪律：
   • 偶窗/偶核 + 有限阶 EM（记录阶数 $M$ 与端点导数阶）
   • 记录 $\psi$ 的带宽 $B$、采样率 $f_s$，验证 Nyquist $f_s\ge 2B$
   • 按 (0.4) 给出“别名/伯努利层/截断“的非渐近上界
5. Rouché 半径：
   • 在所选域 $\partial D$ 上给出 $|E|$ 下界与误差上界 $\eta$
   • 给出 $\eta$ 的数值估计表（按 alias、伯努利层、tail 三项拆分）
   • 验证零集计数不变
6. 信息几何：在 $(\mu ,L)$ 条件下给出 $\hat{X}$ 稳定，并把偏差（含尾项 ${ϵ}_{\text{tail}}$）传递至 $\hat{\rho },{\hat{\phi }}^{\prime }$。
7. 阈值正规形：在邻域内给出 $\Im m(\cdot +i0)$ 的消失阶 $\kappa$（含非整数阶），并核对窗化不改阶。

10. 与既有篇章的接口

• S15（Weyl–Heisenberg 酉表示）：相位算子 $A=\log x$、尺度算子 $B=-i(x{\partial }_x+\frac{a}{2})$ 的生成元性质保证 ${\phi }^{\prime }$ 在坐标变换下的协变性；等距性使 Herglotz 核在群平均下保持实值性。
• S16（de Branges–Krein 规范系统）：在标准归一且 $E$ 在 $\mathbb{R}$ 上无实零的前提下，本文 $m=-E^{\prime }/E$ 的 Herglotz 表示与 S16 §3 的 HB 生成函数对齐；传递矩阵 $M(t,z)$ 的 $J$-酉性保证 $\Im m>0$，从而 ${\phi }^{\prime }>0$。
• S17（散射算子与功能方程）：§0.3 的 $\det S=c_0{U}^{-1}$ 即 S17 §2 的通道特征值等价；本文定理 21.4 的 ${\delta }^{\prime }=-2\pi \rho$ 给出 S17 相位导数定理的实频版本。
• S18（轨道—谱窗化不等式）：本文 §0.4 的三分解与 S18 §3.3 的统一非渐近上界对齐；定理 21.6 的“奇性不增“确保 S18 窗化后主项极点保持不变。
• S19（谱图与 Ihara ζ）：离散图的 Ihara–Bass 行列式给出“离散 $E$“；本文 §7(iii) 的离散阈值与 S19 §2 的完成函数镜像对称对应。
• S20（BN 投影—KL 代价—灵敏度）：定理 21.9 的信息—能量链直接调用 S20 §4 的 KL—$g$-gap 不等式与 Pinsker 桥；本文 $\rho$ 的扰动界与 S20 软/硬极小元的稳定性定理对齐。

参考文献

1. L. de Branges, Hilbert Spaces of Entire Functions, Prentice–Hall, 1968.
2. D. N. Clark, “One-dimensional perturbations of restricted shifts,” J. Anal. Math. 25 (1972), 169–191.
3. C. Remling, “Canonical systems and de Branges spaces,” J. Funct. Anal. 196 (2002), 323–394.
4. A. Poltoratski, “Boundary behavior of pseudocontinuable functions,” St. Petersburg Math. J. 5 (1994), 389–406.
5. M. Sh. Birman, M. G. Krein, “On the theory of wave and scattering operators,” Dokl. Akad. Nauk SSSR 144 (1962), 475–478.
6. D. R. Yafaev, Mathematical Scattering Theory: General Theory, AMS, 1992.
7. G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics, 2nd ed., AMS, 2014.
8. B. Simon, Orthogonal Polynomials on the Unit Circle, Parts 1–2, AMS Colloquium, 2005.

结语

以 ${\phi }^{\prime }(x)=\Im m(x+i0)=\pi \rho (x)$ 为主轴，本文把阈值与共振的谱—散射判据、窗化—采样的非渐近误差控制、以及Bregman–KL 的灵敏度不等式统一成可检的判据体系：阈值位置与阶在明确的技术纪律下稳定，零集在 Rouché 半径内计数不变，“极点 = 主尺度“在窗化流程中保持不变。上述结构为阈值处共振生成/消失的分岔、最优窗/核设计与算子级稳定域的后续研究提供了统一且可验证的数学基础。