S20. 交换算子的信息几何：BN 投影—KL 代价—灵敏度不等式

—— RKHS/BN 界面下的凸对偶、Bregman 结构与 Nyquist–Poisson–EM 非渐近闭合

摘要（定性）

在再生核 Hilbert 空间（RKHS）与 Beurling–Nyman（BN）混合集/闭凸包的统一框架中，建立由 log-sum-exp 信息势诱导的 Bregman 几何与几何最小范数投影之间的变分对应：在度量校准与 Legendre 条件下，软极小元获得互反参数化，并满足精确毕达哥拉斯恒等式；通过温度极限证明软极小元向硬投影的 Γ-极限收敛。进一步给出“信息—能量—灵敏度“不等式族，刻画几何偏差、相对熵与目标函数缺口的共同控制。数值层面以 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（EM）三分解实现离散—连续换序的非渐近闭合，并在解析窗/核与有限阶 EM 的纪律下保持奇性集合（“极点=主尺度”）。所建范式与 S15（Weyl–Heisenberg 酉表示）、S16（de Branges–Krein 规范系统）、S17（散射酉/对称）与 S19（谱图与 Ihara ζ）自然对齐。

0. 设定与记号

0.1 空间、核、镜像

记 $(\mathcal{H},⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ 为可分 Hilbert 空间，$|x|:=⟨x,x{⟩}^{1/2}$。再生核 $K$ 给出评估向量 $k_x\in \mathcal{H}$，使 $f(x)=⟨f,k_x⟩$。镜像对合 $J:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$ 为等距自反，$J^2=I$，与完成参数 $a$ 相容：$k_{a-s}=J{k}_s$。

0.2 BN 原子与混合集/闭凸包

给定测度空间 $(\mathcal{J},\nu )$，设原子映射 $\Phi :\mathcal{J}\to \mathcal{H}$ 强可测且 ${\int }_{\mathcal{J}}|\Phi (\xi ){|}^{2}d\nu (\xi )<\infty$。定义

$$\mathcal{C}:=\overline{\mathrm{conv}}\{\Phi (\xi ):\xi \in \mathcal{J}\}\subset \mathcal{H},$$

为 BN 混合集/闭凸包（范数闭凸集）。置

$$E:L^2(\nu )\to \mathcal{H},Eg:={\int }_{\mathcal{J}}\Phi (\xi )g(\xi )d\nu (\xi ),(E^{\ast }h)(\xi )=⟨h,\Phi (\xi )⟩.$$

当且仅当 $\mathrm{ran}E$ 闭时，Moore–Penrose 广义逆 $(E^{\ast }E{)}^{†}$ 为有界，且

$$P=E(E^{\ast }E{)}^{†}{E}^{\ast }$$

为到 $\overline{\mathrm{ran}E}$ 的正交投影。若 $\mathrm{ran}E$ 非闭，上式不定义为有界算子，投影仅以“到闭凸集的最小范数元“抽象存在唯一。

支撑函数满足 ${\sigma }_{\overline{\mathcal{C}}}(\theta )={\mathrm{esssup}}_{\xi }⟨\theta ,\Phi (\xi )⟩$（取 $\nu$-本质上确界），与“原子最大“一致。

0.3 信息势、有效域与 Legendre 结构

定义 log-sum-exp 势

$$\Lambda (\theta ):=\log {\int }_{\mathcal{J}}{e}^{⟨\theta ,\Phi (\xi )⟩}d\nu (\xi ),\Theta :=\{\theta \in \mathcal{H}:\int e^{⟨\theta ,\Phi ⟩}d\nu <\infty \}.$$

$\Theta$ 为非空开凸集（例如 $\nu$ 有限且 $\Phi$ 有界时 $\Theta =\mathcal{H}$）。对 $\theta \in \Theta$，Bochner 意义下

$$\nabla \Lambda (\theta )=\int \Phi p_{\theta }d\nu ,{\nabla }^2\Lambda (\theta )={\mathrm{Cov}}_{p_{\theta }}[\Phi ]⪰0,p_{\theta }(\xi )=e^{⟨\theta ,\Phi (\xi )⟩-\Lambda (\theta )}.$$

假设 $\Lambda$ 本质光滑严格凸（Legendre 型）¹，则 $\nabla \Lambda :\Theta \to \mathrm{ri}(\mathcal{C})$ 为双射，且

$$\mathrm{dom}{\Lambda }^{\ast }=\overline{\mathcal{C}},\mathrm{ri}\left(\mathrm{dom}{\Lambda }^{\ast }\right)=\mathrm{ri}(\mathcal{C}),(\nabla \Lambda {)}^{-1}=\nabla {\Lambda }^{\ast }.$$

边界 $\partial \mathcal{C}$ 上 ${\Lambda }^{\ast }$ 可取有限值但通常不可微。

0.4 窗化与有限阶 EM

选择在工作条带解析的偶窗 $w$ 与试验核 $h$，带限或指数衰减。所有离散—连续换序仅用有限阶 EM；误差采用“别名 + 伯努利层 + 截断“三分解（§5）。

1. BN 投影与凸对偶

1.1 最小范数投影

对 $F\in \mathcal{H}$，定义到 $\mathcal{C}$ 的投影

$${\Pi }_{\mathcal{C}}(F):=\arg \underset{X\in \mathcal{C}}{\min }\frac{1}{2}|X-F{|}^2.$$

$\mathcal{C}$ 闭凸 $\Rightarrow$ 极小元存在唯一；${\Pi }_{\mathcal{C}}$ 为坚定非扩张映射（firmly nonexpansive）。由于 $\mathcal{C}$ 闭凸，${\Pi }_{\mathcal{C}}$ 作为最近点映射存在唯一且坚定非扩张；当 $\mathrm{ran}E$ 非闭时，$E(E^{\ast }E{)}^{†}{E}^{\ast }$ 不再给出有界算子表示，但到 $\overline{\mathrm{ran}E}$ 的正交投影仍存在（与 ${\Pi }_{\mathcal{C}}$ 无需相同）。

1.2 Fenchel–Rockafellar 对偶与 KKT

${\iota }_{\mathcal{C}}$ 为 $\mathcal{C}$ 的指标函数；${\sigma }_{\mathcal{C}}(\theta ):={\sup }_{X\in \mathcal{C}}⟨\theta ,X⟩$ 为支撑函数。由二次项处处有限，强对偶成立[^Rockafellar70]²：

$$\underset{X}{\min }\{\frac{1}{2}|X-F{|}^2+{\iota }_{\mathcal{C}}(X)\}=\frac{1}{2}|F{|}^2-\underset{\theta }{\min }\{\frac{1}{2}|F-\theta {|}^2+{\sigma }_{\mathcal{C}}(\theta )\}=\frac{1}{2}|F{|}^2+\underset{\theta }{\max }\{-\frac{1}{2}|F-\theta {|}^2-{\sigma }_{\mathcal{C}}(\theta )\}.$$

存在原始解 $X^{\ast }={\Pi }_{\mathcal{C}}(F)$ 与对偶解 ${\theta }^{\ast }$ 满足 KKT 条件

$${\theta }^{\ast }=F-X^{\ast },{\theta }^{\ast }\in N_{\mathcal{C}}(X^{\ast }),$$

其中 $N_{\mathcal{C}}(X)$ 为法锥。

2. 软支撑、熵正则化与 Bregman 结构

令

$$Q(\theta ):=\frac{1}{2}|\theta -F{|}^2+\Lambda (\theta ),g(X):=\frac{1}{2}|X-F{|}^2+{\Lambda }^{\ast }(X).$$

2.1 软支撑与最小相对熵

$${\Lambda }^{\ast }(X)=\underset{\begin{array}{c}p\in \mathcal{P}(\nu )\\ \int \Phi p=X\end{array}}{\inf }\mathrm{KL}(p|\nu ),\mathcal{P}(\nu )=\{p\ge 0,\int pd\nu =1\},$$

其中以基准测度 $\nu$ 为参考的相对熵

$$\mathrm{KL}(p|\nu )=\int p\log pd\nu$$

（$p$ 为对 $\nu$ 的密度）。若以同一 $\nu$ 为参考比较两密度 $p,q$，则

$$\mathrm{KL}(p|q)=\int p\log \frac{p}{q}d\nu .$$

因此

$$\underset{\theta }{\min }Q(\theta )⟺\underset{p\in \mathcal{P}(\nu )}{\min }\left[\frac{1}{2}\right|\int \Phi p-F{|}^2+\mathrm{KL}(p|\nu )].$$

注：若 $\nu$ 非概率，$\mathrm{KL}(p|\nu )=\int p\log pd\nu$ 与以归一化 $\bar{\nu }$ 为基准的相对熵相差常数；本文仅以差值与最优化为目的，常数项不影响结论。

2.2 $Q$ 的 Bregman—欧氏毕达哥拉斯

对任意 $\theta ,\vartheta \in \Theta$：

$$Q(\theta )=Q(\vartheta )+\frac{1}{2}|\theta -\vartheta {|}^2+D_{\Lambda }(\theta \mid \vartheta )+⟨\nabla Q(\vartheta ),\theta -\vartheta ⟩.$$

若 $\nabla Q({\theta }^{†})=0$，则

$$Q(\theta )-Q({\theta }^{†})=\frac{1}{2}|\theta -{\theta }^{†}{|}^2+D_{\Lambda }(\theta \mid {\theta }^{†})\ge 0.$$

3. “软→硬”：Γ-极限与度量校准

3.1 温度极限（Γ-极限）

对 $\beta >0$，置 ${\Lambda }_{\beta }(\theta )={\beta }^{-1}\log \int e^{\beta ⟨\theta ,\Phi ⟩}d\nu$。则 ${\Lambda }_{\beta }$ epi-收敛到 ${\sigma }_{\mathcal{C}}$，${\Lambda }_{\beta }^{\ast }$ epi-收敛到 ${\iota }_{\mathcal{C}}$。此处上确界为 $\nu$-本质上确界；由于以闭凸包闭合，支撑函数与原子像集在零测集改动下保持一致。若 $\Phi$ 有界，则

$$X_{\beta }:=\arg \underset{X}{\min }\{\frac{1}{2}|X-F{|}^2+{\Lambda }_{\beta }^{\ast }(X)\}\underset{\beta \to \infty }{\to }{\Pi }_{\mathcal{C}}(F),$$

且最小值下降至 $\frac{1}{2}|{\Pi }_{\mathcal{C}}(F)-F{|}^2$³。在 $\Phi$ 有界、$\nu$ 有限下，$\Theta \ne \varnothing$，$g_{\beta }$ 至少 1-强凸（极小元唯一）；若 $\nabla {\Lambda }_{\beta }$ 为 $L_{\beta }$-Lipschitz，则 $g_{\beta }$ $(1+1/L_{\beta })$-强凸。全序列收敛；epi-收敛加唯一解给出 $X_{\beta }\to {\Pi }_{\mathcal{C}}(F)$。

3.2 度量校准与内点情形

注：下述校准仅用于理论估计与局部等距，不改变前述投影与 KKT 结论的有效性。

附加假设：设存在有界正算子 $C\succ 0$ 与参考内积 $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_0$ 使

$${\nabla }^2\Lambda ({\theta }^{♯})=C,⟨x,y⟩=⟨Cx,y{⟩}_0(\text{度量校准}).$$

在 Legendre 条件下，存在唯一软极小元 $({\theta }^{♯},X^{♯})$ 使

$$\boxed{X^{♯}=\nabla \Lambda ({\theta }^{♯}),{\theta }^{♯}=F-X^{♯}}.$$

该对偶参数化仅对应软问题。硬投影 $X^{\ast }={\Pi }_{\mathcal{C}}(F)$ 满足 $F-X^{\ast }\in N_{\mathcal{C}}(X^{\ast })$；一般 $X^{\ast }\ne X^{♯}$，但当 $\beta \to \infty$ 时 $X_{\beta }\to X^{\ast }$（见 §3.1）。若 ${\Pi }_{\mathcal{C}}(F)\in \mathrm{ri}(\mathcal{C})$ 则必有 $F=X^{\ast }$，此时软/硬解一致当且仅当 $\nabla \Lambda (0)=F$。

对任意 $X=\nabla \Lambda ({\theta }_X)\in \mathrm{ri}(\mathcal{C})$，成立

$$g(X)-g(X^{♯})=\frac{1}{2}|X-X^{♯}{|}^2+D_{{\Lambda }^{\ast }}(X\mid X^{♯})\ge 0.$$

若 ${\Pi }_{\mathcal{C}}(F)\notin \mathrm{ri}(\mathcal{C})$，则对某温度序列 $\beta \to \infty$ 可取 $X_{\beta }\in \mathrm{ri}(\mathcal{C})$ 使 $X_{\beta }\to {\Pi }_{\mathcal{C}}(F)$。

说明：群表示的等距/不可约与对称化可局部实现 Fisher—Hilbert 的度量校准（至多相差正定因子）⁴。度量校准的作用定位为局部误差估计与内蕴几何对齐，而非建立软/硬解的点态等同。

4. 信息—能量—灵敏度不等式

设在最优点邻域

$$\mu I⪯{\nabla }^2\Lambda (\theta )⪯LI,\underset{\xi }{\mathrm{esssup}}|\Phi (\xi )|\le R.$$

4.1 强凸/平滑 $\Rightarrow$ $g$-gap 二次下界

由谱界得 $\nabla \Lambda$ 为 $L$-Lipschitz，${\Lambda }^{\ast }$ 为 $(1/L)$-强凸，故

$$\boxed{g(X)-g(X^{♯})\ge \frac{1}{2}|X-X^{♯}{|}^2+\frac{1}{2L}|X-X^{♯}{|}^2=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{L})|X-X^{♯}{|}^2}.$$

4.2 KL—$g$-gap—灵敏度链

指数族下 $\Lambda$ 为 $\mu$-强凸，且 $\nabla \Lambda$ 的 Lipschitz 常数为 $L$，因此 $|X-X^{♯}|\le L|{\theta }_X-{\theta }^{♯}|$。从而

$$\mathrm{KL}(p_{{\theta }_X}|p_{{\theta }^{♯}})=D_{\Lambda }({\theta }_X\mid {\theta }^{♯})\ge \frac{\mu }{2}|{\theta }_X-{\theta }^{♯}{|}^2\ge \boxed{\frac{\mu }{2L^2}|X-X^{♯}{|}^2}.$$

由 §4.1 与上式得

$$\boxed{\min \{\mathrm{KL}(p_{{\theta }_X}|p_{{\theta }^{♯}}),g(X)-g(X^{♯})\}\ge \min \{\frac{\mu }{2L^2},\frac{1}{2}(1+\frac{1}{L})\}|X-X^{♯}{|}^2}.$$

另一方面（上界方向），由 $\mathrm{esssup}|\Phi |\le R$ 与 Csiszár–Pinsker，

$$|X-X^{♯}|=|\int \Phi (p_{{\theta }_X}-p_{{\theta }^{♯}})d\nu |\le R|p_{{\theta }_X}-p_{{\theta }^{♯}}{|}_{L^1(\nu )}\le R\sqrt{2\mathrm{KL}(p_{{\theta }_X}|p_{{\theta }^{♯}})}.$$

4.3 稳定性：硬投影与软极小元

硬投影（与 $\nu$ 无关）：

$$|{\Pi }_{\mathcal{C}}(\hat{F})-{\Pi }_{\mathcal{C}}(F)|\le |\hat{F}-F|=\epsilon .$$

软极小元（依赖 $\nu$）：记 $X_{\beta }^{(\nu )}:=\arg {\min }_X\{\frac{1}{2}|X-F{|}^2+{\Lambda }_{\beta }^{(\nu )\ast }(X)\}$。令 $\bar{\nu }=\nu /\nu (\mathcal{J})$、$\bar{\hat{\nu }}=\hat{\nu }/\hat{\nu }(\mathcal{J})$ 为归一化概率测度，若 $\mathrm{TV}(\bar{\hat{\nu }},\bar{\nu })\le \delta$，Hessian 在最优点邻域一致有界，则

$$|X_{\beta }^{(\hat{\nu })}-X_{\beta }^{(\nu )}|\le C_2\delta ,|\min g_{\hat{F}}^{(\hat{\nu })}-\min g_F^{(\nu )}|\le (1+{\kappa }_F)\epsilon +C_3\delta ,$$

其中常数 $C_2,C_3$ 与最优点邻域一致的 Hessian 界及 $\mathrm{esssup}|\Phi |$ 有关，${\kappa }_F$ 为 $|\nabla g|$ 的局部 Lipschitz 常数。令 $\beta \to \infty$，由 §3.1 将软极小元逼近到硬投影。

5. Nyquist–Poisson–EM 三分解与非渐近闭合

约定傅里叶变换 $\hat{g}(\omega )={\int }_{\mathbb{R}}g(u)e^{-i\omega u}du$。令 $g\in L^1(\mathbb{R})\cap C^{2M}(\mathbb{R})$ 且导数 $g^{(2j)}\in L^1$。对步长 $\Delta >0$ 与截断 $T>0$：

$$\left|{\int }_{\mathbb{R}}g(u)du-\Delta \sum _{|k|\le T/\Delta }g(k\Delta )\right|\le \underset{\text{别名}}{\underbrace{\sum _{m\ne 0}|\hat{g}(2\pi m/\Delta )|}}+\underset{\text{伯努利层}}{\underbrace{\sum _{j=1}^{M-1}\frac{|B_{2j}|}{(2j)!}{\Delta }^{2j}|g^{(2j)}{|}_{L^1}}}+\underset{\text{截断}}{\underbrace{{\int }_{|u|>T}|g(u)|du}}.$$

满足 Paley–Wiener 带限假设（$\hat{g}(\omega )=0$ 于 $|\omega |>\Omega$）且采样间隔 $\Delta \le \pi /\Omega$ 时，别名项为零（本文取 Shannon 采样条件作保守选取；充要条件为 $2\pi /\Delta >2\Omega$）；指数窗仅得到指数小的别名。将该上界逐项作用于构成 $\hat{F}$ 的各积分核，得 $|F-\hat{F}|\le \mathfrak{E}(\Delta ,M,T)$ 的显式估计；代入 §4.3 获得投影与最小值的非渐近误差闭合。

因窗/核在工作条带解析，且 Euler–Maclaurin 仅取有限阶 $M$，增添层为整/全纯叠加，不引入非解析换序，故“极点=主尺度“保持。

6. 与 S15–S19 的接口

• S15（Weyl–Heisenberg 酉表示）：原子族可取 ${\Phi }_{\tau ,\sigma }=U_{\tau }{V}_{\sigma }{\Phi }_0$。等距与对称化可局部实现 Fisher—Hilbert 的度量校准（至多相差正定因子），据此在 $g$ 上得到锐平的几何—信息对应。
• S16（de Branges–Krein 规范系统）：取核截面或边界评估为原子，${\mathrm{Cov}}_{p_{\theta }}[\Phi ]$ 与传递矩阵通量守恒相容，支撑 Legendre 与校准。
• S17（散射酉/对称）：边界振幅的指数族参数 $\theta$ 的最优性与 Herglotz–Nevanlinna 相位导数一致；KL—$g$-gap 给出窗化相位/密度的稳定下界。
• S18（窗化迹公式）：$\hat{F}$ 的生成受 §5 上界直接控制；带限 + Nyquist 时别名项消失。
• S19（谱图与 Ihara ζ）：原子若来自非回溯传播或邻接谱分量，$\mathcal{C}$ 的投影与 Ihara–Bass 行列式的自倒数镜像兼容；完成函数的镜像对称提供可检基准。

7. 例与结构模板

1. Gabor/RKHS 原子：${\Phi }_{\tau ,\sigma }=U_{\tau }{V}_{\sigma }g$；Hessian 为协方差算子，群平均实现局部校准。
2. de Branges 截面：$\Phi (t)=k_{x(t)}$；${\nabla }^2\Lambda$ 等于核 Gram 算子限制，天然正定并与规范系统对齐。
3. BN–ζ 原型：$\mathcal{H}=L^2(0,1)$，$\Phi$ 取 Nyman–Beurling 片段；温度极限 $\beta \to \infty$ 给出到闭凸包的硬投影。

8. 可检清单（最小充分条件）

1. 空间/原子：给出 $(\mathcal{H},K)$ 与强可测 $\Phi$；$\mathcal{C}=\overline{\mathrm{conv}}\{\Phi (\xi )\}$ 闭凸，$\mathrm{ri}(\mathcal{C})\ne \varnothing$。
2. 信息势：$\Theta$ 非空开凸；$\Lambda$ Legendre 型；$\nabla \Lambda :\Theta \to \mathrm{ri}(\mathcal{C})$ 双射，$\mathrm{dom}{\Lambda }^{\ast }=\overline{\mathcal{C}}$，且 $\mathrm{ri}(\mathrm{dom}{\Lambda }^{\ast })=\mathrm{ri}(\mathcal{C})$。
3. 对偶/KKT：硬投影满足 ${\theta }^{\ast }=F-X^{\ast }$ 与 ${\theta }^{\ast }\in N_{\mathcal{C}}(X^{\ast })$；软极小元满足 ${\theta }^{♯}=F-X^{♯}$ 与 $X^{♯}=\nabla \Lambda ({\theta }^{♯})$。
4. 校准/内点：用度量校准得软极小元 $X^{♯}=\nabla \Lambda ({\theta }^{♯})$；通过温度极限 $\beta \to \infty$ 逼近硬投影 $X^{\ast }={\Pi }_{\mathcal{C}}(F)$。
5. 强凸/平滑：给出 $(\mu ,L)$ 谱界（$\mu I⪯{\nabla }^2\Lambda ⪯LI$）与原子有界度 $\mathrm{esssup}|\Phi |\le R$；验证 §4 的不等式链。
6. 窗化/EM：解析窗/核，有限阶 EM；据 §5 给出 $|F-\hat{F}|$ 的非渐近上界。
7. 奇性保持：全流程不引入非解析换序；“极点=主尺度“保持。

参考文献

结语

以 Legendre 信息势为桥梁，本文把 BN 混合集上的几何投影（硬投影）与指数族的最小相对熵（软极小元）统一到目标函数 $g$ 的 Bregman 几何之中：在内点与度量校准下获得互反参数化与精确毕达哥拉斯；在 Γ-极限下实现由软极小元到硬投影的收敛；以强凸/平滑—Pinsker—灵敏度链刻画信息、能量与几何偏差的共同控制；以 Nyquist–Poisson–EM 三分解实现数值层面的非渐近闭合并保持奇性结构。该范式与 S15–S19 的表示—规范—散射—谱图接口一致，为连续谱阈值与奇性稳定的后续研究提供统一的度量与优化语言。

1. R. T. Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, 1970. ↩

2. H. H. Bauschke, P. L. Combettes, Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer, 2011. ↩

3. H. Attouch, R. J.-B. Wets, Quantitative Stability of Variational Systems, SIAM Journal on Optimization, 1989. ↩

4. S. Amari, Information Geometry and Its Applications, Springer, 2016. ↩