S19. 谱图与 Ihara ζ：非回溯算子、行列式公式与完成对称

—— 有限图上的轨道—谱合奏、镜像 $s\mapsto 1-s$ 与窗化不等式

作者：Auric 日期：2025-10-21

摘要（定性）

在有限无向连通图的有向边空间上构造非回溯算子 $B$，以内循环位移等价（不并入反向）的原始非回溯回路定义 Ihara ζ 函数，建立其与 $\det (I-uB)$ 的行列式恒等以及 Bass 公式；在 $(q+1)$-正则图情形，通过谱多项式的自倒数性给出完成函数 ${\Xi }_G(s)$ 的镜像对称 ${\Xi }_G(s)={\Xi }_G(1-s)$。进一步，在偶窗/偶核、仅使用有限阶 Euler–Maclaurin（EM）换序的纪律下，建立离散图版的“轨道—谱窗化不等式“，其误差由“别名 + 伯努利层 + 截断“三项非渐近上界统一控制；带限 + Nyquist 条件下别名为零。该框架与 Weyl–Heisenberg 酉系统（S15）、de Branges–Krein 规范系统（S16）、散射算子与完成功能方程的算子等价（S17）、窗化迹不等式（S18）逐项对齐，形成离散几何—谱图—解析函数的统一算子范式。

0. 设定与记号

令 $G=(V,E)$ 为有限、无向、连通、无自环与多重边的图。记顶点数 $n=|V|$、边数 $m=|E|$。设有向边集

$$\vec{E}=\{e=(v\to w):\{v,w\}\in E\},N:=|\vec{E}|=2m,$$

对 $e=(v\to w)$ 记反向 $\bar{e}=(w\to v)$。邻接矩阵 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$、度矩阵 $D=\mathrm{diag}(\mathrm{deg}v)$、统一记

$$Q:=D-I.$$

非回溯算子（Hashimoto） 定义为

$$B_{e,f}=\{\begin{array}{ll}1,& \mathrm{tail}(f)=\mathrm{head}(e)\text{且}f\ne \bar{e},\\ 0,& \text{否则}.\end{array}$$

其 $k$-次迹 $\mathrm{Tr}{B}^k$ 计数长度为 $k$ 的闭非回溯走步（计起点与方向）。

原始回路与重排式（方向区分） 设 $[C]$ 为原始非回溯回路的等价类，等价仅按循环位移（不将反向并为同类），长度记 $\ell (C)$。记 ${\pi }_d$ 为长度 $d$ 的此类等价类数，则存在重排恒等式

$$N_k:=\mathrm{Tr}{B}^k=\sum _{d\mid k}d{\pi }_d,$$

其与行列式展开一致。

窗/核与有限阶换序 取偶核 $h$ 与偶窗 $w$（带限或指数衰减），尺度 $R>0$ 时 $w_R(t):=w(t/R)$。所有离散—连续换序仅取有限阶 EM，伯努利层与端点余项对外参（如 $s$、$R$）整/全纯，从而保持“极点 = 主尺度“。

1. Ihara ζ 的行列式表达与 Bass 公式

定义 1.1（Ihara ζ）

$$Z_G(u):=\prod _{[C]}(1-u^{\ell (C)}{)}^{-1},|u|\text{充分小},$$

其中 $[C]$ 按循环位移等价（不识别反向）遍历原始非回溯回路。本稿约定原始回路仅按循环位移并类，不按反向并类；相应重排式 $N_k={\sum }_{d\mid k}d{\pi }_d$ 与行列式展开一致。若改为并入反向（部分文献采用），则 ${\pi }_d$ 改记为 ${\pi }_d$ 且重排式变为 $N_k={\sum }_{d\mid k}d(2{\pi }_d)$（除去回文异常的零测情形），等价地 $Z_G(u)$ 仅差一个幂次的规范化，Bass 公式与后续结论不受影响。

定理 1.2（行列式表达）

$$Z_G(u{)}^{-1}=\det (I-uB)(|u|\text{充分小}).$$

证明. 由

$$-\log \det (I-uB)=\sum _{k\ge 1}\frac{\mathrm{Tr}{B}^k}{k}{u}^k,$$

并用 $N_k={\sum }_{d\mid k}d{\pi }_d$ 重排，逐长整合为原始回路的几何级数，即得定义 1.1 的 Euler 乘积。解析延拓见下述 Bass 公式。 $\square$

定理 1.3（Bass 公式）

$$\boxed{Z_G(u{)}^{-1}=(1-u^2{)}^{m-n}\det (I-uA+u^{2}Q).}$$

证明. 取入射矩阵 $H$、出射矩阵 $O$（$O$ 为字母 ‘O’）

$$(H{)}_{e,v}=1_{\{v=\mathrm{head}(e)\}},(O{)}_{e,v}=1_{\{v=\mathrm{tail}(e)\}},$$

与反向置换矩阵 $R$（$R_{e,f}=1_{\{f=\bar{e}\}}$，故 $R^2=I$）。由定义

$$B=H{O}^{\top }-R,H{O}^{\top }=B+R.$$

于是

$$\begin{array}{rl}\det (I-uB)& =\det (I-u(H{O}^{\top }-R))=\det (I+uR-uH{O}^{\top })\\ & =\det (I+uR)\cdot \det (I-u(I+uR{)}^{-1}H{O}^{\top }).\end{array}$$

利用 $R^2=I\Rightarrow (I+uR{)}^{-1}=(1-u^2{)}^{-1}(I-uR)$（因此 $u=\pm 1$ 处由多项式恒等延拓）以及

$$O^{\top }H=A,O^{\top }RH=O^{\top }O=D,$$

得

$$O^{\top }(I+uR{)}^{-1}H=(1-u^2{)}^{-1}(A-uD).$$

上述等式先在 $u\notin \{\pm 1\}$ 成立，结论由多项式恒等作解析延拓至全复平面。

由 $\det (I+uR)=(1-u^2{)}^m$ 与 Sylvester 行列式恒等式 $\det (I-XY)=\det (I-YX)$ 得

$$\begin{array}{rl}\det (I-uB)& =(1-u^2{)}^m\cdot \det (I-\frac{u}{1-u^2}A+\frac{u^2}{1-u^2}D)\\ & =(1-u^2{)}^{m-n}\det (I-uA+u^2(D-I)),\end{array}$$

即所求。 $\square$

推论 1.4（$(q+1)$-正则图）

若 $G$ 为 $(q+1)$-正则，则 $Q=qI$，

$$Z_G(u{)}^{-1}=(1-u^2{)}^{m-n}{P}_G(u),P_G(u):=\det (I-uA+q{u}^{2}I)=\prod _{j=1}^n(1-{\lambda }_{j}u+q{u}^2),$$

其中 $\{{\lambda }_j\}$ 为 $A$ 的特征值。由上式读出 $B$ 的谱：每个 ${\lambda }_j$ 诱导

$${\mu }_{\pm }=\frac{1}{2}({\lambda }_j\pm \sqrt{{\lambda }_j^2-4q}),$$

并另外出现

$$(+1)\text{与}(-1)\text{各重数 }m-n,$$

从而总维度闭合 $2n+2(m-n)=2m=N$；在 $(q+1)$-正则图上 $m-n=\frac{(q-1)n}{2}$。

2. 完成多项式与镜像对称（$(q+1)$-正则图）

假设. 本节全程设 $G$ 为 $(q+1)$-正则图，故 $Q=qI$ 且 $P_G(u)=\det (I-uA+q{u}^{2}I)={\prod }_{j=1}^n(1-{\lambda }_{j}u+q{u}^2)$。

定理 2.1（谱多项式的自倒数性）

$$\boxed{P_G(u)=(q{u}^2{)}^n{P}_G\left(\frac{1}{qu}\right).}$$

证明. 由 $P_G(u)={\prod }_j(1-{\lambda }_{j}u+q{u}^2)$，直接得 $$(q{u}^2{)}^n{P}_G\left(\frac{1}{qu}\right)=\prod _j(q{u}^2-{\lambda }_{j}u+1)=P_G(u).$$ $\square$

定义 2.2（完成函数）

置 $u=q^{-s}$，定义（$s\in \mathbb{C}$）

$$\boxed{{\Xi }_G(s):=q^{n\left(s-\frac{1}{2}\right)}{P}_G\left(q^{-s}\right).}$$

命题 2.3（功能方程）

$$\boxed{{\Xi }_G(s)={\Xi }_G(1-s).}$$

证明. 由定理 2.1 得 $P_G(q^{-(1-s)})=q^{n(2s-1)}{P}_G(q^{-s})$，代回定义即得。功能方程在全复平面按代数恒等成立。 $\square$

备注 2.4（Ramanujan 判据）

对 $(q+1)$-正则图，除去平凡因子 $(1-u^2{)}^{m-n}$ 与平凡特征值 $+(q+1)$（若 $G$ 为二部，还包含 $-(q+1)$）后，Ihara ζ 的非平凡极点全部落在 $|u|=q^{-1/2}$ 当且仅当 所有非平凡邻接特征值满足 $|{\lambda }_j|\le 2\sqrt{q}$（即图为 Ramanujan）。

备注 2.5（代数恒等式与非自倒数性）

任意 $N\times N$ 矩阵 $B$ 与标量 $u$ 满足

$$u^N\det (I-(1/u)B)=\det (uI-B),$$

该式为纯代数恒等；一般不蕴含 $\det (I-uB)$ 的自倒数性。镜像结构统一由 $P_G(u)$ 或 ${\Xi }_G(s)$ 承担。

3. 轨道—谱的窗化不等式（离散图版）

假设. 本节起至定理 3.1，全程假设 $G$ 为 $(q+1)$-正则图（故 $Q=qI$）。

取偶核 $h\in W^{2M,1}(\mathbb{R})$（$M\ge 2$）与偶窗 $w$，并假设 $\hat{h},\hat{w}$ 均带限（紧支集），从而 $\hat{h}\ast {\hat{w}}_R$ 亦带限，轨道侧求和为有限和，保证绝对收敛。尺度 $R>0$ 时 $w_R(t):=w(t/R)$。

谱侧

$${\mathcal{S}}_{\mathrm{spec}}(h;R):=\sum _{j=1}^{n}h({\lambda }_j)w_R({\lambda }_j).$$

轨道侧（并入偶长显式项）

$$\boxed{{\mathcal{S}}_{\mathrm{orb}}^{\star }(h;R):=\sum _{k\ge 1}\frac{N_k}{k}(\hat{h}\ast {\hat{w}}_R)(k)+(m-n)\sum _{k\ge 1}\frac{1}{k}(\hat{h}\ast {\hat{w}}_R)(2k)}.$$

第二项来自 Bass 公式中 $(1-u^2{)}^{m-n}$ 的对数展开： $$(n-m)\log (1-u^2)=-(n-m)\sum _{k\ge 1}\frac{u^{2k}}{k}=(m-n)\sum _{k\ge 1}\frac{u^{2k}}{k},$$ 故偶长项系数确为 $+(m-n)/k$。

定理 3.1（窗化迹公式的三分解误差上界）

存在常数 $C=C(M,h,w)$ 与数值参数 $(\Delta ,T)$（采样步长、截断阈值），使

$$|{\mathcal{S}}_{\mathrm{spec}}(h;R)-{\mathcal{S}}_{\mathrm{orb}}^{\star }(h;R)|\le C\sum _{X\in \{\mathrm{spec},\mathrm{orb}\}}({\mathrm{alias}}_X+{\mathrm{EM}\text{-}\mathrm{layer}}_X+{\mathrm{tail}}_X),$$

其中分别对谱侧定义 $g_{\mathrm{spec}}:=h\cdot w_R$、对轨道侧定义 $g_{\mathrm{orb}}:=\hat{h}\ast {\hat{w}}_R$，各侧误差项定义为（$X\in \{\mathrm{spec},\mathrm{orb}\}$）

$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{alias}}_X:=\sum _{r\ne 0}|\widehat{g_X}(2\pi r/\Delta )|,\\ & {\mathrm{EM}\text{-}\mathrm{layer}}_X:=\sum _{j=1}^{M-1}\frac{|B_{2j}|}{(2j)!}{\Delta }^{2j}|g_X^{(2j)}{|}_{L^1},\\ & {\mathrm{tail}}_X:={\int }_{|t|>T}|g_X(t)|dt.\end{array}$$

当 $g_X$ 带限且 $\Delta \le \pi /\Omega$（Nyquist 步长）时 ${\mathrm{alias}}_X=0$。

变换约定. 本文傅里叶变换取 $\hat{g}(\omega )={\int }_{\mathbb{R}}g(t)e^{-i\omega t}dt$（角频率制），故别名频谱复制间隔为 $2\pi /\Delta$，带限 $\Omega$ 时 Nyquist 步长为 $\Delta \le \pi /\Omega$。在本约定下 $$\widehat{h\cdot w_R}=\frac{1}{2\pi }(\hat{h}\ast {\hat{w}}_R);$$ 该常数因子 $1/(2\pi )$ 已吸收入误差常数 $C$ 中，不再逐处显式书写。

说明（偶窗/偶核与端点） 取偶窗与偶核可使有限阶 EM 的端点项互消/简化，且伯努利层与截断尾项对外参（如 $s,R$）整/全纯，故不引入新奇性，从而保持“极点 = 主尺度“。

4. 例示

4.1 Ramanujan 图

若所有非平凡 ${\lambda }_j$ 满足 $|{\lambda }_j|\le 2\sqrt{q}$，则 $P_G$ 的零全部位于 $|u|=q^{-1/2}$ 的反演对称环上；由定义 2.2，${\Xi }_G(s)$ 的零关于 $s=\frac{1}{2}$ 成对。带限窗与 Nyquist 采样时，定理 3.1 的误差仅来自 EM 层与截断项，具有非渐近可计算性。

4.2 循环图 $C_L$

本例为 2-正则图（$q=1$）。此时 $A$ 的谱为 $2\cos (2\pi j/L)$（$0\le j<L$），

$$P_G(u)=\prod _{j=0}^{L-1}(1-2u\cos (2\pi j/L)+u^2),$$

可用 Chebyshev 多项式闭式化简；非回溯回路计数由长度整除结构给出显式，窗化恒等式可直接核验。

5. 与“镜像—规范—散射—窗化“框架的接口

• 镜像/功能方程（S17）：${\Xi }_G(s)={\Xi }_G(1-s)$ 为离散图的代数镜像；与“$\Xi (a-s)=\epsilon \Xi (s)⟺JF=\epsilon F$“之算子等价同构（$u=q^{-s}$ 为尺度映射，$s\mapsto 1-s$ 对应 $u\mapsto 1/(qu)$ 的乘法镜像）。
• 规范系统（S16）：有限维纯点谱可视作 Herglotz—谱测度框架的离散极限；相位—能量度量与窗化估计相容。
• 散射/二端口（S17）：非回溯传输可理解为“无回头通道“的离散传递；$\det (I-uA+u^{2}Q)$ 的结构与通道特征值恒等在代数层面平行。
• 窗化迹不等式（S18）：将 Lebesgue 积分替换为长度/频率采样，即得离散版三分解误差上界。
• Weyl–Heisenberg（S15）：相位移与尺度变换的带限—采样纪律直接转译到谱图变量（$\lambda$、$k$）的窗化—采样上。

6. 边界与扩展

• 有限阶 EM：坚持有限阶以避免伪奇性与非法换序，确保“极点 = 主尺度“。
• 窗衰减与收敛性：本文采用 $\hat{h},\hat{w}$ 双带限的假设以确保轨道侧求和为有限和。若改用非带限窗，则需要（i）$\hat{h}\ast {\hat{w}}_R$ 的衰减足以压制 $N_k\sim q^k$ 的增长，或（ii）在轨道侧引入 $q^{-k/2}$ 归一化以确保级数绝对收敛。当 $\hat{w}\notin L^1$ 或衰减不足时，别名与尾项可能主导；宜选带限窗 + Nyquist，或指数窗 + 充分截断。
• 自环/多重边：若允许自环与多重边，则需按标准方式修正 $B$ 与原始回路定义，同时在 Bass 公式中以带权度矩阵替代 $Q=D-I$。

附录 A：有限阶 Euler–Maclaurin（用于窗化换序）

若 $g\in C^{2M}([a,b])$ 且 $g^{(2M)}\in L^1([a,b])$，则

$$\sum _{n=a}^{b}g(n)={\int }_a^{b}g(t)dt+\frac{g(a)+g(b)}{2}+\sum _{j=1}^{M-1}\frac{B_{2j}}{(2j)!}(g^{(2j-1)}(b)-g^{(2j-1)}(a))+R_M,$$

其中 $B_{2j}$ 为伯努利数，$B_{2M}(\{t\})$ 为周期伯努利多项式（其上界可由伯努利数控制），

$$R_M=\frac{1}{(2M)!}{\int }_a^b{B}_{2M}(\{t\})g^{(2M)}(t)dt,|R_M|\le \frac{|B_{2M}|}{(2M)!}|g^{(2M)}{|}_{L^1}.$$

在偶窗/偶核下端点项简化；积分—求和换序始终限制于有限阶层内，保证余项对外参整/全纯。

参考文献

• Y. Ihara, On discrete subgroups of the two by two projective linear group over $p$-adic fields, J. Math. Soc. Japan 18 (1966), 219–235.
• K. Hashimoto, Zeta functions of finite graphs and representations of $p$-adic groups, Adv. Stud. Pure Math. 15 (1989), 211–280.
• H. Bass, The Ihara–Selberg zeta function of a graph, Int. J. Math. 3 (1992), 717–797.
• H. M. Stark and A. A. Terras, Zeta functions of finite graphs and coverings, Adv. Math. 121 (1996), 124–165.
• A. Terras, Zeta Functions of Graphs: A Stroll through the Garden, Cambridge Univ. Press, 2011.
• M. Kotani and T. Sunada, Zeta functions of finite graphs, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 7 (2000), 7–25.

结语

Ihara–Hashimoto–Bass 三恒等在有限图上给出了非回溯算子、邻接谱与回路几何的紧耦合；$(q+1)$-正则情形的谱多项式自倒数性导出完成函数 ${\Xi }_G(s)$ 的镜像对称。将 S18 的窗化思想移植至离散图，并显式并入偶长项后，得到仅依赖有限阶 EM 的非渐近三分解上界；带限 + Nyquist 下可达“别名 = 0“。由此，离散几何的轨道—谱合奏与解析函数的完成—镜像在统一算子视角中闭环。