S18. 轨道—谱窗化不等式

—— 迹公式的分布恒等式、镜像—规范系统接口与三分解误差

作者：Auric 日期：2025-10-21

摘要（定性）

在 Weyl–Heisenberg 酉体系（Mellin 侧“平移—权乘“表示）、de Branges–Krein 规范系统（传递矩阵与谱测度）与“功能方程 ↔ 散射算子酉/对称“的统一框架下，本文把抽象迹公式（轨道—谱对偶的分布恒等式）组织为窗化不等式。对任一满足带限或指数衰减的偶窗与可检试验核，在仅使用有限阶 Euler–Maclaurin（EM）换序的前提下，轨道侧与谱侧在同一工作条带具有相同奇性集合且阶不升。在实际计算的数值实现中，两侧差异由一条非渐近的“别名 + 伯努利层 + 截断“三分解上界统一控制；当被采样的核满足带限并取 Nyquist 步长时，可将相应侧的别名项消除。连续谱项借助散射矩阵实轴酉性与镜像对称而正性可控；方向增长由指数—多项式的支持函数上包。全文保持纯数学体例。

0. 设定、记号与基本假设

0.1 Fourier 规范与卷积

固定

$$\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}f(x)e^{-ix\xi }dx,f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}(\xi )e^{ix\xi }d\xi .$$

则

$$\widehat{f\ast g}=\hat{f}\cdot \hat{g},\widehat{fg}=\frac{1}{2\pi }\hat{f}\ast \hat{g}.$$

对缩放 $w_R(x):=w(x/R)$ 有 $\widehat{w_R}(\xi )=R\hat{w}(R\xi )$。

0.2 试验核与窗：最小充分正则

记 $h:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ 为偶函数，满足

$$\boxed{h\in W^{2M,1}(\mathbb{R})\text{且}\hat{h}\in L^1}$$

（即 $h^{(j)}\in L^1$ 对所有 $0\le j\le 2M$ 成立）。窗 $w$ 亦取偶，并满足以下二选一的最小充分条件：

• 带限窗：$\hat{w}$ 紧支于 $[-\Omega ,\Omega ]$，且

$$\hat{w}\in L^1(\mathbb{R})\cap C^{2M}(\mathbb{R}).$$

于是 $w\in L^{\infty }\cap C^{2M}$，并且对所有 $k\le 2M$ 有

$$\Vert w_R^{(k)}{\Vert }_{L^{\infty }}=R^{-k}\Vert w^{(k)}{\Vert }_{L^{\infty }}\le \frac{R^{-k}}{2\pi }{\int }_{-\Omega }^{\Omega }|(i\xi {)}^k\hat{w}(\xi )|d\xi <\infty .$$

由 Leibniz 法则与 $h\in W^{2M,1}$、$w_R^{(k)}\in L^{\infty }$，得谱侧 $g_1:=h\cdot w_R$ 满足 $g_1^{(2M)}\in L^1$；轨道侧卷积核 $g_2:=\hat{h}\ast {\hat{w}}_R$ 可积且具所需平滑度。

• 指数窗：存在 ${\kappa }^{\prime }>0$ 使

$$w\in C^{2M}(\mathbb{R}),\boxed{\underset{t\in \mathbb{R}}{\sup }{e}^{{\kappa }^{\prime }|t|}|w^{(k)}(t)|<\infty (0\le k\le 2M)},$$

从而 $w_R^{(k)}\in L^{\infty }$ 对所有 $0\le k\le 2M$ 成立，结合 $h\in W^{2M,1}$ 即得 $g_1^{(2M)}\in L^1$。

注：对 $g_2=\hat{h}\ast {\hat{w}}_R$，由 $\widehat{g_2}(\xi )=(2\pi {)}^{2}h(-\xi )w_R(-\xi )$ 知当 ${\int }_{\mathbb{R}}(1+|\xi |{)}^{2M}|h(\xi )|d\xi <\infty$ 且 $w_R\in L^{\infty }$ 时可保证 $(1+|\xi |{)}^{2M}\widehat{g_2}\in L^1$，从而 $g_2^{(2M)}\in C_0\cap L^{\infty }$；此为足够条件（非必要）。实践中对轨道和的离散求和无需应用 EM 层，故无需强制 $g_2^{(2M)}\in L^1$。

0.3 抽象迹公式（分布恒等式）

存在谱参数（离散 $\{z_j\}\subset \mathbb{R}\cup i\mathbb{R}$ 与连续部分 $\mu$）以及几何轨道数据 $\{\gamma \}$（长度 ${\ell }_{\gamma }>0$、权 $A_{\gamma }$），对所有可检 $h$ 成立

$$\boxed{\sum _{j}h(z_j)+{\int }_{\mathbb{R}}h(x)d\mu (x)=I_0[h]+\sum _{\gamma \ne e}{A}_{\gamma }\hat{h}({\ell }_{\gamma }).}\text{\hspace{1em}(TF)}$$

本文仅使用 (TF) 的线性结构与可检核类的闭合性，不涉及具体问题中的谱—几何细节。

约定（Lebesgue 主项）：假设几何主项具 Lebesgue 表示 $I_0[h]={\int }_{\mathbb{R}}h(x){\varphi }_0(x)dx$，其中 ${\varphi }_0\in L^1\cap L^{\infty }$ 为密度函数。下文统一按 §0.4 之绝对连续约定使用 $\mu$。

0.4 规范系统、谱测度与镜像接口（记号约定）

令完成函数 $E(z):=\Xi (\frac{a}{2}+iz)$。存在一阶辛型 de Branges–Krein 规范系统

$$\mathbf{J}{Y}^{\prime }(t)=zH(t)Y(t),\mathbf{J}=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),H(t)=H(t{)}^{\top }⪰0,$$

其 Weyl–Titchmarsh 函数 $m(z)$ 为 Herglotz 函数。本文在全篇统一约定

$$\boxed{d\mu (x)=\rho (x)dx,\rho (x)=\frac{1}{\pi }\Im m(x+i0)\ge 0\text{(a.e.)},}$$

即 $\mu$ 仅表示连续谱的绝对连续部分；纯点谱一律并入 $\{z_j\}$。

0.5 有限阶 EM 纪律与方向增长

本文仅使用有限阶 EM；伯努利层与端点余项在复参上整或全纯，从而不引入新奇点。轨道长度或指数权的方向增长以支持函数上包，保证窗化卷积绝对收敛。

1. 窗化迹式：精确恒等与数值实现

设谱窗 $w_R(x):=w(x/R)$ 与轨道窗 ${\hat{w}}_R(\ell ):=R\hat{w}(R\ell )$。

1.1 精确窗化迹式

$${\mathcal{S}}_{\mathrm{spec}}(h;R):=\sum _{j}h(z_j)w_R(z_j)+{\int }_{\mathbb{R}}h(x)w_R(x)d\mu (x),$$

$${\mathcal{S}}_{\mathrm{geo}}(h;R):=I_0[h\cdot w_R]+\frac{1}{2\pi }\sum _{\gamma \ne e}{A}_{\gamma }(\hat{h}\ast {\hat{w}}_R)({\ell }_{\gamma }).$$

由 (TF) 作用于 $h\cdot w_R$ 并用 $\widehat{h{w}_R}=\frac{1}{2\pi }\hat{h}\ast {\hat{w}}_R$ 得

$$\boxed{{\mathcal{S}}_{\mathrm{spec}}(h;R)={\mathcal{S}}_{\mathrm{geo}}(h;R)}\text{（分布意义下精确）}.\text{\hspace{1em}(1.1-exact)}$$

1.2 数值实现与“误差三分解“

在实际计算中，对 Lebesgue 型积分（谱侧连续谱项与几何侧 $I_0[\cdot ]$）以步长 $\Delta >0$ 的采样和（在半径 $T>0$ 内截断）替代。记

$$S_T(g;\Delta ):=\Delta \sum _{|k|\le \lfloor T/\Delta \rfloor }g(k\Delta ).$$

由此得到数值实现的泛函 ${\mathcal{S}}_{\mathrm{spec}}^{\Delta ,M,T}(h;R)$ 与 ${\mathcal{S}}_{\mathrm{geo}}^{\Delta ,M,T}(h;R)$。记 $g_1:=h\cdot w_R$，定义被采样的 integrand：

$$g_{\mathrm{spec}}:=g_1\cdot \rho ,g_0:=g_1\cdot {\varphi }_0,$$

其中 $\rho$ 为 §0.4 的谱密度、${\varphi }_0$ 为 §0.3 的几何主项密度。则：

• 谱侧：纯点求和 ${\sum }_{j}h(z_j)w_R(z_j)$ 保持精确；连续谱 $\int h{w}_{R}d\mu =\int g_{\mathrm{spec}}(x)dx$ 以 $g_{\mathrm{spec}}$ 为核应用 $S_T(\cdot ;\Delta )$；
• 几何侧：$I_0[h\cdot w_R]=\int g_0(x)dx$ 以 $g_0$ 为核应用 $S_T(\cdot ;\Delta )$；轨道和项 ${\sum }_{\gamma \ne e}{A}_{\gamma }(\hat{h}\ast {\hat{w}}_R)({\ell }_{\gamma })$ 作为对离散测度 ${\nu }_{\mathrm{orb}}={\sum }_{\gamma }{A}_{\gamma }{\delta }_{{\ell }_{\gamma }}$ 的积分保持精确（或按轨道计数函数给出显式截断，见 §3.4）。若按长度截断，误差优先用采样无关的 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{orb}}(T)$（§3.4）控制；该项与 $\Delta ,M$ 无耦合。

误差的非渐近三分解（术语对照：别名 + 伯努利层 + 截断 $\equiv$ Nyquist–Poisson–EM 三分解）见第 3 节。

2. 连续谱的正性与镜像对称

若 $h\ge 0$、$w_R\ge 0$，由 §0.4 的约定与 Herglotz 表示得

$${\int }_{\mathbb{R}}h(x)w_R(x)d\mu (x)=\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbb{R}}h(x)w_R(x)\Im m(x+i0)dx\ge 0.\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

只要 $h,w_R\ge 0$ 且 $\rho =(1/\pi )\Im m(x+i0)\ge 0$，即得 (2.1) 的非负性；镜像/相位不影响该结论。

3. 三分解误差：别名、伯努利层与截断

记

$$I(g):={\int }_{\mathbb{R}}g(u)du,S_{\infty }(g;\Delta ):=\Delta \sum _{k\in \mathbb{Z}}g(k\Delta ),S_T(g;\Delta ):=\Delta \sum _{|k|\le \lfloor T/\Delta \rfloor }g(k\Delta ).$$

3.1 Poisson 求和与绝对值上界

在 §0.1 的规范下，

$$\Delta \sum _{k\in \mathbb{Z}}g(k\Delta )=\sum _{m\in \mathbb{Z}}\hat{g}\left(\frac{2\pi m}{\Delta }\right)$$

（等式在 $\mathcal{S}$ 或满足 Poisson 条件时成立；本文实际只用到不等式版，详见附录 A.1 注记），故

$$I(g)-S_{\infty }(g;\Delta )=\hat{g}(0)-\sum _{m\in \mathbb{Z}}\hat{g}\left(\frac{2\pi m}{\Delta }\right)=-\sum _{m\ne 0}\hat{g}\left(\frac{2\pi m}{\Delta }\right),$$

从而

$$|I(g)-S_{\infty }(g;\Delta )|\le \sum _{m\ne 0}\left|\hat{g}\left(\frac{2\pi m}{\Delta }\right)\right|.\text{\hspace{1em}(3.1a)}$$

若 $\hat{g}\subset [-\Omega ,\Omega ]$ 且 $\Delta <2\pi /\Omega$，则右端为零；在临界 $\Delta =2\pi /\Omega$ 时若 $\hat{g}$ 在 $\pm \Omega$ 取零，亦得零别名。

3.2 有限阶 EM 层与截断

使用条件：以下界式在 $g\in C^{2M}$ 且 $g^{(2M)}\in L^1(\mathbb{R})$（并按 §A.2 处理端点项）时成立。仅当 $g^{(2M)}\in L^1$ 时使用有限阶 EM；否则不使用 EM 层（可视作形式上 $M=0$），此时仅采用“别名+尾项“的两项上界。

定义采样尾和（对任意可积 $g$ 总成立）：

$${\mathcal{T}}_{\Delta }(g;T):=\Delta \sum _{|k|>\lfloor T/\Delta \rfloor }|g(k\Delta )|.$$

若 $|g|$ 在外侧单调/BV/$W^{1,1}$，则采样尾和还可以内侧积分上包：${\mathcal{T}}_{\Delta }(g;T)\le {\int }_{|u|>T-\Delta }|g(u)|du$。

以有限阶 EM 对 $S_{\infty }-S_T$ 的尾和作估计，有

$$\boxed{|S_{\infty }(g;\Delta )-S_T(g;\Delta )|\le \sum _{j=1}^{M-1}\frac{|B_{2j}|}{(2j)!}{\Delta }^{2j}|g^{(2j)}{|}_{L^1}+\underset{\text{EM 余项}}{\underbrace{C_M{\Delta }^{2M}|g^{(2M)}{|}_{L^1}}}+{\mathcal{T}}_{\Delta }(g;T),C_M=\frac{2\zeta (2M)}{(2\pi {)}^{2M}}.}\text{\hspace{1em}(3.1b)}$$

3.3 统一的非渐近上界

在满足 §3.2 的使用条件时，综合 (3.1a)–(3.1b) 有

$$\boxed{|I(g)-S_T(g;\Delta )|\le \underset{\mathrm{alias}}{\underbrace{\sum _{m\ne 0}\left|\hat{g}\left(\frac{2\pi m}{\Delta }\right)\right|}}+\underset{\mathrm{EM}\mathrm{layer}(\mathrm{含余项})}{\underbrace{\sum _{j=1}^{M-1}\frac{|B_{2j}|}{(2j)!}{\Delta }^{2j}|g^{(2j)}{|}_{L^1}+C_M{\Delta }^{2M}|g^{(2M)}{|}_{L^1}}}+\underset{\mathrm{tail}}{\underbrace{{\mathcal{T}}_{\Delta }(g;T)}}.}\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

若不满足 §3.2 的 EM 使用条件，则不使用 EM 层（形式上 $M=0$），此时仅用“别名 + ${\mathcal{T}}_{\Delta }$“两项。

注（Nyquist 常数规范）：上式采用角频率 Fourier 规范 $\hat{g}(\xi )=\int g(x)e^{-ix\xi }dx$，别名频率为 $2\pi m/\Delta$。零别名条件 $\mathrm{supp}(\hat{g})\subset [-\Omega ,\Omega ]$ 在 $2\pi /\Delta >\Omega$ 时成立（即 $\Delta <2\pi /\Omega$）；临界 $\Delta =2\pi /\Omega$ 时需边界取零。与普通频率规范 $\check{g}(f)=\int g(x)e^{-2\pi ixf}dx$ 的关系为 $\hat{g}(\xi )=\check{g}(\xi /(2\pi ))$，因而零别名阈值对应 $\Delta <1/B$（$B=\Omega /2\pi$），区别于 Shannon 的 $\Delta \le 1/(2B)$。此处只需 Poisson 求和中非零谐波的采样点落在带宽外（从而 $\hat{g}(2\pi m/\Delta )=0$ 对 $m\ne 0$），比“从样本重构 $g$“的 Shannon 条件更弱，故阈值不同。

3.4 轨道和截断误差

对几何侧轨道和项 ${\sum }_{\gamma \ne e}{A}_{\gamma }(\hat{h}\ast {\hat{w}}_R)({\ell }_{\gamma })$（离散测度 ${\nu }_{\mathrm{orb}}$），若需按长度截断，定义加权计数函数

$$N_A(\ell ):=\sum _{{\ell }_{\gamma }\le \ell }|A_{\gamma }|,$$

则

$${\mathcal{E}}_{\mathrm{orb}}(T):=\left|\sum _{{\ell }_{\gamma }>T}{A}_{\gamma }(\hat{h}\ast {\hat{w}}_R)({\ell }_{\gamma })\right|\le \underset{\ell >T}{\sup }|(\hat{h}\ast {\hat{w}}_R)(\ell )|\cdot {\int }_T^{\infty }|d{N}_A(\ell )|=\underset{\ell >T}{\sup }|(\hat{h}\ast {\hat{w}}_R)(\ell )|\cdot \sum _{{\ell }_{\gamma }>T}|A_{\gamma }|.$$

当 $\hat{h},{\hat{w}}_R\in L^1$ 且轨道权满足 ${\sum }_{\gamma }|A_{\gamma }|<\infty$ 时，${\mathcal{E}}_{\mathrm{orb}}(T)\to 0$（$T\to \infty$）。在实践中若轨道数目有限或衰减充分快，可取 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{orb}}=0$（保持精确）。

4. 窗化不等式与奇性保持

定理 18.1（数值窗化迹不等式：一般窗）

对 §0 假设与任意 $R>0$，按 §1.2 的数值约定（Lebesgue 型积分以采样和替代、轨道和保持精确或显式截断），有

$$\boxed{|{\mathcal{S}}_{\mathrm{spec}}^{\Delta ,M,T}(h;R)-{\mathcal{S}}_{\mathrm{geo}}^{\Delta ,M,T}(h;R)|\le \mathfrak{E}(g_{\mathrm{spec}};\Delta ,M,T)+\mathfrak{E}(g_0;\Delta ,M,T)+{\mathcal{E}}_{\mathrm{orb}}(T),}\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

其中 $g_{\mathrm{spec}}=g_1\cdot \rho$、$g_0=g_1\cdot {\varphi }_0$（$g_1=h\cdot w_R$）为 §1.2 定义的被采样 integrand。下述 $\mathfrak{E}$ 取含 EM 或无 EM 版本，分别对应 §3.2 的两种正则情形；尾项统一记为采样尾和 ${\mathcal{T}}_{\Delta }$（在 $|g|$ 外侧单调/BV/$W^{1,1}$ 时可再以内侧积分尾界上包）。

$$\boxed{\mathfrak{E}(g;\Delta ,M,T)=\sum _{m\ne 0}\left|\hat{g}\left(\frac{2\pi m}{\Delta }\right)\right|+\sum _{j=1}^{M-1}\frac{|B_{2j}|}{(2j)!}{\Delta }^{2j}|g^{(2j)}{|}_{L^1}+C_M{\Delta }^{2M}|g^{(2M)}{|}_{L^1}+{\mathcal{T}}_{\Delta }(g;T),C_M=\frac{2\zeta (2M)}{(2\pi {)}^{2M}},}$$

并且 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{orb}}(T)$ 为轨道和截断误差（若保持精确则取零；若按长度 $T$ 截断，则由 §3.4 给出上界）。

定理 18.2（Nyquist 锐化：被采样 integrand 带限时消去别名）

令

$$\mathrm{bw}(\varphi ):=\sup \{|\xi |:\varphi (\xi )\ne 0\}.$$

若 $\widehat{g_{\mathrm{spec}}}$ 和 $\widehat{g_0}$ 紧支（例如当 $\hat{h}$、$\hat{w}$、$\hat{\rho }$、${\hat{\varphi }}_0$ 均紧支时由卷积封闭性成立），记

$${\Omega }_{\mathrm{spec}}:=\mathrm{bw}(\widehat{g_{\mathrm{spec}}}),{\Omega }_0:=\mathrm{bw}(\widehat{g_0}),$$

取步长

$$\Delta \le \frac{2\pi }{\max \{{\Omega }_{\mathrm{spec}},{\Omega }_0\}}\text{（临界时要求边界取零）},$$

则 $\mathrm{alias}(g_{\mathrm{spec}})=\mathrm{alias}(g_0)=0$。记 ${\mathfrak{E}}_{\mathrm{EM}+\mathrm{tail}}(g;\Delta ,M,T):=\mathfrak{E}(g;\Delta ,M,T)$ 去掉别名项后的两层（EM 层 + ${\mathcal{T}}_{\Delta }$），从而

$$|{\mathcal{S}}_{\mathrm{spec}}^{\Delta ,M,T}-{\mathcal{S}}_{\mathrm{geo}}^{\Delta ,M,T}|\le {\mathfrak{E}}_{\mathrm{EM}+\mathrm{tail}}(g_{\mathrm{spec}};\Delta ,M,T)+{\mathfrak{E}}_{\mathrm{EM}+\mathrm{tail}}(g_0;\Delta ,M,T)+{\mathcal{E}}_{\mathrm{orb}}(T).$$

注：若密度 $\rho$ 或 ${\varphi }_0$ 不带限，则即使 $\hat{h},\hat{w}$ 紧支，$\widehat{g_{\mathrm{spec}}},\widehat{g_0}$ 亦未必紧支；此时需使用定理 18.1 的完整三分解上界。

定理 18.3（奇性保持与阶不升）

设 $\{h(\cdot ;s){\}}_{s\in \mathcal{D}}$ 为参数族（$\mathcal{D}\subset \mathbb{C}$ 为竖条），且参数仅进入 $h(\cdot ;s)$；对任意紧子集 $K\subset \mathcal{D}$，假设

$$\underset{s\in K}{\sup }{\int }_{\mathbb{R}}|h(x;s)|dx<\infty ,\underset{s\in K}{\sup }{\int }_{\mathbb{R}}|\hat{h}(\xi ;s)|d\xi <\infty ,\underset{s\in K}{\sup }|h^{(2j)}(\cdot ;s){|}_{L^1}<\infty (1\le j\le M),$$

并且密度 $\rho ,{\varphi }_0$ 与窗 $w_R$ 不依赖参数 $s$（若依赖 $s$，需将其奇点并入“相同奇性集合“的比较基准）。

则 ${\mathcal{S}}_{\mathrm{spec}}(h(\cdot ;s);R)$ 与 ${\mathcal{S}}_{\mathrm{geo}}(h(\cdot ;s);R)$ 在 $\mathcal{D}$ 上具有相同奇性集合且阶不升；若窗在相应奇点处非零，则极点阶相同。

5. 规范系统视角：窗化能量与相位—密度比例

命题 5.1（Herglotz–Weyl 表示的窗化能量）

对任意非负偶窗 $w_R$ 与非负核 $h$,

$${\int }_{\mathbb{R}}h(x)w_R(x)d\mu (x)=\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbb{R}}h(x)w_R(x)\Im m(x+i0)dx\ge 0.\text{\hspace{1em}(5.1)}$$

命题 5.2（散射相位导数与密度：比例关系）

设散射矩阵通道特征值写作 $e^{\pm i\phi (x)}$。在单通道且选定合适的自由基准与归一化下，有 $\det S=e^{-2\pi i\xi }$ 且 ${\partial }_x\arg \det S(x)=-2\pi {\xi }^{\prime }(x)$。当所选规范使 $\rho$ 与 ${\xi }^{\prime }$ 对应同一密度（或仅差常数因子）时，${\partial }_x\arg \det S(x)=-2\pi \rho (x)$；在此匹配下存在常数 $c\ne 0$（由通道归一与 $S$ 的定义唯一确定）使

$$\boxed{{\phi }^{\prime }(x)=c\cdot \Im m(x+i0)}.$$

比例常数不影响 §2 的非负性与 §4 的不等式结构。

注：对多通道情形应理解为特征相位的归一常数可能不同；上式为单通道且基准归一化匹配时的典型情形。

6. 例示模板

(i) Riemann $\xi$（$a=1,\epsilon =+1$） 取偶带限窗与高阶光滑偶核。若满足定理 18.2 的情形 (A)，可消去谱侧别名；否则按定理 18.1 进行三分解估计；连续谱由 (5.1) 非负控制。

(ii) Dirichlet $L(\chi ,\cdot )$（$a=1,|\epsilon |=1$） 镜像相位吸收于通道特征值；窗化与误差估计与 (i) 同步。

7. 失效边界与对策

• 无限阶 EM：把 EM 当无穷级使用会引入伪奇性与非法换序，破坏定理 18.3 的奇性保持。应固定有限阶并使用 §3 的余项界。
• 被采样 integrand 不带限：若 $g_{\mathrm{spec}}=g_1\cdot \rho$ 或 $g_0=g_1\cdot {\varphi }_0$ 不带限（例如密度 $\rho ,{\varphi }_0$ 不带限），Nyquist 条件不能保证零别名；使用定理 18.1 的完整三分解上界。
• 散射侧对称失败：若实轴酉性或镜像对称失配，(5.1) 的非负性与相位一致性不再保证；回退到一般变分不等式或强化规范系统正性。

8. 可检清单（最小充分条件）

1. 迹公式与密度：核对 (TF) 在所选试验核类成立，给出 $I_0$、$\{A_{\gamma },{\ell }_{\gamma }\}$、$\mu$ 的表达或上界；验证几何主项 $I_0[h]=\int h(x){\varphi }_0(x)dx$ 与谱密度 $\rho ={\pi }^{-1}\Im m$ 的 $L^1\cap L^{\infty }$ 性质。
2. 窗/核正则：核 $h\in W^{2M,1}$ 且 $\hat{h}\in L^1$；窗 $w$ 满足 $\hat{w}\in L^1\cap C^{2M}$（带限，记带宽 $\Omega$）或 ${\sup }_t{e}^{{\kappa }^{\prime }|t|}|w^{(k)}(t)|<\infty$ ($0\le k\le 2M$，指数型，记常数 ${\kappa }^{\prime }$）。
3. 数值约定与误差结构：
   • 被采样 integrand：$g_{\mathrm{spec}}=g_1\cdot \rho$、$g_0=g_1\cdot {\varphi }_0$（$g_1=h\cdot w_R$）；
   • Lebesgue 型积分按 §3.1–§3.3 应用三分解误差 $\mathfrak{E}(g_{\mathrm{spec}};\Delta ,M,T)$ 与 $\mathfrak{E}(g_0;\Delta ,M,T)$；
   • 轨道和作为离散测度保持精确或按 §3.4（加权计数 $N_A$）给出截断误差 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{orb}}(T)$。
4. Nyquist 与采样：仅当被采样 integrand $g_{\mathrm{spec}},g_0$ 频域带限时可消别名；步长 $\Delta \le 2\pi /\max \{\mathrm{bw}(\widehat{g_{\mathrm{spec}}}),\mathrm{bw}(\widehat{g_0})\}$（定理 18.2）。若密度不带限，即使 $\hat{h},\hat{w}$ 紧支亦不能保证零别名。
5. EM 阶与端点：固定 $M$，验证 §3.2 的使用条件 $g^{(2M)}\in L^1$；不满足时不使用 EM 层（形式上 $M=0$），仅用“别名 + ${\mathcal{T}}_{\Delta }$“两项。
6. 连续谱：以 Herglotz–Weyl 表示验证 $\rho ={\pi }^{-1}\Im m\ge 0$，并核对镜像与根数相位。
7. 不等式输出（常数依赖）：误差项常数依赖于 $\{|h^{(j)}{|}_{L^1}{\}}_{0\le j\le 2M}$、$|\hat{h}{|}_{L^1}$、$|\rho {|}_{L^{\infty }}$、$|{\varphi }_0{|}_{L^{\infty }}$、窗的平滑阶常数及缩放律。
8. 方向增长：用支持函数上包控制轨道侧指数权增长，确保卷积绝对收敛。
9. 参数一致性：当参数 $s$ 仅进入 $h(\cdot ;s)$ 且满足一致可积的导数条件时，奇性“阶不升“成立；若密度 $\rho ,{\varphi }_0$、窗或几何数据依赖 $s$，需将其奇点并入“相同奇性集合“的比较基准。

9. 与相邻篇章的接口

• ↔ S15（Weyl–Heisenberg/采样—误差）：窗化与“三分解误差“沿用 Nyquist–Poisson–EM 架构；Mellin 侧“平移—权乘“给出窗在谱侧与轨道侧的等价作用。
• ↔ S16（规范系统/谱测度）：连续谱由 Herglotz 测度控制；$\rho ={\pi }^{-1}\Im m$ 把窗化能量与谱密度耦合。
• ↔ S17（散射—酉/对称）：实轴酉性与镜像对称保证连续谱的正性与相位一致性；功能方程的根数体现为常相位。

附录 A：所用标准判据

A.1 Poisson 求和与带限采样

对 $g\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$，

$$\Delta \sum _{k\in \mathbb{Z}}g(k\Delta )=\sum _{m\in \mathbb{Z}}\hat{g}\left(\frac{2\pi m}{\Delta }\right),$$

故

$$|I(g)-S_{\infty }(g;\Delta )|\le \sum _{m\ne 0}\left|\hat{g}\left(\frac{2\pi m}{\Delta }\right)\right|.$$

若 $\hat{g}\subset [-\Omega ,\Omega ]$ 且 $\Delta \le 2\pi /\Omega$（边界取零），则 $\Delta {\sum }_{k}g(k\Delta )={\int }_{\mathbb{R}}g$。

注1：本文实际只用到 $g,\hat{g}\in L^1$ 情形的不等式版（而非恒等式在 $\mathcal{S}$ 中的充分条件）；上述 $\mathcal{S}$ 陈述仅为标准教科书参考形式。

注2（术语对齐）：本文“带限/紧支“一律指对应域的紧支：频域带限指 $\mathrm{supp}(\hat{g})$ 紧；时域紧支指 $\mathrm{supp}(g)$ 紧。两者通过 Paley–Wiener 定理联系，但在迹公式应用中须分别验证。

A.2 有限阶 Euler–Maclaurin 与余项界

若 $g^{(2M)}\in L^1(\mathbb{R})$，则

$$\sum _{n=m}^{N}g(n)={\int }_m^{N}g(x)dx+\frac{g(m)+g(N)}{2}+\sum _{j=1}^{M-1}\frac{B_{2j}}{(2j)!}(g^{(2j-1)}(N)-g^{(2j-1)}(m))+R_{2M},$$

且

$$|R_{2M}|\le \frac{2\zeta (2M)}{(2\pi {)}^{2M}}{\int }_m^N|g^{(2M)}(x)|dx.$$

A.3 Herglotz–Weyl–Titchmarsh 表示

若 $m:{\mathbb{C}}^{+}\to \mathbb{C}$ 为 Herglotz 函数，则存在 $a\ge 0$、$b\in \mathbb{R}$ 与正测度 $\nu$ 使

$$m(z)=az+b+{\int }_{\mathbb{R}}(\frac{1}{t-z}-\frac{t}{1+t^2})d\nu (t),$$

且 $(1/\pi )\Im m(x+i0)dx$ 即 $\nu$ 的绝对连续部分。对自伴二阶系统，$m$ 为 Weyl–Titchmarsh 函数。

A.4 Birman–Krein 关系与相位导数

自伴散射系统的散射矩阵 $S(\lambda )$ 在实轴单位，谱移函数 $\xi (\lambda )$ 满足 $\det S(\lambda )=e^{-2\pi i\xi (\lambda )}$，并与密度或相位导数相联。

参考文献（选）

1. L. de Branges, Hilbert Spaces of Entire Functions, Prentice–Hall, 1968.
2. N. I. Akhiezer, I. M. Glazman, Theory of Linear Operators in Hilbert Space, Dover.
3. E. C. Titchmarsh, Eigenfunction Expansions Associated with Second-Order Differential Equations, OUP.
4. C. Remling, Schrödinger operators and de Branges spaces, J. Funct. Anal. 196 (2002)；The absolutely continuous spectrum, Math. Phys. Anal. Geom. 10 (2007).
5. L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Springer.
6. E. M. Stein, R. Shakarchi, Fourier Analysis, Princeton.
7. F. W. J. Olver et al., NIST Digital Library of Mathematical Functions, §24.11.
8. T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer.
9. A. B. Aleksandrov, V. V. Peller, Hankel Operators and Their Applications, Springer.
10. D. Yafaev, Mathematical Scattering Theory, AMS.
11. H. Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, AMS.
12. A. Selberg, Harmonic analysis and discontinuous groups, J. Indian Math. Soc. 20 (1956).
13. N. V. Kuznetsov, Petersson–Kuznetsov trace formula 综述（见 Iwaniec 书）。

结语

在镜像—规范—散射的统一接口下，窗化迹式在分布意义下给出精确恒等；其数值实现区分 Lebesgue 型积分与离散轨道和：前者以被采样 integrand $g_{\mathrm{spec}}=g_1\cdot \rho$（谱侧连续谱）与 $g_0=g_1\cdot {\varphi }_0$（几何主项）为核，偏差由别名 + 伯努利层 + 采样尾和三项非渐近上界（$\mathfrak{E}(g_{\mathrm{spec}};\Delta ,M,T)+\mathfrak{E}(g_0;\Delta ,M,T)$）控制，仅当 $g_{\mathrm{spec}},g_0$ 频域带限并取 Nyquist 步长时可消去别名；后者作为离散测度保持精确或按加权计数函数 $N_A$ 给出显式截断误差（${\mathcal{E}}_{\mathrm{orb}}(T)$，与 $\Delta ,M$ 无耦合）。有限阶 EM 纪律确保“极点=主尺度“与奇性保持；连续谱以 Herglotz 密度与酉对称给出非负与相位一致性。该结果为核与窗的优化、谱能量分配与数值基准提供逻辑闭合的支架，并与 S15–S17 无缝对齐。