S17. 散射算子与完成功能方程的算子化等价

—— 由规范系统与镜像对合导出的酉/对称结构

作者：Auric 日期：2025-10-21

摘要（定性）

在带权 Mellin–Hilbert 空间的镜像结构、Weyl–Heisenberg 酉表示与 de Branges–Krein 规范系统的统一框架下，完成功能方程

$$\Xi (a-s)=\epsilon \Xi (s)(|\epsilon |=1)$$

被等价刻画为二端口散射矩阵在实频上的酉性/对称性与通道特征值恒等。以一阶辛型规范系统

$$\mathbf{J}{Y}^{\prime }(t)=zH(t)Y(t),\mathbf{J}=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),H(t)=H(t{)}^{\top }⪰0$$

刻画通量并构造传递矩阵 $M(t,z)$；在实轴上按 Kreĭn 符号将边界分解为入/出子空间，得到二端口散射矩阵 $S(z)\in \mathrm{U}(2)$。对由完成函数 $E(z):=\Xi (\frac{a}{2}+iz)$ 生成的一维评估通道，完成功能方程与“该通道的散射特征值在实轴上恒等于根数 $\epsilon$“互为等价。相位以 de Branges 的内函数

$$U(z):=\frac{E^{♯}(z)}{E(z)},E^{♯}(z):=\overline{E(\bar{z})}$$

定义（HB/有界型情形），Herglotz–Nevanlinna 理论给出相位导数与 Weyl–Titchmarsh 函数虚部的等价。窗化与离散在有限阶 Euler–Maclaurin 与 Nyquist–Poisson–EM 三分解的纪律下不改变奇性集合且不升阶，从而保持“极点 = 主尺度“。

0. 设定与基本判据

0.1 完成函数、镜像与现实性

取

$$\Xi (s)=Q^{s/2}r(s)L(s),r(a-s)=r(s),\Xi (a-s)=\epsilon \Xi (s),|\epsilon |=1.$$

定义

$$E(z):=\Xi \left(\frac{a}{2}+iz\right),E^{♯}(z):=\overline{E(\bar{z})}.$$

若进一步满足现实性（Schwarz 反射）

$$\Xi (\overline{s})=\overline{\Xi (s)},$$

则 $E^{♯}(z)=E(-z)$；在未假定现实性时仅使用 $E^{♯}$ 记号。必要时作根数规范化：若 $\epsilon =e^{i\theta }$ 且假定同时满足功能方程与现实性（从而 $E^{♯}(z)=E(-z)$ 与 $E(-z)=\epsilon E(z)$），取 $\tilde{E}(z):=e^{i\theta /2}E(z)$ 则有

$$\frac{{\tilde{E}}^{♯}(z)}{\tilde{E}(z)}\equiv 1,\text{且}{\tilde{E}}^{♯}(z)=e^{-i\theta }\tilde{E}(-z).$$

若只假定现实性而不假定功能方程，则一般仅有 ${\tilde{E}}^{♯}(z)=e^{-i\theta }\tilde{E}(-z)$，并不能保证 ${\tilde{E}}^{♯}/\tilde{E}\equiv 1$。如需保留原根数则不作此规范化。

0.2 规范系统、传递矩阵与通量

令 $H:[0,T)\to {\mathbb{R}}^{2\times 2}$ 局部可积、对称非负，研究

$$\mathbf{J}{Y}^{\prime }(t)=zH(t)Y(t),Y(0,z)=I.$$

其传递矩阵 $M(t,z)$ 满足对任意 $z\in \mathbb{C}$ 的积分恒等式

$$\boxed{M(t,\bar{z}{)}^{\ast }\mathbf{J}M(t,z)=\mathbf{J}+(z-\bar{z}){\int }_0^{t}M(s,\bar{z}{)}^{\ast }H(s)M(s,z)ds}.$$

因此仅当 $z\in \mathbb{R}$ 时 $M(t,z{)}^{\ast }\mathbf{J}M(t,z)=\mathbf{J}$（$\mathbf{J}$-等距/幺正）。又因 $\mathrm{tr}({\mathbf{J}}^{-1}H)=0$，有

$$\det M(t,z)\equiv 1(z\in \mathbb{C}).$$

设通量型 $[u,v{]}_{\mathbf{J}}:=u^{\ast }(i\mathbf{J})v$。当 $z\in \mathbb{R}$ 时，对任意两解 $Y_1(t;z),Y_2(t;z)$，通量 $[Y_1(t;z),Y_2(t;z){]}_{\mathbf{J}}$ 与 $t$ 无关。

1. 二端口散射构造（实频）

取

$$e_{+}:=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{i}\right),e_{-}:=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{-i}\right),(i\mathbf{J})e_{\pm }=\pm e_{\pm }.$$

对实 $z$，任意解在端点 $0,T$ 的边界振幅分解为

$$Y(0;z)=a_0^{-}{e}_{-}+a_0^{+}{e}_{+},Y(T;z)=a_T^{-}{e}_{-}+a_T^{+}{e}_{+}.$$

在基 $\{e_{-},e_{+}\}$ 下的传递矩阵 $R(M)=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\right)$ 满足

$$R(M{)}^{\ast }\Sigma R(M)=\Sigma ,\Sigma =\mathrm{diag}(-1,1),$$

即 $R(M)\in \mathrm{U}(1,1)$。

在 $\delta$ 可逆的点，定义二端口散射矩阵

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_0^{+}}{a_T^{-}}\right)=S_T(z)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_0^{-}}{a_T^{+}}\right),S_T(z)=\left(\begin{array}{cc}-{\delta }^{-1}\gamma & {\delta }^{-1}\\ \alpha -\beta {\delta }^{-1}\gamma & \beta {\delta }^{-1}\end{array}\right).$$

若 $\delta =0$ 则改用 $\alpha$ 块或 Redheffer 星积的互补分式线性公式（对实 $z$，不可逆点在典型情形下构成离散集合）。由能流守恒得

$$\boxed{S_T(x{)}^{\ast }{S}_T(x)=I_2(x\in \mathbb{R})},$$

且在 $\delta$ 不可逆的离散点改用互补块/星积公式时，酉性在极限意义下保持。

默认单边入射规约（如取 $a_T^{+}=0$）以将“系统特性“与“驱动选择“分离。当 $T\to \infty$ 且在适当紧性条件下 $S_T(z)$ 收敛时，记极限 $S(z)\in \mathrm{U}(2)$。

2. 评估通道与功能方程的散射等价

2.1 评估通道与振幅比

取固定边界点（下文均取 $t=T$），存在线性映射 $\eta$ 使

$$E_F(z):=⟨F,k_{a/2+iz}⟩=Y_F^{(1)}(T;z)-i{Y}_F^{(2)}(T;z)=\sqrt{2}⟨e_{+},Y_F(T;z)⟩,Y_F(t;z)=M(t,z)\eta (F).$$

记投影 ${\Pi }_{\pm }v:=⟨e_{\pm },v⟩e_{\pm }$。在满足 ${\Pi }_{-}(Y_F(T;x))\ne 0$ 的 Lebesgue-a.e. 集上定义

$$s_F(x):=\frac{{\Pi }_{+}(Y_F(T;x))}{{\Pi }_{-}(Y_F(T;x))}\in \mathbb{T}\text{（由 (2.1) 与 }U=E^{♯}/E\text{ 的内函数性得出）},$$

若该分量为零，则改用互补块/星积表达（与 §1 的不可逆块处理保持一致）。由 $2\times 2$ 的 $J$-酉分式线性结构（Potapov–Kreĭn/Arov–Dym）可得存在与通道归一选择有关的常相位 ${\varphi }_F\in \mathbb{R}$（仅由 $\eta (F)$ 边界归一决定，与 $x$ 无关）使

$$\boxed{\frac{{\Pi }_{+}(Y_F(T;x))}{{\Pi }_{-}(Y_F(T;x))}=e^{i{\varphi }_F}\frac{E^{♯}(x)}{E(x)}(\text{a.e. }x\in \mathbb{R}).}\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

2.2 单通道散射等价

定理 2.1（功能方程 $⟺$ 通道特征值恒等） 设 $E$ 为 de Branges（HB）函数，使 $U(z):=E^{♯}(z)/E(z)$ 为内函数。以下两者互相等价：

$$\text{(1)}{E}^{♯}(z)=\epsilon E(z)(\forall z\in \mathbb{C})(\text{若有现实性，则等价于 }E(-z)=\epsilon E(z));$$

$$\text{(2)}{s}_F(x)=e^{i{\varphi }_F}\epsilon (\text{a.e. }x\in \mathbb{R}),$$

其中 ${\varphi }_F\in \mathbb{R}$ 为与 $\eta (F)$ 的边界归一有关的常相位。

证明： (1)$\Rightarrow$(2)：由 (2.1) 立得 $s_F(x)=e^{i{\varphi }_F}U(x)=e^{i{\varphi }_F}\epsilon$。 (2)$\Rightarrow$(1)：由 (2.1) 与 (2) 得 $U(x)\equiv \epsilon$（a.e.）。因 $U$ 为内函数，边界值常等式蕴含 $U(z)\equiv \epsilon$ 于 ${\mathbb{C}}_{+}$；再由反射原理得 $E^{♯}=\epsilon E$。∎

3. 内函数相位与 Herglotz–Nevanlinna

令 $m(z)$ 为规范系统的 Weyl–Titchmarsh 函数（$\Im m(z)\ge 0$ 于 $\Im z>0$）。以内函数

$$U(z)=\frac{E^{♯}(z)}{E(z)}$$

的实轴非切向边界值定义相位 $\phi (x)$（a.e. $x$ 上 $U(x)=e^{2i\phi (x)}$）。记 $\mu$ 为对应谱测度，${\mu }_{\mathrm{ac}}^{\prime }$ 为其绝对连续密度。

定理 3.1（${\phi }^{\prime }=\Im m$ 与 ${\mu }_{\mathrm{ac}}^{\prime }=\frac{1}{\pi }\Im m$） 取非切向边界值，在 Lebesgue-a.e. 的 $x\in \mathbb{R}$ 上，

$$\boxed{{\phi }^{\prime }(x)=\Im m(x+i0),{\mu }_{\mathrm{ac}}^{\prime }(x)=\frac{1}{\pi }\Im m(x+i0),{\phi }^{\prime }(x)=\pi {\mu }_{\mathrm{ac}}^{\prime }(x)}.$$

证明：de Branges 相位 $\phi (x)$ 由 $E(x)=|E(x)|e^{-i\phi (x)}$ 定义，且 $U(x)=e^{2i\phi (x)}$。核对公式给出

$${\phi }^{\prime }(x)=\pi \frac{K(x,x)}{|E(x){|}^2}=\pi {\mu }_{\mathrm{ac}}^{\prime }(x).$$

标准化 Herglotz 表示 $m(z)=a+bz+{\int }_{\mathbb{R}}(\frac{1}{t-z}-\frac{t}{1+t^2})d\mu (t)$ 之边界值满足 ${\mu }_{\mathrm{ac}}^{\prime }(x)=\frac{1}{\pi }\Im m(x+i0)$，从而 ${\phi }^{\prime }(x)=\Im m(x+i0)$。∎

注：Cayley 变换 $\Theta =(m-i)/(m+i)$ 为 Schur 函数；在绝对连续谱上 $|\Theta (x)|<1$，不宜直接用其定义相位。

4. 解析纪律与误差三分解

4.1 窗化与奇性

取偶窗 $\psi$（紧支或指数衰减），设 ${\Xi }_{\psi }(s):=⟨F\ast \psi ,k_s⟩$。在满足方向亚纯化的竖条/半平面内、$\psi$ 为偶窗且为紧支或指数衰减、且窗 $\psi$ 的拉普拉斯/傅里叶像在该域内无极点时，

$$\boxed{\mathrm{Sing}({\Xi }_{\psi })=\mathrm{Sing}(\Xi ),\text{且奇性阶不升；若 }\psi \text{ 在奇点处非零，则阶同。}}$$

理由：有限阶 Euler–Maclaurin 仅引入整函数校正；在方向亚纯化的竖条/半平面内，卷积/窗化不改变主尺度奇性集合。若窗 $\psi$ 在奇点处为零，则可能降低阶，但不升阶。

4.2 Nyquist–Poisson–EM 三分解

对光滑带限或指数衰减的 $g$，步长 $\Delta$、EM 阶 $M$、截断半径 $T$，记 $\hat{g}(\omega ):={\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-i\omega u}g(u)du$，有

$$|{\int }_{-T}^{T}g(u)du-\Delta \sum _{|k|\le \lfloor T/\Delta \rfloor }g(k\Delta )|\le \underset{\text{别名}}{\underbrace{\sum _{m\ne 0}|\hat{g}(2\pi m/\Delta )|}}+\underset{\text{伯努利层（有限阶 EM 系数，含 }{B}_{2j}\text{）}}{\underbrace{\sum _{j=1}^{M-1}{c}_{2j}{\Delta }^{2j}|g^{(2j)}{|}_{L^1([-T,T])}}}+\underset{\text{截断尾项}}{\underbrace{{\int }_{|u|>T}|g(u)|du}}.$$

若 $\mathrm{supp}\hat{g}\subset [-\Omega ,\Omega ]$ 且 $\Delta \le \pi /\Omega$，则别名项为零。

5. 例示

• Riemann $\xi$：$a=1,\epsilon =+1$。评估通道的散射特征值在实轴恒为 $+1$；相位导数由定理 3.1 以 $\Im m$ 读出；谱密度为 $\frac{1}{\pi }\Im m$。

• Dirichlet $L(\chi ,\cdot )$：$a=1,|\epsilon |=1$。同理，通道特征值恒为 $\epsilon$；实特征给 $\epsilon =\pm 1$。

6. 稳健性与边界情形

• 块奇异点与互补公式：当传递到散射的 $\delta$ 块不可逆时，改用 $\alpha$ 块或 Redheffer 星积，二端口散射仍良定并在实频保持酉性。在 $\mathbb{R}$ 上该退化频率为离散集，与正文 §1 的分式线性构造自洽。

• 反辛对称与镜像：若存在 $\mathbf{S}$ 使

$${\mathbf{S}}^{\top }\mathbf{JS}=-\mathbf{J},{\mathbf{S}}^{\top }H(t)\mathbf{S}=H(t)\text{(a.e.)},$$

则有

$$M(t,-z)=\mathbf{S}M(t,z){\mathbf{S}}^{-1},S(-z)=\mathbf{C}S(z){\mathbf{C}}^{-1},$$

其中 $\mathbf{C}$ 由边界分解 $\{e_{-},e_{+}\}$ 的互换诱导，与通道特征值恒等一致。

• 窗/采样稳定性：带限或指数窗结合 Nyquist 条件可抑制别名项；有限阶 EM 仅引入可控伯努利层常数，确保非渐近估计稳健。

7. 可检清单

1. 规范系统：给出 $H⪰0$ 与 $M(t,z)$，核查

$$M(t,\bar{z}{)}^{\ast }\mathbf{J}M(t,z)=\mathbf{J}+(z-\bar{z}){\int }_0^{t}M(s,\bar{z}{)}^{\ast }H(s)M(s,z)ds,\det M\equiv 1.$$

2. 二端口散射（实频）：构造 $S_T(x)$ 并验证 $S_T(x{)}^{\ast }{S}_T(x)=I_2$（$x\in \mathbb{R}$）；对不可逆块采用互补公式/星积。
3. 评估通道：建立 $E_F(z)=Y_F^{(1)}-i{Y}_F^{(2)}$ 与振幅比关系式 (2.1)。
4. 功能方程等价：以内函数 $U=E^{♯}/E$ 与定理 2.1 检验“$E^{♯}=\epsilon E$“$⟺$”$s_F\equiv e^{i{\varphi }_F}\epsilon$“；有现实性时等价于”$E(-z)=\epsilon E(z)$“。
5. 相位—谱密度：用定理 3.1 以 ${\phi }^{\prime }(x)=\Im m(x+i0)$ 与 ${\mu }_{\mathrm{ac}}^{\prime }(x)=\frac{1}{\pi }\Im m(x+i0)$ 连接窗化积分与谱密度。
6. 解析—误差纪律：仅用有限阶 EM；方向亚纯化确保“极点 = 主尺度“；窗在奇点处非零时阶同（否则可能下降但不升）。

8. 与既有篇章的接口

• ↔ S14（RKHS/BN 界面）：评估向量 $k_s$ 与内积评估为散射通道的振幅提供 Hilbert 语义；BN 投影的窗选择在散射侧体现为入—出模态的能量分配。
• ↔ S15（Weyl–Heisenberg 酉表示）：$U_{\tau },V_{\sigma }$ 的群作用在散射侧对应“频移—时移“的 affine 变换；镜像算子 $J$ 与反辛对称 $\mathbf{S}$ 在边界分解下保持散射的对称性。
• ↔ S16（de Branges–Krein 规范系统）：传递矩阵 $M(t,z)$ 与哈密顿量 $H(t)$ 直接生成二端口散射；功能方程 $E^{♯}=\epsilon E$ 与镜像本征 $JF=\epsilon F$ 在散射侧对应通道特征值恒等（定理 2.1）。
• ↔ S4/S5（EM/方向亚纯化）：窗化与离散仅用有限阶 EM，保证散射矩阵的奇性集合与阶的稳健性（§4.1）。
• ↔ S8（Nyquist–Poisson–EM）：三分解误差控制在散射侧确保数值实现的非渐近可检性（§4.2）。
• ↔ S13（谱半径阈值）：散射的能量守恒与通道特征值可与共振器的谱半径对齐，用于大值存在性的阈值判据。

结语

通量守恒的一阶辛型规范系统与二端口散射结构，为完成功能方程的镜像对称提供了精确的算子化表达：在实频上散射矩阵酉且受反辛对称约束；对评估的一维通道，其特征值在实轴恒等于根数 $\epsilon$。以内函数 $U=E^{♯}/E$ 定义的相位把散射与谱密度通过 Herglotz–Nevanlinna 理论紧密耦合；配合有限阶 Euler–Maclaurin 与 Nyquist–Poisson–EM 三分解的误差控制，保证奇性集合与阶的稳健性，从而将“镜像—核—Hilbert 子空间““群表示—Weyl 关系“与“散射—边界—通量“三条脉络统一于可检的算子框架之中，并为后续的轨道—谱窗化不等式（S18）提供直接可用的入—出算子骨架。