S16. de Branges–Krein 规范系统与完成函数的谱模型

—— RKHS → 规范系统（canonical system）→ 整函数零型的条件化框架

作者：Auric 日期：2025-10-21

摘要（定性）

在带权 Mellin–Hilbert 空间与镜像算子给出的评估结构之上，本文把完成函数 $\Xi$ 的内积评估 $\Xi (s)=⟨F,k_s⟩$ 提升为一阶辛型 de Branges–Krein 规范系统

$$\mathbf{J}{Y}^{\prime }(t)=zH(t)Y(t),\mathbf{J}=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),H(t)⪰0,$$

的谱模型：在自反（镜像）与正性下，存在局部可积、实对称非负的哈密顿量 $H(t)$ 与传递矩阵 $M(t,z)$，其解族经 $H$-加权 $L^2$ 光谱变换与再生核 Hilbert 空间（S14）中的评估一致；功能方程 $\Xi (a-s)=\epsilon \Xi (s)$ 等价于镜像算子本征关系 $JF=\epsilon F$。进一步在“正定 + 增长可控“的条件下，得到关于中心轴的零点对称判据；若再满足 Hermite–Biehler（HB）对齐，则给出实轴（等价于 $s$-面的中心轴）零点落点与交错结论。解析层面始终采用有限阶 Euler–Maclaurin（EM）与方向亚纯化，保持“极点 = 主尺度“；离散化误差按 Nyquist–Poisson–EM 三分解非渐近控制。

0. 记号与预设

0.1 完成函数与镜像

设

$$\Xi (s)=Q^{s/2}r(s)L(s),r(a-s)=r(s),\Xi (a-s)=\epsilon \Xi (s),|\epsilon |=1,$$

中心轴为 $\Re s=\frac{a}{2}$。置

$$E(z):=\Xi \left(\frac{a}{2}+iz\right),E^{♯}(z):=\overline{E(\bar{z})},E(-z)=\epsilon E(z).$$

本文在需要时默认 $E(z)$ 为实型（即 $E(\bar{z})=\overline{E(z)}$，由 S14 的自反核与实结构选取保证）；当根数 $\epsilon \notin \{\pm 1\}$ 时，$E(z)$ 在实轴一般非实值，且由 $E(-z)=\epsilon E(z)$ 可知若 $\epsilon \ne 1$ 必有 $E(0)=0$（边界特例）。涉及实轴实值化需 Hardy–Z 型随 $z$ 的相位对齐。本文所称“HB 对齐“指存在常相位 ${\theta }_0$ 使 $e^{i{\theta }_0}E$ 为 Hermite–Biehler（HB）函数；涉及“随 $z$“的相位时明确称为 de Branges 相位函数 $\varphi (x)$ 的对齐。

0.2 带权 Mellin–Hilbert 空间与镜像对合

$${\mathcal{H}}_a:=L^2({\mathbb{R}}_{+},x^{a-1}dx),(Jf)(x):=x^{-a}f(1/x),$$

则 $J$ 为酉对合，$J^2=I$。经对数模型 $T:{\mathcal{H}}_a\to L^2(\mathbb{R})$, $(Tf)(t):=e^{\frac{a}{2}t}f(e^t)$ 化，得 $(TJ{T}^{-1}g)(t)=g(-t)$。

注：下文 $\mathbf{J}$ 专指 $2\times 2$ 斜对称矩阵，$J$ 专指 ${\mathcal{H}}_a$ 上的镜像对合。

0.3 再生核与评估

取 S14 的自反核 RKHS $\mathcal{H}(K)\subset {\mathcal{H}}_a$，评估向量 $k_s\in {\mathcal{H}}_a$ 满足

$$⟨f,k_s{⟩}_a=f^{\ast }(s),k_{a-s}=J{k}_s.$$

对 $F\in \mathcal{H}(K)$ 定义

$$\Xi (s):=⟨F,k_s{⟩}_a,\Xi (a-s)=⟨JF,k_s{⟩}_a.$$

于是

$$JF=\epsilon F⟺\Xi (a-s)=\epsilon \Xi (s).$$

0.4 轴的对应关系

在 $z$-面与 $s$-面之间有

$$z\in \mathbb{R}⟺s=\frac{a}{2}+iz\text{位于中心轴 }\Re s=\frac{a}{2}.$$

0.5 解析纪律与误差学

换序运算仅使用有限阶 EM；伯努利层与余项在复参上整/全纯，所以极点仅来自主尺度。离散化误差按“别名（Poisson/Nyquist） + 伯努利层（EM 校正） + 截断尾项“三分解预算；若被积/被求和对象带限，则别名项为 0（Nyquist 条件）。

1. de Branges 空间与核表征

定义 1.1（de Branges 空间的 $♯$ 运算）

对整函数 $F$，置 $F^{♯}(z):=\overline{F(\bar{z})}$。

命题 1.2（评估像空间）

令

$$\mathcal{E}:=\{\mathcal{V}F:z\mapsto ⟨F,k_{a/2+iz}{⟩}_a|F\in \mathcal{H}(K)\}.$$

则 $\mathcal{E}$ 是整函数 Hilbert 空间，核

$$\mathsf{K}(z,w):=⟨k_{a/2+iw},k_{a/2+iz}{⟩}_a$$

在 $z$ 上全纯、在 $w$ 上反全纯，并满足

$$\mathsf{K}(-z,-w)=\mathsf{K}(z,w),\mathsf{K}(\bar{z},\bar{w})=\overline{\mathsf{K}(z,w)}.$$

定理 1.3（de Branges 公理）

空间 $\mathcal{E}$ 满足 de Branges 公理： (i) 评估泛函 $F\mapsto F(w)$ 连续； (ii) 若 $w\notin \mathbb{R}$ 且 $F(w)=0$，则

$$\frac{z-\overline{w}}{z-w}F(z)\in \mathcal{E},\left|\frac{z-\overline{w}}{z-w}F\right|=|F|;$$

若 $w\in \mathbb{R}$ 且 $F(w)=0$，则 $\frac{F(z)}{z-w}\in \mathcal{E}$ 且 $\left|\frac{F}{z-w}\right|\le |F|$； (iii) $F^{♯}\in \mathcal{E}$ 且 $|F^{♯}|=|F|$。

证明. 由 $k_{a-s}=J{k}_s$ 与 $J$ 的酉性给出 (iii)。(i) 由 RKHS 评估连续性直接给出。对于 (ii)，核 $\mathsf{K}$ 由自反核与镜像算子诱导，对 $w\notin \mathbb{R}$ 有

$$\frac{z-\bar{w}}{z-w}\mathsf{K}(z,w)=⟨(I-\lambda J)k_{a/2+iw},(I-\lambda J)k_{a/2+iz}{⟩}_a,\lambda :=\frac{w-\bar{w}}{z-w},$$

从而为正核，因而 Möbius 乘子 $\frac{z-\bar{w}}{z-w}$ 保持空间与范数（等距），实零点处的除法 $\frac{F(z)}{z-w}$ 满足收缩性；这等价于 de Branges 型反射正性。

推论 1.4（Hermite–Biehler 生成与核公式）

存在 Hermite–Biehler（HB）函数 $E_0$（即 $|E_0(z)|>|E_0^{♯}(z)|$ 对 $\Im z>0$）使

$$\mathcal{E}=\mathcal{H}(E_0),\mathsf{K}(z,w)=\frac{E_0^{♯}(z)\overline{E_0^{♯}(w)}-E_0(z)\overline{E_0(w)}}{2\pi i(z-\bar{w})}.$$

注：当 $E_0$ 在实轴有零时，$\mathsf{K}$ 仍为正核，但需按 de Branges 约定忽略 $E_0$ 与 $E_0^{♯}$ 的共同实零（若有）或采取极限解释。

2. 规范系统与传递矩阵

如无特别说明，以下均在 $t\in [0,T)$（$T\le \infty$）上讨论。

定义 2.1（哈密顿量与规范系统）

称可测矩阵函数 $H:[0,T)\to {\mathbb{R}}^{2\times 2}$ 为哈密顿量，若几乎处处 $H(t)=H(t{)}^{\top }⪰0$ 且 $\mathrm{tr}H\in L_{\mathrm{loc}}^1[0,T)$。规范系统指

$$\mathbf{J}{Y}^{\prime }(t)=zH(t)Y(t),Y(t;z)\in {\mathbb{C}}^2.$$

定义 2.2（传递矩阵）

传递矩阵 $M(t,z)$ 为满足

$$\mathbf{J}{\partial }_{t}M(t,z)=zH(t)M(t,z),M(0,z)=I$$

的矩阵解。

命题 2.3（行列式与辛结构）

对一切 $t,z$，有

$$\det M(t,z)\equiv 1.$$

对实 $z$，$M(t,z)\in \mathrm{Sp}(2,\mathbb{R})$，即 $M(t,z{)}^{\top }\mathbf{J}M(t,z)=\mathbf{J}$。更一般地，对任意 $z\in \mathbb{C}$ 有 $J$-幺正性

$$M(t,\bar{z}{)}^{\ast }\mathbf{J}M(t,z)=\mathbf{J}.$$

证明. 由 $\mathbf{J}{M}^{\prime }=zHM$ 得 $M^{\prime }=-z\mathbf{J}HM$。则

$$\frac{d}{dt}\log \det M=\mathrm{tr}(M^{-1}{M}^{\prime })=\mathrm{tr}(-z\mathbf{J}H)=-z\mathrm{tr}(\mathbf{J}H)=0$$

（因 $\mathbf{J}$ 斜对称、$H$ 对称），因此 $\det M(t,z)\equiv 1$ 对一切 $t,z$ 成立。对 $z\in \mathbb{R}$，计算 $\frac{d}{dt}(M^{\top }\mathbf{J}M)=0$ 得辛性；对任意 $z$，计算 $\frac{d}{dt}(M(\bar{z}{)}^{\ast }\mathbf{J}M(z))=0$ 得 $J$-幺正性。该恒等式对任意 $z\in \mathbb{C}$ 成立，起点 $t=0$ 取 $M(0,z)=I$ 保证常数为 $\mathbf{J}$。

定理 2.4（de Branges–Krein 光谱表示）

存在哈密顿量 $H⪰0$ 与传递矩阵 $M(t,z)$，以及等距同构

$$\mathcal{U}:L_H^2([0,T))\stackrel{\cong }{\to }\mathcal{E}=\mathcal{H}(E_0),$$

使对每个 $F\in \mathcal{H}(K)$ 存在唯一 $f_F\in L_H^2$ 满足（线性依赖于 $F$）

$$E_F(z)=⟨F,k_{a/2+iz}{⟩}_a={\int }_0^{T}Y(t,\bar{z}{)}^{\ast }H(t)f_F(t)dt,$$

其中 $Y(t,z):=M(t,z)v_0$，$v_0\in {\mathbb{C}}^2$ 为固定非零向量（例如 $v_0=(1,i{)}^{\top }$）。

证明要点. 由定理 1.3–推论 1.4，$\mathcal{E}$ 为某 HB 函数 $E_0$ 的 de Branges 空间。de Branges–Krein 理论给出：存在哈密顿量 $H$ 与随 $t$ 演化的空间链 $\mathcal{H}(E_t)$ 及传递矩阵 $M(t,z)$，使“顶端空间“ $\mathcal{H}(E_0)$ 由规范系统的 Weyl–Titchmarsh 光谱变换与 $H$ 的 $L^2$ 内积实现。将 $\mathcal{V}:\mathcal{H}(K)\to \mathcal{H}(E_0)$ 与该光谱映射复合即得上述等距同构。

记号提示. 本节中的 $Y(t,z)=M(t,z)v_0$ 仅作光谱表示的核；自 §3 起，若无特别说明，$Y(\cdot ;z)$ 专指 $L_H^2$-可积的 Weyl 解（并取 $Y^{(1)}(0;z)=1$）。

3. Weyl–Titchmarsh $m$-函数与 Herglotz 表示

定义 3.1（Weyl–Titchmarsh 函数）

在给定的规范系统上，定义

$$m(z):=\frac{Y^{(2)}(0;z)}{Y^{(1)}(0;z)}.$$

此处 $Y(\cdot ;z)$ 指在 $[0,T)$ 上 $L_H^2$-可积的 Weyl 解，并取 $Y^{(1)}(0;z)=1$ 归一化。取同一 Weyl 解 $Y$ 定义 $E:=Y^{(1)}+i{Y}^{(2)}$，则

$$i\frac{E^{♯}(z)-E(z)}{E^{♯}(z)+E(z)}=\frac{Y^{(2)}(0;z)}{Y^{(1)}(0;z)}=m(z).$$

这里的 $E$ 是由该 Weyl 解构造的 HB 生成函数（与 §1.4 的 HB 生成一致至常相位）。

说明. 由 $E=Y^{(1)}+i{Y}^{(2)}$ 得 $E^{♯}=Y^{(1)}-i{Y}^{(2)}$，代入上式即得 $m(z)=\frac{Y^{(2)}}{Y^{(1)}}$。令 $q(z):=E^{♯}(z)/E(z)$，由 HB 性质在上半平面有 $|q(z)|<1$，则 $m(z)=i\frac{1-q(z)}{1+q(z)}$ 映射上半平面到上半平面，便于与 Carathéodory/Herglotz 表示对齐。

定理 3.2（Herglotz–Nevanlinna 性）

若 $H⪰0$，则 $m$ 在上半平面为 Herglotz–Nevanlinna 函数，且存在唯一正测度 $\mu$、实常数 $\alpha \in \mathbb{R}$、$\beta \ge 0$ 使

$$m(z)=\alpha +\beta z+{\int }_{\mathbb{R}}(\frac{1}{x-z}-\frac{x}{1+x^2})d\mu (x),{\int }_{\mathbb{R}}\frac{1}{1+x^2}d\mu (x)<\infty .$$

证明. 令 $z=u+iv$ 且 $v>0$。由

$$\frac{1}{2i}\frac{d}{dt}(Y(\bar{z}{)}^{\ast }\mathbf{J}Y(z))=Y(\bar{z}{)}^{\ast }\frac{z-\bar{z}}{2i}HY(z)=vY(\bar{z}{)}^{\ast }HY(z)\ge 0,$$

因而 $\Im (Y(\bar{z}{)}^{\ast }\mathbf{J}Y(z))$ 随 $t$ 单增。对 $L_H^2$-可积的 Weyl 解，${\lim }_{t\uparrow T}Y(\bar{z},t{)}^{\ast }\mathbf{J}Y(z,t)=0$，故由起点值 $Y(0;z)=(1,m(z){)}^{\top }$ 得 $\Im m(z)\ge 0$。Herglotz 表示定理给出积分型及参数约束 $(\alpha \in \mathbb{R},\beta \ge 0)$。

4. 功能方程、镜像与辛对称

定理 4.1（功能方程 ↔ 镜像本征）

$$\Xi (a-s)=\epsilon \Xi (s)⟺JF=\epsilon F⟺E_F(-z)=\epsilon E_F(z).$$

证明. 由 $k_{a-s}=J{k}_s$ 与 $J$ 的酉性，$\Xi (a-s)=⟨JF,k_s{⟩}_a$。其余等价性由 $z\leftrightarrow s$ 的参数化与 0.4 直接得到。

命题 4.2（传递矩阵的镜像共轭——充要条件）

若存在与 $t,z$ 无关的常矩阵 $\mathbf{S}\in GL(2,\mathbb{R})$ 使

$$\boxed{{\mathbf{S}}^{\top }\mathbf{JS}=-\mathbf{J}}\text{(反辛)}\text{且}\boxed{\mathbf{S}H(t){\mathbf{S}}^{-1}=H(t)\text{ a.e.}},$$

则对一切 $t,z$ 有

$$M(t,-z)=\mathbf{S}M(t,z){\mathbf{S}}^{-1}.$$

反之亦然。

提示：${\mathbf{S}}^{\top }\mathbf{JS}=-\mathbf{J}$ 为“反辛“条件，能把 $\mathbf{J}{\partial }_t$ 的符号翻转，与 $\mathbf{S}H{\mathbf{S}}^{-1}=H$ 联合给出所述结论。必要性方向由对 $t$ 求导与初值唯一性推出。

未假设反辛对齐时，仅能从 $JF=\epsilon F$ 推出函数层面的 $E_F(-z)=\epsilon E_F(z)$。

5. 零型对称与 HB 对齐

定理 5.1（零点对称）

设 $H⪰0$ 且增长受控（S10 支持函数上界），并假设 $F$ 为镜像本征向量 $JF=\epsilon F$（等价于 $\Xi (a-s)=\epsilon \Xi (s)$，$|\epsilon |=1$），则 $E_F$ 的零点集始终关于

$$z\mapsto -z$$

闭合，即若 $z_0$ 为零点，则 $-z_0$ 同为零点（计重数）。若进一步 $E_F$ 为实型（即 $E_F(\bar{z})=\overline{E_F(z)}$），则零点对 $\{z_0,-z_0,{\bar{z}}_0,-{\bar{z}}_0\}$ 闭合。

证明. 由定理 4.1 的 $E_F(-z)=\epsilon E_F(z)$ 得 $z\leftrightarrow -z$ 对称；实型条件给出 $E_F^{♯}(\bar{z})=\overline{E_F(z)}$ 从而 $z\leftrightarrow \bar{z}$ 对称；EM 仅引入整/全纯修正，不改变奇性集合。

定理 5.2（HB 对齐与实轴落点）

若 $E_F$ HB 对齐且满足 $E_F(-z)=\pm E_F(z)$，则 $E_F$ 无非实零，因而其零点（若存在）全部落在 $z\in \mathbb{R}$（对应 $s$-面的中心轴）。

此时可写 $e^{i{\theta }_0}{E}_F=A-iB$（${\theta }_0$ 为常数相位），其中 $A,B$ 为实整函数且零点全实且交错。一般情形要在实轴上引入随 $z$ 的相位 $\theta (z)$（Hardy–Z 对齐）来实现实值化；“$\Xi$ 等价于 $A$ 或 $B$“应理解为相位对齐后的实/虚部识别，而非恒等。

证明. HB 对齐保证上半平面 $|E_F|>|E_F^{♯}|$，故上半平面无零。镜像偶奇性 $E_F(-z)=\pm E_F(z)$ 保证若下半平面有零，则上半平面必有镜像零，与 HB 性质矛盾。由这两步排除，零点仅余实轴。de Branges 基本定理给出：HB 生成函数的实部与虚部零点全实且交错。由 0.4 把 $z\in \mathbb{R}$ 转写为 $\Re s=\frac{a}{2}$。

6. 窗化/卷积与奇性保持；非渐近误差

说明：本节结论针对 EM/离散化近似表达式的奇性来源分析；对原始 $\Xi$（整函数）其奇性集合为空。

定理 6.1（窗化不改变奇性集合）

取偶窗 $\psi$（紧支或指数衰减），令

$${\Xi }_{\psi }(s):=⟨F\ast \psi ,k_s{⟩}_a.$$

在仅用有限阶 EM 的处理下，${\Xi }_{\psi }$ 与 $\Xi$ 在同一条带具有相同的奇性集合与阶。

证明. 卷积保留主尺度项；伯努利层与余项在 $s$ 上整/全纯，奇性集合不变。

注：此结论在仅用有限阶 EM 的前提下成立；若引入无穷阶展开或带支点的窗，需重新核对奇性来源。

定理 6.2（Nyquist–Poisson–EM 三分解）

设 $g$ 可积且分段光滑，步长 $\Delta >0$、EM 阶 $M$、截断 $T$。则

$$|{\int }_{\mathbb{R}}g(u)du-\Delta \sum _{k\in \mathbb{Z}}g(k\Delta )|\le \underset{\text{别名}}{\underbrace{\sum _{m\ne 0}|\hat{g}(2\pi m/\Delta )|}}+\underset{\text{伯努利层}}{\underbrace{\sum _{j=1}^{M-1}{c}_j{\Delta }^{2j}|g^{(2j)}{|}_{L^1}}}+\underset{\text{截断尾项}}{\underbrace{{\int }_{|u|>T}|g(u)|du}}.$$

若 $g$ 带限且 $\Delta \le \pi /\Omega$（Nyquist），则“别名项 = 0“。

证明. Poisson 求和公式 + 有限阶 EM（到 $2M-2$ 阶）+ 截断估计。

7. 典型模板

• Riemann $\xi$：$a=1$、$\epsilon =+1$，取 $E(z)=\xi (\frac{1}{2}+iz)$。由定理 2.4 得 $H,M$ 及等距同构 $\mathcal{U}:L_H^2\to \mathcal{E}$（对应唯一 $f_F$ 的光谱表示），镜像条件由 $JF=F$ 编码。若进一步存在 HB 对齐，则零点位于 $z\in \mathbb{R}$（即 $\Re s=\frac{1}{2}$）。

• Dirichlet $L(\chi ,\cdot )$：$a=1$、$\epsilon$ 为单位模相位。相同构造得到 $H,M$ 与光谱同构 $\mathcal{U}$，并有函数级镜像 $E(-z)=\epsilon E(z)$；窗与误差由 S8/S11 的核选择和三分解统一控制。

8. 与相关篇章的接口

• ↔ S14（RKHS/BN 界面）：由自反核 RKHS 出发，把“内积评估—镜像“转化为规范系统的解表示（定理 2.4）；BN 投影与窗选择在规范系统侧体现为对 $H$ 的能量汲取。
• ↔ S15（酉表示/镜像算子）：$(\overline{A},\overline{B},J)$ 的 Weyl 关系给出 $t$-模型与镜像的算子化语义；功能方程与镜像本征等价（定理 4.1）。
• ↔ S4/S5（EM/方向亚纯化）：奇性保持与极点定位由“有限阶 EM + 主尺度“与方向亚纯化保证（定理 6.1）。
• ↔ S8（Nyquist–Poisson–EM）：非渐近误差与实现细则沿三分解执行（定理 6.2）。
• ↔ S13（谱半径阈值）：窗内 Rayleigh 商的极值在规范系统侧对应传递矩阵条目的下界与稳定窗，可用于大值存在性的非渐近阈值化。

结语

本文把 S14 的镜像核—Hilbert 子空间与 S15 的酉表示—镜像算子缝合为de Branges–Krein 规范系统的谱模型：评估整函数由一阶辛系统的解线性生成；功能方程等价于镜像本征与函数级对称；在明确可检的正性与增长条件下，得到零型对称与 HB 对齐下的实轴落点。解析纪律由有限阶 EM 与方向亚纯化保证“极点 = 主尺度“，增长与误差由 S10/S8 闭合，为后续 散射—功能方程的算子化与谱窗化不等式提供统一的算子与能量框架。