S15. Weyl–Heisenberg 酉系统与完成功能方程的算子等价

—— 带权 Mellin–Hilbert 空间中的群表示、生成元、Weyl 关系与镜像

作者：Auric 日期：2025-10-21

摘要（定性）

在带权 Mellin–Hilbert 空间 ${\mathcal{H}}_a=L^2({\mathbb{R}}_{+},x^{a-1}dx)$ 中构造两族一参数酉算子：相位模群 $U_{\tau }f=x^{i\tau }f$ 与尺度伸缩群 $V_{\sigma }f=e^{\sigma a/2}f(e^{\sigma }\cdot )$。证明它们强连续、给出自伴生成元与公共核心，并建立标准 Weyl 关系 $V_{\sigma }{U}_{\tau }=e^{i\tau \sigma }{U}_{\tau }{V}_{\sigma }$，从而得到 Weyl–Heisenberg（${\mathbb{R}}^2$ 的中心扩张）之射影酉表示；在对数坐标模型中，该系统等价于 $L^2(\mathbb{R})$ 上的“调制—平移“Weyl 对。Mellin 侧呈现为“垂线平移—权乘“的谱图像并可对角化。构造满足自反性的再生核 Hilbert 空间（RKHS）后，完成功能方程 $\Xi (a-s)=\epsilon \Xi (s)$ 与镜像算子 $Jf(x)=x^{-a}f(1/x)$ 的本征关系 $JF=\epsilon F$ 严格等价。全流程仅使用有限阶 Euler–Maclaurin（EM）与方向亚纯化：窗化/卷积/换序仅叠加整/全纯层，极点唯由主尺度产生；增长由支持函数上界与 $\Gamma /\pi$ 正规化配平；数值离散化误差统一由 Nyquist–Poisson–EM 三分解给出非渐近可计算上界。

0. 记号与基础框架

0.1 完成函数与中心轴

设 Dirichlet 级数

$$L(s)=\sum _{n\ge 1}\frac{a_n}{n^s},s\in \mathbb{C},$$

其完成函数

$$\Xi (s)=Q^{s/2}r(s)L(s),r(a-s)=r(s),\Xi (a-s)=\epsilon \Xi (s),|\epsilon |=1,$$

称 $\Re s=\frac{a}{2}$ 为中心轴。

0.2 带权 Mellin–Hilbert 空间与 Mellin 变换

$${\mathcal{H}}_a:=L^2({\mathbb{R}}_{+},x^{a-1}dx),⟨f,g{⟩}_a={\int }_0^{\infty }f(x)\overline{g(x)}{x}^{a-1}dx.$$

Mellin 变换

$${\mathcal{M}}_a[f](s):={\int }_0^{\infty }f(x)x^s\frac{dx}{x},$$

在 $\Re s=\frac{a}{2}$ 上满足 Plancherel–Mellin 等距：

$$|f{|}_{{\mathcal{H}}_a}^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}|{\mathcal{M}}_a[f](\frac{a}{2}+i\tau ){|}^{2}d\tau .$$

令对数等距

$$(Tf)(t):=e^{\frac{a}{2}t}f(e^t),t=\log x,$$

则 $T:{\mathcal{H}}_a\to L^2(\mathbb{R},dt)$ 为酉，该归一由 $T$ 与 Fourier 变换的标准配对唯一确定。

0.3 镜像算子

定义 $Jf(x):=x^{-a}f(1/x)$。则 $J$ 在 ${\mathcal{H}}_a$ 上酉且 $J^2=\mathrm{Id}$。在 $t$-模型中，

$$(TJ{T}^{-1}g)(t)=g(-t).$$

0.4 解析纪律与增长—误差

所有离散—连续换序仅使用有限阶 EM（伯努利层与余项关于复参全纯/整）；沿方向切片的拉普拉斯–Stieltjes 变换在工作竖条内亚纯，其极点位置与阶数由指数–多项式律唯一决定。方向增长由 Newton 支持函数上界控制；垂线增长由 $\Gamma /\pi$ 正规化配平。数值误差按别名/Poisson + 有限阶 EM 伯努利层 + 截断尾项三部分统一核算。

1. 两族一参数酉群与 Weyl 关系

定义 1.1（相位与尺度的酉作用）

对 $\tau ,\sigma \in \mathbb{R}$：

$$(U_{\tau }f)(x):=x^{i\tau }f(x),(V_{\sigma }f)(x):=e^{\frac{\sigma a}{2}}f(e^{\sigma }x).$$

定理 1.2（强连续与酉性）

$\{U_{\tau }{\}}_{\tau \in \mathbb{R}}$、$\{V_{\sigma }{\}}_{\sigma \in \mathbb{R}}$ 为强连续一参数酉群，且

$$|U_{\tau }f{|}_a=|f{|}_a,|V_{\sigma }f{|}_a=|f{|}_a.$$

证明 $U_{\tau }$ 的酉性由权函数 $x^{a-1}$ 对乘子 $x^{i\tau }$ 的不变性显然。对 $V_{\sigma }$，变换因子与前置归一精确抵消：

$$|V_{\sigma }f{|}_a^2={\int }_0^{\infty }|e^{\frac{\sigma a}{2}}f(e^{\sigma }x){|}^2{x}^{a-1}dx=e^{\sigma a}{\int }_0^{\infty }|f(y){|}^2(y{e}^{-\sigma }{)}^{a-1}{e}^{-\sigma }dy=|f{|}_a^2.$$

强连续性通过等距 $T$ 获得：$(T{U}_{\tau }{T}^{-1})g(t)=e^{i\tau t}g(t)$ 与 $(T{V}_{\sigma }{T}^{-1})g(t)=g(t+\sigma )$ 为 $L^2(\mathbb{R})$ 的教材级强连续群，因而 $\{U_{\tau }\},\{V_{\sigma }\}$ 强连续。∎

命题 1.3（Weyl 关系）

$$V_{\sigma }{U}_{\tau }=e^{i\tau \sigma }{U}_{\tau }{V}_{\sigma }.$$

证明 逐点计算：

$$(V_{\sigma }{U}_{\tau }f)(x)=e^{\frac{\sigma a}{2}}(e^{\sigma }x{)}^{i\tau }f(e^{\sigma }x)=e^{i\tau \sigma }(U_{\tau }{V}_{\sigma }f)(x).$$

∎

注 1.4（对数模型） 通过 $T$，得到

$$(T{U}_{\tau }{T}^{-1}g)(t)=e^{i\tau t}g(t),(T{V}_{\sigma }{T}^{-1}g)(t)=g(t+\sigma ),$$

即 $L^2(\mathbb{R})$ 上标准“调制—平移“Weyl 对。

2. Stone 生成元、公共核心与 CCR

定理 2.1（生成元与本质自伴性）

存在在 $C_c^{\infty }({\mathbb{R}}_{+})$ 上定义的算子

$$Af=\log (x)f,Bf=-i(x\frac{d}{dx}+\frac{a}{2})f,$$

它们在该共同核心上本质自伴，其闭包 $\overline{A},\overline{B}$ 为自伴生成元，并满足

$$U_{\tau }=e^{i\tau \overline{A}},V_{\sigma }=e^{i\sigma \overline{B}}.$$

闭包的自然域为

$$\mathsf{D}(\overline{A})=\{f\in {\mathcal{H}}_a:\log (\cdot )f\in {\mathcal{H}}_a\},$$

$$\mathsf{D}(\overline{B})=\{f\in {\mathcal{H}}_a:f\in A{C}_{\mathrm{loc}}({\mathbb{R}}_{+}),x{f}^{\prime }(x)\in {\mathcal{H}}_a\}.$$

公共核心可取 $C_c^{\infty }({\mathbb{R}}_{+})$；其 $t$-模型下的自然核心为 $C_c^{\infty }(\mathbb{R})$（亦可改用 $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ 作为核心，二者均足够）。在 $T$-模型中对应 $\hat{A}=t$、$\hat{B}=-i{\partial }_t$ 的本质自伴性，其中 $\mathsf{D}(\hat{\overline{B}})=H^1(\mathbb{R})$。

证明 由 Stone 定理与酉等距 $T$ 把 $(A,B)$ 传递到 $(t,-i{\partial }_t)$ 获得自伴闭包与核心性。∎

命题 2.2（对易关系）

在公共核心 $C_c^{\infty }({\mathbb{R}}_{+})$ 上，

$$[A,B]=iI.$$

证明 直接计算如常，化简得 $([A,B]f)(x)=if(x)$。所有对易计算均在该公共核心上进行，再以本质自伴性延拓到闭包 $\overline{A},\overline{B}$。∎

推论 2.3（指数式 Weyl 等价）

由命题 1.3 得

$$e^{i\sigma \overline{B}}{e}^{i\tau \overline{A}}=e^{i\tau \sigma }{e}^{i\tau \overline{A}}{e}^{i\sigma \overline{B}},$$

与核心上 $[A,B]=iI$ 的正规 Weyl 表示等价。对无界算子，先在共同核心上应用 Campbell–Baker–Hausdorff，再以稠密延拓完成；在正则表示假设下二者等价。

3. Mellin 侧的作用、对角化与共轭

命题 3.1（Mellin 侧的平移—乘子）

对适定 $f$ 与 $s$：

$${\mathcal{M}}_a[U_{\tau }f](s)={\mathcal{M}}_a[f](s+i\tau ),{\mathcal{M}}_a[V_{\sigma }f](s)=e^{-\sigma (s-\frac{a}{2})}{\mathcal{M}}_a[f](s).$$

证明 第一式由 $U_{\tau }$ 的乘子性显然。第二式代入定义并以 $y=e^{\sigma }x$ 代换得 ${\mathcal{M}}_a[V_{\sigma }f](s)=e^{\frac{\sigma a}{2}}{\int }_0^{\infty }f(y)y^s{e}^{-\sigma s}\frac{dy}{y}=e^{-\sigma (s-\frac{a}{2})}{\mathcal{M}}_a[f](s)$。对一般 $s$ 的陈述按解析延拓理解。∎

命题 3.2（镜像对生成元的共轭）

$J$ 为 ${\mathcal{H}}_a$ 上酉对合，且

$$J\overline{A}J=-\overline{A},J\overline{B}J=-\overline{B},J{U}_{\tau }J=U_{-\tau },J{V}_{\sigma }J=V_{-\sigma }.$$

证明 在 $t$-模型中 $TJ{T}^{-1}g(t)=g(-t)$ 为标准奇偶算子 $P$，该等式等价于 $PtP=-t$ 与 $P(-i{\partial }_t)P=+i{\partial }_t$；故对乘子 $t$ 与导数 $-i{\partial }_t$ 皆取负；回推即得（对闭包 $\overline{A},\overline{B}$ 的共轭关系由稠密延拓建立）。∎

4. 自反核 RKHS 与完成功能方程的算子等价

4.1 自反核与评估向量

取核 $K$ 使得 $(f,g)\mapsto ⟨f,K\ast g{⟩}_a$ 正定，其中 $\ast$ 为 Mellin 卷积（乘法卷积）

$$(K\ast g)(x)={\int }_0^{\infty }K\left(\frac{x}{y}\right)g(y)\frac{dy}{y},$$

且其 Mellin 变换满足

$${\mathcal{M}}_a[K](a-s)={\mathcal{M}}_a[K](s)(\text{自反性});$$

则由 Moore–Aronszajn 定理在 ${\mathcal{H}}_a$ 上诱导再生核 Hilbert 空间 $\mathcal{H}(K)$。记 $k_s\in \mathcal{H}(K)$ 为评估向量，满足

$$F\in \mathcal{H}(K)\Rightarrow \Xi (s):=⟨F,k_s{⟩}_a,k_{a-s}=J{k}_s,$$

且 $s\mapsto k_s$ 在中心轴邻域连续。评估向量 $k_s$ 的选择唯一到常数相位；本文选取与 $J$ 对齐的规范，使 $k_{a-s}=J{k}_s$ 成立。

定理 4.2（完成功能方程 $⟺$ 镜像本征）

$$\Xi (a-s)=\epsilon \Xi (s)⟺JF=\epsilon F.$$

证明 由 $k_{a-s}=J{k}_s$ 得

$$\Xi (a-s)=⟨F,k_{a-s}{⟩}_a=⟨F,J{k}_s{⟩}_a=⟨JF,k_s{⟩}_a.$$

若 $JF=\epsilon F$，则 $\Xi (a-s)=\epsilon \Xi (s)$；反之，$⟨(JF-\epsilon F),k_s{⟩}_a\equiv 0$ 对所有 $s$ 成立，由再生性得 $JF=\epsilon F$。∎

5. 解析纪律：有限阶 EM 与方向亚纯化

定理 5.1（窗化/卷积的奇性保持）

取偶窗/核 $\psi$（紧支或指数衰减）并以有限阶 EM 进行离散—连续桥接，定义

$${\Xi }_{\psi }(s):=⟨F\ast \psi ,k_s{⟩}_a.$$

则 ${\Xi }_{\psi }$ 与 $\Xi$ 在同一工作竖条内具有相同的极点集合与阶数；所有 EM 端点伯努利层与余项关于 $s$ 为整/全纯，故极点仅来自主尺度。

证明 带参 EM 的有限阶伯努利层在复参数上全纯，余项整/全纯；方向亚纯化断言沿切片的拉普拉斯–Stieltjes 变换的极点由指数率与多项式阶唯一决定。∎

命题 5.2（增长控制）

沿 $\rho ={\rho }_{\perp }+s\mathbf{v}$ 的切片，增长由 Newton 支持函数 $H_{\mathrm{New}(F)}(\mathbf{v})$ 上界；完成功能方程与 $\Gamma /\pi$ 正规化共同在中心轴提供对称的垂线衰减。∎

6. 非渐近离散化：Nyquist–Poisson–EM 三分解

定理 6.1（采样—积分的统一误差界）

设 $g\in C^{2M}\cap L^1$，$\hat{g},g^{(2M)}\in L^1$。对步长 $\Delta >0$ 与截断 $T>0$，有

$$|{\int }_{\mathbb{R}}g(s)ds-\Delta \sum _{|k|\le \lfloor T/\Delta \rfloor }g(k\Delta )|\le \underset{\text{别名/Poisson}}{\underbrace{\sum _{m\ne 0}|\hat{g}(2\pi m/\Delta )|}}+\underset{\text{有限阶 EM 伯努利层}}{\underbrace{\sum _{j=1}^{M-1}{c}_j{\Delta }^{2j}|g^{(2j)}{|}_{L^1}}}+\underset{\text{截断尾项}}{\underbrace{{\int }_{|s|>T}|g(s)|ds}}.$$

若 $g$ 带限且 $\Delta \le \pi /\Omega$，别名项为零。

证明 由 Poisson 求和公式、带参有限阶 EM 与尾项估计直接叠加。∎

注 6.2 当 $g$ 来自 $\Xi$ 或 ${\Xi }_{\psi }$ 的窗化 integrand，定理 5.1 保障误差层不改变奇性集合；增长常数由命题 5.2 控制。

7. Weyl–Heisenberg 中心扩张的射影酉表示

定义 7.1（Weyl 系统）

令

$$W(\tau ,\sigma ):=U_{\tau }{V}_{\sigma },(\tau ,\sigma )\in {\mathbb{R}}^2.$$

由命题 1.3，

$$W(\tau ,\sigma )W({\tau }^{\prime },{\sigma }^{\prime })=e^{i{\tau }^{\prime }\sigma }W(\tau +{\tau }^{\prime },\sigma +{\sigma }^{\prime }).$$

因此 $(\tau ,\sigma )\mapsto W(\tau ,\sigma )$ 为 ${\mathbb{R}}^2$ 的射影酉表示，其 2-余因子

$$c((\tau ,\sigma ),({\tau }^{\prime },{\sigma }^{\prime }))=e^{i{\tau }^{\prime }\sigma }$$

确定 Weyl–Heisenberg 的中心扩张；由 Stone–von Neumann 定理在不可约与正则性条件下惟一化。本表示在 $L^2(\mathbb{R})$（通过 $T$）为不可约且正则的 Schrödinger 型表示，故满足该定理的惟一性前提。亦可采用对称规范 $W_{\mathrm{sym}}(\tau ,\sigma )=e^{i\tau \sigma /2}{U}_{\tau }{V}_{\sigma }$，二者酉等价并给出同一 Weyl–Heisenberg 中心扩张。

8. 例示

(1) Riemann $\xi$：取 $a=1$，$\Xi (s)=\frac{1}{2}s(s-1){\pi }^{-s/2}\Gamma (\frac{s}{2})\zeta (s)$。构造自反核 $K$ 使 ${\mathcal{M}}_1[K](1-s)={\mathcal{M}}_1[K](s)$，则 $\Xi (1-s)=\Xi (s)$ 当且仅当 $JF=F$。

(2) Dirichlet $L(s,\chi )$：若 $\chi$ 非实，$\epsilon$ 为 Gauss 因子相位，则 $JF=\epsilon F$ 与 $\Xi (a-s,\chi )=\epsilon \Xi (s,\chi )$ 等价。

9. 可检清单（最小充分条件）

1. 群与生成元：$\{U_{\tau }\},\{V_{\sigma }\}$ 强连续、酉；$A=\log x$、$B=-i(x{\partial }_x+\frac{a}{2})$ 在共同核心 $C_c^{\infty }({\mathbb{R}}_{+})$ 上本质自伴，其闭包 $\overline{A},\overline{B}$ 为自伴生成元；在核心上 $[A,B]=iI$。
2. Mellin 侧：${\mathcal{M}}_a[U_{\tau }]=(\cdot )\circ (\cdot +i\tau )$、${\mathcal{M}}_a[V_{\sigma }]=e^{-\sigma (s-\frac{a}{2})}\cdot$；中心轴应用 Plancherel–Mellin。
3. 镜像等价：选自反核 $K$，构造 $k_s$ 且 $k_{a-s}=J{k}_s$，并令 $\Xi (s)=⟨F,k_s{⟩}_a$；验证 $JF=\epsilon F⟺\Xi (a-s)=\epsilon \Xi (s)$。
4. 解析纪律：窗化/换序仅用有限阶 EM；伯努利层与余项关于 $s$ 全纯/整，极点=主尺度。
5. 增长与误差：支持函数上界与 $\Gamma /\pi$ 正规化控制增长；数值误差按 Nyquist–Poisson–EM 三分解给出显式常数。

10. 与既有篇章的接口

S0–S1（母映射与解析域）：本篇的 ${\mathcal{H}}_a$ 与 Mellin 归一由 S0–S1 的“相位—尺度母映射/可积条带“设定统一固定；$T$-模型把母映射的对数坐标化落实为标准 Fourier 架构，为 §0.2 的 Plancherel–Mellin 判据提供规范。

S2（加法镜像与零集几何）：S2 的“加法镜像 $\theta \mapsto -\theta$“在本篇由 $J$ 具体实现为 $t\mapsto -t$（对数坐标），从而把零集关于中心轴的几何对称转写为 $JF=\epsilon F$ 的本征条件；S2 的横截模板决定 §5 中方向切片的合法性。

S3（自反核与 Mellin 镜像）：S3 的自反核构造在 §4 处升格为 RKHS 语言；公式 $k_{a-s}=J{k}_s$ 是 S3 镜像对称在再生核层面的精确实现，并与 $\Xi (s)=⟨F,k_s{⟩}_a$ 组合为功能方程的算子等价。

S4（有限阶 Euler–Maclaurin）：S4 的“有限阶 EM—伯努利层—整/全纯“纪律在 §5 成为奇性保持的核心工具；本篇所有离散—连续换序仅调用有限阶 EM，从而保证“极点=主尺度“。

S5（方向亚纯化与极点定位）：S5 的方向拉普拉斯–Stieltjes 模板支撑 §5 对窗化对象的极点不变性证明：极点位置与阶由主尺度的指数率与多项式阶唯一确定，窗/卷积只叠加整/全纯层。

S6（信息量刻度与凸对偶）：S6 的信息势 $\mathcal{L}$（及其对偶 ${\mathcal{L}}^{\ast }$）与 Bregman/KL 对偶为窗权与谱投影的参数化提供统一语义；在 §5–§6 的误差预算中，采用 S6 的“有效模态质心/协方差“刻度衡量窗化的能量分配与带宽。

S7（$L$-函数接口模板）：S7 的 $Q$（conductor）与 $\Gamma /\pi$ 正规化统一了本篇 §0.1 的完成函数记号；其中心轴 $a$ 与 $\epsilon$ 相位直接进入 §4 的本征关系，确保群表示语言与 $L$-函数语法一致。

S8（离散一致逼近与差分湮灭）：S8 的 Nyquist–Poisson–EM 三分解在 §6 作为非渐近误差学的标准形，Poisson 别名/伯努利层/截断尾项三者给出实际计算的可检上界；差分湮灭可与 §3 的垂线平移协同用于序列重构。

S9（Pretentious—几乎周期—指数和）：S9 的 Pretentious 距离刻画竖向平移窗下的相干/非相干区；本篇 $U_{\tau }$ 的“垂线平移“在 Mellin 侧与 Pretentious 词典直接对齐，可把 §7 的 Weyl 变换用于构造放大器/共振器的群表示版本。

S10（Amoeba 几何与增长）：S10 的 Ronkin/支持函数上界提供 §5.2 的增长控制，使 Weyl–Heisenberg 作用下的方向增长在 Newton 多面体几何上可视化与可估。

S11（迹公式接口）：S11 的核—变换—窗三件套在本篇被解释为 Weyl 系统下的“调制—平移—伸缩“的算子化语义；特别地，Kuznetsov/Selberg 的核选择可在 §1–§3 的框架中解读为对 ${\mathcal{H}}_a$ 的受控谱投影。

S12（近似功能方程、mollifier 与共振）：S12 的软窗 AFE 与谱最优 mollifier 在本篇以 $U_{\tau },V_{\sigma }$ 的射影系统获得算子实现；$\Gamma /\pi$ 正规与 EM 纪律保证 AFE 的非渐近误差闭合。

S13（大值与 $\Omega$-下界）：S13 的放大器/共振器可在 §7 的 Weyl 系统中表述为对 $W(\tau ,\sigma )$ 的有限线性叠加与谱半径控制；Pretentious/非 Pretentious 区的阈值机制与本篇的平移—伸缩对齐。

S14（de Branges / Beurling–Nyman 界面）：S14 的 RKHS 与 BN 子空间在本篇 §4 直接调用；功能方程 $\iff$ 镜像本征 $JF=\epsilon F$ 是 S14 的内积评估—镜像对称的算子化精炼；最小能量投影可在 Weyl 系统下视作不变子空间的正交分解。

前瞻（S16–S18）：S16 之 de Branges–Krein 规范系统将以 $(\overline{A},\overline{B},J)$ 作为基本三元组；S17 拟把散射—功能方程算子化置于 affine（平移+伸缩）表象，以与迹公式/散射矩阵并行；S18 将在 Weyl/affine 双表象下建立轨道—谱窗化不等式与稳定性准则。

11. 结语

在 ${\mathcal{H}}_a$ 中构造之 $U_{\tau }$—$V_{\sigma }$ Weyl 对给出 Weyl–Heisenberg 的射影酉表示；Mellin 侧呈“垂线平移—权乘“，镜像算子在 RKHS 框架下把完成功能方程等价为本征关系 $JF=\epsilon F$。以有限阶 EM 与方向亚纯化为纪律，可确保奇性与增长结构稳定、可检；以 Nyquist–Poisson–EM 的非渐近误差学支撑有限窗计算。该算子骨架与 S0–S14 各篇形成严密接口，并为后续 de Branges–Krein 规范系统（S16）、散射—功能方程的算子化（S17）与轨道—谱窗化不等式（S18）提供统一、稳固的基础。

附录 A：公开判据（摘录）

• Stone 定理：强连续一参数酉群 $\{e^{itH}\}$ 的生成元 $H$ 自伴且唯一；若在稠密域上定义的对称算子本质自伴，则其闭包即为该生成元。
• Stone–von Neumann 定理：满足 CCR 的不可约正则 Weyl 表示在酉等价意义下唯一。
• Plancherel–Mellin 判据：$Tf(t)=e^{\frac{a}{2}t}f(e^t)$ 把 ${\mathcal{H}}_a$ 酉等距到 $L^2(\mathbb{R})$，中心轴 Mellin 为 Fourier。
• 有限阶 Euler–Maclaurin（带参）：有限阶伯努利层关于外部复参全纯，余项整/全纯。
• 方向亚纯化：沿方向的拉普拉斯–Stieltjes 变换在可积竖条内亚纯，其极点位置与阶数由指数率与多项式次数控制。