S14. de Branges / Beurling–Nyman 界面

—— 镜像核、Hilbert 子空间与信息—变分等价

作者：Auric 日期：2025-10-21

摘要（定性）

在带权 Mellin–Hilbert 空间中，本文把功能方程的中心对称实现为酉镜像算子，并以满足自反性的核构造再生核 Hilbert 空间（RKHS），由此将完成函数写为内积评估且保持镜像对称。选取与显式/迹公式一致的窗—字典生成 Beurling–Nyman（BN）型子空间，给出最小能量 mollifier 的正交投影与谱（Gram）表示；在与软最大势一致的参数化（信息—几何对齐）下，证明该投影极小化与最小 KL/Bregman 代价等价。全流程严格采用有限阶 Euler–Maclaurin（EM）与方向亚纯化纪律，确保“极点仅来自主尺度“；增长与窗条件与完成函数的 $Γ/ π$ 正规化及方向支持函数上界一致。结构在 Riemann $ξ$ 、Dirichlet $L (χ, \cdot)$ 、自守形式 $L$ -函数等典型实例中统一成立。

0. 记号与前置

0.1 完成函数与中心轴

设 $L (s) = \sum_{n \geq 1} a_{n} n^{- s}$ 可经标准 $Γ/ π$ 因子正规化。给定 $Q > 0$ 、实数 $a$ ，定义完成函数

$Ξ (s) := Q^{s /2} r (s) L (s), r (a - s) = r (s), Ξ (a - s) = ε Ξ (s), ∣ ε ∣ = 1,$

称 $ℜ s = \frac{a}{2}$ 为中心轴。

0.2 带权 Mellin–Hilbert 空间与 Plancherel–Mellin

置

$H_{a} := L^{2} (R_{+}, x^{a - 1} d x), ⟨ f, g ⟩_{a} = \int_{0}^{\infty} f (x) \overline{g (x)} x^{a - 1} d x .$

采用归一化 Mellin 变换

$M_{a} [f] (s) := \int_{0}^{\infty} f (x) x^{s} \frac{d x}{x}, s \in C .$

在直线 $ℜ s = \frac{a}{2}$ 上有 Plancherel–Mellin 判据

$∣ f ∣_{H_{a}}^{2} = \frac{1}{2 π} \int_{R} M_{a} [f] (\frac{a}{2} + i t)^{2} d t .$

0.3 乘法卷积与镜像算子

在 $(R_{+}^{\times}, \frac{d x}{x})$ 上定义

$(f * g) (x) := \int_{0}^{\infty} f (y) g (\frac{x}{y}) \frac{d y}{y}, M_{a} [f * g] = M_{a} [f] \cdot M_{a} [g] .$

定义镜像算子

$(Jf) (x) := x^{- a} f (1/ x) .$

0.4 可采镜像核与条带 RKHS

称 $K$ 为可采镜像核，若满足：

$⎩ ⎨ ⎧ (A1) K \in H_{a} \cap L_{loc}^{1} (R_{+}), (A2) K (x) = x^{- a} K (1/ x) (自反), (A3) \exists 含中心轴的开竖条 Σ ， M_{a} [K] 在 Σ 全纯，且在 ℜ s = \frac{a}{2} 几乎处处非零； (A3) 使用 lo g ∣ M_{a} [K] ∣ 的次调和性（对全纯函数自然成立），以引入竖条 H^{2} 的 Poisson-Jensen 控制 (A3) （此处仅作增长控制，不作内点零点排除的替代）； (A3') Ξ/ M_{a} [K] \in H^{2} (Σ) ；等价地， M_{a} [K] 在 Σ 内部零点要么不存在， (A3') 要么 Ξ 在这些点以不低于相同阶数消失（可去奇性）； (A4) K 带限或指数衰减（与显式 / 迹公式核族一致） .$

为避免乘子有界性的额外假设，引入乘子加权条带空间

$H_{K} := {M_{a} [K] \cdot H : H \in H^{2} (Σ)}, ⟨ M_{a} [K] H_{1}, M_{a} [K] H_{2} ⟩_{H_{K}} := ⟨ H_{1}, H_{2} ⟩_{H^{2} (Σ)} .$

$H_{K}$ 为 $Σ$ 上的 RKHS，点值泛函一致有界。

1. 镜像与 Mellin 的酉对应

引理 14.1（酉性与镜像公式）

算子 $J : H_{a} \to H_{a}$ 酉且 $J^{2} = Id$ ；并且

$M_{a} [Jf] (s) = M_{a} [f] (a - s) .$

证明。 酉性：

$⟨ Jf, J g ⟩_{a} = \int_{0}^{\infty} 来自 Jf, J g x^{- 2 a} f (1/ x) \overline{g (1/ x)} x^{a - 1} d x = \int_{0}^{\infty} f (y) \overline{g (y)} y^{a - 1} d y = ⟨ f, g ⟩_{a} .$

镜像：

$M_{a} [Jf] (s) = \int_{0}^{\infty} x^{- a} f (1/ x) x^{s} \frac{d x}{x} = \int_{0}^{\infty} f (y) y^{a - s} \frac{d y}{y} = M_{a} [f] (a - s) .$

∎

推论 14.2（功能方程的 Hilbert 表达） 若 $J F = εF$ ，则 $M_{a} [F] (a - s) = ε M_{a} [F] (s)$ 。

2. 镜像核的 RKHS 与完成函数的内积表示

定义

$T_{K} : H_{a} \to H_{K}, (T_{K} F) (s) := M_{a} [K] (s) M_{a} [F] (s) .$

把 $T_{K}$ 定义在 $dom (T_{K}) := {F \in H_{a} : M_{a} [F] \in H^{2} (Σ)}$ 上，则 $T_{K}$ 在此定义域内有界且 $T_{K} F \in H_{K}$ 。为避免不必要的边界可积性讨论，以下均在 $dom (T_{K})$ 内工作；对更一般 $F$ 的 $L^{2}$ 边界乘子与 Poisson–Hardy 延拓仅作启发性说明，不在本文使用。记 $H_{K}$ 的 reproducing kernel 为

$K_{H_{K}} (w, s) = \overline{M_{a} [K] (\overset{w}{ˉ})} M_{a} [K] (s) K_{H^{2}} (w, s),$

其中 $K_{H^{2}}$ 为 $H^{2} (Σ)$ 的核。定义点向量 $k_{s} \in H_{a}$ 为 Riesz 表示向量，使得对所有 $F \in dom (T_{K})$ 有

$(T_{K} F) (s) = ⟨ F, k_{s} ⟩_{a};$

在 $dom (T_{K})$ 稠密时亦可写作 $k_{s} = T_{K}^{*} (K_{H_{K}} (\cdot, s))$ 。

定理 14.3（镜像对称）

对所有 $s \in Σ$ ，有

$k_{a - s} = J k_{s}, (T_{K} J F) (s) = (T_{K} F) (a - s) .$

证明。 由引理 14.1 与 (A2) 得 $M_{a} [K] (a - s) = M_{a} [K] (s)$ 。遂 $(T_{K} J F) (s) = M_{a} [K] (s) M_{a} [Jf] (s) = M_{a} [K] (s) M_{a} [F] (a - s) = (T_{K} F) (a - s)$ 。拉回至 $H_{a}$ 得 $k_{a - s} = J k_{s}$ 。∎

定理 14.4（完成函数的内积表示）

若完成函数 $Ξ$ 满足中心对称与 $ℜ s = \frac{a}{2}$ 上的 $L^{2}$ -边界增长，且 $M_{a} [K] (\frac{a}{2} + i t) \neq = 0$ （a.e.），则存在 $F \in H_{a}$ 、常数 $C \neq = 0$ 使

$Ξ (s) = C ⟨ F, k_{s} ⟩_{a}, s \in Σ,$

并保持镜像 $Ξ (a - s) = ε Ξ (s)$ 。

证明。 令 $H (s) := Ξ (s) / M_{a} [K] (s)$ 。由 (A3′)（配合 $Ξ$ 在 $Σ$ 内解析）知 $H \in H^{2} (Σ)$ 。取 $F \in H_{a}$ 使 $M_{a} [F] (\frac{a}{2} + i t) = H (\frac{a}{2} + i t)$ （由 Plancherel–Mellin 存在且唯一）。按定义 $T_{K} F (s) = M_{a} [K] (s) H (s) \equiv Ξ (s)$ （在 $Σ$ 内成立）。常数 $C$ 可由归一化自由选择。镜像由定理 14.3 传递。∎

3. Beurling–Nyman 子空间与最小能量投影

3.1 字典与 BN 子空间

取与 $K$ 相容、偶且带限/指数衰减的窗 $ψ$ ，并令 $M_{a} [ψ] (\frac{a}{2}) = 0$ （去 DC）。定义

$ϕ_{n} (x) := ψ (n x), n \in N \subset N, M_{a} [ϕ_{n}] (s) = n^{- s} M_{a} [ψ] (s) .$

由此生成

$B := \overline{span} {ϕ_{n} : n \in N} \subset H_{a} .$

3.2 最小能量 mollifier 与正交投影

给定 $s_{0} \in Σ$ 。称 $M^{⋆} \in B$ 为最小能量 mollifier（即满足 $⟨ M, k_{s_{0}} ⟩_{a} = 1$ 的最小范数元），若

$⟨ M^{⋆}, k_{s_{0}} ⟩_{a} = 1, ∣ M^{⋆} ∣_{a} = min {∣ M ∣_{a} : M \in B, ⟨ M, k_{s_{0}} ⟩_{a} = 1} .$

记 $P_{B}$ 为 $H_{a} \to B$ 的正交投影，则

$M^{⋆} = \frac{P _{B} k _{s_{0}}}{∣ P _{B} k _{s_{0}} ∣ _{a}^{2}}, ∣ M^{⋆} ∣_{a}^{2} = \frac{1}{∣ P _{B} k _{s_{0}} ∣ _{a}^{2}} .$

谱（有限字典）形式。 若 ${ϕ_{n_{j}}}_{j = 1}^{m}$ 有限，Gram 算子 $G = (⟨ ϕ_{n_{i}}, ϕ_{n_{j}} ⟩_{a})$ 厄米正定， $c = (⟨ ϕ_{n_{j}}, k_{s_{0}} ⟩_{a})_{j}$ ，则

$M^{⋆} = j = 1 \sum m β_{j}^{⋆} ϕ_{n_{j}}, β^{⋆} = \frac{G ^{- 1} c}{c ^{*} G ^{- 1} c}, ∣ M^{⋆} ∣_{a}^{2} = \frac{1}{c ^{*} G ^{- 1} c} .$

可行性（非退化）说明。 为保证约束可行，需 $M_{a} [ψ] (s_{0}) \neq = 0$ 。若采用 $M_{a} [ψ] (\frac{a}{2}) = 0$ 去 DC，则应取 $s_{0} \neq = \frac{a}{2}$ ，或在字典中加入一枚不消 DC 的向量专用于约束。同时需要求 $M_{a} [K] (s_{0}) \neq = 0$ ，因为 $c_{j} = ⟨ ϕ_{n_{j}}, k_{s_{0}} ⟩_{a} = (T_{K} ϕ_{n_{j}}) (s_{0})$ 包含因子 $M_{a} [K] (s_{0})$ 。采用 §7 的对称化 $M_{a} [K] (s) = (r (s) r (a - s))^{1/2}$ 时，在临界条带内该条件自然满足。

4. 投影误差的信息—变分等价

4.1 软最大势与 Bregman–KL 恒等式

取权 $w_{j} > 0$ 、特征 $β_{j} \in R^{d}$ ，定义

$Λ (ρ) := lo g j \sum w_{j} e^{⟨ β_{j}, ρ ⟩}, p_{j} (ρ) := \frac{w _{j} e ^{⟨ β_{j}, ρ ⟩}}{\sum _{ℓ} w _{ℓ} e ^{⟨ β_{ℓ}, ρ ⟩}} .$

则

$B_{Λ} (ρ^{'} ∣ ρ) = Λ (ρ^{'}) - Λ (ρ) - ⟨ \nablaΛ (ρ), ρ^{'} - ρ ⟩ = D (p (ρ) ∥ p (ρ^{'})) .$

4.2 信息—几何对齐（IG-Align）与等价定理

假设存在参数嵌入 $ρ \mapsto c (ρ) \in C^{m}$ 与字典归一，使在所选 $s_{0}$ 下

$(A5) c_{j} (ρ) = ⟨ ϕ_{n_{j}}, k_{s_{0}} ⟩_{a} = γ w_{j} e^{⟨ β_{j}, ρ ⟩} (γ \neq = 0), (A6) G_{ij} = g (β_{i}, β_{j}) 为信息核，使 b^{*} G b = Var_{π} (j \sum b_{j} β_{j}),$

其中 $π \propto (w_{j})$ 为基准权的概率化。（该对齐为假设，在“窗—频谱字典与母映射同源“的设置中自然成立。）

在本文所用 dilate 字典 $ϕ_{n} (x) = ψ (n x)$ 下， $⟨ ϕ_{n}, k_{s_{0}} ⟩_{a} = M_{a} [K] (s_{0}) M_{a} [ψ] (s_{0}) e^{- ⟨(l o g n), s_{0} ⟩}$ 。令 $β_{n} := - lo g n$ 、取 $w_{n} > 0$ 吸收常数因子，则 (A5) 具体化为 $c_{n} (ρ) = γ w_{n} e^{⟨ β_{n}, ρ ⟩}$ （可取 $ρ = ℜ s_{0}$ ；若需考虑相位，则把 $ρ$ 扩展为二维向量 $(ℜ s_{0}, ℑ s_{0})$ ）。由此 $u_{0} := \nablaΛ (ρ^{⋆})$ 为对偶解 $ρ^{⋆}$ 的软最大势梯度（期望充分统计），并用于右侧矩约束 $E_{q} [β] = u_{0}$ 。

定理 14.6（BN 最小能量 $⟺$ 最小 KL）

在 (A5)–(A6) 下，

$M \in B min ∣ M ∣_{a}^{2} s.t. ⟨ M, k_{s_{0}} ⟩_{a} = 1 ⟺ q \in Δ min D (q ∥ π) s.t. E_{q} [β] = u_{0},$

两侧极小值相等，极小解在 Fenchel–Legendre 对偶下互相对应，其中 $u_{0}$ 为约束矩条件， $Δ$ 为概率单纯形。约束矩 $u_{0}$ 需落在 $ri conv {β_{j}}$ （或其闭包）内，以保证右侧 $in f_{q : E_{q} [β] = u_{0}} D (q ∥ π)$ 的可行性与 Fenchel–Legendre 对偶无间隙；无限字典时以闭包/下极限理解。

证明。 有限字典时

$b : ⟨ c, b ⟩ = 1 in f b^{*} G b = \frac{1}{c ^{*} G ^{- 1} c} .$

由 (A5) 将 $c$ 写成指数族的充分统计，再由 (A6) 将 $b^{*} G b$ 重写为 $Λ$ 的共轭泛函，得到

$b : ⟨ c, b ⟩ = 1 in f b^{*} G b = ρ sup {⟨ u_{0}, ρ ⟩ - Λ (ρ)} = q : E_{q} [β] = u_{0} in f D (q ∥ π),$

其中右端等号是最大熵原理与 KL 的拉格朗日表示。∎

推论 14.7（误差 = 信息代价） 取 $ρ^{⋆}$ 使 $\nablaΛ (ρ^{⋆}) = u_{0}$ ，并以 $ρ_{ref}$ 使 $π = p (ρ_{ref})$ （典型地 $ρ_{ref} = 0$ ）。则

$∣ M^{⋆} ∣_{a}^{2} = \frac{1}{∣ P _{B} k _{s_{0}} ∣ _{a}^{2}} = q : E_{q} [β] = u_{0} min D (q ∥ π) = B_{Λ} (ρ^{⋆} ρ_{ref}) .$

5. 有限阶 EM 与“极点 = 主尺度“

定理 14.8（卷积与 EM 校正不改变奇性集合）

在 S4 的有限阶 EM 与 S5 的方向亚纯化前提下：

(i) 用带限/指数核 $K$ 对 $F$ 作卷积/窗化，仅在 $s$ 上叠加整/全纯层，不引入新极点；若 $M_{a} [K]$ 在极点处消零，则至多降低（含消除）该极点的阶，因此新极点集合包含于原集合。

(ii) $M_{a} [K]$ 在 $Σ$ 全纯，作为乘子不会引入极点；其零点至多导致“乘以零“，不引入新极点；若 $M_{a} [K]$ 在极点处消零，则至多降低（含消除）该极点的阶，因此新极点集合包含于原集合。有限阶 EM 的伯努利层与端点余项在参数上全纯/整，故 BN 投影与 RKHS 表示的解析结构保持不变。

证明要点。 乘子为全纯函数时，乘积的极点由被乘函数决定；有限阶 EM 的余项为受控 Stieltjes 型积分，对参数全纯。

上述“对参数全纯/整“均指对复变量 $s$ 的性质，且以固定有限阶 EM（不令阶数随 $s$ 变动）与端点正则条件为前提；条带 $Σ$ 的选取需避开 EM 端点参数潜在的离散奇性。∎

6. 与显式/迹公式核的一致性与增长控制

核—窗一致：取 $K, ψ$ 属于显式公式（Weil 型）与 Selberg/Kuznetsov 的可检核族（偶、光滑、带限或指数衰减），则谱侧（零点/本征模）与几何侧（素数/闭测地/Kloosterman）和 Hilbert 侧窗形一致，误差常数可统一记账。
增长控制： $Γ/ π$ 正规化提供垂线指数衰减，S10 的方向支持函数上界控制向量增长；据此 $∣ k_{s} ∣_{a}$ 与 $K_{H_{K}} (s, s)$ 在 $Σ$ 内一致可控，点值与投影稳定。

7. 典型实例

7.1 Riemann $ξ$ （ $a = 1$ ）

取 $r (s) = π^{- s /2} Γ (\frac{s}{2})$ ，令 $M_{a} [K] (s) = (r (s) r (1 - s))^{1/2}$ （在所选竖条 $Σ$ 内取连续外因子分支），于是 $M_{a} [K] (1 - s) = M_{a} [K] (s)$ 成立。相应地

$M_{a} [F] (s) = \frac{ξ ( s )}{M _{a} [ K ] ( s )} = (\frac{r ( s )}{r ( 1 - s )})^{1/2} ζ (s),$

从而

$ξ (s) = M_{a} [K] (s) M_{a} [F] (s) = ⟨ F, k_{s} ⟩_{1}, k_{1 - s} = J k_{s},$

并以 dilate 字典 ${ψ (n x)}$ 构造 $B$ ，得到最小能量—KL 等价。

7.2 Dirichlet $L (χ, \cdot)$ （ $a = 1$ ）

就奇偶性选 $Γ_{R}$ 因子 $r_{χ}$ ，令 $M_{a} [K_{χ}] (s) = (r_{χ} (s) r_{χ} (1 - s))^{1/2}$ （在所选竖条 $Σ$ 内取连续外因子分支），于是 $M_{a} [K_{χ}] (1 - s) = M_{a} [K_{χ}] (s)$ 成立。相应地

$M_{a} [F_{χ}] (s) = \frac{Ξ _{χ} ( s )}{M _{a} [ K _{χ} ] ( s )} = (\frac{r _{χ} ( s )}{r _{χ} ( 1 - s )})^{1/2} L (χ, s),$

从而

$Ξ_{χ} (s) = M_{a} [K_{χ}] (s) M_{a} [F_{χ}] (s) = ⟨ F_{χ}, k_{s}^{(χ)} ⟩_{1}, k_{1 - s}^{(χ)} = J k_{s}^{(χ)},$

并在 BN–信息框架下获得同样等价。

7.3 自守形式的度 $2$

令 $Ξ_{f} (s) = Q_{f}^{s /2} r_{f} (s) L (f, s)$ ，其中 $r_{f} (s)$ 为标准阿基米德因子： • 若 $f$ 为权 $k$ 的全纯新形式，则 $r_{f} (s) = (2 π)^{- (s + \frac{k - 1}{2})} Γ (s + \frac{k - 1}{2})$ ； • 若 $f$ 为权 $0$ 的 Maaß 形式（谱参 $t$ ），则 $r_{f} (s) = π^{- s} Γ (\frac{s + i t}{2}) Γ (\frac{s - i t}{2})$ 。在本文框架中令 $M_{a} [K_{f}] (s) = (r_{f} (s) r_{f} (a - s))^{1/2}$ （在所选竖条 $Σ$ 内取连续外因子分支），于是 $M_{a} [K_{f}] (a - s) = M_{a} [K_{f}] (s)$ 成立。相应地

$M_{a} [F_{f}] (s) = \frac{Ξ _{f} ( s )}{M _{a} [ K _{f} ] ( s )} = (\frac{r _{f} ( s )}{r _{f} ( a - s )})^{1/2} Q_{f}^{s /2} L (f, s),$

从而 $Ξ_{f} (s) = M_{a} [K_{f}] (s) M_{a} [F_{f}] (s) = ⟨ F_{f}, k_{s}^{(f)} ⟩_{a}$ ，镜像对称 $k_{a - s}^{(f)} = J k_{s}^{(f)}$ 保持。与 Kuznetsov 核—窗一致的 $B_{f}$ 给出投影—信息等价与增长控制。

8. 边界与反例

核不自反：若 $K (x) \neq = x^{- a} K (1/ x)$ ，则 $k_{a - s} \neq = J k_{s}$ ，镜像失配；可对称化 $K \leftarrow \frac{1}{2} (K + x^{- a} K (1/ x))$ 。
窗衰减不足：若核/窗不带限且衰减不足， $M_{a} [K]$ 的内部性质与点值有界性可能失效；应回到显式/迹公式核族。
EM 级数滥用：把 EM 误作无穷级将引入伪奇性与非法换序；须固定有限阶并核查端点正则。
方向退化：若大量谱点沿某方向同速聚集， $∣ k_{s} ∣_{a}$ 条件数恶化；需更换方向或采用多方向层析。

9. 可检清单（最小充分条件）

完成函数模板：给出 $(Q, a, r)$ ，验证 $Ξ (a - s) = ε Ξ (s)$ 。
镜像 Hilbert 空间： $H_{a} = L^{2} (R_{+}; x^{a - 1} d x)$ ， $Jf = x^{- a} f (1/ x)$ 酉；Plancherel–Mellin 于 $ℜ s = \frac{a}{2}$ 成立。
可采镜像核： $K$ 满足 (A1)–(A4) 与 (A3′)， $M_{a} [K]$ 在中心轴 a.e. 非零。
RKHS 表示：定义 $T_{K}$ 、 $H_{K}$ 与 $k_{s} = T_{K}^{*} K_{H_{K}} (\cdot, s)$ ；验证 $k_{a - s} = J k_{s}$ 。
BN 子空间：以与显式/迹公式一致的窗 $ψ$ 生成 $B$ ；构造 Gram 算子与 $M^{⋆}$ 。
信息对偶：在 IG-Align（A5–A6）下建立 $∣ M^{⋆} ∣_{a}^{2} = min D (q ∣ π)$ 。
解析纪律：仅用有限阶 EM；确认卷积/窗与 EM 校正不改变奇性集合。
增长与稳定：与 $Γ/ π$ 正规化、方向支持函数上界一致，确保点值与投影稳定。
可行性检查：选取 $s_{0}$ 与字典使 $M_{a} [ψ] (s_{0}) \neq = 0$ （若去 DC，则 $s_{0} \neq = \frac{a}{2}$ 或加入不消 DC 的约束向量）。

10. 与既有篇章的接口

↔ S3（完成函数与镜像）：本篇用酉算子 $J$ 实现 $s \mapsto a - s$ 的镜像，与完成函数模板完全一致； $Γ/ π$ 正规化与中心轴 $a$ 的对称在条带与核选择中一致化。
↔ S6（信息刻度）：BN 最小能量投影与 KL/Bregman 的熵极小在自然度量（由 $Λ$ 的 Hessian 诱导）下等价，提供“误差=信息代价”的解释。
↔ S7（ $L$ -函数接口）：degree/conductor 通过 $(Q, a, r)$ 归入 $M_{a} [K]$ ，对偶侧通过 $(L^{*}, r^{*})$ 进入镜像核；与完成功能方程保持一致。
↔ S8（Nyquist–Poisson–EM）：带限/指数窗使 $B$ 的有限字典可离散化；Nyquist 采样与有限阶 EM 控制别名与端点，保持“极点 = 主尺度”。
↔ S10（Amoeba 几何与增长）：支持函数上包与 Ronkin 凸性为窗方向与条带选择给出增长与稳定度量；与信息势几何对齐。
↔ S11（迹公式接口）：选用与显式/迹公式一致的核/窗（ $C, B^{\pm}$ ）可将谱—几何两端与 Hilbert 侧 RKHS/BN 框架统一到同一变分视角。
↔ S12（AFE/放大器）： $M_{a} [K]$ 与软窗 AFE 的核一致；谱形式 $G^{- 1} c$ 与广义本征放大互补，支持“谱—Hilbert”双轨实现。

11. 结语

本文在带权 Mellin–Hilbert 空间中把中心对称实现为酉镜像算子 $J$ ，以自反核 $K$ 构造 RKHS 并获得完成函数的内积评估且保持镜像；在与显式/迹公式一致的窗—字典下，最小能量 BN 投影的 Hilbert 极小化与软最大势的 Fenchel 对偶等价，从而把投影误差识别为KL/Bregman 信息代价。在有限阶 EM 与方向亚纯化约束下，“极点 = 主尺度“始终成立。该 Hilbert 界面为零密度（S15）、软窗矩与共振器极值（S16）、多方向层析（S17）等提供统一而可检的基础。

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