S13. 大值与 Ω-下界：共振器谱半径、软窗 AFE 与非渐近存在性

完成函数模板下的大值法（resonance method）与可检下界

作者：Auric 日期：2025-10-21

摘要（定性）

在完成函数与母映射的统一语法下，本文将软窗近似功能方程（AFE）、共振器/放大器的谱变分与Pretentious 距离组织为一套非渐近、可检的大值存在性与 Ω-下界框架。核心机制：对任一固定窗权，窗口二次型的谱半径给出窗内点态大值的阈值；Pretentious 区与非 Pretentious 区分别以“相干链路/非相干链路“提供稳定下界；误差统一由**Nyquist–Poisson–有限阶 Euler–Maclaurin（EM）**三分解精确记账，并与“极点 = 主尺度““方向增长 = 支持函数上包“保持一致。

0. 记号与前置

0.1 完成函数与功能方程

设

$$\Lambda (s)=Q^{\frac{s}{2}}r(s)L(s),\Lambda (s)=\epsilon \Lambda (a-s),|\epsilon |=1,$$

其中 $r(s)$ 由有限个 $\Gamma$-因子与 $\pi$ 的幂配平，使中心轴为 $\Re s=\frac{a}{2}$。垂线增长由 $r$ 的 Stirling 展开配平。工作竖条记 $\sigma =\Re s\ge {\sigma }_0>0$。

0.2 窗口化平均、Gram 核与半正性

取 $w\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$，$w\ge 0$，并假定

$$0<{\int }_{\mathbb{R}}w(t)dt<\infty .$$

定义

$${\mathbb{E}}_w[F]:=\frac{1}{{\int }_{\mathbb{R}}w}{\int }_{\mathbb{R}}F(\sigma +it)w(t)dt,|f{|}_w:=({\mathbb{E}}_w[|f{|}^2]{)}^{1/2}.$$

对任意有限支撑系数列 $r=(r_n)$ 与 Dirichlet 多项式 $\mathcal{R}(s)={\sum }_{n\le Y}{r}_n{n}^{-s}$，有

$$|\mathcal{R}{|}_w^2=\frac{1}{{\int }_{\mathbb{R}}w}\sum _{m,n\le Y}\frac{r_m\overline{r_n}}{(mn{)}^{\sigma }}\hat{w}(\log (n/m))=:⟨r,Gr⟩,$$

其中 $\hat{w}(\xi ):={\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-it\xi }w(t)dt$，

$$G_{mn}:=\frac{(mn{)}^{-\sigma }}{{\int }_{\mathbb{R}}w}\hat{w}(\log (n/m)).$$

由构造 $⟨r,Gr⟩={\mathbb{E}}_w[|\mathcal{R}{|}^2]\ge 0$，故 $G$ 半正定。选窗 $w$ 使 $(G_{mn}{)}_{m,n\le Y}$ 可逆；若退化，则在等价范数中添加微正则化

$$⟨r,Gr⟩⇝⟨r,Gr⟩+\eta \sum _{n\le Y}\frac{|r_n{|}^2}{n^{2\sigma }}(\eta >0),$$

所有结论对 $\eta \to 0$ 连续。全程在 $\eta \downarrow 0$ 的极限下解读广义本征对与 Paley–Zygmund，以排除“取极向量 vs. 去正则”的次序歧义。

0.3 软窗 AFE（双窗型）

取偶窗 $h$。记 $H$ 为 $h$ 的 Mellin 变换（或在合适归一下的 Fourier 变换）。存在与 $(h,r,Q)$ 相容的光滑核 $V_{\pm }(x;s)$，使

$$\Lambda (s)=\sum _{n\ge 1}\frac{a_n}{n^s}{V}_{+}(\frac{n}{Q^{1/2}};s)+\epsilon \sum _{n\ge 1}\frac{a_n^{\ast }}{n^{a-s}}{V}_{-}(\frac{n}{Q^{1/2}};s)+R(s;h),$$

算术侧：$(a_n^{\ast })$ 为对偶 $L^{\ast }$ 的 Dirichlet 系数；自对偶时依标准归一有 $a_n^{\ast }=\overline{a_n}$。一般情形下 $\overline{L}$ 的交叉项涉及 $\overline{a_n^{\ast }}$，非 $a_n^{\ast }$，相应出现在 $K_{mn}$ 的 $+-$ 与 $-+$ 行。本文所有换序与端点处理一律采用有限阶 EM；余项全纯/整，极点仅由主尺度项产生。

余项 $R(s;h)$ 的整性：若变换 $H\in {\mathrm{PW}}_B$（Paley–Wiener 类，即带限）且 $V_{\pm }$ 由 Mellin–Barnes 表达并在以 $r(s)$ 配平 $\Gamma$-增长后不再引入新的 $s$-方向指数增长，则 $R(\cdot ;h)$ 为指数型（$\le B$）的整函数；若 $h\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$（快衰窗），则仅保证 $R$ 全纯且在竖条上次指数增长。

0.4 共振器二次型、广义本征问题与自伴性

置

$$Z(s):=L(s)\mathcal{R}(s),|Z{|}_w^2=⟨r,\mathsf{K}r⟩,$$

其中 $\mathsf{K}$ 为由 AFE 与 $w$ 诱导的有限维核算子。令

$$⟨u,\mathsf{K}v⟩:={\mathbb{E}}_w[(L{\mathcal{R}}_u)\overline{(L{\mathcal{R}}_v)}].$$

因 $w$ 取实且 $h$ 取偶并可取实，$V_{\pm }(\sigma +it)$ 满足 $\overline{V_{\pm }(\sigma +it)}=V_{\pm }(\sigma -it)$，据此

$$⟨u,\mathsf{K}v⟩=\overline{⟨v,\mathsf{K}u⟩},$$

故 $\mathsf{K}$ 在此二次型下自伴且半正。定义谱半径

$${\lambda }_{\max }:=\underset{r\ne 0}{\sup }\frac{⟨r,\mathsf{K}r⟩}{⟨r,Gr⟩}.$$

由有限维谱定理，存在单位 $G$-范数本征向量 $r^{\star }$ 使

$$\mathsf{K}{r}^{\star }={\lambda }_{\max }G{r}^{\star },⟨r^{\star },G{r}^{\star }⟩=1.$$

0.5 Pretentious 距离、适用域与幅度基线

对 $|f(n)|\le 1$ 的乘法函数，定义

$${\mathbb{D}}_{\sigma ,X}(f;t{)}^2:=\sum _{p\le X}\frac{1-\Re (f(p)p^{-it})}{p^{\sigma }}.$$

适用域：本文中与 Pretentious 距离相关的结论适用于 GL(1)（如 Dirichlet $L$）或经归一使 Dirichlet 系数满足 $|f(n)|\le 1$ 的情形；高阶族不可直接移用 ${\mathbb{D}}_{\sigma ,X}$，需改用（谱）大筛替代版本。特别提醒：高阶族请勿直接移用本节 Pretentious 公式，必须改用谱化大筛版本。 定义幅度基线

$$A_{\sigma }(X):=(\sum _{n\le X}{n}^{-2\sigma }{)}^{1/2}.$$

1. 谱半径 $\Rightarrow$ 点态大值

定理 1.1（RMS–sup 与 Paley–Zygmund 的谱阈值）

对广义本征对 $(\mathsf{K},G)$ 的最大本征向量 $r^{\star }$，记 ${\mathcal{R}}^{\star }(s)={\sum }_{n\le Y}{r}_n^{\star }{n}^{-s}$。则

$$\underset{t\in \mathrm{supp}(w)}{\sup }|L(\sigma +it){\mathcal{R}}^{\star }(\sigma +it)|\ge \sqrt{{\lambda }_{\max }}.$$

进一步，若存在显式常数 $M_4(w,h;Y)$ 满足

$$|L\mathcal{R}{|}_{w,4}^4\le M_4(w,h;Y)(|L\mathcal{R}{|}_w^2{)}^2(\text{对所有 }\mathcal{R}),$$

则存在 $t_0\in \mathrm{supp}(w)$ 使

$$|L(\sigma +i{t}_0){\mathcal{R}}^{\star }(\sigma +i{t}_0)|\ge (1-\theta )\sqrt{{\lambda }_{\max }}.$$

为书写简洁，记

$$d{\mu }_w(t):=\frac{w(t)dt}{{\int }_{\mathbb{R}}w},{\mathbb{P}}_w(\cdot )\text{为由 }d{\mu }_w\text{ 诱导的概率测度}.$$

证明。一方面，

$$|L{\mathcal{R}}^{\star }{|}_w^2=⟨r^{\star },\mathsf{K}{r}^{\star }⟩={\lambda }_{\max }⟨r^{\star },G{r}^{\star }⟩={\lambda }_{\max }.$$

由二次均值（RMS）不超过上确界（$|Z{|}_w=({\mathbb{E}}_w[|Z{|}^2]{)}^{1/2}\le |Z{|}_{L^{\infty }(\mathrm{supp}w)}$）得第一不等式。另一方面取 $X:=|Z{|}^2\ge 0$，令 $\alpha \in (0,1)$，Paley–Zygmund 给出

$${\mathbb{P}}_w(|Z|\ge \alpha |Z{|}_w)\ge \frac{(1-{\alpha }^2{)}^2}{M_4(w,h;Y)}.$$

取阈值 $\alpha =1-\theta$ 时，

$${\mathbb{P}}_w(|Z|\ge (1-\theta )|Z{|}_w)\ge \frac{(2\theta -{\theta }^2{)}^2}{M_4(w,h;Y)}.$$

□

推论 1.2（转化为 $|L|$ 的下界）

若在 $\mathrm{supp}(w)$ 上 $|{\mathcal{R}}^{\star }(\sigma +it)|\le B$，其中可用 Cauchy–Schwarz 给出

$$\underset{t\in \mathrm{supp}(w)}{\sup }|\mathcal{R}(\sigma +it)|\le (\sum _{n\le Y}|r_n{|}^2{)}^{1/2}(\sum _{n\le Y}{n}^{-2\sigma }{)}^{1/2},$$

则

$$\underset{t\in \mathrm{supp}(w)}{\sup }|L(\sigma +it)|\ge B^{-1}\sqrt{{\lambda }_{\max }}.$$

说明：该界与广义本征归一 $⟨r,Gr⟩=1$ 无冲突（缩放不改变 Rayleigh 商），只需报告实际解得的 $B$ 或采用 ${\ell }^2$ 归一的保守界。若将 $B$ 规模化为 1，则需在优化问题中显式约束 $|\mathcal{R}{|}_{L^{\infty }(\mathrm{supp}w)}\le 1$（见 §8.A）。

2. AFE-诱导核与四次能量

引理 2.1（$\mathsf{K}$ 的显式表达）

记 $\rho :=m/n$、$x=\frac{k}{Q^{1/2}},y=\frac{\ell }{Q^{1/2}}$。在 §0.3 的 AFE 下，

$$|L\mathcal{R}{|}_w^2=\frac{1}{{\int }_{\mathbb{R}}w}\sum _{m,n\le Y}\frac{r_m\overline{r_n}}{(mn{)}^{\sigma }}{K}_{mn}+\text{整层校正},$$

其中

$$\begin{array}{rl}{K}_{mn}& =\sum _{k,\ell \ge 1}\frac{a_k\overline{a_{\ell }}}{(k\ell {)}^{\sigma }}{B}_{++}(x,y,\rho ;\sigma )\\ & +\sum _{k,\ell \ge 1}\frac{a_k\overline{a_{\ell }^{\ast }}}{k^{\sigma }{\ell }^{a-\sigma }}{B}_{+-}(x,y,\rho ;\sigma )\\ & +\sum _{k,\ell \ge 1}\frac{a_k^{\ast }\overline{a_{\ell }}}{k^{a-\sigma }{\ell }^{\sigma }}{B}_{-+}(x,y,\rho ;\sigma )\\ & +\sum _{k,\ell \ge 1}\frac{a_k^{\ast }\overline{a_{\ell }^{\ast }}}{(k\ell {)}^{a-\sigma }}{B}_{--}(x,y,\rho ;\sigma ),\end{array}$$

其中

$$B_{\circ {\circ }^{\prime }}(x,y,\rho ;\sigma )={\int }_{\mathbb{R}}{V}_{\circ }(x;\sigma +it)\overline{V_{{\circ }^{\prime }}(y;\sigma +it)}{\rho }^{it}w(t)dt,\circ ,{\circ }^{\prime }\in \{+,-\}.$$

备注：自对偶（$a_n^{\ast }=\overline{a_n}$）时，第二与第三行可合并为 $2\Re [\sum a_k\overline{a_{\ell }}\cdots B_{+-}]$ 的等价写法，但为保持一般性与自伴性，建议保留四项显式展开。按上式四项展开，$K_{nm}=\overline{K_{mn}}$。

“整层校正“由 AFE 余项与有限阶 EM 端点项诱导，给出一个有界的自伴扰动矩阵 $\Delta$。故

$$|{\lambda }_{\max }(\mathsf{K}+\Delta )-{\lambda }_{\max }(\mathsf{K})|\le \Vert \Delta {\Vert }_{\mathrm{op}},$$

且 $\Vert \Delta {\Vert }_{\mathrm{op}}$ 可由 §2.2 的四次能量常数与 §6 的“别名 + 伯努利层 + 窗尾“三项显式上界。

说明：此处补全 $|L{|}^2$ 展开后对 $(k,\ell )$ 的双重和与 $+$/$-$ 交叉项（含正确的共轭结构），使 $⟨r,\mathsf{K}r⟩={\mathbb{E}}_w[|L\mathcal{R}{|}^2]$ 成立。□

引理 2.2（四次能量的可检上界）

存在有限常数

$$M_4=M_4(\sigma ,w,h;Y,|\Xi {|}_{L^{\infty }(\mathrm{supp}w)})$$

（或以 §7 的方向增长上包取代 $|\Xi {|}_{L^{\infty }}$）使

$$|L\mathcal{R}{|}_{w,4}^4\le M_4(|L\mathcal{R}{|}_w^2{)}^2.$$

当 $h$ 带限并按 Nyquist 采样时，可经采样离散化为有限矩阵范数问题，继而以 Schur/Hilbert–Schmidt 界结合“别名=0 + 伯努利层 + 窗尾”三项给出构造性的有限上界（见 §6）。□

3. Pretentious 相干链路（GL(1) 适用）

定理 3.1（Pretentious 小距离 $\Rightarrow$ 窗口大值）

本节仅适用于 GL(1)。以下结论在取共振器长度 $Y\asymp X$（或至少 $Y\ge X$）的约定下成立，统一以 $A_{\sigma }(\min \{X,Y\})$ 计。取 $\sigma >1$。若存在 $X\ge 2$ 与配准 $({\chi }^{\star },{\tau }^{\star })$ 使 ${\mathbb{D}}_{\sigma ,X}(f;{\tau }^{\star })\le D_0$，且 $w$ 在 $|t-{\tau }^{\star }|\le T$ 平滑，则对谱最优 ${\mathcal{R}}^{\star }$ 有

$$\underset{|t-{\tau }^{\star }|\le T}{\sup }|L(\sigma +it){\mathcal{R}}^{\star }(\sigma +it)|{\gg }_{\sigma }{A}_{\sigma }(\min \{X,Y\})e^{-C_{\sigma }{D}_0^2}.$$

证明略（相干近似嵌入 AFE 主和，配合谱优化与定理 1.1）。

4. 非相干链路的 Ω-下界（Rayleigh 测试向量法）

定义（AFE 主系数向量）：取

$$c_n(\sigma ;h):=\overline{a_n}{V}_{+}(\frac{n}{Q^{1/2}};\sigma ),n\ge 1.$$

（直观：以 AFE 主和的“形状“作同相测试向量。）

定理 4.1（非相干 $\Rightarrow$ Ω-下界）

以下结论在取共振器长度 $Y\asymp X$（或至少 $Y\ge X$）的约定下成立。设 ${\inf }_{|t|\le T}{\mathbb{D}}_{\sigma ,X}(f;t)\ge D>0$ 并满足 §0 的窗/AFE/EM 条件。令 $c=(c_n(\sigma ;h))$ 为按上式定义的 AFE 主系数向量。则存在常数 $\kappa =\kappa (\sigma ,w,h)>0$ 使

$${\lambda }_{\max }\ge \frac{⟨c,\mathsf{K}c⟩}{⟨c,Gc⟩}\ge \kappa e^{-2C_{\sigma }^{\prime }{D}^2},$$

从而（若 $|{\mathcal{R}}^{\star }|\le B$）

$$\boxed{\underset{t\in \mathrm{supp}(w)}{\sup }|L(\sigma +it)|{\gg }_{\sigma }{B}^{-1}{e}^{-C_{\sigma }^{\prime }{D}^2}}.$$

5. 中心轴与完成函数

令

$$\Xi (s):=r(s)L(s)=Q^{-s/2}\Lambda (s).$$

定理 5.1（中心轴的共振下界）

在 $\Re s=\frac{a}{2}$ 上取使 AFE 对称的偶窗 $h$。则对 ${\mathcal{R}}^{\star }$ 有

$$\underset{t\in \mathrm{supp}(w)}{\sup }|\Xi (\frac{a}{2}+it)|\gg \sqrt{{\lambda }_{\max }\left(\frac{a}{2}\right)}.$$

带限窗时，${\lambda }_{\max }$ 的误差主要由 §6 的三分解给出显式上界；此外仍受 §2 的四次能量常数与 §7 的方向上包常数控制。此处误差指数值离散与 EM 端点；与 $L$ 解析增长相关的常数由 §2 的 $M_4$ 与 §7 的方向上包控制。

6. 非渐近误差预算：Nyquist–Poisson–EM 三分解

令 $g_{\rho }(t)$ 为窗口化 integrand，具体形式为

$$g_{\rho }(t):=|L(\sigma +it){|}^2{\rho }^{it}\text{或}{g}_{\rho }(t):=|L(\sigma +it)\mathcal{R}(\sigma +it){|}^2{\rho }^{it}$$

（分别用于计算 $K_{mn}$ 或含 $\mathcal{R}$ 的能量）。取步长 $\Delta$、EM 阶 $M$、截断 $T$。则

$$\boxed{\text{阈值误差}\le \underset{\text{别名}}{\underbrace{\sum _{m\ne 0}|\hat{g}(2\pi m/\Delta )|}}+\underset{\text{伯努利层}}{\underbrace{\sum _{k=1}^{M-1}{C}_k{\Delta }^{2k}\underset{j\le 2k-1}{\max }|g^{(j)}{|}_{\infty }}}+\underset{\text{窗尾}}{\underbrace{{\int }_{|t|>T}|g(t)|dt}}}.$$

带宽规则：当 $h,w$ 均带限时，$g_{\rho }$ 的带宽由两者带宽的卷积上界给出。当 $\Delta$ 满足 Nyquist 条件（步长 $\le$ 带宽倒数）时，别名项严格为 0；否则按上式给出显式上界。完成函数的垂线配平与 S10 的支持函数上包共同给出窗尾指数衰减。常数 $C_k$ 与 $|g^{(j)}{|}_{\infty }$ 可由 $h,w$ 的带宽与伯努利数显式给出。

7. 极点—增长兼容性

方向上包的可检定义：存在凸函数 $H:\mathbb{R}\to [0,\infty )$（称为方向上包），使得对固定 $\sigma$ 与所有 $t$，有

$$|\Xi (\sigma +it)|\le C(\sigma )\exp (H(t)).$$

当 $h,w$ 带限且数值积分满足 Nyquist 条件时，上包 $H$ 与带宽常数给出 $|L\mathcal{R}{|}_{w,4}$ 的有限性与 §6 “窗尾“的指数衰减常数。

命题 7.1（“极点 = 主尺度”“方向增长 = 支持函数上包“保持）

AFE 双窗、mollifier/共振器插入与有限阶 EM 校正仅改变整/全纯层，不引入新极点且不提高任何已存在极点的阶；方向增长指标仍受支持函数上包控制。因此大值法与极点定位/增长几何完全一致。

8. 例示模板

A. Dirichlet $L(\chi ,s)$，$\sigma >1$ 取 $w$ 为平滑区间窗，$X=T^{\vartheta }$，$Y\asymp X$。按谱问题得 ${\mathcal{R}}^{\star }$；若 $|{\mathcal{R}}^{\star }|\le B$，则

$$\underset{|t-\tau |\le T}{\sup }|L(\sigma +it)|{\gg }_{\sigma }{B}^{-1}{A}_{\sigma }(\min \{X,Y\})e^{-C_{\sigma }{\mathbb{D}}_{\sigma ,X}(\chi ;\tau {)}^2}.$$

可通过 ${\ell }^2$ 归一配合 Cauchy–Schwarz 控制 $B\ll ({\sum }_{n\le Y}{n}^{-2\sigma }{)}^{1/2}$。若要把 ${\mathcal{R}}^{\star }$ 规模化至 $B=1$，需在谱问题中加入

$$|\mathcal{R}{|}_{L^{\infty }(\mathrm{supp}w)}\le 1$$

的非线性（凸）约束；为保持广义本征问题的线性结构，本文默认采用 ${\ell }^2$ 归一配合 Cauchy–Schwarz 的保守上界控制 $B$（或仅在事后报告由解得的 $B$ 值）。提醒：${\ell }^2$ 控制的 $B$ 一般偏保守，数值阈值因此可能下降，但理论不等式仍成立。

B. 椭圆曲线 $L(E,s)$ 的中心轴 在 $\Re s=1$ 上取带限窗并考虑 ${\Xi }_E(s)$。则

$$\underset{t\in \mathrm{supp}(w)}{\sup }|{\Xi }_E(1+it)|\gg \sqrt{{\lambda }_{\max }},$$

误差由 §6 三项显式上界控制。

9. 失效族与边界机制

1. EM 无穷层：将 EM 误作无穷级会引入伪极点与阈值扭曲；应固定有限阶，余项整函数吸收。
2. 别名污染：步长与带宽不匹配致 $\hat{g}$ 采样重叠；用带限窗并满足 Nyquist 条件消除。
3. 方向退化：若主项同速同向，核能量集中导致退化；可更换方向或采用多方向联合。
4. Pretentious 极端平台：高相干使四次能量常数恶化；提高正则、拓宽窗或避免完全对齐。

10. 可检清单（最小充分条件）

1. 接口/条带：给出 $(Q,a,r)$ 并验证完成函数模板；竖条内一律用有限阶 EM。
2. AFE：选偶窗 $h$（带限或指数衰减），构造 $V_{\pm }$ 并记录 $R(s;h)$ 的整/指数型整性质。
3. 谱解：建立 $G,\mathsf{K}$，解 $\mathsf{K}r=\lambda Gr$；校核 $|{\mathcal{R}}^{\star }|$ 的点态上界（或采用上段 $L^{\infty }$ 非线性约束的替代方案）。
4. 四次能量：用引理 2.2 或“二/四次能量比 + Paley–Zygmund“校核 $M_4(w,h;Y)$。
5. Pretentious 评估：计算 ${\mathbb{D}}_{\sigma ,X}$ 并在相干/非相干两端分别调用 §3/§4 的结论（GL(1) 适用）。
6. 误差预算：按 §6 逐项给出“别名 + 伯努利层 + 窗尾“的数值上界，并在带限/Nyquist 条件下声明“别名=0“。
7. 极点/增长一致：确认“极点 = 主尺度““方向增长 = 支持函数上包“未被改变。
8. 可逆性/正则化：确保 $(G_{mn}{)}_{m,n\le Y}$ 可逆；必要时采用 $\eta$-正则并令 $\eta \to 0$。
9. 长度匹配：明确共振器长度 $Y$ 与分析长度 $X$ 的匹配（$Y\asymp X$ 或 $Y\ge X$；若 $Y<X$ 则以 $\min \{X,Y\}$ 计）。

11. 公开判据与工具（引用）

• Rayleigh–Ritz 与有限维谱定理：最大 Rayleigh 商由本征向量取得（广义本征对 $(\mathsf{K},G)$ 同理）。
• Paley–Zygmund 不等式：对非负随机变量 $X$，$\mathbb{P}(X\ge \theta \mathbb{E}[X])\ge (1-\theta {)}^2\mathbb{E}[X{]}^2/\mathbb{E}[X^2]$。 （本文取 $X=|Z{|}^2\ge 0$，且四次能量界保证 $\mathbb{E}[X^2]<\infty$。）
• Schur 检验：以核的行/列可和性界定 Hilbert–Schmidt/算子范数。
• Nyquist–Shannon 带限采样：带限窗下别名项全消。
• 有限阶 Euler–Maclaurin：端点校正仅贡献整层/全纯层，极点来源保持主尺度。

12. 与既有篇章的接口

• ↔ S2（零集几何）：选择方向/尺度带与窗形时，幅度平衡超平面提供局部化骨架；在中心轴场景与二项闭合模板一致。
• ↔ S3（完成函数）：$\Gamma /\pi$ 正规化与中心轴 $a$ 的对称用于垂线配平；本篇的阈值与 AFE 依赖于完成函数模板的合法域。
• ↔ S4（有限阶 EM）：“极点 = 主尺度”的保持与误差学的端点层全由有限阶 EM 保障；谱核/矩阵中的“整层校正”来自 EM 端点。
• ↔ S5（方向亚纯化）：方向极点位置与阶用于评估窗尾与方向增长，指导步长与带宽的选择。
• ↔ S6（信息刻度）：$\Lambda$ 的方差律与对偶为窗宽选择与“典型规模”度量提供信息—几何依据；$A_{\sigma }(X)$ 与 S6 的刻度一致化。
• ↔ S7（$L$-函数接口）：degree/conductor/完成函数的参数化为窗与尺度变量提供统一记账；与显式公式一侧的核选择相容。
• ↔ S8（Nyquist–Poisson–EM 三分解）：别名/伯努利层/窗尾三项给出非渐近误差常数；带限窗 + Nyquist 消除别名。
• ↔ S9（Pretentious 距离）：相干/非相干链路分别以 ${\mathbb{D}}_{\sigma ,X}$ 控制大值窗口与 Ω-下界；GL(1) 之外需改用谱化大筛。
• ↔ S10（Amoeba 几何与增长）：支持函数上包控制方向增长；Ronkin 凸性与主导子和区解释“阈值=谱半径”的几何稳定性。
• ↔ S11（迹公式接口）：选用与显式/迹公式同族的窗核（$\mathcal{C},{\mathcal{B}}^{\pm }$）可将谱侧放大与几何侧局部化统一到同一变分框架。
• ↔ S12（AFE/放大器）：本篇的大值与 Ω-下界完全构建在软窗 AFE 与广义本征放大之上；误差预算与 S12 的三分解一致。

结语

本文以谱半径—RMS–sup—Paley–Zygmund为外壳、以软窗 AFE为内核，并辅以Pretentious 距离与Nyquist–Poisson–EM误差学，建立了在固定窗下非渐近、可检的大值存在性与 Ω-下界：${\lambda }_{\max }$ 即为窗内点态大值的能量阈值；相干—非相干两端分别提供稳定窗口与指数折扣的普适下界；全程保持“极点 = 主尺度“与方向增长几何的一致性。长度参数 $Y$ 与 $X$ 的匹配、核的自伴性来源及整层扰动的可控性均在统一框架内明确，便于直接落地到 GL(1) 族与中心轴场景，并为更高阶族的谱化推广提供清晰接口。