S12. 近似功能方程、mollifier 与共振法

完成函数模板下的变分—误差一体化与可检实现

作者：Auric 日期：2025-10-20

摘要

在完成函数与母映射的统一语法下，构造以“软窗“权重为核心的近似功能方程（AFE），并以信息势—凸对偶为准则设计 mollifier 与共振器（resonator）的谱最优模板。全流程以有限阶 Euler–Maclaurin（EM）为纪律，实现非渐近、可检的误差预算，并在 pretentious 与非 pretentious 区分治给出阈值机制。几何（支持函数与零集局部化）、信息（$\mathcal{L}$–${\mathcal{L}}^{\ast }$ 对偶）与谱（迹公式核与放大）三侧严格对齐，且始终保持“极点 = 主尺度“的结构不变性。

0. 记号与前置（与 S2–S11 对齐）

1. 完成函数与功能方程. 设

$$\Lambda (s)=Q^{s/2}r(s)L(s),\Lambda (s)=\epsilon {\Lambda }^{\ast }(a-s),|\epsilon |=1,$$

其中 $Q>0$ 为 conductor 记账，$r(s)$ 由 $\Gamma /\pi$ 因子组成，并与 $Q^{s/2}$ 配平使完成功能方程 $\Lambda (s)=\epsilon {\Lambda }^{\ast }(a-s)$ 成立；对偶完成函数写作 $${\Lambda }^{\ast }(s)=Q^{s/2}{r}^{\ast }(s)L^{\ast }(s).$$ $\Re s=\frac{a}{2}$ 为中心轴。对偶对象 $L^{\ast }$ 的 Dirichlet 系数记为 $a_n^{\ast }$；在自对偶/实系数情形 $a_n^{\ast }=a_n$。本文默认工作于 $r$ 与 $r^{\ast }$ 的极点之外的开子域（以及 $a-s$ 的对应子域）。

2. 母映射与信息刻度. 离散谱写作 ${\sum }_j{c}_j{e}^{i⟨{\alpha }_j,\theta ⟩}{e}^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩}$。信息势

$$\mathcal{L}(\rho )=\log \sum _j|c_j|e^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩},$$

其梯度—Hessian 给出“有效质心—方差“度量与自然度量；${\mathcal{L}}^{\ast }$ 表示其 Fenchel 对偶（S6）。

3. 有限阶 EM 与结构不变性. 一切“和—积—积分—移线“均在有限阶 EM 纪律下操作；伯努利层与余项对 $u$ 整（带限窗时），对 $s$ 在工作域 $D$（去掉 $r$ 与 $r^{\ast }$ 的极点及其在 $a-s$ 下的对应点的开集）上全纯，极点仅来自主尺度项（S4）。

4. 非渐近误差三分解. 数值窗/截断/采样误差按**别名（Poisson）+ 伯努利层（有限阶 EM）+ 窗尾（截断）**三分解（S8）。

5. Pretentious 与几乎周期. Pretentious 距离控制截断指数和的非渐近上界与大值窗口（S9）。

6. 几何—增长与迹公式. 方向增长由支持函数上界与 Ronkin 凸性控制（S10）；Selberg/Kuznetsov 迹公式侧的试验核与本文窗函数同属一范畴（S11）。

7. 零集局部几何. 二项闭合与横截给出零集余维 $2$ 与尺度局部化（S2）。

1. 软窗型近似功能方程（AFE）

令 $h:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ 为偶窗，$\hat{h}$ 或带限，或具指数衰减。为进行移线与 Poisson/EM 操作，设 $h$ 在实轴上具有一条包含积分路径的开竖条上的解析延拓 $H$（当 $\hat{h}$ 带限时由 Paley–Wiener 可知 $H$ 为整函数）。下文一律以 $H$ 记其解析延拓；并在实轴上约定 $H{|}_{\mathbb{R}}\equiv h$（即对一切 $t\in \mathbb{R}$，$H(t)=h(t)$），且取 $H$ 为偶的解析延拓并归一化 $H(0)=1$。记

$${\mathcal{H}}_s(u):=H(u)\frac{r(s+u)}{r(s)},{\mathcal{H}}_{a-s}^{\ast }(u):=H(u)\frac{r^{\ast }(a-s+u)}{r^{\ast }(a-s)}.$$

定义

$$V_{+}(x;s):=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{(\sigma )}\frac{H(u)}{u}\frac{r(s+u)}{r(s)}{x}^{-u}du,V_{-}(x;s):=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{(\sigma )}\frac{H(u)}{u}\frac{r^{\ast }(a-s+u)}{r^{\ast }(a-s)}{x}^{-u}du,$$

其中 $\Re u=\sigma$ 取在工作竖条内。

定理 12.1（AFE：完成函数模板 + 有限阶 EM）

若 $\Lambda$ 满足功能方程与垂线增长控制，且 $h,r$ 满足 S4 与 S7 的换序/移线可检条件，则对一切满足 $$\boxed{r(s)\ne 0,r^{\ast }(a-s)\ne 0\text{且在所用移线竖条内 r(⋅) 与 r∗(a−⋅) 无零/极点}}$$ 的 $s$ 有

$$\boxed{\Lambda (s)=\sum _{n\ge 1}\frac{a_n}{n^s}{V}_{+}(\frac{n}{Q^{1/2}};s)+\epsilon \sum _{n\ge 1}\frac{a_n^{\ast }}{n^{a-s}}{V}_{-}(\frac{n}{Q^{1/2}};s)+R(s;h).}$$

其中 $R(\cdot ;h)$ 在 $D$ 上全纯；若 $\hat{h}$ 带限，则 $R$ 在垂线方向具有由带宽控制的指数型增长上界（对紧致竖条一致）。当 $L$ 含极点（例如 $s=1$）时，其极点及其阶完全由 $u=0$ 留数对应的主尺度项给出；$R(s;h)$ 仅由移线与有限阶 EM 产生的全纯/整层组成，不引入新的极点。

证明要点. 对 $\Lambda (s+u)$ 插入 $H(u)/u$ 的 Mellin 核并移线至 $\Re u=\pm \eta$；跨越 $u=0$ 处的留数（因 $H(0)=1$ 且核含 $1/u$）产生主尺度项；功能方程将“上半窗“转化为“下半窗“，得到双窗结构。欧拉积与和—积—积分互换在 S7 的合法域与 S4 的有限阶 EM 纪律下成立；伯努利层与余项全纯/整，归入 $R$。

2. mollifier 的变分设计与能量准则

取长度 $X$，考虑 Dirichlet 多项式

$$M(s)=\sum _{n\le X}\frac{b_n}{n^s}.$$

沿直线 $\Re s=\sigma$ 定义加权内积（Fourier 规范固定为 $\hat{w}(\xi ):={\int }_{\mathbb{R}}w(t)e^{-i\xi t}dt$，不含 $2\pi$）

$$⟨f,g{⟩}_w:={\int }_{\mathbb{R}}f(\sigma +it)\overline{g(\sigma +it)}w(t)dt,$$

其中权函数取 $$w\in L^1(\mathbb{R}),w(t)\ge 0\text{a.e.},w:\mathbb{R}\to \mathbb{R},{\int }_{\mathbb{R}}w(t)dt\in (0,\infty ).$$ 其 Gram 矩阵

$$G_{mn}:=⟨n^{-s},m^{-s}{⟩}_w=(nm{)}^{-\sigma }\hat{w}(\log (n/m)).$$

在上述假设下，$G=[G_{mn}]$ 半正定。为确保可逆，增加可检假设

$$\boxed{|\hat{w}(\xi )|\ge c_w>0\text{于 }|\xi |\le \log X}\text{（或至少 w(log(n/m))=0 对所有 1≤m,n≤X）},$$

据此 $G$ 正定且可逆。能量预算采用同一 $L^2(w)$ 范数：

$$⟨b,Gb⟩\le 1.$$

（此处 $G$ 由 $\hat{w}$ 给定，尺度由 $\int w$ 统一，见“期望与内积的归一化”。）

定理 12.2（最优 mollifier 的谱准则）

在预算 $⟨b,Gb⟩\le 1$ 且 $G$ 正定（由上文 $\hat{w}$ 的下界假设保证）下，

$$\underset{b}{\max }\Re \sum _{n\le X}{b}_n\overline{c_n}=\sqrt{⟨c,G^{-1}c⟩},b^{\star }=\frac{G^{-1}c}{\sqrt{⟨c,G^{-1}c⟩}},$$

其中 $c=(c_n(s;h){)}_{n\le X}$ 来自 AFE 双窗与局部因子。

证明要点. Riesz 表示与 Cauchy–Schwarz 取等；正定性由 $w$ 与窗化内积保证。

信息—变分对应. 在 S6 的条件（记作 (F6.*)：Fenchel–Legendre 对偶成立、度量由 $\mathcal{L}$ 的 Hessian 诱导等）下，“最小能量—单位响应“的二次极小与“最小 KL—定向质心“的熵极小存在由对偶诱导的对应，并在该度量的二阶近似意义下等价。

非 pretentious 区的能量上界. 当 pretentious 距离有下界且满足频率分离与平滑窗约束时，二次平均的改良至多带来常数级增益；典型规模由 $A_{\sigma }(X)$ 控制，阈值折扣呈 $\exp \{-c{\mathbb{D}}^2\}$。为便于引用，本文取 $$\boxed{A_{\sigma }(X):=\sqrt{⟨c,G^{-1}c⟩}},c=(c_n(s;h){)}_{n\le X}\text{来自定理 12.1 的双窗系数}.$$

3. 共振器与放大器（amplifier）的谱—几何模板

令

$$\mathcal{R}(s)=\sum _{n\le Y}\frac{r_n}{n^s},\mathcal{Q}[r]:={\mathbb{E}}_w\left[|L(s)\mathcal{R}(s){|}^2\right]=⟨r,\mathsf{K}r⟩,$$

其中核 $\mathsf{K}$ 由 AFE 双窗与系数自相关决定；在 Selberg/Kuznetsov 接口下，$\mathsf{K}$ 亦可包含 Bessel/余弦窗贡献（S11）。预算采用同一范数 $⟨r,Gr⟩\le 1$。

期望与内积的归一化. 令

$$\boxed{{\mathbb{E}}_w[F]:=\frac{1}{{\int }_{\mathbb{R}}w(t)dt}{\int }_{\mathbb{R}}F(\sigma +it)w(t)dt},$$

则 $⟨f,g{⟩}_w=(\int w)\cdot {\mathbb{E}}_w[f\overline{g}]$。由此固定 $\mathsf{K}$ 与 $G$ 的尺度，并使广义谱半径无歧义。

定理 12.5（最优共振器：广义本征问题）

设 $\mathsf{K}$ 关于 $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_w$ 为自伴随（等价地 $G^{-1}\mathsf{K}$ 为厄米）且半正定。在预算 $⟨r,Gr⟩\le 1$ 且 $G$ 正定（由上文 $\hat{w}$ 的下界假设保证）下，使 $\mathcal{Q}[r]$ 取极大的 $r^{\star }$ 满足

$$\boxed{\mathsf{K}{r}^{\star }={\lambda }_{\max }G{r}^{\star }},\mathcal{Q}[r^{\star }]={\lambda }_{\max }.$$

证明要点. 由厄米性可用广义 Rayleigh 商极大化；Rayleigh–Ritz 原理在正定约束下给出广义本征问题。当 $G=I$ 时退化为“$\mathsf{K}$ 的主特征向量“。

Pretentious 区的大值窗口与稳健性. 当 pretentious 距离在某尺度小且中心频率 $t\approx -{\tau }^{\star }$ 时，存在与谱间隙成比例的大值窗口使 $|L(s){\mathcal{R}}^{\star }(s)|$ 达到 $A_{\sigma }$ 级放大；稳健性由 $\mathsf{K}$ 的谱间隙与窗带宽联合控制。

迹公式侧的联合放大. 选同族核 $h$（或其 $\mathcal{K}h$）可把谱侧放大与几何侧局部化统一至同一变分框架，令“素数—零/谱—几何“的两端窗形一致（S11）。为防归一漂移，本文采用权 $0$、级别 $1$ 的标准归一： $$\boxed{({\mathcal{B}}^{-}h)(x)=\frac{4}{\pi }{\int }_0^{\infty }th(t)K_{2it}(x)dt},$$ 其余定义与 S11 的 ${\mathcal{B}}^{\pm }$、$\mathcal{C}$ 保持一致。

4. 非渐近误差预算与“极点 = 主尺度“

（Fourier 规范）本节沿用 §2 的傅里叶记号：$\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}f(t)e^{-i\xi t}dt$（不含 $2\pi$），据此 Nyquist 判据写作 $\Delta \le \pi /\Omega$。

为统一误差判据，本文在竖线积分中使用的“窗口化 integrand“ 定义为（令积分线 $\Re u=c$ 取在工作竖条内，避开 $r(\cdot )$、$r^{\ast }(a-\cdot )$ 的极点；此条件已在定理 12.1 中陈述） $$\boxed{g_{+}(t;s,x;c):=\frac{H(c+it)}{c+it}\frac{r(s+c+it)}{r(s)}{x}^{-c}{x}^{-it},g_{-}(t;s,x;c):=\frac{H(c+it)}{c+it}\frac{r^{\ast }(a-s+c+it)}{r^{\ast }(a-s)}{x}^{-c}{x}^{-it}}$$ 其中 $H$ 为 $h$ 的解析延拓，用作 Mellin 因子；在实轴上 $H(t)=h(t)$（$t\in \mathbb{R}$）。下文凡提及 $g$，一律指上述 $g_{\pm }$ 类型在 $t$ 变量下的 integrand；别名与 EM 估计均以其傅里叶变换 $\hat{g}$ 与 $t$-导数有界性为准。

定理 12.7（AFE + 放大器的三分解误差）

将“近似”具体取为：对 ${\int }_{\mathbb{R}}g(t)dt$ 采用等距步长 $\Delta$ 的梯形求积并截断于 $[-T,T]$，再加入**$M$ 阶 Euler–Maclaurin 端点校正**；记其结果为 ${\mathcal{A}}_{\Delta ,T,M}[g]$。假设 $g\in C^{2M}(\mathbb{R})$ 且导数满足给定的有界/衰减条件（例如 $g^{(j)}\in L^{\infty }$ 或按需要的有权 $L^1$ 可积，$0\le j\le 2M-1$）。对任意窗 $h$、采样步长 $\Delta$、截断 $T$ 与 EM 阶 $M$，AFE 展开与 $M,\mathcal{R}$ 的插入所致误差满足

$$|{\int }_{\mathbb{R}}g(t)dt-{\mathcal{A}}_{\Delta ,T,M}[g]|\le \underset{\text{别名}}{\underbrace{\sum _{m\ne 0}|\hat{g}(2\pi m/\Delta )|}}+\underset{\text{伯努利层}}{\underbrace{\sum _{k=1}^{M-1}{C}_k{\Delta }^{2k}\cdot \underset{0\le j\le 2k-1}{\max }|g^{(j)}{|}_{\infty }}}+\underset{\text{窗尾}}{\underbrace{{\int }_{|t|>T}|g(t)|dt}}.$$

若 $\mathrm{supp}\hat{g}\subset [-\Omega ,\Omega ]$ 且 $\Delta \le \pi /\Omega$，别名项消失。

（注）此处 $\hat{g}$ 为关于 $t$ 的傅里叶变换。即便 $\hat{h}$ 带限，因含有 $1/(c+it)$ 以及 $r(s+c+it)/r(s)$ 与 $r^{\ast }(a-s+c+it)/r^{\ast }(a-s)$ 的比值，$\hat{g}$ 仍可能不具紧支撑；实际选取步长 $\Delta$ 时应结合 Stirling 型增长界与带宽上界。

命题 12.8（“极点 = 主尺度“的保持）

在含 $1/u$ 的软窗 AFE 与有限阶 EM 框架下，双窗、mollifier/共振器插入与 EM 端点校正仅改变全纯/整层；一切极点及其阶完全由 $u=0$ 留数对应的主尺度项决定，不被 $R$ 或离散化校正改变（S4, S5）。

5. 几何—增长—信息三重对齐

定理 12.9（窗宽/方向选择的几何—信息准则）

令方向 $\mathbf{v}$ 与窗参数（带宽/指数衰减率）可选。最小化

$$\mathcal{J}(\mathbf{v},\text{窗})=\text{窗尾}+\text{别名}+\text{伯努利层}-\lambda \cdot \text{灵敏度}$$

等价于在 S10 的支持函数上界与 S6 的方差律所诱导的自然度量下求解一个带约束的变分问题；在所述正则带与参数范围内，若误差泛函具有强凸下界（由 S10 与 S6 诱导），则 $\mathcal{J}$ 为严格凸。其 Euler–Lagrange 方程与 S11 的核选择方程一致。

零集局部化与窗形协同. 当需针对某尺度带增强灵敏度时，窗的主质量应沿 S2 的“幅度平衡超平面“邻域配置；此时二项闭合给出零的局部控制，AFE—mollifier 的窗形在该带上最“经济“。

6. 失效族与边界机制

• 无窗/衰减不足：$\hat{g}$ 带宽过大导致别名主导，AFE 失稳。对策：带限或指数窗并收紧步长。
• 误把 EM 当无穷级：无穷伯努利叠加伪造奇性并破坏一致可和。对策：仅取有限阶。
• 极端 pretentious：非定向 mollifier 造成“假放大/平台“。对策：定向窗与谱间隙控制。
• 方向退化：若 $⟨{\beta }_j-{\beta }_k,\mathbf{v}⟩\equiv 0$，一维切片退化。对策：改向或多向联合。 可检触发阈值：若 $\underset{j\ne k}{\min }|⟨{\beta }_j-{\beta }_k,\mathbf{v}⟩|\le \epsilon$，则启用多方向/改向方案。
• 完成函数误用：将 $\Gamma /\pi$ 因子逐项并入系数破坏刻度与能量度量。对策：完成函数仅作全局乘子。

7. 可检清单（最小充分条件）

1. 完成函数与条带：给出 $(Q,a,r)$，验证 $\Lambda (s)=Q^{s/2}r(s)L(s)$ 与 $\Lambda (s)=\epsilon {\Lambda }^{\ast }(a-s)$。
2. 窗与可交换性：取偶窗 $h$（带限或指数衰减），与 S4 的有限阶 EM及 S7 的换序条件相容。
3. AFE 构造：按定理 12.1 形成双窗；余项纳入 $R$ 并以 S8 三分解给出常数。
4. mollifier/共振器：建立 $G$ 与能量预算 $⟨\cdot ,G\cdot ⟩\le 1$；依定理 12.2/12.5 取 $G^{-1}c$ 或求解 $\mathsf{K}r=\lambda Gr$。
5. Pretentious 检测：计算/上界 pretentious 距离，据阈值决定放大或上界策略（S9）。
6. 方向与几何：按 S10 的支持函数与 S2 的平衡超平面选方向/尺度带。
7. 结构不变性：核对“极点 = 主尺度“在 AFE 与放大器插入后保持（§4）。
8. 迹公式协同（可选）：在 S11 接口上选同族核 $h$，统一谱—几何侧窗形与误差度量。

8. 与既有篇章的接口

• ↔ S2（零集几何）：窗形围绕平衡超平面；二项闭合给出零的局部模板。
• ↔ S3（完成函数）：$\Gamma /\pi$ 因子提供垂线指数衰减与中心轴配平，统一 AFE 正规化。
• ↔ S4（有限阶 EM）：保证和—积—积分互换的全纯/整函数性，维持“极点 = 主尺度“。
• ↔ S5（方向亚纯化）：方向窗与极点定位一致；mollifier/共振器不改变极点位置与阶。
• ↔ S6（信息刻度）：能量—灵敏度权衡与 $\mathcal{L}$–${\mathcal{L}}^{\ast }$ 对偶一致。
• ↔ S7（$L$-函数接口）：AFE 与显式公式共享核—窗，素数—零侧数据对偶缝合。
• ↔ S8（非渐近误差）：给出窗—采样—截断的三分解常数与复现实验流程。
• ↔ S9（pretentious/指数和）：大值窗口与放大阈值由 pretentious 距离决定。
• ↔ S10（几何—增长）：支持函数上界与主导子和区决定方向窗宽与稳定性。
• ↔ S11（迹公式接口）：统一试验核选择与谱—几何侧灵敏度泛函，实现双端放大。

结语

以软窗 AFE 为核心，将 mollifier 的二次变分最优、共振器的广义本征极值与 Nyquist–Poisson–EM 的非渐近误差三分解组织为一个可检、稳健且可实现的统一工具链。该工具链在几何、信息与谱三侧严格对齐（信息侧以 $\mathcal{L}$–${\mathcal{L}}^{\ast }$ 对偶为准），并全程保持“极点 = 主尺度“，为平均值、点值大值、零间距及谱—几何联合放大等研究提供标准化模板。